Tài liệu bàn về giải tích và thống kê nhóm, với nội dung chính là hàm nhiều biến, bao gồm định nghĩa hàm số hai và ba biến, đạo hàm riêng cho các hàm này và cách tìm tập xác định. Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến các khái niệm như đường đồng mức và đồ thị của hàm số trong không gian ba chiều.

1. Giải tích và Thống kê
Nhóm 6
HÀM NHIỀU BIẾN
Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải

2. Lê Thuý Ngân Phạm Thị Huỳnh Ngân
Nguyễn Minh Đạt Thái Hồng Ngân
Phạm Minh Hoàng Nguyễn Mai Kim Ngọc
Trần Gia Lộc Nguyễn Hoàng Phúc
Nguyễn Thị Diễm Ly Lê Thị Thanh Trúc
Phan Phạm Hoàng My
Nhóm 6

3. Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Đình Trí (2012), Giáo trình Toán học cao cấp – Tập 3: Phép
tính giải tích nhiều biến số (tb. lần 9), NXB Giáo dục.
2. James Stewart (2020), Multivariable Calculus (9th ed.), Cengage.
3. Huges-Hallet (2017), Calculus – Multivariable (7th ed.), Wiley.

4. • Thể tích của hình hộp chữ nhật:
• Tốc độ phản ứng :
 
2 2
2NO O 2NO
• Phương trình sóng:
• Quần thể cân bằng di truyền 3 allele:

V abc
 
 
 
 
t x
u A π
T λ
cos2
    
   
v k
2
2
NO O
           
     
A A B B O O A B A O B O
p q r pq pr qr
2 2 2
I I I I I I 2 I I 2 I I 2 I I 1
Ví dụ mở đầu

5. Định nghĩa
• Tập D được gọi là tập xác định (domain) của f
• Tập V được gọi là tập giá trị (range) của f
• x, y là các biến độc lập (free variables)
• z là biến phụ thuộc (leading variable)
   


f D V
x y z f x y
:
, ,
Hàm số 2 biến là quy tắc tương ứng sao cho mỗi cặp chỉ xác
định duy nhất một .
 
 ,
z f x y  
x y D
,
 
 
z f x y V
,
Tập
xác định D
Tập
giá trị V

6. Định nghĩa
Hàm số 3 biến là quy tắc tương ứng sao cho mỗi bộ chỉ xác
định duy nhất một .
 
 , ,
u f x y z  
x y z D
, ,
 
 
u f x y z V
, ,
   


f D V
x y z u f x y z
:
, , , ,
Ví dụ:
   
f x y z z y xy z
  
, , ln sin
    
f x y z x y z xyz
2 2 2
, , 2
Định nghĩa

7. Định nghĩa
Định nghĩa
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
b)
 
 


x y
f x y
x
1
,
1
   
 
f x y x y x
2
, ln
Định nghĩa

8. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)  
 


x y
f x y
x
1
,
1
Định nghĩa
Hàm số xác định
Giải:
  

 


x y
x
1 0
1
Vậy TXĐ của f là phần trên nửa mặt phẳng chứa đường
thẳng x + y + 1, không lấy các điểm x = 1
Định nghĩa

9. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
b)
Định nghĩa
    
y x x y
2 2
0
Vậy TXĐ của f là vùng nằm ngoài
không tính biên parabol x = y2
Định nghĩa
   
 
f x y x y x
2
, ln
Hàm số xác định
Giải:

10. Đồ thị của hàm số 2 biến
Đồ thị của hàm số 2 biến (graph of f) là tập hợp các điểm
trong không gian Oxyz.
 
   
 

x y f x y x y D
, , , ,
 
,
f x y
Đồ thị của hàm số 2 biến

11. Đồ thị của hàm số 2 biến
Đồ thị của hàm số 2 biến
     
  x y
f x y x y e
2 2
2 2
, 3  
x y
f x y
xy
sin sin
,

12. Đường đồng mức
• Đường đồng mức (contour) của hàm số là
tập hợp các điểm , với k là
hằng số thuộc tập giá trị của hàm số f.
• Nói cách khác, đường đồng mức là hình chiếu
đứng của giao hàm số với mặt phẳng ngang z =
k lên mặt phẳng Oxy.
 
