Lisari team Διαγωνίσματα Προσομοίωσης 2016 [all]

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Επιμέλεια θεμάτων:
lisari team
# ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ #
Όλα τα διαγωνίσματα προσομοίωσης
2016 της lisari team
για όλες τις τάξεις Γυμνασίου – Λυκείου
θα τα βρείτε στο
lisari.blogspot.gr
lisari team 7/5/2016 Έκδοση 1η
Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2016
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

Πρόλογος
Η lisari teaμ παρουσιάζει με χαρά τα φετινά (2016) διαγωνίσματα προσομοίωσης. Για πρώτη φορά
προτείνουμε θέματα και από τις άλλες τάξεις εκτός της Γ΄ Λυκείου.
Η λογική όλων των θεμάτων είναι κοινή:
«Βάλτε, προτείνετε, επεξεργαστείτε θέματα από το σχολικό βιβλίο».
Φυσικά όπου είναι εφικτό και στο βαθμό που επιθυμεί ο διδάσκων. Πρέπει η βάση και η νοοτροπία όλων
των εκπαιδευτικών να αποτελέσει το σχολικό βιβλίο. Μετά από τόσες δοκιμές, πειράματα φθάσαμε
αρκετές φορές στην ακραία ασκησιολογία. Ιδίως στις Πανελλαδικές Εξετάσεις προτείνουμε να
καθιερωθεί - νομοθετηθεί το ένα θέμα (πχ. το Β) να είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο.
Τα θέματα που θα δείτε δεν έχουν σκοπό να αποθαρρύνουν τους μαθητές, αντίθετα φιλοδοξούν να τους
προετοιμάσουν άρτια.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι είναι θέματα προσομοίωσης μιας ομάδας μαθηματικών από ένα διαδικτυακό
χώρο. Επομένως δεν πρέπει να θεωρούνται άκριτες προτάσεις για τις σχολικές μονάδες που τις
περισσότερες φορές το επίπεδο είναι πιο χαμηλό.
Ελπίζουμε, όσο είναι εφικτό, να το διασκεδάσετε, να προβληματίσετε και να σας ανοίξουμε μονοπάτια
σκέψης, τότε τα θέματα θα θεωρούνται ότι πέτυχαν το σκοπό τους.
Συντονισμός: Βασίλης Αυγερινός
Ιστότοπος: lisari.blogspot.gr
Επεξεργασία – επιμέλεια θεμάτων:
ΝΙΚΟΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ, ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ
ΚΑΚΑΝΟΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΘΕΟΔΩΡΗΣ ΠΑΓΩΝΗΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ
Οποιαδήποτε παρατήρηση, σημείωση ή ένστασή προκύψει μη διστάσετε να μας τη στείλετε
στο email lisari.blogspot@gmail.com υπόψη του Μάκη Χατζόπουλου.

lisari team
σχολικό έτος 2015-΄16
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
A΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
A΄ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ (ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ)
ΘΕΜΑ 1ο
1. Πότε δύο ποσά ονομάζονται ανάλογα; Με ποια σχέση συνδέονται
δύο ανάλογα ποσά; Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας;
2. Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος. Ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι
μεταξύ τους;
3. α) Στον αριθμό 3_7_ , να συμπληρωθούν κατάλληλα τα κενά
ώστε ο αριθμός που θα προκύψει να διαιρείται με τους :
(i) 2 και 3 (ii) 2 , 3 , 5 , 9 .
β) Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος
(Λ):
i. Όταν δύο κλάσματα με αριθμητές διαφορετικούς από το
μηδέν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές λέγονται
ομώνυμα.
ii. Το κλάσμα εκείνο που δεν μπορεί να απλοποιηθεί λέγεται
ανάγωγο.
iii. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή (ο οποίος είναι
διαφορετικός του μηδενός ) μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον
μεγαλύτερο παρονομαστή.
ΘΕΜΑ 2ο
1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις αφού τις μεταφέρετε
στο γραπτό σας:
i. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με
……………………………………………..…….
ii. Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς
τριγώνου είναι ………………………….…………..
iii. Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι άνισες τότε το
τρίγωνο λέγεται ……………………………….…….
2. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις

