1. PERAMALAN
Materi :
1. Metode sederhana
2. Metode rata-rata
3. Metode pemulusan eksponensial
4. Teknik regresi sederhana dan berganda
5. Analisis runtun waktu : AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA dll
Prediksi jarang tepat oleh karena itu hanya digunakan untuk memperkecil kesalahan yang ada.
Peramalan  model matematika + pertimbangan-pertimbangan (judgement yang masuk akal)
Peramalan dibutuhkan dalam bidang : Keuangan, Pemasaran, SDM, Produksi
Tiga unsur pokok yang terkait dengan masalah peramalan :
1. Waktu  masa depan
2. Ketidakpastian
3. Analisis Statistika
Peramalan  salah satu aspek dari perencanaan
Macam-macam peramalan
1. Jangka panjang dan pendek
2. Mikro dan Makro
3. Kuantitatif dan Kualitatif (judgement)
DATA
1. Jenis : Kualitatif (nominal dan ordinal) dan Kuantitatif (interval dan rasio)
Nominal  persetujuan : ya  1 atau tidak  0
 warna kesukaan : merah (0), kuning (1), hijau (2)
 pengkodean boleh ditukar-tukar
Ordinal  jenjang pendidikan : SD (0), SMP (1), SMA (2) , PT (3)
 pengkodean tidak boleh ditukar-tukar
Interval  suhu udara
 dapat digunakan operasi ”+” dan ”−”
Rasio  jarak, berat
 dapat digunakan operasi ”+”, ”−” , ”×” dan ”/”
2. Sifat : diskrit (bilangan bulat) dan kontinu (bilangan riil)
3. Sumber : Intern dan Extern (Primer dan Sekunder(: pribadi dan umum))
Teknik Peramalan
1. Kualitatif : Judgement dan intuisi
2. Kuantitatif : deterministik dan probalistik
1

2. DATA RUNTUN WAKTU
dikatakan Stasioner jika memiliki rata-rata (mean) dan varians yang konstan sepanjang waktu.
 Metode :
1. Model sederhana
2. metode rata-rata sederhana
3. rata-rata bergerak
4. pemulusan eksponensial sederhana
5. metode Box-Jenkins
Trend  data yang menunjukkan pertumbuhan (penurunan) dalam periode waktu yang panjang.
 Metode :
1. Rata-rata bergerak linier
2. pemulusan eksponensial linier dari Brown
3. pemulusan eksponensial linier dari Holt
4. pemulusan eksponensial kuadrat dari Brown
5. Regresi liner sederhana
6. Model Gompertz
7. Kurva pertumbuhan
8. Model-model eksponensial
Musiman  data yang mempunyai pola perubahan yangg berulang secara tahunan (periodik).
 Metode :
1. dekomposisi klasik
2. Cencus II
3. pemulusan eksponensial dari Winter
4. regresi linier berganda runtun waktu
5. metode Box-Jenkins
Siklis  data yang berfluktuasi seperti gelombang di sekitar garis trend
 Metode :
1. dekomposisi klasik
2. model-model ekonometrik
3. regresi linier berganda
4. metode Box-Jenkins
PENGUKURAN KESALAHAN PERAMALAN
Yt : nilai data runtun waktu pada periode t
ˆ
Yt : nilai peramalan dari Yt
ˆ
e = Y − Y : residual atau error atau kesalahan peramalan
t t t
n n
1. Mean absolute deviation (MAD) : ∑Y t
ˆ
− Yt ∑e t
MAD = t =1
= t =1
n n
∑ (Y ) ∑e
n n
2
ˆ
− Yt
2
t t
2. Mean squared error (MSE) :
MSE = t =1
= t =1
n n
n ˆ
Yt − Yt n
et
3. Mean absolute percentage error (MAPE) : ∑
t =1 Yt
∑Y
t =1
MAPE = = t
n n
n ˆ
 Yt − Yt  n
e 
4. Mean percentage error (MPE) : ∑ Y 
t =1 

 ∑  Yt
 

MPE =
t  =
t =1  t 
n n
2

3. Ramalan | e t | / Yt e t / Yt
t Yt ˆ et | et | et2
( Yt =Yt-1) (%) (%)
1 Y1
2 Y2 Y1 Y2 − Y 1
3 Y3 Y2
4 Y4 Y3
5 Y5 Y4
6 Y6 Y5
7 Y7 Y6
8 Y8 Y7
9 Y9 Y8
ne =
MAD = ….. MAPE = …..
MSE = ….. MPE = …..
jlh mobil yg | et | / Yt
t Ramalan (Yt) et | et | e t2 et / Yt (%)
diservis (Yt) (%)
1 58
2 54 58 -4 4 16 7.4% -7.4%
3 60 54 6 6 36 10.0% 10.0%
4 55 60
5 62 55
6 62 62
7 65 62
8 63 65
9 70 63
ne = 8
MAD = MAPE =
MSE = MPE =
3

4. LANGKAH PERAMALAN
Anda di sini
Data masa lalu t Periode yang diramalkan
--o----------o-----------o-------------o-------------o-----------o-----------o---
Yt-3 Yt-2 Yt-1 Yt Yt+1 Yt+2 Yt+3
Data yang terbaru
1. Metode Sederhana (naïve model)
ˆ
a) Yt +1 = Yt ˆ
dengan Yt +1 : ramalan yang dibuat pada waktu t untuk memperkirakan
(meramalkan) nilai Y pada saat t+1
t Yt Yˆ et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
t +1
1 Y1
2 Y2 Y1 ˆ
Y2 - Y2 = Y2 - Y1
3 Y3 Y2
MSE MAD MAPE MPE
b) ˆ
Yt +1 = Yt + (Yt − Yt −1 ) untuk data trend
t Yt Yt-1 Yt-Yt-1 ˆ
Yt +1 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
1 Y1
2 Y2 Y1 Y2 - Y1
3 Y3 Y2 Y3 – Y2
MSE MAD MAPE MPE
ˆ  Y 
c) Yt +1 = Yt  t 
Y 
 t −1 
t Yt Yt-1 Yt /Yt-1 ˆ
Yt +1 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
1 Y1
2 Y2 Y1 Y2 /Y1
3 Y3 Y2 Y3 /Y2
MSE MAD MAPE MPE
d) ˆ
Yt +1 = Yt −3 untuk data musiman
t Y t Y Y
t-3
ˆ et e t2 |et| |et|/Yt et/Yt
t +1
1 Y1 -
2 Y2 -
3 Y3 -
4 Y4 Y1
5 Y5 Y2
MSE MAD MAPE MPE
Secara umum untuk periode musiman = m periode
Maka rumus untuk point d) berubah menjadi ˆ
Yt +1 = Yt −m+1
4

