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ラムダでウィザード
滅せよ手続き、とチャーチは言った
(※言ってません)
bleis-tift
July 20, 2013
自己紹介
id:bleis-tift / @bleis
なごやではたらくゆるふわ.NETer
好きな関数型言語は F#
Microsoft MVP for Visual F#
.NETの基礎ということで・・・
IL・・・?そんなこわいことこわい人がいっぱい
来ること確定な場所で話せません><。
.NET と言えば F#ですよねー (異論は認める
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(.NET 基礎ならなごやこわいは参加しないだ
ろうし、これにしよう!)
どうしてこうなった・・・
今日やること
ラムダ計算って何?
ラムダ計算で計算してみる
ラムダ計算を拡張してみる
ラムダ計算を知らない人を対象に、ラムダ計算が
ナニモノなのかの感覚を掴んでもらうのが目的!
こわい人がそこらじゅうにいるからgkbr
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その前に
関数型言語って何?
関数型言語とは
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ら適当なサブセットを選んで関数型と呼ぶ」
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ある人曰く、「そんなものはない。あるのは
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言語」は関数型言語でいいのでは?と思ってます。
よくある(かもしれない)誤解
「ラムダ計算に基づく言語」は関数型言語
→ ラムダ式を持っていれば関数型言語だ?
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ラムダ計算とは
すごくシンプルなプログラミング言語
文法がシンプル
予約語は λ だけ
関数しかない
真偽値も、数も、条件分岐も、ループも、全部関
数で表す
色々な関数型言語の基礎になっている
ラムダ計算の文法
ラムダ計算のプログラムは一つの項 (式と思って
もらえれば) として表されます
項の要素になれるのは、以下の 3 つだけです
名前 ・・・・・・・・・・・変数
(項 項)・・・関数適用
(λ名前. 項)・・・ラムダ抽象
名前には、英字一文字を使うことが多いです。
ラムダ計算の項として有効なもの
以下の文字列の並びは、ラムダ計算の項として有
効です
x
(f x)
(λx.x)
(λf.(λx.(f x)))
カッコの省略
.
.(λf.(λx.(f x)))
の一番外側のカッコと一番内側のカッコは取り除
いても曖昧になりません。
.
.λf.(λx.f x)
以降では、曖昧性のないカッコは省略します。
文法のおさらい
.
ラムダ計算の文法
..
.
t ::= < name >
| (< t > < t >)
| (λ < name > . < t >)
数値はおろか、真偽値などもない
変数が導入されるのはラムダ式の引数のみ
値はラムダ抽象 (つまり関数) のみ!
ラムダ計算の意味
文法を定義しただけでは何の役にも立たない
ので、意味を与えてあげましょう!
ラムダ計算における計算
ラムダ計算における計算とは、引数に関数を適用
することです。
t1 t2 という項があった時に、t1 がラムダ抽象だっ
た場合に、ラムダ抽象の中の項に現れる引数を t2
で置き換えます。
.
例えばこんな
..
.
(λx.x) (λy.λz.(y z))
↓下線を引いた項に引数を与えて簡約
λy.λz.(y z)
簡約の方法
簡約の方法にはいろいろありますが、ここでは皆
さんになじみの深い方法を採用します。
t1 t2 という項があった時、
t1 から先に簡約する
t2 の簡約を終えてから、全体を簡約する
という方法で、「値呼び戦略」と呼ばれます。
では・・・
文法が分かり、意味も与えたところで、実際にこ
れを使って計算してみましょう!
ラムダ計算で計算してみる
無理・・・
数も扱えないのにどうやって計算するんですか・・・
ということで、まずは道具を揃えましょう!
カリー化関数
ラムダ計算では複数引数を受け取る関数はないの
で、関数を返す関数をよく使います。
.
カリー化関数 λx.λy.x に λa.a と λb.b を渡す
..
.
(λx.λy.x) (λa.a) (λb.b)
−→ (λy.(λa.a)) (λb.b)
−→ λa.a
λx.(λy.x) 自体は関数を返す関数だけど、2 つの引
数をとる関数と同じような働きをする!
カリー化関数の略記法
いちいちカリー化関数書くの面倒なので、略記法
を導入します。
.
上と下の記述は交換可能
..
.
λx.λy.t
λxy.t
真偽値
関数で表しましょう。
.
真偽値を表す関数
..
.
真:λtf.t
偽:λtf.f
なんでこれが真偽値?
真偽値(2)
真が λtf.t、偽が λtf.f だったとして、
if cond then x else y を、cond x y とする
cond に真を入れてみる
((λtf.t) x) y
(λf.x) y
x
cond に偽を入れてみる
((λtf.f) x) y
(λf.f) y
y
真偽値として働いている!