lisari team
A΄ ΤΑΞΗ
i. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος
ΑΒ ……..……… από τα άκρα Α και Β του ευθυγράμμου
τμήματος.
ii. Το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή ενός
τριγώνου κάθετα στην απέναντι πλευρά ονομάζεται
…………..…… του τριγώνου.
iii. Δύο γωνίες με άθροισμα 1800
ονομάζονται …….………..…
3. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή
λάθος (Λ):
i. Το άθροισμα δύο συμπληρωματικών γωνιών είναι 180ο
.
ii. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ενός ισοσκελούς
τριγώνου είναι και ύψος .
iii. Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες τότε το
τρίγωνο λέγεται ισοσκελές.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΔΥΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ)
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν τα
2
5
των μαθητών της Α΄ Γυμνασίου ενός σχολείου είναι αγόρια και
ολόκληρη η τάξη έχει 72 κορίτσια, τότε:
Α. Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου και πόσα είναι τα
αγόρια ;
Β. Αν όλοι οι μαθητές είναι 120 και έρθουν στο σχολείο 24 επιπλέον
μαθητές που είναι όλοι αγόρια να βρεθούν:
i. Τι ποσοστό των μαθητών είναι τώρα τα κορίτσια;
ii. Ποιο είναι το ποσοστό αύξησης των μαθητών;
ΑΣΚΗΣΗ 2η
1. Να γίνουν οι πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις.
     2 5 3
3 2 4 7 6 5 3 7 2         

lisari team
A΄ ΤΑΞΗ
1 2 1 3 7 3 2
: 3
3 5 2 10 2 4 3
   
          
   
   3 2
10 6,52 4,03 100 0,14 0,1      
2. Να συγκριθούν τα κλάσματα
2
3
,
7
8
και στη συνέχεια να βρεθούν
τέσσερα κλάσματα που είναι ανάμεσα στους αριθμούς
2
3
και
7
8
.
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2 το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με
ΑΒ = ΑΓ και ˆφ = 55°.
α) Να υπολογιστούν οι γωνίες ω, θ, ρ, λ, κ δικαιολογώντας τις
απαντήσεις σας.
β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του;

lisari team
A΄ ΤΑΞΗ
Απαραίτητη διευκρίνηση:
Οι οδηγίες που δίνονται κάθε χρόνο από το Υπουργείο Παιδείας προς τους
εκπαιδευτικούς των Γυμνασίων εκτός των άλλων αναφέρουν:
«Σε κάθε θέμα πρέπει να υπάρχουν ερωτήσεις αποκλειστικά από μία ενότητα».
Στα διαγωνίσματα προσομοίωσης (όχι σε όλα) της lisari team επιλέξαμε, για καθαρά
εκπαιδευτικούς σκοπούς, να μην την ακολουθήσουμε έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε την
δυνατότητα της πληρέστερης επανάληψης και να δώσουμε στους μαθητές την ευκαιρία
για σκέψη και προβληματισμό.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΜΠΑΔΕΜΗΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΘΕΟΔΩΡΗΣ ΠΑΓΩΝΗΣ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ, ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΑΠΤΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Πως ορίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη οξείας
γωνίας ορθογωνίου τριγώνου;
Β. Ποια είναι η σχέση που έχει το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας
γωνίας με τη μονάδα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Γ. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του.
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx;
Β. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, από
ποιο σημείο του y΄y διέρχεται και ποια η σχέση της με τη γραφική
παράσταση της y = αx;
Γ. Δίνονται οι συναρτήσεις y = λx + 2016 και y = 5x. Για ποιες τιμές του
λ οι γραφικές τους παραστάσεις δεν έχουν κοινό σημείο;

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
α) Δίνεται η ευθεία y = (κ+4)x + 3. Να βρείτε την τιμή του κ, αν η
ευθεία έχει την ίδια κλίση με την ευθεία y = - 6x.
β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(0, 3) και Β(1, -4) ανήκουν στην
γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - 6x + 3
γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της ευθείας y = - 6x + 3
ΑΣΚΗΣΗ 2η
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 13 + 16 - 49
β) Δίνονται οι ανισώσεις:    3 2x - 6 < 2 x -1 και
x + 1 3x -1
- 1
3 4

Να βρείτε τις κοινές λύσεις και να τις παραστήσετε στην ευθεία των
πραγματικών αριθμών.
γ) Από τις κοινές λύσεις του ερωτήματος (β) να γράψετε όλες τις
ακέραιες λύσεις.