5. e) ˆ ( Y − Yt −1 ) + ( Yt −1 − Yt −2 ) + ... + ( Yt −3 − Yt −4 ) untuk data musiman dan trend
Yt +1 = Yt −3 + t
4
Jlhan/ ˆ
t Yt Yt-1 Yt-2 Yt-3 Yt-4 Yt-Yt-1 Yt-1-Yt-2 Yt-2-Yt-3 Yt-3-Yt-4 Jlhan
4 Yt +1 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
1 Y1
2 Y2 Y1
3 Y3 Y2 Y1
4 Y4 Y3 Y2 Y1
5 Y5 Y4 Y3 Y2 Y1 Y5-Y4 Y4-Y3 Y3-Y2 Y2-Y1
6 Y6 Y5 Y4 Y3 Y2
Catatan : poin d) dan e) digunakan untuk 4 periode MSE MAD MAPE MPE
Secara umum untuk periode musiman = m periode
maka rumus untuk point e) berubah menjadi
ˆ ( Y − Y ) + ( Yt −1 − Yt − 2 ) + ... + ( Yt − m +1 − Yt − m )
Yt +1 = Yt − m +1 + t t −1
m
Penjualan Toko sepatu KASIGI
jlh penjualan
Tahun Kuartal t
sepatu (Yt)
1987 1 1 500
2 2 350
3 3 250
4 4 400
1988 1 5 450 Penjualan Toko Sepatu Kasigi
2 6 350
3 7 200
4 8 300
1989 1
2
9
10
350
200
1000
3
4
11
12
150
400
800
1990 1 13 550
2 14 350 600
3 15 250 penjualan sepatu
4 16 550 400
1991 1 17 550
200
jlh penjualan
2 18 400
3 19 350
4 20 600 0
1992 1 21 750
2 22 500 1 3 5 7 9 111315 1719 21 23 2527
3 23 400
4 24 650
1993 1 25 850 time
2 26 600
3 27 450
4 28 700
5

6. 2. Metode rata-rata sederhana  data stasioner
t
∑Y i
ˆ
Yt +1 = Y = i =1
t
example : (data Kasigi)
untuk t=1 (kuartal pertama tahun 1987)
1
∑Y i ˆ
dan e2 = Y2 − Y2 = 350 − 500 = −150
ˆ ˆ
Y1+1 = Y2 = i =1
= Y1 = 500
1
2
untuk t=2  ˆ ∑Y i
500 + 350 850 dan
ˆ
Y2+1 = Y3 = i =1
= = = 425
2 2 2
ˆ
e3 = Y3 − Y3 = 250 − 425 = −175
dan seterusnya
Ramalan untuk kuartal pertama 1993
24
∑Y i
9.800 ˆ
dan e25 = Y25 − Y25 = ... ?
ˆ ˆ
Y24+1 = Y25 = i =1
= = 408,33
24 24
ˆ
Y25+1 ˆ
= Y26 = ... ?
t Yt Jumlah kumulatif ˆ
Ramalan ( Yt +1 ) et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
1 Y1 = Y1
2 Y2 = Y1+Y2
3 Y3
4 Y4
5 Y5
MSE MAD MAPE MPE
3. Metode rata-rata bergerak  data stasioner
 Sering digunakan untuk data kuartalan atau bulanan
ˆ Yt + Yt −1 + ... + Yt −n+1
M t = Yt +1 =
n
n : banyaknya data dalam rata-rata bergerak  ditentukan dengan cara
melihat grafik datanya
Yt : nilai aktual pada periode t
ˆ
Y : nilai ramalan periode berikutnya
t +1
M t : rata-rata bergerak pada periode t
example : (data Kasigi)  merupakan data kuartalan sehingga n = 4
untuk t=1
untuk t=2 tidak dapat dihitung sehingga untuk t=1,2 dan 3 tidak masuk hitungan
untuk t=3
ˆ Y + Y + Y2 + Y1 400 + 250 + 350 + 500 1500
untuk t=4  M 4 = Y4+1 = 4 3 = = = 375
4 4 4
ˆ
dan e5 = Y5 − Y5 = 450 − 375 = 75
ˆ Y + Y4 + Y3 + Y2 450 + 400 + 250 + 350 1450
untuk t=5  M 5 = Y5+1 = 5 = = = 362.5
4 4 4
6

7. ˆ
dan e5 = Y5 − Y5 = 350 − 362.5 = -12.5
dengan cara yang sama dapat dilakukan untuk data seterusnya
t Yt Yt-1 Yt-2 Y t-3
Jumlah ˆ
Yt +1 te e t
2
|et| |et|/Yt et/Yt
4-kuartalan
1 Y1
2 Y2 Y1
3 Y3 Y2 Y1
4 Y4 Y3 Y2 Y1
5 Y5 Y4 Y3 Y2
6 Y6 Y5 Y4 Y3
MSE MAD MAPE MPE
Tergantung persoalan Jika 3-mg-an ???
7

8. 4. Metode rata-rata bergerak Ganda  data Trend Linier
ˆ Y + Yt −1 + ... + Yt −n+1
M t = Yt +1 = t at = 2 M t − M t′ 
n  ˆ
2 Y = at + (bt × p )
M t + M t −1 + ... + M t −n+1 bt = ( M t − M t′ )  t + p

