A guide to integrate the step function into Laplace transform for solving differential equations.

1. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 1
Chương 4
Biến đổi Laplace
1. Biến đổi Laplace
Xét hàm phân mảnh (liên tục từng đoạn) 𝑓(𝑡): 𝑓 𝑡 = 0
với 𝑡 < 0.
Biến đổi Laplace của 𝑓(𝑡) được định nghĩa bởi tích
phân:
𝑭 𝒔 = 𝑳 𝒇 𝒕 =
𝟎
∞
𝒇 𝒕 𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕
2. Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược của 𝐹(𝑠) được định nghĩa bởi
tích phân:
𝒇 𝒕 = 𝑳−𝟏{𝑭 𝒔 }
Mục đích: Trả lại kết quả khảo sát đặc tính động lực của
cơ hệ trong miền tần số 𝒔 về miền thời gian thực 𝒕, nhằm
thực hiện quá trình điều khiển/điều chỉnh cơ hệ.
f(t)
L-1{F(s)}
t s
F(s)
t s

2. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 2
Chương 4
Biến đổi Laplace
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân sau bằng biến đổi Laplace
𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 1.
Trong đó:
𝑓 𝑡 =
𝑡, 0 < 𝑡 < 1
0, 1 < 𝑡
Giải như thế nào?  Hàm bước Heaviside.

3. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 3
Chương 4
Biến đổi Laplace
f(t)
t
f(t)
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ:
Hàm 𝑓 𝑡 = 𝑔(𝑡) 𝐻 𝑡 − 𝑎 − 𝐻(𝑡 − 𝑏) mô tả hàm
phân mảnh sau:
𝑓 𝑡 =
0 𝑡 < 𝑎
𝑔 𝑡 𝑎 < 𝑡 < 𝑏
0 𝑡 > 𝑏
???
Hàm Heaviside step function
t
g(t)
a b
0

4. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 4
Chương 4
Biến đổi Laplace
f(t)
t
f(t)
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝑎 < 𝑡
???

5. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 5
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑓1(𝑡), 𝑡 < 𝑡0
0, 𝑡0 < 𝑡
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 𝑡0)
t
t0
0
f(t)
f1(t)

6. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 6
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
0, 𝑡 < 𝑡0
𝑓2(𝑡), 𝑡0 < 𝑡
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓2 𝑡 𝐻(𝑡 − 𝑡0)
t
t0
0
f(t)
f2(t)

7. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 7
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑓1(𝑡), 𝑡 < 𝑡0
𝑓2(𝑡), 𝑡0 < 𝑡
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 𝑡0) + 𝑓2 𝑡 𝐻(𝑡 − 𝑡0)
t
t0
0
f(t)
f1(t)
f2(t)

8. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 8
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝑎 < 𝑡
→ 𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
𝑓2 𝑡 = 𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝑎 < 𝑡
t
a
0
f(t)

9. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 9
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 = 0 𝑡 < 0
𝑓2 𝑡 = 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
𝑓3 𝑡 = 𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝑎 < 𝑡
Tại t0 = a:
𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 = 𝑡 𝑡 < 𝑎
𝑓2 𝑡 = 𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝑡 > 𝑎
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 𝑡0) + 𝑓2 𝑡 𝐻 𝑡 − 𝑡0
= 𝑡 1 − 𝐻 𝑡 − 𝑎 + 𝑎𝑒− 𝑡−𝑎
𝐻 𝑡 − 𝑎
= 𝑡 − 𝑡𝐻 𝑡 − 𝑎 + 𝑎𝑒− 𝑡−𝑎 𝐻(𝑡 − 𝑎)
t
a
0
f(t)

10. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 10
Chương 4
Biến đổi Laplace
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Ví dụ: Liên tục hóa hàm f(t) sau bằng hàm Heaviside
𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 𝑡 < 𝑎
𝑓2 𝑡 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
𝑓3 𝑡 𝑏 < 𝑡
Tại t0 = a:
𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 𝑡 < 𝑎
𝑓2 𝑡 𝑡 > 𝑎
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 𝑎) + 𝑓2 𝑡 𝐻 𝑡 − 𝑎
Tại t0 = b:
𝑓 𝑡 =
𝑓2 𝑡 𝑡 < 𝑏
𝑓3 𝑡 𝑡 > 𝑏
→ 𝑓 𝑡 = 𝑓2 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 𝑏) + 𝑓3 𝑡 𝐻 𝑡 − 𝑏
⇒ 𝒇 𝒕 = 𝒇𝟏 𝒕 𝟏 − 𝑯(𝒕 − 𝒂) + 𝒇𝟐 𝒕 𝑯 𝒕 − 𝒂 − 𝒇𝟐 𝒕 𝑯(𝒕 − 𝒃) + 𝒇𝟑 𝒕 𝑯 𝒕 − 𝒃
t
a
0
f(t)

11. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 11
Chương 4
Biến đổi Laplace
f(t)
t
f(t)
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Biến đổi Laplace:
𝑳 𝑯 𝒕 − 𝒂 =
𝒂
∞
𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕 =
𝒆−𝒂𝒔
𝒔
, 𝒔 > 𝟎
⇒ 𝑳 𝒇(𝒕 − 𝒂)𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒆−𝒂𝒔
𝑭 𝒔 , 𝒔 > 𝒂 ≥ 𝟎
Biến đổi Laplace bằng MATLAB:
H = heaviside(x);  Tìm hàm Heaviside của x
L = laplace(heaviside(x)); Tìm ảnh Laplace của
H(x)
???
Hàm Heaviside step function
t
f(t)
a b
0

12. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 12
Chương 4
Biến đổi Laplace
f(t)
t
f(t)
Định nghĩa: Hàm số được định nghĩa bởi
𝑯 𝒕 − 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 =
𝟏, 𝒕 > 𝒂
𝟎, 𝒕 < 𝒂
Vai trò:
 Liên tục hoá các hàm phân mảnh,
 Mô tả sự thay đổi, nhất là sự thay đổi đột ngột/nhảy
bậc, … Khởi động/tắt máy, Đóng/ngắt tải, …
Biến đổi Laplace:
𝑳 𝑯 𝒕 − 𝒂 =
𝒂
∞
𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕 =
𝒆−𝒂𝒔
𝒔
, 𝒔 > 𝟎
⇒ 𝑳 𝒇(𝒕 − 𝒂)𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒆−𝒂𝒔
𝑭 𝒔 , 𝒔 > 𝒂 ≥ 𝟎
Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
𝑓 𝑡 = 𝑡2 + 2 𝐻 𝑡 − 1 + 𝐻(𝑡 − 2)
???
Hàm Heaviside step function
t
f(t)
a b
0

13. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 13
Chương 4
Biến đổi Laplace
Ví dụ 2: Giải PTVP sau bằng biến đổi Laplace
𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 =
𝑡, 0 < 𝑡 < 1
0, 1 < 𝑡
Thỏa mãn điều kiện: 𝑦 0 = 𝑦′
0 = 0.

14. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 14
Chương 4
Biến đổi Laplace
Ví dụ 2: Giải PTVP sau bằng biến đổi Laplace
𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 =
𝑡, 0 < 𝑡 < 1
0, 1 < 𝑡
Thỏa mãn điều kiện: 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 0.
Bài giải:
Bước 1: Xét Vế phải:
𝑓 𝑡 =
𝑡, 0 < 𝑡 < 1
0, 1 < 𝑡
↔ 𝑓 𝑡 =
𝑓1 𝑡 = 𝑡, 0 < 𝑡 < 1
𝑓2 𝑡 = 0, 1 < 𝑡
Bước 2: Áp dụng hàm Heaviside cho vế phải, ta có:
𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 1 − 𝐻(𝑡 − 1) + 𝑓2 𝑡 𝐻 𝑡 − 1 = 𝑡 − 𝑡𝐻 𝑡 − 1
= 𝑡 − 𝑡 − 1 𝐻 𝑡 − 1 − 𝐻(𝑡 − 1)
Bước 3: Áp dụng biến đổi Laplace cho cả 2 vế và giải phương trình.
t
1
0
f(t)
1
f1(t)
f2(t)

15. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 15
Chương 4
Biến đổi Laplace
Ví dụ: Giải PTVP sau bằng biến đổi Laplace:
𝑦′′ + 4𝑦′ = cos 𝑡 − 3 + 4𝑡, 𝑦 3 = 0, 𝑦′ 3 = 7.
Bài giải:
Điều kiện đầu:
𝑦 3 = 0
𝑦′
3 = 7
⇒
𝑦 0 = ?
𝑦′
0 = ?
Đặt: 𝑥 = 𝑡 − 3 → 𝑡 = 𝑥 + 3 → 𝑦′′
(𝑥 + 3) + 4𝑦′
(𝑥 + 3) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 4(𝑥 + 3)
Mặt khác:
𝑢 𝑥 = 𝑦 𝑥 + 3 → 𝑢′ 𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 𝑦′(𝑥 + 3)
𝑢′′
𝑥 = 𝑦′′
(𝑥 + 3)
𝑢(0) = 𝑦(0 + 3) = 𝑦(3) = 0
𝑢′(0) = 𝑦′(0 + 3) = 𝑦′(3) = 7
⇒ 𝑦 =
1
2
𝑡2
−
1
4
𝑡 −
43
16
−
273
272
𝑒−4 𝑡−3
+
1
17
(4 sin 𝑡 − 3 − cos(𝑡 − 3))

16. Vietnam Maritime University
School of Mechanical Engineering
06/04/2024 16
Chương 4
Biến đổi Laplace
Đề bài: Giải PTVP sau bằng biến đổi Laplace
𝑦′′
+ 3𝑦′
+ 2𝑦 =
𝑡, 0 < 𝑡 < 2
2𝑒− 𝑡−2
, 2 < 𝑡
Thỏa mãn điều kiện: 𝑦 0 = 𝑦′
0 = 0.