Geomtri analitik lecture 2

Geometri Analitik (lecture 2)

M. Januar Ismail, M.Si.

UIN SGD

Juli 2012

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 1 / 31

n


Outline

1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutub
Elips dan Hiperbol
Persamaan Baku Elips
Contoh 1 dan 2
Persamaan Baku Hiperbol
Contoh 3 dan 4
Latihan soal lecture 1 dan 2

2 Daftar pustaka


Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .


Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.


Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.
3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.


Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki dua
puncak yang kita namakan A0 dan A.


Pendahuluan

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbu
panjang sebagai pusat konik.


Pendahuluan

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elips
dan hiperbol dinamakan konik terpusat.


Pendahuluan

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elips
dan hiperbol dinamakan konik terpusat.
Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetris
terhadap pusatnya.


Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukan
beberapa langkah berikut :
1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kita
pilih sebagai pusat konik.



2 pilih c, k, dan a bernilai positif



3 Kita misalkan F (c, 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,
puncak konik tersebut kita pilih A0 ( a, 0) dan A (a, 0).



3 Kita misalkan F (c, 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,
puncak konik tersebut kita pilih A0 ( a, 0) dan A (a, 0).
4 Jelas bahwa A berada antara F (c, 0) dan x = k.


Ilustrasi formula sebelumnya


Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = A
dan kemudian P = A0 , maka kita peroleh berturut-turut

a c = e (k a) = ek ea
a + c = e (k + a) = ek + ea


Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = A
dan kemudian P = A0 , maka kita peroleh berturut-turut

a c = e (k a) = ek ea
a + c = e (k + a) = ek + ea

bila kedua persamaan di atas kita selesaikan untuk c dan k, maka
diperoleh
a
c = ea dan k =
e


Akibat terhadap dua kasus tersebut

a
Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = e > a. Jadi untuk kasus
Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada di
kanan A


Akibat terhadap dua kasus tersebut

a
Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = e > a. Jadi untuk kasus
Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada di
kanan A
a
Jika e > 1, maka c = ea > a dan k = e < a. Jadi untuk kasus
hiperbol, garis arah x = k berada di kiri A dan fokus F berada di
kanan A.


Ilustrasi kedua kasus tersebut


Persamaan baku Elips dan Hiperbol
Misalkan P (x, y ) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y )
adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadi
q r
2 2 =e
a 2
(x ae ) + y x
e


Misalkan P (x, y ) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y )
adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadi
q r
2 2 =e
a 2
(x ae ) + y x
e
Ilustrasi,



Setelah dikuadratkan dan disederhanakan kita peroleh

2a a2
x2 2aex + a2 e 2 + y 2 = e 2 x 2 x+ 2
e e
1 e 2 x 2 + y 2 = a2 1 e2




2a a2
x2 2aex + a2 e 2 + y 2 = e 2 x 2 x+ 2
e e
1 e 2 x 2 + y 2 = a2 1 e2

Jika kita bagi kedua ruas dengan a2 1 e 2 , maka diperoleh

x2 y2
+ 2 =1 ((1))
a2 a (1 e 2 )




2a a2
x2 2aex + a2 e 2 + y 2 = e 2 x 2 x+ 2
e e
1 e 2 x 2 + y 2 = a2 1 e2

Jika kita bagi kedua ruas dengan a2 1 e 2 , maka diperoleh

x2 y2
+ 2 =1 ((1))
a2 a (1 e 2 )

Oleh karena dalam persamaan terakhir ini terdapat hanya suku-suku
x dan y yang genap pangkatnya, elips (atau hiperbol) letaknya
simetris terhadap sumbu x, sumbu y , dan titik asal.


Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua ( ae, 0) dan ada
garis arah kedua x = a/e.


Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua ( ae, 0) dan ada
garis arah kedua x = a/e.
2 Sumbu yang memuat kedua puncak (dan kedua fokus) dinamakan
sumbu panjang dan sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus pada
sumbu panjang dinamakan sumbu pendek.



Untukpelips 0 < e < 1, sehingga 1 e 2 > 0.Misalkan
b = a 1 e 2 sehingga persamaan (1) menjadi

x2 y2
+ 2 =1
a2 b
yang disebut persamaan baku elips.




x2 y2
+ 2 =1
a2 b
Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengah
pendek.




x2 y2
+ 2 =1
a2 b
Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengah
pendek.
Karena c = ae maka a, b, c memenuhi hubungan Pythagoras
a2 = b 2 + c 2 .