M t′ = n 
n
p : banyaknya periode ke depan yang akan diramalkan
n : banyaknya periode dalam rata-rata bergerak
untuk n =3
t = 1  M1 =( Y1 + Y1-1 + Y1-2 ) =( Y1 + Y0 + Y-1 )  tidak mungkin
t = 2  M2 =( Y2 + Y2-1 + Y2-2 ) =( Y2 + Y1 + Y0 )  tidak mungkin
t = 3  M3 =( Y3 + Y3-1 + Y3-2 ) =( Y3 + Y2 + Y1 )
t = 4  M4 =( Y4 + Y3 + Y2 )
Ramalan
Jumlah Yt Jumlah Mt
t Yt Mt Mt' at bt (Yt+p=at +p* bt) et e t2 |et| |et|/Yt et/Yt
3-mingguan 3-mingguan
--> p=2
1 654
2 658
3 665 1977 659
4 672 1995 665
5 673 2010 670 1994 664.7 675.3 3.56
6 671 2016 672 2007 669.0 675 2.00
7 693 2037 679 2021 673.7 684.3 3.56 682.44 10.56 111.4 10.6 0.02 0.02
8 694 2058 686 2037 679.0 693 4.67 679.00 15.00 225 15 0.02 0.02
9 701
10 703
11 702
12 710
13 712
14 711
15 728
MSE MAD MAPE MPE
Data penyewaan mingguan di Palwa Video Tara
jlh video yg
t
disewa(Yt)
1 654 Penyew aan m ingguan di Palw a Video Tara
2 658
3 665 740
4 672
Jlh video yg disewa
720
5 673 700
6 671 680 persew aan video
7 693 660
8 694 640
9 701 620
10 703 600
11 702 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 710 time
13 712
14 711
15 728
5. Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal (Exponential Smoothing)  Data Stasioner
8

9. Untuk 0 < α < 1  ( Ramalan baru ) = α ( data baru ) + (1 − α )( ramalan yang lama )
ˆ ˆ ˆ ˆ
atau Y = αY + (1 − α )Y atau Y = Y + α (Y − Y ) = Y + α eˆ ˆ
t +1 t t t +1 t t t t t
Catatan :
1. Nilai α (konstanta pemulusan) diestimasi degan menggunakan prosedur iterasi yang
meminimkan mean square error (MSE)
ˆ ˆ
2. Nilai awal Y1  a. Y1 = Y1
n
 b. ˆ ∑Y t
Rata-rata n data pertama (diambil data ke-1 s.d. ke-n
Y1 = Y = t =1
n
kemudian dihitung nilai rata-rata-nya)
Periode α = 0.1 α = 0.6
Waktu Penghitungan Bobot Penghitungan Bobot
T 0.100 0.600
t-1 0.9×0.1 0.090 0.4×0.6 0.24
t-2 0.9×0.9×0.1 0.081 0.4×0.4×0.6 0.096
t-3 (0.9)3 ×0.1 0.073 (0.4) ×0.6
3
0.038
t-4 (0.9)4 ×0.1 0.066 (0.4) ×0.6
4
0.015
lainnya 0.590 0.011
1 1
Example : (data Kasigi)
ˆ
Pilih konstanta pemulusan α = 0.1 sedangkan untuk Y1 = Y1 = 500
ˆ ˆ ˆ
t=1  Y2 = 0.1Y1+ (1-0.1) Y1 = (0.1)(500)+(0.9)(500) = 500  e2= Y2− Y2 =350−500=−150
ˆ ˆ ˆ
t=2  Y = 0.1Y2+ (1-0.1) Y = (0.1)(350)+(0.9)(500) = 485  e3= Y3− Y =250−485=−235
3 2 3
ˆ ˆ ˆ
t=3  Y4 = 0.1Y3+ (1-0.1) Y3 = (0.1)(250)+(0.9)(485) = 462  e4= Y4− Y4 =400−462=−62
t Y αY
t (1−α) Y
t
ˆ ˆ
Y (α=0.34) e e |e | t|e |/Y e /Y t
2
t t t t t
t t
initial value 500
1 500 50 450.0
2 350 35 450.0 500.0 150.0 22500.0 22500.0 64.3 0.4
3 250 25 436.5 485.0 235.0 55225.0 55225.0 220.9 0.9
4 400 40 415.4 461.5 61.5 3782.3 3782.3 9.5 0.2
5 450 45 409.8 455.4 5.4 28.6 28.6 0.1 0.0
6 350 35 409.3 454.8 104.8 10986.2 10986.2 31.4 0.3
7 200 20 399.9 444.3 244.3 59698.9 59698.9 298.5 1.2
8 300 30 377.9 419.9 119.9 14376.0 14376.0 47.9 0.4
9 350
10 200
11 150
12 400
13 550
14 350
15 250
16 550
17 550
18 400
19 350
20 600
MSE MAD MAPE MPE
6. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda (Double Exponential Smoothing)  Data Trend linier
 Metode Brown
9

10. At : nilai Yt yang dimuluskan secara eksponensial pada saat t
At′ : nilai Yt yang dimuluskan secara eksponensial ganda pada saat t
ˆ ˆ
sehingga Yt +1 = αYt + (1 − α )Yt (Pemulusan Eksponensial tunggal)
dapat dituliskan sebagai At = αYt + (1 − α ) At −1
dan untuk Pemulusan Eksponensial ganda : At′ = αAt + (1 − α ) At′−1
titik potong  at = 2 At − At′
α
slope  bt = ( At − At′ )
1−α
ˆ
Peramalan pada periode p yang akan datang adalah : Yt + p = at + bt × p
Keterangan : α  konstanta pemulusan
Yt  nilai Y aktual pada periode t
p  banyaknya periode ke depan yang akan diramalkan
Example : (data video)
′
Pilih konstanta pemulusan α = 0.4, p = 2 dan A0 = Y1 = 654 serta A0 = Y1
t=1  A1= αY1 +(1−α) A1-1 =(0.4)(654)+(1−0.4)(654)=654
′
A1′ = α A1 +(1−α) A0 =(0.4)(654)+(1−0.4)(654)=654
a1 = 2A1− A1′ =2×654−654=654
0.4
b1 = ( A1 − A1′ ) = 0.4 (654 − 654) = 0
1 − 0.4 0.6
ˆ ˆ
Y1+ 2 = a1 + b1 × 2 = 654 + 0 × 2 = 654  Y3 = 654  e1 dan e2 tidak masuk perhitungan
ˆ
 e3= Y3− Y =665−654=11
3
t=2  A2= αY2 +(1−α) A2-1 =(0.4)(658)+(1−0.4)(654)=263.2+392.4=655.6
A2 = α A2 +(1−α) A1′ =(0.4)(655.6)+(1−0.4)(654)=654.64
′
′
a2 = 2A2− A2 =2×655.6−654.64=656.56
0.4
b2 = ( A2 − A2 ) = 0.4 (655.6−654.64)=0.24
′
1 − 0.4 0.6
ˆ ˆ
Y2+ 2 = a 2 + b2 × 2 = 656.56 + 0.24×2=657.04  Y4 =657.04
ˆ
 e4= Y4− Y =672−657.04 =14.96
4
At (α=0.4) Alt Yt(hat)
t Yt α Yt (1−α) At-1 α At (1−α) A't-1 At -Alt at =2*At -A't bt et
654 654 p=2
1 654 261.6 392.4 654.0 261.6 392.4 654.0 0 654.0 0
2 658 263.2 392.4 655.6 262.2 392.4 654.6 0.960 656.5 0.24
3 665 266 393.3 659.3 263.7 392.7 656.5 2.832 662.1 0.71 654.0 11.00
4 672 268.8 395.6 664.4 265.7 393.9 659.6 4.733 669.1 1.18 657.0 14.96
10

