Chương này trình bày về số nguyên tố, phân tích thừa số, và các định lý quan trọng trong lý thuyết số như định lý Fermat và Euler. Nó cũng đề cập đến việc kiểm tra tính nguyên tố, định lý phần dư Trung Hoa, và không gian các số nguyên tố, cũng như các khái niệm liên quan như căn nguyên tố và logarit rời rạc. Nội dung nhấn mạnh tầm quan trọng của số nguyên tố trong toán học và ứng dụng của chúng trong lĩnh vực mật mã và lý thuyết số.

1. Chương 8: Giới thiệu Lý thuyết số Fourth Edition by William Stallings Lecture slides by Lawrie Brown

2. Các số nguyên tố Prime Numbers Là các số nguyên dương chỉ có ước số là 1 và chính nó. Chúng không thể được viết dưới dạng tích của các số khác 1 là số nguyên tố, nhưng không quan tâm đến nó 2, 3, 5, 7 là số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 không phải là số nguyên tố Các số nguyên tố là trung tâm của lý thuyết số Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 200 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

3. Phân tích ra thừa số nguyên tố Prime Factorisation Phân tích ra thừa số nguyên tố số N tức là viết nó dưới dạng tích của các số nguyên tố : n=a x b x c Lưu ý rằng phân tích là bài toán khó hơn rất nhiều so với bài toán nhân các số để nhận được tích eg. 91=7x13 ; 3600=2 4 x3 2 x5 2

4. Các số nguyên tố cùng nhau và GCD Hai số a và b không có ước chung nào ngoài 1, được gọi là nguyên tố cùng nhau Ví dụ: 8 và 15 là nguyên tố cùng nhau, vì ước của 8 là 1, 2, 4, 8, còn ước của 15 là 1, 3, 5, 15. Chỉ có 1 là ước chung Ngược lại có thể xác định ước chung lớn nhất bằng cách trong các phân tích ra thừa số của chúng, tìm các thừa số nguyên tố chung và lấy bậc lũy thừa nhỏ nhất. eg. 300 =2 1 x3 1 x5 2 18=2 1 x3 2 hence GCD(18,300)=2 1 x3 1 x5 0 =6

5. Định lý Ferma Fermat's Theorem a p-1 = 1 (mod p) trong đó p là số nguyên tố và GCD(a, p) = 1 Hay a p = p (mod p) Được dùng trong khoá công khai và kiểm tra tính nguyên tố Ví dụ: 2 7-1 mod 7 = 2 6 mod 7 = 64 mod 7 = 1 3 5-1 mod 5 = 3 4 mod 5 = 81 mod 5 = 1

6. Hàm Ole Euler Totient Function ø(n) Khi thực hiện phép tính đồng dư n Tập đầy đủ các phần dư: 0, 1, 2, …, n-1 Xét tậpết gọn của tập phần dư trên bao gồm các số nguyên tố cùng nhau với n Ví dụ với n = 10 Tập đầy đủ các phần dư là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Tập rút gọn các phần dư nguyên tố với 10 là {1,3,7,9} Số các phần tử của tập rút gọn trên là giá trị của hàm Ole ø(n)

7. Euler Totient Function ø(n) Muốn tính ø(n) việc đếm số các số ngưyên tố cùng nhau với n và nhỏ hơn n được loại bỏ vì đây là bài toán tốn nhiều công sức Nói chung cần biểu thức phân tích ra thừa số Nếu p là số nguyên tố ø(p) = p-1 Nếu p và q là hai số nguyên tố khác nhau ø(p.q) = (p-1)(q-1) Vidụ ø(37) = 36 ø(21) = (3–1)×(7–1) = 2×6 = 12

8. Tính ø(n) Ví dụ: ø(72) = ø(8.9) = ø(8). ø(9) = ø(23).ø(32) = = (23-22)(32-31) = 4.6 = 24

9. Định lý Ole Euler's Theorem Tổng quát hoá của Định lý Ferma a ø(n) = 1 (mod n) với mọi a,n trong đó gcd(a,n)=1 eg. a =3; n =10; ø(10)=4; hence 3 4 = 81 = 1 mod 10 a =2; n =11; ø(11)=10; hence 2 10 = 1024 = 1 mod 11

10. Kiểm tra tính nguyên tố Primality Testing Giả sử cần phải tìm một số nguyên tố rất lớn Lấy một số đủ lớn. Phương pháp truyền thống là thử bằng phép chia Chia cho tất cả các số (chỉ cần nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của số đó. Chỉ hiệu quả khi các số nhỏ Có phương pháp khác sử dụng các phép kiểm tra tính nguyên tố thống kê dựa trên các tính chất Mà mọi số nguyên tố phải thỏa mãn Nhưng có một số số không nguyên tố, gọi là giả nguyên tố cũng thoả mãn tính chất đó.

