upcamp(私立・プログラミングキャンプ) 2012 東京大会 http://atnd.org/events/30833

1. 書くネタがCoqしかない
upcamp 2012 にて

2. 自己紹介
• http://qnighy.github.com/ を参照
• いちねんせい
• 2008プログラミング組

3. やりたいこと
• 数学の証明を自然言語で書かなければい
けないのは理不尽！
• →Principia Mathematica
1+1の証明 (Wikipediaより)
ここまで80ページ強の議論が必要

4. やりたいこと
• 今だったらこれをコンピューターでやれ
るよね
• ↑正しさの検証も自動でできる！
• ↑あわよくば、証明の一部は自動化

5. 目次
• Coqとは何か
• Coqの根底にある理論
• Coqで何ができるのか
• Coqをはじめる

6. Coqとは何か
• 純粋関数型プログラミング言語＆定理証
明言語
• 静的型付け
• OCamlの影響を受ける
• OCamlで実装されている
• OCamlの製造元 INRIA が開発している
• 名前は計算機科学者 Thierry Coqandに由来
すると思われる

7. Coqの特徴
• 停止する保証のあるプログラムしか書け
ない
(再帰の記述に関する制限)
• 証明モード
(対話的にプログラムを組み立てるモード)

8. コード例
• Karatsuba 乗算のコード
• このあと停止性証明が続く

9. コード例
• マージソートと停止性証明

10. Coqの特徴
• 停止する保証のあるプログラムしか書け
ない
• (再帰の記述に関する制限)
• →プログラムの正当性証明に用いられる

11. コード例
• プログラムの正当性証明
• (anarchy proof 30: Certified Compiler)

12. Coqの特徴
• 停止する保証のあるプログラムしか書け
ない
• (再帰の記述に関する制限)
• →プログラムの正当性証明に用いられる
• →数学の定理の証明に用いられる

13. コード例
• Glivenkoの定理の証明

14. コード例
• √2は無理数であることの証明
• (anarchy proof 6: Sqrt 2)

15. Coqの根底にある理論
• Coqにおける「証明」とは？
• → Curry-Howard 対応
証明 ： 命
題
プログラム ： 型

16. Coqの根底にある理論
• Curry-Howard対応の例
• 含意(AならばB): 関数 A -> B (Haskell)
• 連言(AかつB): ペア pair<A, B> (C++)
• 選言(AまたはB): Either A B (Haskell)
• 矛盾(⊥): 到達不能型 Nothing (Scala)
• 否定(Aでない): A -> ⊥

17. Coqの根底にある理論
• では、こういうコードは？
• Definition A : False := A.
• Aが定義できたら、矛盾が導けてしまう。
• ↑ 無限ループの禁止

18. Coqの根底にある理論
• Coqは停止するプログラムしか書けない
• これをどう保証するか？
• _人人 人人人人人人_
> 型システムの出番 <
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

19. Coqの根底にある理論
• 停止性を保証する型システム
• Simply Typed Lambda Calculus
• ↓ +polymorphism (型に依存した値)
• ↓ +type operators (型に依存した型)
• ↓ +dependent types (値に依存した型)
• Calculus of Constructions

20. Coqの根底にある理論
• Calculus of Constructions (CoC)
• ↓ + 再帰等
• Calculus of Inductive Constructions (CIC)
• このCICをCoqでは用いている
• CICと集合論のZFCは互換
( CIC(i)→ZFC(i-2), ZFC(i)→CIC(i+1) )

21. Coqで何ができるの？
• 数学サイド
• 有名なのは
– ゲーデルの不完全性定理の証明
(公理系が多層化するので、形式的な言語で書
いたほうが議論しやすいと思われる)
– 四色問題の証明
(四色問題は数学的証明部とコンピューターに
よる探索部に別れる。Coqではこれを有機的
に結合できるため、証明の信頼性が高まる)

22. Coqで何ができるの？
• プログラミングサイド
• プログラムを証明するという試みもいく
つか行われている
– Coq自体でプログラムを書く→他の言語へ出力
– C言語プログラムの証明：Frama-Cプラグイン
– Javaプログラムの証明: Krakatoa
– 独自の言語Why3MLで書いたプログラムの証
明
• Zとかに比べるとまだ発展途上かも

23. Coqで何ができるの？
•というより

24. Coqで何ができるの？
•証明ができると

25. Coqで何ができるの？
•幸せになります
(主に自己肯定感が得られる)

26. Coqをはじめる
•

27. Coqをはじめる
• 日本語資料が少ない
• コミュニティーが大きくない
• 最後に、いくつかの参考資料を紹介して
終わります

28. Coqの資料
• http://coq.inria.fr/
– Coq公式サイト
• プログラミング Coq
– 女子大生によるCoqプログラミング入門
• anarchy proof
– 証明ジャッジ 練習用に使える
• あとは面倒くさいのでここを見て

29. コミュニティー
• 名古屋にいろいろあるらしい
– Coq Party, Proof Summit …

30. 本
• 本(英語)
– Coq’art
• Coqの本らしい
– TAPL
• 型理論の本

31. おわり
•