11. Untuk menentukan nilai awal slope trend b0 dan titik potong a0 dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil (least square methods)
untuk data video  a0 = 650.3 dan b0 = 4.9
sehingga
1−α
A0 = a0 − b0 .............1)
α
1−α
′
A0 = a0 − 2 × b0 .............2)
α
1 − 0.4
1
)  A0 = 650.3 − × 4.9 = 642.9
0.4
1 − 0.4
2 ′
)  A0 = 650.3 − 2 × × 4.9 = 635.6
0..4
dan
A1= αY1 +(1−α) A0 =(0.4)(654)+(1−0.4)(642.9)=647.3
′
A1′ = α A1 +(1−α) A0 =(0.4)(647.3)+(1−0.4)( 635.6)=640.3
a1 = 2A1− A1′ =2×647.3−640.3=654.3
0.4
b1 = ( A1 − A1′ ) = 0.4 (647.3 − 640.3) =4.7
1 − 0.4 0.6
ˆ
p=1  Y1+1 = a1 − b1 × 1 = 654.3 − 4.7 × 1 = 659
At Alt Yt(hat)
(1−α) (α=0.4) (1−α) at =
t Yt α Yt α At At -Alt 2*At -A't
bt et et2 |et| |et|/Yt et/Yt
At-1 A't-1 …. p=2
……..
65
1 4
65
2 8
66
3 5
67
4 2
67
5 3
67
6 1
69
7 3
69
8 4
70
9 1
70
10 3
70
11 2
71
12 0
71
13 2
71
14 1
72
15 8
MSE MAD MAPE MPE
11

12. 7. Metode Pemulusan Eksponensial untuk data Trend  Metode dua parameter Holt
a) Rangkaian pemulusan secara eksponensial  At = α Yt + (1 − α )( At −1 + Tt −1 )
b) Estimasi trend  Tt = β ( At − At −1 ) + (1 − β ) Tt −1
c) Ramalan pada periode p  Y ˆ = A +T × p
t+ p t t
dengan :
At : nilai baru yang telah dimuluskan Tt : estimasi trend
α : konstanta pemulusan (0 <α< 1) p : periode yang diramalkan
Yt : data aktual pada periode t ˆ
Yt + p : nilai ramalan pada periode p
β : konstanta pemulusan untuk estimasi trend
(0 <β< 1)
Example : (data kasigi)
α =0.3 dan β=0.1 ; A1 = Y1 ; T1 = 0 ; p = 3
t=1
A1 = 500
T1 = 0
ˆ
Y1+3 = A1 + T1 × 3 = 500 + 0 × 3 = 500
ˆ
e4 = Y − Y =400 – 500= –100
4 4
t=2
A2 = α Y2 + (1 − α )( A2−1 + T2−1 ) =0.3×350+(1-0.3) ×(500+0) =105+350=455
T2 = β ( A2 − A2−1 ) + (1 − β ) T2−1 = 0.1×(455-500)+(1-0.1)×0= – 4.5
ˆ
Y = A + T × 3 = 455 + (–4.5) × 3 = 441.5
2+3 2 2
ˆ
e5 = Y5 − Y5 = 450 – 441.5 = 8.5
(1-α)
At Tt ˆ
Yt
t Yt α Yt At-1 + Tt-1 (α=0.3) At - At-1 β(At - At-1) (1−β)Tt-1 (β=0.1) et
[At-1 + Tt-1] 0.3 0.1 p=3
1 500 500 0
2 350 105 500.00 350.0 455.00 -45.00 -4.50 0.00 -4.50
3 250 75 450.50 315.4 390.35 -64.65 -6.47 -4.05 -10.52
4 400 120 379.84 265.9 385.88 -4.47 -0.45 -9.46 -9.91 500.00 -100.00
5 450 135 375.97 263.2 398.18 12.30 1.23 -8.92 -7.69 441.50 8.50
6 350 105 390.49 273.3 378.34 -19.84 -1.98 -6.92 -8.90 358.81 -8.80
7 200 60 369.44 258.6 318.61 -59.74 -5.97 -8.01 -13.99 356.15 -156.15
8 300 90 304.62 213.2 303.23 -15.37 -1.54 -12.59 -14.13 375.11 -75.11
9 350 105 289.11 202.4 307.38 4.14 0.41 -12.71 -12.30 351.63 -1.63
10 200 60 295.08 206.6 266.55 -40.82 -4.08 -11.07 -15.15 276.65 -76.65
11 150
12 400
13 550
14 350
15 250
16 550
17 550
18 400
19 350
20 600
21 750
22 500
23 400
24 650
12

