bài tập toán cao cấp

1. Bài tập toán cao cấp
Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.

2. ˜
ˆ ’
NGUYEN THUY THANH
` ˆ
BAI TAP
.
´ ´
ˆ
TOAN CAO CAP
Tˆp 2
a
.
Ph´p t´ vi phˆn c´c h`m
e ınh a a a
` ´
ˆ ’ ´
ˆ ` ˆ
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI
. . .

3. Muc luc
. .
7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o 3
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . ’ a o ´ 4
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜a gi´.i han .
a a a e o . ı o . 5
.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn c´c
´
7.1.2 Ch´ u . o . ’ a o .
. e a
dinh l´ vˆ gi´.i han . . . . . . . . . . . . . . . .
. y ` o .
e 11
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u . o . ’ a o .
. ´ e `
e
e. ’
’ e a o .
kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
. e y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn diˆu
u . o . ’ a o .
. ´ e `
e
e `
. a a ’ e a o . ’
kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu
. e y o . .
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 .i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . . . . .
Gi´ .
o a o ´
e . . 27
.
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
a a e . a . y ’ ` o .
e . . 27
7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e . . . 41
7.4 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . .
o . a e . ’ a `
e ´
e . . 51
8 Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o. e´ 60
- . a
8.1 Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
- . a ´
8.1.1 Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
- . a ´
8.1.2 Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
a
8.2 Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 75
a a ´
8.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. 2 MUC LUC
. .
a a ´
8.2.2 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 a . y . ban vˆ h`m kha vi. Quy t˘c l’Hospital.
C´c dinh l´ co ’ ` a e ’ ´
a
Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 84
8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . . . .
a . y ’ ` a
e ’ 84
8.3.2 Khu a’. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
o . ´
a o
.
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 96
9 Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
a a `e ´
e 109
- . a
9.1 Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . 110
- . a e ´
9.1.1 Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . .
a . . . . . . . 110
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . .
- . a ’ a . . . . . . . . 111
a ’
9.1.3 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . .
- . a o . . . . . . . 112
- . a e ´
9.1.5 Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . .
a . . . . . . . 113
a ’ a ` ´
9.2 Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . .
e e . . . . . . . 125
a a ´
9.2.1 Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
´ . ’ `
9.2.2 Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng
a e ı a u . . . . . . . 126
a ınh a ’ ´
9.2.3 C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . .
a . . . . . . . 127
a a ´
9.2.4 Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2.5 Cˆng th´
o u .c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
a ’ a a ’
9.2.6 Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . .
. . ’ a `
e e´ . . . . . . 145
9.3.1 Cu .c tri . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 145
. .
.c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . .
9.3.2 Cu . . o ` e e
. . . . . . . 146
9.3.3 Gi´ tri l´
a . o .n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m .
´
a a e a ’ a ´ . . . . . 147

5. Chu.o.ng 7
Gi´.i han v` liˆn tuc cua
o . a e . ’
h`m sˆ
a ´
o
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ . . . . . . . . . . . . . .
o . ’ a o ´ 4
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a a a e o . ıa o
han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 5
7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u . o . ’ a o .
. ´ e
a . y e` gi´.i han . . . . . . . . . . . .
c´c dinh l´ vˆ o . 11
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a
u . o . ’
. ´
a o .
` e
. ’
’ e a
trˆn diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
e e o .
. e l´
y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u . o . ’ a o .
. ´ e
` e ` ’
. a a ’ e a o .
diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
e . e
l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
y o .
.
7.2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn . . . . . . . . . . . . 27
o . a o
. ´
e
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han 27
a a e . a . y ’ ` o .
e
7.3 H`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
a e .
7.4 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn . 51
o . a e . ’ a `
e ´
e

6. 4 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´
H`m sˆ x´c dinh trˆn tˆp ho.p N du.o.c goi l` d˜y sˆ vˆ han. D˜y sˆ
a ´
o a . e a . . . . a a o o .´ a o ´
thu.`.ng du.o.c viˆt du.´.i dang:
o . ´
e o .
a1, a2, . . . , an , . . . (7.1)
ho˘c {an }, trong d´ an = f (n), n ∈ N du.o.c goi l` sˆ hang tˆng qu´t
a
. o . ´
. a o . ’
o a
’ a ´ .
a o e ’ o . ´
cua d˜y, n l` sˆ hiˆu cua sˆ hang trong d˜y. a
Ta cˆn lu.u y c´c kh´i niˆm sau dˆy:
`
a ´ a a e . a
i) D˜y (7.1) du .
a .o.c goi l` bi ch˘n nˆu ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an |
´
. a . a e .
M; v` goi l` khˆng bi ch˘n nˆu: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M.
a . a o . a e
. ´
ii) Sˆ a du.o.c goi l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
´
o . . a o . ’ a ´
e
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n N ⇒ |an − a| < ε. (7.2)
iii) Sˆ a khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y (7.1) nˆu:
´
o o ’ a o . ’ a ´
e
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n N ⇒ |an − a| ε. (7.3)
iv) D˜y c´ gi´.i han du.o.c goi l` d˜y hˆi tu, trong tru.`.ng ho.p ngu.o.c
a o o . . . a a o . . o . .
lai d˜y (7.1) goi l` d˜y phˆn k`.
. a . a a a y
. a a o u e e ´
v) D˜y (7.1) goi l` d˜y vˆ c`ng b´ nˆu lim an = 0 v` goi l` d˜y
a a . a a
n→∞
vˆ c`ng l´.n nˆu ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A v` viˆt
o u o ´
e a e ´
lim an = ∞.
` ’
e ` e a o . a a o ’ . a
vi) Diˆu kiˆn cˆn dˆ d˜y hˆi tu l` d˜y d´ phai bi ch˘n.
e . a . .
Ch´ ´: i) Hˆ th´
uy e u .c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´.i:
o
.
−ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4)

7. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 5
Hˆ th´.c (7.4) ch´.ng to r˘ng moi sˆ hang v´.i chı sˆ n > N cua d˜y
e u
. u ’ a` ´
. o . o ’ o ´ ’ a
o . ` ` ’ ’
hˆi tu dˆu n˘m trong khoang (a − ε, a + ε), khoang n`y goi l` ε-lˆn
. e a a . a a
a ’ ’
cˆn cua diˆm a.
. e
Nhu. vˆy, nˆu d˜y (7.1) hˆi tu dˆn sˆ a th` moi sˆ hang cua n´ tr`.
a
. ´
e a ´ ´
o . e o
. ı . o . ´ ’ o u
.u han sˆ hang dˆu n˘m trong ε-lˆn cˆn bˆt k` b´ bao
e `
`
. ´
ra mˆt sˆ h˜
o o u . o . ´ a a a a y e
. ´
e u ´ ’
nhiˆu t`y y cua diˆm a.
e’
ii) Ta lu.u y r˘ng d˜y sˆ vˆ c`ng l´.n khˆng hˆi tu v` k´ hiˆu
´ `a ´
a o o u o o o . a y e
. .
lim an = ∞ (−∞) chı c´ ngh˜ l` d˜y an l` vˆ c`ng l´.n v` k´ hiˆu d´
’ o ıa a a a o u o a y e o
.
ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ l` d˜y c´ gi´ .
a a o o ıa a a o o .i han.
7.1.1 C´c b`i to´n liˆn quan t´.i dinh ngh˜ gi´.i
a a a e o . ıa o
han
.
Dˆ ch´.ng minh lim an = a b˘ng c´ch su. dung dinh ngh˜a, ta cˆn tiˆn
’
e u `
a a ’ . . ı `
a ´
e
h`nh theo c´c bu o
a a .´.c sau dˆy:
a
i) Lˆp biˆu th´.c |an − a|
a. e’ u
ii) Chon d˜y bn (nˆu diˆu d´ c´ lo.i) sao cho |an − a| bn ∀ n v`
. a ´ ` o o .
e e a
v´
o.i ε du b´ bˆt k` bˆt phu.o.ng tr` dˆi v´.i n:
´
’ e a y a ´ ´
ınh o o
bn < ε (7.5)
c´ thˆ giai mˆt c´ch dˆ d`ng. Gia su. (7.5) c´ nghiˆm l` n > f (ε),
o e ’ ’ o a
. ˜ a
e ’ ’ o e a
.
’ ´
o e a a o a `
f (ε) > 0. Khi d´ ta c´ thˆ lˆy n l` [f (ε)], trong d´ [f (ε)] l` phˆn
o a
e ’
nguyˆn cua f (ε).
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Gia su. an = n(−1) . Ch´.ng minh r˘ng:
n
ı . ’ ’ u `
a
i) D˜y an khˆng bi ch˘n.
a o . a
.
ii) D˜y an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
a o ’ a o u o
’
Giai. i) Ta ch´u.ng minh r˘ng an thoa m˜n dinh ngh˜a d˜y khˆng
`
a ’ a . ı a o
´ .i sˆ hiˆu n = 2([M] + 1) b˘ng
o ´ .
bi ch˘n. Thˆt vˆy, ∀ M > 0 sˆ hang v´ o e `
. a . a a
. . o . a
n v` l´.n ho.n M. Diˆu d´ c´ ngh˜ l` d˜y an khˆng bi ch˘n.
a o ` o o
e ıa a a o . a .

8. 6 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
ii) Ta ch´.ng minh r˘ng an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n. Thˆt vˆy,
u `
a o ’ a o u o a a
. .
e ’ ’
e e ´
o . ’ a o ´ ..i sˆ hiˆu le
ta x´t khoang (−2, 2). Hiˆn nhiˆn moi sˆ hang cua d˜y v´ o e ’
.
` u thuˆc khoang (−2, 2) v` khi n le th` ta c´:
dˆ
e o
. ’ ı ’ ı o
n
n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).
Nhu. vˆy trong khong (−2, 2) c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y. T`. d´,
a
. ’ ´ ´
o o o o . ’ a u o
theo dinh ngh˜ suy ra an khˆng phai l` vˆ c`ng l´.n.
. ıa o ’ a o u o
V´ du 2. D`ng dinh ngh˜a gi´.i han d˜y sˆ dˆ ch´.ng minh r˘ng:
ı . u . ı o . ´ ’
a o e u `
a
(−1)n−1 n
1) lim = 0. 2) lim = 1.
n→∞ n n→∞ n+1
Giai. Dˆ ch´.ng minh d˜y an c´ gi´.i han l` a, ta cˆn ch´.ng minh
’ ’
e u a o o . a `
a u
` ´
r˘ng dˆi v´
a o o .i mˆ i sˆ ε > 0 cho tru.´.c c´ thˆ t`m du.o.c sˆ N (N phu
˜ o
o ´ o o e ’ ı ´
. o .
thuˆc ε) sao cho khi n > N th` suy ra |an − a| < ε. Thˆng thu.`.ng ta
o. ı o o
c´ thˆ chı ra cˆng th´.c tu.`.ng minh biˆu diˆn N qua ε.
o e ’’ o u o e’ ˜
e
1) Ta c´:
o
(−1)n−1 1
|an − 0| = = ·
n n
Gia su. ε l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c t`y y. Khi d´:
’ ’ a o´ o u ´ o
1 1
<ε⇔n> ·
n ε
V` thˆ ta c´ thˆ lˆy N l` sˆ tu. nhiˆn n`o d´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
ı e ´ ’ ´
o e a ´
a o . e a o ’ a `
e e
.
1 1
N> ⇒ < ε.
ε N
’ . ’ ´
o e a o a `
(Ch˘ng han, ta c´ thˆ lˆy N = [1/ε], trong d´ [1/ε] l` phˆn nguyˆn
a a e
’
cua 1/ε).
Khi d´ ∀ n N th`
o ı:
1 1
|an − 0| = < ε.
n N

9. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 7
(−1)n
` o o
Diˆu d´ c´ ngh˜ l` lim
e ıa a = 0.
n→∞ n
2) Ta lˆy sˆ ε > 0 bˆt k` v` t` sˆ tu. nhiˆn N (ε) sao cho ∀ n >
´ ´
a o ´
a y a ım o . ´ e
N (ε) th`:
ı
n
− 1 < ε.
n+1
Bˆt d˘ng th´.c
´ ’
a a u
1 1
|an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ − 1.
n+1 ε
1
’ ´ ´ a ` e ’
Do d´ ta c´ thˆ lˆy sˆ N (ε) l` phˆn nguyˆn cua
o o e a o a − 1, t´.c l`:
u a
ε
N (ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´ v´.i moi n N ta c´:
o o . o
n 1 1 n
−1 = < ε ⇒ lim = 1.
n+1 n+1 N +1 n→∞ n + 1
V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
ı . u `
a a a a a y
1) an = n, n∈N (7.6)
2) an = (−1)n ,n∈N (7.7)
1
3) an = (−1)n + · (7.8)
n
Giai. 1) Gia su. d˜y (7.6) hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy ε = 1.
’ ’ ’ a o . a o o . a
. ´
a
o ı o.i han tˆn tai sˆ hiˆu N sao cho ∀ n > N th`
Khi d´ theo dinh ngh˜a gi´ . ` . o e o ´ . ı
.
ta c´ |an − a| < 1 ngh˜ l` |n − a| < 1 ∀ n > N . T`. d´ −1 < n − a < 1
o ıa a u o
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bˆt d˘ng th´.c n < a + 1, ∀ n > N l` vˆ l´ v` tˆp ho.p c´c
´ ’
a a u a o y ı a . . a
sˆ tu. nhiˆn khˆng bi ch˘n.
´
o . e o . a .
’ ’
2) C´ch 1. Gia su a
a . d˜y an hˆi tu v` c´ gi´.i han l` a. Ta lˆy lˆn
o . a o o . a ´
a a
.
1 1
cˆn a − , a +
a
. cua diˆm a. Ta viˆt d˜y d˜ cho du.´.i dang:
’ e’ ´
e a a o .
2 2
{an } = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9)

10. 8 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
1 1
ı o a ’
. ’
V` dˆ d`i cua khoang a − , a + ` ’
l` b˘ng 1 nˆn hai diˆm −1
a a e e
2 2
1 1
v` +1 khˆng thˆ dˆng th`.i thuˆc lˆn cˆn a − , a +
a o ’ o
e ` o o a a
. . ’ ’
cua diˆm a,
e
2 2
v` khoang c´ch gi˜.a −1 v` +1 b˘ng 2. Diˆu d´ c´ ngh˜a l` o. ngo`i
ı ’ a u a `
a ` o o
e ı a ’ a
1 1
lˆn cˆn a − , a +
a a . ´ ´ ’ a a ı e ´
c´ vˆ sˆ sˆ hang cua d˜y v` v` thˆ (xem ch´
o o o o . u
2 2
y o. trˆn) sˆ a khˆng thˆ l` gi´.i han cua d˜y.
´ ’ e ´
o o ’
e a o . ’ a
1
C´ch 2. Gia su. an → a. Khi d´ ∀ ε > 0 (lˆy ε = ) ta c´
a ’ ’ o ´
a o
2
1
|an − a| < ∀ n N.
2
V` an = ±1 nˆn
ı e
1 1
|1 − a| < , | − 1 − a| <
2 2
1 1
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| |1 − a| + |a + 1| + =1
2 2
⇒2 < 1, vˆ l´.
o y
1
3) Lu.u y r˘ng v´.i n = 2m ⇒ a2m = 1 +
´ a` o . Sˆ hang kˆ v´.i n´
´
o . ` o o
e
2m
´ .
o o e ’
c´ sˆ hiˆu le 2m + 1 (hay 2m − 1) v`
a
1 1
a2m+1 = −1 + < 0 (hay a2m−1 = −1 + 0).
2m + 1 2m − 1
T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
|an − an−1 | > 1.
Nˆu sˆ a n`o d´ l` gi´.i han cua d˜y (an ) th` b˘t dˆu t`. sˆ hiˆu n`o
´ ´
e o a o a o . ’ a ı ´ ` u o e a
a a ´ .
1
d´ (an ) thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c |an − a| < . Khi d´
o ’ a a a´ ’ u o
2
1 1
|an − an+1 | |an − a| + |an+1 − a| < + = 1.
2 2
Nhu.ng hiˆu gi˜.a hai sˆ hang kˆ nhau bˆt k` cua d˜y d˜ cho luˆn luˆn
e. u ´
o . `
e ´
a y ’ a a o o
l´.n ho.n 1. Diˆu mˆu thuˆ n n`y ch´.ng to r˘ng khˆng mˆt sˆ thu.c
o `
e a ˜
a a u ’ a` o . ´
o o .
’
n`o c´ thˆ l` gi´ .
a o e a o .i han cua d˜y d˜ cho.
’ a a

11. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 9
` ˆ
BAI TAP
.
H˜y su. dung dinh ngh˜ gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
a ’ . . ıa o . e u’ `
a
2n − 1
´
1. lim an = 1 nˆu an =
e
n→∞ 2n + 2
3 3n2 + 1
2. lim an = nˆ ´u an =
e
n→∞ 5 5n2 − 1
´t dˆu t`. sˆ hiˆu N n`o th`
B˘ a
a ` u o e ´ . a ı:
|an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5)
3n + 1
´
3. lim an = 1 nˆu an =
e .
n→∞ 3n
cos n
4. lim = 0.
n→∞ n
2n + 5 · 6n
5. lim = 5.
n→∞ 3n + 6n
√ 3
n2 sin n2
6. lim = 0.
n→∞ n+1
7. Ch´.ng minh r˘ng sˆ a = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua d˜y an =
u `
a o´ o ’ a o . ’ a
2
n −2
.
2n2 − 9
8. Ch´.ng minh r˘ng
u `
a
n2 + 2n + 1 + sin n
lim = 1.
n→∞ n2 + n + 1
9. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = (−1)n + 1/n phˆn k`.
u `
a a a y
10. Ch´.ng minh r˘ng d˜y; an = sin n0 phˆn k`.
u `
a a a y
11. T` gi´.i han cua d˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2, . . .
ım o . ’ a
n
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
’ ˜a ’
e ˜
e o .
2 22 2
an = 0, 22 . . . 2 = + + ··· + n (DS. lim an = 2/9)
10 10 10

12. 10 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
12. T`
ım gi´.i
o han
. ’
cua d˜y
a ´
sˆ:
o
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . . 3, . . .
n
Chı dˆ n. Biˆu diˆn an du.´.i dang
’ ˜a ’
e ˜
e o .
2 3 3 3
an = + 2
+ 3 + ··· + n (DS. 7/30)
10 10 10 10
13. Ch´.ng minh r˘ng nˆu d˜y an hˆi tu dˆn a, c`n d˜y bn dˆn dˆn
u `
a ´
e a o . e
. ´ o a `
a e ´
a ´
` e
∞ th` d˜y an /bn dˆn dˆn 0.
ı a
14. Ch´.ng minh r˘ng
u `
a
n
i) lim n = 0.
n→∞ 2
n
ii) lim n = 0 (a > 1).
n→∞ a
Chı dˆ n. i) Su. dung hˆ th´.c:
’ ˜a ’ . e u
.
n(n − 1) n(n − 1) n2
2n = (1 + 1)n = 1 + n + + ··· + 1 > n + > ·
2 2 2
v` u.´.c lu.o.ng |an − 0|.
a o .
ii) Tu .o.ng tu. nhu. i). Su. dung hˆ th´.c:
’ . e u
. .
n(n − 1)
an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1).
2
15. Ch´.ng minh r˘ng
u `
a
1 1
´
lim an = 2 nˆu an = 1 +
e + ··· + n
2 2
Chı dˆ n. Ap dung cˆng th´.c t´nh tˆng cˆp sˆ nhˆn dˆ t´nh an rˆi
’ ˜ ´
a . o u ı o’ ´ ´
a o a e ı ’ `
o
u.´.c lu.o.ng |an − 2|.
o .
16. Biˆt r˘ng d˜y an c´ gi´.i han, c`n d˜y bn khˆng c´ gi´.i han. C´
´ `
e a a o o . o a o o o . o
thˆ n´i g` vˆ gi´.i han cua d˜y:
’
e o ı ` o . e ’ a
i) {an + bn }.
ii) {an bn }.
(DS. i) lim{an + bn } khˆng tˆn tai. H˜y ch´.ng minh.
o ` .
o a u

13. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 11
ii) C´ thˆ g˘p ca hai tru.`.ng ho.p c´ gi´.i han v` khˆng c´ gi´.i han,
’ .
o e a ’ o . o o . a o o o .
v´ du:
ı .
n−1 1
an = , bn = (−1)n ; an = , bn = (−1)n .
n n
7.1.2 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u . o . ’
. ´
a o . e
c´c dinh l´ vˆ gi´.i han
a . y ` o .
e
Dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y sˆ, ngu.`.i ta thu.`.ng su. dung c´c dinh l´ v`
’
e ı o . ’ a o ´ o o ’ . a . y a
kh´i niˆm sau dˆy:
a e . a
’ ’
Gia su. lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim an bn = lim an · lim bn = a · b.
iii) Nˆu b = 0 th` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´ d˜y an /bn x´c
´
e ı ´ ` u o o e a o a
a a . ´ . a
dinh (ngh˜ l` ∃ N : ∀ n N ⇒ bn = 0) v`:
. ıa a a
an lim an a
lim = = ·
bn lim bn b
iv) Nˆu lim an = a, lim bn = a v` b˘t dˆu t`. mˆt sˆ hiˆu n`o d´
´
e ´ a
a a ` u o o e a o
. ´ .
an zn bn th` lim zn = a (Nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
ı e y . a . a
v) T´ cua d˜y vˆ c`ng b´ v´.i d˜y bi ch˘n l` d˜y vˆ c`ng b´.
ıch ’ a o u e o a . a a a o u
. e
1
vi) Nˆu (an ) l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` an = 0 th` d˜y
´
e a a o u o a ı a l` d˜y vˆ
a a o
an
1
c`ng b´; ngu.o.c lai, nˆu αn l` d˜y vˆ c`ng b´ v` αn = 0 th` d˜y
u e . . e ´ a a o u e a ı a
αn
l` vˆ c`ng l´.n.
a o u o
Nhˆn x´t. Dˆ ´p dung d´ng d˘n c´c dinh l´ trˆn ta cˆn lu.u y mˆt
a e
. ’
ea . u ´ a .
a y e `
a ´ o .
´ .
sˆ nhˆn x´t sau dˆy:
o a e a
i) Dinh l´ (iii) vˆ gi´.i han cua thu.o.ng s˜ khˆng ´p dung du.o.c nˆu
. y ` o .
e ’ e o a . . e ´
tu. sˆ v` mˆ u sˆ khˆng c´ gi´.i han h˜.u han ho˘c mˆ u sˆ c´ gi´.i han
´
’ o a a o o ˜ ´ o o . u . a
. ˜ o o o .
a ´
`
b˘ng 0. Trong nh˜
a u .ng tru.`.ng ho.p d´ nˆn biˆn dˆi so. bˆ d˜y thu.o.ng,
o o e ´ ’
e o o a
. .
’ ` . sˆ v` mˆ u sˆ v´.i c`ng mˆt
a ’ ´
ch˘ng han b˘ng c´ch chia ho˘c nhˆn tu o a a o o u
a a a a ˜ ´ o
. . .
biˆ
e’u th´.c.
u

14. 12 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
ii) Dˆi v´.i dinh l´ (i) v` (ii) c˜ng cˆn phai thˆn trong khi ´p dung.
´
o o . y a u `
a ’ a
. . a .
Trong tru o .`.ng ho.p n`y ta cˆn phai biˆn dˆi c´c biˆu th´.c an ± bn v`
a `
a ’ ´ ’
e o a e’ u a
.
an · bn tru.´.c khi t´ gi´.i han (xem v´ du 1, iii).
o ınh o . ı .
´
iii) Nˆu an = a ≡ const ∀ n th` lim an = a.
e ı
n→∞
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. T` lim an nˆu:
ı . ım ´
e
1) an = (1 + 7 )/(3 − 7n )
n+2
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2)
’ ’
e ’ a a a a ´ ´ ´
Giai. Dˆ giai c´c b`i to´n n`y ta d`ng l´ thuyˆt cˆp sˆ
u y e a o
1) Nhˆn tu. sˆ v` mˆ u sˆ phˆn th´.c v´.i 7−n ta c´:
´
a ’ o a a o a ˜ ´ u o o
1 + 7n+2 7−n + 72
an = =
3 − 7n 3 · 7−n − 1
o
Do d´
7−n + 72
lim an = lim = −49 v` lim 7−n = 0, n → ∞.
ı
3 · 7−n − 1
2) Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ cˆng nˆn ta c´:
´ ˜ ´ e
’ o a a o ` a a o o ´ ´ . e o
2 + 2n
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n;
2
1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1).
2
o
Do d´
n
an = ⇒ lim an = 1.
n+1
3) Nhu. ta biˆt:
´
e
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 =
6

15. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 13
v` do d´:
a o
6n3
lim an = lim
n(n + 1)(2n + 1)
6
= lim = 3.
(1 + 1/n)(2 + 1/n)
V´ du 2. T` gi´.i han
ı . ım o .
1 1 1
1+ + + ··· + n
lim 2 4 2
1 1 1
1 + + + ··· + n
3 9 3
Giai. Tu. sˆ v` mˆ u sˆ dˆu l` cˆp sˆ nhˆn nˆn
’ ´ ˜ ´ e
’ o a a o ` a a o a e ´ ´
1 1 2(2n − 1)
1+ + ··· + = ,
2 2n 2n
1 1 3(3n − 1)
1 + + ··· + =
3 3n 2 · 3n
v` do d´:
a o
2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n
lim an = lim · = 2 lim · lim n
2n 3(3n − 1) 2n 3 3 −1
2 1 2 4
= 2 lim[1 − (1/2)n ] · lim n
=2·1· ·1= ·
3 1 − (1/3) 3 3
V´ du 3.
ı .
√
1) an = n2 + n − n
√ √
2) an = 3 n + 2 − 3 n
√
3) an = 3 n2 − n3 + n
’
Giai.
1) Ta biˆn dˆi an b˘ng c´ch nhˆn v` chia cho dai lu.o.ng liˆn ho.p
´ ’
e o `
a a a a . . e .
√ √
( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1
an = √ =√ =
n2 + n + n n2 + n + n 1 + 1/n + 1
Do d´
o
1 1
lim an = = ·
lim ( 1 + 1/n + 1) 2
n→∞

16. 14 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
2) Biˆn dˆi an tu.o.ng tu. nhu. 1) ta c´:
´ ’
e o . o
√3 3 √ 3
n+2 − 3n
an = √ 2 √ √ √ 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
2
an = √ 2 √ √ √ 2
3
n+2 + 3n+2· 3n+ 3n
Biˆu th´.c mˆ u sˆ b˘ng:
’
e u ˜ o a
a ´ `
2
n2/3 3
1 + 2/n + 3
1 + 2/n + 1 → ∞
khi n → ∞ v` do d´ lim an = 0.
a o
√
3) Ta c´ thˆ viˆt n = n3 v` ´p dung cˆng th´.c:
3
o e e’ ´ aa . o u
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
suy ra
√ √ 2 √
3
n2 − n3 + n 3
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
an = √3 2 √
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
n2
= √ 3 2 √
n2 − n3 − n 3 n2 − n3 + n2
1
= 2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1
[1/n − 1]
1
suy ra lim an = ·
3
V´ du 4. T` gi´.i han cua c´c d˜y sau
ı . ım o . ’ a a
n n
an = √ , bn = √ ,
n 2+n n 2+1
1 1 1
cn = √ +√ + ··· + √ ·
n+1 n2 + 2 n2 + n
Giai. Dˆu tiˆn ta ch´.ng minh lim an = 1. Thˆt vˆy:
’ `
a e u a a
. .
n 1
lim an = lim = lim = 1.
n 1 + 1/n 1 + 1/n

17. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 15
Tu.o.ng tu. lim bn = 1.
.
’ t`m gi´.i han cua cn ta s˜ ´p dung Nguyˆn l´ bi ch˘n hai ph´a.
Dˆ ı
e o . ’ ea . e y . a . ı
Mˆt m˘t ta c´:
o
. a
. o
1 1 1 n
cn < √ +√ + ··· + √ =√ = bn
n2 +1 n2 +1 n2 +1 n 2+1
nhu.ng m˘t kh´c:
a
. a
1 1 1
cn > √ +√ + ··· + √ = an .
n2 + n n2 + n n2 + n
Nhu. vˆy an < cn < bn v` lim an = lim bn = 1. T`. d´ suy ra
a
. a u o
n→∞ n→∞
lim cn = 1.
n→∞
V´ du 5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y (q n ) l`: 1) d˜y vˆ c`ng l´.n nˆu
ı . u `
a a a a o u o ´
e
|q| > 1; 2) d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
a o u e
Giai. 1) Gia su. |q| > 1. Ta lˆy sˆ A > 0 bˆt k`. T`. d˘ng th´.c
’ ’ ’ ´ ´
a o ´
a y u a ’ u
|q| > A ta thu du.o.c n > log|q| A. Nˆu ta lˆy N = [log|q|A] th` ∀ n > N
n
. ´
e ´
a ı
o n
o a n
ta c´ |q| > A. Do d´ d˜y (q ) l` d˜y vˆ c`ng l´
a a o u o.n.
1 n −1 1
2) Gia su. |q| < 1, q = 0. Khi d´ q n =
’ ’ o . V`
ı > 1 nˆn
e
q q
1 n 1 n −1
d˜y
a l` d˜y vˆ c`ng l´.n v` do d´ d˜y
a a o u o a o a l` vˆ c`ng
a o u
q q
b´, t´.c l` d˜y (q n ) l` d˜y vˆ c`ng b´ khi |q| < 1.
e u a a a a o u e
3) Nˆu q = 0 th` q = 0, |q| < ε ∀ n v` do d´ (q n ) l` vˆ c`ng b´.
e´ ı n n
a o a o u e
` ˆ
BAI TAP
.
T` gi´.i han lim an nˆu
ım o . ´
e
n→∞
n2 − n
1. an = √ . (DS. ∞)
n− n
√
2. an = n2 (n − n2 + 1). (DS. −∞)

18. 16 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
1 + 2 + 3 + ··· + n
3. an = √ . (DS. 1/6)
9n4 + 1
√
n cos n
4. an = . (DS. 0)
n+1
5n sin n
5. an = + . (DS. 5)
n+1 n
n3 3n2
6. an = 2 − . (DS. 1/3)
n + 1 3n + 1
n cos n
7. an = − . (DS. 1)
n + 11 10n
n3 + 1
8. an = 2 (DS. ∞)
n −1
cos n3 3n 1
9. an = − . (DS. − )
n 6n + 1 2
n
(−1)
10. an = √ . (DS. 0)
5 n+1
√ √
n2 + 1 + n
11. an = √ 3
√ . (DS. +∞)
n3 + n − n
√
12. an = 3 1 − n3 + n. (DS. 0)
√
n2 + 4n
13. an = √ 3
. (DS. 1)
n3 − 3n2
(n + 3)!
14. an = . (DS. −∞)
2(n + 1)! − (n + 2)!
2 + 4 + · · · + 2n
15. an = − 2. (DS. −1)
n+2
√ 1
16. an = n − 3 n3 − n2 . (DS. )
3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1
17. an = √ √ . (DS. − )
n2 + 1 + 4n2 + 1 3
1 1 1
18. an = + + ··· + .
1·2 2·3 n(n + 1)
1 1 1
’ ˜ ´
Chı dˆ n. Ap dung
a . = − (DS. 1)
n(n + 1) n n+1

19. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 17
1 1 1 (−1)n−1 3
19. an = 1 − + − + ··· + . (DS. )
3 9 27 3n−1 4
n+1 n+1
2 +3
20. an = n + 3n
. (DS. 3)
2
n + (−1)n
21. an = . (DS. 1)
n − (−1)n
1 1 1 1
22. an = √ √ √ +√ √ + ··· + √ √
n 1+ 3 3+ 5 2n − 1 + 2n + 1
Chı dˆ n. Truc c˘n th´.c o. mˆ u sˆ c´c biˆu th´.c trong dˆu ngo˘ c.
’ ˜
a . a ˜ ´
u ’ a o a e’ u ´
a a
.
1
(DS. √ )
2
1 1 1
23. an = + + ··· +
1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2)
’ ˜ .´.c hˆt ta ch´.ng minh r˘ng
Chı dˆ n. Tru o e
a ´ u `
a
1 1 1 1 1
= − (DS. )
n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 4
1 1 1 1
24. an = + + ··· + . (DS. )
a1a2 a2 a3 an an+1 a1 d
trong d´ {an } l` cˆp sˆ cˆng v´.i cˆng sai d = 0, an = 0.
o ´ ´ .
a a o o o o
1
25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2 ). (DS. )
2
n+2
Chı dˆ n. B˘ng quy nap to´n hoc ch´.ng to r˘ng an =
’ ˜
a `
a . a . u `
’ a .
2n + 2
7.1.3 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u . o . ’
. ´
a o . e
` e
. ’
’ e a
diˆu kiˆn du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´
e o .
. e y
Bolzano-Weierstrass)
D˜y sˆ an du.o.c goi l`:
a o ´ . . a
a a ´
i) D˜y t˘ng nˆu an+1 > an ∀ n
e
’ ´
ii) D˜y giam nˆu an+1 < an ∀ n
a e
C´c d˜y t˘ng ho˘c giam c`n du.o.c goi l` d˜y do.n diˆu. Ta lu.u y
a a a a
. ’ o . . a a e
. ´
r˘ng d˜y do.n diˆu bao gi`. c˜ng bi ch˘n ´t nhˆt l` mˆt ph´ Nˆu d˜y
`
a a e
. o u . a ı. ´
a a o . ´
ıa. e a

20. 18 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
do.n diˆu t˘ng th` n´ bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ hang dˆu tiˆn cua n´, d˜y
e a
. ı o . a . ´
o ’ o . `
a e ’ o a
do .n diˆu giam th` bi ch˘n trˆn bo.i sˆ hang dˆu. Ta c´ dinh l´ sau dˆy
e ’ ı . a e ´
’ o . `a o . y a
. .
thu.`.ng du.o.c su. dung dˆ t´nh gi´.i han cua d˜y do.n diˆu.
o . ’ . ’
e ı o . ’ a e
.
D.nh l´ Bolzano-Weierstrass. D˜y do.n diˆu v` bi ch˘n th` hˆi tu.
-i y a e a . a
. . ı o .
.
Dinh l´ n`y kh˘
. y a ’ ng dinh vˆ su. tˆn tai cua gi´.i han m` khˆng chı
a . ` . ` . ’
e o o . a o ’
ra du.o.c phu.o.ng ph´p t` gi´.i han d´. Tuy vˆy, trong nhiˆu tru.`.ng
. a ım o . o a
. `
e o
ho .p khi biˆt gi´.i han cua d˜y tˆn tai, c´ thˆ chı ra phu.o.ng ph´p t´nh
´
e o . ’ a ` . o e ’
o ’ a ı
.
n´. Viˆc t´ to´n thu.`.ng du.a trˆn d˘ng th´.c d´ng v´.i moi d˜y hˆi
o e ınh a
. o . e a’ u u o . a o .
tu:
.
lim an+1 = lim an .
n→∞ n→∞
Khi t´ gi´.i han du.a trˆn d˘ng th´.c v`.a nˆu tiˆn lo.i ho.n ca l` su.
ınh o . . e a ’ u u e e .
. ’ a ’
dung c´ch cho d˜y b˘ng cˆng th´.c truy hˆi.
. a a ` a o u `o
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Ch´.nh minh r˘ng d˜y:
ı . u `
a a
1 1 1
an = + 2 + ··· + n hˆi tu.
o .
.
5+1 5 +1 5 +1
Giai. D˜y d˜ cho do.n diˆu t˘ng. Thˆt vˆy v`
’ a a e a
. a a ı:
. .
1
an+1 = an + nˆn an+1 > an .
e
5n+1 + 1
D˜y d˜ cho bi ch˘n trˆn. Thˆt vˆy:
a a . a . e a a
. .
1 1 1 1 1 1 1
an = + 2 + 3 + ··· + n < + 2 + ··· + n
5+1 5 +1 5 +1 5 +1 5 5 5
1 1
−
= 5 5n+1 = 1 1 − 1 < 1 ·
1 4 5n 4
1−
5
Nhu. vˆy d˜y an d˜ cho do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n trˆn nˆn n´ hˆi
a a
. a e a
. a . a . e e o o .
tu.
.

21. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 19
2n
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an =
ı . u `
a a hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
o a ı o . ’
n! . .
n´.
o
2 22 2n
’
Giai. D˜y d˜ cho c´ dang , , . . . , , . . .
a a o .
1 2 n!
D˜y an do.n diˆu giam. Thˆt vˆy
a e
. ’ a a
. .
an+1 2n+1 2n 2
= : = < 1 ∀ n > 1.
an (n + 1)! n! n+1
Do d´ an+1 < an v` d˜y bi ch˘n trˆn bo.i phˆn tu. a1 . Ngo`i ra
o a a . a . e ’ `a ’ a
an > 0, ∀ n nˆn d˜y bi ch˘n du o
e a . a .´.i. Do d´ d˜y do.n diˆu giam v` bi
o a e ’ a .
. .
ch˘n. N´ hˆi tu theo dinh l´ Weierstrass. Gia su. a l` gi´.i han cua n´.
a
. o o .
. . y ’ ’ a o . ’ o
Ta c´:
o
an+1 2 2
= ⇒ an+1 = an .
an n+1 n+1
T`. d´
u o
2an 2
lim an+1 = lim = lim lim an
n+1 n+1
2n
v` nhu. vˆy: a = 0 · a → a = 0. Vˆy: lim
a a
. a. = 0.
n!
√ √
V´ du 3. Cho d˜y an = 2, an+1 = 2an . Ch´.ng minh r˘ng d˜y hˆi
ı . a u `
a a o .
tu v` t`m gi´ ..i han cua n´.
’ o
. a ı o
Giai. Hiˆn nhiˆn r˘ng: a1 < a2 < a3 < · · · < . D´ l` d˜y do.n diˆu
’ ’
e e ` a o a a e
.
√
t˘ng v` bi ch˘n du.´.i bo.i sˆ 2. Ta ch´.ng minh r˘ng n´ bi ch˘n trˆn
a a . a . o ’ o ´ u `
a o . a . e
.i sˆ 2.
’ ´
bo o
Thˆt vˆy
a a
. .
√ √ √
a1 = 2; a2 = 2a1 < 2 · 2 = 2.
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng an
’ ’ a u . a ` 2.
Khi d´:
o
√ √
an+1 = 2an 2 · 2 = 2.

22. 20 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
. e `
Vˆy theo tiˆn dˆ quy nap ta c´ an 2 ∀ n.
a e . o
Nhu. thˆ d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n nˆn n´ c´ gi´.i han d´
´
e a e a
. a . a e o o o .
. o
l` a.
a
Ta c´:
o
√
an+1 = 2an ⇒ a2 = 2an .
n+1
Do d´:
o
lim a2 = 2 lim an
n+1
hay a2 − 2a = 0 v` thu du.o.c a1 = 0, a2 = 2.
a .
V` d˜y do
ı a .n diˆu t˘ng ∀ n nˆn gi´.i han a = 2.
e a e o .
.
V´ du 4. Ch´.ng minh t´nh hˆi tu v` t`m gi´.i han cua d˜y
ı . u ı o . a ı
. o . ’ a
√ √
x1 = a; x2 = a+ a, . . . ,
√
xn = a+ a + ··· + ´
a, a > 0, n dˆu c˘n.
a a
’
Giai. i) R˜ r`ng: x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < . . . ngh˜ l`
o a ıa a
d˜y d˜ cho l` d˜y t˘ng.
a a a a a
ii) Ta ch´.ng minh d˜y xn l` d˜y bi ch˘n. Thˆt vˆy, ta c´:
u a a a . a . a a
. . o
√ √
x1 = a < a+1
√ √ √ √
x2 = a + a < a + a + 1 < a + 2 a + 1 = a + 1.
√
Gia su. d˜ ch´.ng minh du.o.c r˘ng: xn < a + 1.
’ ’ a u . a `
√
Ta cˆn ch´.ng minh xn+1 < a + 1. Thˆt vˆy, ta c´:
`
a u a a
. . o
√ √ √ √
xn+1 = a + xn < a+ a+1< a + 2 a + 1 = a + 1.
Do d´ nh`. ph´p quy nap to´n hoc ta d˜ ch´.ng minh r˘ng d˜y d˜
o o e . a . a u `
a a a
√
cho bi ch˘n trˆn bo.i a + 1.
. a . e ’

23. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 21
√
iii) Dˆ t`m gi´.i han ta x´t hˆ th´.c xn = a + xn−1 hay
’
e ı o . e e u
.
x2 = a + xn−1 .
n
T`. d´:
u o
lim x2 = lim(a + xn−1 ) = a + lim xn−1
n
hay nˆu gia thiˆt lim xn = A th`: A2 = a + A → A2 − A − a = 0 v`
´
e ’ ´
e ı a
√ √
1 + 1 + 4a 1 − 1 + 4a
A1 = , A2 = ·
2 2
V` A2 < 0 nˆn gi´ tri A2 bi loai v` xn > 0.
ı e a . . . ı
Do d´;
o
√
1 + 1 + 4a
lim xn = ·
2
V´ du 5. T` gi´.i han cua d˜y an du.o.c x´c dinh nhu. sau: a1 l` sˆ
ı . ım o . ’ a . a . a o´
t`y y m`
u ´ a
0 < a1 < 1, an+1 = an (2 − an ) ∀ n 1. (7.10)
Giai. i) Dˆu tiˆn ch´.ng minh r˘ng an bi ch˘n, m` cu thˆ l` b˘ng
’ `
a e u `
a . a . ’
a . e a a `
ph´p quy nap to´n hoc ta ch´.ng minh r˘ng
e . a . u `
a
0 < an < 1. (7.11)
Ta c´ 0 < a1 < 1. Gia su. (7.11) d˜ du.o.c ch´.ng minh v´.i n v` ta
o ’ ’ a . u o a
s˜ ch´
e u .ng minh (7.11) d´ng v´.i n + 1 .
u o
T`u . (7.10) ta c´; an+1 = 1 − (1 − an )2.
o
T`. hˆ th´.c n`y suy ra 0 < (1 − an )2 < 1, v` 0 < an < 1.
u e u a
. ı
T` o
u . d´ suy ra: 0 < an+1 < 1 ∀ n.
ii) Bˆy gi`. ta ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y t˘ng.
a o u `
a a a a
Thˆt vˆy, v` an < 1 nˆn 2 − an > 1. Chia (7.10) cho an ta thu
a a
. . ı e
.o.c:
du .
an+1
= 2 − an > 1.
an

24. 22 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
T`. d´ an+1 > an ∀ n. Nhu. vˆy d˜y an do.n diˆu t˘ng v` bi ch˘n.
u o a a
. e a
. a . a .
o . y ` . a
Do d´ theo dinh l´ Weierstrass, lim An tˆn tai v` ta k´ hiˆu n´ l` a.
o y e o a
.
iii) T`
u. (7.10) ta c´:
o
lim an+1 = lim an · lim(2 − an )
hay a = a(2 − a).
T`. d´ a = 0 v` a = 1. V` x1 > 0 v` d˜y an t˘ng nˆn
u o a ı a a a e
a = 1 = lim an .
n!
V´ du 6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y an = n hˆi tu v` t`m gi´.i han cua
ı . u `
a a o . a ı
. o . ’
n
n´.
o
Giai. i) Ta ch´.ng minh r˘ng d˜y an do.n diˆu giam, thˆt vˆy:
’ u `
a a e
. ’ a a
. .
(n + 1)! n! n! nn nn
an+1 = = = n· = an
(n + 1)n+1 (n + 1)n n (n + 1)n (n + 1)n
v`
ı
nn
< 1 nˆn an+1 < an .
e
(n + 1)n
V` an > 0 nˆn n´ bi ch˘n du.´.i v` do d´ lim an tˆn tai, k´ hiˆu
ı e o . a . o a o `
o . y e .
lim an = a v` r˜ r`ng l` a = lim an 0.
a o a a
ii) Ta ch´
u.ng minh a = 0. Thˆt vˆy ta c´:
a a o
. .
(n + 1)n n+1 n 1 n n
n
= = 1+ 1+ = 2.
n n n n
Do d´:
o
nn 1 1
n
< v` an+1 < an .
a
(n + 1) 2 2
a
Chuyˆn qua gi´.i han ta du.o.c a
e’ o . . ⇒ a = 0.
2
` ˆ
BAI TAP
.

25. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 23
´
1. Cho c´c d˜y sˆ:
a a o
5n2 2n
1) an = · 2) bn = (−1)n sin n. 3) cn = n cos πn.
n2 + 3 n+1
a ’
H˜y chı ra d˜y n`o bi ch˘n v` d˜y n`o khˆng bi ch˘n.
a a . a a a a . o . a .
(DS. 1) v` 2) bi ch˘n; 3) khˆng bi ch˘n)
a . . a o . . a
2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y:
u `
a a
a0 a1 a2
a1 = , a2 = , a3 = ,...,
a + a0 a + a1 a + a2
an−1
an = , . . . (a > 1, a0 > 0)
a + an−1
hˆi tu.
o .
.
3. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu
u a a a o ..
2
n −1
1) an =
n2
1 1 1
2) an = 2 + + + · · · +
2! 3! n!
Chı dˆ n. T´ bi ch˘n du.o.c suy t`. n!
’ ˜a ınh . a . . u 2n−1 v` do d´
a o
1 1 1 1
an 2+ + 2 + · · · + n−1 = 3 − n−1 < 3.
2 2 2 2
4. Ch´.ng minh c´c d˜y sau dˆy hˆi tu v` t`m gi´.i han a cua ch´ng
u a a a o . a ı
. o . ’ u
√ √ √
1) a1 = k 5, an+1 = k 5an , k ∈ N. (DS. k−1 5)
2n
2) an =
(n + 2)!
an+1 2
’ ˜
Chı dˆ n.
a = < 1. (DS. a = 0)
an n+3
E(nx)
3) an = a ` e ’
trong d´ E(nx) l` phˆn nguyˆn cua nx.
o a
n
Chı dˆ n. Su. dung hˆ th´.c: nx − 1 < E(nx) nx. (DS. a = x)
’ ˜a ’ . e u
.
5. Ch´.ng minh r˘ng d˜y: an = a1/2 hˆi tu v` t` gi´.i han cua n´
n
u `
a a o . a ım o .
. ’ o
(a > 1).

26. 24 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
(DS. a = 1. Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng an l` d˜y do.n diˆu giam
’ ˜a u `
a a a e
. ’
v`
ı
n+1 n·2) √
an+1 = a1/2 = a1/(2 = an , an > 1)
6. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u `
a a
1 1 1
an = 1 + + 2 + ··· + 2
22 3 n
hˆi tu.
o .
.
Chı dˆ n. Ch´.ng to r˘ng d˜y do.n diˆu t˘ng, t´nh bi ch˘n cua n´
’ ˜a u ’ a` a e a
. ı . a ’
. o
.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch su. dung c´c bˆt d˘ng th´.c:
du . a a a ` a ’ . ´
a a a ’ u
.
1 1 1 1
2
< = − , n 2.
n n(n − 1) n−1 n
7. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u `
a a
1 1 1
an = + 2 + ··· + n
3+1 3 +2 3 +n
c´ gi´.i han h˜.u han.
o o . u .
’ a
Chı dˆ˜ n. T´ bi ch˘n cua an du.o.c x´c lˆp b˘ng c´ch so s´nh an
ınh . a ’
. . a a a . ` a a
.i tˆng mˆt cˆp sˆ nhˆn n`o d´.
o ’
v´ o . ´ ´
o a o a a o
1 n+1
8. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
u `
a a 1+ do.n diˆu giam v`
e
. ’ a
n
1 n+1
lim 1 + = e.
n→∞ n
9. T´ ´
ınh lim an , nˆu
e
n→∞
1 n
1) an = 1 + , k ∈ N. (DS. e)
n+k
n n 1
2) an = . (DS. )
n+1 e
1 n √
3) an = 1 + . (DS. e)
2n
2n + 1 2n
4) an = . (DS. e)
2n

27. 7.1. Gi´.i han cua d˜y sˆ
o . ’ a o ´ 25
7.1.4 Ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn
u . o . ’
. ´
a o . e
`
e e `
. a a ’ e a’
diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn
o .
. e
l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy)
y o .
.
Trˆn dˆy ta d˜ nˆu hai phu.o.ng ph´p ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y.
e a a e a u . o . ’ a
.
Hai phu .o.ng ph´p n`y khˆng ´p dung du.o.c dˆi v´.i c´c d˜y khˆng do.n
a a o a ´
o o a a o
. .
diˆu du.o.c cho khˆng b˘ng phu.o.ng ph´p giai t´ m` du.o.c cho b˘ng
e
. . o `
a a ’ ıch a . `
a
phu .o.ng ph´p kh´c (ch˘ng han b˘ng phu.o.ng ph´p truy hˆi). M˘t
a a ’
a `
a a `
o a
. .
a `
kh´c, trong nhiˆu tru o
e .`.ng ho.p ngu.`.i ta chı quan tˆm dˆn su. hˆi tu
o ’ a ´
e . o .
. .
hay phˆn k` cu a
a y a o a a e’
’ a d˜y m` thˆi. Sau dˆy ta ph´t biˆu mˆt tiˆu chuˆn
o e
. a’
c´ t´nh chˆt “nˆi tai” cho ph´p kˆt luˆn su. hˆi tu cua d˜y chı du.a
o ı ´
a o .
. e e ´ a . o . ’
. . a ’ .
a . ’ a o . ´ ’ a
trˆn gi´ tri cua c´c sˆ hang cua d˜y:
e
Nguyˆn l´ hˆi tu. D˜y (an ) c´ gi´.i han h˜.u han khi v` chı khi n´
e y o .. a o o . u . a ’ o
’ a `
thoa m˜n diˆu kiˆn:
e e
.
∀ ε > 0, ∃ N0 = N0 (ε) ∈ N : ∀ n > N0 v` ∀ p ∈ N
a
⇒ |an − an+p | < ε.
T`. nguyˆn l´ hˆi tu r´t ra: D˜y (an ) khˆng c´ gi´.i han khi v` chı
u e y o . u
. a o o o . a ’
o ’ a `
khi n´ thoa m˜n diˆu kiˆn:
e e
.
∃ ε > 0, ∀ N ∈ N ∃ n N ∃m N → |an − am | ε.
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
ı . u `
a a
cos 1 cos 2 cos n
an = + 2 + ··· + n , n∈N
3 3 3
hˆi tu.
o .
.

28. 26 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu
’ o . e
.
cos(n + 1) cos(n + p)
|an+p − an | = n+1
+ ··· +
3 3n+p
1 1
n+1
+ · · · + n+p
3 3
1
1 1 − 3p 1 1 1
= n+1 < · n < n·
3 1 2 3 3
1−
3
1
Gia su. ε l` sˆ du.o.ng t`y y. V` lim n = 0 nˆn v´.i sˆ ε > 0 d´,
’ ’ a o ´ u ´ ı e o o ´ o
n→∞ 3
1
` . o ´ ´
tˆn tai sˆ N ∈ N sao cho ∀ n N ta c´ n < ε. Ngh˜ l` nˆu n N ,
o o ıa a e
3
c`n p l` sˆ tu. nhiˆn t`y y th`
o ´
a o . e u ´ ı
1
|an+p − an | < < ε.
3n
e ’ .
Do d´ theo tiˆu chuˆn hˆi tu d˜y d˜ cho hˆi tu.
o a o . a a o .
.
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng d˜y
ı . u `
a a
1 1 1
an = √ + √ + · · · + √
1 2 n
phˆn k`.
a y
Giai. Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu
’ o . e
.
1 1 1
|an − an+p | = √ +√ + ··· + √
n+1 n+2 n+p
p
√ ∀ n, p ∈ N.
n+p
D˘c biˆt v´.i p = n ta c´
a
. e o
. o
√
n 1
|an − a2n | √ √ ∀ n. (*)
2 2
1
Ta lˆy ε = √ . Khi d´ ∀ N ∈ N tˆn tai nh˜.ng gi´ tri n > N v`
´
a o ` .
o u a . a
2
∃ p ∈ N sao cho |an − an+p | ε. Thˆt vˆy, theo bˆt d˘ng th´.c (*) ta
a a
. . ´ ’
a a u

29. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 27
chı cˆn lˆy sˆ n > N bˆt k` v` p = n. T`. d´ theo mˆnh dˆ phu dinh
’ ` a o
a ´ ´ ´
a y a u o e
. `
e ’ .
nguyˆn l´ hˆi tu ta c´ d˜y d˜ cho phˆn k`.
e y o . . o a a a y
` ˆ
BAI TAP
.
Su. dung tiˆu chuˆn hˆi tu dˆ ch´.ng minh su. hˆi tu cua d˜y (an )
’ . e ’ .
a o . e u ’ . o . ’ a
.
´
nˆu
e
n sin nα
1. an = , α ∈ R.
k=1 2n
n
2. an = ak q k , |q| < 1, |ak | < M ∀ k, M > 0.
k=1
n (−1)k−1
3. an = ·
k=1 k(k + 1)
n (−1)k
4. an = ·
k=1 k!
5. an = 0, 77 . . . 7.
nch˜. sˆ
u o ´
n 1
6. an = ·
k=1 2k +k
Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`:
u `
a a a a a y
1 1
7. an = 1 + + · · · + , n ∈ N.
2 n
1 1 1
8. an = + + ··· + , n = 2, . . .
ln2 ln3 lnn
7.2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e
7.2.1 C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han
a a e
. a . y ’ ` o .
e
Dinh ngh˜ gi´.i han cua c´c h`m dˆi v´.i n˘m tru.`.ng ho.p: x → a,
. ıa o . ’ a a ´
o o a o .
x → a ± 0, x → ±∞ du ..o.c ph´t biˆu nhu. sau.
a e’

30. 28 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
1) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (x) tai diˆm a (khi x → a)
´
o . . a o . ’ a . e ’
´
nˆu ∀ ε > 0 b´ bao nhiˆu t`y y t` du . o
e e e u ´ ım .o.c sˆ δ = δ(ε) > 0 (∃δ = δ(ε) >
´
0) sao cho ∀ x m` a
x ∈ Df ∩ {x; 0 < |x − a| < δ(ε)}
th`
ı
|f (x) − A| < ε.
K´ hiˆu: lim f (x) = A.
y e . x→a
2) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han bˆn phai (bˆn tr´i) cua h`m f (x) tai
o´ . . a o . e ’ e a ’ a .
’ ´
diˆm x = a nˆu ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho v´
e e o.i moi x thoa m˜n
’ a
.
` u kiˆn
e
diˆ e.
x ∈ Df ∩ {x : a < x < a + δ} (x ∈ Df ∩ {x : a − δ < x < a})
th`
ı
|f (x) − A| < ε.
K´ hiˆu:
y e .
lim f (x) = f (a + 0) lim f (x) = f (a − 0) .
x→a+0 x→a−0
Tu.o.ng tu.:
.
3) lim f (x) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ ∆ > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : x > ∆}
x→+∞
⇒ |f (x) − A| < ε.
Dinh ngh˜ gi´.i han khi x → −∞ du.o.c ph´t biˆu tu.o.ng tu..
. ıa o . . a e’ .
´
4) Nˆu lim f (x) = lim f (x) = A th` ngu o
e ı .`.i ta viˆt
´
e
x→+∞ x→−∞
lim f (x) = A.
x→∞

31. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 29
Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt nˆu A = 0 th` h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ
o . a
. . ´
e e ı a . . a a o
c`ng b´ khi x → a (x → a ± 0, x → ±∞).
u e
Kh´i niˆm h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a c˜ng du.o.c ph´t biˆu dˆi
a e . a o u o . ’
e u . a ’ ´
e o
v´.i ca n˘m tru.`.ng ho.p.
o ’ a o .
Ch˘ng han, h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a nˆu
a’ . a . . a a o u o . e ’ ´
e
∀ M > 0 ∃ δ = δ(M) > 0 : ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ}
⇒ |f (x)| > M.
a ´
Ngo`i ra, nˆu f (x) > 0 (f (x) < 0) ∀ x ∈ Df ∩ {x : 0 < |x − a| < δ}
e
ı ´
th` ta viˆt
e
lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ .
x→a x→a
Ta lu.u y r˘ng c´c k´ hiˆu v`.a nˆu chı ch´.ng to f (x) l` vˆ c`ng
´ a` a y e u e
. ’ u ’ a o u
l´.n ch´. ho`n to`n khˆng c´ ngh˜ r˘ng f c´ gi´.i han.
o u a a o o ıa `a o o .
Khi t´ gi´ .
ınh o .i han ta thu.`.ng su. dung c´c diˆu kh˘ng dinh sau dˆy.
o ’ . a ` e a’ a
.
D.nh l´ 7.2.1. Nˆu c´c gi´.i han lim f1(x), lim f2(x) tˆn tai h˜.u han
-i y ´
e a o . ` . u .
o
x→a x→a
th`ı
1) lim[f1 (x) + f2 (x)] = lim f1 (x) + lim f2 (x)
x→a x→a x→a
2) lim[f1 (x) · f2 (x)] = lim f1 (x) · lim f2(x)
x→a x→a x→a
f1 (x) lim f1 (x)
x→a
´
3) Nˆu lim f2 (x) = 0 th` lim
e ı =
x→a x→a f2 (x) lim f2 (x)
x→a
´
4) Nˆu trong lˆn cˆn U (a; δ) = {x : 0 < |x − a| < δ} ta c´
e a a . o
f1(x) f (x) f2 (x) v` lim f1(x) = lim f2 (x) = A th` lim f (x) = A
a ı
x→a x→a x→a
(nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´).
e y . a . a
.i han h`m sˆ c´ thˆ ph´t biˆu du.´.i dang ngˆn ng˜.
Dinh ngh˜ gi´ .
ıa o a ´
o o e a’ e’ o . o u
.
d˜y nhu
a . sau.
Dinh l´ 7.2.2. Gia su. D ⊂ R, a ∈ R l` diˆm tu cua n´; A ∈ R,
-. y ’ ’ a e ’ . ’ o
f : D → R. Khi d´ o
lim f (x) = A
x→a

32. 30 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
a ’
khi v` chı khi ∀(an), an ∈ D {a}, an → a
f (an ) → A
T`. d´ dˆ ch´.ng minh mˆt h`m n`o d´ khˆng c´ gi´.i han khi x → a,
u o e u’ o a
. a o o o o .
’ `
ta chı cˆn ch´
a u.ng minh r˘ng ∃(an ), ∃(a ) dˆu hˆi tu dˆn a nhu.ng
`
a ` o . e
e ´
n .
lim f (an ) = lim f (an ).
x→a x→a
C´c dinh l´ co. ban vˆ gi´.i han d˜ ph´t biˆu trˆn dˆy khˆng ´p
a . y ’ ` o .
e a a ’
e e a o a
.o.c dˆi v´.i c´c gi´.i han sau dˆy khi x → a, a ∈ R.
´
dung du . o o a o . a
.
1) lim [f (x)+g(x)]; f , g l` c´c vˆ c`ng l´.n (vˆ dinh dang “∞±∞”).
a a o u o o . .
x→a
f (x)
2) lim ; f , g ho˘c dˆng th`.i l` hai vˆ c`ng b´, ho˘c dˆng th`.i
a `
. o o a o u e a `
. o o
x→a g(x)
l` hai vˆ c`ng l´.n (vˆ dinh dang “0/0” ho˘c “∞/∞”).
a o u o o . . a
.
3) lim f (x) · g(x); f l` vˆ c`ng b´, c`n g l` vˆ c`ng l´.n ho˘c ngu.o.c
a o u e o a o u o a
. .
x→a
lai (vˆ dinh dang “0 · ∞”).
. o . .
g(x)
4) lim f (x) :
x→a
a) khi f (x) → 1, g(x) → ∞ (vˆ dinh dang “1∞ ”)
o . .
b) khi f (x) → 0, g(x) → 0 (vˆ dinh dang “00 ”)
o . .
c) khi f (x) → ∞, g(x) → 0 (vˆ dinh dang “∞0 ”)
o . .
Viˆc t´ gi´ .
e ınh o .i han trong c´c tru.`.ng ho.p n`y thu.`.ng du.o.c goi
a o a o
. . . .
’. dang vˆ dinh. Trong nhiˆu tru.`.ng ho.p khi t´nh gi´.i han ta
l` khu .
a o . `
e o ı o .
.
.`.ng su. dung c´c gi´.i han quan trong sau dˆy:
thu o ’ . a o . a
.
sin x
lim = 1, (7.12)
x→0 x
1
lim(1 + x) x = e (7.13)
x→0

33. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 31
a a e ’ ’
v` c´c hˆ qua cua (7.13)
.
1 x
lim 1 + = e, (7.14)
x→∞ x
loga (1 + x) 1
lim = , 0 < a = 1, (7.15)
x→0 x lna
ax − 1
lim = lna, 0 < a = 1. (7.16)
x→0 x
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Su. dung (ε − δ) - dinh ngh˜a gi´.i han dˆ ch´.ng minh r˘ng
ı . ’ . . ı o . e u ’ `
a
lim x2 = 9.
x→−3
Giai. Ta cˆn ch´.ng minh r˘ng ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 sao cho v´.i
’ `
a u `
a o
2
|x + 3| < δ th` ta c´ |x − 9| < ε.
ı o
Ta cˆn u.´.c lu.o.ng hiˆu |x2 − 9|. ta c´
`
a o . e
. o
|x2 − 9| = |x − 3||x + 3|.
Do th`.a sˆ |x − 3| khˆng bi ch˘n trˆn to`n truc sˆ nˆn dˆ u.´.c lu.o.ng
u o ´ o . a
. e a ´
. o e e o ’ .
t´ do
ıch .n gian ho.n ta tr´ ra 1 - lˆn cˆn cua diˆm a = −3 t´.c l`
’ ıch a a ’ ’
e u a
.
khoa ’ ng (−4; −2). V´.i moi x ∈ (−4; −2) ta c´ |x − 3| < 7 v` do d´
o . o a o
|x2 − 9| < 7|x + 3|.
V` δ-lˆn cˆn diˆm a = −3 [t´.c l` khoang (−3 − δ; −3 + δ)] khˆng
ı a a . e’ u a ’ o
.o.c vu.o.t ra khoi ranh gi´.i cua 1-lˆn cˆn nˆn ta lˆy δ = min 1, ε .
du . ’ o ’ a a e ´
a
. . 7
Khi d´ v´.i 0 < |x + 3| < δ ⇒ |x2 − 9| < ε. Do vˆy lim x2 = 9.
o o a
. x→−3
√
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng lim 11 − x = 3.
ı . u `
a
x→2
Giai. Gia su. ε > 0 l` sˆ du.o.ng cho tru.´.c b´ bao nhiˆu t`y y. Ta
’ ’ ’ a o´ o e e u ´
´
x´t bˆt phu
e a .o.ng tr`ınh
√
| 11 − x − 3| < ε. (7.17)

34. 32 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
Ta c´
o

√ √11 − x − 3 > −ε
(7.17) ⇔ −ε < 11 − x − 3 < ε ⇔ √
 11 − x − 3 < ε
 
x − 11 < −(3 − ε)2 x − 2 < 6ε − ε3
⇔ ⇔
x − 11 > −(3 + ε)2 x − 2 > −(6ε + ε2).
ı e ’ ´
V` 6ε − ε2 < | − (6ε + ε)2 | = 6ε + ε2 nˆn ta c´ thˆ lˆy δ(ε) l` sˆ
o e a a o ´
δ 6ε − ε2. V´.i sˆ δ d´ ta thˆy r˘ng khi x thoa m˜n bˆt d˘ng th´.c
o o ´ o a `
´ a ’ a a a´ ’ u
√
0 < |x − 2| < δ th` | 11 − x − 3| < ε v`
ı a
√
lim 11 − x = 3.
x→2
V´ du 3. T´ c´c gi´.i han
ı . ınh a o .
2x − x2 0
1) lim (vˆ dinh dang );
o . .
x→2 x − 2 0
π
2) lim cotg2x · cotg − x (vˆ dinh dang 0 · ∞);
o . .
x→ π
4 4
1 1 x
3) lim e x + (vˆ dinh dang 1∞ ).
o . .
x→∞ x
’
Giai
1) Ta c´ o
2x − x2 2x − 22 − (x2 − 22 ) 2x−2 − 1 x2 − 4
= =4· − ·
x−2 x−2 x−2 x−2
T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
2x − x2 2x−2 − 1 x2 − 4
lim = 4 lim − lim = 4ln2 − 4.
x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2
π
2) D˘t y = − x. Khi d´
a. o
4
π π
lim cotg2x · cotg − x = lim cotg − 2y cotgy
x→ 4π
4 y→0 2
sin 2y cos y
= lim · = 2.
y→0 sin y cos 2y

35. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 33
1
3) D˘t y = . Khi d´
a
. o
x
y
ln(e +y)
1 1 x 1 lim
lim e +
x = lim(ey + y) y = ey→0 y ;
x→∞ x y→0
y
ln(e + y) ln[1 + (ey + y − 1)] ey + y − 1
lim = lim ·
y→0 y y→0 ey + y − 1 y
y
ln(1 + t) e −1
= lim · lim 1 + = 2.
t→0 t y→0 y
T`. d´ suy r˘ng
u o `
a
1
lim ey + y y
= e2.
y→0
1
V´ du 4. Ch´.ng to r˘ng h`m f (x) = sin khˆng c´ gi´.i han khi
ı . u ’ a` a o o o .
x
x → 0.
Giai. Ta lu.u y mˆnh dˆ phu dinh dˆi v´.i dinh ngh˜a gi´.i han:
’ ´ e . `
e ’ . ´
o o . ı o .
lim f (x) = A ⇔ ∃ ε0 > 0 ∀ δ > 0 ∃ xδ (0 < |xδ − a| < δ)
x→a
→ |f (x0) − A| ε0.
1 2
´ ´
Nˆu A = 0 ta lˆy ε0 =
e a v` xk = π
a . Khi d´ ∀ δ > 0,
o
2 + 2kπ
2
∃ k ∈ N : 0 < xk < δ v`
a
|f (xk ) − 0| = |f (xk )| = 1 > ε0
v` nhu. vˆy A = 0 khˆng phai l` gi´.i han cua h`m d˜ cho khi x → 0.
a a
. o ’ a o . ’ a a
|A| 1
´ a´
Nˆu A = 0 th` ta lˆy ε0 =
e ı v` xk =
a . Khi d´ ∀ δ > 0,
o
2 2kπ
∃ k ∈ N : 0 < xk < δ th` |f (xk ) − A| = |A| > ε. Nhu a
ı . vˆy moi sˆ
´
. . o
1
A = 0 dˆu khˆng l` gi´.i han cua h`m sin khi x → 0.
`
e o a o . ’ a
x
V´ du 5. H`m Dirichlet D(x):
ı . a

1 nˆu x ∈ Q,
´
e
D(x) =
0 nˆu x ∈ R Q
´
e

36. 34 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
khˆng c´ gi´.i han tai ∀ a ∈ R.
o o o . .
Giai. Ta ch´.ng minh r˘ng tai moi diˆm a ∈ R h`m D(x) khˆng
’ u `
a . . e ’ a o
’ a . y ’
e a e o
. ’ `
a ’
thoa m˜n Dinh l´ 2. Dˆ l`m viˆc d´, ta chı cˆn chı ra hai d˜y (an ) v`
a a
u o . e
. ´
(an ) c`ng hˆi tu dˆn a sao cho lim D(an ) = lim D(an ).
n→∞ n→∞
Dˆu tiˆn ta x´t d˜y c´c diˆm h˜.u ty (an ) hˆi tu dˆn a. Ta c´
`
a e e a a e ’ u ’ o . e
. ´ o
D(an ) = 1 ∀ n v` do d´ lim D(an ) = 1. Bˆy gi`
a o a o . ta x´t d˜y (a ) -
e a n
n→∞
e’ o ’ o . e
. ´
d˜y c´c diˆm vˆ ty hˆi tu dˆn a. Ta c´ D(an ) = 0 ∀ n v` do vˆy
a a o a a
.
lim D(an ) = 0.
n→∞
Nhu. vˆy lim D(an ) = lim D(an ). T`. d´ suy ra r˘ng tai diˆm a
a
. n→∞ u o `
a . e ’
n→∞
h`m D(x) khˆng c´ gi´.i han .
a o o o .
V´ du 6. Gia su. lim f (x) = b, lim g(x) = +∞. Ch´.ng minh r˘ng
ı . ’ ’ u `
a
x→a x→a
lim [f (x) + g(x)] = +∞.
x→a
Giai. Ta cˆn ch´.ng minh r˘ng ∀ M > 0, ∃ δ > 0 sao cho ∀ x : 0 <
’ `
a u `
a
|x − a| < δ th` f (x) + g(x) > M.
ı
ı e ` .
o a a . ’ ’
V` lim f (x) = b nˆn tˆn tai δ1-lˆn cˆn U (a, δ1) cua diˆm a sao cho
e
x→a
|f (x)| < C, x=a (7.18)
trong d´ C l` h˘ng sˆ du.o.ng n`o d´.
o `
a a ´
o a o
Gia su. M > 0 l` sˆ cho tru.´.c t`y y. V` lim g(x) = +∞ nˆn dˆi
’ ’ a o´ o u ´ ı ´
e o
x→a
v´.i sˆ M + C, ∃ δ > 0 (δ δ1 ) sao cho ∀ x : 0 < |x − a| < δ th`
o o ´ ı
g(x) > M + C (7.19)
T`. c´c bˆt d˘ng th´.c (7.18) v`(7.19) ta thu du.o.c l`: v´.i x thoa
u a a a ´ ’ u a . a o ’
`
m˜n diˆu kiˆn 0 < |x − a| < δ δ1 th`
a e e
. ı
f (x) + g(x) g(x) − |f (x)| > M + C − C = M.
` ˆ
BAI TAP
.

37. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 35
1. Su. dung dinh ngh˜ gi´.i han h`m sˆ dˆ ch´.ng minh c´c d˘ng th´.c
’ . . ıa o . a ´ ’
o e u a a ’ u
sau dˆy:
a
1
1) lim sin x = ; 2) lim sin x = 1;
π
x→ 6 2 x→ π
2
1 π
3) lim x sin = 0; 4) lim arctgx = .
x→0 x x→+∞ 2
π π 1
Chı dˆ n. D`ng hˆ th´.c − arctgx < tg − arctgx = )
’ ˜a u e u
. 2 2 x
x−1 1
5) lim = ; 6) lim loga x = +∞;
x→∞ 3x + 2 3 x→+∞
√ x2 + 2x − 15
7) lim x2 + 1 − x = 0; 8) lim = −8;
x→+∞ x→−5 x+5
x2 − 3x + 2 1
9) lim(5x2 − 7x + 6) = 4; 10) lim 2 = ;
x→1 x→2 x + x − 6 5
x sin x
11) lim 2 = 0.
x→+∞ x − 100x + 3000
2. Ch´.ng minh c´c gi´.i han sau dˆy khˆng tˆn tai:
u a o . a o ` .
o
1 1
1) lim sin ; 2) lim sin x; 3) lim 2 x ;
x→1 x−1 x→∞ x→o
1
4) lim e x ; 5) lim cos x.
x→0 x→∞
Nˆu tu. sˆ v` mˆ u sˆ cua phˆn th´.c h˜.u ty dˆu triˆt tiˆu tai diˆm
e ’ o a ˜ o ’
´ ´ a ´ a u u ’ ` e e e . e
. ’
x = a th` c´ thˆ gian u.´.c phˆn th´.c cho x − a (= 0) mˆt ho˘c mˆt
ı o e ’’ o a u o
. a
. o
.
sˆ a
o `
´ lˆn.
Su. dung phu.o.ng ph´p gian u.´.c d´, h˜y t´nh c´c gi´.i han sau dˆy
’ . a ’ o o a ı a o . a
(3-10).
2x2 − 11x − 21 17
3. lim 2 − 9x + 14
(DS. )
x→7 x 5
x4 − x3 + x2 − 3x + 2
4. lim (DS. 2)
x→1 x3 − x2 − x + 1
x4 + 2x2 − 3
5. lim 2 (DS. −8)
x→1 x − 3x + 2
xm − 1 m
6. lim n ; m, n ∈ Z (DS. )
x→1 x − 1 n

38. 36 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
1 3
7. lim − (DS. −1)
x→1 1 − x 1 − x3
a b a−b
8. lim − ; a, b ∈ N (DS. )
x→1 1 − xa 1 − xb 2
(xn − 1)(xn−1 − 1) · · · (xn−k+1 − 1) k
9. lim (DS. Cn )
x→1 (x − 1)(x2 − 1) · · · (xk − 1)
(xn − an ) − nan−1 (x − a) n(n − 1) n−1
10. lim ,n∈N (DS. a )
x→a (x − a)2 2
’ ˜ ’ ´
Chı dˆ n. Dˆi biˆn x − a = t.
a o e
C´c b`i to´n sau dˆy c´ thˆ du.a vˆ dang trˆn nh`. ph´p dˆi biˆn
a a a a o e ’ ` .
e e o e o e’ ´
(11-14)
p
xq − 1 ps
11. lim r (DS. )
x→1 x s − 1 qr
√
1+ 3x 5
12. lim √ (DS. )
x→−1 1 + 5
x 3
√ √
3 3 1+x−4 4 1+x+1 1
13. lim √ (DS. )
x→0 2−2 1+x+x 6
√n
1+x−1 1
14. lim (DS. )
x→0 x n
Mˆt trong c´c phu
o a .o.ng ph´p t´ gi´.i han cua c´c biˆu th´.c vˆ ty
a ınh o . ’ a e’ u o ’
.
l` chuyˆn vˆ ty t`. mˆ u sˆ lˆn tu. sˆ ho˘c ngu.o.c lai (15-26)
a ’ ˜ ´
e o ’ u a o e ’ o a ´ . . .
√
1 + x + x2 − 1 1
15. lim (DS. )
x→0 x 2
√ √
3 + x + x2 − 9 − 2x + x2 1
16. lim 2 − 3x + 2
(DS. )
x→2 x 2
5x 15
17. lim √ 3
√3
(DS. )
x→0 1+x− 1−x 2
√3
√
1 + 3x − 3 1 − 2x
18. lim (DS. 2)
x→0 x + x2
√ √
19. lim x2 + 1 − x2 − 1 (DS. 0)
x→∞

39. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 37
√
3
20. lim 1 − x3 + x (DS. 0)
x→∞
√
21. lim x2 + 5x + x (DS. +∞)
x→+∞
√ 5
22. lim x2 + 5x + x (DS. − )
x→−∞ 2
√
23. lim x2 + 2x − x (DS. 1)
x→+∞
√
24. lim x2 + 2x − x . (DS. +∞)
x→−∞
2 2
25. lim (x + 1) 3 − (x − 1) 3 (DS. 0)
x→∞
n
26. lim (x + a1)(x + a2) · · · (x + an ) − x
x→+∞
a1 + a2 + · · · + an
(DS. )
n
Khi giai c´c b`i to´n sau dˆy ta thu.`.ng su. dung hˆ th´.c
’ a a a a o ’ . e u
.
(1 + t)α − 1
lim = α (27-34)
t→0 t
√
5
√
1 + 3x4 − 1 − 2x
27. lim √ 3
√ (DS. −6)
x→0 1+x− 1+x
√
n
√
a+x− n a−x 2 1
28. lim ,n∈N (DS. a n −1 )
x→0 x n
√ √
3
√
5
√
7
1 + 3x + 1 + x − 1 + x − 1 + x 313
29. lim √
4
√
6
(DS. )
x→0 1 + 2x + x − 1 + x 280
√
3
√
a2 + ax + x2 − 3 a2 − ax + x2 3 1
30. lim √ √ (DS. a 6 )
x→0 a+x− a−x 2
√ n √ n
1 + x2 + x − 1 + x2 − x
31. lim (DS. 2n)
x→0 x
√
n
√ √
a+x− n a−x 2na
32. lim , n ∈ N, a > 0 (DS. )
x→0 x na
√ √
n
1 + ax − k 1 + bx ak − bn
33. lim , n ∈ N, a > 0 (DS. )
x→0 x nk
n+1
34. lim n (1 + x2 )(2 + x2 ) · · · (n + x2 ) − x2 (DS. )
x→∞ 2

40. 38 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
Khi t´ gi´.i han c´c biˆu th´.c lu.o.ng gi´c ta thu.`.ng su. dung cˆng
ınh o . a ’
e u . a o ’ . o
th´
u.c co. ban
’
sin x
lim =1
x→0 x
c`ng v´.i su. kˆt ho.p c´c phu.o.ng ph´p t`m gi´.i han d˜ nˆu o. trˆn
u o . e . ´ a a ı o . a e ’ e
(35-56).
πx
sin
35. lim 2 (DS. 0)
x→∞ x
arctgx
36. lim (DS. 0)
x→∞ 2x
x2 − 4
37. lim (DS. −4)
x→−2 arctg(x + 2)
tgx − sin x 1
38. lim (DS. )
x→0 x3 2
1
39. lim xcotg5x (DS. )
x→0 5
πx 2
40. lim (1 − x)tg (DS. )
x→1 2 π
1 − x2 2
41. lim (DS. )
x→1 sin πx π
sin x 1
42. lim 2 2
(DS. )
x→π π − x 2π
cos mx − cos nx 1
43. lim (DS. (n2 − m2 ))
x→0 x2 2
1 3
44. lim x2 cos − cos (DS. 4)
x→∞ x x
sin(a + x) + sin(a − x) − 2 sin a
45. lim (DS. − sin a)
x→0 x2
cos(a + x) + cos(a − x) − 2 cos a
46. lim (DS. −2 cos a)
x→0 1 − cos x
√ √
47. lim sin x2 + 1 − sin x2 − 1 (DS. 0)
x→∞

41. 7.2. Gi´.i han h`m mˆt biˆn
o . a o
. ´
e 39
√
cos x − 1 1
48. lim 2
(DS. − )
x→0 x 4
x x
cos − sin 1
49. lim 2 2 (DS. √ )
π
x→ 2 cos x 2
π
sin x − 1
50. lim 3 (DS. √ )
x→ π 1 − 2 cos x
3 3
√
2 cos x − 1 1
51. lim 2
(DS. )
π
x→ 4 1 − tg x 4
√ √
1 + tgx − 1 − tgx
52. lim (DS. 1)
x→0 sin x
√ √
m
cos αx − m cos βx β 2 − α2
53. lim (DS. )
x→0 x2 2m
√
cos x − 3 cos x 1
54. lim 2 (DS. − )
x→0 sin x 3
√
1 − cos x cos 2x 3
55. lim (DS. )
x→0 tgx2 2
√
1 + x sin x − cos x
56. lim x (DS. 4)
x→0
sin2
2
Dˆ t´nh gi´.i han lim [f (x)]ϕ(x), trong d´
’
e ı o . o
x→a
f (x) → 1, ϕ(x) → ∞ khi x → a ta c´ thˆ biˆn dˆi biˆu th´.c
’ ´
o e e o e’ ’ u
[f (x)]ϕ(x) nhu. sau:
1 ϕ(x)[f (x)−1]
lim [f (x)]ϕ(x) = lim [1 + (f (x) − 1)] f (x)−1
x→a x→a
lim ϕ(x)[f (x)−1]
= ex→a
o. dˆy lim ϕ(x)[f (x) − 1] du.o.c t´ theo c´c phu.o.ng ph´p d˜ nˆu trˆn
’ a . ınh a a a e e
x→a
a e´
dˆy. Nˆu lim ϕ(x)[f (x) − 1] = A th` ı
x→a
lim [f (x)]ϕ(x) = eA (57-68).
x→a

42. 40 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
2x + 3 x+1
57. lim (DS. e)
x→∞ 2x + 1
x2 − 1 x 4
58. lim (DS. 0)
x→∞ x2
59. lim (1 + tgx)cotgx (DS. e)
x→0
2x
60. lim (1 + 3tg2 x)cotg (DS. e3)
x→0
1
cos x x2 3
61. lim (DS. e 2 )
x→0 cos 2x
1
62. lim (sin x) cotgx
π
(DS. −1)
x→ 2
63. lim (tgx)tg2x
π
(DS. e−1 )
x→ 2
π cotg2x
64. lim tg +x (DS. e)
x→0 4
1 1
65. lim cos x x2 (DS. e− 2 )
x→0
1 9
66. lim cos 3x sin2 x (DS. e− 2 )
x→0
1
1 + tgx sin x
67. lim (DS. 1)
x→0 1 + sin x
tg2 2x 1
68. lim sin 2x
π
(DS. e− 2 )
x→ 4
Khi t´nh gi´.i han c´c biˆu th´.c c´ ch´.a h`m lˆdarit v` h`m m˜ ta
ı o . a e’ u o u a o a a u
.`.ng su. dung c´c cˆng th´.c (7.15) v` (7.16) v` c´c phu.o.ng ph´p
thu o ’ . a o u a a a a
t´nh gi´.i han d˜ nˆu o. trˆn (69-76).
ı o . a e ’ e
lnx − 1
69. lim (DS. e−1 )
x→e x − e
lgx − 1 1
70. lim (DS. )
x→10 x − 10 10ln10
2
ex − 1
71. lim √ (DS. 2)
x→0 1 + sin2 x − 1
2
ex − cos x 3
72. lim (DS. )
x→0 sin2 x 2

43. 7.3. H`m liˆn tuc
a e . 41
eαx − eβx
73. lim (DS. 1)
x→0 sin αx − sin βx
esin 5x − esin x
74. lim (DS. 2)
x→0 ln(1 + 2x)
2 2
ax − bx 1 a
75. lim , a > 0, b > 0 (DS. − ln )
x→0 ln cos 2x 2 b
asin x
+b sin x 1
x √
76. lim , a > 0, b > 0 (DS. ab)
x→0 2
7.3 H`m liˆn tuc
a e .
-. a a . a a . ’ ’
Dinh ngh˜ 7.3.1. H`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn cua diˆm x0
ıa e
du.o.c goi l` liˆn tuc tai diˆm d´ nˆu
. . a e . . e ’ o e´
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Dinh ngh˜ 7.3.1 tu.o.ng du.o.ng v´.i
. ıa o
-. a a . a a . ’
Dinh ngh˜ 7.3.1∗. H`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn cua diˆm x0
ıa ’ e
du.o.c goi l` liˆn tuc tai diˆm x0 nˆu
. . a e . . e ’ ´
e
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Df : |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Hiˆu x − x0 = ∆x du.o.c goi l` sˆ gia cua dˆi sˆ, c`n hiˆu f (x) −
e
. . . a o´ ’ ´ ´
o o o e.
f (x0) = ∆f du ..o.c goi l` sˆ gia cua h`m sˆ tai x0 tu.o.ng u.ng v´.i sˆ
´ ’ ´ ´
. a o a o . ´ o o
.c l`
gia ∆x, t´ a
u
∆x = x − x0 , ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
V´.i ngˆn ng˜. sˆ gia dinh ngh˜a 7.3.1 c´ dang
o o u o ´ . ı o .
-. ıa a a . . ’
Dinh ngh˜ 7.3.1∗∗. H`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn cua diˆm x0
a a ’ e
du.o.c goi l` liˆn tuc tai x0 nˆu
. . a e . . ´
e
lim ∆f = 0.
∆x→0

44. 42 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
B˘ng “ngˆn ng˜. d˜y” ta c´ dinh ngh˜a tu.o.ng du.o.ng
`
a o u a o . ı
-. a a . a a . ’
Dinh ngh˜ 7.3.1∗∗∗. H`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn diˆm x0 ∈ Df
ıa e
du.o.c goi l` liˆn tuc tai diˆm x0 nˆu
. . a e . . e ’ ´
e
∀(xn ) ∈ Df : xn → x0 ⇒ lim f (xn ) = f (x0 ).
n→∞
-i ` e ` a a ’ e a ’ ’
D.nh l´ 7.3.1. Diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ h`m f (x) liˆn tuc tai diˆm
y e . e . . e
’ a a `
x0 l` h`m f (x) thoa m˜c c´c diˆu kiˆn sau dˆy:
a a e e
. a
a ’ a . . o a a a o ’
. . ’
i) H`m phai x´c dinh tai mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm x0 .
e
ii) H`m c´ c´c gi´.i han mˆt ph´ nhu. nhau
a o a o . o
. ıa
lim f (x) = lim f (x).
x→x0 −0 x→x0 +0
iii) lim = lim = f (x0).
x→x0 −0 x→x0 +0
Gia su. h`m f (x) x´c dinh trong nu.a lˆn cˆn bˆn phai (bˆn tr´i)
’ ’ a a . ’ a a e . ’ e a
’ ’
cua diˆm x0 , ngh˜ l` trˆn nu
e ıa a e ’.a khoang [x0, x0 + δ) (tu.o.ng u.ng: trˆn
’ ´ e
(x0 − δ, x0]) n`o d´.
a o
H`m f (x) du.o.c goi l` liˆn tuc bˆn phai (bˆn tr´i) tai diˆm x0 nˆu
a . . a e . e ’ e a . e ’ ´
e
f (x0 + 0) = f (x0 ) (tu.o.ng u.ng: f (x0 − 0) = f (x0 )).
´
-. y a e . . e’
Dinh l´ 7.3.2. H`m f (x) liˆn tuc tai diˆm x0 ∈ Df khi v` chı khi a ’
o e . e ’ a e a . ’
n´ liˆn tuc bˆn phai v` bˆn tr´i tai diˆm x0.
e
e . . o e
. ’
H`m liˆn tuc tai mˆt diˆm c´ c´c t´ chˆt sau.
a o a ınh a ´
´
e a a a e . . e ’
I) Nˆu c´c h`m f (x) v` g(x) liˆn tuc tai diˆm x0 th` f (x) ± g(x),
ı
a e . . e´
f (x) · g(x) liˆn tuc tai x0 , v` f (x)/g(x) liˆn tuc tai x0 nˆu g(x0) = 0.
e . .
II) Gia su. h`m y = ϕ(x) liˆn tuc tai x0, c`n h`m u = f (y) liˆn
’ ’ a e . . o a e
tuc tai y0 = ϕ(x0). Khi d´ h`m ho
o a .p u = f [ϕ(x)] liˆn tuc tai x0.
e . .
. . .
T` o
u . d´ suy ra r˘ng
`
a
lim f [ϕ(x)] = f lim ϕ(x) .
x→x0 x→x0
H`m f (x) goi l` gi´n doan tai diˆm x0 nˆu n´ x´c dinh tai nh˜.ng
a . a a . . e ’ ´
e o a . . u
’
e `
diˆm gˆn x0 bao nhiˆu t`y y nhu
a e u ´ .ng tai ch´ x0 h`m khˆng thoa m˜n
ınh a o ’ a
.
´ nhˆt mˆt trong c´c diˆu kiˆn liˆn tuc o. trˆn.
ıt a ´ o . a ` e e e . ’ e
.

45. 7.3. H`m liˆn tuc
a e . 43
Diˆm x0 du.o.c goi l`
e’ . . a
1) Diˆm gi´n doan khu. du.o.c cua h`m f (x) nˆu tˆn tai lim f (x) =
e’ a . ’ . ’ a ´ o
e ` .
x→x0
b nhu .ng ho˘c f (x) khˆng x´c dinh tai diˆm x0 ho˘c f (x0) = b. Nˆu
a o a . ’
e a ´
e
. . .
bˆ sung gi´ tri f (x0 ) = b th` h`m f (x) tro. nˆn liˆn tuc tai x0, t´.c l`
o’ a . ı a ’ e e . . u a
gi´n doa n c´ thˆ khu
a ’ ’ . du.o.c.
. o e .
2) Diˆ ’m gi´n doan kiˆu I cua h`m f (x) nˆu ∃ f (x0 +0) v` ∃ f (x0 −0)
e a . ’
e ’ a ´
e a
nhu .ng f (x0 + 0) = f (x0 − 0).
e’ a . e’ ’ a ´
3) Diˆm gi´n doan kiˆu II cua h`m f (x) nˆu tai diˆm x0 mˆt trong
e . e ’ o
.
c´c gi´ .
a o .i han lim f (x) ho˘c lim f (c) khˆng tˆn tai.
a o ` .
o
x→x0 +0
. x→x0 −0
H`m f (x) du.o.c goi l` h`m so. cˆp nˆu n´ du.o.c cho bo.i mˆt biˆu
a . . a a ´ ´
a e o . ’ o
. e ’
.c giai t´ lˆp nˆn nh`. mˆt sˆ h˜.u han ph´p t´nh sˆ hoc v` c´c
th´u ’ ıch a e . . ´
o o o u . e ı ´
o . a a
ph´p ho.p h`m thu.c hiˆn trˆn c´c h`m so. cˆp co. ban.
e . a . e
. e a a a´ ’
Moi h`m so. cˆp x´c dinh trong lˆn cˆn cua mˆt diˆm n`o d´ l`
. a ´
a a . a a . ’ o. ’
e a o a
liˆn tuc tai diˆm d´.
e . . e ’ o
Lu.u y r˘ng h`m khˆng so. cˆp c´ thˆ c´ gi´n doan tai nh˜.ng diˆm
´ ` a a o ´
a o e o a ’ . . u e’
n´ khˆng x´c dinh c˜ng nhu. tai nh˜.ng diˆm m` n´ x´c dinh. D˘c biˆt
o o a . u . u ’
e a o a . a. e.
´
l` nˆu h`m du .
a e a .o.c cho bo.i nhiˆu biˆu th´.c giai t´ kh´c nhau trˆn c´c
’ `e ’
e u ’ ıch a e a
khoang kh´c nhau th` n´ c´ thˆ c´ gi´n doa n tai nh˜.ng diˆm thay dˆi
’ a ı o o e o a ’ . . u e’ o’
biˆu th´.c giai t´
e’ u ’ ıch.
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng h`m f (x) = sin(2x − 3) liˆn tuc ∀ x ∈ R.
ı . u `
a a e .
’ ´
a ’
Giai. Ta lˆy diˆm x0 ∈ R t`y y. X´t hiˆu
e u ´ e e
.
sin(2x − 3) − sin(2x0 − 3) = 2 cos(x + x0 − 3) sin(x − x0) = α(x).
V` | cos(x + x0 − 3)|
ı 1 v` sin(x − x0)| < |x − x0 | nˆn khi x → x0
a e
h`m sin(x − x0 ) l` h`m vˆ c`ng b´. T`. d´ suy r˘ng α(x) l` t´ch cua
a a a o u e u o `
a a ı ’
h`m bi ch˘n v´.i vˆ c`ng b´ v`
a . a o o u
. e a
lim sin(2x − 3) = sin(2x0 − 3).
x→x0

46. 44 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
√
V´ du 2. Ch´.ng minh r˘ng h`m f (x) = x + 4 liˆn tuc tai diˆm
ı . u `
a a e . . ` e
x0 = 5.
Giai. Ta c´ f (5) = 3. Cho tru.´.c sˆ ε > 0. Theo dinh ngh˜a 1∗ ta
’ o o o ´ . ı
√ .´.c lu.o.ng mˆdun cua n´. Ta
lˆp hiˆu f (x) − f (5) = x + 4 − 3 v` u o
a
. e
. a . o ’ o
c´
o
√ |x − 5| |x − 5|
| x + 4 − 3| = √ < (*)
| x + 4 + 3| 3
Nˆu ta chon δ = 3ε th` v´.i nh˜.ng gi´ tri x m` |x − 5| < δ = 3ε
´
e ı o u a . a
√ . . d´ suy r˘ng h`m f (x) liˆn tuc tai diˆm
ta s˜ c´ | x + 4 − 3| < ε. T` o
e o u `
a a e . . e ’
x0 = 5.
√
V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng h`m f (x) = x liˆn tuc bˆn phai tai
ı . u `
a a e . e ’ .
’
diˆm x0 = 0.
e
√
Giai. Gia su. cho tru.´.c sˆ ε > 0 t`y y. Bˆt d˘ng th´.c | x − 0| < ε
’ ’ ’ o o ´ u ´ a a´ ’ u
tu.o.ng du.o.ng v´.i bˆt d˘ng th´.c 0 x < ε2. Ta lˆy δ = ε2. Khi d´
o a a´ ’ u ´
a o
. bˆt d˘ng th´.c 0 x < δ suy r˘ng √x < ε. Diˆu d´ c´ ngh˜ r˘ng
u ´ ’
t` a a u `
a ` o o
e ıa `a
√
lim x = 0.
x→0+0
V´ du 4. Ch´.ng minh r˘ng h`m y = x2 liˆn tuc trˆn to`n truc sˆ.
ı . u `
a a e . e a . o ´
Giai. Gia su. x0 ∈ R l` diˆm t`y y trˆn truc sˆ v` ε > 0 l` sˆ cho
’ ’ ’ ’
a e u ´ e ´
. o a a o´
tru.´.c t`y y. Ta x´t hiˆu
o u ´ e e
.
|x2 − x2| = |x + x0 ||x − x0 |
0
v` cˆn u.´.c lu.o.ng n´. V` |x + x0| khˆng bi ch˘n trˆn R nˆn dˆ u.´.c
a ` a o . o ı o . a . e e e o ’
lu.o.ng hiˆu trˆn ta x´t mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua x0, ch˘ng han U (x0 ; 1) =
. e
. e e o a a a o ’
. . ’
a .
(x0 − 1; x0 + 1). V´ o.i x ∈ U (x0; 1) ta c´
o
|x + x0 | = |x − x0 + 2x0 | |x − x0| + 2|x0 | < 1 + 2|x0|
v` do d´
a o
|x2 − x2| < (1 + 2|x0 |)|x − x0|.
0

47. 7.3. H`m liˆn tuc
a e . 45
ı a a ’ ’ ` ’ a `
V` δ-lˆn cˆn cua diˆm x0 cˆn phai n˘m trong U (x0 ; 1) nˆn ta lˆy
. e a e a´
ε .i |x − x0| < δ = min ε
δ = min ; 1 v` v´
a o ; 1 ta s˜
e
1 + 2|x0 | 1 + 2|x0|
c´
o
|x2 − x2| < ε.
0
a . a a . e ’ a . ’ a
V´ du 5. X´c dinh v` phˆn loai diˆm gi´n doa n cua h`m
ı .
1
f (x) = 1 ·
1 + 2 x−1
Giai. H`m d˜ cho x´c dinh ∀ x = 1. Nhu. vˆy diˆm gi´n doa n l`
’ a a a . a. e’ a . a
e
diˆ’m x0 = 1.
1
´ . ´
Nˆu (xn ) l` d˜y hˆi tu dˆn 1 v` xn > 1 th`
e a a o . e a ı l` d˜y vˆ
a a o
xn − 1
1
c`ng l´.n v´.i moi sˆ hang dˆu du.o.ng. Do d´ 1 + 2 xn −1 l` d˜y vˆ
u o o ´
. o . `
e o a a o
1
c`ng l´.n. T`. d´ suy r˘ng f (xn ) =
u o u o `
a 1 l` d˜y vˆ c`ng b´, t´.c
a a o u e u
1+2 xn −1
l` lim f (xn ) = 0 v` lim f (x) = 0.
a a
n→∞ x→1+0
1
´
Nˆu (xn ) → 1 v` xn < 1 th`
e a ı l` d˜y vˆ c`ng l´.n v´.i c´c
a a o u o o a
xn − 1
1
´ ` a
sˆ hang dˆu ˆm. Do vˆy 2 xn −1
o . e a
. → 0 (n → ∞) v`a
1
f (xn ) = 1 →1 (n → ∞),
1 + 2 xn −1
t´.c l` lim f (x) = 1. Do d´ diˆm x0 = 1 l` diˆm gi´n doan kiˆu I.
u a o e ’ a e ’ a . e’
x→1−0
a a . e ’
V´ du 6. X´c dinh v` phˆn loai diˆm
ı . a . ’ a
gi´n doa n cua h`m
a .

x cos 1
 khi x < 0



 x
f (x) = 0 khi x = 0




cos 1
 khi x > 0.
x

48. 46 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
Giai. Diˆm gi´n doan c´ thˆ c´ cua h`m l` x0 = 0. Ta x´t c´c gi´.i
’ e’ a ’
. o e o ’ a a e a o
. . ıa . e ’
han mˆt ph´ tai diˆm x0 = 0.
o
i) Ta ch´.ng minh r˘ng lim f (x) = 0. Thˆt vˆy, nˆu d˜y (xn )
u `
a a a
. . ´ a
e
x→0−0
. ´
hˆi tu dˆn 0 v` xn < 0 ∀ n th`
o . e a ı
1
0 |f (xn )| = |xn | cos |xn |.
xn
V` |xn | → 0 khi n → ∞ nˆn lim f (xn ) = 0.
ı e
n→∞
ii) H`m d˜ cho khˆng c´ gi´.i han bˆn phai tai diˆm x0 = 0. Dˆ
a a o o o . e ’ . ’
e ’
e
ch´.ng minh diˆu d´ ta x´t hai d˜y hˆi tu dˆn 0 lˆp nˆn t`. c´c d˜y
u ` o
e e a o . e
. ´ a e u a a
.
1 1
sˆ du.o.ng xn = π
´
o v` xn =
a . Nˆu nhu. h`m f c´ gi´.i han
´
e a o o .
+ nπ 2πn
2
e ’ . e’ ı a a ’ o . e
. ´
bˆn phai tai diˆm x0 = 0 th` hai d˜y f (xn ) v` f (xn ) phai hˆi tu dˆn
c`ng mˆt gi´.i han. Thˆ nhu.ng f (xn ) = cos 2πn = 1 hˆi tu dˆn 1, c`n
u o o .
. ´
e o . e
. ´ o
π
f (xn ) = cos ´
+ nπ = 0 hˆi tu dˆn 0.
o . e
.
2
T`. d´ suy r˘ng h`m c´ gi´n doan kiˆu II tai diˆm x0 = 0.
u o `
a a o a . ’
e . e’
ım a a . a ’
e a . ’ a a
V´ du 7. T` v` phˆn loai c´c diˆm gi´n doan cua c´c h`m:
ı .
1) y = (signx)2; 2) y = [x]
’
Giai
1) T`. dinh ngh˜ h`m signx suy r˘ng
u . ıa a `
a

1, x = 0
2
(signx) =
0, x = 0.
T`. d´ suy r˘ng h`m y = (signx)2 liˆn tuc ∀ x = 0 (h˜y du.ng dˆ
u o `
a a e . a . `
o
. ’ a a . e’
thi cua h`m) v` tai diˆm x0 = 0 ta c´ y(0 − 0) = y(0 + 0) = y(0).
o
Diˆu d´ c´ ngh˜ r˘ng x0 = 0 l` diˆm gi´n doa n khu. du.o.c.
` o o
e ıa `
a a e ’ a . ’ .
’ ’
2) Gia su. n ∈ Z. Nˆu n − 1
´
e ´
x < n th` [x] = n − 1, nˆu
ı e
n x < n + 1 th` [x] = n (h˜y du
ı a .ng dˆ thi cua h`m phˆn nguyˆn
` . ’
o a `a e
.
[x]). Nˆu x0 ∈ Z th` tˆn tai lˆn cˆn cua diˆm x0 (khˆng ch´.a c´c sˆ
´
e ı ` . a a ’
o . ’
e o u a o ´

49. 7.3. H`m liˆn tuc
a e . 47
. o a `
a `
a o´
nguyˆn) sao cho tai d´ h`m b˘ng h˘ng sˆ. Do vˆy n´ liˆn tuc tai x0.
e a o e . .
.
Nˆu x0 = n l` sˆ nguyˆn th` [n − 0] = n − 1, [n + 0] = n. T`. d´ suy
´
e a o´ e ı u o
`
a a e ’ a . e’
r˘ng x0 = n l` diˆm gi´n doan kiˆu I.
V´ du 8. Khao s´t su. liˆn tuc v` phˆn loai diˆm gi´n doan cua c´c
ı . ’ a . e . a a . ’
e a . ’ a
h`m
a

x 2
1
x ´
nˆu x 1
e
−x
1) f (x) = , 2) f (x) = e , 3) f (x) =
x lnx nˆu x > 1.
´
e
’
Giai
e´
1) H`m f (x) = x nˆu x = 0 v` khˆng x´c dinh khi x = 0. V` ∀ a
a a o a . ı
ta c´ lim x = a nˆn khi a = 0:
o e
x→a
lim f (x) = a = f (a)
x→a
a a a
. e . . e ’
v` do vˆy h`m f (x) liˆn tuc ∀ x = 0. Tai diˆm x = 0 ta c´ gi´n doan
o a .
khu’. du.o.c v` tˆn tai
ı ` .
o
.
lim f (x) = lim x = 0.
x→0 x→0
2) H`m f (x) = e− x l` h`m so. cˆp v` n´ l` ho.p cua c´c h`m
1
a a a ´ ı o a .
a ’ a a
−1
a y
e’
y = −x v` f = e . Hiˆn nhiˆn l` h`m f (x) x´c dinh ∀ x = 0 v`
e a a a . a
do d´ n´ liˆn tuc ∀ x = 0. V` h`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn diˆ
o o e . ı a a . a a . ’m
e
a . . ınh e ’ e e’
x = 0 v` khˆng x´c dinh tai ch´ diˆm x = 0 nˆn diˆm x = 0 l` diˆm
a o ’
a e
gi´n doa n. Ta t´nh f (0 + 0) v` f (0 − 0).
a . ı a
Ta x´t d˜y vˆ c`ng b´ t`y y (xn ) sao cho xn > 0 ∀ n. V`
e a o u e u ´ ı
1 − x1
= −∞ nˆn lim e n = 0. T`. d´ suy r˘ng lim e− x = 0.
1
lim − e u o a`
x→∞ xn x→∞ x→0+0
Bˆy gi`. ta x´t d˜y vˆ c`ng b´ bˆt k` (xn ) sao cho x0 < 0 ∀ n. V`
a o e a o u e a y´ ı
1 − x1 1
lim − = +∞ nˆn lim e n = +∞. Do d´ lim e− x = +∞
e o
n→∞ xn x→0 x→0−0
t´.c l` f (0 − 0) = +∞.
u a
Nhu. vˆy gi´.i han bˆn tr´i cua h`m f (x) tai diˆm x = 0 khˆng tˆn
a
. o . e a ’ a . e ’ o `
o
. ’ a e ’
tai do d´ diˆm x = 0 l` diˆm gi´n doan kiˆu II.
o e a . ’
e

50. 48 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
3) Ta ch´.ng minh r˘ng f (x) liˆn tuc tai diˆm x = a = 1. Ta lˆy
u `
a e . . ’
e ´
a
o a a ’ ’
ε < |a − 1|, ε > 0. Khi d´ ε-lˆn cˆn cua diˆm x = a khˆng ch´
e o u.a diˆm
’
e
.
x = 1 nˆu ε < |a − 1|. Trong ε-lˆn cˆn n`y h`m f (x) ho˘c tr`ng v´.i
´
e a a a a
. a. u o
´
h`m ϕ(x) = x nˆu a < 1 ho˘c tr`ng v´ a
a e a u o.i h`m ϕ(x) = lnx nˆu a > 1.
´
e
.
V` c´c h`m so a
ı a a . cˆp co. ban n`y liˆn tuc tai diˆm x = a nˆn h`m f (x)
´ ’ a e . . e ’ e a
’
liˆn tuc tai diˆm x = a = 1.
e . . e
’ a ı e . ’ a ’
Ta khao s´t t´nh liˆn tuc cua h`m f (x) tai diˆm x = a = 1. Dˆ l`m
. e ’
e a
` ı
viˆc d´ ta cˆn t´nh c´c gi´ .
e o a a o .i han mˆt ph´ cua f (x) tai diˆm x = a = 1.
o ıa ’ ’
. . . e
Ta c´
o
f (1 + 0) = lim f (x) = lim lnx = 0,
x→1+0 x→1+0
f (1 − 0) = lim f (x) = lim x = lim x = 1.
x→1−0 x→1−0 x→1
Nhu. vˆy f (1 + 0) = f (1 − 0) v` do d´ h`m f (x) c´ gi´n doa n kiˆu
a
. a o a o a . e’
I tai x = a = 1.
.
` ˆ
BAI TAP
.
’ a ınh e . a a ’ ’ a
Khao s´t t´ liˆn tuc v` phˆn loai diˆm gi´n doan cua h`m
. e a .
|2x − 3| 3
1. f (x) = (DS. H`m x´c dinh v` liˆn tuc ∀ x = ; tai
a a . a e .
2x − 3 2 .
3
o a . e’
x0 = h`m c´ gi´n doa n kiˆu I)
a
2

