.................

1. MATEMATIKA PEMINATAN
LOGIKA MATEMATIKA
5/2/2014
DARVIN TRY ANANDA
X IPA 1

2. LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika merupakan materi yang sangat penting dalam memahami teori
matematika serta dalam menarik suatu kesimpulan dari premis-premis yang ada.
1. Pernyataan
Yang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau
salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan
pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau
mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika yaitu
pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan
pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka yaitu
pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan
contoh dibawah ini.
contoh :
6×5 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar )
6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah )
gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka )
Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )
2. Ingkaran Pernyataan ( negasi )
Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan
dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang
diingkar dinotasikan ~.
contoh :
pernyataan B : Sepeda motor beroda dua
negasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua
3. Pernyataan Majemuk
3.1. Konjungsi

3. suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang
dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi
pernyataan majemuk konjungsi.
Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping
sehingga kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.
3.2. Disjungsi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang
dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk disjungsi.

4. sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan
bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya.
3.3. Implikasi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga
membentuk pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan
dilambangkan dengan
Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk implikasi.
sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan
menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.
3.4. Biimplikasi
suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’
sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut
dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan

5. Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat
majemuk biimplikasi.
sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk
biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan
menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan
lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.
4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk
Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini
sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan
lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan
muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk
disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang
nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan
disamping.

6. Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa
menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan
pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.
5. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan
kontraposisi dari implikasi tersebut
6. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam yaitu :
6.1 Kuantor Universal
Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua,
setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk
setiap).
contoh : ∀ x R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.
6.2 Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada,
beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada,
beberapa, terdapat, sebagian )
contoh : ∀ x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.
7. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor
eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial
adalah pernyataan berkuantor universal.
contoh :

7. p : beberapa siswa SMA rajin belajar
~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar
8. Penarikan Kesimpulan
Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai
kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip
yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang
diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut
dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar
maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :
8.1 Modus ponens
premis 1 : p →q
premis 2 : p ( modus ponens)
__________________
Kesimpulan: q
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.
sebagai contoh :
premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang
premis 2 : bapak datang
__________________
Kesimpulan: Adik senang
8.2 Modus Tollens
premis 1 : p →q
premis 2 : ~q ( modus tollens)
__________________
Kesimpulan: ~p

8. Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“.
sebagai contoh :
premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung
premis 2 : Adik tidak memakai payung
___________________
Kesimpulan : Hari tidak hujan
8.3 Silogisme
premis 1 : p→q
premis 2 : q → r ( silogisme)
_________________
Kesimpulan: p →r
Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“.
sebagai contoh :
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.
__________________________________________________
Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
Catatan Tambahan:
Hukum de Morgan:
¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q)
¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q)
Ekuivalensi implikasi:
(p → q) ≡ (¬p V q)