1. PARTE I
Calcular las siguientes integrales indefinidas utilizando los teoremas estudiados en clase.
5) න
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 3 7
𝑑𝑥
Solución:
න
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 3 7
𝑑𝑥
𝑢
𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
= 𝑥 + 1 𝑑𝑥
Reescribimos la integral.
= න
1
𝑢7
𝑑𝑢
2
න
1
𝑥2 + 2𝑥 + 3 7
(𝑥 + 1)𝑑𝑥
=
1
2
න 𝑢−7
𝑑𝑢
=
1
2
𝑢−6
−6
+ 𝐶
= −
1
12𝑢6
+ 𝐶
= −
1
12 𝑥2 + 2𝑥 + 3 6
+ 𝐶
∴ න
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 3 7
𝑑𝑥
Derivar u
2. 8) න
5 − 4𝑥2
3 + 2𝑥
𝑑𝑥
Solución:
Como el grado de la variable x del numerador es mayor que el del denominador, primero
debemos de realizar esa división
−4𝑥2 + 0𝑥 + 5 2𝑥 + 3
−2𝑥
4𝑥2 + 6𝑥
6𝑥 + 5
+ 3
−6𝑥 − 9
− 4
5 − 4𝑥2 = (2𝑥 + 3) −2𝑥 + 3 − 4
La integral nos queda de la siguiente manera:
න
2𝑥 + 3 3 − 2𝑥 − 4
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
න
5 − 4𝑥2
3 + 2𝑥
𝑑𝑥 =
3. න
2𝑥 + 3 3 − 2𝑥 − 4
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 = න
2𝑥 + 3 3 − 2𝑥
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 − න
4
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
=
=
= න(3 − 2𝑥) 𝑑𝑥
න 3 𝑑𝑥
− 4 න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
− න 2𝑥 𝑑𝑥 − 4 න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
3 න 𝑑𝑥 −2 න 𝑥 𝑑𝑥 − 4 න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
𝑢 = 2𝑥 + 3
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥
=
= 3(𝑥) −2
𝑥2
2
− 4 න
1
𝑢
𝑑𝑢
2
3𝑥 − 𝑥2
−
4
2
ln 𝑢 + 𝐶
= 3𝑥 − 𝑥2 −2 ln 2𝑥 + 3 + 𝐶
∴ න
5 − 4𝑥2
3 + 2𝑥
𝑑𝑥
4. 12) න 𝑥 ln 5𝑥 𝑑𝑥
Solución:
න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢 I L A T E
𝑢 = ln 5𝑥
𝑑𝑢 =
1
5𝑥
5 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥
න 𝑑𝑣 = න 𝑥𝑑𝑥
𝑣 =
𝑥2
2
න ln 5𝑥 𝑥𝑑𝑥 = ln 5𝑥
𝑥2
2
− න
𝑥2
2
1
𝑥
𝑑𝑥
න ln 5𝑥 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 ln 5𝑥
2
−
1
2
න 𝑥 𝑑𝑥
න ln 5𝑥 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 ln 5𝑥
2
−
1
2
𝑥2
2
+ 𝐶
න ln 5𝑥 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
ln 5𝑥
2
−
𝑥2
4
+ 𝐶
5. 17) න
𝑡 𝑑𝑡
5𝑡 + 3
න 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣𝑑𝑢 I L A T E
Solución:
𝑢 = 𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡
𝑣 = න 𝑢−
1
2
𝑑𝑢
5
න
𝑡 𝑑𝑡
5𝑡 + 3
1
2
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2 𝑑𝑡
න 𝑑𝑣 = න 5𝑡 + 3 −
1
2 𝑑𝑡 𝑢 = 5𝑡 + 3
𝑑𝑢 = 5𝑑𝑡
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑡
𝑣 =
1
5
න 𝑢−
1
2 𝑑𝑢
𝑣 =
1
5
𝑢
1
2
1
2
→ 𝑣 =
2
5
5𝑡 + 3
1
2
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 = 𝑡
2
5
5𝑡 + 3
1
2 − න
2
5
5𝑡 + 3
1
2𝑑𝑡
6. න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 = 𝑡
2
5
5𝑡 + 3
1
2 − න
2
5
5𝑡 + 3
1
2𝑑𝑡
=
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
න 5𝑡 + 3
1
2𝑑𝑡 𝑛 = 5𝑡 + 3
𝑑𝑛 = 5𝑑𝑡
𝑑𝑛
5
= 𝑑𝑡
=
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
න 𝑛
1
2
𝑑𝑛
5
=
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
1
5
න 𝑛
1
2 𝑑𝑛
=
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
1
5
𝑛
3
2
3
2
+ 𝐶
=
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
2
15
5𝑡 + 3
3
2 + 𝐶
7. න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 =
2
5
𝑡 5𝑡 + 3
1
2 −
2
5
2
15
5𝑡 + 3
3
2 + 𝐶
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 =
2
5
5𝑡 + 3
1
2 𝑡 −
2
15
5𝑡 + 3 + 𝐶
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 =
2
5
5𝑡 + 3
1
2
15𝑡 − 2(5𝑡 + 3
15
+ 𝐶
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 =
2
5
5𝑡 + 3
1
2
15𝑡 − 10𝑡 − 6
15
+ 𝐶
න 𝑡 5𝑡 + 3 −
1
2𝑑𝑡 =
2
75
5𝑡 + 3 5𝑡 − 6 + 𝐶
න
𝑡 𝑑𝑡
5𝑡 + 3
𝑑𝑡 =
2(5𝑡 − 6) 5𝑡 + 3
75
+ 𝐶