 1 nˆu x = 0
´
e
2. f (x) = x
1 nˆu x = 0.
´
e
(DS. H`m liˆn tuc ∀ x ∈ R)
a e .
o ` . o a . ’
e a e . . ´
3. C´ tˆn tai hay khˆng gi´ tri a dˆ h`m f (x) liˆn tuc tai x0 nˆu:
o e

4 · 3x ´
nˆu x < 0
e
1) f (x) =
2a + x khi x 0.
a e . ´
(DS. H`m f liˆn tuc ∀ x ∈ R nˆu a = 2)
e

51. 7.3. H`m liˆn tuc
a e . 49

x sin 1 , x = 0;
2) f (x) = x .
a, x = 0, x = 0.
0
(DS. a = 0)

 1 + x , x = −1
3) f (x) = 1 + x3

a, x = −1, x0 = −1.
1
(DS. a = )
3
cos x, x 0;
4) f (x) =
a(x − 1), x > 0; x0 = 0.
(DS. a = −1)
| sin x|
4. f (x) =
sin x
(DS. H`m c´ gi´n doan tai x = kπ, k ∈ Z v`:
a o a . . ı

1 ´
nˆu sin x > 0
e
f (x) =
−1 nˆu sin x < 0)
´
e
5. f (x) = E(x) − E(−x)
(DS. H`m c´ gi´n doan khu. du.o.c tai x = n, x ∈ Z v`:
a o a . ’ . . ı

−1 nˆu x = n
e´
f (x) =
0 ´
nˆu x = n.)
e

e1/x khi x = 0
6. f (x) =
0 khi x = 0.
’ a o a . ’
(DS. Tai diˆm x = 0 h`m c´ gi´n doan kiˆu II; f (−0) = 0, f (+0) =
. e e
∞)
T` diˆm gi´n doan v` t´ bu.´.c nhay cua c´c h`m:
ım e ’ a . a ınh o ’ ’ a a
x+2
7. f (x) = x +
|x + 2|
a e ’ a . e’
(DS. x = −2 l` diˆm gi´n doan kiˆu I, δ(−2) = 2)

52. 50 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
2|x − 1|
8. f (x) =
x2 − x3
’ a . e’ a e ’ a . e’
(DS. x = 0 l` diˆm gi´n doan kiˆu II, x = 1 l` diˆm gi´n doa n kiˆu
a e
I, δ(1) = −4)
H˜y bˆ sung c´c h`m sau dˆy tai diˆm x = 0 dˆ ch´ng tro. th`nh
a o ’ a a a . e ’ ’
e u ’ a
liˆn tuc
e .
tgx
9. f (x) = (DS. f (0) = 1)
x
√
1+x−1 1
10. f (x) = (DS. f (0) = )
x 2
sin2 x
11. f (x) = (DS. f (0) = 2)
1 − cos x
12. Hiˆu cua c´c gi´.i han mˆt ph´ cua h`m f (x):
e ’ a
. o . o. ıa ’ a
d = lim f (x) − lim f (x)
x→x0 +0 x→x0 −0
du.o.c goi l` bu.´.c nhay cua h`m f (x) tai diˆm x0 . T` diˆm gi´n doa n
. . a o ’ ’ a . e ’ ım e’ a .
.´.c nhay cua h`m f (x) nˆu:
v` bu o
a ’ ’ a ´
e

− 1 x2 nˆu x 2,
´
e
1) f (x) = 2
x ´
nˆu x > 2.
e
’
(DS. x0 = 2 l` diˆm
a e ’
gi´n doan kiˆu I; d = 4)
a . e

2√x
 ´
nˆu 0
e x 1;


2) f (x) = 4 − 2x ´
nˆu 1 < x
e 2, 5;



2x − 7 ´
nˆu 2, 5
e x < +∞.
a e ’ a . e’
(DS. x0 = 2, 5 l` diˆm gi´n doan kiˆu I; d = −1)

2x + 5 nˆu − ∞ < x < −1,
´
e
3) f (x) = 1
 ´
nˆu − 1 x < +∞.
e
x
’ a . ’
e ’
e a e ’
(DS. x0 = 0 l` diˆm gi´n doan kiˆu II; diˆm x0 = −1 l` diˆm gi´n
a e a
. e’
doa n kiˆu I, d = −4)

53. 7.4. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn
o . a e . ’ a `
e ´
e 51
7.4 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu
o . a e . ’ a `
e
´
biˆn
e
1. Gia su. u = f (M) = f (x, y) x´c dinh trˆn tˆp ho.p D. Gia su.
’ ’ a . e a . . ’ ’
a e ’ ´
o . a o ’ a
. ’
M0(x0 , y0) l` diˆm cˆ dinh n`o d´ cua m˘t ph˘ng v` x → x0 , y → y0,
a a
’ ` a
khi d´ diˆm M(x, y) → M0 (x0, y0 ). Diˆu n`y tu
o e e .o.ng du.o.ng v´.i khoang
o ’
c´ch ρ(M, M0 ) gi˜
a u.a hai diˆm M v` M0 dˆn dˆn 0. Ta lu.u y r˘ng
’
e a `a e ´ ´ ` a
ρ(M, M0 ) = [(x − x0)2 + (y − y0)2 ]1/2.
Ta c´ c´c dinh ngh˜ sau dˆy:
o a . ıa a
i) Dinh ngh˜ gi´ .
ıa o .i han (theo Cauchy)
.
Sˆ b du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (M) khi M → M0 (hay tai
´
o . . a o . ’ a .
’
diˆm M0 ) nˆu
e e´
∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀ M ∈ {D : 0 < ρ(M, M0 ) < δ(ε)}
⇒ |f (M) − b| < ε.
ii) Dinh ngh˜ gi´.i han (theo Heine)
. ıa o .
´
Sˆ b du .
o .o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (M) tai diˆm M0 nˆu dˆi v´.i
’ ’ ´ ´
. a o . a . e e o o
a ’
e ´
a y o . e . ´
d˜y diˆm {Mn } bˆt k` hˆi tu dˆn M0 sao cho Mn ∈ D, Mn = M0
∀ n ∈ N th` d˜y c´c gi´ tri tu.o.ng u.ng cua h`m {f (Mn )} hˆi tu dˆn b.
ı a a a . ´ ’ a o . e
. ´
K´ hiˆu:
y e .
i) lim f (M) = b, ho˘c
a
.
M →M 0
ii) lim f (x, y) = b
x → x0
y → y0
Hai dinh ngh˜ gi´.i han trˆn dˆy tu.o.ng du.o.ng v´.i nhau.
. ıa o . e a o
Ch´ ´. Ta nhˆn manh r˘ng theo dinh ngh˜a, gi´.i han cua h`m khˆng
uy ´
a . `
a . ı o . ’ a o
phu thuˆc v`o phu
o a .o.ng M dˆn t´.i M0 . Do d´ nˆu M → M0 theo
`a o o e ´
. .
a .´.ng kh´c nhau m` f (M) dˆn dˆn c´c gi´ tri kh´c nhau th` khi
c´c hu o a a a ´
` e a a . a ı
M → M0 h`m f (M) khˆng c´ gi´.i han.
a o o o .

54. 52 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
iii) Sˆ b du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (M) khi M → ∞ nˆu
´
o . . a o . ’ a ´
e
∀ ε > 0, ∃ R > 0 : ∀ M ∈ {D : ρ(M, 0) > R} ⇒ |f (M) − b| < ε.
Dˆi v´.i h`m nhiˆu biˆn, c`ng v´.i gi´.i han thˆng thu.`.ng d˜ nˆu o.
´
o o a `e ´ u
e o o . o o a e ’
trˆn (gi´.i han k´p !), ngu.`.i ta c`n x´t gi´.i han l˘p. Ta s˜ x´t kh´i
e o . e o o e o . a . e e a
. a a ´
niˆm n`y cho h`m hai biˆn u = f (M) = f (x, y).
e e
’ ’
Gia su . u = f (x, y) x´c dinh trong h`nh ch˜. nhˆt
a . ı u a
.
Q = {(x, y) : |x − x0| < d1 , |y − y0 | < d2 }
c´ thˆ tr`. ra ch´ c´c diˆm x = x0 , y = y0. Khi cˆ dinh mˆt gi´ tri
o e u’ ınh a e’ ´
o . o a .
.
’. th`nh h`m mˆt biˆn. Gia su. dˆi v´.i gi´ tri cˆ
y th` h`m f (x, y) tro a
ı a a o
. ´
e ´
’ ’ o o a . o ´
dinh y bˆt k` thoa m˜n diˆu kiˆn 0 < |y − y0| < d2 tˆn tai gi´.i han
. ´
a y ’ a `
e e
. ` . o .
o
lim f (x, y) = ϕ(y).
x→x0
´
y cˆ dinh
o .
Tiˆp theo, gia su. lim ϕ(y) = b tˆn tai. Khi d´ ngu.`.i ta n´i r˘ng
´
e ’ ’ ` .
o o o o a`
y→y0
tˆn tai gi´.i han l˘p cua h`m f (x, y) tai diˆm M0 (x0 , y0) v` viˆt
` . o . a ’ a
o . . e ’ a e ´
lim lim f (x, y) = b,
y→y0 x→x0
trong d´ gi´.i han
o o . lim f (x, y) goi l` gi´.i han trong. Tu.o.ng tu., ta
. a o . .
x→x0
´
y cˆ dinh
o .
0<|y−y0 |<d2
c´ thˆ ph´t biˆu dinh ngh˜a gi´.i han l˘p kh´c lim lim f (x, y) trong
o e a’ ’
e . ı o . a . a
x→x0 y→y0
d´ gi´.i han
o o .
lim f (x, y)
y→y0
´
x cˆ dinh
o .
0<|x−x0 |<d1
l` gi´.i han trong.
a o .
Mˆi quan hˆ gi˜.a gi´.i han k´p v` c´c gi´.i han l˘p du.o.c thˆ hiˆn
´
o e u
. o . e a a o . a . . ’ .
e e
trong dinh l´ sau dˆy:
. y a

55. 7.4. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn
o . a e . ’ a `
e ´
e 53
Gia su. tai diˆm M0 (x0, y0 ) gi´.i han k´p v` c´c gi´.i han trong cua
’ ’ . e’ o . e a a o . ’
a o.i han l˘p cua h`m tˆn tai. Khi d´ c´c gi´.i han l˘p tˆn tai v`
c´c gi´ . a ’ a ` . o o a o . a ` . a
. . o
lim lim f (x, y) = lim lim = lim f (x, y).
x→x0 y→y0 y→y0 x→x0 x→x0
y→y0
T`. dinh l´ n`y ta thˆy r˘ng viˆc thay dˆi th´. tu. trong c´c gi´.i
u . y a a `
´ a e
. ’
o u . a o
o ’
han khˆng phai bao gi` u o. c˜ng du.o.c ph´p.
e
. .
Dˆi v´.i h`m nhiˆu biˆn ta c˜ng c´ nh˜.ng dinh l´ vˆ c´c t´ chˆt
´
o o a `
e ´
e u o u . y ` a ınh a
e ´
´ ’
sˆ hoc cua gi´ .
o . o .i han tu.o.ng tu. c´c dinh l´ vˆ gi´.i han cua h`m mˆt
y ` o . ’
. a . e a o
.
´
biˆn.
e
2. T`. kh´i niˆm gi´.i han ta s˜ tr`nh b`y kh´i niˆm vˆ t´nh liˆn tuc
u a e . o . e ı a a e . ` ı
e e .
’ a `
cua h`m nhiˆu biˆn.
e ´
e
H`m u = f (M) du.o.c goi l` liˆn tuc tai diˆm M0 nˆu:
a . . a e . . e ’ ´
e
i) f (M) x´c dinh tai ch´nh diˆm M0 c˜ng nhu. trong mˆt lˆn cˆn
a . . ı e’ u o a a
. .
a o ’ ’
n`o d´ cua diˆm M0 .
e
ii) Gi´.i han lim f (M) tˆn tai.
o . ` .
o
M →M0
iii) lim f (M) = f (M0 ).
M →M0
Su. liˆn tuc v`.a du.o.c dinh ngh˜a goi l` su. liˆn tuc theo tˆp ho.p
. e . u . . ı . a . e . a
. .
´n sˆ.
e ´
biˆ o
a e . `
e ´
H`m f (M) liˆn tuc trong miˆn D nˆu n´ liˆn tuc tai moi diˆm cua
e o e . . . e ’ ’
` o
miˆn d´.
e
Diˆm M0 du.o.c goi l` diˆm gi´n doan cua h`m f (M) nˆu dˆi v´.i
’
e . . a e ’ a . ’ a ´ ´
e o o
’ ´ o . `
diˆm M0 c´ ´ nhˆt mˆt trong ba diˆu kiˆn trong dinh ngh˜a liˆn tuc
e o ıt a e e
. . ı e .
khˆng thoa m˜n. Diˆm gi´n doa n cua h`m nhiˆu biˆn c´ thˆ l` nh˜.ng
o ’ a e’ a . ’ a `
e ´ ’
e o e a u
diˆm cˆ lˆp, v` c˜ng c´ thˆ l` ca mˆt du.`.ng (du.`.ng gi´n doa n).
’
e o a. a u ’
o e a ’ o . o o a .
´ ’
Nˆu h`m f (x, y) liˆn tuc tai diˆm M0 (x0 , y0) theo tˆp ho
e a e . . e a .p biˆn sˆ
´ ´
e o
. .
th` n´ liˆn tuc theo t`
ı o e . u .ng biˆn sˆ. Diˆu kh˘ng dinh ngu.o.c lai l` khˆng
´ ´ `
e o e ’
a . . . a o
d´ng.
u
C˜ng nhu. dˆi v´.i h`m mˆt biˆn, tˆng, hiˆu v` t´ch c´c h`m liˆn
u ´
o o a o
. ´ o
e ’ e a ı
. a a e
´ ’ ’
tuc hai biˆn tai diˆm M0 l` h`m liˆn tuc tai diˆm d´; thu
e . e a a e . . e o .o.ng cua hai
’
.
u a a e . . ´
e . e ’
h`m liˆn tuc tai M0 c˜ng l` h`m liˆn tuc tai M0 nˆu tai diˆm M0 h`m
a e . . a

56. 54 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
mˆ u sˆ kh´c 0. Ngo`i ra, dinh l´ vˆ t´nh liˆn tuc cua h`m ho.p vˆ n
˜ ´
a o a a . y ` ı
e e . ’ a . ˜
a
u .`.ng ho.p n`y.
d´ng trong tru o a
.
Nhˆn x´t. Tu.o.ng tu. nhu. trˆn ta c´ thˆ tr` b`y c´c kh´i niˆm co.
a e
. . e ’
o e ınh a a a e .
’ e ´
e o .i han v` liˆn tuc cua h`m ba biˆn,...
ban liˆn quan dˆn gi´ . a e . ’ a e´
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Ch´.ng minh r˘ng h`m
ı . u `
a a
1 1
a o u e . e ’
f (x, y) = (x + y) sin sin l` vˆ c`ng b´ tai diˆm O(0, 0).
x y
Giai. Theo dinh ngh˜a vˆ c`ng b´ (tu.o.ng tu. nhu. dˆi v´.i h`m mˆt
’ . ı o u e . ´
o o a o
.
´ `
biˆn) ta cˆn ch´
e a u.ng minh r˘ng
`
a
limf (x, y) = 0.
x→0
y→0
Ta ´p dung dinh ngh˜a gi´.i han theo Cauchy. Ta cho sˆ ε > 0 t`y
a . . ı o . ´
o u
ε
´ a a . o e ´
y v` d˘t δ = . Khi d´ nˆu
2
ρ M(x, y), O(0, 0) = x2 + y 2 < δ th` |x| < δ, |y| < δ.
ı
Do d´
o
1 1
|f (x, y) − 0| = (x + y) sin sin |x| + |y| < 2δ = ε.
x y
Diˆu d´ ch´.ng to r˘ng
` o u
e ’ a`
limf (x, y) = 0.
x→0
y→0
V´ du 2. T´ c´c gi´.i han sau dˆy:
ı . ınh a o . a
2
2 x2 + (y − x)2 + 1 − 1
1) lim 1 + xy x + xy , 2) lim ,
x→0 x→0 x2 + (y − 2)2
y→2 y→2
x4 + y 4
3) lim .
x→0 x2 + y 2
y→0

57. 7.4. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn
o . a e . ’ a `
e ´
e 55
Giai. 1) Ta biˆu diˆn h`m du.´.i dˆu gi´.i han du.´.i dang
’ ’
e ˜ a
e o a ´ o . o .
1 2y
1 + xy xy x + y .
x→0
V` t = xy → 0 khi
ı nˆn
e
y→0
1 1
lim 1 + xy xy = lim 1 + t t = e.
x→0 t→0
y→2
2
´
Tiˆp theo v` lim
e ı = 2 (theo dinh l´ thˆng thu.`.ng vˆ gi´.i han
. y o o ` o .
e
x→0 x + y
y→2
cua thu.o.ng), do d´ gi´.i han cˆn t` b˘ng e2 .
’ o o . ` ım ` a a
2) Ta t` gi´.i han v´.i diˆu kiˆn M(x, y) → M0 (0, 2). Khoang c´ch
ım o . o ` e e
. ’ a
gi˜
u.a hai diˆm M v` M0 b˘ng
’
e a `
a
ρ= x2 + (y − 2)2 .
o
Do d´
ρ2 + 1 − 1 (ρ2 + 1) − 1
lim f (x, y) = lim = lim
x→0 ρ→0 ρ2 ρ→0 ρ2 ( ρ2 + 1 + 1)
y→2
1 1
= lim = ·
ρ→0 ρ2 +1+1 2
3) Chuyˆn sang toa dˆ cu.c ta c´ x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Ta c´
’
e . o .
. o o
x4 + y 4 ρ4 (cos4 ϕ + sin4 ϕ)
= 2 = ρ2 (cos4 ϕ + sin4 ϕ).
x2 + y 2 ρ (cos2 ϕ + sin2 ϕ)
V` cos4 ϕ + sin4 ϕ
ı 2 nˆn
e
x4 + y 4
lim = lim ρ2 (cos4 ϕ + sin4 ϕ) = 0.
x→0 x2 + y 2 ρ→0
y→0

58. 56 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
V´ du 3. 1) Ch´.ng minh r˘ng h`m
ı . u `
a a
x−y
f1 (x, y) =
x+y
khˆng c´ gi´.i han tai diˆm (0, 0).
o o o . . e ’
2) H`m
a
xy
f2 (x, y) =
x2 + y2
c´ gi´.i han tai diˆm (0, 0) hay khˆng ?
o o . . e ’ o
Giai. 1) H`m f1 (x, y) x´c dinh kh˘p no.i ngoa i tr`. du.`.ng th˘ng
’ a a . ´
a . u o ’
a
x + y = 0. Ta ch´.ng minh r˘ng h`m khˆng c´ gi´.i han tai (0, 0). Ta
u `
a a o o o . .
´
a a ’
e o . e
. ´ e’
lˆy hai d˜y diˆm hˆi tu dˆn diˆm (0, 0):
1
Mn = , 0 → (0, 0), n → ∞,
n
1
Mn = 0, → (0, 0), n → ∞.
n
Khi d´ thu du.o.c
o .
1
−0
lim f1 (Mn ) = lim n = 1;
n→∞ n→∞ 1
+0
n
1
0−
lim f1 (Mn ) = lim n = −1.
n→∞ n→∞ 1
0+
n
Nhu. vˆy hai d˜y diˆm kh´c nhau c`ng hˆi tu dˆn diˆm (0, 0) nhu.ng
a
. a e’ a u o . e
. ´ ’
e
hai d˜y gi´ tri tu.o.ng u.ng cua h`m khˆng c´ c`ng gi´.i han. Do d´
a a . ´ ’ a o o u o . o
theo dinh ngh˜ h`m khˆng c´ gi´.i han tai (0, 0).
. ıa a o o o . .
’ ’ . diˆm M(x, y) dˆn dˆn diˆm (0, 0) theo du.`.ng th˘ng
2) Gia su e ’ `a ´
e e’ o ’
a
´
y = kx qua gˆc toa dˆ. Khi d´ ta c´
o . o . o o
xy kx2 k
lim = lim 2 = ·
x→0 x2 + y 2 x→0 x + k 2 x2 1 + k2
y→0
(y=kx)

59. 7.4. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn
o . a e . ’ a `
e ´
e 57
Nhu. vˆy khi dˆn dˆn diˆm (0, 0) theo c´c du.`.ng th˘ng kh´c nhau
a
. `a e ´ ’
e a o a’ a
(tu .o.ng u.ng v´.i c´c gi´ tri k kh´c nhau) ta thu du.o.c c´c gi´ tri gi´.i
´ o a a . a . a a . o
han kh´c nhau, t´.c l` h`m d˜ cho khˆng c´ gi´.i han tai (0, 0).
. a u a a a o o o . .
’ a ınh e . ’ a a
V´ du 4. Khao s´t t´ liˆn tuc cua c´c h`m
ı .
x2 + 2xy + 5
1) f (x, y) = 2
y − 2x + 1
1
2) f (x, y) = 2
x + y2 − z
x+y
3) f (x, y) = 3
x + y3
Giai. 1) Diˆu kiˆn liˆn tuc cua h`m d˜ cho bi vi pham tai nh˜.ng
’ `e e e . ’ a
. a . . . u
diˆe’m cua m˘t ph˘ng R2 m` toa dˆ cua ch´ng thoa m˜n phu.o.ng tr`
’ a
. a’ a . o ’ . u ’ a ınh
2
y − 2x + 1 = 0. D´ l` phu o a .o.ng tr` du.`.ng parabˆn v´.i dınh tai diˆm
ınh o o o ’ ’
. e
1
, 0 . Nhu. vˆy c´c diˆm cua parabˆn n`y l` nh˜.ng diˆm gi´n doan
a a
. ’
e ’ o a a u e ’ a .
2
- d´ l` du o
o a .`.ng gi´n doan cua h`m. Nh˜.ng diˆm cua m˘t ph˘ng R2
a ’ a u e’ ’ a ’
a
. .
khˆng thuˆc parabˆn d´ l` nh˜
o o o o a u .ng diˆm liˆn tuc.
’
e e .
.
a a e . . . e ’
2) H`m d˜ cho liˆn tuc tai moi diˆm cua khˆng gian R3 m` toa dˆ
’ o a . o .
’ ’ `
cua ch´ng thoa m˜n diˆu kiˆn x + y − z = 0. D´ l` phu
u a e e 2 2
o a .o.ng tr`nh
ı
.
m˘t paraboloit tr`n xoay. Trong tru.`.ng ho.p n`y m˘t paraboloit l`
a. o o . a a
. a
m˘t gi´n doan cua h`m.
a a
. . ’ a
3) V` tu. sˆ v` mˆ u sˆ l` nh˜.ng h`m liˆn tuc nˆn thu.o.ng l` h`m
´
ı ’ o a a o a u ˜ ´ a e . e a a
liˆn tuc tai nh˜
e . . u .ng diˆm m` mˆ u sˆ x3 + y 3 = 0. H`m c´ gi´n doan tai
e’ a a o ˜ ´ a o a . .
nh˜ u .ng diˆm m` x3 + y 3 = 0 hay y = −x. Ngh˜ l` h`m c´ gi´n doan
e’ a ıa a a o a .
trˆn du o
e .`.ng th˘ng y = −x.
a’
Gia su. x0 = 0, y0 = 0. Khi d´
’ ’ o
x+y 1 1
lim 3 + y3
= lim 2 2
= 2 2
·
x→x0 x x→x0 x − xy + y x0 − x0 y0 + y0
y→y0 y→y0
T`. d´ suy ra r˘ng c´c diˆm cua du.`.ng th˘ng y = x (x = 0) l`
u o `
a a ’
e ’ o ’
a a

60. 58 Chu.o.ng 7. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ
o . a e . ’ a ´
o
nhu.ng diˆm gi´n doan khu. du.o.c. V`
. ’
e a . ’ . ı
x+y 1
lim 3 + y3
= lim 2 = +∞
x→0 x x→0 x − xy + y 2
y→0 y→0
’
e a e ’
nˆn diˆm O(0, 0) l` diˆm gi´n doan vˆ c`ng.
e a . o u
` ˆ
BAI TAP
.
a a a a a ı ` a .
e ’ a
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (1-10) h˜y t`m miˆn x´c dinh cua c´c
a ´
h`m nˆu:
e
1. w = x2 − y 2 . (DS. |y| |x|)
√
2. w = xy. (DS. x 0, y 0 ho˘c x
a
. 0, y 0)
3. w = a2 − x2 − y 2. (DS. x2 + y 2 a2 )
1
4. w = . (DS. x2 + y 2 > a2)
x2 + y 2 − a2
x2 y 2 x2 y 2
5. w = 1− − 2 . (DS. 2 + 2 1)
a2 b a b
6. w = ln(z 2 − x2 − y 2 − 1). (DS. x2 + y 2 − z 2 < −1)
x √
7. w = arcsin + xy. (DS. Hai nu.a b˘ng vˆ han th˘ng d´.ng
’ a o . ’
a u
2
{0 x 2, 0 y < +∞} v` {−2 x 0, −∞ < y 0})
a
8. w = x2 + y 2 − 1 + ln(4 − x2 − y 2).
(DS. V`nh tr`n 1 x2 + y 2 < 4)
a o
9. w = sin π(x2 + y 2 ). (DS. Tˆp ho.p c´c v`nh dˆng tˆm
a
. . a a `
o a
2 2 2 2
0 x +y 1; 2 x + y 3; . . . )
10. w = ln(1 + z − x2 − y 2 ).
(DS. Phˆn trong cua mˆt paraboloid z = x2 + y 2 − 1).
`
a ’ a
.
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (11-18) h˜y t´ c´c gi´.i han cua h`m
a a a a a ınh a o . ’ a

61. 7.4. Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m nhiˆu biˆn
o . a e . ’ a `
e ´
e 59
sin xy
11. lim . (DS. 1)
x→0 xy
y→0
sin xy
12. lim . (DS. 0)
x→0 x
y→0
xy
13. lim √ . (DS. 2)
x→0 xy + 1 − 1
y→0
x2 + y 2
14. lim . (DS. 2)
x→0
y→0
x2 + y 2 + 1 − 1
Chı dˆ n. Su. dung khoang c´ch ρ = x2 + y 2 ho˘c nhˆn - chia
’ ˜ a ’ . ’ a a
. a
.i dai lu.o.ng liˆn ho.p v´.i mˆ u sˆ.
v´ .
o e . o ˜ o
a ´
.
y
2 2
15. lim 1 + xy 2 x y + xy . (DS. e3)
x→0
y→3
x2 y
16. lim . (DS. 0)
x→0 x2 + y 2
y→0
(x2 + (y − 5)2 + 1 − 1 1
17. lim . (DS. )
x→0 x2 + (y − 5)2 2
y→5
tg(2xy)
18. lim . (DS. 2).
x→1 x2 y
y→0

62. Chu.o.ng 8
Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m mˆt
a a o
.
´
biˆn
e
8.1 - .
Dao h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
8.1.1 - . a ´
Dao h`m cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
8.1.2 - . a ´
Dao h`m cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . 62
a
8.2 Vi phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
a
8.2.1 ´
Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
a a
8.2.2 ´
Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . 77
a a
8.3 C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi. Quy
a . y ’ ` a
e ’
t˘c l’Hospital. Cˆng th´.c Taylor . . . . . . 84
´
a o u
8.3.1 C´c d inh l´ co. ban vˆ h`m kha vi . . . . . 84
a . y ’ ` a
e ’
8.3.2 Khu. c´c dang vˆ dinh. Quy t˘c Lˆpitan
’ a . o . ´ o
a
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 96
o u

63. -.
8.1. Dao h`m
a 61
8.1 - .
Dao h`m
a
8.1.1 - . ´
Dao h`m cˆp 1
a a
Gia su. h`m y = f (x) x´c dinh trong δ-lˆn cˆn cua diˆm x0 (U (x0 ; δ) =
’ ’ a a . a a ’
. e’
´ ’
{x ∈ R : |x − x0 | < δ) v` ∆f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) l` sˆ gia cua
a a o
’
n´ tai diˆm x0 tu
o . e .o.ng u.ng v´.i sˆ gia ∆x = x − x0 cua dˆi sˆ.
´ o o ´ ´ ´
’ o o
Theo dinh ngh˜ Nˆu tˆn tai gi´.i han h˜.u han
. ´ o
ıa: e ` . o . u .
f (x0 + ∆x) − f (x0)
lim
∆x→0 ∆x
khi ∆x → 0 th` gi´.i han d´ du.o.c goi l` dao h`m cua h`m f (x) tai
ı o . o . . a . a ’ a .
’
e a .o.c chı bo.i mˆt trong c´c k´ hiˆu:
diˆm x0 v` du . ’ ’ o a y e
. .
f (x0 + ∆x) − f (x0) dy d
lim ≡ ≡ f (x) ≡ f (x) ≡ y .
∆x→0 ∆x dx dx
Dai lu.o.ng
. .
∆y ∆y
f+ (x0) = f (x0 + 0) = lim = lim
∆x→0 ∆x ∆x→0+0 ∆x
∆x>0
v`
a
∆y ∆y
f− (x0 ) = f (x0 − 0) = lim = lim
∆x→0 ∆x ∆x→0−0 ∆x
∆x<0
du.o.c goi l` dao h`m bˆn phai v` dao h`m bˆn tr´i cua h`m y = f (x)
. . a . a e ’ a . a e a ’ a
tai diˆm x0 nˆu c´c gi´.i han d˜ nˆu tˆn tai.
. e ’ ´
e a o . a e ` . o
’. dung kh´i niˆm gi´.i han mˆt ph´ ta c´:
Su . a e o . o ıa o
. .
-i a o . a . ’
e a ’
D.nh l´ 8.1.1. H`m y = f (x) c´ dao h`m tai diˆm x khi v` chı khi
y
o. ıa ` . a `
c´c dao h`m mˆt ph´ tˆn tai v` b˘ng nhau:
a . a o a
f (x + 0) = f (x − 0) = f (x).
H`m f (x) kha vi nˆu n´ c´ dao h`m f (x) h˜.u han. H`m f (x) kha
a ’ ´
e o o . a u . a ’
´ . a ` . a e . ´ ’
vi liˆn tuc nˆu dao h`m f (x) tˆn tai v` liˆn tuc. Nˆu h`m f (x) kha
e . e o e a
vi th` n´ liˆn tuc. Diˆu kh˘ng dinh ngu.o.c lai l` khˆng d´ng.
ı o e . `
e ’
a . . . a o u

64. 62 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
8.1.2 - . ´
Dao h`m cˆp cao
a a
Dao h`m f (x) du.o.c goi l` dao h`m cˆp 1 (hay dao h`m bˆc nhˆt).
. a . . a . a ´
a . a a
. ´
a
Dao h`m cua f (x) du.o.c goi l` dao h`m cˆp hai (hay dao h`m th´.
. a ’ . . a . a ´
a . a u
’
hai) cua h`m f (x) v` du .
a a .o.c k´ hiˆu l` y hay f (x). Dao h`m cua
y e a a ’
. .
.o.c goi l` dao h`m cˆp 3 (hay dao h`m th´. ba) cua h`m f (x)
f (x) du . . a . a ´
a ’ a
. a u
v` du.o.c k´ hiˆu y hay f (x) (hay y (3), f (3)(x) v.v...
a . y e .
Ta c´ bang dao h`m cua c´c h`m so. cˆp co. ban
o ’ . a ’ a a ´
a ’
f (x) f (x) f (n) (x)
a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n + 1)xa−n ,
xa axa−1
x>0
ex ex ex
ax ax lna ax(lna)n
1 1
lnx (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0
x x
1 1
loga x (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0
xlna x lna
nπ
sin x cos x sin x +
2

65. -.
8.1. Dao h`m
a 63
f (x) f (x) f (n) (x)
nπ
cos x − sin x cos x +
2
1
tgx
cos2 x
1
cotgx − 2
sin x
1
arc sin x √ , |x| < 1
1 − x2
1
arccosx −√ , |x| < 1
1 − x2
1
arctgx
1 + x2
1
arccotgx −
1 + x2
Viˆc t´ dao h`m du.o.c du.a trˆn c´c quy t˘c sau dˆy.
e ınh . a
. . . e a ´
a a
d d d
1+ [u + v] = u + v.
dx dx dx
d du
2+ (αu) = α , α ∈ R.
dx dx
d du dv
3+ (uv) = v +u .
dx dx dx
d u 1 du dv
4+ = 2 v −u , v = 0.
dx v v dx dx
d df du
5+ f [u(x)] = · (dao h`m cua h`m ho.p).
. a ’ a .
dx du dx
dy
6+ Nˆu h`m y = y(x) c´ h`m ngu.o.c x = x(y) v`
´
e a o a . a ≡ yx = 0 th`
ı
dx
dx 1
≡ xy = ·
dy yx

66. 64 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
7+ Nˆu h`m y = y(x) du.o.c cho du.´.i dang ˆn bo.i hˆ th´.c kha vi
´
e a . o . a ’ ’ e u . ’
F (x, y) = 0 v` Fy = 0 th`
a ı
dy F
=− x
dx Fy
trong d´ Fx v` Fy l` dao h`m theo biˆn tu.o.ng u.ng cua h`m F (x, y)
o a a . a ´
e ´ ’ a
e´ o ’
khi xem biˆn kia khˆng dˆi.
o
8+ Nˆu h`m y = y(x) du.o.c cho du.´.i dang tham sˆ x = x(t),
´ a
e . o . ´
o
y = y(t) (x (t) = 0) th`
ı
dy y (t)
= ·
dx x (t)
dn dn u dn v
9+ (αu + βv) = α n + β n ;
dxn dx dx
n
dn k dn−k dk
uv = Cn u v ´
(quy t˘c Leibniz).
a
dxn dxn−k dxk
k=0
Nhˆn x´t. 1) Khi t´ dao h`m cua mˆt biˆu th´.c d˜ cho ta c´ thˆ
a e
. ınh . a ’ o
. ’
e u a o e ’
´ ’ . bˆ biˆu th´.c d´ sao cho qu´ tr`nh t´ dao h`m do.n gian
biˆn dˆi so o e
e o . ’ u o a ı ınh . a ’
ho.n. Ch˘ng han nˆu biˆu th´.c d´ l` logarit th` c´ thˆ su. dung c´c
’
a . ´
e ’
e u o a ’
ı o e ’ . a
ınh a ’ ´ ’ ´ ’ ` ı
t´ chˆt cua logarit dˆ biˆn dˆi... rˆi t´nh dao h`m. Trong nhiˆu
e e o o . a `
e
.`.ng ho.p khi t´ dao h`m ta nˆn lˆy logarit h`m d˜ cho rˆi ´p
tru o ınh . a e a ´ a a ` a
o
.
dung cˆng th´.c dao h`m loga
. o u . a
d y (x)
lny(x) = ·
dx y(x)
2) Nˆu h`m kha vi trˆn mˆt khoang du.o.c cho bo.i phu.o.ng tr`nh
´
e a ’ e o
. ’ . ’ ı
F (x, y) = 0 th` dao h`m y (x) c´ thˆ t`m t`. phu.o.ng tr`nh
ı . a ’
o e ı u ı
d
F (x, y) = 0.
dx
CAC V´ DU
´ I .