f x y
,
   
 

x y f x y k
, ,
 
f x y
,
Đường đồng mức

13. Đường đồng mức
Tập hợp các đường đồng mức trong mặt phẳng Oxy được gọi là contourmap.
Bản đồ địa hình Bản đồ đường đẳng nhiệt độ trung bình
Đường đồng mức

14. Đường đồng mức
Đường đồng mức
   
  x y
f x y xye
2 2
,

15.    
f x y z x y z
2 2 2
, ,
Đồ thị của hàm số 3 biến
• Không thể biểu diễn đồ thị của hàm số 3 biến
.
• Tuy nhiên có thể biểu diễn thành các mặt đồng mức.
• Các mặt đồng mức (contour surfaces) là tập hợp các
mặt có , với k là hằng số thuộc tập
giá trị của hàm số f.
 
f x y z
, ,
   
 

x y z f x y z k
, , , ,
Đồ thị của hàm số 3 biến

16. Một số mặt cong thường gặp (Đọc thêm)
  
x y z
a b c
2 2 2
2 2 2
1
Mặt ellipsoid  
x y
z
a b
2 2
2 2
Mặt elliptic paraboloid

17. Một số mặt cong thường gặp (Đọc thêm)
x y z
a b c
2 2 2
2 2 2
1
  
Mặt
hyperboloid
1 tầng
x y z
a b c
2 2 2
2 2 2
1
   
Mặt
hyperboloid
2 tầng
x y
z
a b
2 2
2 2
 
Mặt hyperbolic
paraboloid

18. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
Cho hàm số , đạo hàm riêng (partial derivative) của f là các hàm 2 biến fx và fy được
định nghĩa như sau:
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
 
   
 
 


x
x
f x x y f x y
f x y
x
0
, ,
, lim
 
   
 
 


y
y
f x y y f x y
f x y
y
0
, ,
, lim
 
f x y
,
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

19. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
Cho hàm số , đạo hàm riêng của f là các hàm 3 biến fx , fy và fz được định nghĩa như
sau:
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
• Đạo hàm riêng theo z:
 
f x y z
, ,
 
   
 
 


x
x
f x x y z f x y z
f x y z
x
0
, , , ,
, , lim
 
   
 
 


y
y
f x y y z f x y z
f x y z
y
0
, , , ,
, , lim
 
   
 
 


z
z
f x y z z f x y z
f x y z
z
0
, , , ,
, , lim
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

20. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
• Ký hiệu: Đạo hàm riêng còn có thể ký hiệu:
• Để tìm đạo hàm riêng theo từng biến, ta tìm đạo hàm của hàm 1 biến với biến còn
lại xem như hằng số.
• Các quy tắc đạo hàm riêng tương tự đạo hàm của hàm 1 biến.

    


    


    

x x x
y y y
z z z
f
f f f D f D f
x
f
f f f D f D f
y
f
f f f D f D f
z
1 1
2 2
3 3
'
'
'
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

21. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d) tại (0 ; )
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
   
f x y x xy y
2 2 3
, 2 5

 
x
e
z
x y 1
   

 x y
f x y e xy
2
, sin
   

x
f x y z x z
y
2
2 2
, ,
1
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

22. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a)    
f x y x xy y
2 2 3
, 2 5
• Đạo hàm riêng theo x:
Giải:
x
f x y
  2
4 5
 
x y x y
 
2 2 3
2 5
hằng số hằng số

23. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a)    
f x y x xy y
2 2 3
, 2 5
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
Giải:
x
f x y
  2
4 5
y
f xy y
  2
10 3
 
x x y y
 
2 2 3
2 5
hằng số hằng số

24. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
b)    

x
f x y z x z
y
2
2 2
, ,
1
• Đạo hàm riêng theo x:
Giải:
x
x x
f x
y y
x z x z
 
   
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 1
1 1
x x z
y
 
 
 

 
2 2 2
1
1
hằng số
hằng số

25. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
b)    

x
f x y z x z
y
2
2 2
, ,
1
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
Giải:
x
x x
f x
y y
x z x z
 
   
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 1
1 1
 
y
x
f
y
 

2
2
1
x
x z
y
 

2
2 2
1
hằng số
hằng số

26. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
b)    

x
f x y z x z
y
2
2 2
, ,
1
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
• Đạo hàm riêng theo z:
Giải:
x
x x
f x
y y
x z x z
 
