Geometria plana - Áreas 2

ÁREAS
1
01. (Fgv 2016) O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura a seguir.
A área desse triângulo, em 2
cm , é igual a
a) 8.
b) 6 2.
c) 4 6.
d) 10.
e) 6 6.
02. (Ifsp 2016) Com uma régua, foi traçado um segmento de reta contendo um ponto A. Utilizando um compasso, foi
traçada uma circunferência de centro A, determinando os pontos B e C na interseção da circunferência com o
segmento de reta. Com centro em C e raio com a mesma medida do segmento de reta AC, foi traçada outra
circunferência, determinando os pontos M e N na interseção das duas circunferências. Considerando-se | BC | e | MN |
as medidas dos segmentos de reta BC e MN, respectivamente, a área do polígono formado pelos vértices B, M e N
é igual a
a) BC MN
×
b) 0,25 BC MN
× ×
c) (BC MN) 0,375
+ ×
d) (BC MN) 0,25
+ ×
e) 0,375 BC MN
× ×
03. (Unesp 2016) Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede,
um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado
central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura.
Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a
a) 1 2 3
+
b) 2 2 3
+
c) 2 3
+
d) 1 3
+
e) 4 3
+

ÁREAS
2
04. (Fatec 2016) Nas competições olímpicas de Tiro com Arco, o alvo possui 1,22 m de diâmetro. Ele é formado por
dez circunferências concêntricas pintadas sobre um mesmo plano e a uma distância constante de 6,1cm entre si,
como vemos no esquema.
Podemos afirmar corretamente que a razão entre a área da região cinza e a área total do alvo, nessa ordem, é igual a
a)
3
.
10
b)
2
.
15
c)
1
.
25
d)
10
.
61
e)
5
.
21

ÁREAS
3
05. (Insper 2016) A equipe que está preparando os efeitos de iluminação de um show a ser feito em um estádio precisa
instalar um canhão de luz num ponto a 20 metros de altura em relação ao chão, no qual está posicionado um palco de
20 metros de comprimento onde o cantor irá se apresentar. Para definir o ângulo de movimentação do canhão de luz
de modo que ele possa acompanhar o cantor por todo o palco, a equipe modelou o problema utilizando o plano
cartesiano abaixo, no qual cada unidade equivale a 10 metros.
Se necessário, utilize os dados da tabela abaixo.
α tgα (valores aproximados)
126° 1,4
−
135° 1,0
−
144° 0,7
−
153° 0,5
−
162° 0,3
−
171° 0,2
−
180° 0,0
Para que não seja formada nenhuma sombra na projeção de luz feita pelo canhão, não pode haver nenhum objeto
posicionado no espaço indicado pela região sombreada na figura, cuja área é igual a
a) 2
2 m .
b) 2
4 m .
c) 2
20 m .
d) 2
40 m .
e) 2
200 m .

ÁREAS
4
06. (Fgv 2015) A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com AD BC 4cm.
= = M é o ponto médio de AD, e
o ângulo ˆ
BMC é reto.
O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 15.
07. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro quadrados.
O valor da razão
AB
BC
é igual a
a)
5
.
3
b)
5
.
2
c)
4
.
3
d)
3
.
2

ÁREAS
5
08. (Espm 2015) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ADE é um quadrante de círculo de centro D.
Se o lado AB e o arco AE têm comprimentos iguais a cm,
π a medida da área sombreada, em 2
cm , é
a) 4
b) π
c) 2π
d)
2
π
e) 2
09. (Mackenzie 2015) Observe.
O valor da área sombreada na figura acima é
a)
2
x
4
π
b)
2
x
2
π
c)
2
x
8
π
d)
2
x
12
π
e)
2
x
6
π

ÁREAS
6
10. (Unesp 2015) Os polígonos ABC e DEFG estão desenhados em uma malha formada por quadrados. Suas áreas
são iguais a 1
S e 2
S , respectivamente, conforme indica a figura.
Sabendo que os vértices dos dois polígonos estão exatamente sobre pontos de cruzamento das linhas da malha, é
correto afirmar que 2
1
S
S
é igual a
a) 5,25.
b) 4,75.
c) 5,00.
d) 5,50.
e) 5,75.
11. (Fgv 2015) A seta indica um heptágono com AB GF 2AG 4BC 4FE 20cm.
= = = = =
Sabe-se ainda que CD ED,
= e que o ângulo ˆ
CDE é reto. Nas condições dadas, a área da região limitada por essa seta,
em 2
cm , é
a) 250.
b) 260.
c) 280.
d) 300.
e) 320.