67. -.
8.1. Dao h`m
a 65
V´ du 1. T´ dao h`m y nˆu:
ı . ınh . a e´
ex
1) y = ln 3 ; x = π(2n + 1), n ∈ N
1 + cos x
1 + x2
2) y = √ , x = πn, n ∈ N.
x4 sin7 x
3
Giai. 1) Tru.´.c hˆt ta do.n gian biˆu th´.c cua h`m y b˘ng c´ch
’ o e ´ ’ ’
e u ’ a `
a a
.a v`o c´c t´ chˆt cua logarit. Ta c´
du a a ınh a ’ ´ o
.
1 1 x 1
y = lnex − ln(1 + cos x) = − ln(1 + cos x).
3 3 3 3
o
Do d´
x
1 1 (cos x) 1 1 sin x 1 + tg
y = − = + = 2 ·
3 3 1 + cos x 3 3 1 + cosx 3
’. a
2) O dˆy tiˆn lo.i ho.n ca l` x´t h`m z = ln|y|. Ta c´
e . ’ a e a o
.
dz dz dy 1 dy dy dz
= · = ⇒ =y · (*)
dx dy dx y dx dx dx
Viˆt h`m z du.´.i dang
´
e a o .
4
x = ln|y| = ln(1 + x2 ) − ln|x| − 7ln| sin x|
3
dz 2x 4 cos x
⇒ = 2
− −7 ·
dx 1+x 3x sin x
Thˆ biˆu th´.c v`.a thu du.o.c v`o (∗) ta c´
´ ’
e e u u . a o
dy 1 + x2 2x 4 cos x
=√ 2
− −7 .
x4 sin7 x 1 + x
3
dx 3x sin x
x
V´ du 2. T´ dao h`m y nˆu: 1) y = (2 +cos x)x, x ∈ R; 2) y = x2 ,
ı . ınh . a ´
e
x > 0.
’
Giai. 1) Theo dinh ngh˜ ta c´
. ıa o
y = exln(2+cos x).

68. 66 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
T`. d´
u o
y = exln(2+cos x) xln(2 + cos x)
sin x
= exln(2+cos x) ln(2 + cos x) − x , x ∈ R.
2 + cos x
nˆn v´.i x > 0 ta c´
x lnx
2) V` y = e2
ı e o o
x lnx 1 x x lnx
y = e2 [2x lnx] = e2 2 + 2x ln2 · lnx
x
x 1
= 2x x2 + ln2 · lnx .
x
V´ du 3. T´ dao h`m cˆp 2 cua h`m ngu.o.c v´.i h`m y = x + x5,
ı . ınh . a a´ ’ a . o a
x ∈ R.
Giai. H`m d˜ cho liˆn tuc v` do.n diˆu kh˘p no.i, dao h`m y =
’ a a e . a e
. ´
a . a
1 + 5x4 khˆng triˆt tiˆu tai bˆt c´. diˆm n`o. Do d´
o e e . a u e
. ´ ’ a o
1 1
xy = = ·
yx 1 + 5x4
Lˆy dao h`m d˘ng th´.c n`y theo y ta thu du.o.c
´
a . a ’
a u a .
1 −20x3
xyy = · xy = ·
1 + 5x4 x (1 + 5x4)3
V´ du 4. Gia su. h`m y = f (x) du.o.c cho du.´.i dang tham sˆ bo.i c´c
ı . ’ ’ a . o . ´
o ’ a
cˆng th´
o u.c x = x(t), y = y(t), t ∈ (a; b) v` gia su. x(t), y(t) kha vi cˆp
a ’ ’ ’ ´
a
2 v` x (t) = 0 t ∈ (a, b). T` yxx .
a ım
’
Giai. Ta c´
o
dy
dy y y
= dt = t ⇒ yx = t ·
dx dx xt xt
dt
Lˆy dao h`m hai vˆ cua d˘ng th´.c n`y ta c´
´
a . a ´
e ’ a ’ u a o
yt y 1
yxx = · tx = t ·
xt t xt t xt
xy −y x
= t tt 3 t tt ·
xt

69. -.
8.1. Dao h`m
a 67
V´ du 5. Gia su. y = y(x), |x| > a l` h`m gi´ tri du.o.ng cho du.´.i
ı . ’ ’ a a a . o
’ ’
dang ˆn bo.i phu.o.ng tr`
. a ınh
x2 y 2
− 2 = 1.
a2 b
T´ yxx.
ınh
Giai. Dˆ t`m y ta ´p dung cˆng th´.c
’ ’
e ı a . o u
d
F (x, y) = 0.
dx
Trong tru.`.ng ho.p n`y ta c´
o . a o
d x2 y 2
− 2 − 1 = 0.
dx a2 b
´
Lˆy dao h`m ta c´
a . a o
2x 2y
− 2 yx = 0, (8.1)
a2 b
b2x
⇒yx = 2 , |x| > 0, y > 0. (8.2)
a y
Lˆy dao h`m (8.1) theo x ta thu du.o.c
´
a . a .
1 1 2 y
− 2 yx − y =0
a 2 b b2 xx
v` t`
a u . (8.2) ta thu du.o.c y :
. x
1 b2 2 1 b2 b4 x2
yxx = − yx = − 4 2
y a2 y a2 a y
b4 x2 y 2 b4
= − 2 3 2 − 2 = − 2 3 , y > 0.
ay a b ay
1
V´ du 6. T´ y (n) nˆu: 1) y =
ı . ınh ´
e ; 2) y = x2 cos 2x.
x2 − 4
Giai. 1) Biˆu diˆn h`m d˜ cho du.´.i dang tˆng c´c phˆn th´.c co.
’ e’ ˜ a
e a o . o’ a a u
’
ban
1 1 1 1
= −
x2 − 4 4 x−2 x+2

70. 68 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
v` khi d´
a o
1 (n) 1 1 (n) 1 (n)
2 −4
= − .
x 4 x−2 x+2
Do
1 (n)
= (−1)(−2) · · · (−1 − n + 1)(x ± 2)−1−n
x±2
1
= (−1)n n!
(x ± 2)n+1
nˆn
e
1 (n) (−1)n n! 1 1
2−4
= n+1
− .
x 4 (x − 2) (x + 2)n+1
2) Ta ´p dung cˆng th´.c Leibniz dˆi v´.i dao h`m cua t´
a . o u ´
o o . a ’ ıch
(x2 cos 2x) = Cn x2 (cos 2x)(n) + Cn (x2) (cos 2x)n−1
0 1
+ Cn (x2) (cos 2x)n−2 .
2
´
a o . o . `
C´c sˆ hang c`n lai dˆu = 0 v`
e ı
(k)
x2 =0 ∀ k > 2.
Ap dung cˆng th´.c
´ . o u
nπ
(cos 2x)(n) = 2n cos 2x +
2
ta thu du.o.c
.
n(n − 1) nπ
(x2 cos 2x)(n) = 2n x2 − cos 2x +
4 2
n nπ
+ 2 nx sin 2x + .
2
V´ du 7. V´.i gi´ tri n`o cua a v` b th` h`m
ı . o a . a ’ a ı a

ex , x 0,
f (x) =
x2 + ax + b, x > 0

71. -.
8.1. Dao h`m
a 69
e a . o ´
c´ dao h`m trˆn to`n truc sˆ.
o . a
’ o a a a o . a a ’
Giai. R˜ r`ng l` h`m f (x) c´ dao h`m ∀ x > 0 v` ∀ x < 0. Ta chı
` ’
cˆn x´t diˆm x0 = 0.
a e e
’ e . . e ’
V` h`m f (x) phai liˆn tuc tai diˆm x0 = 0 nˆn
ı a e
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x)
x→0+0 x→0−0 x→0
t´.c l`
u a
lim (x2 + ax + b) = b = e0 = 1 ⇒ b = 1.
x→0+0
Tiˆp d´, f+ (0) = (x + ax + b) x =0 = a v` f− (0) = ex x =0 = 1.
´
e o a
0 0
` ´ . vˆy v´.i a = 1, b = 1
Do d´ f (0) tˆn tai nˆu a = 1 v` b = 1. Nhu a o
o o . e a .
h`m d˜ cho c´ dao h`m ∀ x ∈ R.
a a o . a
` ˆ
BAI TAP
.
’ a ´
T´ dao h`m y cua h`m y = f (x) nˆu:
ınh . a e
√4 5 3 3 10 9
1. y = x3 + 2 − 3 + 2. (DS. √ − 3 + 4 )
x x 4 x x
4
x
ln24
2. y = log2 x + 3log3x. (DS. )
xln2 · ln3
1 x
3. y = 5x + 6x + . (DS. 5x ln5 + 6x ln6 − 7−x ln7)
7
√ 1
4. y = ln(x + 1 + x2 + 2x + 3). (DS. √ )
x2 + 2x + 3
10
5. y = tg5x. (DS. )
sin 10x
√ 1
6. y = ln(ln x). (DS. √ )
2xln x
1 + 2x 2
7. y = ln . (DS. )
1 − 2x 1 − 4x2

72. 70 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
√
√ 2x − 1 √
8. y = xarctg 2x − 1 − . (DS. arctg 2x − 1)
2
9. y = sin2 x3. (DS. 3x2 sin 2x3 )
10. y = sin4 x + cos4 x. (DS. − sin 4x)
√ √
√ √x e x (1 + x)
11. y = xe . (DS. √ )
2 x
1 1
sin x
12. y = e cos x . (DS. e cos x )
cos2 x
1
1
−e lnx
13. y = e lnx . (DS. )
xln2 x
√ 2e2x
14. y = ln e2x + e4x + 1. (DS. √ )
e4x + 1
e4x 2
15. y = ln . ) (DS.
e4x + 1 +1 e4x
7tg7x
16. y = log5 cos 7x. (DS. − )
ln5
√
√ tg 1 + x
17. y = log7 cos 1 + x. (DS. − √ )
2 1 + xln7
x2
x2 −
− xe 2
18. y = arccos e 2 . (DS. √ )
1 − e−x2
− sin cos(cos x)
19. y = tg sin cos x. (DS. )
cos2 (sin cos x)
2
x2 cotg3x xec cotg3x
20. y = e . (DS. (sin 6x − 3x))
sin2 3x
√
√
1+lnx e 1+lnx
21. y = e . (DS. √ )
2x 1 + lnx
1 1
22. y = x x . (DS. x x −2 (1 − lnx))
23. y = ex. (DS. xx (1 + lnx))

73. -.
8.1. Dao h`m
a 71
24. y = xsin x . (DS. xsin x cos x · lnx + xsin x−1 sin x)
1
25. y = (tgx)sin x . (DS. (tgx)sin x cos xlntgx + )
cos x
sin x
26. y = xsin x . (DS. xsin x + lnx · cos x )
x
2 2 +1
27. y = xx . (DS. xx (1 + 2lnx))
x x 1
28. y = xe . (DS. ex xe x
+ lnx))
1
29. y = logx 7. (DS. − )
xlnxlog7x
1 x−a 1
30. y = ln . (DS. 2 )
2a x + a x − a2
cos ln|x|
31. y = sin ln|x|. (DS. )
x
32. y = ln| sin x|. (DS. cotgx)
√ 1
33. y = ln|x + x2 + 1|. (DS. √ ).
x2 + 1
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (34-40) t´nh dao h`m cua h`m y du.o.c
a a a a ı . a ’ a .
.´.i dang tham sˆ.
cho du o . ´
o
1
34. x = a cos t, a sin t, t ∈ (0, π). yxx ? (DS. − )
a sin3 t
2
35. x = t3 , y = t2 . yxx ? (DS. − 4 )
9t
at −at
36. x = 1 + e , y = at + e . yxx ? (DS. 2e−3at − e−2at)
1
37. x = a cos3 t, y = a sin3 t. yxx ? (DS. )
3a sin t cos4 t
2
38. x = et cos t, y = et sin t. yxx ? (DS. t )
e (cos t − sin t)3
1
39. x = t − sin t, y = 1 − cos t. yxx ? (DS. − )
t 4
4 sin
2
−1
40. x = t2 + 2t, y = ln(1 + t). yxx ? (DS. ).
4(1 + t)4

74. 72 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
a a a a ı . a a
. ’
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (41-47) t´nh dao h`m y ho˘c y cua
’ .o.c x´c dinh bo.i c´c phu.o.ng tr`nh d˜ cho
h`m ˆn du . a .
a a ’ a ı a
√ 2a − 2x − y
41. x + xy + y = a. y ? (DS. )
x + 2y − a
y x+y
42. arctg = ln x2 + y 2 . y ? (DS. )
x x−y
ex sin y + e−y sin x
43. ex sin y − e−y cos x = 0. y ? (DS. − )
ex cos y + e−y cos x
y −2x3y − 2xy 3 + y
44. x2y + arctg = 0. y ? (DS. )
x x4 + x2 y 2 + x
(ey − ex )(ex+y − 1)
45. ex − ey = y − x. y ? (DS. )
(ey + 1)3
4(x + y)
46. x + y = ex−y . y ? (DS. )
(x + y + 1)3
−(2y 2 + 2)
47. y = x + arctgy. y ? (DS. ).
y5
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (48-52) t´nh dao h`m cua h`m ngu.o.c
a a a a ı . a ’ a .
o.i h`m d˜ cho.
v´ a a
1
48. y = x + x3, x ∈ R. xy ? (DS. xy = )
1 + 3x2
x
49. y = x + lnx, x > 0. xy ? (DS. xy = , y > 0)
x+1
1
50. y = x + ex. xy ? (DS. xy = , y ∈ R)
1+y−x
1
51. y = chx, x > 0. xy ? (DS. xy = )
y 2−1
x2 x3
52. y = , x < 0. xy ? (DS. xy = 2 , y ∈ (0, 1)).
1 + x2 2y
53. V´.i gi´ tri n`o cua a v` b th` h`m
o a . a ’ a ı a

 x3 ´
nˆu x x0,
e
f (x) =
ax + b nˆu x > x0
e´

75. -.
8.1. Dao h`m
a 73
e . a ’ ’
liˆn tuc v` kha vi tai diˆm x = x0 ?
. e
(DS. a = 3x0 , b = −2x3 ).
2
0
54. X´c dinh α v` β dˆ c´c h`m sau: a) liˆn tuc kh˘p no.i; b) kha vi
a . a ’
e a a e . ´
a ’
´ .i nˆu
kh˘p no e
a ´

αx + β nˆu x 1
e´
1) f (x) =
 x2 ´
nˆu x > 1
e

α + βx2
 ´
nˆu |x| < 1,
e
2) f (x) = 1

 ´
nˆu |x|
e 1.
|x|
(DS. 1) a) α + β = 1, b) α = 2, β = −1; 2) a) α + β = 1, b)
3 1
α = , β = − ).
2 2
’ ’
55. Gia su a . h`m y = f (x) x´c dinh trˆn tia (−∞, x0) v` kha vi bˆn
a . e a ’ e
a . e ’ o.i gi´ tri n`o cua a v` b th` h`m
tr´i tai diˆm x = x0. V´ a . a ’ a ı a

f (x) ´
nˆu x x0 ,
e
f (x) =
ax2 + b ´
nˆu x > x0
e
’ ’
kha vi tai diˆm x = x0 (x0 = 0) ?
. e
f (x0 − 0) x0
(DS. a = , b = f (x0 ) − f (x0 − 0)).
2x0 2
Trong c´c b`i to´n (56-62) t´ dao h`m y nˆu
a a a ınh . a ´
e
2 2
56. y = e−x . (DS. 2e−x (2x2 − 1))
2 sin x
57. y = tgx. (DS. )
cos3 x
√ 1
58. y = 1 + x2 . (DS. )
(1 + x2)3/2
x x
59. y = arcsin . (DS. )
2 (4 − x2)3/2
1 2x
60. y = arctg . (DS. )
x (1 + x2 )2

76. 74 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
2 − x2
61. y = x arcsinx. (DS. √ )
(1 − x2) 1 − x2
62. y = f (ex ). (DS. exf (ex ) + e2xf (ex )).
a a a ı . a ´
a ’ ´
Trong c´c b`i to´n (63-69) t´nh dao h`m cˆp 3 cua y nˆu:
e
x 4(3x − 4)
63. y = arctg . (DS. )
2 (4 + x2 )3
64. y = xe−x . (DS. e−x (3 − x))
65. y = ex cos x. (DS. −2ex (cos x + sin x))
66. y = x2 sin x. (DS. −2ex (cos x + sin x))
67. y = x32x . (DS. 2x (x3ln3 2 + 9x2 ln2 x + 18xln2 + 6))
68. y = x2 sin 2x. (DS. −4(2x2 cos 2x + 6x sin 2x − 3 cos 2x))
69. y = (f (x2 ). (DS. 12xf (x2 ) + 8x3 f (x2)).
Trong c´c b`i to´n (70-84) t´nh dao h`m y (n) nˆu
a a a ı . a ´
e
nπ
70. y = sin 3x. (DS. 3n sin 3x + )
2
x x 1 n
72. y = e 2 . (DS. e 2 )
2
73. y = 23x . (DS. 23x (3ln2)n )
π
74. y = cos2 x. (DS. 2n−1 cos 2x + n · )
2
75. y = (4x + 1)n . (DS. 4n n!)
an
76. y = ln(ax + b). (DS. (−1)n−1 (n − 1)! )
(ax + b)n
nπ
77. y = sin4 x + cos4 x. (DS. 4n−1 cos 4x + )
2
3 1
Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng sin4 x + cos4 x = + cos 4x.
’ ˜
a u `
a
4 4
n
3 nπ 3 π
78. y = sin3 x. (DS. sin x + − sin 3x + n · )
4 2 4 2
Chı dˆ n. D`ng cˆng th´.c sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x.
’ ˜
a u o u

77. 8.2. Vi phˆn
a 75
79. y = sin αx sin βx.
1 π 1 π
(DS. (α − β)n cos[(α − β)x + n ] − (α + β)n cos[(α + β)x + n ])
2 2 2 2
’ ˜ ´ ’ ’
Chı dˆ n. Biˆn dˆi t´ th`nh tˆng.
a e o ıch a o
80. y = eαx sin βx.
n(n − 1) n−2 2
(DS. eαx sin βx αn − α β + ... +
1·2
n(n − 1)(n − 2) n−3 3
+ cos βx nαn−1 β − α β + ... )
1·2·3
’ ˜a u ´
Chı dˆ n. D`ng quy t˘c Leibniz.
a
81. y = ex (3x2 − 4). (DS. ex [3x2 + 6nx + 3n(n − 1) − 4])
ax + b ax + b
82. y = ln >0
ax − b ax − b
1 1
(DS. (−1)n−1 an (n − 1)! n
− )
(ax + b) ax − b)n
x (−1)n n! 3 1
83. y = 2 − 4x − 12
. (DS. n+1
+ )
x 4 (x − 6) (x − 2)n+1
3 − 2x2 2n 1
84. y = 2 + 3x − 2
. (DS. (−1)n n! n+1
+ )
2x (2x − 1) (x + 2)n+1
Chı dˆ n. Dˆ giai b`i 83 v` 84 cˆn biˆu diˆn h`m d˜ cho du.´.i dang
’ ˜a ’
e ’ a a `
a e’ ˜ a
e a o .
tˆng c´c phˆn th´.c do.n gian.
o’ a a u ’
8.2 Vi phˆn
a
8.2.1 ´
Vi phˆn cˆp 1
a a
Gia su. h`m y = f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm x0 v`
’ ’ a a . a a a o ’
. ’
e a
a o´ ’ ´ . .
∆x = x − x0 l` sˆ gia cua biˆn dˆc lˆp. H`m y = f (x) c´ vi phˆn cˆp
e o a a o a a ´
1 (vi phˆn th´
a u. nhˆt) tai diˆm x0 nˆu khi dˆi sˆ dich chuyˆn t`. gi´ tri
a´ . e ’ ´
e ´ ´
o o . ’
e u a .
x = x0 dˆn gi´ tri x = x0 + ∆x sˆ gia tu.o.ng u.ng cua h`m f (x) c´ thˆ
´
e a . ´
o ´ ’ a o e ’

78. 76 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
biˆu diˆn du.´.i dang
e’ ˜
e o .
∆f (x0) ≡ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = D(x0 )∆x + o(∆x) (8.3)
o(∆x)
trong d´ D(x0 ) khˆng phu thuˆc ∆x v`
o o . o
. a → 0 khi ∆x → 0. T´chı
∆x
D(x0 )∆x du.o.c goi l` vi phˆn cˆp 1 cua h`m f (x) tai diˆm x0 v` du.o.c
. . a a a ´ ’ a . e ’ a .
k´ hiˆu
y e .
dy
dy ≡ df ≡ dx.
dx
Sˆ gia ∆x cua biˆn dˆc lˆp x du.o.c goi l` vi phˆn cua biˆn dˆc lˆp,
´
o ’ ´ . .
e o a . . a a ’ ´ . .
e o a
t´.c l` theo dinh ngh˜ dx = ∆x.
u a . ıa:
-. a o a a ´ . ’
Dinh l´ 8.2.1. H`m y = f (x) c´ vi phˆn cˆp 1 tai diˆm x0 khi v`
y e a
chı khi h`m d´ c´ dao h`m h˜.u han tai d´ v` D(x0 ) = f (x0).
’ a o o . a u . . o a
a ’ a . e ’ e’ ˜
Vi phˆn df (x0 ) cua h`m f tai diˆm x0 biˆu diˆn qua dao h`m f (x0 )
e . a
’.i cˆng th´.c
bo o u
df (x0 ) = f (x0)dx (8.4)
Cˆng th´.c (8.4) cho ph´p t´nh vi phˆn cua c´c h`m, nˆu biˆt dao h`m
o u e ı a ’ a a ´
e ´
e . a
’
cua ch´ng.
u
T`u. (8.3) suy ra
y(x0 + ∆x) = y(x0) + df (x0 ) + o(dx), dx → 0.
e´ ’
ı e ı a . ` a u ’ a . ’
Nˆu df (x0 ) = 0 th` dˆ t´nh gi´ tri gˆn d´ng cua h`m f (x) tai diˆm
e
x0 + ∆x ta c´ thˆ ´p dung cˆng th´.c
o ea ’ . o u
y(x0 + ∆x) ≈ y(x0) + df (x0 ) (8.5)
´ ´
Vi phˆn cˆp 1 c´ c´c t´ chˆt sau.
a a o a ınh a
+
1
d(αu + βv) = αdu + βdv,
d(uv) = udv + vdu,
u vdu − udv
d = , v = 0.
v v2

79. 8.2. Vi phˆn
a 77
2+ Cˆng th´.c vi phˆn dy = f (x)dx luˆn luˆn thoa m˜n bˆt luˆn
o u a o o ’ a a´ a.
´ . .
a e o a a a ’ ´ . .
e o a a ´
x l` biˆn dˆc lˆp hay l` h`m cua biˆn dˆc lˆp kh´c. T´ chˆt n`y
ınh a a
du.o.c goi l` t´nh bˆt biˆn vˆ dang cua vi phˆn cˆp 1.
. . a ı ´ ´ e
a e ` . ’ a a ´
8.2.2 ´
Vi phˆn cˆp cao
a a
Gia su. x l` biˆn dˆc lˆp v` h`m y = f (x) kha vi trong lˆn cˆn n`o
’ ’ ´ . .
a e o a a a ’ a a a
.
o ’ ’
d´ cua diˆm x0 . Vi phˆn th´
e a u. nhˆt df = f (x)dx l` h`m cua hai biˆn
´
a a a ’ ´
e
a o ´
x v` dx, trong d´ dx l` sˆ t`y y khˆng phu thuˆc v`o x v` do d´
a o u ´ o . o a
. a o
(dx) = 0.
Vi phˆn cˆp hai (hay vi phˆn th´. hai) d2 f cua h`m f (x) tai diˆm
a a ´ a u ’ a . e ’
x0 du.o.c dinh ngh˜ nhu. l` vi phˆn cua h`m df = f (x)dx tai diˆm x0
. . ıa a a ’ a . e ’
.i c´c diˆu kiˆn sau dˆy:
v´ a `
o e e a
.
1) df phai du.o.c xem l` h`m cua chı mˆt biˆn dˆc lˆp x (n´i c´ch
’ . a a ’ ’ o. ´ . .
e o a o a
a ınh a ’ ` ınh
a a ’
kh´c: khi t´ vi phˆn cua f (x)dx ta cˆn t´ vi phˆn cua f (x), c`n o
dx du ..o.c xem l` h˘ng sˆ);
a ` a ´
o
´ ’ ´ . . ´ e a ’
2) Sˆ gia cua biˆn dˆc lˆp x xuˆt hiˆn khi t´nh vi phˆn cua f (x)
o e o a a . ı
.o.c xem l` b˘ng sˆ gia dˆu tiˆn, t´.c l` b˘ng dx.
du . a ` a o´ `
a e u a a `
Nhu a . vˆy theo dinh ngh˜ ta c´
ıa o
. .
d2 f = d(df ) = d(f (x)dx) = (df (x))dx = f (x)dxdx
= f (x)(dx)2
hay l`
a
d2 f = f (x)dx2 , dx2 = (dx)2. (8.6)
B˘ng phu.o.ng ph´p quy nap, dˆi v´.i vi phˆn cˆp n ta thu du.o.c
`
a a . ´
o o a a ´ .
cˆng th´
o u.c
dn f = f (n) (x)dxn (8.7)

80. 78 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
Vi phˆn cˆp n (n > 1) cua biˆn dˆc lˆp x du.o.c xem l` b˘ng 0, t´.c
a a ´ ’ ´ . .
e o a . a a` u
l`
a
dn x = 0 v´.i n > 1.
o (8.8)
Nˆu ∃ dn f v` ∃ dn g v` α, β ∈ R th`
´
e a a ı
dn (αf + βg) = αdn f + βdn g (8.9)
n
n
d fg = Cn dn−k f · dk g.
k
(8.10)
k=0
Ch´ ´. 1) Khi n > 1, c´c cˆng th´.c (8.6) v` (8.7) chı d´ng khi x
uy a o u a ’ u
´ . .
a e o a ´
o o.i h`m ho.p y = y(x(t)) cˆng th´.c (8.6) du.o.c
l` biˆn dˆc lˆp. Dˆi v´ a o u
. .
kh´i qu´t nhu
a a . sau:
d2 y = d(dy) = d(yx dx) = d(yx )dx + yx d(dx)
v` do d´
a o
d2 y = yxx dx2 + yx d2 x. (8.11)
Trong tru.`.ng ho.p khi x l` biˆn dˆc lˆp th` d2 x = 0 (xem (8.8)) v`
o . ´ . .
a e o a ı a
cˆng th´.c (8.11) tr`ng v´.i (8.6).
o u u o
2) Khi t´ vi phˆn cˆp n ta c´ thˆ biˆn dˆi so. bˆ h`m d˜ cho.
ınh a a ´ ’ ´
o e e o ’ o a
. a
’
a e´ a a u.u ty th` cˆn khai triˆn n´ th`nh tˆng
Ch˘ng han nˆu f (x) l` h`m h˜ ’ ı ` a ’
e o a o’
.
h˜.u han c´c phˆn th´.c h˜.u ty co. ban; nˆu f (x) l` h`m lu.o.ng gi´c
u . a a u u ’ ’ ´
e a a . a
th` cˆn ha bˆc nh`. c´c cˆng th´.c ha bˆc,...
ı `a . a . o a o u . a .
u . cˆng th´.c (8.7) suy ra r˘ng
3) T` o u `
a
dn f
f (n) (x) =
dxn
t´.c l` dao h`m cˆp n cua h`m y = f (x) tai mˆt diˆm n`o d´ b˘ng ty
u a . a ´
a ’ a . o e
. ’ a o a ` ’
´
sˆ gi˜
o u .a vi phˆn cˆp n cua h`m f (x) chia cho l˜y th`.a bˆc n cua vi
a a ´ ’ a u u a ’
.
a ’ o o ´ ´
phˆn cua dˆi sˆ.

81. 8.2. Vi phˆn
a 79
CAC V´ DU
´ I .
ınh a ´
V´ du 1. T´ vi phˆn df nˆu
ı . e
√ x
2) f (x) = x 64 − x2 +64arcsin .
1) f (x) = ln(arctg(sin x));
8
’ ´ dung c´c t´ chˆt cua vi phˆn ta c´
Giai. 1) Ap . ´
a ınh a ’ a o
d[arctg(sin x)] d(sin x)
df = =
arctg(sin x) (1 + sin2 x)arctg(sin x)
cos xdx
= ·
(1 + sin2 x)arctg(sin x)
2)
√ x
df = d[x 64 − x2 ] + d 64arcsin
8
√ √ x
= xd 64 − x 2+ 64 − x 2 dx + 64d arcsin
8
x
d(64 − x2 ) √ d
=x √ + 64 − x2 dx + 64 · 8
2 64 − x2 x2
1−
64
−x2dx √ dx
=√ + 64 − x2 dx + 64 √
64 − x 2 64 − x2
√
= 2 64 − x2dx, |x| < 8.
ı . ınh a a ´ ’ a a
V´ du 2. T´ vi phˆn cˆp 2 cua c´c h`m
1) f (x) = xe−x , nˆu x l` biˆn dˆc lˆp;
e´ ´ . .
a e o a
2) f (x) = sin x2 nˆu´
e
´ . .
a) x l` biˆn dˆc lˆp,
a e o a
a a ’ o
. ´ . .
b) x l` h`m cua mˆt biˆn dˆc lˆp n`o d´.
e o a a o
Giai. 1) Phu.o.ng ph´p I. Theo dinh ngh˜a vi phˆn cˆp 2 ta c´
’ a . ı a a ´ o
d2 f = d[df ] = d[xde−x + e−x dx]
= d(−xe−x dx + e−x dx) = −d(xe−x )dx + d(e−x )dx
= −(xde−x + e−x dx)dx − e−x dx2
= xe−x dx2 − e−x dx2 − e−x dx2 = (x − 2)e−x dx2.

