1. Codeforces Round #219 Div1 E
Drawing Circles is Fun 解説
DEGwer

2. 問題概要
• 平面上にN点が与えられます
• N点のうちどの2点A,Bをとっても、原点をOと
するとO,A,Bは同一直線状に並びません
• また、与えられる点の集合はは原点を含みませ
ん
• N<=1000

3. 問題概要
• 次のような条件を満たす、点のペアの集合の個
数をmod 10^9+7で数えてください
• すべてのペアに属する点は与えられた点集合に
属しており、重複がない
• 任意のペアのペア(A_i,B_i),(A_j,B_j)に対し、
三角形OA_iB_iの外接円と三角形OA_jB_jの外
接円は一点で接し、また三角形OA_iB_jの外接
円と三角形OA_jB_iの外接円は一点で接する

4. 反転
• 世の中には反転という操作がある
• 原点から距離tにある点を原点中心に、反転半径
1で反転するという操作は、原点に対する方向を
たもちつつ距離を1/tにするという操作
• これを行うと、(x,y)という点は
(x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2))となる

5. 反転
• この操作を平面全体に行うと、原点を通る円が
原点を通らない直線にうつる
• 今回この問題で考えたい円は原点を通る円だけ
なので、この操作で直線を扱う問題に帰着でき
る

6. 反転
• “任意のペアのペア(A_i,B_i),(A_j,B_j)に対し、
三角形OA_iB_iの外接円と三角形OA_jB_jの外
接円は一点で接し、また三角形OA_iB_jの外接
円と三角形OA_jB_iの外接円は一点で接する”と
いう条件はどう言い換えられるか?

7. 反転
• 原点で互いに接する円は反転によって平行な直
線にうつる
• よって、この(A_i,B_i),(A_j,B_j)が満たすべき
条件は、反転後の座標で「四角形A_iB_iA_jB_j
が平行四辺形となる」ということになる

8. 平行四辺形
• では、四角形A_iB_iA_jB_jが平行四辺形になる
ための条件とは?
• 対角線の中点が一致することが、平行四辺形で
あるための必要十分条件

9. 解法
• 反転したあと、すべての2点の組について、対角
線の中点を全列挙
• これらが一致するような2点の組を集めてきて、
そのなかでごにょごにょして足すと答えが求ま
る

10. 注意点
• 問題文には、「一点で接する」と書いてある
• よって、中点が一致しても4点が同一直線上に
乗っていたらアウト
• この場合を加味していない提出が多くみられま
した

11. 解法
• この事実より、対角線の中点が一致するような2
点の組の集合の中で、さらに4点が同一直線上に
並ぶようなものを省かなければいけない
• これは適当にかけざんをすると求まるので、全
体でO(N^2log N)(同じものをまとめるときに
ソートするため)の時間でこの問題が解ける

12. 余談
• りんごさん、hosさん、Egorさんその他強い人
がpretest 5でWAを出していて、かつその出力が
すべて同じだったので相当びびった
• 正解者が2人でDiv1Eにちょうどいい難易度だっ
たと思います(小並感)