自然数
真偽値同様、関数で表現します。
.
自然数を表す関数
..
.
0:λsz.z
1:λsz.s z
2:λsz.s (s z)
3:λsz.s (s (s z)))
z に s を何回適用するかで自然数を表します。
指で数を数えるのに似てますね。
次の数を求める関数 succ
.
succ 関数
..
.λn.λsz.s (n s z)
1. 自然数 n は λsz.t の形をしている
2. n に s と z を渡せば、t の部分が取り出せる
3. t にもう一回 s を適用すれば、次の数になる!
足し算してみる
.
add 関数
..
.λmn.λsz.m s (n s z)
1. 自然数 m は λsz.s (s (. . . (s z) . . . )) の形を
している (s は m 個)
2. 自然数 n は λsz.t の形をしている
(t には n 個の s が含まれる)
3. 自然数 m の z 部分を n の t 部分に入れ替え
れば、足し算ができる!
2 + 3
1. (λmn.λsz.m s (n s z)) (λsz.s (s z)) (λsz.s (s (s z)))
2. (λn.λsz.(λsz.s (s z)) s (n s z)) (λsz.s (s (s z)))
3. λsz.(λsz.s (s z)) s ((λsz.s (s (s z))) s z)
4. λsz.(λz.s (s z)) ((λsz.s (s (s z))) s z)
5. λsz.(λz.s (s z)) ((λz.s (s (s z))) z)
6. λsz.(λz.s (s z)) ((s (s (s z))))
7. λsz.(λz.s (s z)) (s (s (s z)))
8. λsz.(s (s (s (s (s z)))))
s が 5 個あるので、2 + 3 できました!
掛け算してみる
.
mul 関数
..
.λmn.λsz.m (n s) z
1. 自然数 n は λsz.s (s (. . . (s z) . . . )) の形をし
ている (s は n 個)
2. 自然数 n に s だけ適用したものは、引数に s
を n 回適用する関数になる
3. それを自然数 m の s として渡すので、s を
n 回適用したものが m 個作られる
4. それに z を渡してあげれば、
m と n を掛け合わせた結果の自然数になる!
2 × 3
1. (λmn.λsz.m (n s) z) (λsz.s (s z)) (λsz.s (s (s z)))
2. (λn.λsz.(λsz.s (s z)) (n s) z) (λsz.s (s (s z)))
3. λsz.(λsz.s (s z)) ((λsz.s (s (s z))) s) z
4. λsz.(λsz.s (s z)) (λz.s (s (s z))) z
5. λsz.(λz.(λz.s (s (s z))) ((λz.s (s (s z))) z)) z
6. λsz.(λz.(λz.s (s (s z))) (s (s (s z)))) z
7. λsz.(λz.(s (s (s (s (s (s z))))))) z
8. λsz.(s (s (s (s (s (s z))))))
s が 6 個あるので、2 × 3 できました!
そのほかの計算
以下の話題は時間の関係上、省略します。
自然数の引き算、割り算
再帰
Church-Rosser 性
ラムダ計算を拡張してみる
ラムダ計算の拡張
さすがに、生のラムダ計算を扱うのはつらい
→拡張しましょう!
記法の拡張
2 + 3 を計算するだけで、
.
2 + 3
..
.(λmn.λsz.m s (n s z)) (λsz. s (s z)) (λsz.s (s (s z))))
つらい・・・
数値の導入
数詞 (0 とか 1 とかそういうやつ) と関数で作った
自然数を対応付けることができる。
2 に対して λsz.s (s z)) を対応付けるようにすれ
ば、人間にとってよりわかりやすい!
ついでに、+ も λmn.λsz.m s (n s z) に対応付け
てしまえば、2 + 3 はそのまま、
.
.2 + 3
と記述できる! n に 2 を足す関数なら、
.
.λn.n + 2
分かりやすい!
真偽値の導入
ついでに真偽値も導入しましょう。
true と λtf.t を、false と λtf.f を対応付けます。
if-then-else も導入しましょう。
とりあえず、if cond then x else y を、cond x y
に対応付けましょう。
.
if-then-else を使った例
..
.λbmn.if b then m + n else m ∗ n
b が真なら m + n を、偽なら m ∗ n を計算する
関数
計算体系の拡張
記法だけじゃなくて、計算体系も拡張しましょう!
型の導入
本当はここからの話をしようかな、と思ってたん
ですが・・・
色んな意味で時間がなかったので、ここからの拡
張は各自の課題ということで。
詳しくは、
をどうぞ!
宣伝!
この後の懇親会で、ちょうどその本の読書会があ
るそうですよ!
興味のある人はオーム社のサイトから PDF 版を購
入して参加しましょう!

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