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 0
A 90 ) με ΑΒ = 4 και η υποτείνουσα
ΒΓ είναι κατά 1 cm μεγαλύτερη της ΑΒ.
α) Να υπολογίσετε:
i. Tο μήκος των πλευρών του τριγώνου και την περίμετρό του.
ii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
iii. Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.
β) Αν το Ο είναι κέντρο του κύκλου και ˆΑΟΓ = 21μ - 3°,όπου μ είναι η
αριθμητική τιμή του μήκους της πλευράς ΑΓ σε μοίρες, να βρείτε τις
γωνίες ˆΑΟΓ, ˆΑΒΓ στο παρακάτω σχήμα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΝΑΒΗΣ
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΘΕΟΔΩΡΗΣ ΠΑΓΩΝΗΣ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΚΡΟΥΛΗΣ, ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΑΠΤΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ
ΣΤΑΥΡΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΑ 1ο
Σε ένα ορθοκανονικό σύστημαOxyφέρουμε σημείο M(x, y) (διπλανό
σχήμα). Είναι ˆxOM   και ( )  
α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
β) Να αποδείξτε ότι 2 2
1      .
γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες:
ημ (180º − ω) = ………
συν (180º − ω) = …….
εφ (180º − ω) = ………

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ 2ο
α) Τι ονομάζεται ταυτότητα;
β) Να αποδείξετε ότι: (α + β)3
= α3
+ 3α2
β + 3αβ2
+ β3
γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις με τα κατάλληλα
αναπτύγματα στο δεύτερο μέλος, ώστε να εκφράζουν γνωστές
ταυτότητες:
i) 2
( )   
ii) 2
( )   
iii) 3
( )   
iv) ( ) ( )      
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Δίνεται το σύστημα
2x y
3y 3
3
4x 3y y 1
2
5 2

  

   

1. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την  
1
x,y , 1
2
 
  
 
2. Αν ευθεία με εξίσωση  2
2 x y 1      διέρχεται από το σημείο
τη λύση του συστήματος, να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού
αριθμού α.
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Δίνεται το πολυώνυμο    
22
P x 9x 2x 1  
α) Να δείξετε ότι:   2
P x 5x 4x 1  
β) Να λυθεί η εξίσωση  P x 0
γ) Να δείξετε ότι:    P 2 11 P 1 8   

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
δ) Να λυθεί η εξίσωση:    
  2
1 1 2x
P 2 P 1
x 2 2 x P x 4x 4x 3
    
    
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές (ΑΒ =ΑΓ).
Αν
 ΒΔ = ΓΕ,
 Μ είναι σημείο της ΒΓ με ΒΜ = 3ΜΓ
   ,
   ,
τότε:
α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ και να αποδείξετε ότι το
τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΓΜ είναι όμοια και να
βρείτε το λόγο ομοιότητας λ.
γ) Αν το τρίγωνο ΛΓΜ έχει εμβαδόν 4cm2
να βρείτε το εμβαδόν του
τριγώνου ΚΒΜ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
Συντονισμός: Βασίλης Αυγερινός – Μάκης Χατζόπουλος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΚΑΝΟΣ,
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΝΑΒΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ, ΔΗMHΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ, ΘΕΟΔΩΡΟΣ
ΠΑΓΩΝΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΤΣΗΣ, ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΑΠΤΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΝΙΚΟΣ
ΣΠΛΗΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ, ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ A΄ ΤΑΞΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 με α ≠ 0. Αν 1 2x ,x είναι οι λύσεις
της εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι:
α) 1 2x x

  

