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Computation1
- 2. はじめに • この本の目的 • 「証明とプログラム」をキーワードとして、数学基礎論とコンピュータ科学を論じる • 否定的に語られることの多いP対NP問題や不完全性定理の肯定的側面に目を向ける • 何となくの対応 数学基礎論 コンピュータ科学 目的 「数学する」ことを数学する 「計算する」ことを科学する 方法 証明 プログラム （ある種の） 否定的側面 不完全性定理 P対NP問題 肯定的側面 無矛盾性証明 カリー・ハワード対応
- 3. 数学者を作ろう • 全体のお話の流れ • ヒルベルト計画→不完全性定理→無矛盾性証明→コンピュータの発展→P対NP問題→ カリーハワード対応 • １章の流れ • 予備考察→人工言語の画定→推論規則の画定→最初の”数学者”の登場→”数学者”の育成 →ヒルベルト計画の解説
- 4. 数学者とは何か Q. 数学者とは何か？ A. 数学をする人。 Q. 数学をするとは何か？ A. 数学的真理を発見すること。 Q. 数学的真理とは何か？ A. 証明が与えられた数学的主張のこと。これを定理と呼ぶ。 まとめ：数学者の仕事は、真理を定理として証明すること
- 5. 言語と推論規則 Q. 証明とは何か？ A. 公理から出発し、推論規則を用いて目的とする主張を導く過程を 言語を用いて記述したもの。 Q. どんな言語を使う？ A. 人工数学者にとって扱いやすい数学の言語を使う。 それは日本語や英語である必要はなく、 いわゆる数式や図形である必要もない。（後で詳しく定義） Q. 公理？推論規則？ A. 公理とか定義とか推論規則とか、本当はいろいろあるけど、 ややこしいので今回は全部推論規則ってことにする。（これも後で定義）
- 7. 人工言語を画定する 等号 数論記号 等号 ゼロ 後続者 足し算 掛け算 論理記号 かつ または ならば 矛盾 すべて 存在 初等数論で用いる記号 変数 補助記号 変数 左括弧 右括弧 カンマ ピリオド ？
- 8. 初等数論の言語 Q. 後続者って何だ？ （という気持ち） それらをこんな風な省略表現で表す。 0,1,2,3,… Q. 引き算とか割り算はいらないの？ A. ご心配なく。引き算割り算もこれらの記号の組み合わせで表現できます！ A. は「次の数」を表す記号。つまり、 これと さえあれば、すべての自然数を表すことができる！
- 15. 文の真偽 文の真偽とは 文 が真であることを と書く。 文 が偽であることを と書く。 今考えてるのは だよ、という気分 たとえば、 真偽は文に対しての概念だということに注意。たとえば、 という論理式に真偽の概念は無い。
- 16. 有界論理式 有界論理式とは 論理式の中に含まれる量化子（ ）がすべて や という形になっている論理式を有界論理式という。 また、有界論理式かつ文である論理式を有界文という。 論理式 有界論理式? 有界文? yes No yes yes No No yes No yes yes
- 18. 論理式と 論理式 論理式と 論理式とは を有界論理式とするとき、 の形の論理式をそれぞれ 論理式、 論理式という。 また、自由変数を含まないものを 文、 文という。 量化子は１種類だけ！の１ ちょっと整理 項、数項、論理式、原子論理式、文、有界論理式、有界文、 論理式、 論理式、 文、 文…
- 19. 言葉の整理 項 ＝ 項 ② 原子論理式 変数 数論記 号 項 数項 ① ＋ 変数 ＋ ③ 原子論理式 論理記 号 論理式 原子論理式 ④ 論理式 原子論理式 有界 文
- 20. 論理式と 論理式 定理1.2 どんな 文 に対しても、次のようなプログラム が存在する。 定理1.2’ どんな 文 に対しても、次のようなプログラム が存在する。 たとえば、 論理式 （ は有界論理式）について考える。 に から順番に代入していけば、各 は有界文なので 定理1.1より機械的に真偽が判定できる。 したがって、 が真であれば、いつかは検証が完了する。
- 21. 論理式と 論理式 定理（ド・モルガンの法則） これを使うと、 論理式と 論理式は表裏一体であることが分かる。 ただ、正しさを確かめるのは 論理式の方が圧倒的に易しい。