ÁREAS
7
12. (Mackenzie 2015) A figura é formada por quadrados de lados a.
A área do quadrilátero convexo de vértices M, N, P e Q é
a) 2
6a
b) 2
5a
c) 2
4a
d) 2
4 3a
e) 2
4 5a
13. (Insper 2015) Esta figura mostra o alvo de uma academia de arco e flecha. A pontuação que um jogador recebe ao
acertar uma flecha em cada uma das faixas circulares está indicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior mede
60 cm, o do menor mede 10 cm e a diferença entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é de 10 cm.
Todos os círculos têm o mesmo centro.
A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual a
a) 2
900 cm .
π
b) 2
1100 cm .
π
c) 2
1300 cm .
π
d) 2
1500 cm .
π
e) 2
1700 cm .
π

ÁREAS
8
14. (Ifsp 2014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x 60
+ °
e 135 2x,
° − a medida do menor ângulo desse losango é
a) 75°.
b) 70°.
c) 65°.
d) 60°.
e) 55°.
15. (Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB b
= e AD h,
= que foi dividido em três
regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.
As retas EF, BD

 

e GH

são paralelas. Dessa forma, sendo AE x
= e AF y,
= a razão
x
b
é igual a
a)
2 2
.
3
b)
2
.
2
c)
3
.
2
d)
6
.
4
e)
6
.
3
16. (Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100.
Se o comprimento do retângulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará
a)
XY
X Y %.
100
 
+ +
 
 
b)
X Y
XY %.
100
+
 
+
 
 
c)
X Y XY
%.
100
+ +
 
 
 
d) (X Y)%.
+
e) (XY)%.

ÁREAS
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17. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB,
= e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo
ˆ
AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
° ≅ ° ≅
° ≅ ° ≅
a) 14 28
θ
° < < °
b) 15 60
θ
° < < °
c) 20 90
θ
° < < °
d) 25 120
θ
° < < °
e) 30 150
θ
° < < °
18. (Fgv 2014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$ 400,00. O Sr. Joaquim
possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a diferença entre a medida do lado maior e a
do menor é 22 metros. O valor do terreno do Sr. Joaquim é
a) R$ 102600,00
b) R$ 103700,00
c) R$ 104800,00
d) R$ 105900,00
e) R$ 107000,00
19. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares
congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na
figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1600 m2
b) 1800 m2
c) 2000 m2
d) 2200 m2
e) 2400 m2

ÁREAS
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20. (Espm 2014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 2
24cm . M e N são pontos médios de BC e
CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a
a) 20 cm2
b) 16 cm2
c) 12 cm2
d) 15 cm2
e) 18 cm2
21. (Espm 2013) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de círculo de centro A, tangente
ao lado CD em F.
Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é igual a
a) 48 cm2
b) 72 cm2
c) 56 cm2
d) 64 cm2
e) 80 cm2
22. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de
Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está
no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15,
= AG 12,
=
AB 6,
= CD 3
= e DF 5 5
= indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é
a) 100 km2
b) 108 km2
c) 210 km2
d) 240 km2
e) 444 km2

ÁREAS
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23. (Fgv 2013) Três irmãos receberam de herança um terreno plano com a forma de quadrilátero convexo de vértices
A, B, C e D, em sentido horário. Ligando os vértices B e D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em duas
partes cujas áreas estão na razão 2 :1, com a parte maior demarcada por meio do triângulo ABD. Para dividir o terreno
em áreas iguais entre os três irmãos, uma estratégia que funciona, independentemente das medidas dos ângulos
internos do polígono ABCD, é fazer os traçados de BD e DM, sendo
a) M o ponto médio de AB .
b) M o ponto que divide AB na razão 2 :1.
c) M a projeção ortogonal de D sobre AB .
d) DM

a bissetriz de ˆ
ADB .
e) DM

a mediatriz de AB .
24. (Insper 2013) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC e AC,
respectivamente, tais que BP AQ a
= = e PC QC 4a.
= =
Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm2
. Dessa forma, a área do
triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
a) 5 cm2
.
b) 6 cm2
.
c) 8 cm2
.
d) 9 cm2
.
e) 10 cm2
.
25. (Insper 2013) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento ,
 é possível determinar diferentes
triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.
Se a área do triângulo T1 é o triplo da área do triângulo T2, então o valor de cosθ é igual a
a)
1
.
6
b)
1
.
3
c)
3
.
3
d)
1
.
2
e)
6
.
6