(μονάδες 7) β) 1 2x x



(μονάδες 8)
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προστάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στην
κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη:
α) Αν 0  και μ, ν θετικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει  
  
β) Αν α > 0, μ ακέραιος και v θετικός ακέραιος τότε α


 
γ) Για κάθε , R και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία:
 
      
δ) Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε
2
  .
ε) Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της
προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον
ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.
Μονάδες 10

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω είναι γνωστό
ότι
     
1 2 1
,P B P A B
2 3 12
     
Να υπολογίσετε:
Β1.  P B
Μονάδες 6
Β2.  P A B
Μονάδες 9
Β3. Την πιθανότητα πραγματοποίησης ενός τουλάχιστον από τα
ενδεχόμενα Α και Β.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται παράσταση
2
2
2
A
1
   

 
Γ1. Βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α για να ορίζεται η
παράσταση Α.
Μονάδες 4
Γ2. Απλοποιήστε το τύπο της παράστασης Α.
Μονάδες 6
Γ3. Να λύστε την εξίσωση:
 
A 1 1 5
2 A 1 A 1

  
     
Μονάδες 8
Γ4. Έστω η αριθμητική πρόοδος αν . Ο πρώτος όρος ισούται με την
αριθμητική τιμή της παράστασης Α για α = – 2 και η διαφορά της
προόδου ισούται με την αριθμητική τιμή της παράστασης Α για
α = 0. Βρείτε το άθροισμα των 200 πρώτων διαδοχικών όρων της
αριθμητικής προόδου.
Μονάδες 7

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η συνάρτηση     f x x 7 x 1 x 7 x 1      
Δ1. Βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f και να αποδείξτε ότι:
  2
f x x 7x 7  
Μονάδες 4
Δ2. Να λυθεί η εξίσωση  3
f x 1 ,x A
Μονάδες 5
Δ3. Να λυθεί η ανίσωση  f x 11 , x A
Μονάδες 6
Δ4. Έστω η συνάρτηση    2 2
h x x 3 5 x 1,         R.
Για κάθε Rνα αποδείξετε ότι:
i. Οι αριθμοί    f 0 ,h 1 είναι ομόσημοι αριθμοί.
Μονάδες 5
ii. Η εξίσωση  h x 0 έχει δύο ρίζες άνισες.
Μονάδες 5

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΠΑΝΟΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ
ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΤΑΚΗΣ ΤΣΑΚΑΛΑΚΟΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ, ΜΑΚΗΣ
ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Α΄ ΤΑΞΗΣ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους δύο χορδές είναι
ίσες αν και μόνο αν έχουν ίσα αποστήματα.
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην
κόλλα απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α) Μια ευθεία ε εφάπτεται σε ένα κύκλο (Ο,ρ), αν και μόνο αν η
απόσταση του κέντρου Ο από την ευθεία ε ισούται με ρ.
β) Αν δύο τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά
αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.
γ) Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου ισαπέχει από τις
κορυφές του τριγώνου.
δ) Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες.
ε) Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός,
εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.
Μονάδες 10

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο
ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι:
Β1. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα.
Μονάδες 8
Β2. Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ.
Μονάδες 9
Β3. MA A    και
2 2

     
  
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του Α και
Β. Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β οι οποίες
τέμνονται στο σημείο Γ. Φέρουμε επίσης και τα ύψη ΑΔ και ΒΕ του
τριγώνου ΑΒΓ τα οποία τέμνονται στο σημείο Η.
Να αποδείξετε ότι:
Γ1. Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές.
Μονάδες 6
Γ2. Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος.
Μονάδες 8
Γ3. Τα σημεία Ο, Η, Γ είναι συνευθειακά.
Μονάδες 11

lisari team
Α΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Α. Από την
κορυφή Β φέρνουμε κάθετη στην παραπάνω διχοτόμο και έστω Δ το
σημείο τομής τους. Αν η ΒΔ τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο Ε και Μ το
μέσο της ΒΓ όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε να δείξετε ότι::
Δ1.     
Μονάδες 4
Δ2. Το ΔΜΓΕ είναι τραπέζιο με τη μια βάση του διπλάσια της άλλης.
Μονάδες 6
Δ3. ˆ ˆ2  
Μονάδες 7
Δ4. Τo ΔΜ διχοτομεί το ΒZ, όπου Ζ το μέσο της ΕΓ.
Μονάδες 8