13. 8. Metode Pemulusan Eksponensial untuk variasi Trend dan musiman (Metode tiga
parameter Winter)
Yt
a) Pemulusan eksponensial  At = α + (1 − α )( At −1 + Tt −1 )
St −L
b) Estimasi trend  Tt = β ( At − At −1 ) + (1 − β ) Tt −1
Yt
c) Estimasi musiman  S t = µ + (1 − µ ) S t − L
At
d) Ramalan pada periode p  Y ˆ = ( A + T × p) × S
t+ p t t t − L+ p
dengan : µ : konstanta pemulusan untuk estimasi musiman (0 <µ< 1)
St : estimasi musiman
L : panjangnya musim
ˆ
Yt + p : nilai ramalan pada periode p
Example : (data kasigi)
α =0.4 ; β=0.1 ; µ=0.3 ; p = 3 ; nilai L dapat dilihat di grafik data  L=4
t = 1  inisialisasi awal : A1 = Y1 = 500 ; T1 = 0 ; S1 = 1
ˆ ˆ
 Y1+3 = ( A1 + T1 × 3) × S1−4+3 =(500+0)×1 = 500  e4 = Y4 − Y4 = 400 – 500 = – 100
t = 2  S–2 = S1 = 1
Y
A2 = α 2 + (1 − α )( A2−1 + T2 −1 ) =0.4×(350/1)+(1– 0.4)×(500+0) =440
S 2− 4
T2 = β ( A2 − A2−1 ) + (1 − β ) T2−1 = 0.1×(440– 500)+(1– 0.1)×0= – 6
Y
S 2 = µ 2 + (1 − µ ) S 2−4 = 0.3×(350/440)+(1 – 0.3)×1 = 0.94
A2
ˆ
Y = ( A + T × 3) × S ˆ
= (440 – 6×3)×1 = 422  e5 = Y − Y = 450 – 422 = 28
2 +3 2 2 2− 4+3 5 5
ˆ
t = 3  S–1 = S1 = 1  A3 = 360.4 ; T3 = – 13.36 ; S 3 = 0.91  Y6 = 300.6  e6 = 350 – 300.6 = 49.34
ˆ
t = 4 S0= S1=1 A4 = 368.2 ; T4 = – 11.24 ; S 4 = 1.03  Y7 = 303.7  e7 = 200 – 303.7 = – 103.7
t=5 ˆ
 S1 = 1  A5 = 394.2 ; T5 = – 7.52 ; S 5 = 1.04  Y8 = 381.25  e8 = – 81.25
t=6 ˆ
 S2 = 0.94  A6 = 381.1 ; T6 = – 8.07 ; S6 = 0.93  Y9 = 372.1  e9 = – 22.1
Yt / At Tt St
St-L α* (Yt At-1 + (1-α)* (α=0.4) β* (At (1−β)* (β= 0.1 µ*
(1−µ) (µ= ˆ
Yt
t Yt At - At-1 ) Yt / At (Yt / 0.3) et
/ St-L) Tt-1 [At-1 +Tt-1] - At-1) Tt-1 *St-L
L=4 0.4 At)
0.1 0.3 p=3
1 500 500 0 1
2 350 350.0 140.0 500.0 300.0 440.0 -60.0 -6.00 0.00 -6.00 0.80 0.24 0.70 0.94
3 250 250.0 100.0 434.0 260.4 360.4 -79.6 -7.96 -5.40 -13.36 0.69 0.21 0.70 0.91
4 400 400.0 160.0 347.0 208.2 368.2 7.8 0.78 -12.02 -11.24 1.09 0.33 0.70 1.03 500.0 -100.0
5 450 450.0 180.0 357.0 214.2 394.2 26.0 2.60 -10.12 -7.52 1.14 0.34 0.70 1.04 422.0 28.00
6 350 372.9 149.2 386.7 232.0 381.2 -13.0 -1.30 -6.77 -8.07 0.92 0.28 0.66 0.93 300.6 49.34
7 200 220.2 88.1 373.1 223.8 311.9 -69.2 -6.92 -7.27 -14.19 0.64 0.19 0.64 0.83 303.7 -103.7
8 300
9 350
1
0 200
1
1 150
1
2 400
1
3 550
1
4 350
1
5 250
13

14. Yt / At Tt St
St-L α* (Yt At-1 + (1-α)* (α=0.4) β* (At (1−β)* (β= 0.1 µ*
(1−µ) (µ= ˆ
Yt
t Yt At - At-1 ) Yt / At (Yt / 0.3) et
/ St-L) Tt-1 [At-1 +Tt-1] - At-1) Tt-1 *St-L
L=4 0.4 At)
0.1 0.3 p=3
1 500 500 0 1
1
6 550
1
7 550
ANALISIS KORELASI
Hubungan antara dua peubah acak X dan Y biasanya dinamakan korelasi dan nilai
korelasinya ditunjukkan dengan koefisien korelasi yang dinotasikan dengan ρ dan nilai yang
mungkin dari koefisien korelasi terletak antara [-1,1]. Jika ρ > 0 berarti hubungan yang ada
merupakan hubungan positive dan untuk ρ < 0 mempunyai arti hubungannya negative dan ρ = 0
menunjukkan tidak adanya hubungan atau independensi antara peubah X dan Y.
Koefisien korelasi Pearson (koefisien korelasi sederhana)
Misalkan diberikan sampel acak dari n pengamatan (xi,yi), i=1,...,n untuk peubah acak X
dan Y. Sampel pengamatan tersebut digunakan untuk menentukan estimator unbiased dari
parameter µx, µy, σxy, σx dan σy yaitu x , y , Sxy, Sx dan Sy.
σ xy ∑(X
n
)(
− X Yi − Y )
ρ xy = dan diduga oleh
rxy =
S xy i =1
i
σ xσ y =
∑(X ) ∑ (Y − Y )
SxS y n
2
n
2
i −X i
i =1 i =1
digunakan untuk mengukur hubungan linier antara dua peubah acak kuantitative X dan Y.
Untuk menguji koefisien korelasinya digunakan hypothesis berikut
Ho : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0 r
dalam pengujian hypothesis tersebut diperlukan penghitungan statistik : t=
untuk r : koefisien korelasi Pearson
Sr
Sr : standar deviasi dari estimator r yang didefinisikan sebagai 1 − r2
Sr =
n−2
Dibawah H0 , statistik t berdistribusi student dengan derajat kebebasan n-2.
Keputusan H0 akan ditolak jika t ≥ t(α/2),(n-2).
[Y-mean(Y)]*
No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) (Y-mean(Y))2 (X-mean(X))2
[X-mean(X)]
1 1.30 10 -0.18 -0.22 0.032 0.05 0.040
2 2.00 6 0.52 -4.22 0.273 17.83 -2.205
3 1.70 5 0.22 -5.22 0.049 27.27 -1.160
4 1.50 12 0.02 1.78 0.000 3.16 0.040
5 1.60 10 0.12 -0.22 0.015 0.05 -0.027
6 1.20 15 -0.28 4.78 0.077 22.83 -1.327
7 1.60 5 0.12 -5.22 0.015 27.27 -0.638
8 1.40 12 -0.08 1.78 0.006 3.16 -0.138
9 1.00 17 -0.48 6.78 0.228 45.94 -3.238
13.3 92 0.696 147.56 -8.656
mean 1.48 10.22 sqrt 0.83 12.15 r= -0.854
[Y-mean(Y)]*
No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) (Y-mean(Y))2 (X-mean(X))2
[X-mean(X)]
1 10 1.30
2 6 2.00
3 5 1.70
4 12 1.50
5 10 1.60
6 15 1.20
14

