Dynamic Optimization in tennis : When to Use a Fast Serve. For report file, contact me directly.

1. Diulas Oleh : Nurhayati Rahayu (23814305)

2. Peraturan
Permainan
Tennis
Permainan terdiri dari 2 set
dan 1 rubber set (bila
berakhir seri atau belum
memiliki selisih min 2)
Utk memenangkan pertandingan, pemain
harus memenangkan seluruh set dg selisih 2
dari lawan, mis : 2-0, 3-1
Nilai Subset : 0,15,30,40,GO atau
0,1,2,3,4(GO)
Kemenangan atas 1 set yg berisi 6 subset
dg selisih min 2, mis : 6-4,6-3,6-2,6-1,6-
0 atau bila 6-5 maka ada tambahan games
hingga score jd 7-5,8-6,9-7,10-8
Aturan pemain
Servis pertama dr sisi kanan dan berdiri di
belakang baseline
Memukul secara horisontal
Untuk menyelesaikan 1 subset, pemain
yang memukul bola berdiri pada sisi secara
bergantian
Pada saat permainan berlangsung, posisi
bola tidak berubah. Perubahan hanya
terjadi jika 1 subset sudah berakhir

4. Terdapat 2
pemain yang
memiliki
probabilitas
kemenangan
yang sama
Terdapat pilihan
untuk servis
yaitu servis
cepat (fast
serve) dan
servis lambat
(slow serve)
Score
konvensional 1
set
(0,15,30,40,Ga
me Over) diubah
menjadi bentuk
integer yaitu
0,1,2,3,4
Pemain memiliki
kesempatan 2
bola untuk
menyelesaikan
1x servis
Pembelajaran ini
berlaku untuk
pemain tunggal
dan ganda

5. Mencari probabilitas kemenangan
dengan menggunakan teknik servis
cepat (fast serve)

6. Stage I :
Bola 1
Stage II :
Bola 2
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔
𝑏𝑜𝑙𝑎 1
𝑓(𝑥1, 𝑦1, 1)
𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘 = 0 − 4
k = 1,2
𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)
𝑥1, 𝑦1 𝑥2, 𝑦2
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑜𝑙𝑎 1+
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑜𝑙𝑎 2
Dimana :
𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 = probabilitas kemenangan pemain pada pukulan bola pertama
𝑓 𝑥2, 𝑦2, 2 = probabilitas kemenangan pemain pada pukulan bola kedua
𝑥1 = score pemain utama pada stage 1
𝑥2 = score pemain utama pada stage 2
𝑦1 = score pemain lawan pada stage 1
𝑦2 = score pemain lawan pada stage 2
𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 + 𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)

7. 𝑓(𝑥 𝑘 + 1, 𝑦 𝑘, 1) > 𝑓(𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘 + 1,1)
𝑓(𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘, 2) > 𝑓(𝑥 𝑘, 𝑦 𝑘 + 1,1)
𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 + 𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)
Dimana :
𝑘 = 1,2
𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 = probabilitas kemenangan pemain pada pukulan bola pertama
𝑓 𝑥2, 𝑦2, 2 = probabilitas kemenangan pemain pada pukulan bola kedua
𝑥1 = score pemain utama pada stage 1
𝑥2 = score pemain utama pada stage 2
𝑦1 = score pemain lawan pada stage 1
𝑦2 = score pemain lawan pada stage 2
𝑥 𝑘 = nilai pemain 1
𝑦 𝑘 = nilai pemain 2 (lawan)

8. Dimana :
𝑝 𝑓 = probabilitas servis cepat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑞 𝑓 = nilai dari servis cepat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑝𝑠 = probabilitas servis lambat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑞 𝑠 = nilai dari servis lambat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑥1 = nilai pemain 1
𝑦1 = nilai pemain 2 (lawan)
Mencari probabilitas kemenangan pemain dengan menggunakan bola pertama
𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 = max [𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 𝑓 𝑥1 + 1, 𝑦1, 1 + 𝑝 𝑓 1 − 𝑞 𝑓 𝑓 𝑥1, 𝑦1 + 1,1 + 1 − 𝑝 𝑓 𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)]
𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 = max [𝑝𝑠 𝑞𝑠 𝑓 𝑥1 + 1, 𝑦1, 1 + 𝑝𝑠 1 − 𝑞 𝑠 𝑓 𝑥1, 𝑦1 + 1,1 + 1 − 𝑝𝑠 𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)]