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΣΠΥΡΟΣ ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ, ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ
ΚΟΠΑΔΗΣ, ΜΑΡΙΑ ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΜΑΚΗΣ
ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Β΄ ΤΑΞΗΣ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου P(x)
με το x – ρ είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P(x)
για x = ρ.
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
γραπτό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
α) Η συνάρτηση f(x) = συνx,  x 0,2  είναι γνησίως αύξουσα στο
διάστημα [π, 2π].
β)
α β
αβ γδ
γ δ
  , για κάθε α, β, γ, δR.
γ) Αν 0 < α < 1 η συνάρτηση f(x) = αx
, xR είναι γνησίως αύξουσα.
δ) Tο μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.
ε) Η γραφική παράσταση κάθε άρτιας συνάρτησης έχει άξονα
συμμετρίας τον y΄y.
Μονάδες 10

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η εξίσωση
1
6 x 1
x
  

, 0 x  .
Β1. Να λύσετε την εξίσωση.
Μονάδες 10
Β2. Nα υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της
γωνίας x.
Μονάδες 10
Β3. Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
2
2 2
3 x 4 x
3 x x 1
    
 
    
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = 2x3
– x2
+ αx + β με , R
Γ1. Αν η διαίρεση P(x) : (x2
– 6) δίνει υπόλοιπο 3x + 1 να βρεθούν οι
τιμές των α και β και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
Μονάδες 7
Γ2. Για α = – 9 και β = 7:
i)Να λυθεί η ανίσωση P(x) ≤ 3x + 1.
Μονάδες 6
ii) Να λυθεί το σύστημα:
     
 
P x P 2 y P 2
P 1 x 13y 65
1   

   
Μονάδες 6
iii) Να λυθεί η εξίσωση  P ln x 7 ln x 
Μονάδες 6

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση    x x
f(x) ln e ln e 1     με 0  ρίζα της
εξίσωσης 2 1
3 28 3 9 0 
    .
Δ1. Να αποδείξετε ότι κ = 2 .
Μονάδες 5
Δ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχεια να λύσετε την
εξίσωση f( x) ln3 ln5   .
Μονάδες 4
Δ3. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y x .
Μονάδες 6
Δ4. Έστω οι αριθμοί , R για τους οποίους ισχύει f( ) f( )  
i)Να δείξετε ότι   .
Μονάδες 4
ii) Αν 10  να λύσετε την εξίσωση:    2log log x log log 0     
Μονάδες 6

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΠΑΝΟΣ ΓΚΡΙΜΠΑΒΙΩΤΗΣ, ΣΠΥΡΟΣ
ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΟΥΛΟΥΡΗΣ, ΜΑΡΙΑ ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ, ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΑΠΤΗΣ,
ΣΤΑΥΡΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
στην κόλλα απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο
γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α. Το εμβαδόν ενός τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ,
και μήκη πλευρών α, β, γ είναι
4R

  .
β. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, ρ) είναι
πάντα θετική.
γ. Η κεντρική γωνία ων και η γωνία φν ενός κανονικού ν-
γωνου είναι συμπληρωματικές.
δ. Αν λ ο λόγος ομοιότητας των όμοιων τριγώνων ΑΒΓ προς
Α΄Β΄Γ΄, τότε σε κάθε περίπτωση ισχύει
( )
( ΄ ΄ ΄)

 
  
.
ε. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι αμβλεία τότε
2 2 2
     .
Μονάδες 10
Α2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο
μιας κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της
υποτείνουσας επί την προβολή αυτής στην υποτείνουσα.
Μονάδες 15