15. 7 5 1.60
8 12 1.40
9 17 1.00
10 20 1.10
sqrt r=
ANALISIS REGRESI
Analisis regresi adalah suatu metode yang menggunakan metode kuadrat terkecil untuk
menguji data dan menggambarkan kesimpulan yang penuh arti tentang hubungan dependensi yang
ada antara peubah tak bebas (peubah respon, Y) dan peubah bebas (peubah prediktor, X) atau
peubah yang menerangkan variasi Y. Persamaan regresi adalah suatu persamaan yang menyatakan
hubungan antara Y dan X yang di dalam tulisan ini hanya akan dibahas untuk Y saja yang acak
sedangkan untuk X dianggap tetap atau tidak acak.
Regresi Linier Sederhana dan Berganda
Regresi linier sederhana mencakup dua peubah yaitu Y dan X sedangkan regresi linier
berganda melibatkan lebih dari dua peubah yaitu Y dan (X1, ..., Xp). Dalam model regresi linier
sederhana dan berganda diberikan beberapa asumsi yang memungkinkan model tersebut dapat
digunakan. Sehingga untuk menggunakannya asumsi yang diajukan harus dipenuhi atau dengan
kata lain harus diuji keberadaannya. Sayangnya banyak peneliti yang kadang-kadang menganggap
asumsi tersebut sudah benar dan akibatnya tidak perlu lagi diadakan pengujian. Padahal, jika
pengujian asumsi tidak dilakukan maka koefisien regresi (estimator parameter) yang diperoleh
akan tidak layak untuk dipakai, hal ini karena dengan tidak diujinya asumsi yang ada akan
menyebabkan penghitungan rumus-rumus yang digunakan untuk mendapatkan koefisien regresi
tersebut tidak bisa dipertanggung-jawabkan secara matematis.
1. Regresi Linier Sederhana
Suatu analisis regresi yang peubah tak bebas Y bergantung secara linier pada satu peubah
bebas X disebut regresi linier sederhana. Bentuk modelnya adalah Y = β0 + β1 X + ε
untuk Y adalah peubah tak bebas, ε ialah residu dan
X merupakan peubah bebas, β0 , β1 adalah parameter.
Jika diberikan n pasang pengamatan (x1,y1),..., (xn,yn) untuk yi bergantung secara linier pada xi
maka dapat diperoleh : yi = β0 + β1 xi + εi , i=1,...,n.
dengan asumsi-asumsi berikut :
(i) xi tetap (fixed). (iv) εi berdistribusi normal.
(ii) E(εiεj) = 0 untuk i≠j. (v) parameter β0 dan β1 berupa konstanta.
(iii) E(εi) = 0 dan V(εi) = σ2 untuk i=1,...,n.
Masalahnya adalah mengestimasi parameter β0 , β1 dan memilih nilai β0 , β1 sedemikian sehingga
jarak antara yi dan β0 + β1 xi mínimum. Akan digunakan metode kuadrat terkecil (least squares
method) dengan prinsip meminimkan jumlah kuadrat residu, dan menghasilkan estimator berikut
n
∑( x i − x )( yi − y )
ˆ
β1 = i =1 ˆ ˆ ˆ ˆ
dan β 0 = y − β1 x sehingga nilai y i untuk nilai xi y i = β 0 + β1 xi
ˆ ˆ
n
∑( x − x)
2
i
i =1
Data 1
[Y-mean(Y)]*
No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) [X-mean(X)]2 Y topi ei (ei)2
[X-mean(X)]
1 1.30 10 -0.18 -0.22 0.040 0.049 1.491 -0.191 0.03641
2 2.00 6 0.52 -4.22 -2.205 17.827 1.725 0.275 0.075377
3 1.70 5 0.22 -5.22 -1.160 27.272 1.784 -0.084 0.007075
4 1.50 12 0.02 1.78 0.040 3.160 1.373 0.127 0.016004
5 1.60 10 0.12 -0.22 -0.027 0.049 1.491 0.109 0.011922
6 1.20 15 -0.28 4.78 -1.327 22.827 1.198 0.002 6.17E-06
7 1.60 5 0.12 -5.22 -0.638 27.272 1.784 -0.184 0.033897
8 1.40 12 -0.08 1.78 -0.138 3.160 1.373 0.027 0.000703
15