11. Thuật toán Miller - Rabin Là phép kiểm tra dựa trên Định lý Ferma Thuật toán như sau: TEST ( n ) is: 1. Find integers k , q , k > 0, q odd, so that ( n –1)=2 k q 2. Select a random integer a , 1< a < n –1 3. if a q mod n = 1 then return (“maybe prime&quot;); 4. for j = 0 to k – 1 do 5. if ( a 2 j q mod n = n -1 ) then return(&quot; maybe prime &quot;) 6. return (&quot;composite&quot;)

12. Các xem xét về mặt xác suất Nếu thuật toán Miller Rabin trả về số “composite” thì số đó chắc chắn không là số nguyên tố. Ngược lại số đó có thể là số nguyên tố hoặc giả nguyên tố Xác suất để số đó là giả nguyên tố là ¼ Suy ra nếu lặp phép thử với các lựa chọn ngẫu nhiên khác nhau. Khi đó xác suất để số n sau t phép thử là số nguyên tố là: 1-4-t VD t = 10, thì xác suất > 0.99999

13. Phân bố nguyên tố Prime Distribution Định lý về số nguyên tố khẳng định số nguyên tố xuất hiện sau mỗi khoảng ln n số nguyên (xét các sô trong kích thước n) Như vậy bỏ qua số chẵn và các bội số của 5, ta cần kiểm tra 0.4 ln n số trong kích thước n để tìm được 1 số nguyên tố. Lưu ý đây chỉ là trung bình, vì có lúc các số nguyên rất gần nhau và có lúc lại rất xa nhau.

14. Định lý phần dư Trung Hoa Chinese Remainder Theorem Sử dụng để tăng tốc độ tính toán Modulo Tính toán trên modulo của một tích các số mod M với M= m1m2..mk Định lý phần dư Trung Hoa cho phép làm việc trên từng Modulo mi riêng biệt Vì thời gian tính toán tỷ lệ với kích thước nên điều đó sẽ nhanh hơn tính toán trên toàn bộ M

15. Chinese Remainder Theorem Có thể tri ển khai Định lý Trung Hoa theo một số cách Để tính A mod M Trước hết ta cần tính tất cả a i = A mod m i Tính C i theo công thức sau với M i = M/m i Sau đó sử dụng công thức

16. Ví dụ Định lý ph ần dư Trung Hoa

17. Căn nguyên tố Primitive Roots Từ Định lý Ole ta có a ø(n) mod n=1 Xét m để a m mod n = 1, GCD(a,n)=1 Có m = ø(n) thỏa mãn nhưng có thể có giá trị nhỏ hơn Khi đạt được m như vậy sẽ có vòng lặp Nếu giá trị m = ø(n) là số dương nhỏ nhất thoả mãn công thức trên thì a được gọi là căn nguyên tố của n. Nếu p là số nguyên tố, thì các luỹ thừa thích hợp của a: a0, a1, …sẽ sinh ra nhóm modulo p. Điều này có ích nhưng tương đối khó tìm

18. Ví dụ căn nguyên t ố Xét số nguyên tố p = 5 và xét xem a = 2 có phải là căn nguyên tố của 5 không? 2 mod 5 = 2; 2 2 mod 5 = 4; 2 3 mod 5 = 3; 2 4 mod 5 = 1 Rõ ràng m= 4= ø(5) l à s ố mũ nhỏ nhất có t ính chất 2m mod 5 = 1, nên 2 là căn nguyên tố của 5. Xét số n = 6 và xét xem a = 3 có phải là căn nguyên tố của 3 không? 3 mod 8 = 3; 3 2 mod 8 = 1; 3 3 mod 8 = 3; 3 4 mod 8 = 1 Rõ ràng m= 2 < 4 = ø(8) l à s ố mũ nhỏ nhất có t ính chất 3m mod 8 = 1, nên 3 không là căn nguyên tố của 8.

19. Logarit rời rạc Discrete Logarithms Bài toán ngược của bài toán lũy thừa là tìm logarit rời rạc của một sô modulo p Tức là tìm x sao cho a x = b mod p Hay còn được viết là x = log a b mod p or x= ind a,p (b) Nếu a là căn nguyên tố thì luôn luôn tồn tại, ngược lại thì có thể không x = log 2 3 mod 13 = 4 bằng cách thử lần lượt x = log 3 4 mod 13 (tìm x: 3 x = 4 mod 13) không có lời giải Trong khi lũy thừa là bài toán dễ dàng, thì bài toán logarit rời rạc là bài toán khó.

20. Summary have considered: prime numbers Fermat’s and Euler’s Theorems & ø(n) Primality Testing Chinese Remainder Theorem Discrete Logarithms