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β = 7, γ = 6 και
7
2
  . Να υπολογίσετε:
Β1. Την πλευρά α (μονάδες 6) και το είδος του τριγώνου ως προς τις
γωνίες του (μονάδες 4).
Μονάδες 10
Β2. Την προβολή της διαμέσου μα στη ΒΓ.
Μονάδες 8
Β3. Το εμβαδόν του.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Mε πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατασκευάζουμε
εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΘ αντίστοιχα.
Γ1. Να δείξετε ότι: (ΑΒΓ) = (ΘΕΑ)
Μονάδες 6
Αν 0
A 120 , ΑΒ = 1 και ΑΓ = 2ΑΒ, τότε:
Γ2. Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών ΕΘ και ΒΓ.
Μονάδες 6
Γ3. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Θ είναι συνευθειακά.
Μονάδες 7
Γ4. Να δείξετε ότι το εμβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΒΓΖΘΕΔ
είναι 5 3 .
Μονάδες 6

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται κύκλος (Ο,R) και εξωτερικό του σημείο Ρ από το οποίο φέρνουμε
τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν
 
 
3



τότε:
Δ1. Να αποδείξετε ότι ΟΡ = 2R
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι ΑΒ = λ3
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε την γωνία ˆ
Μονάδες 5
Δ4. Να υπολογιστεί ως συνάρτηση του R το εμβαδόν του μικτόγραμμου
τριγώνου ΑΒΡ που ορίζεται από τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ και
του κυρτού τόξου AB.
Μονάδες 8

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδα Προσανατολισμού
Θετικών Σπουδών
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ, ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ
ΣΙΣΚΑΣ, ΘΕΟΔΩΡΗΣ ΠΑΓΩΝΗΣ, ΝΙΚΟΣ ΣΠΛΗΝΗΣ, ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω δύο διανύσματα ,v του επιπέδου με 0  . Να δείξετε ότι:
v v
     
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην
κόλλα απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α) H εξίσωση της μορφής Αx+Βy+Γ = 0 παριστάνει ευθεία αν και
μόνο αν Α ≠ 0 ή Β ≠ 0.
β) Για κάθε κύκλο (Κ, ρ) η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο
του  1 1x ,y είναι η 2
1 1xx yy   .
γ) Το εμβαδόν κάθε τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο (ΑΒΓ) =
1
2
det(AB, AΓ).
δ) Αν η γωνία δυο μη μηδενικών διανυσμάτων  και  είναι π rad
τότε τα διανύσματα είναι αντίρροπα.
ε) Ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την
ευθεία δ το γεωμετρικό τόπο C των σημείων του επιπέδου τα οποία
ισαπέχουν από την Ε και τη δ.
Μονάδες 10

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται διανύσματα , , u, v  τέτοια ώστε:
 1   
   2
,
3

   rad
 u 2 4   
 v    
τότε να υπολογίσετε:
Β1. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ,  και u ,v.
Μονάδες 8
Β2. Τα μέτρα των διανυσμάτων u και v.
Μονάδες 10
B3. Τη γωνία των διανυσμάτων u και v.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η εξίσωση  2 x 2 y 4 4 0,        R(1)
Γ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε
πραγματική τιμή του λ.
Μονάδες 4
Γ2. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο το
οποίο να βρείτε.
Μονάδες 6
Γ3. Να εξετάσετε αν οι ευθείες y 6x 1  και
1
y x
2
 ανήκουν στην
οικογένεια των ευθειών της εξίσωσης (1).
Μονάδες 7
Γ4. Βρείτε ποια ευθεία της οικογένειας ευθειών απέχει από το  6,1 
μέγιστη απόσταση. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση αυτή.
Μονάδες 8