   
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2 1
1 1
 
y
x
f
y
 

2
2
1
z
z
f
x z
 

2 2
x
x z
y
 

2
2 2
1
hằng số
hằng số

27. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
c)
• Đạo hàm riêng theo x:
Giải:
 
 
 
 
x x x
x
e x y e e x y
z
x y x y
   
 
   
2 2
1
1 1

 
x
e
z
x y 1
x
e U
x y V

 1

28. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
c)
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
Giải:
 
 
 
 
x x x
x
e x y e e x y
z
x y x y
   
 
   
2 2
1
1 1
 
x
y
e
z
x y


 
2
1

 
x
e
z
x y 1
 
x
e
y x
 
1
hằng số

29. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
d) tại (0 ; )
   

 x y
f x y e xy
2
, sin
• Đạo hàm riêng theo x:
• Đạo hàm riêng theo y:
Giải:
Cách 1
         
x y x y x y π
x x
f e xy ye xy e xy y xy f π πe
   
 
     
 
2 2 2 2
sin cos sin cos 0;
         
x y x y x y
y y
f e xy xe xy e xy x xy f π
  
 
       
 
2 2 2
2 sin cos 2sin cos 0; 0
 
uv u v uv
  
 
 
U U
e U e
 

 
U U U
 

sin cos

30. Ví dụ 2: Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau:
d) tại (0 ; )
   

 x y
f x y e xy
2
, sin
• Thay y = , ta được:
• Thay x = 0, ta được:
Giải:
Cách 2
     
   
 
     
 
x π x π x π π
f x π e πx x π e πx πe πx π πe
x x
2 2 2 2
; sin ; sin cos 0;
     
  
    
 
y
f y e y π
y y
2
0; 0; 0 0; 0

31. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
Ý nghĩa:
Cho S là đồ thị của hàm số và điểm ,
với .
Gọi là đồ thị của hàm 1 biến .
Gọi là đồ thị của hàm 1 biến .
Vậy và là hệ số gốc của các
tiếp tuyến T1 và T2 đối với C1 và C2 tương ứng, tại điểm
bên trong các mặt phẳng y = b và x = a.
 

z f x y
,  
P a b c S
, ,
 

c f a b
,
 
  
C S y b
1
 
  
C S x a
2
   

g x f x b
,
   

h y f a y
,
   
  x
g a f a b
,    
  y
h b f a b
,
 
P a b c
, ,
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

32. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến
Ý nghĩa:
Đường cong z = f (x , b) trên đồ thị hàm số
f(x , y) có hệ số góc fx
(a , b) tại x = a
Đường cong z = f (a , y) trên đồ thị hàm số
f(x , y) có hệ số góc fy
(a , b) tại y = b
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến

33. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến
Với hàm số , đạo hàm riêng fx và fy đều là các hàm 2 biến. Vì thế có thể xét các đạo
hàm riêng của chúng và gọi là các đạo hàm riêng cấp 2.
• Lấy đạo hàm riêng của fx ta được:
• Lấy đạo hàm riêng của fy ta được:
 
f x y
,
 
  
 
    
 
  
 
x x xx xx x
f f
f f f f
x x x
2
2
2
'' ''
 
  
 
   
 
   
 
x y xy xy
f f
f f f
y x y x
2
''
   
  
    
 
  
 
y y yy yy y
f f
f f f f
y y y
2
2
2
'' ''
   
  
   
 
   
 
y x yx yx
f f
f f f
x y x y
2
''
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến

34. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến
• Tương tự, hàm số 3 biến có các đạo hàm riêng cấp 2 sau:
• Định lý Clairaut (định lý Schwartz):
Nếu f xác định trên D chứa (a , b) sao cho tồn tại đạo hàm riêng fxy và fyx cùng liên
tục trên D. Khi đó đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp không phụ thuộc thứ tự lấy đạo
hàm,
 
f x y z
, ,
  
  
  
  
  
     
  
  
     
xx yy zz
xy yx zx
xz yz zy
f f f
f f f
x y z
f f f
f f f
y x x y x z
f f f
f f f
z x z y y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
 
  
xy yx
f f x y D
,
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến

35. Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến
Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
a)
b)
c)
   
f x y x x y y
3 2 3 2
, 2
  y
f x y x
,
   
 
f x y z x yz
2
, , sin 3
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số nhiều biến

36. Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
a)    
f x y x x y y
3 2 3 2
, 2
Giải:
Đạo hàm riêng cấp 1:
Suy ra đạo hàm riêng cấp 2:
 
x
f x xy
2 3
3 2  
y
f x y y
2 2
3 6
 
xx
f x y3
6 2

xy
f xy2
6
 
yy
f x y
2
6 6

yx
f xy2
6

37. Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
b)   y
f x y x
,
Giải:

 y
x
f yx 1
 y
y
f x x
ln
  
  y
xx
f y y x 2
1
 
  
 
    
 
y y y
yx
f yx x x y y x
1 1 1
ln 1 ln 1
 y
yy
f x x
2
ln
   
  
 
     
 
y y y
xy
f x yx y y y x
1 1 1
ln 1 1 ln 1
 
U U
a U a a
 
 ln
 
n n
U nU U 
 
 1

38. Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
c)    
 
f x y z x yz
2
, , sin 3
Giải:
Hàm f liên tục nên:
 
 
x
f x x yz
2
2 cos 3
 
 
y
f z x yz
2
3 cos 3
   
   
xx
f x yz x x yz
2 2 2
2cos 3 4 sin 3
   
    
yz zy
f f x yz z x yz
2 2 2
3cos 3 9 sin 3
 
  
yy
f z x yz
2 2
9 sin 3
 
   
xy yx
f f xz x yz
2
6 sin 3
 
   
xz zx
f f xy x yz
2
6 sin 3
 
  
zz
f y x yz
2 2
9 sin 3
 
 
z
f y x yz
2
3 cos 3
 
U U U
 

sin cos
 
U U U
 
 
cos sin

39. Vi phân của hàm số nhiều biến
• Vi phân toàn phần (total differential) của hàm số là:
• Vi phân toàn phần của hàm số là:
 
f x y
,
   
x y
f f
df f x y dx f x y dy dx dy
x y
 
   
 
, ,
 
f x y z
, ,
     
x y z
f f f
df f x y z dx f x y z f x y z dz dx dy dz
x y z
  
     
  
, , , , , ,
Ví dụ 4: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
a)
b)
  
f x y x y
2 2
,
  yz
f x y z xe
, ,
Vi phân của hàm số nhiều biến

40. Ví dụ 4: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
a)
Giải:
Hàm số xác định trên , có đạo hàm riêng:
Các đạo hàm riêng liên tục tại nên f khả vi trên
Vậy vi phân toàn phần là


x
x
f
x y
2 2


y
y
f
x y
2 2

  
  
x y xdx ydy
df dx dy
x y x y x y
2 2 2 2 2 2
  
f x y x y
2 2
,
2
 
 
x y
, 0  
2
0;0

41. Ví dụ 4: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:
b)
Giải:
Hàm số xác định trên , có đạo hàm riêng:
Các đạo hàm riêng liên tục và khả vi trên
Vậy vi phân toàn phần là
 yz
x
f e  yz
y
f xze
 
     
yz yz yz yz
df e dx xze dy xye dz e dx xzdy xydz
  yz
f x y z xe
, ,
3
3
 yz
z
f xye

42. Ví dụ 5: Tìm vi phân cấp 2 của hàm số sau:    
f x y x x y y
3 2 3 2
, 2
Vi phân cấp 2 của hàm số nhiều biến
Vi phân cấp 2 của hàm số là
Nếu có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì
 
f x y
,
 
    
xx xy yx yy
d f d df f dx f dxdy f dydx f dy
2 2 2
 
f x y
,
xx xy yy
d f f dx f dxdy f dy
  
2 2 2
2
Vi phân cấp 2 của hàm số nhiều biến

43. Giải:
Hàm số xác định trên , có các đạo hàm riêng liên tục và khả vi trên :
Vậy vi phân cấp 2 là
   
    
d f x y dx xy dxdy x y dy
2 3 2 2 2 2
6 2 12 6 6
2
 
x
f x xy
2 3
3 2
 
y
f x y y
2 2
3 6
 
xx
f x y3
6 2  
xy yx
f f xy2
6
 
yy
f x y
2
6 6
2
Vi phân cấp 2 của hàm số nhiều biến
Ví dụ 5: Tìm vi phân cấp 2 của hàm số sau:    
f x y x x y y
3 2 3 2
, 2

44. XIN CẢM ƠN
THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ THEO DÕI