16. 9 1.00 17 -0.48 6.78 -3.238 45.938 1.080 -0.080 0.006431
13.3 92 -8.656 147.556 -6.66E-16 0.187824
Mean 1.48 10.22
beta 1 = -0.059
beta 0 = 2.077
Data 2
[Y-mean(Y)]*
No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) [X-mean(X)]2 Y topi ei (ei)2
[X-mean(X)]
1 10 1.30
2 6 2.00
3 5 1.70
4 12 1.50
5 10 1.60
6 15 1.20
7 5 1.60
8 12 1.40
9 17 1.00
10 20 1.10
mean
beta 1 =
beta 0 =
Untuk mengetahui goodness of fit dari model yang diperoleh dapat dilihat dari nilai koefisien
determinasinya, dinotasikan R2 dan bernilai didalam interval [0,1] dan pada umumnya model
dikatakan baik jika R2 mendekati satu. Koefisien determinasi ini didefinisikan
n 2
JKReg ∑( y
ˆ i − y)
R =2
= i =1
n
JKT
∑( y − y)
2
i
i =1
Setelah diketahui goodness of fit model selanjutnya dilakukan uji terhadap asumsi-asumsi yang
diberikan, dalam pengujian ini dapat dibagi menjadi dua : Pertama, uji terhadap parameter dan
kedua pengujian terhadap residu.
a. Uji Parameter.
Pengujian parameter dapat dilakukan dengan bantuan tabel analisis variansi berikut ini :
db JK RK nilai F
n 2
JKReg RK reg
regresi 1 ∑ ( yi − y )
i =1
ˆ
1 RK res
2
n
JKRes
residu n-2 ∑( y − y )
i =1
ˆ i i
n−2
= S2
n 2
total n-1 ∑( y
i =1
i − y)
dengan JK adalah jumlah kuadrat
RK ialah rata-rata kuadrat
S2 merupakan estimator dari σ2
hypothesis H0 : β0 = β1 = 0 statistiknya :
H1 : β0 ≠ 0 atau β1 ≠ 0 RK reg JKReg
Fhit = =
RK res S2
16

17. keputusan untuk menolak H0 adalah jika Fhit > Fα,1,(n-2) dengan Fα,1,(n-2) adalah nilai tabel dari
distribusi F berderajat kebebasan 1 dan n-2 untuk tingkat kepercayaan α. Berikutnya jika
diinginkan maka dapat dilakukan penghitungan daerah kepercayaan 100(1-α)% dari (β0, β1)
Untuk memastikan bahwa β0 dan β1 merupakan konstanta dapat dilakukan uji individual
terhadap parameter tersebut masing-masing ujinya adalah sebagai berikut :
Uji untuk β0
hypothesis statistiknya : Keputusan :
H0 : β0=0 n tolak H0
ˆ S 2 ∑ xi2
H1 : β0≠ 0 β
t= 0 dengan Sβ 0 = n
i =1
jika t > tα/2,(n-2)
S β0
n∑ ( xi − x )
2
i =1
Uji untuk β1.
hypothesis statistiknya : Keputusan :
H0 : β1= 0 S 2 tolak H0
ˆ
β1 S β1 =
H1 : β1≠ 0 t= dengan n
∑( x − x) 2
S β1 i jika t > tα/2,(n-2)
i =1
Apabila diperlukan maka dapat dilakukan penghitungan interval kepercayaan 100(1-α)% dari
masing-masing parameter β0, β1.
b. Uji Residu.
Cakupan uji residu meliputi : Pertama, uji tidak adanya autokorelasi di dalam residu
(e1,...,en) atau E(ei ej) = 0 untuk i ≠ j dengan kata lain uji independensi (e1,...,en). Untuk menguji
ada dan tidaknya autokorelasi tersebut dapat digunakan uji Durbin-Watson. Jika didefinisikan
εi = ρ εi-1 + υi , υi  < 1 dan i=1,...,n
untuk υi IID dengan E(υi) = 0 dan V(υi) = σ2 dan ρ diestimasi dengan
n n
∑e e i i −1 ∑ (e − e i i −1 )2
r= i=2
n statistik dari uji Durbin-Watson adalah d = i=2
n untuk ei = yi − yi
ˆ
∑e
i =1
2
i ∑e
i =1
2
i
hypothesis untuk uji ini adalah :
H0 : tidak ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)
H1 : ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)
keputusan yang dapat diambil menggunakan aturan berikut ini :
untuk ρ > 0, tolak H0 jika d < dL dan terima H0 jika d > dU sedangkan untuk ρ < 0, tolak H0 jika d >
4 - dL dan terima H0 jika d < 4 - dU . Jika 4 - dU < d < 4 - dL maka tidak dapat diambil
kesimpulannya. Untuk dL dan dU adalah nilai kritis dalam tabel statistik Durbin-Watson.
Selanjutnya jika diketahui adanya autokorelasi dan diinginkan untuk memperoleh model dari data
yang telah dipunyai, maka dapat digunakan metode Prais-Winsten dengan menggunakan suatu
transformasi untuk menghilangkan autokorelasinya.
Kedua, uji kenormalan residu (e1,...,en) dan untuk mengujinya dapat digunakan uji Kolmogorov-
Smirnov atau uji dengan plot : plot P-P atau plot Q-Q. Ketiga, uji kekonstanan variansi residu atau
uji homoscedastisitas dalam residu. Dalam hal ini, plot antara ei dan yi dapat digunakan untuk
menguji homoscedastisitas tersebut.
2. Regresi Linier Berganda
17