lisari team
Β΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι εξισώσεις
    
2
1C : x 2 5 y y 5    και  
22
2C : 4x 2y 3 25  
Δ1. Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν κύκλους και
στη συνέχεια να υπολογίσετε τα κέντρα και τις ακτίνες τους.
Μονάδες 4
Δ2. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά και να βρείτε το
κοινό σημείο τομής τους.
Μονάδες 4
Αν Μ(2, 3) το σημείο τομής των δύο κύκλων, τότε να υπολογίσετε:
Δ3. Το αντιδιαμετρικό σημείο του Μ ως προς κάθε κύκλο.
Μονάδες 6
Δ4. Την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των δύο κύκλων.
Μονάδες 5
Δ5. Τα σημεία των δύο κύκλων που απέχουν τη μέγιστη απόσταση
μεταξύ τους.
Μονάδες 6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
Συντονισμός: Μάκης Χατζόπουλος
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ , ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ,
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ , ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Σχολικό έτος 2015 -΄16
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Για τη σχετική συχνότητα να αποδείξετε ότι:
α) i0 f 1  για i 1,2,...,k (μονάδες 3)
β) 1 2 kf f ... f 1    (μονάδες 6)
Μονάδες 9
Α2. Τι ονομάζουμε μέτρα θέσης και τι μέτρα διασποράς;
Μονάδες 6
τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η
πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Η διαδικασία με την οποία εξετάζουμε όλα τα άτομα (στοιχεία)
του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει
λέγεται απογραφή.
β. Όταν έχουμε πολλές παρατηρήσεις η κατανομή τους μπορεί να
περιγραφεί με το σημειόγραμμα.
γ.  c 0, c  R
δ. Κάθε συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε 0x A .
ε. Παίρνουμε ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου  1 2, ,...,     
τότε όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα
 i
1
, i 1,2,..,v
v
    . Μονάδες 10

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με ισοπίθανα
απλά ενδεχόμενα, δίνονται:
      
1
P A P A B P B 1
3
    

 
 
N A 3
N B 2

 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι κατά
1
6
μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το
ενδεχόμενο Β
Β1. Να δείξετε ότι  
1
P A
2
 και  
1
P B
3
 .
Μονάδες 8
Β2. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί
i) το πολύ ένα από τα Α και Β.
Μονάδες 4
ii) ακριβώς ένα από τα Α και Β.
Μονάδες 6
iii) το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση  
1
f x x ,
x
    r
Γ1. Να δείξετε ότι το τοπικό ελάχιστο της f είναι μεγαλύτερο από το τοπικό
μέγιστο της f για κάθε r.
Μονάδες 4
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο
   
x 1
f x f 1
lim
x x x


Μονάδες 4

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
Γ3. Αν για δύο θετικούς αριθμούς κ, λ ισχύει ότι     2 3
f f 2 3      να
βρείτε τους κ και λ ώστε το άθροισμα τους να γίνεται ελάχιστο.
Μονάδες 9
Γ4. Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο της
1 1
A ,f
2 2
  
  
  
τέμνει τον άξονα
x x στο σημείο  B 2,0 να δείξετε ότι 2  .
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό με
τους χρόνους (min) επίλυσης των μαθητών του ΓΕΛ Γαύδου για το
προηγούμενο Γ θέμα της lisari team.
Αν ο μέσος χρόνος επίλυσης του θέματος ήταν 27 min και οι
παρατηρήσεις σε κάθε κλάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες τότε:
Δ1. Να δείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 10.
Μονάδες 6

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
Δ2. Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος (μονάδες 2) και στη
συνέχεια να παραστούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα σχετικών
συχνοτήτων (απόλυτων και αθροιστικών) (μονάδες 5).
Μονάδες 7
Δ3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές (μονάδες 4) και στη
συνέχεια να βρείτε τον ελάχιστο ακέραιο αριθμό που πρέπει να
προσθέσουμε σε κάθε τιμή των παρατηρήσεων, ώστε το δείγμα να
γίνει ομοιογενές (μονάδες 3). Δίνεται: 111 10,54 .
Μονάδες 7
Δ4. Αν κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί , να βρεθεί η
πιθανότητα να εκλεγεί ένας μαθητής που να έχει λύσει το θέμα το
πολύ μέχρι το μέσο χρόνο επίλυσής του.
Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδα Προσανατολισμού
Θετικών Σπουδών
Οικονομίας & Πληροφορικής
lisari team
lisari.blogspot.gr