ÁREAS
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26. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme
a figura abaixo.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por ( )
S φ e ( )
T ,
φ podemos afirmar que
a razão ( ) ( )
S T ,
φ φ quando 2
φ π
= radianos, é
a) 2.
π
b) 2 .
π
c) .
π
d) 4.
π
27. (Fgv 2013) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Seja α medida do ângulo da
base, para a qual a área do referido triângulo é máxima. Podemos afirmar que
a) 10 20
α
° ≤ < °
b) 20 30
α
° ≤ < °
c) 30 40
α
° ≤ < °
d) 40 50
α
° ≤ < °
e) 50 60
α
° ≤ < °
28. (Mackenzie 2013) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um
triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir
que o lado desse triângulo mede
a) 5 m
b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m

ÁREAS
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29. (Insper 2013) Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura
abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
— as medidas s e t sejam diferentes;
— a área da piscina seja 50 m2
;
— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;
— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.
Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água que fica a uma
distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por
esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a
a) 10,00 m
b) 13,33 m
c) 16,67 m
d) 20,00 m
e) 23,33 m
30. (Espm 2012) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B
e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem.
Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a
a) 18 cm2
b) 15 cm2
c) 17 cm2
d) 19 cm2
e) 16 cm2

ÁREAS
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31. (Fgv 2012) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, 2), B(4, 0), C(2 1, 0),
π+
D(2 1, 4)
π+ e E(0, 4).
Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo 
APB seja
obtuso é igual a
a)
1
5
b)
1
4
c)
5
16
d)
3
8
e)
4
5
32. (Insper 2012) O retângulo da figura, cuja base AB mede o triplo da altura BC , foi dividido em três regiões por
meio de duas retas paralelas.
Os pontos marcados sobre os lados AD e BC dividem esses lados em quatro partes de medidas iguais. Se a área da
faixa central á igual à soma das áreas dos triângulos sombreados, então o ângulo α é tal que
a)
1
tg
4
α =
b)
3
tg
10
α =
c)
1
tg
3
α =
d)
3
tg
8
α =
e)
3
tg
5
α =

ÁREAS
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33. (Insper 2012) Na figura a seguir, os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do triângulo equilátero ABC, de
perímetro 6 cm, de modo que
AM AN 2x cm;
= =
BO BP CQ CR x cm.
= = = =
Se a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é igual a
a)
3
.
3
b)
1
.
2
c)
3
.
4
d)
3
.
6
e)
1
.
4
34. (Fgv 2012) Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguir tem raio 1cm. Um círculo pequeno é concêntrico
com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círculos pequenos. Cada um desses 6 outros círculos pequenos tangencia
o círculo grande e 3 círculos pequenos.
Na situação descrita, a área da região sombreada na figura, em 2
cm , é igual a
a) π
b)
3
2
π
c) 2π
d)
5
2
π
e) 3π

ÁREAS
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35. (Fuvest 2012) O segmento é lado de um hexágono regular de área . O ponto P pertence à mediatriz de
de tal modo que a área do triângulo vale . Então, a distância de P ao segmento é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
36. (Unesp 2012) No vazamento de petróleo da empresa americana Chevron do último dia 7 de novembro, na bacia
de Campos/RJ, a mancha de óleo na superfície do mar assumiu grandes dimensões e teve seu pico de área entre os
dias 12 e 14 daquele mês. O vazamento levou dias para ser contido, pois o petróleo continuava a escapar por fissuras,
como mostrado na foto.
A figura mostra, de forma hipotética e aproximada, em tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície do mar.
Dados 1 dm3
= 1 L e π ≈ 3 e sabendo que a altura média da lâmina de óleo sobre as águas era de 0,003 mm e que 1
barril de petróleo cru contém 160 litros de óleo, o número aproximado de barris que vazaram no incidente foi
a) 2360
b) 2860
c) 2960
d) 3320
e) 5250
AB 3
AB PAB 2 AB
2
2 2
3 2
3
2 3

ÁREAS
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37. (Mackenzie 2012) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular 1
H , obtém-se um hexágono
regular 2
H . A razão entre as áreas de 1
H e 2
H é
a)
4
3
b)
6
5
c)
7
6
d)
3
2
e)
5
3
38. (Fgv 2012) Na figura abaixo, o ângulo 
A do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. O lado AB mede 4, e
o lado AC mede 5.
A área do círculo da figura é
a) 9,75π
b) 10π
c) 10,25π
d) 10,50π
e) 10,75π
39. (Unicamp 2012) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade
de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no
vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da
região que deixou de receber voos é
a) maior que 2
10000 km .
b) menor que 2
8000 km .
c) maior que 2
8000 km e menor que 2
9000 km .
d) maior que 2
9000 km e menor que 2
10000 km .