18. Analisis regresi yang peubah tak bebasnya Y bergantung secara linier pada beberapa
peubah bebas X1,...,Xk disebut regresi linier berganda yang persamaannya diberikan dalam bentuk
berikut : Y = f(X1,...,Xk) dengan f(X1,...,Xk) adalah suatu fungsi linier dari X1,...,Xk.
Secara umum model regresi linier berganda dengan (p-1) peubah bebas dinyatakan sebagai :
p −1
yi = β 0 + ∑ β j x ji + ε i , i=1,...,n
j =1
atau dapat dinotasikan secara matriks berikut : Y = Xβ + ε
dengan Y adalah vektor n×1 pengamatan untuk peubah tak bebas
X merupakan matriks n×p yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor 1n×1 dari
peubah-peubah bebas
β ialah vektor parameter berukuiran p×1
ε menyatakan vektor residu n×1
dengan asumsi-asumsi berikut :
(i) xij tetap (fixed) untuk i=1,...,n dan j=1,...,p-1
(ii) E(εiεj) = 0 untuk i≠j
(iii) E(εi) = 0 dan V(εi) = σ2 atau E(ε'ε) = σ2 I untuk i=1,...,n
(iv) εi berdistribusi normal untuk i=1,...,n
(v) parameter β0, β1,…, βp-1 berupa konstanta
estimator parameter menggunakan metode kuadrat terkecil : β = ( X ' X ) X 'Y
−1
ˆ
Untuk mendapatkan model terbaik dalam regresi linier berganda, terdapat beberapa cara yang
dapat digunakan : Pertama, pemilihan peubah bebas yang akan dipakai dapat dilakukan dengan
menggunakan metode stepwise, metode eliminasi backward dan metode forward. Untuk
memperoleh peubah bebas yang optimal diperlukan pemakaian ketiga metode tersebut karena satu
dan lainnya mempunyai kelebihan dan kekurangan tersendiri. Kedua, koefisien determinasi R2
ˆ
JKReg β ' X 'Y − nY 2
yang didefinisikan dengan R 2 = = dapat digunakan untuk melihat goodness
JKT Y 'Y − nY 2
of fit model (kriteria koefisien determinasi R2). Ketiga, dengan kriteria R2 adjusted dan rata-rata
kuadrat kesalahan (Mean Square error) bisa digunakan pula untuk goodness of fit model. Berbeda
dengan koefisien determinasi, penambahan peubah ke dalam model belum tentu menyebabkan
naiknya nilai R2 adjusted. Dengan maximumnya kriteria R2 adjusted berarti minimumnya kriteria
rata-rata kuadrat kesalahan. Keempat, menguji adanya multikolinieritas yaitu adanya hubungan
linier antar peubah-peubah bebas. Jika ada multikolinieritas maka matriks X'X merupakan matriks
singular atau mendekati singular. Untuk mendeteksi multikolinieritas yang paling sederhana
adalah menggunakan matriks korelasi peubah-peubah bebas (dinotasikan R), bisa juga dilakukan
dengan menggunakan nilai eigen dari matriks korelasi R karena nilai rank R ditentukan oleh nilai
eigennya yang tidak sama dengan nol atau dengan menghitung perbandingan antara nilai eigen
terbesar dengan nilai eigen terkecil, jika perbandingan tersebut melebihi 1000 maka ada
multikolinieritas dan jika kurang dari 100 berarti tidak ada multikolinieritas.
Seperti halnya dalam regresi linier sederhana, setelah langkah goodness of fit model akan
dilakukan uji terhadap asumsi-asumsi yang diberikan.
a. Uji Parameter.
Dengan tabel analisis variansi di bawah ini
db JK RK nilai F
JKReg JKReg
regresi p-1 ˆ
β ' X 'Y − nY 2
p −1 JKRes
JKRes
residu n-p ˆ
Y 'Y − β 'Y 'Y = S2
n− p
total n-1 Y 'Y − nY 2
dengan JK adalah jumlah kuadrat
18

19. RK ialah rata-rata kuadrat
S2 merupakan estimator dari σ2
uji terhadap parameter β0, β1,…, βp-1 dapat dilakukan sebagai berikut :
hypothesis statistiknya : Keputusan :
H0 : βj=0 untuk j=1,...,p-1 JKReg JKReg tolak H0
F= =
H1 : paling sedikit ada satu βj ≠ 0 JKRes S2 jika F > Fα,p-1,n-p
Langkah berikutnya adalah menghitung ellipsoid kepercayaan 100(1-α)% dari β yang
berupa vektor β0, β1,…, βp-1). Sedangkan untuk uji individual terhadap parameter (koefisien
regresi) β0, β1,…, βp-1 dapat dilakukan sebagai berikut :
Hypothesis : ˆ
βj Keputusan :
H0 : βj=0 statistiknya : t= c 2 adalah elemen tolak H0
dengan jj
S 2c 2
H1 : βj≠ 0 jj jika t > tα/2,(n-p)
diagonal ke-j dari matriks C 2 = X ' X
−1
( )
Selanjutnya dapat ditentukan interval kepercayaan 100(1-α)% dari masing-masing parameter.
b. Uji Residu.
Pengujian residu di dalam regresi linier berganda pada prinsipnya sama seperti pada
pengujian yang dilakukan pada regresi linier sederhana.
OTOKORELASI
Peubah acak e (error) yang dipecah menjadi et dan et-1 untuk t = 2,3,4,…n dan korelasi antara et
dan et-1 disebut otokorelasi.
∑ (e )( )
n
∑ (e )( )
n
− e et −k − e
t − e et −1 − e t
rk = t = k +1
r1 = t =2
∑ (e )
n
2
∑ (e )
n
2 dan secara umum −e untuk : k = 2,3,4, ...
t −e t =1
t
t =1
dan
r1 : koefisien otokorelasi tingkat pertama et : observasi pada waktu t
n
et-1 : observasi pada satu periode sebelumnya
e : nilai rata-rata data = ∑e
t =1
t
n
Uji koefisien otokorelasi (secara simultan)
Hipotesis : H 0 : ρ k = 0 untuk k=1,2,3,....
H1 : ρ k ≠ 0
Keputusan :
1 1
1. tolak H0 jika rk < − z1−α × atau rk > z1−α × . Nilai rk (otokorelasi et) terletak di daerah
2 n 2 n
penolakan H0 sehingga metode peramalan yang dipakai kurang cocok/ sesuai karena rk ≠ 0 atau
tidak random (acak) artinya perlu dilakukan penggantian dengan metode peramalan yang lain.
1 1
2. Terima H0 jika − z1−α × < rk < z α × . Nilai rk terletak pada interval yang diinginkan
2 n 1−
2 n
(daerah penerimaan H0) sehingga metode peramalan yang dipakai sudah cocok/ sesuai karena rk
= 0 yang berarti error-nya random
z = z 0, 05 = z 0,975
Catatan : untuk α = 0,05 = 5 % nilai 1−α 1− = 1,96
2 2
Uji otokorelasi dengan uji Durbin-Watson
Hypothesis : statistiknya nDurbin-Watson : Keputusan :
∑ (e − et −1 )
2
t
dw = t =2
n
19
∑e t =1
2
t

20. H 0 : ρ k = 0 untuk k=1,2,3,.... terima H jika dw ≈ 2
H1 : ρ k ≠ 0 artinya tidak ada
otokorelasi dalam error
(residu) atau e random.
20