Πρόλογος
Συντονισμός: Παύλος Τρύφων
ΝΙΚΟΣ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ, ΣΗΦΗΣ ΒΟΣΚΑΚΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ
ΜΑΡΟΥΓΚΑΣ, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ, ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ, ΘΩΜΑΣ
ΠΟΔΗΜΑΤΑΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΤΣΗΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΙΣΚΑΣ, ΠΑΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ,
ΝΙΚΟΣ ΣΠΛΗΝΗΣ, ΠΑΥΛΟΣ ΤΡΥΦΩΝ, ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ / ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω η συνάρτηση   x
f x , 0    . Να αποδείξτε ότι η f είναι
παραγωγίσιμη στο Rκαι ισχύει   x
f x ln   . Μονάδες 9
Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική
του ερμηνεία. Μονάδες 6
τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση
είναι λανθασμένη.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν
σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη.
β)
x
ημx
1
x
lim


γ) Αν f ,g  συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα  ,  τότε ισχύει
           f x g x dx f x g x f x g x dx
 


 
     
δ) Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ λέγονται τα
εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η
παράγωγος της είναι ίση με το μηδέν.
ε) Για κάθε συνάρτηση f :A  Rισχύει   1
f f x x
 για κάθε x A .
Μονάδες 10

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση  
2
x 3 ,x 1
f x
2 x ,x 1
  
 

Β1. Υπολογίστε το σημείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f που απέχει από το σημείο  A 11,0 τη μικρότερη
απόσταση.
Μονάδες 7
Β2. Αν   M 9,f 9 το σημείο του ερωτήματος Β1, βρείτε το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
f και την εφαπτομένη της στο σημείο Μ.
Μονάδες 8
Β3. Βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης
   2
h x f x 2x 2 , x   R
Μονάδες 10

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Γ
Για μία συνάρτηση  f : 1,   R ισχύει
   
x
2 22 2016 2014
2015
2f 2 ln 1 x x 1
0,
x
lim


           
  
για κάθε 1   .
Να αποδείξετε ότι:
Γ1.      
2
2x x
f x x 1 ln x 1 , x 1
2

     
Μονάδες 5
Γ2. Υπάρχει μοναδικό σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη να την
διαπερνά (μονάδες 2) και ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της
εφαπτομένης της fC στο σημείο αυτό γίνεται ελάχιστος (μονάδες 3).
Μονάδες 5
Γ3. Η συνάρτηση f παρουσιάζει δύο ακριβώς ακρότατα σε θέσεις 1 2x x
(μονάδες 4) για τις οποίες ισχύει  1 2x ,x 1,1  και 1 2x x 0 
(μονάδες 3).
Μονάδες 7
Γ4.   2 1 1 210x 10x x x 1 7    , όπου 1 2x ,x τα ακρότατα του
ερωτήματος Γ3, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν που
περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f  και του άξονα
x x είναι
7
10
τ.μ.
Μονάδες 8

lisari team
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο  f x ln x     για την οποία
ορίζεται η συνάρτηση f f με πεδίο ορισμού διάστημα με το ελάχιστο
δυνατό μήκος, καθώς το  παίρνει τιμές στο  0, .
Δ1. Να αποδείξετε ότι  f x 1 x , x 1   .
Μονάδες 5
Δ2. Αν επιπλέον για κάποιο 0  ισχύει  
x
2
f x e ,


 για κάθε x 1 , να
αποδείξετε ότι:
α) 1 
Μονάδες 2
β) η εξίσωση
   
 
1 1t t
2 2
0 0
3
2f f t e dt 1 1 ln f t e dt
x x 1
   
     
   

 
έχει
τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα  0,1 .
Μονάδες 4
Δ3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο
 της συνάρτησης
   
    f x
x
g x , x 1
e f x 1 f x

 
 
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  0,1 τέτοιο, ώστε
 
1
2016
0
2017 t f t t dt 1        
Μονάδες 8

Lisari team Διαγωνίσματα Προσομοίωσης 2016 [all]

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Lisari team Διαγωνίσματα Προσομοίωσης 2016 [all]

Similar to Lisari team Διαγωνίσματα Προσομοίωσης 2016 [all] (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Lisari team Διαγωνίσματα Προσομοίωσης 2016 [all]