ÁREAS
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40. (Insper 2012) Considere um losango ABCD em que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA,
respectivamente. Um dos ângulos internos desse losango mede ,
α sendo 0 90 .
α
° < < ° Nessas condições, o
quadrilátero convexo MNPQ
a) é um quadrado.
b) é um retângulo que não é losango.
c) é um losango que não é retângulo.
d) é um paralelogramo que não é retângulo nem losango.
e) não possui lados paralelos.
41. (Espm 2011) Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da altura, foi revestida com azulejos
quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com
68 peças mais escuras, como na figura exemplo abaixo.
O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de
a) 260
b) 246
c) 268
d) 312
e) 220
42. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados.
A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 3
+
b) 2 3
+
c) 3 3
+
d) 3 2 3
+
e) 3 3 3
+

ÁREAS
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43. (Insper 2011) Na figura, em que as retas r e s são paralelas, A é um ponto que dista 1 de r e 2 de s. Dada uma
medida ,
α em graus, tal que 0 90,
< α < tomam-se os pontos B e P sobre r e C e Q sobre s tais que
ˆ
ˆ
m(ABP) m(ACQ) .
= = α
Nessas condições, a área do triângulo ABC é igual a
a) tg .
α
b) 2tg .
α
c) tg cotg .
α ⋅ α
d) cotg .
α
e) 2cotg .
α
44. (Mackenzie 2011) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular e a distância do vértice D à diagonal FB é 3.
A área do triângulo assinalado é
a) 3
b) 2 3
c) 4 3
d) 3
e) 6

ÁREAS
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45. (Fuvest 2011) Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.
Diagrama referente ao poema ZEN.
Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta.
a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética brasileira da
década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo
BCJI.
b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo semântico da
palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas do
triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais.
c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em sua
composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF.
d) O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No poema
ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor
que 7/10.
e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que utiliza
proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as
áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6.
46. (Ifsp 2011) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado.
Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a
Adote 3
π =
a) 72
b) 63
c) 54
d) 45
e) 30

ÁREAS
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47. (Insper 2011) O mosaico da figura é formado por losangos congruentes entre si e por pentágonos regulares.
A razão entre as áreas de um pentágono e um losango, nessa ordem, é igual a R. O perímetro de cada pentágono
regular da figura é 5cm. Assim, sendo sen72 x,
° = a área de cada pentágono regular, em 2
cm , é igual a
a) 2
2Rx 1 x .
−
b) 2
2Rx .
c) 2
Rx 1 x .
−
d) 2
Rx .
e)
2
Rx
.
2
48. (Espm 2010) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo.
De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a
a) 2
24 cm
b) 2
25 cm
c) 2
28 cm
d) 2
35 cm
e) 2
36 cm

ÁREAS
22
49. (Fgv 2010) A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos D
e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC .
Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a
a) 64
b) 8
c) 8 3 .
3
π
 
−
 
 
d) 4 3 .
3
π
 
−
 
 
e) 4 3 .
2
π
 
−
 
 
50. (Fuvest 2010) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC .
α
= A reta OC

é
perpendicular ao segmento AB e o ângulo 𝐴𝐴𝑂𝑂
�𝐵𝐵 mede
3
π
radianos. Então, a área do triângulo ABC vale
a)
2
8
α
b)
2
4
α
c)
2
2
α
d)
2
3
4
α
e) 2
α

ÁREAS
23
GABARITO
1 - A 2 - E 3 - B 4 - C 5 - E
6 - C 7 - A 8 - B 9 - C 10 - A
11 - D 12 - B 13 - D 14 - A 15 - E
16 - A 17 - E 18 - B 19 - A 20 - D
21 - C 22 - E 23 - A 24 - C 25 - A
26 - A 27 - D 28 - B 29 - E 30 - A
31 - C 32 - D 33 - A 34 - C 35 - E
36 - B 37 - A 38 - C 39 - B 40 - B
41 - E 42 - C 43 - E 44 - A 45 - B
46 - B 47 - A 48 - B 49 - C 50 - B

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