Ilustrasi


Catatan

p
1 Apabila e mendekati 1, maka b = a 1 e 2 adalah kecil dibanding
dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.


Catatan

p
2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebut
gemuk dan hampir berbentuk lingkaran.


Catatan

p
2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebut
gemuk dan hampir berbentuk lingkaran.
2 y2 y2 x2
3 Persamaan x 2 +
a b2
= 1 untuk elips mendatar dan a2
+ b2
= 1 untuk
elips tegak.


Contoh 1

Gambar gra…k persamaan

x2 y2
+ =1
36 4
dan tentukan fokus serta keeksentrikannya


Contoh 2

Buatlah Sketsa gra…k persamaan

x2 y2
+ =1
16 25
dan tentukan fokus dan keeksentrikannya


Sketsa jawaban contoh
Contoh 1


Contoh 1

Contoh 2



UntukpHiperbol e > 1, sehingga e 2 1 > 0.Misalkan
b = a e 2 1sehingga persamaan (1) menjadi

x2 y2
=1
a2 b2
yang disebut persamaan baku hiperbol.



UntukpHiperbol e > 1, sehingga e 2 1 > 0.Misalkan
b = a e 2 1sehingga persamaan (1) menjadi

x2 y2
=1
a2 b2
yang disebut persamaan baku hiperbol.
Karena c = ae maka diperoleh c 2 = b 2 + a2 .


Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x. Kita peroleh
bp 2
y= x a2 .
a
p
Untuk nilai x yang besar, nilai x 2 a2 hampir sama dengan x
(buktikan).


Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x. Kita peroleh
bp 2
y= x a2 .
a
p
Untuk nilai x yang besar, nilai x 2 a2 hampir sama dengan x
(buktikan).
Sehingga
b
y=
x.
a
Tepatnya, garis-garis tersebut adalah asimtot.


Ilustrasi


Catatan

1 Pada ilustrasi gambar di atas ada segitiga penting yang dapat
digunakan untuk menentukan letak asimtot, diperoleh dari hubungan
c 2 = b 2 + a2 .


Catatan

c 2 = b 2 + a2 .
y2 x2
2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan a2 b2
=1
merupakan persamaan hiperbol tegak.


Catatan

c 2 = b 2 + a2 .
y2 x2
2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan a2 b2
=1
merupakan persamaan hiperbol tegak.
3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antara
puncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidak
diperhatikan.


Contoh 3

Gambarlah gra…k
x2 y2
=1
9 16
gambarlah juga asimtot, tentukan persamaan dan letak fokus hiperbol
tersebut.


Contoh 4

Tentukan fokus hiperbol

x2 y2
+ =1
4 9
dan buatlah gra…knya.



Contoh 3



Contoh 4


Latihan soal parabol

Tentukan persamaan parabol yang puncaknya berada di titik asal, jika
parabol ini melalui titik (3, 1) dan sumbu simetrinya adalah sumbu
x. Buatlah sketsa gra…knya.



Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x 2 = 4y
di titik (4, 4).



Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x 2 = 4y
di titik (4, 4).
Buktikan bahwa kedua garis singgung parabol di ujung-ujung
talibusur fokus saling tegak lurus.


Talibusur yang melalui fokus (talibusur fokus) dan tegak lurus sumbu
parabol disebut Latus rektum. Pada parabol y 2 = 4px (gambar di
bawah), F adalah fokus, R adalah sebarang titik pada parabol si
sebelah kiri latus rektum, dan G adalah titik potong latus rektum
dengan garis yang melalui R sejajar sumbu. Carilah jFR j + jRG j.


Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra…k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,
fokus dan asimtot
x2 y2
10 + 4 = 1.

Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggap
pusatnya berada di titik asal.



fokus dan asimtot
x2 y2
10 + 4 = 1.
4x 2 25y 2 = 100.



fokus dan asimtot
x2 y2
10 + 4 = 1.
4x 2 25y 2 = 100.
Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.



fokus dan asimtot
x2 y2
10 + 4 = 1.
4x 2 25y 2 = 100.
Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.
Hiperbol dengan asimtot 2x 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .



2 2
Diketahui elips x 2 + y 2 = 1. Berapakah panajang latus rektum
a b
(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?



2 2
Diketahui elips x 2 + y 2 = 1. Berapakah panajang latus rektum
a b
(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?
p
Buktikan bahwa x 2 a2 x ! 0 apabila x ! ∞.


Daftar pustaka

Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.


Geomtri analitik lecture 2

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Featured

Featured (20)

Geomtri analitik lecture 2