9. Untuk Bola pertama, direkomendasikan untuk memberikan servis cepat
dibandingkan servis lambat jika dan hanya jika :
(𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠)𝑓(𝑥1 + 1, 𝑦1, 1) + [𝑝 𝑓 1 − 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 1 − 𝑞 𝑠 ]𝑓 𝑥1, 𝑦1 + 1,1 + [ 1 − 𝑝 𝑓
− 1 − 𝑝𝑠 ]𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2) > 0
(𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠)[𝑓(𝑥1 + 1, 𝑦1, 1) − 𝑓 𝑥1, 𝑦1 + 1,1 ] + 𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠 [𝑓 𝑥1, 𝑦1 + 1,1 − 𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2)]
> 0
Untuk Bola 1 : Cepat, Bola 2 : Cepat
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝 𝑠 𝑞 𝑠
> 1
Untuk Bola 1 : Cepat, Bola 2 : Lambat
1 >
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝 𝑠 𝑞 𝑠
> 1 + (𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠)
Untuk Bola 1 : Lambat, Bola 2 : Lambat
1 + 𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠 >
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝𝑠 𝑞 𝑠
𝑝 𝑓 < 𝑝𝑠
𝑞 𝑓 > 𝑞 𝑠
Dimana :
◦ 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 dan 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 = probabilitas pukulan jatuh pada kotak lawan dan
memenangkan nilai.
◦ 𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠 = probabilitas dengan servis cepat dikurangi dengan probabilitas
servis lambat
◦ 𝑝 𝑓(1 − 𝑞 𝑓) dan 𝑝𝑠(1 − 𝑞 𝑠) = probabilitas pukulan jatuh pada kotak lawan dan
tidak memenangkan nilai.
◦ 1 − 𝑝 𝑓 dan 1 − 𝑝𝑠 = probabilitas pukulan jatuh tidak pada kotak lawan dan
melakukan serve dengan bola kedua

10. 𝑥2 = nilai pemain 1
𝑦2 = nilai pemain 2 (lawan)
Mencari probabilitas kemenangan pemain dengan menggunakan bola kedua
𝑓 𝑥2, 𝑦2, 2 = max [𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 + 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 𝑓 𝑥2 + 1, 𝑦2, 1 + 1 − 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 𝑓 𝑥2, 𝑦2 + 1,1 ]
𝑓 𝑥2, 𝑦2, 2 = max [𝑓 𝑥1, 𝑦1, 1 + 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 𝑓 𝑥2 + 1, 𝑦2, 1 + 1 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 𝑓 𝑥2, 𝑦2 + 1,1 ]
Dimana :
𝑝 𝑓 = probabilitas servis cepat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑞 𝑓 = nilai dari servis cepat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑝𝑠 = probabilitas servis lambat yang mendarat pada kotak lawan (in)
𝑞 𝑠 = nilai dari servis lambat yang mendarat pada kotak lawan (in)

11. Untuk Bola kedua, direkomendasikan untuk memberikan servis
cepat dibandingkan servis lambat jika dan hanya jika :
(𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠)𝑓(𝑥 + 1, 𝑦, 1) + [ 1 − 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − (1 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠)]𝑓(𝑥2, 𝑦2, 2) > 0
(𝑝 𝑓 𝑞𝑠 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠)𝑓(𝑥2 + 1, 𝑦2, 1) − 𝑓(𝑥2, 𝑦2 + 1,1) > 0
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 > 0
Untuk Bola 1 : Cepat, Bola 2 : Cepat
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝 𝑠 𝑞 𝑠
> 1
Untuk Bola 1 : Cepat, Bola 2 : Lambat
1 >
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝 𝑠 𝑞 𝑠
> 1 + (𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠)
Untuk Bola 1 : Lambat, Bola 2 : Lambat
1 + 𝑝 𝑓 − 𝑝𝑠 >
𝑝 𝑓 𝑞 𝑓
𝑝𝑠 𝑞 𝑠
𝑝 𝑓 < 𝑝𝑠
𝑞 𝑓 > 𝑞 𝑠
Dimana :
◦ 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 dan 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 = probabilitas pukulan jatuh pada kotak lawan
dan memenangkan nilai.
◦ 1 − 𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 dan 1 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠 = probabilitas pukulan jatuh pada
kotak lawan dan tidak memenangkan nilai.

12.  Setelah dilakukan mapping dapat
ditemukan bahwa terdapat 36 status
kondisi point dari kedua pemain,
dengan memasukkan semua
probabilitas dengan menggunakan 2
bola.
 Kemungkinan menang untuk pemain
pertama muncul sebanyak 3 kali (ket :
lingkaran warna hijau).
 Kemungkinan menang untuk pemain
kedua muncul sebanyak 3 kali (ket :
lingkaran warna biru).
 Kemungkinan untuk tambahan game
(deuce) muncul sebanyak 3 kali (ket :
lingkaran warna merah).
 Kemungkinan untuk situasi loop yg
tidak diinginkan muncul sebanyak 2
kali pada 6 titik, yaitu 221-321-322
dan 221-231-232.
 Untuk mencari keputusan optimal
dapat dicari 6 kemungkinan dalam
looping dpt menggunakan dengan
metode Approximation of Policy Space
dan dihitung 28 kemungkinan dpt
menggunakan dengan metode
Computation for Directed States.

13. ◦ Jika (𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠) > 0, maka sebaiknya bola pertama dan kedua
dilakukan servis cepat daripada servis lambat.
◦ Jika(𝑝 𝑓 𝑞 𝑓 − 𝑝𝑠 𝑞 𝑠) < 0, maka sebaiknya bola pertama dilakukan servis
cepat dan bola kedua dilakukan servis lambat.