82. 80 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
Phu.o.ng ph´p II. T´ dao h`m cˆp hai f (x) ta c´
a ınh . a ´
a o
f (x) = (xe−x ) = (e−x − xe−x) = −e−x − e−x + xe−x = (x − 2)e−x
v` theo cˆng th´.c (8.6) ta c´
a o u o
d2 f = (x − 2)e−x dx2 .
2) a) Phu.o.ng ph´p I. Theo dinh ngh˜a vi phˆn cˆp hai ta c´
a . ı a a ´ o
d2 f = d[d sin x2] = d[2x cos x2 dx] = d[2x cos x2]dx
= 2 cos x2 dx + 2x(− sin x2 )2xdx dx
= (2 cos x2 − 4x2 sin x2)dx2 .
Phu.o.ng ph´p II. T´ dao h`m cˆp hai fxx ta c´
a ınh . a ´
a o
fx = 2x cos x2 , fxx = 2 cos x2 − 4x2 sin x2
v` theo (8.6) ta thu du.o.c
a .
d2 f = (2 cos x2 − 4x2 sin x2 )dx2.
b) Nˆu x l` biˆn trung gian th` n´i chung d2 x = 0 v` do d´ ta c´
´
e a e ´ ı o a o o
d2 f = d(2x cos x2dx) = (2x cos x2)d2 x + [d(2x cos x2)]dx
= 2x cos x2 d2 x + (2 cos x2 − 4x2 sin x2)dx2 .
´ . a e ı’ ` u
V´ du 3. Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng c´c gi´ tri:
ı . a a a .
2 − 0, 15
1) 5 ; 2) arcsin 0, 51; 3) sin 29◦ .
2 + 0, 15
Giai. Cˆng th´.c co. ban dˆ u.ng dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng l`
’ o u ’ e´’ . ’
a e ı ` u
a a
∆f (x0 ) ≈ df (x0 ) ⇒ f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f (x0)∆x
⇒ f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f (x0)∆x

83. 8.2. Vi phˆn
a 81
T`. d´, dˆ t´nh gˆn d´ng c´c gi´ tri ta cˆn thu.c hiˆn nhu. sau:
u o e ı ’ `
a u a a . `
a . e
.
+
1 Chı ’ ra biˆu th´.c giai t´ dˆi v´.i h`m m` gi´ tri gˆn d´ng cua
’
e u ´
’ ıch o o a a a . ` u a ’
o ` ’ ınh.
n´ cˆn phai t´
a
+
. ’
e a . ’ a a ’ . a
2 Chon diˆm M0 (x0 ) sao cho gi´ tri cua h`m v` cua dao h`m cˆp ´
a
’ ´
’ o . e a o e ı ’
1 cua n´ tai diˆm ˆy c´ thˆ t´nh m` khˆng d`ng bang.
a o u ’
3+ Tiˆp dˆn l` ´p dung cˆng th´.c v`.a nˆu.
´ ´
e e aa . o u u e
2 − 0, 15
ı ` u
1) T´nh gˆn d´ng
a 5
2 + 0, 15
´ a a . ’ a
Sˆ d˜ cho l` gi´ tri cua h`m
o a
5 2−x
y=
2+x
’
tai diˆm x = 0, 15. Ta d˘t x0 = 0; ∆x = 0, 15. Ta c´
. e a
. o
2−x
−4 5
2+x 4y 1
y = =− ⇒ y (x0 ) = y (0) = − ·
5(4 − x2) 5(4 − x2) 5
Do d´ v` y(0) = 1 nˆn
o ı e
y(0, 15) ≈ y(0) + y (0)∆x
1
= 1 − · (0, 15) = 1 − 0, 03 = 0, 97.
5
ınh ` u
2) T´ gˆn d´ng arcsin 0, 51.
a
o ` ı
´ a a a . ’ ’
X´t h`m y = arcsin x. Sˆ cˆn t´nh l` gi´ tri cua h`m tai diˆm
e a a . e
0, 51; t´.c l` y(0, 51).
u a
D˘t x0 = 0, 5; ∆x = 0, 01. Khi d´ ta c´
a
. o o
arcsin(x0 + ∆x ≈ arcsinx0 + (arcsinx)x=x0 ∆x
⇒ arcsin(0, 5 + 0, 01) ≈ arcsin0, 5 + (arcsinx) x=0,5
· 0, 01
π 1
= + × (0, 01).
6 1 − (0, 5)2

84. 82 Chu.o.ng 8. Ph´p t´ vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ınh a a o
. ´
e
√
’
o e ı `
C´ thˆ t´nh gˆn d´ng
a u 1 − (0, 5)2 = 0, 75 ≈ 0, 88 v` do d´
a o
π
arcsin0, 51 ≈ + 0, 011 ≈ 0, 513.
6
π
3) Sˆ sin 29◦ l` gi´ tri cua h`m y = sin x khi x =
´
o a a . ’ a × 29. Ta d˘t
a
.
180
√
π π π 1 π π 3
x0 = × 30 = ; y = , y = cos x ⇒ y = cos = ·
180 6 6 2 6 6 2
29π π π
D˘t ∆x = x − x0 =
a
. − =− . Do d´o
180 6 180
√
◦ π π 1 3 π
sin 29 ≈ y +y · ∆x = + − ≈ 0, 48.
6 6 2 2 180
` ˆ
BAI TAP
.
ınh a ´
T´ vi phˆn df nˆu:
e
1 −dx
1. f (x) = arctg . (DS. df = )
x 1 + x2
2 2 dx
2. f (x) = 2tg x . (DS. 2tg x ln2 · 2tgx · )
cos2 x
2x ln2dx
3. f (x) = arccos(2x ). (DS. − √ )
1 − e2x
4. f (x) = x3 lnx. (DS. x2(1 + 3lnx)dx)
√ √ √ dx
5. f (x) = cos2( x). (DS. −2 cos x · sin x · √ )
2 x
6. f (x) = (1 + x2)arcotgx. (DS. (2xarccotgx − 1)dx)
arctgx 1 − xarctgx
7. f (x) = √ . (DS. dx)
1+x 2 (1 + x2)3/2
8. f (x) = sin3 2x. (DS. 3 sin 2x sin 4xdx)
√
√ cotg x
9. f (x) = ln(sin x). (DS. √ dx)
2 x

85. 8.2. Vi phˆn
a 83
1
1
− cos x −tgx · e− cos x
10. f (x) = e . (DS. dx)
cos x
2 2
11. f (x) = 2−x . (DS. −2xe−x ln2dx)
√ 2xdx
12. f (x) = arctg x2 + 1. (DS.
)
2 + x2
√
√ √ 1 √ x
13. f (x) = xarctg x. (DS. √ arctg x + dx)
2 x 1+x
x
x 2arcsinx − √
x2 1 − x2
14. f (x) = . (DS. dx).
arcsinx (arcsinx)2
T´ vi phˆn cˆp tu.o.ng u.ng cua c´c h`m sau
ınh a a ´ ´ ’ a a
2 2
15. f (x) = 4−x ; d2 f ? (DS. 4−x 2ln4(2x2 ln4 − 1)(dx)2 )
4lnx − 4 − ln3x
16. f (x) = ln2 x − 4. d2 f ? (DS. (dx)2 )
x2 (lnx − 4)3
17. f (x) = sin2 x. d3 f ? (DS. −4 sin 2x(dx)3)
√ −15
18. f (x) = x − 1, d4 f ? (DS. (dx)4)
16(x − 1)7/2
6
19. f (x) = xlnx, d5 f ? (DS. − 4 (dx)5, x > 0)
x
20. f (x) = x sin x; d10 f ? (DS. (10 cos x − x sin x)(dx)10)
Su. dung cˆng th´.c gˆn d´ng
’ . o u ` a u
∆f ≈ df
’
e ınh `
(khi f (x) = 0) dˆ t´ gˆn d´ng c´c gi´ tri sau
a u a a .
√
21. y = 3, 98. (DS. 1,955)
√
22. y = 3 26, 19. (DS. 2,97)
(2, 037)2 − 3
23. y = . (DS. 0,35)
(2, 037)2 + 5
24. y = cos 31◦ . (DS. 0,85)

86. 84 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
25. y = tg45◦ 10 . (DS. 0,99)
26. y = ln(10, 21). (DS. 1,009)
27. y = sin 31◦ . (DS. 0,51)
28. y = arcsin0, 54. (DS. 0,57)
29. y = arctg(1, 05). (DS. 0,81)
30. y = (1, 03)5 . (DS. 1,15)
8.3 C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi.
a . y ’ ` a
e ’
Quy t˘c l’Hospital. Cˆng th´.c Tay-
´
a o u
lor
8.3.1 C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’
Dinh l´ Rˆn (Rolle). Gia su.:
-. y o ’ ’
i) f (x) liˆn tuc trˆn doan [a, b].
e . e .
ii) f (x) c´ dao h`m h˜
o . a u.u han trong (a, b).
.
iii) f (a) = f (b).
o ` . ’
Khi d´ tˆn tai diˆm ξ : a < ξ < b sao cho f (ξ) = 0.
o e
Dinh l´ Lagr˘ng (Lagrange). Gia su.:
-. y a ’ ’
i) f (x) liˆn tuc trˆn doan [a, b].
e . e .
ii) f (x) c´ dao h`m h˜
o . a u.u han trong (a, b).
.
.o.c ´t nhˆt mˆt diˆm ξ ∈ (a, b) sao cho
Khi d´ t` du . ı
o ım ´ .
a o e ’
f (b) − f (a)
= f (ξ) (8.12)
b−a
hay l`
a
f (b) = f (a) + f (ξ)(b − a). (8.13)
Cˆng th´.c (8.12) goi l` cˆng th´.c sˆ gia h˜.u han.
o u . a o u o ´ u .

87. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 85
Dinh l´ Cˆsi (Cauchy). Gia su.:
-. y o ’ ’
i) f (x) v` ϕ(x) liˆn tuc trˆn doan [a, b].
a e . e .
ii) f (x) v` ϕ(x) c´ dao h`m h˜
a o . a u .u han trong (a, b).
.
iii) [f (x)] + [ϕ (x)] = 0, ngh˜ l` c´c dao h`m khˆng dˆng th`.i
2 2
ıa a a . a o `
o o
`
b˘ng 0.
a
iv) ϕ(a) = ϕ(b).
Khi d´ t` du.o.c diˆm ξ ∈ (a, b) sao cho:
o ım . e’
f (b) − f (a) f (ξ)
= · (8.14)
ϕ(b) − ϕ(a) ϕ (ξ)
Dinh l´ Lagrange l` tru.`.ng ho.p riˆng cua dinh l´ Cauchy v` khi
. y a o . e ’ . y ı
ϕ(x) = x th` t`. (8.14) thu du.o.c (8.13). Dinh l´ Rˆn c˜ng l` tru.`.ng
ı u . . y o u a o
ho.p riˆng cua dinh l´ Lagrange v´.i diˆu kiˆn f (a) = f (b).
e ’ . y o ` e e
. .
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Gia su. P (x) = (x + 3)(x + 2)(x − 1).
ı . ’ ’
Ch´
u .ng minh r˘ng trong khoang (−3, 1) tˆn tai nghiˆm cua phu.o.ng
`
a ’ ` .
o e ’
.
tr` P (ξ) = 0.
ınh
Giai. Da th´.c P (x) c´ nghiˆm tai c´c diˆm x1 = −3, x2 = −2,
’ u o e
. . a ’
e
a ’
x3 = 1. Trong c´c khoang (−3, −2) v` (−2, 1) h`m P (x) kha vi v`
a a ’ a
’ a a ` e ’ .
thoa m˜n c´c diˆu kiˆn cua dinh l´ Rˆn v`:
e . y o a
P (−3) = P (−2) = 0,
P (−2) = P (1) = 0.
Do d´ theo dinh l´ Rˆn, t` du.o.c diˆm ξ1 ∈ (−3, −2); ξ2 ∈ (−2, 1)
o . y o ım . ’
e
sao cho:
P (ξ1 ) = P (ξ2 ) = 0.
Bˆy gi`. lai ´p dung dinh l´ Rˆn cho doan [ξ1, ξ2 ] v` h`m P (x), ta
a o . a . . y o . a a
lai t` du.o.c diˆm ξ ∈ (ξ1 , ξ2 ) ⊂ (−3, 1) sao cho P (ξ) = 0.
. ım . ’
e

88. 86 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
V´ du 2. H˜y x´t xem h`m f (x) = arcsinx trˆn doan [−1, +1] c´
ı . a e a e . o
’ a . y o ´
e ’
thoa m˜n dinh l´ Lagrange khˆng ? Nˆu thoa m˜n th` h˜y t` diˆm
a ı a ım e ’
ξ (xem (8.12)).
’
Giai. H`m f (x) x´c dinh v` liˆn tuc trˆn [−1, +1]. Ta t`m f (x).
a a . a e . e ı
1
f (x) = √ → f (x) < ∞, x ∈ (−1, 1)
1 − x2
(Lu.u y r˘ng khi x = ±1 dao h`m khˆng tˆn tai nhu.ng diˆu d´
`
´ a . a o `
o . ’
e o
khˆng anh hu.o.ng dˆn su. thoa m˜n diˆu kiˆn cua dinh l´ Lagrange !).
o ’ ’ ´
e . ’ a `
e e ’ .
. y
. vˆy h`m f thoa m˜n dinh l´ Lagrange.
Nhu a a ’ a . y
.
ım e ’
Ta t` diˆm ξ. Ta c´:o
arcsin1 − arcsin(−1) 1
=
1 − (−1) 1 − ξ2
π π
− − 1 2 4
⇒ 2 2 = ⇒ 1 − ξ2 = ⇒ ξ1,2 = ± 1−
2 1− ξ2 π π2
Nhu. vˆy trong tru.`.ng ho.p n`y cˆng th´.c (8.12) thoa m˜n dˆi v´.i
a
. o . a o u ’ ´
a o o
’
hai diˆm.
e
V´ du 3. H˜y khao s´t xem c´c h`m f (x) = x2 − 2x + 3 v` ϕ(x) =
ı . a ’ a a a a
3 2 `
o ’
x − 7x + 20x − 5 c´ thoa m˜n diˆu kiˆn dinh l´ Cauchy trˆn doa n
a e e .
. y e .
´
e u ’
[1, 4] khˆng ? Nˆu ch´ng thoa m˜n dinh l´ Cauchy th` h˜y t`m diˆm
o a . y ı a ı ’
e
ξ.
’ ’ e ’
Giai. i) Hiˆn nhiˆn ca f (x) v` ϕ(x) liˆn tuc khi x ∈ [1, 4].
e a e .
ii) f (x) v` ϕ(x) c´ dao h`m h˜.u han trong (1, 4).
a o . a u .
`
iii) Diˆu kiˆn th´
e e u. iii) c˜ng thoa m˜n v`:
u ’ a ı
.
g (x) = 3x2 − 14x + 20 > 0, x ∈ R.
e’
iv) Hiˆn nhiˆn ϕ(1) = ϕ(4).
e

89. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 87
o a ’
Do d´ f (x) v` ϕ(x) thoa m˜n dinh l´ Cauchy v` ta c´
a . y a o
f (4) − f (1) f (ξ) 11 − 2 2ξ − 2
= hay = 2 , ξ ∈ (1, 4).
ϕ(4) − ϕ(1) ϕ (ξ) 27 − 9 3ξ − 14ξ + 20
T`. d´ thu du.o.c ξ1 = 2, ξ2 = 4 v` o. dˆy chı c´ ξ1 = 2 l` diˆm trong
u o . a’ a ’ o a e ’
’
cua (1, 4). Do d´: ξ = 2.
o
V´ du 4. Dinh l´ Cauchy c´ ´p dung du.o.c cho c´c h`m f (x) = cos x,
ı . . y oa . . a a
3
ϕ(x) = x trˆn doa n [−π/2, π/2] hay khˆng ?
e . o
’ ’ e a ’ a a `
Giai. Hiˆn nhiˆn f (x) v` ϕ(x) thoa m˜n c´c diˆu kiˆn i), ii) v`
e e e
. a
iv) cua dinh l´ Cauchy. Tiˆp theo ta c´: f (x) = − sin x; ϕ (x) = 3x2
’ . y e´ o
v` tai x = 0 ta c´: f (0) = − sin 0 = 0; ϕ (0) = 0 v` nhu. vˆy
a . o a a
.
2 2
o e` u kiˆn iii) khˆng du.o.c thoa m˜n. Ta
[ϕ (0)] + [f (0)] = 0. Do d´ diˆ e
. o . ’ a
´
e e a ’
x´t vˆ tr´i cua (8.14):
f (b) − f (a) cos(π/2) − cos(−π/2)
= = 0.
ϕ(b) − ϕ(a) (π/2)3 − (−π/2)3
Bˆy gi`. ta x´t vˆ phai cua (8.14). Ta c´:
a o ´
e e ’ ’ o
f (ξ) sin ξ
=− 2 ·
ϕ (ξ) 3ξ
Nhu.ng dˆi v´.i vˆ phai n`y ta c´:
´
o o e ’ a´ o
sin ξ sin ξ 1
lim − = lim · lim − = ∞.
ξ→0 3ξ 2 ξ→0 ξ ξ→0 3ξ
Diˆu d´ ch´.ng to r˘ng c´c h`m d˜ cho khˆng thoa m˜n dinh l´
` o u
e ’ a` a a a o ’ a . y
Cauchy.
` ˆ
BAI TAP
.
√
3
a e . o ’ a `
1. H`m y = 1 − x2 trˆn doan [−1, 1] c´ thoa m˜n diˆu kiˆn cua dinh
e e ’ .
.
y o o ’ o
l´ Rˆn khˆng ? Tai sao ? (Tra l`.i: Khˆng)
o
.

90. 88 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
2. H`m y = 3x2 − 5 c´ thoa m˜n dinh l´ Lagrange trˆn doan [−2, 0]
a o ’ a . y e .
´
e o ’
khˆng ? Nˆu n´ thoa m˜n, h˜y t`m gi´ tri trung gian ξ.
o a a ı a . (Tra l`.i:
’ o
C´)
o
3. Ch´.ng minh r˘ng h`m f (x) = x + 1/x thoa m˜n dinh l´ Lagrange
u `
a a ’ a . y
trˆn doa n [1/2, 2]. T` ξ. (DS. ξ = 1)
e . ım
4. Ch´.ng minh r˘ng c´c h`m f (x) = cos x, ϕ(x) = sin x thoa m˜n
u `
a a a ’ a
dinh l´ Cauchy trˆn doan [0, π/2]. T`m ξ ? (DS. ξ = π/4)
. y e . ı
5. Ch´.ng minh r˘ng h`m f (x) = ex v` ϕ(x) = x2 /(1 + x2) khˆng
u `
a a a o
’
thoa m˜n dinh l´ Cauchy trˆn doan [−3, 3].
a . y e .
6. Trˆn du.`.ng cong y = x3 h˜y t` diˆm m` tai d´ tiˆp tuyˆn v´.i
e o a ım e ’ a . o e ´ ´
e o
du.`.ng cong song song v´.i dˆy cung nˆi diˆm A(−1, −1) v´.i B(2, 8).
o o a ´
o e ’ o
(DS. M(1, 1))
Chı dˆ n. Du.a v`o y ngh˜a h`nh hoc cua cˆng th´.c sˆ gia h˜.u han.
’ ˜a . a ´ ı ı . ’ o u o ´ u .
8.3.2 Khu. c´c dang vˆ dinh.
’ a . o . ´
Quy t˘c Lˆpitan
a o
(L’Hospitale)
Trong chu.o.ng II ta d˜ dˆ cˆp dˆn viˆc khu. c´c dang vˆ dinh. Bˆy gi`.
a ` a e
e . ´ e
. ’ a . o . a o
ınh a ´
ta tr` b`y quy t˘c Lˆpitan - cˆng cu co ’
a o o . ban dˆ khu. c´c dang vˆ
e’ ’ a . o
.
dinh
.
Dang vˆ dinh 0/0
. o .
’ ’
Gia su. hai h`m f (x) v` ϕ(x) thoa m˜n c´c diˆu kiˆn
a a ’ a a ` e e
.
i) lim f (x) = 0; lim ϕ(x) = 0.
x→a x→a
a ’ a a a o ’
. ’
ii) f (x) v` ϕ(x) kha vi trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm x = a v`
e a
’
ϕ (x) = 0 trong lˆn cˆn d´, c´ thˆ tr`
a a o o e u . ra ch´nh diˆm x = a.
ı ’
e
.
` . o
o .i han (h˜.u han ho˘c vˆ c`ng)
iii) Tˆn tai gi´ . u a o u
. .
f (x)
lim = k.
x→a ϕ (x)

91. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 89
Khi d´
o
f (x) f (x)
lim = lim ·
x→a ϕ(x) x→a ϕ (x)
Dang vˆ dinh ∞/∞
. o .
Gia su. f (x) v` ϕ(x) thoa m˜n c´c diˆu kiˆn ii) v` iii) cua dinh l´
’ ’ a ’ a a ` e e. a ’ . y
trˆn dˆy c`n diˆu kiˆn i) du.o.c thay bo.i diˆu kiˆn:
e a o `e e
. . ’ ` e e
.
i)∗ lim f (x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞.
x→a x→a
Khi d´:
o
f (x) f (x)
lim = lim
x→a ϕ(x) x→a ϕ (x)
Ch´ ´. Nˆu thu.o.ng f (x)/ϕ (x) lai c´ dang vˆ dinh 0/0 (ho˘c
u y ´
e . o . o . a
.
. ’ a ’ a a `
∞/∞) tai diˆm x = a v` f , ϕ thoa m˜n c´c diˆu kiˆn i), ii) v` iii)
e e e. a
(tu.o.ng u.ng i)∗, ii) v` iii)) th` ta c´ thˆ chuyˆn sang dao h`m cˆp hai,...
´ a ı o e ’ ’
e ´
. a a
C´c dang vˆ dinh kh´c
a . o . a
a) Dˆ khu. dang vˆ dinh 0 · ∞ lim f (x) = 0, lim ϕ(x) = ∞ ta
e’ ’ . o .
x→a x→a
´ ’
biˆn dˆi t´ f (x) · ϕ(x) th`nh:
e o ıch a
f (x)
i) (dang 0/0)
1/ϕ(x) .
ϕ(x)
ii) (dang ∞/∞).
1/f(x) .
b) Dˆ khu. dang vˆ dinh ∞ − ∞
e’ ’ . o .
´ ’
Ta biˆn dˆi f (x) − ϕ(x) (trong d´ lim f (x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞)
e o o
x→a x→a
th`nh t´ch
a ı
1 1
f (x) − ϕ(x) = f (x)ϕ(x) −
ϕ(x) f (x)
ho˘c th`nh t´ dang
a
. a ıch .
ϕ(x)
f (x) − ϕ(x) = f (x) 1 −
f (x)

92. 90 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
ho˘c
a
.
f (x)
f (x) − ϕ(x) = ϕ(x) −1 .
ϕ(x)
c) Dang vˆ dinh 00 , ∞0, 1∞
. o .
Khi t´ gi´.i han cua h`m dang F (x) = [f (x)]ϕ(x) thˆng thu.`.ng
ınh o . ’ a . o o
a a . o . 0 0
a ∞
ta g˘p c´c dang vˆ dinh 0 , ∞ ho˘c 1 . Trong nh˜ u .ng tru.`.ng ho.p
o
. . .
n`y ta c´ thˆ e
a o e ’ biˆn dˆi F (x) dˆ du.a vˆ dang vˆ dinh 0 · ∞ d˜ n´i trong
´ o ’ ’
e ` .
e o . a o
1) nh` e
o. ph´p biˆn dˆi
´
e o ’
ϕ(x)
F (x) = [f (x)]ϕ(x) = eln[f (x)] = eϕ(x)lnf (x)
ı e . ’ a
v` do t´nh liˆn tuc cua h`m m˜ ta s´ c´:
a u e o
lim [f (x)]ϕ(x) = elim[ϕ(x)·lnf (x)]
x→a
Ch´ ´. Ta lu.u y r˘ng m˘c d` quy t˘c Lˆpitan l` mˆt cˆng cu
u y ´ `a a u
. ´ o
a a o o. .
’ ı
manh de t´nh gi´ .
o.i han nhu.ng n´ khˆng thˆ thay to`n bˆ c´c phu.o.ng
o o ’
e a o a
. .
a ı o.i han d˜ x´t trong chu.o.ng II. Diˆu d´ du.o.c ch´.ng to
ph´p t´nh gi´ . a e `
e o u ’
.
trong v´ du 7 sau dˆy.
ı . a
CAC V´ DU
´ I .
x2 − 1 + lnx
V´ du 1. T´ lim
ı . ınh
x→1 ex − e
’ o o . . ´ . ´
Giai. Ta c´ vˆ dinh dang “0/0”. Ap dung quy t˘c L’Hospital ta
a
.o.c
thu du .
1
x2 − 1 + lnx (x2 − 1 + lnx) 2x +
lim = lim = lim x = 3.
x→1 ex −e x→1 (ex − e) x→1 ex e
xn
V´ du 2. T´
ı . ınh lim
x→+∞ ex

93. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 91
’ o o . . ´ . ´
Giai. Ta c´ vˆ dinh dang “∞/∞”. Ap dung quy t˘c L’Hospital n
a
` .o.c
lˆn ta thu du .
a
xn nxn−1 n(n − 1)xn−2 n(n − 1) · · · 2 · 1
lim = lim = lim = · · · = lim
x→∞ ex x→1 ex x→1 ex x→1 ex
n!
= lim x = 0.
x→1 e
V´ du 3. T´
ı . ınh lim xlnx.
x→0+0
Giai. Ta c´ vˆ dinh dang “0 · ∞”. Nhu.ng
’ o o . .
lnx
xlnx =
1
x
v` ta thu du.o.c vˆ dinh dang “∞/∞”. Do d´
a . o . . o
1
(lnx)
lim xlnx = lim = lim x = − lim x = 0.
x→0+0 x→0+0 1 x→0+0 1 x→0+0
− 2
x x
V´ du 4. T´
ı . ınh lim xx .
x→0+0
.
Giai. O dˆy ta c´ vˆ dinh dang “00 ”. Nhu.ng
’ ’ a o o . .
xx = exlnx
v` ta thu du.o.c vˆ dinh dang 0 · ∞ o. sˆ m˜. Trong v´ du 3 ta d˜ thu
a . o . . ´
’ o u ı . a
.o.c
du .
lim (xlnx) = 0,
x→0+0
do d´
o
lim xlnx
lim xx = lim exlnx = ex→0+0 = e0 = 1.
x→0+0 x→0+0
1
ınh lim 1 + x2
V´ du 5. T´
ı . ex −1−x
x→0

94. 92 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
.
Giai. O dˆy ta c´ vˆ dinh dang 1∞ . Nhu.ng
’ ’ a o o . .
1 ln(1+x2 )
1 + x2 ex −1−x
= e ex −1−x
v` o. sˆ m˜ cua l˜y th`.a ta thu du.o.c vˆ dinh dang “0/0”. Ap dung
´
a ’ o u ’ u u . o . . ´ .
quy t˘c L’Hospital ta thu du.o.c
´
a .
2x
ln(1 + x2 ) 2 2x
lim x = lim 1x+ x = lim x
x→0 e − 1 − x x→0 e − 1 x→0 (e − 1)(1 + x2 )
2 2
= lim x 2 ) + (ex − 1)2x
= = 2.
x→0 e (1 + x 1
2 cos x
V´ du 6. T´
ı . ınh lim tgx
π
.
x→ 2
Giai. Ta c´ vˆ dinh dang “∞0 ”. Nhu.ng
’ o o . .
2 cos x 2ln tgx
tgx = e2 cos xln tgx = e 1/ cos x
v` o. sˆ m˜ cua l˜y th`.a ta thu du.o.c vˆ dinh dang “∞/∞”. Ap dung
´
a ’ o u ’ u u . o . . ´ .
quy t˘´c L’Hospital ta c´
a o
1 1
2ln tgx cos2 x · tgx
lim = 2 lim = 2 lim cos x
x→ π
2
1 x→ π2
+ sin x x→ π tg2 x
2
cos x cos2 x
sin x
− 2
= 2 lim cos x = lim cos x = 0.
x→ π 1 x→ π
2
2tgx · 2
cos2 x
Do d´
o
lim 2 cos x·ln tgx
2 cos x π
lim tgx
π
= ex→ 2 = e0 = 1.
x→ 2
V´ du 7. Ch´.ng minh r˘ng gi´.i han
ı . u `
a o .
2
x sin(1/x)
1) lim =0
x→0 sin x

95. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 93
x − sin x
2) lim =1
x→∞ x + sin x
khˆng thˆ t`m du.o.c theo quy t˘c L’Hospital. H˜y t´nh c´c gi´.i han
o ’
e ı . ´
a a ı a o .
d´.
o
Giai. 1) Quy t˘c L’Hospital khˆng ´p dung du.o.c v` ty sˆ c´c dao
’ ´
a o a . ´
. ı ’ o a .
a o o o .i han khi x → 0.
h`m [2x sin(1/x) − cos(1/x)]/ cos x khˆng c´ gi´ .
Ta t´ tru.c tiˆp gi´.i han n`y.
ınh . e´ o . a
x2 sin(1/x) x 1
lim = lim · lim x sin = 1 · 0 = 0.
x→0 sin x x→0 sin x x→0 x
2) Quy t˘c L’Hospital khˆng ´p dung du.o.c v` ty sˆ c´c dao h`m
´
a o a . ´
. ı ’ o a . a
1 − cos x
= tg2 (x/2)
1 + cos x
khˆng c´ gi´.i han khi x → ∞.
o o o .
Ta t´ tru.c tiˆp gi´.i han n`y
ınh . e´ o . a
x − sin x [1 − (sin x)/x]
lim = lim = 1 v` | sin x|
ı 1.
x→∞ x + sin x x→∞ [1 + (sin x)/x]
Nhu. o. phˆn dˆu cua tiˆt n`y d˜ n´i, quy t˘c L’Hospital l` mˆt
’ ` `
a a ’ ´
e a a o ´
a a o .
. . ’ t` gi´.i han nhu.ng diˆu d´ khˆng c´ ngh˜ l` n´ c´
cˆng cu manh dˆ ım o .
o e ` o o
e o ıa a o o
e’
thˆ thay cho to`n bˆ c´c phu
a o a .o.ng ph´p t` gi´.i han. Cˆn lu.u y r˘ng
a ım o . `
a ´ `a
.
f (x)
quy t˘c L’Hospital chı l` diˆu kiˆn du dˆ tˆn tai gi´.i han: lim
´
a ’ a ` e e
. ’ o .
’ e ` o .
x→a g(x)
. khˆng phai l` diˆu kiˆn cˆn.
ch´ o
u ’ a e ` e a `
.
` ˆ
BAI TAP
.
Ap dung quy t˘c L’Hospital dˆ t´nh gi´.i han:
´ . ´
a ’
e ı o .
x4 − 16 16
1. lim 3 2 − 6x − 16
. (DS. )
x→2 x + 5x 13
xm − am m
2. lim n n
. (DS. am−n )
x→a x − a n

96. 94 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
e2x − 1
3. lim . (DS. 2)
x→0 sin x
1 − cos ax a2
4. lim . (DS. 2 )
x→0 1 + cos bx b
x −x
e − e − 2x
5. lim . (DS. 2)
x→0 x − sin x
ln(1 + x2 )
6. lim . (DS. 0)
x→0 cos 3x − e−x
2
e1/x − 1 1
7. lim 2−π
. (Ds. − )
x→∞ 2arctgx 2
2x + 1
8. lim . (DS. 0)
x→∞ 3x2 + x − 1
ln(1 + x2)
9. lim . (DS. −2)
x→∞ ln[(π/2) − arctgx]
√
x2 − 1
10. lim . (DS. −1)
x→∞ x
x
11. lim . (DS. +∞)
x→∞ ln(1 + x)
ln sin x
12. lim . (DS. 1)
ln sin 5x
x→+0
x−a
13. lim arcsin cotg(x − a). (DS. 1/a)
x→a a
14. lim (π − 2arctgx)lnx. (DS. 0)
x→∞
15. lim (a1/x − 1)x, a > 0. (DS. lna)
x→∞
πx
16. lim (2 − x)tg 2 . (DS. e2/π )
x→1
1 x
17. lim − . (DS. −1)
x→1 lnx lnx
18. lim (x − x2ln(1 + 1/x)). (Ds. 1/2)
x→∞
1
19. lim − cotg2 x . (DS. 2/3)
x→0 x2
x
20. lim x1/ln(e −1) . (DS. e)
x→0

97. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 95
tgx
21. lim cotgx . (DS. 1)
x→0+0
5 1/ sin x
22. lim √ . (DS. e−1/30)
x→0 2+ 9+x
cotg2 x
23. lim cos x . (DS. e−1/2)
x→0
1/lnx
24. lim ln2x . (DS. 1)
x→0+0
1/tg2 x
25. lim 1 + sin2 x . (DS. e)
x→0
1/lnx
26. lim cotgx . (DS. e−1)
x→0+0
tgx
27. lim sin x . (DS. 1)
x→π/2
e+x − e−x − 2x
28. lim . (DS. −2)
x→0 sin x − x
x2
e−x − 1 + x − 1
29. lim 2 . (DS. − )
x→0 e x3 − 1 6
−x 4
e −1+x 1
30. lim . (DS. − )
x→0 sin 2x 2
x
2 − 1 − xln2 ln2 2
31. lim . (DS. )
x→0 (1 − x)m − 1 + mx m(m − 1)
2 1/x 2
32. lim arccosx . (DS. e− π )
x→0 π
lnx
33. lim , α > 0. (DS. 0)
x→∞ xα
xm
34. lim x , 0 < a = 1. (DS. 0)
x→∞ a
ln sin x 1
35. lim . (DS. )
x→0+0 ln(1 − cos x) 2
1 2
36. lim 2 − cotg2 x . (DS. )
x→0 x 3
tg2x −1
37. lim tgx
π
. (DS. e )
x→ 4
cotgx
38. lim
π
tgx . (DS. 1)
x→ 2 −0

98. 96 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
8.3.3 Cˆng th´.c Taylor
o u
Gia su. h`m f (x) x´c dinh trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm x0 v` n lˆn
’ ’ a a . a a a o ’
. ’
e a ` a
’ ’
kha vi tai diˆm x0 th`
. e ı
f (x0) f (x0)
f (x) = f (x0 ) + (x − x0) + (x − x0)2 + · · · +
1! 2!
f (n) (x0)
+ (x − x0)n + o((x − x0)n )
n!
khi x → x0 hay:
n
f (k) (x0)
f (x) = (x − x0 )k + o((x − x0 )n ), x → x0 . (8.15)
k!
k=0
Da th´.c
u
n
f (k) (x0)
Pn (x) = (x − x0 )k (8.16)
k!
k=0
du.o.c goi l` da th´.c Taylor cua h`m f (x) tai diˆm x0, c`n h`m:
. . a u ’ a . e ’ o a
Rn (x) = f (x) − Pn (x)
du.o.c goi l` sˆ hang du. hay phˆn du. th´. n cua cˆng th´.c Taylor.
. . a o .´ `a u ’ o u
Cˆng th´
o u.c (8.15) du.o.c goi l` cˆng th´.c Taylor cˆp n dˆi v´.i h`m
´ ´
. . a o u a o o a
’ ’
f (x) tai lˆn cˆn cua diˆm x0 v´ .i phˆn du. dang Peano (n´ c˜ng c`n
`
. a a . e o a . o u o
du.o.c goi l` cˆng th´.c Taylor dia phu.o.ng). Nˆu h`m f (x) c´ dao h`m
. . a o u . ´
e a o . a
´ ´
dˆn cˆp n th` n´ c´ thˆ e
e a ı o o e ’ biˆu diˆn duy nhˆt du.´.i dang:
’ ˜
e a´ o .
n
f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ), x → x0
k=0
v´.i c´c hˆ sˆ ak du.o.c t´ theo cˆng th´.c:
o a e o . ´ . ınh o u
f (k) (x0 )
ak = , k = 0, 1, . . . , n.
k!

99. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 97
´
Nˆu x0 = 0 th` (8.15) c´ dang
e ı o .
n
f (k) (0) k
f (x) = x + o(xn ), x→0 (8.17)
k!
k=0
v` goi l` cˆng th´.c Macloranh (Maclaurin).
a . a o u
Sau dˆy l` cˆng th´.c Taylor tai lˆn cˆn diˆm x0 = 0 cua mˆt sˆ
a a o u . a a . ’
e ’ . ´
o o
h`m so. cˆp
a ´
a
n xk
I. ex = + o(xn )
k=0 k!
x3 x5 (−1)n x2n+1
II. sin x = x − + + ··· + + o(x2n+2 )
3! 5! (2n + 1)!
n
x2k+1
= (−1)k + o(x2n+2 )
(2k + 1)!
k=0
n x2k
III. cos x = (−1)k + o(x2n+1 )
k=0 (2k!)
n
α α(α − 1) . . . (α − k + 1) k
IV. (1 + x) = 1 + x + o(xn )
k=1
k!
n
α
=1+ xk + o(xn )
k=1
k
 
 α


α(α − 1) . . . (α − k + 1)   nˆu α ∈ R,
´
e
= k
k! 

 k
C
α
´
nˆu α ∈ N.
e
Tru.`.ng ho.p riˆng:
o . e
1 n
IV1. = (−1)k xk + o(xn ),
1 + x k=0
1 n
IV2. = xk + o(xn ).
1 − x k=0

100. 98 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
n
(−1)k−1 k
V. ln(1 + x) = x + o(xn ).
k=1
k
n
xk
ln(1 − x) = − + o(xn ).
k
k=1
Phu.o.ng ph´p khai triˆn theo cˆng th´.c Taylor
a ’
e o u
Nhu. vˆy, dˆ khai triˆn h`m f (x) theo cˆng th´.c Taylor ta phai ´p
a
. e’ ’
e a o u ’ a
dung cˆng th´
o u.c
.
f (x) = Tn (x) + Rn+1 (x),
n
Tn (x) = ak (x − x0)k ,
k=0
f (k) (x0 )
ak = · (8.18)
k!
1) Phu.o.ng ph´p tru.c tiˆp: du.a v`o cˆng th´.c (8.18). Viˆc su.
a . e´ . a o u e ’
.
dung cˆng th´
o u.c (8.18) dˆ n dˆn nh˜.ng t´ to´n rˆt cˆng kˆnh m˘c
˜ e
a ´ u ınh a a o´ ` `
e a
. .
’ a
d` n´ cho ta kha n˘ng nguyˆn t˘ e
u o e a ’
´c dˆ khai triˆn.e’
2) Phu .o.ng ph´p gi´n tiˆp: du.a v`o c´c khai triˆn c´ s˘ n I-V sau
a a ´
e a a ’
e o a ˜
.
khi d˜ biˆn dˆi so. bˆ h`m d˜ cho v` lu.u y dˆn c´c quy t˘c thu.c hiˆn
´ ’
a e o o a
. a a ´
´ e a ´
a . e
.
c´c ph´p to´n trˆn c´c khai triˆ
a e a e a ’n Taylor.
e
´
Nˆu
e
n
f (x) = ak (x − x0)k + o((x − x0)n )
k=0
n
g(x) = bk (x − x0)k + o((x − x0)n )
k=0
th`
ı
n
a) f (x) + g(x) = (ak + bk )(x − x0)k + o((x − x0 )n );
k=0

101. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 99
n
b) f (x)g(x) = ck (x − x0)k + o((x − x0)n )
k=0
k
ck = ap bk−p
p=0
n n j
c) F (x) = f [g(x)] = aj (bk (x − x0 )k − x0
j=0 k=0
n
n
+o bk (x − x0 )k − x0
k=0
3) Dˆ khai triˆn c´c phˆn th´.c h˜.u ty theo cˆng th´.c Taylor thˆng
e’ ’
e a a u u ’ o u o
.`.ng ta biˆu diˆn phˆn th´.c d´ du.´.i dang tˆng cua da th´.c v` c´c
thu o e’ ˜
e a u o o . o’ ’ u a a
phˆn th´.c co. ban (tˆi gian !) rˆi ´p dung VI1, IV2.
a u ’ ´
o ’ ` a
o .
4) Dˆ e’ khai triˆn t´ c´c h`m lu.o.ng gi´c thˆng thu.`.ng biˆn dˆi
e’ ıch a a . a o o ´
e o ’
a o’
t´ch th`nh tˆng c´c h`m.
ı a a
5) Nˆu cho tru.´.c khai triˆn dao h`m f (x) theo cˆng th´.c Taylor
´
e o ’
e . a o u
th` viˆc t`m khai triˆ
ı e ı. ’n Taylor cua h`m f (x) du.o.c thu.c hiˆn nhu. sau.
e ’ a . . e
.
’ ’
Gia su . cho biˆt khai triˆn
e´ ’
e
n
f (x) = bk (x − x0)k + o((x − x0)n ),
k=0
(k+1)
f (x0)
bk = ·
k!
Khi d´ tˆn tai f (n+1) (x0) v` do d´ h`m f (x) c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i
o `o . a o a ’ ’
o e e ˜
e o
dang
.
n+1
f (x) = ak (x − x0 )k + o((x − x0)n+1 )
k=0
n
= f (x0 ) + ak+1 (x − x0)k+1 + o((x − x0)n+1 )
k=0
trong d´
o
f (k+1) (x0) f (k+1) (x0 ) 1 bk
ak+1 = = · = ·
(k + 1)! k! k+1 k+1

102. 100 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
Do d´
o
n
bk
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )k+1 + o((x − x0)n+1 ) (8.19)
k=0
k+1
trong d´ bk l` hˆ sˆ cua da th´.c Taylor dˆi v´.i h`m f (x).
o . ´
a e o ’ u ´
o o a
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. Khai triˆn h`m f (x) theo cˆng th´.c Maclaurin dˆn sˆ hang
ı . ’
e a o u ´ ´
e o .
o(xn ), nˆu
´
e
3+x
1) f (x) = (x + 5)e2x ; 2) f (x) = ln
2−x
Giai 1) Ta c´ f (x) = xe + 5e . Ap dung I ta thu du.o.c
’ o 2x 2x ´
. .
n−1 n
2k xk 2k xk
f (x) = x + o(xn−1 ) + 5 + o(xn )
k=0
k! k=0
k!
n−1 n
2k k+1 5 · 2k k
= x + x + o(xn ).
k=0
k! k=0
k!
n−1 2k xk+1 n 2k−1 k
V`
ı = x nˆn ta c´
e o
k=0 k! k=1 (k − 1)!
n
2k−1 5 · 2k k
f (x) = 5 + + x + o(xn )
k=1
(k − 1)! k!
n
2k−1
= (k + 10)xk + o(xn ).
k=0
k!
2) T`. d˘ng th´.c
u a ’ u
3 x x
f (x) = ln + ln 1 + − ln 1 −
2 3 2
v` V ta thu du.o.c
a .
n
3 1 1 (−1)k−1 k
f (x) = ln + + x + o(xn ).
2 k 2k 3k
k=1

103. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 101
V´ du 2. Khai triˆn h`m f (x) theo cˆng th´.c Taylor tai lˆn cˆn diˆm
ı . ’
e a o u . a a . ’
e
´ ´ 2n ´
x0 = −1 dˆn sˆ hang o((x + 1) ) nˆu
e o . e
3x + 3
f (x) = √ ·
3 − 2x − x2
’
Giai. Ta c´
o
3(x + 1) 3 (x + 1)2 −1
2
f (x) = = (x + 1) 1 − .
4 − (x + 1)2 2 4
Ap dung cˆng th´.c IV ta thu du.o.c
´ . o u .
 
n−1 1 2k
3 3 − 2  (−1)k (x + 1) + o((x + 1)2n )
f (x) = (x + 1) + (x + 1)
2 2 k=1 k 4k
trong d´
o
  1 1 1
1 − − − 1 . . . − − (k − 1)
− 
 2 (−1)k = (−1)k 2 2 2
k k!
(2k − 1)!!
= ·
2k k!
Do d´
o
n−1
3 3(2k − 1)!!
f (x) = (x + 1) + 3k+1 k!
(x + 1)2k+1 + o((x + 1)2n ).
2 2
k=1
V´ du 3. Khai triˆn h`m f (x) theo cˆng th´.c Taylor tai lˆn cˆn diˆm
ı . ’
e a o u . a a . ’
e
x0 = 2 dˆn sˆ hang o((x − 2)n ), nˆu
´ ´
e o . ´
e
f (x) = ln(2x − x2 + 3).
’ ’ ˜
Giai. Ta biˆu diˆn
e e
2x − x2 + 3 = (3 − x)(x + 1) = [1 − (x − 2)][3 + (x − 2)]
x−2
= 3[1 − (x − 2)] 1 + .
3

104. 102 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
T`. d´ suy ra r˘ng
u o `
a
x−2
f (x) = ln3 + ln[1 − (x − 2)] + ln 1 +
3
v` ´p dung cˆng th´.c V ta thu du.o.c
aa . o u .
n n
1 (x − 2)k
f (x) = ln3 − (x − 2)k + (−1)k−1 + o((x − 2)n )
k k3k
k=1 k=1
n k−1
(−1) (x − 2)k
= ln3 + −1 + o((x − 2)n ).
3k k
k=1
V´ du 4. Khai triˆn h`m f (x) = ln cos x theo cˆng th´.c Maclaurin
ı . ’
e a o u
´ ´
dˆn sˆ hang ch´
e o . u .a x4 .
Giai. Ap dung III ta thu du.o.c
’ ´ . .
x2 x4
ln(cos x) = ln 1 − + + o(x4 ) = ln(1 + t),
2 24
trong d´ ta d˘t
o a
.
x2 x4
+
t=− + o(x4 ).
2 24
´
e a . ’
Tiˆp theo ta ´p dung khai triˆn V
e
t2
ln(cos x) = ln(1 + t) = t − + o(t2 )
2
x2 x4 4 1 x2 x4 2
= − + + o(x ) − − + + o(x4)
2 24 2 2 4
x2 x4 2
+o − + + o(x4 )
2 24
x2 x4 x4 x2 x4
=− + − + o(x4 ) = − − + o(x4).
2 24 8 2 12
ı . ’
V´ du 5. Khai triˆn h`m f (x) = e
e a x cos x
theo cˆng th´.c Maclaurin
o u
dˆn sˆ hang ch´.a x .
´ ´
e o . u 3
’ ’ a
e ` ım ’ o .
Giai. Khai triˆn cˆn t` phai c´ dang
3
x cos x
e = ak xk + o(x3 ).
k=0

105. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 103
V` x cos x = x + 0(x), (x cos x)k = xk + o(xk ), k = 1, 2, . . . nˆn
ı e
trong cˆng th´
o u.c
n
wk
ew = + o(wn ), w = x cos x
k=0
k!
` a
a ´
ta cˆn lˆy n = 3. Ta c´
o
x3
w = x cos x = x − + o(x4 )
2!
w2 = x2 + o(x3), w3 = x3 + o(x3 )
v` do d´
a o
3
x cos x wk
e = + o(w3 )
k!
k=0
x3 1 1 3
=1+x− + o(x4 ) + x2 + 0(x3) + x + o(x3) + 0(x3 )
2! 2 3!
1 1
= 1 + x + x2 − x3 + o(x3 ).
2 3
V´ du 6. Khai triˆn theo cˆng th´.c Maclaurin dˆn o(x2n+1 ) dˆi v´.i
ı . e’ o u ´
e ´
o o
c´c h`m
a a
1) arctgx, 2) arc sin x.
’
Giai. 1) V`
ı
n
1
(arctgx) = = (−1)k x2k + o(x2n+1 )
1 + x2
k=0
nˆn theo cˆng th´.c (8.19) ta c´
e o u o
n
x2k+1
arctgx = (−1)k + o(x2n+2 ).
(2k + 1)
k=0
V´.i n = 2 ta thu du.o.c
o .
x3 x5
arctgx = x − + + o(x6 )
3 5

106. 104 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
2) Ta c´
o
 
n 1
1 k −  2k
(arcsinx) = √
2
=1+ (−1) 2 x + o(x2n+1 )
1−x k=1 k
n
(2k − 1)!! 2k
=1+ (−1)k k k!
x + o(x2n+1 ).
2
k=1
T`. d´ ´p dung cˆng th´.c (8.19) ta c´
u oa . o u o
n
(2k − 1)!! 2k+1
arc sin x = x + x + o(x2n+2 ).
k=0
2k k!(2k
+ 1)
V´.i n = 2 ta thu du.o.c
o .
1 3
arc sin x = x + x3 + x5 + o(x6 ).
6 40
V´ du 7. Khai triˆn h`m f (x) = tgx theo cˆng th´.c Maclaurin dˆn
ı . ’
e a o u ´
e
o(x5 ).
Giai. Ta s˜ d`ng phu.o.ng ph´p hˆ sˆ bˆt dinh m` nˆi dung du.o.c
’ e u . ´ ´
a e o a . a o. .
’ .
thˆ hiˆn trong l`
e e o.i giai sau dˆy.
’ a
ı a a ’ a
V` tgx l` h`m le v` tgx = x + o(x) nˆn
e
tgx = x + a3 x3 + as x5 + o(x6 ).
Ta su. dung cˆng th´.c sin x = tgx · cos x v` c´c khai triˆn II v` III
’ . o u a a ’
e a
ta c´
o
x3 x5 x2 x4
x− + + o(x6 ) = x + a3x3 + a5x5 + o(x6) 1− + + 0(x5 )
3 5 2! 4!
Cˆn b˘ng c´c hˆ sˆ cua x3 v` x5 o. hai vˆ ta thu du.o.c
a ` a . ´
a e o ’ a ’ ´
e .

− 1 = − 1 + a3

6 2
1
 = − a3 + a5
1
5! 4! 2!

107. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 105
1 2
T`. d´ suy ra a3 = , a5 = . Do d´
u o o
3 15
x3 2x5
tgx = x + + + o(x6 ).
3 15
V´ du 8. Ap dung cˆng th´.c Maclaurin dˆ t´nh c´c gi´.i han sau:
ı . ´ . o u ’
e ı a o .
x2
sin x − x e− 2 − cos x
1) lim , 2) lim ·
x→0 x3 x→0 x3 sin x
Giai. 1) Ap dung khai triˆn dˆi v´.i h`m sin x v´.i n = 2 ta c´
’ ´ . ’ ´
e o o a o o
x3
sin x − x + o(x4) − x
x−
lim = lim 3!
x→0 x3 x→0 x3
1 o(x4 ) 1 1
= − + lim 3 = − + 0 = − ·
3! x→0 x 3! 3!
2) Ap dung c´c khai triˆn bang dˆi v´.i et, cos t, sin t cho tru.`.ng
´ . a ’ ’
e ´
o o o
ho.p n`y ta c´
. a o
x2 x4 x2 x4
e−x2
2
− cos x 1−+ + o(x4 ) − 1 + − + 0(x4 )
lim = lim 2 8 2 24
x→0 x3 sin x x→0 x3(x + 0(x))
x4 x4 1 1 o(x4 )
− + 0(x4) − +
= lim 8 4 24 4 = lim 8 24 x4
4
x→0 x + 0(x ) x→0 0(x )
1+
x4
1 1
− +0 1
= 8 24 = ·
1+0 12
` ˆ
BAI TAP
.
Khai triˆn c´c h`m theo cˆng th´.c Maclaurin dˆn o(xn ) (1-8)
’
e a a o u ´
e
1 n 3k k
1. f (x) = . (DS. (−1)k x + o(xn ))
3x + 4 k=0 4k+1

108. 106 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
1 n k (2k−1)!!
2. f (x) = √ . (DS. (−1)k 2 k!
xk + o(xn ))
1 + 4x k=0
1 n
3. f (x) = . (DS. (k + 1)xk + o(xn ))
(1 − x)2 k=0
2 − 3x 2 n (−4)k − 9k
4. f (x) = ln . (DS. ln + xk + o(xn ))
2 + 3x 3 k=1 k6k
5. f (x) = ln(x2 + 3x + 2).
n (−1)k−1
(DS. ln2 + (1 + 2−k )xk + o(xn ))
k=1 k
n (−1)k−1 − 2−k k
6. f (x) = ln(2 + x − x2). (DS. ln2 + x + o(xn ))
k=1 k
1 − 2x2
7. f (x) = .
2 + x − x2
1 n (−1)k+1 − 7 · 2−(k+1)
(DS. + xk + o(xn ))
2 k=1 3
3x2 + 5x − 5 5 n
8. f (x) = 2 . (DS. + (−1)k 2−(k+1) − 1 xk + o(xn )).
x +x−2 2 k=1
Khai trˆn h`m theo cˆng th´.c Maclaurin dˆn 0(x2n+1 ) (9-13)
’
e a o u ´
e
n (−1)k+1 24k−3 2k
9. f (x) = sin2 x cos2 x. (DS. x + o(x2n+1 ))
k=1 (2k)!
3(−1)k 2k−1
n
10. f (x) = cos3 x. (DS. (3 + 1)x2k + o(x2n+1 ))
k=0 4(2k)!
1 3
’ ˜
Chı dˆ n. cos3 x = cos 3x + cos x.
a
4 4
11. f (x) = cos4 x + sin4 x.
n 42k 2k
(DS. 1 + (−1)k x + 0(x2k+1 ))
k=1 (2k)!
3 1
Chı dˆ n. Ch´.ng minh r˘ng cos4 x + sin4 x = + cos 4x.
’ ˜a u `
a
4 4
6 6
12. f (x) = cos x + sin x.
n 3(−1)k 42k−1
(DS. 1 + x2k + o(x2n+1 ))
k=1 2(2k)!

109. 8.3. C´c dinh l´ co. ban vˆ h`m kha vi
a . y ’ ` a
e ’ 107
13. f (x) = sin x sin 3x.
n (−1)k 22k−1
(DS. (1 − 22k )x2k + o(x2n+1 )).
k=0 (2k)!
Khai triˆn h`m theo cˆng th´.c Taylor trong lˆn cˆn diˆm x0 dˆn
’
e a o u a a . e’ ´
e
o((x − x0)n ) (14-20)
 
n
1
√
14. f (x) = x, x0 = 1. (DS.  2  (x − 1)k + o((x − 1)n ))
k=0 k
15. f (x) = (x2 − 1)e2x, x0 = −1.
n e−2 2k−2 (k − 5)
(DS. (x + 1)k + o((x + 1)n ))
k=1 (k − 1)!
16. f (x) = ln(x2 − 7x + 12), x0 = 1.
n 2−k + 3−k
(DS. ln6 − (x − 1)k + o(x − 1)n ))
k=1 k
(x − 1)x−2
17. f (x) = ln , x0 = 2.
3−x
n 1 (−1)k
(DS. (x − 2) + + (x − 2)k + o((x − 2)n ))
k=2 k k−1
(x − 2)2 n
18. f (x) = , x0 = 2. (DS. (x − 2)k + o((x − 2)n ))
3−x k=2
2
x − 3x + 3
19. f (x) = , x = 3.
x−2
n
(DS. 3 + (−1)k (x − 3)k + o((x − 3)n ))
k=2
2
x + 4x + 4
20. f (x) = , x0 = 2.
x2 + 10x + 25
n (−1)k (k − 1)
(DS. (x + 2)k + o((x + 2)n )).
k=2 3k
Ap dung cˆng th´.c Maclaurin dˆ t´nh gi´.i han
´ . o u ’
e ı o .
x −x
e − e − 2x
21. lim . (DS. 2)
x→0 x − sin x
tgx + 2 sin x − 3x
22. lim . (DS. 0)
x→0 x4

110. 108 Chu.o.ng 8. Ph´p t´nh vi phˆn h`m mˆt biˆn
e ı a a o e
. ´
ex − e−x − 2
23. lim . (DS. 1)
x→0 x2
1 1
24. lim − . (DS. 0)
x→0 x sin x
x2
cos x − e− 2 1
25. lim 4
. (DS. − )
x→0 x 12
√
1− 1+x 2 cos x 1
26. lim 4
. (DS. )
x→0 x 3
2
x
ln cos x + 1
27. lim 2 . (DS. − )
x→0 x(sin x − x) 4
√3
sin(sin x) − x 1 − x2 19
28. lim 5
. (DS. )
x→0 x 90

111. Chu.o.ng 9
Ph´p t´
e ınh vi phˆn h`m
a a
` ´
nhiˆu biˆn
e e
9.1 - .
Dao h`m riˆng . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
a e
9.1.1 - . a ´
Dao h`m riˆng cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . 110
e a
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p . . . . . . . . . . . . 111
- . a ’ a .
9.1.3 ’
H`m kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
a
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng . . . . . . . . . . . . . 112
- . a o
9.1.5 - . a ´
Dao h`m riˆng cˆp cao . . . . . . . . . . . . 113
e a
9.2 ’ ` ´
Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . . 125
a a e e
9.2.1 ´
Vi phˆn cˆp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
a a
9.2.2 ´ ’
a e ınh `
Ap dung vi phˆn dˆ t´ gˆn d´ng . . . . . 126
. a u
9.2.3 ´
a ınh a ’
C´c t´ chˆt cua vi phˆn . . . . . . . . . . 127
a
9.2.4 ´
Vi phˆn cˆp cao . . . . . . . . . . . . . . . 127
a a
9.2.5 Cˆng th´.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 129
o u
9.2.6 a ’ a a ’
Vi phˆn cua h`m ˆn . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn . . . . . . . . . 145
. . ’ a `
e ´
e

112. 110 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
9.3.1 Cu.c tri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
. .
9.3.2 Cu.c tri c´ diˆu kiˆn . . . . . . . . . . . . . 146
. . o ` e e
.
9.3.3 Gi´ tri l´.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m . . . . 147
a . o ´
a a e a ’ ´ a
9.1 - .
Dao h`m riˆng
a e
9.1.1 - . ´
Dao h`m riˆng cˆp 1
a e a
Gia su. w = f (M), M = (x, y) x´c dinh trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm
’ ’ a . a a a o ’
. e’
M(x, y). Tai diˆm M ta cho biˆn x sˆ gia t`y y ∆x trong khi vˆ n gi˜.
. e ’ ´
e ´
o u ´ ˜
a u
´ ’ .o.ng
a . ’ o o o a . ´
gi´ tri cua biˆn y khˆng dˆi. Khi d´ h`m f (x, y) nhˆn sˆ gia tu
e a o
u.ng l`
´ a
∆x w = f (x + ∆x, y) − f (x, y)
´ ’ a ´ ’
goi l` sˆ gia riˆng cua h`m f (x, y) theo biˆn x tai diˆm M(x, y).
. a o e e . e
Tu.o.ng tu. dai lu.o.ng
. . .
∆y w = f (x, y + ∆y) − f (x, y)
´ ’ a ´ ’
goi l` sˆ gia riˆng cua h`m f (x, y) theo biˆn y tai diˆm M(x, y).
. a o e e . e
-.
Dinh ngh˜ 9.1.1
ıa
1. Nˆu tˆn tai gi´.i han h˜.u han
´ o
e ` . o . u .
∆x w f (x + ∆x, y) − f (x, y)
lim = lim
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
th` gi´.i han d´ du.o.c goi l` dao h`m riˆng cua h`m f (x, y) theo biˆn
ı o . o . . a . a e ’ a ´
e
x tai diˆm (x, y) v` du.o.c chı bo.i mˆt trong c´c k´ hiˆu
. e ’ a . ’ ’ o
. a y e .
∂w ∂f (x, y)
, , fx (x, y), wx .
∂x ∂x

113. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 111
2. Tu.o.ng tu.: nˆu tˆn tai gi´.i han
´ o
. e ` . o .
∆y w f (x, y + ∆y) − f (x, y)
lim = lim
∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
th` gi´.i han d´ du.o.c goi l` dao h`m riˆng cua h`m f (x, y) theo biˆn
ı o . o . . a . a e ’ a ´
e
y tai diˆm M(x, y) v` du.o.c chı bo.i mˆt trong c´c k´ hiˆu
. e ’ a . ’ ’ o
. a y e .
∂w ∂f (x, y)
, , fy (x, y), wy .
∂y ∂y
T`. dinh ngh˜ suy r˘ng dao h`m riˆng cua h`m hai biˆn theo biˆn
u . ıa `
a . a e ’ a e´ ´
e
x l` dao h`m thˆng thu.`.ng cua h`m mˆt biˆn x khi cˆ dinh gi´ tri
a . a o o ’ a o
. ´
e ´
o . a .
’ e´
cua biˆn y. Do d´ c´c dao h`m riˆng du . ı
o a . a e .o.c t´nh theo c´c quy t˘c v`
a ´ a
a
cˆng th´.c t´nh dao h`m thˆng thu.`.ng cua h`m mˆt biˆn.
o u ı . a o o ’ a o e
. ´
Nhˆn x´t. Ho`n to`n tu.o.ng tu. ta c´ thˆ dinh ngh˜a dao h`m riˆng
a e
. a a . o e .’ ı . a e
cua h`m ba (ho˘c nhiˆu ho.n ba) biˆn sˆ.
’ a a. `
e ´ ´
e o
9.1.2 Dao h`m cua h`m ho.p
- . a ’ a .
Nˆu h`m w = f (x, y), x = x(t), y = y(t) th` biˆu th´.c w =
´ a
e ı e ’ u
f [x(t), y(t)] l` h`m ho.p cua t. Khi d´
a a . ’ o
dw ∂w dx ∂w dy
= · + · · (9.1)
dt ∂x dt ∂y dt
´
Nˆu w = f (x, y), trong d´ x = x(u, v), y = y(u, v) th`
e o ı

 ∂w = ∂w ∂x + ∂w ∂y ,


∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
(9.2)
 ∂w
 ∂w ∂x ∂w ∂y
 = + ·
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
9.1.3 ’
H`m kha vi
a
Gia su. h`m w = f (M) x´c dinh trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm
’ ’ a a . o a a a o ’
. . ’
e
M(x, y). H`m f du.o.c goi l` h`m kha vi tai diˆm M(x, y) nˆu sˆ gia
a . . a a ’ . e ’ ´ ´
e o

114. 112 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
∆f (M) = f (x + ∆, y + ∆y) − f (x, y) cua h`m khi chuyˆn t`. diˆm
’ a ’
e u e’
´ ’ ’ ’ ˜ .´.i dang
M(x, y) dˆn diˆN (x + ∆, y + ∆y) c´ thˆ biˆu diˆn du o .
e e o e e e
∆f (M) = D1 ∆x + D2 ∆y + o(ρ), ρ→0
trong d´ ρ = ∆x2 + ∆y 2.
o
´ ’ ’
Nˆu h`m f (x, y) kha vi tai diˆm M(x, y) th`
e a . e ı
∂f ∂f
(M) = D1 , (M) = D2
∂x ∂y
v` khi d´
a o
∂f ∂f
∆f (M) = (M)∆x + ∆y + o(ρ), ρ → 0. (9.3)
∂x ∂y
9.1.4 Dao h`m theo hu.´.ng
- . a o
Gia su.:
’ ’
a . a a . a o ’
(1) w = f (M) l` h`m x´c dinh trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm
a a e’
M(x, y);
(2) e = (cos α, cos β) l` vecto. do.n vi trˆn du.`.ng th˘ng c´ hu.´.ng
a . e o ’
a o o
’
L qua diˆm M(x, y);
e
’ o
. a a o a ’
(3) N = N (x + ∆x, y + ∆y) l` diˆm thuˆc L v` ∆e l` dˆ d`i cua
a e .
. ’
doa n th˘ng MN .
a
Nˆu tˆn tai gi´.i han h˜.u han
´ o
e ` . o . u .
∆w
lim
∆ →0 ∆
(N →M )
th` gi´.i han d´ du.o.c goi l` dao h`m tai diˆm M(x, y) theo hu.´.ng cua
ı o . o . . a . a . e ’ o ’
∂w
vecto. e v` du.o.c k´ hiˆu l`
a . y e a ∂e , t´ c l`
. u. a
∂w ∆w
= lim ·
∂e ∆ →0 ∆

115. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 113
Dao h`m theo hu.´.ng cua vecto. e = (cos α, cos β) du.o.c t´nh theo
. a o ’ . ı
cˆng th´
o u.c
∂f ∂f ∂f
= (M) cos α + (M) cos β. (9.4)
∂e ∂x ∂y
trong d´ cos α v` cos β l` c´c cosin chı phu.o.ng cua vecto. e.
o a a a ’ ’
∂f ∂F . ∂f ∂f
Vecto. v´.i c´c toa dˆ
o a . o u. a ..
. ∂x v` ∂y (t´ c l` vecto ∂x , ∂y ) du o c goi
a . .
l` vecto
a . gradiˆn cua h`m f (M) tai diˆm M(x, y) v` du.o.c k´ hiˆu l`
e ’ a ’
. e a . y e a .
gradf (M).
∂f
T`. d´ dao h`m theo hu.´.ng
u o . a o c´ biˆu th´.c l`
o e ’ u a
∂e
∂f
= gradf, e .
∂e
Ta lu.u y r˘ng: 1) Nˆu h`m w = f (x, y) kha vi tai diˆm M(x, y)
´ a ` ´
e a ’ . e’
a o a . a e a´
th` n´ liˆn tuc tai M v` c´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1 tai d´;
ı o e . . . o
o a . a e ´
a . ´
2) N´u h`m w = f (x, y) c´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1 theo moi biˆn
e a e
a a a o ’
. ’
trong lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm M(x, y) v` c´c dao h`m riˆng n`y liˆn
e a a . a e a e
. . ’
e ı o ’ . ’
tuc tai diˆm M(x, y) th` n´ kha vi tai diˆm M.
e
´
e a ’ . ’
Nˆu h`m f (x, y) kha vi tai diˆm M(x, y) th` n´ c´ dao h`m theo
e ı o o . a
moi hu.´.ng tai diˆm d´.
. o . e ’ o
Ch´ ´. Nˆu h`m f (x, y) c´ dao h`m theo moi hu.´.ng tai diˆm M0
uy e a ´ o . a . o ’
. e
o ı ’ ’ a a ’ ’
th` khˆng c´ g` dam bao l` h`m f (x, y) kha vi tai diˆm M0 (xem v´
ı o . e ı
du 4).
.
9.1.5 - . ´
Dao h`m riˆng cˆp cao
a e a
Gia su. miˆn D ⊂ R2 v`
’ ’ ` e a
f :D→R

116. 114 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
l` h`m hai biˆn f (x, y) du.o.c cho trˆn D. Ta d˘t
a a ´
e . e a
.
∂f
Dx = (x, y) ∈ D : ∃ = ±∞ ,
∂x
∂f
Dy = (x, y) ∈ D : ∃ = ±∞ .
∂y
D∗ = Dx ∩ Dy
∂f ∂f . .
-.
Dinh ngh˜ 1) C´c dao h`m riˆng
ıa. a . a e v`
a du o c goi l` c´c dao
. . a a .
∂x ∂y
a e ´
h`m riˆng cˆp 1.
a
∂f ∂f
´
2) Nˆu h`m
e a : Dx → R v`
a : Dy → R c´ c´c dao h`m riˆng
o a . a e
∂x ∂y
∂ ∂f ∂ 2f ∂ 2f
= = ,
∂x ∂x ∂x∂x ∂x2
∂ ∂f ∂ 2f
= ,
∂y ∂x ∂x∂y
∂ ∂f ∂ 2f
= ,
∂x ∂y ∂y∂x
∂ ∂f ∂ 2f ∂ 2f
= =
∂y ∂y ∂y∂y ∂y 2
th` ch´ng du.o.c goi l` c´c dao h`m riˆng cˆp 2 theo x v` theo y.
ı u . . a a . a e a´ a
e ´
C´c dao h`m riˆng cˆp 3 du . .
a . a a .o.c dinh ngh˜ nhu. l` c´c dao h`m riˆng
ıa a a . a e
’ . a e ´
cua dao h`m riˆng cˆp 2, v.v...
a
2
.u y r˘ng nˆu h`m f (x, y) c´ c´c dao h`m hˆ n ho.p ∂ f v`
Ta lu ´ a ` e´ a o a . a ˜
o . ∂x∂y a
∂ 2f
liˆn tuc tai diˆm (x, y) th` tai diˆm d´ c´c dao h`m hˆ n ho.p n`y
e . . e ’ ı . e ’ o a . a ˜
o . a
∂y∂x
`
b˘ng nhau:
a
∂ 2f ∂ 2f
= ·
∂x∂y ∂y∂x
CAC V´ DU
´ I .

117. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 115
ı . ınh . a e ´
V´ du 1. T´ dao h`m riˆng cˆp 1 cua c´c h`m
a ’ a a
2 2 3
1) 4w = x − 2xy + y . 2) w = xy .
∂w . .
’
Giai. 1) Dao h`m riˆng
. a e du o c t´nh nhu. l` dao h`m cua h`m w
. ı a . a ’ a
∂x
theo biˆn x v´.i gia thiˆt y = const. Do d´
´
e o ’ e´ o
∂w
= (x2 − 2xy 2 + y 3)x = 2x − 2y 2 + 0 = 2(x − y 2).
∂x
Tu.o.ng tu., ta c´
. o
∂w
= (x2 − 2xy 2 + y 3)y = 0 − 4xy + 3y 2 = y(3y − 4x).
∂y
2) Nhu. trong 1), xem y = const ta c´
o
∂w
= xy x
= yxy−1 .
∂x
Tu.o.ng tu., khi xem x l` h˘ng sˆ ta thu du.o.c
. a a` ´
o .
∂w
= xy lnx.
∂y
(v` w = xy l` h`m m˜ dˆi v´.i biˆn y khi x = const.
ı a a ´
u o o ´
e
∂w
V´ du 2. Cho w = f (x, y) v` x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. H˜y t´nh
ı . a a ı
∂ρ
∂w
v`
a .
∂ϕ
Giai. Dˆ ´p dung cˆng th´.c (9.2), ta lu.u y r˘ng
’ ’
ea . o u ´ `a
w = f (x, y) = f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = F (ρ, ϕ).
Do d´ theo (9.2) v` biˆu th´.c dˆi v´.i x v` y ta c´
o a e ’ u o o´ a o
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w
= + = cos ϕ + sin ϕ
∂ρ ∂x ∂ρ ∂y ∂ρ ∂x ∂y
∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂w
= + = (−ρ sin ϕ) + (ρ cos ϕ)
∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂x ∂y
∂w ∂w
=ρ − sin ϕ + cos ϕ .
∂x ∂y

118. 116 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
ı . ınh . a . e ’
V´ du 3. T´ dao h`m cua h`m w = x2 + y 2x tai diˆm M0 (1, 2) theo
’ a
−→
hu.´.ng cua vecto. M0 M1, trong d´ M1 l` diˆm v´.i toa dˆ (3, 0).
o ’ o a e ’ o . o .
’ `
Giai. Dˆu tiˆn ta t`m vecto
a e ı . do.n vi e c´ hu.´.ng l` hu.´.ng d˜ cho.
o o a o a
.
Ta c´o
−→
M0 M1 = (2, −2) = 2e1 − 2e2,
−→ √ M0 M1 2e1 − 2e2
⇒ |M0 M1 | = 2 2 ⇒ e = = √
|M0 M1 | 2 2
1 1
= √ e1 − √ e2 .
2 2
trong d´ e1, e2 l` vecto. do.n vi cua c´c truc toa dˆ. T`. d´ suy r˘ng
o a . ’ a . . o u o
. `
a
1 1
cos α = √ , cos β = − √ ·
2 2
´ ı a . a e . e ’
Tiˆp theo ta t´nh c´c dao h`m riˆng tai diˆm M0 (1, 2). Ta c´
e o
fx = 2x + y 2 ⇒ fx (M0) = fx (1, 2) = 6,
fy = 2xy ⇒ fy (M0 ) = fy (1, 2) = 4.
Do d´ theo cˆng th´.c (9.4) ta thu du.o.c
o o u .
∂f 1 1 √
= 6 · √ − 4 · √ = 2.
∂e 2 2
V´ du 4. H`m f (x, y) = x + y + |xy| c´ dao h`m theo moi hu.´.ng
ı . a o . a . o
’
tai diˆm O(0, 0) nhu .ng khˆng kha vi tai d´.
’
. e o . o
Giai. 1. Su. tˆn tai dao h`m theo moi hu.´.ng.
’ . ` . . a
o . o
e .´.ng cua vecto. e di ra t`. O v` lˆp v´.i truc Ox g´c α. Ta
Ta x´t hu o ’ u a a o o
. .
c´
o
∆e f (0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x∆y|
= cos α + sin α + | cos α sin α| ρ,

119. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 117
trong d´ ρ = ∆x2 + ∆y 2, ∆x = ρ cos α, ∆y = ρ sin α.
o
. d´ suy ra
T` o
u
∂f ∆e f (0, 0)
(0, 0) = lim = cos α + sin α + | sin α cos α|
∂e ρ→0 ρ
t´.c l` dao h`m theo hu.´.ng tˆn tai theo moi hu.´.ng.
u a . a o ` .
o . o
e a a o ’
2. Tuy nhiˆn h`m d˜ cho khˆng kha vi tai O. Thˆt vˆy, ta c´
. a a
. . o
∆f (0, 0) = f (∆x, ∆y) − f (0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x| |∆y| − 0.
a . e e ´ ’
V` fx = 1 v` fy = 1 (tai sao ? ) nˆn nˆu f kha vi tai O(0, 0) th`
ı . ı
∆f (0, 0) = ∆x + ∆y + |∆x∆y| = 1 · ∆x + 1 · ∆y + ε(ρ)ρ
ε(ρ) → 0(ρ → 0), ρ= ∆x2 + ∆y 2
hay l` lu.u y ∆x = ρ cos α, ∆y = ρ sin α ta c´
a ´ o
ε(ρ) = | cos α sin α|.
Vˆ phai d˘ng th´.c n`y khˆng phai l` vˆ c`ng b´ khi ρ → 0 (v` n´
´ ’ a
e ’ u a o ’ a o u e ı o
ho`n to`n khˆng phu thuˆc v`o ρ). Do d´ theo dinh ngh˜ h`m f (x, y)
a a o . o a
. o . ıa a
a o ’ . e ’
d˜ cho khˆng kha vi tai diˆm O.
ı . ınh a . a e ´
a ’ a a
V´ du 5. T´ c´c dao h`m riˆng cˆp 2 cua c´c h`m:
x
1) w = xy , 2) w = arctg ·
y
’ `
a e ınh a . a e ´
Giai. 1) Dˆu tiˆn t´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1. Ta c´
a o
∂w ∂w
= yxy−1 , = xy lnx.
∂x ∂y
e´
Tiˆp theo ta c´
o
∂ 2w
= y(y − 1)xy−2 ,
∂x2
∂ 2w
= xy−1 + yxy−1 lnx = xy−1 (1 + ylnx),
∂y∂x
∂ 2w 1
= yxy−1 lnx + xy · = xy−1 (1 + ylnx),
∂x∂y x
∂ 2f
= xy (lnx)2 .
∂y 2

120. 118 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
2) Ta c´
o
∂w y ∂w x
= 2 , =− 2 ·
∂x x + y2 ∂y x + y2
T`. d´
u o
∂ 2w ∂ y 2xy
= =− 2 ,
∂x2 ∂x x2 +y 2 (x + y 2)2
∂ 2w ∂ −x 2xy
= = 2 ,
∂y 2 ∂y x 2 + y2 x + y2
∂ 2w ∂ y x2 − y 2
= = 2 ,
∂x∂y ∂y x2 + y 2 (x + y 2)2
∂ 2w ∂ x x2 − y 2
= − 2 = 2 ·
∂y∂x ∂x x + y2 (x + y 2)2
∂ 2w ∂ 2w
. ’ ˜
a ` o
Nhˆn x´t. Trong ca 1) lˆ n 2) ta dˆu c´
a e e = .
∂x∂y ∂y∂x
V´ du 6. T´ c´c dao h`m riˆng cˆp 1 cua h`m w = f (x + y 2 , y + x2 )
ı . ınh a . a e ´
a ’ a
. e ’ o a a e o a´ . .
tai diˆm M0 (−1, 1), trong d´ x v` y l` biˆn dˆc lˆp.
Giai. D˘t t = x + y 2 , v = y + x2 . Khi d´
’ a
. o
w = f (x + y 2 , y + x2 ) = f (t, v).
Nhu. vˆy w = f (t, v) l` h`m ho.p cua hai biˆn dˆc lˆp x v` y. N´ phu
a
. a a . ’ ´ . .
e o a a o .
. ´ . .
e o a o ´
thuˆc c´c biˆn dˆc lˆp thˆng qua hai biˆn trung gian t, v. Theo cˆng
o a e o
th´
u.c (9.2) ta c´:
o
∂w ∂f ∂t ∂f ∂v
= · + ·
∂x ∂t ∂x ∂v ∂x
= ft (x + y 2 , y + x2 ) · 1 + fv (x + y 2 , y + x2 ) · 2x
= ft + 2xfv .

121. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 119
∂w ∂f
(−1, 1) = (0, 2) = ft (0, 2) − 2fv (0, 2)
∂x ∂x
∂w ∂f ∂t ∂f ∂v
= · + · = ft (·)2y + fv (·)1
∂y ∂t ∂y ∂v ∂y
= 2yft + fv
∂w ∂f
(−1, 1) = (0, 2) = 2ft (0, 2) + fv (0, 2).
∂y ∂y
` ˆ
BAI TAP
.
ınh . a e ’ a a
T´ dao h`m riˆng cua c´c h`m sau dˆy
a
1. f (x, y) = x2 + y 3 + 3x2 y 3.
(DS. fx = 2x + 6xy 3 , fy = 3y 2 + 9x2y 2 )
x
2. f (x, y, z) = xyz + .
yz
1 x x
(DS. fx = yz + , fy = xz − 2 , fz = xy − 2 )
yz y z yz
3. f (x, y, z) = sin(xy + yz). (DS. fx = y cos(xy + yz),
fy = (x + z) cos(xy + yz), fz = y cos(xy + yz))
4. f (x, y) = tg(x + y)ex/y .
ex/y 1
(DS. fx = 2 (x + y)
+ tg(x + y)ex/y ,
cos y
x/y
e x
fy = + tg(x + y)ex/y − 2 .)
cos2(x + y) y
x |y| −xsigny
5. f = arc sin . (DS. fx = , fy = 2 )
x2 + y 2 x2 +y 2 x + y2
6. f (x, y) = xyln(xy). (DS. fx = yln(xy) + y, fy = xln(xy) + x)

122. 120 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
y z
7. f (x, y, z) = .
x
y z−1 y z y z
(DS. fx = z − =− ,
x x2 x x
z y z y z y
fy = , fz = ln )
y x x x
8. f (x, y, z) = z x/y .
1 −x x x/y−1
(DS. fx = xx/y lnz · , fy = z x/y lnz · 2
, fz = z )
y y y
z
9. f (x, y, z) = xy .
z −1 z z
(DS. fx = y z xy , fy = xy zy z−1 lnx, fz = xy ln(x)z lny)
10. f (x, y, z) = xy y z z x .
(DS. fx = xy−1 y z+1 z x + xy y z z x lnz, fy = xy lnxy z z x + xy y z−1 z x+1 ,
fz = xy y z lny · z x + xy+1 y z z x−1)
x+a
11. f (x, y) = ln sin √ .
y
1 x+a x+a x+a
(DS. fx = √ cotg √ , fy = − cotg √ )
y y y y
x
12. f (x, y) = − ex arctgy.
y
1 x ex
(DS. fx = − exarctgy, fy = − 2 − )
y y 1 + y2
13. f (x, y) = ln x + x2 + y 2 .
1 1 y
(DS. fx = , fy = · ).
x2 + y 2 x+ x2 + y 2 x2 + y 2
T` dao h`m riˆng cua h`m ho.p sau dˆy (gia thiˆt h`m f (x, y)
ım . a e ’ a . a ’ ´
e a
’
kha vi)
14. f (x, y) = f (x + y, x2 + y 2).
(DS. fx = ft + fv 2x, fy = ft + fv 2y, t = x + y, v = x2 + y 2 )
x y
15. f (x, y) = f , .
y x

123. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 121
1 y −x 1 x y
(DS. fx = ft − 2 fv , fy = 2 ft + fv , t = , v = )
y x y x y x
16. f (x, y) = f (x − y, xy).
(DS. fx = ft + yfv , fy = −ft + xfv , t = x − y, v = xy)
17. f (x, y) = f (x − y 2, y − x2 , xy).
(DS. fx = ft − 2xfv + yfw , fy = −2yft + fv + xfw ,
t = x − y 2, v = y − x2, w = xy)
√
18. f (x, y, z) = f ( x2 + y 2 , y 2 + z 2, z 2 + x2 ).
xft xfw yft yf
(DS. fx = +√ , fy = +√ v ,
x2 + y 2 z 2 + x2 x2 + y 2 x2 + z 2
zfv zf
fz = + √ w , t = x2 + y 2 ,
x 2 + y2 z 2 + x2
√
v= y 2 + z 2 , w = z 2 + x2 )
19. w = f (x, xy, xyz).
(DS. fx = ft + yfu + yzfv ,
fy = xfu + xzfv ,
fz = xyfv
t = x, u = xy, v = xyz).
Trong c´c b`i to´n sau dˆy h˜y ch´.ng to r˘ng h`m f (x, y) thoa
a a a a a u `
’ a a ’
m˜n phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng u.ng (f (x, y)-kha vi).
a ınh a ´ ’
∂f ∂f
20. f = f (x2 + y 2), y −x = 0.
∂x ∂y
y ∂f ∂f
21. f = xn f 2 , x + 2y = nf .
x ∂y ∂y
∂f ∂f
22. f = yf (x2 − y 2), y 2 + xy = xyf .
∂x ∂y
y2 ∂f ∂f
23. f = + f (x, y), x2 − xy + y 2 = 0.
3x ∂x ∂y

124. 122 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
y z ∂f ∂f ∂f
24. f = xn f ,
α xβ
,x + αy + βz = nf .
x ∂x ∂y ∂z
xy y z ∂f ∂f ∂f xy
25. f = lnx + xf , ,x +y +z =f + .
z x x ∂x ∂y ∂z z
∂ 2f ∂ 2 f ∂ 2f
26. T´ ınh , , ´
nˆu f = cos(xy)
e
∂x2 ∂x∂y ∂y 2
(DS. fxx = −y 2 cos xy, fxy = − sin xy − xy cos xy, fyy =
−x2 cos xy)
ınh a . a e ´
a ’ a
27. T´ c´c dao h`m riˆng cˆp hai cua h`m f = sin(x + yz).
(DS. fxx = − sin t, fxy = −z sin t, fxz = −y sin t, fyy = −z 2 sin t,
fyz = −yz sin t, fzz = −y 2 sin t, t = x + yz)
∂ 2f
28. T´
ınh nˆu f = x2 + y 2 ex+y .
´
e
∂x∂y
ex+y
(DS. 2 2 )3/2
− xy + (x + y)(x2 + y 2) + (x2 + y 2)2 )
(x + y
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
29. T´
ınh , , nˆu f = xyz .
´
e
∂x∂y ∂y∂z ∂x∂z
(DS. fxy = xyz−1 z(1 + yzlnx), fxz = xyz−1 y(1 + yzlnx),
fyz = lnx · xyz (1 + yzlnx))
∂ 2f x+y ∂ 2f
30. T´
ınh ´
nˆu f = arctg
e . (DS. = 0)
∂x∂y 1 − xy ∂x∂y
ınh ´
31. T´ fxx (0, 0), fxy (0, 0), fyy (0, 0) nˆu
e
f (x, y) = (1 + x)m (1 + y)n .
(DS. fxx(0, 0) = m(m − 1), fxy (0, 0) = mn, fyy (0, 0) = n(n − 1))
∂ 2r r 2 − x2
32. T´
ınh ´
nˆu r =
e x2 + y 2 + z 2 . (DS. )
∂x2 r3
x z
ınh ´
33. T´ fxy , fyz , fxz nˆu f =
e .
y
z−1 1 x z−1 x
(DS. fxy = −z 2y −2 xy −1 , fxz = 1 + zln ,
y y y

125. -.
9.1. Dao h`m riˆng
a e 123
1 x z x
fyz = − · 1 + zln )
y y y
∂ 2f ∂ 2f x−y
34. Ch´.ng minh r˘ng
u `
a = ´
nˆu f = arc sin
e .
∂x∂y ∂y∂x x
´
a ’ a a ’ ´
e `a ’
T´ c´c dao h`m cˆp hai cua c´c h`m (gia thiˆt hai lˆn kha vi)
ınh a . a
35. u = f (x + y, x2 + y 2 ).
(DS. uxx = ftt + 4xftv + 4x2 fvv + 2fv ,
uxy = ftt + 2(x + y)ftv + 4xyfvv ,
uyy = ftt + 4yftv + 4y 2fvv + 2fv ,
t = x + y, v = x2 + y 2.)
x
36. u = f xy, .
y
1
(DS. uxx = y 2 ftt + 2ftv + f ,
y 2 vv
x 1
uxy = xyftt − f + ft − 2 fv ,
3 vv
y y
2 2
x x 2x
uyy = x2 ftt − 2 2 ftv + 4 fvv + 3 fv ,
y y y
x
t = xy, v = )
y
37. u = f (sin x + cos y).
(DS. uxx = cos2 x · f − sin x · f , uxy = − sin y cos x · f ,
uyy = sin2 y · f − cos y · f )
38. Ch´.ng minh r˘ng h`m
u `
a a
1 (x−x0 )2
f= √ e− 4a2 t
2a πt
(trong d´ a, x0 l` c´c sˆ) thoa m˜n phu.o.ng tr` truyˆn nhiˆt
o a a o ´ ’ a ınh `
e e
.
∂f ∂ 2f
= a2 2 ·
∂t ∂x

126. 124 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
1
39. Ch´.ng minh r˘ng h`m f = trong d´
u `
a a o
r
r= (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0 )2
thoa m˜n phu.o.ng tr` Laplace:
’ a ınh
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
∆f ≡ + + 2 = 0, r = 0.
∂x2 ∂y 2 ∂z
Trong c´c b`i to´n 40 - 44 ch´.ng minh r˘ng c´c h`m d˜ cho thoa
a a a u `
a a a a ’
m˜n phu.o.ng tr` tu.o.ng u.ng (gia thiˆt f v` g l` nh˜.ng h`m hai lˆn
a ınh ´ ’ ´
e a a u a `
a
’
kha vi)
∂ 2u ∂ 2u
40. u = f (x − at) + g(x + at), = a2 2
∂t2 ∂x
2
∂ u ∂ 2u ∂ 2u
41. u = xf (x + y) + yg(x + y), −2 + 2 = 0.
∂x2 ∂x∂y ∂y
y y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
42. u = f + xg , x2 2 + 2xy + y 2 2 = 0.
x x ∂x ∂x∂y ∂y
y y
43. u = xn f + x1−n g ,
x x
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
x2 + 2xy + y 2 2 = n(n − 1)u.
∂x2 ∂x∂y ∂y
∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u
44. u = f (x + g(y)), · = · ·
∂x ∂x∂y ∂y ∂x2
45. T` dao h`m theo hu.´.ng ϕ = 135◦ cua h`m sˆ
ım . a o ’ a ´
o √
2
4 3 ’
f (x, y) = 3x + xy + y tai diˆm M(1, 2).
. e (DS. − )
2
ım . a ’ a . ’
46. T` dao h`m cua h`m f (x, y) = x3 − 3x2y + 3xy 2 + 1 tai diˆm
e
.´.ng t`. diˆm n`y dˆn diˆm (6, 5). (DS. 0)
M(3, 1) theo hu o u e ’ a e ´ ’
e
a ’ a . ’
47. T` dao h`m cua h`m f (x, y) = ln x2 + y 2 tai diˆm M(1, 1)
ım . e
√
2
theo hu.´.ng phˆn gi´c cua g´c phˆn tu. th´. nhˆt. (DS.
o a a ’ o `
a u ´
a )
2

127. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 125
48. T` dao h`m cua h`m f (x, y, z) = z 2 − 3xy + 5 tai diˆm
ım . a ’ a . ’
e
M(1, 2,√ theo hu o
−1) .´.ng lˆp v´.i c´c truc toa dˆ nh˜.ng g´c b˘ng nhau.
a o a `
. . . o u . o a
3
(DS. − )
3
49. T` dao h`m cua h`m f (x, y, z) = ln(ex + ey + ez ) tai gˆc toa dˆ
ım . a ’ a ´
. o . o .
a .´.ng lˆp v´.i c´c truc toa dˆ x, y, z c´c g´c tu.o.ng u.ng l` α, β, γ.
v` hu o a o a
. . . o . a o ´ a
cos α + cos β + cos γ
(DS. )
3
ınh . a ’ a . e ’
50. T´ dao h`m cua h`m f (x, y) = 2x2 − 3y 2 tai diˆm M(1, 0) theo
hu.´.ng lˆp v´.i truc ho`nh g´c b˘ng 120◦ . (DS. −2)
o a o
. . a o a `
51. T` dao h`m cua h`m z = x2 − y 2 tai diˆm M0 (1, 1) theo hu.´.ng
ım . a ’ a . e ’ o
√
vecto. e lˆp v´.i hu.´.ng du.o.ng truc ho`nh g´c α = 60 . (DS. 1 − 3)
a o
. o . a o ◦
ım . a ’ a . e’
52. T` dao h`m cua h`m z = ln(x2 + y 2) tai diˆm M0 (3, 4) theo
2
hu.´.ng gradien cua h`m d´. (DS. )
o ’ a o
5
53. T` gi´ tri v` hu o
ım a . a .´.ng cua vecto. gradien cua h`m
’ ’ a
w = tgx − x + 3 sin y − sin3 y + z + cotgz
π π π
. e ’
tai diˆm M0 , , .
4 3 2
3 8 3
(DS. (gradw)M = i + j, cos α = √ , cos β = √ )
8 73 73
z
ım . a ’ a
54. T` dao h`m cua h`m w = arc sin ’
tai diˆm M0 (1, 1, 1)
. e
x2 + y 2
−→ 1
theo hu.´.ng vecto. M0 M, trong d´ M = (3, 2, 3). (DS. )
o o
6
9.2 ’ ` ´
Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
a a e e
. a e a ’ a `e e´ a e’
Trong muc n`y ta x´t vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn m` dˆ cho gon ta.
’ ` ´
e a ’
chı cˆn tr`nh b`y cho h`m hai biˆn l` du. Tru o
a ı a a .`.ng ho.p sˆ biˆn l´.n
´ ´
o e o
.
ho.n hai du.o.c tr` b`y ho`n to`n tu.o.ng tu..
ınh a a a
. .

128. 126 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
9.2.1 ´
Vi phˆn cˆp 1
a a
Gia su. h`m w = f (x, y) kha vi tai diˆm M(x, y), t´.c l` tai d´ sˆ gia
’ ’ a ’ . e ’ u a . o o ´
to`n phˆn cua h`m c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang
a `
a ’ a o e e ’ ’ ˜
e o .
∆f (M) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
= D1 ∆x + D2 ∆y + o(ρ) (9.5)
trong d´ ρ = ∆x2 + ∆y 2, D1 v` D2 khˆng phu thuˆc v`o ∆x v`
o a o . o a
. a
’ .c (goi l` phˆn ch´ tuyˆn t´nh dˆi v´.i ∆x v` ∆y
´
∆y. Khi d´ biˆu th´
o e u . a ` a ınh e ı ´
o o a
’ o´
cua sˆ gia ∆f )
D1 ∆x + D2 ∆y
du.o.c goi l` vi phˆn (hay vi phˆn to`n phˆn ≡ hay vi phˆn th´. nhˆt)
. . a a a a `
a a u ´
a
cua h`m w = f (x, y) v` du.o.c k´ hiˆu l` df :
’ a a . y e a .
df = D1 ∆x + D2 ∆y.
∂f
a ı ’
V` ∆x = dx, ∆y = dy v` v` f (x, y) kha vi tai M nˆn D1 =
ı . e ,
∂y
∂f
D2 = v`
a
∂y
∂f ∂f
df = dx + dy (9.6)
∂x ∂y
Nhu. vˆy, nˆu w = f (x, y) kha vi tai M(x, y) th` t`. (9.5) v` (9.6)
a
. ´
e ’ . ı u a
ta c´
o
∆f (M) = df (M) + o(ρ) hay ∆f (M) = df (M) + ε(ρ)ρ (9.7)
trong d´ ε(ρ) → 0 khi ρ → 0.
o
9.2.2 ´ ’
e ınh `
Ap dung vi phˆn dˆ t´ gˆn d´ ng
. a a u
Dˆi v´.i ∆x v` ∆y du b´ ta c´ thˆ thay xˆp xı sˆ gia ∆f (M) bo.i vi
´
o o a ’ e o e ’ ´
a ’ o ´ ’
phˆn df (M), t´.c l`
a u a
∆f (M) ≈ df (M)

129. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 127
hay l`
a
∂f ∂f
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + (M)∆x + (M)∆y (9.8)
∂x ∂y
Cˆng th´.c (9.8) l` co. so. dˆ ´p dung vi phˆn t´nh gˆn d´ng. Dˆi
o u a ’ ea’ . a ı `
a u ´
o
v´.i h`m c´ sˆ biˆn nhiˆu ho.n 2 ta c˜ng c´ cˆng th´.c tu.o.ng tu..
o a ´ ´
o o e `
e u o o u .
9.2.3 ´
a ınh a ’
C´c t´ chˆt cua vi phˆn
a
Dˆi v´.i c´c h`m kha vi f v` g ta c´:
´
o o a a ’ a o
(i) d(f ± g) = df ± dg;
(ii) d(fg) = fdg + gdf , d(αf ) = αdf, α ∈ R;
f gdf − f dg
(iii) d = , g = 0;
g g2
´ ’ a ´ ´ e
´ e ` . ´
(iv) Vi phˆn cˆp 1 cua h`m hai biˆn f (x, y) bˆt biˆn vˆ dang bˆt
a a e a a
. ´ . .
a a e o a a a ’ a ´ . .
luˆn x v` y l` biˆn dˆc lˆp hay l` h`m cua c´c biˆn dˆc lˆp kh´c.
a e o a a
9.2.4 ´
Vi phˆn cˆp cao
a a
Gia su. h`m w = f (x, y) kha vi trong miˆn D. Khi d´ vi phˆn cˆp 1
’ ’ a ’ `
e o a a ´
cua n´ tai diˆm (x, y) ∈ D tu.o.ng u.ng v´.i c´c sˆ gia dx v` dy cua c´c
’ o . e ’ ´ o a o ´ a ’ a
´ . . .o.c biˆu diˆn bo.i cˆng th´.c
biˆn dˆc lˆp du .
e o a ’
e ˜
e ’ o u
∂f ∂f
df = dx + dy. (9.9)
∂x ∂y
’. a
O dˆy, dx = ∆x, dy = ∆y l` nh˜.ng sˆ gia t`y y cua biˆn dˆc lˆp, d´
a u ´
o u ´ ’ ´ . .
e o a o
l` nh˜
a u .ng sˆ khˆng phu thuˆc v`o x v` y. Nhu. vˆy, khi cˆ dinh dx v`
´
o o o a a a ´
o . a
. . .
a a a ’
dy vi phˆn df l` h`m cua x v` y. a
Theo dinh ngh˜ Vi phˆn th´. hai d2 f (hay vi phˆn cˆp 2) cua
. ıa: a u a a ´ ’
a ’
h`m f (x, y) tai diˆm M(x, y) du . .
e .o.c dinh ngh˜a nhu. l` vi phˆn cua vi
ı a a ’
.
phˆn th´
a . nhˆt tai diˆm M v´.i c´c diˆu kiˆn sau dˆy:
´
u a . e ’ o a ` e e a
.
a a a ’ ’ a ´ . .
(1) Vi phˆn df l` h`m chı cua c´c biˆn dˆc lˆp x v` y.
e o a a

130. 128 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
´ ’ a ´ . .
e o a a ´ e
(2) Sˆ gia cua c´c biˆn dˆc lˆp x v` y xuˆt hiˆn khi t´nh vi phˆn
o a . ı a
’ .o.c xem l` b˘ng sˆ gia dˆu tiˆn, t´.c l` b˘ng dx v` dy.
cua fx v` fy du .
a a `a ´
o `
a e u a ` a a
T`. d´
u o
∂ 2 f (M) 2 ∂ 2f ∂ 2f
d2 f (M) = dx + 2 (M)dxdy + 2 (M)dy 2 (9.10)
∂x2 ∂x∂y ∂y
a a . a e ˜
trong d´ dx2 = (dx)2, dy 2 = (dy)2 v` ta xem c´c dao h`m riˆng hˆ n
o o
ho.p b˘ng nhau.
. `
a
Mˆt c´ch h` th´.c d˘ng th´.c (9.10) c´ thˆ viˆt du.´.i dang
o a
. ınh u a ’ u ’ ´
o e e o .
∂ ∂ 2
d2 f = dx + dy f (x, y)
∂x ∂y
t´.c l` sau khi thu.c hiˆn ph´p “b`nh phu.o.ng” ta cˆn diˆn f (x, y) v`o
u a . e
. e ı `
a `
e a
´
“ˆ trˆng”.
o o
Tu.o.ng tu.
.
∂ ∂ 3
d3 f = dx + dy f (x, y)
∂x ∂y
3
∂ f 3 ∂ 3f ∂ 3f ∂ 3f
= dx + 3 2 dx2 dy + 3 dxdy 2 + 3 dy 3 ,
∂x3 ∂x ∂y ∂x∂y 2 ∂y
v.v... Mˆt c´ch quy nap ta c´
o a
. . o
n
n k ∂ nf
d f (x, y) = Cn dxn−k dy k . (9.11)
k=0
∂xn−k ∂y k
Trong tru.`.ng ho.p nˆu
o . ´
e
w = f (t, v), t = ϕ(x, y), v = ψ(x, y)
th`
ı
∂f ∂f
dw = dt + ´ e
´ e ` .
dx (t´ bˆt biˆn vˆ dang !)
ınh a
∂t ∂v
∂ 2f 2 ∂ 2f ∂ 2f ∂f 2 ∂f 2
d2 w = 2
dt + 2 dtdy + 2 dv 2 + d t+ d v. (9.12)
∂t ∂t∂v ∂v ∂t ∂v

131. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 129
9.2.5 Cˆng th´.c Taylor
o u
´ a
e a `a ’
Nˆu h`m f (x, y) l` n + 1 lˆn kha vi trong ε-lˆn cˆn V cua diˆm
a a . ’ ’
e
´ .i diˆm bˆt k` M(x, y) ∈ V ta c´ cˆng th´.c Taylor
M0(x0 , y0) th` dˆi v´ e
ı o o ’ ´
a y o o u
1
f (x, y) = f (x0 , y0) + f (x0, y0)(x − x0) + fy (x0 , y0)(y − y0 )
1! x
1
+ f (x0, y0)(x − x0)2 + 2fxy (x0 , y0)(x − x0 )(y − y0 )
2! xx
+ fyy (x0 , y0)(y − y0)
m
1 i ∂ n f (x0 , y0)
+ ··· + Cn (x − x0 )n−i (y − y0 )i
n! i=0
∂xn−i ∂y i
n
1 ∂ n+1 f (ξ, η)
+ (x − x0)n−i (y − y0), (9.13)
(n + 1)! i=0
∂xn−i ∂y i
trong d´ ξ = x0 + θ(x − x0 ), η = y0 + θ(y − y0 ), 0 < θ < 1.
o
hay l`
a
1 1
f (x, y) = f (x0 , y0) + df (x0 , y0) + d2 f (x0 , y0) + . . .
1! 2!
1 n
+ d f (x0, y0 ) + Rn+1 ,
n!
= Pn (x, y) + Rn+1 (9.14)
trong d´ Pn (x, y) goi l` da th´.c Taylor bˆc n cua hai biˆn x v` y,
o . a u a
. ’ ´
e a
´
Rn+1 l` sˆ hang du
a o . .. Nˆu d˘t
´ .
e a
ρ= ∆x2 + ∆y 2
th` (9.14) c´ thˆ viˆt du.´.i dang
ı ’ ´
o e e o .
f (x, y) = Pn (x, y) + 0(ρ), ρ → 0,
o. dˆy Rn+1 = o(ρ) l` phˆn du. dang Peano.
’ a a ` a .

132. 130 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
9.2.6 ’ ’
Vi phˆn cua h`m ˆn
a a a
Theo dinh ngh˜ biˆn w du.o.c goi l` h`m ˆn cua c´c biˆn dˆc lˆp
. ıa: e ´ . . a a a ’ ’ a ´ . .
e o a
x, y, ..., t nˆu n´ du.o.c cho bo.i phu.o.ng tr`
´
e o . ’ ınh
F (x, y, . . . , w) = 0
khˆng giai du.o.c dˆi v´.i w.
o ’ . o o´
Dˆ t´nh vi phˆn cua h`m ˆn w ta lˆy vi phˆn ca hai vˆ cua phu.o.ng
’
e ı a ’ a a ’ ´
a a ’ ´
e ’
tr` (xem nhu. dˆng nhˆt th´.c) rˆi t`. d´ t`m dw. Dˆ t´nh d2 w ta cˆn
ınh `o a´ u ` u o ı
o ’
e ı `a
lˆy vi phˆn cua dw v´.i lu.u y r˘ng dx v` dy l` h˘ng sˆ, c`n dw l` vi
´
a a ’ o ´ `a a a a ` ´
o o a
a ’ a
phˆn cua h`m.
Ta c˜ng c´ thˆ thu du.o.c vi phˆn dw b˘ng c´ch t´ c´c dao h`m
u o e ’ . a `
a a ınh a . a
riˆng:
e
Fx(·) Fy (·)
wx = − , wy = − ,...
Fw (·) Fw (·)
rˆi thˆ v`o biˆu th´.c
`
o ´
e a ’
e u
∂w ∂w ∂w
dw = dx + dy + · · · + dt, v.v...
∂x ∂y ∂t
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. T´ vi phˆn df nˆu
ı . ınh a ´
e
1) f (x, y) = xy 2, 2) f (x, y) = x2 + y 2 .
’
Giai. 1) Ta c´ o
fx = xy 2 x
= y 2, fy = xy 2)y = 2xy.
o
Do d´
df (x, y) = y 2dx + 2xydy.
2) Ta t´nh c´c dao h`m riˆng:
ı a . a e
x y
fx = , fy = ·
x2 + y 2 x2 + y 2

133. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 131
Do d´
o
x y xdx + ydy
df = dx + dy = ·
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
2 2 2
V´ du 2. T´ df (M0 ) nˆu f (x, y, z) = ex +y +z v` M0 = M0 (0, 1, 2).
ı . ınh ´
e a
’
Giai. Ta c´
o
∂f ∂f ∂f
df (M) = (M)dx + (M)dy + (M)dz, M = M(x, y, z).
∂x ∂y ∂z
Ta t´ c´c dao h`m riˆng
ınh a . a e
∂f 2 2 2 ∂f
= 2xex +y +z ⇒ (M0 ) = 0, (v` x = 0)
ı
∂x ∂x
∂f 2 2 2 ∂f
= 2yex +y +z ⇒ (M0) = 2e5 ,
∂y ∂y
∂f 2 2 2 ∂f
= 2zex +y +z ⇒ (M0 ) = 4e5 .
∂z ∂z
T`. d´
u o
df (M0 ) = 2e5 dy + 4e5dz.
ı . ınh . e ’ ´
V´ du 3. T´ dw tai diˆm M0 (−1, 1) nˆu
e
w = f (x + y 2 , y + x2 ).
’ a ınh a . a e ’ a
Giai. C´ch 1. T´ c´c dao h`m riˆng cua h`m f (x, y) theo x v`a
` a
theo y rˆi ´p dung cˆng th´
o o u.c (9.9). T`. v´ du 4, muc 9.1 ta c´
u ı . o
. .
∂f
(M0 ) = ft (0, 2) − 2fv (0, 2)
∂x
∂f
(M0 ) = 2ft (0, 2) + fv (0, 2)
∂y
t = x + y 2 , v = y + x2
v` do d´
a o
df (M0 ) = ft (0, 2) − 2fv (0, 2) dx + 2 2ft (0, 2) + fv (0, 2) dy.

134. 132 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
´ ´ e
´ e ` . ’ ´
C´ch 2. Ap dung t´nh bˆt biˆn vˆ dang cua vi phˆn cˆp 1.
a . ı a a a
Ta c´
o
t = x + y 2 ⇒ dt = dx + 2ydy,
v = y + x2 ⇒ dv = 2xdx + dy.
Do d´
o
∂f ∂f
df (M0 ) = (0, 2)dt + (0, 2)dv
∂t ∂v
= ft (0, 2)[dx + 2ydy] + fv (0, 2)[2xdx + dy]
= ft (0, 2) − 2fv (0, 2) dx + 2ft (0, 2) + fv (0, 2) dy.
V´ du 4. 1) Cho h`m f (x, y) = xy . H˜y t`m vi phˆn cˆp hai cua f
ı . a a ı ´
a a ’
´ ´ . .
nˆu x v` y l` biˆn dˆc lˆp.
e a a e o a
ım a a ´ ’ a ´
e a a e ´
2) T` vi phˆn cˆp hai cua h`m f (x + y, xy) nˆu x v` y l` biˆn
dˆc lˆp.
o a
. .
Giai. 1) T`. v´ du 2, 1) v` cˆng th´.c (9.10) ta c´
’ u ı . a o u o
∂ 2f 2 ∂ 2f ∂ 2f
d2 f = dx + 2 dxdy + 2 dy 2,
∂x2 ∂x∂y ∂y
o
trong d´
∂ 2f
= y(y − 1)xy−2 ,
∂x2
∂ 2f
2
= xy (lnx)2,
∂y
∂ 2f
= xy−1 (1 + ylnx)
∂x∂y
v` do d´
a o
d2 f = y(y − 1)xy−2 dx2 + xy−1 (1 + ylnx)dxdy + xy (lnx)2dy 2 .
2) Ta viˆt h`m d˜ cho du.´.i dang u = f (t, v), trong d´ t = x + y,
´
e a a o . o
v = xy.

135. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 133
1+ C´ch I. T´ c´c dao h`m riˆng rˆi ´p dung (9.10). Ta c´:
a ınh a . a e ` a
o . o
∂f
= ft (x + y, xy) + fv (x + y, xy) · y,
∂x
∂f
= ft (x + y, xy) + fv (x + y, xy) · x,
∂y
∂ 2f
= ftt + ftv y + ftv y + fvv y 2
∂x2
= ftt + 2yftv + y 2fvv ,
∂ 2f
= ftt + ftv x + ftv y + fvv xy + fv
∂x∂y
= ftt + (x + y)ftv + xyfvv + fv ,
∂ 2f
= ftt + ftv x + ftv x + fvv x2
∂y 2
= ftt + 2xftv + x2fvv .
Thˆ c´c dao h`m riˆng t` du.o.c v`o (9.10) ta thu du.o.c
´
e a . a e ım . a .
d2 f = (ftt + 2yftv + y 2fvv )dx2 + 2(ftt + (x + y)ftv + xyfvv + fv )dxdy
+ (ftt + 2xftv + x2 fvv )dy 2.
2+ C´ch II. Ta c´ thˆ thu du.o.c kˆt qua n`y nˆu lu.u y r˘ng v´.i
a o e ’ . ´
e ’ a e ´ ´ a` o
t = x + y ⇒ dt = dx + dy v` v = xy → dv = xdy + ydx v` t`. d´
a a u o
d2 t = d(dx + dy) = d2 x + d2 y = 0
ı a a e o a´ . .
(v` x v` y l` biˆn dˆc lˆp) v`
a
d2 v = d(xdy + ydx) = dxdy + dxdy = 2dxdy.
´
Ap dung (9.12) ta c´
. o
∂ 2f ∂ 2f
d2 f = 2 (dx + dy)2 + 2 (dx + dy)(xdy + ydx)
∂t ∂t∂v
∂ 2f ∂f ∂f
+ 2 (xdy + ydx)2 + ·0+ (2dxdy)
∂v ∂t ∂v
= ftt + 2yftv + y 2fvv dx2 + ftt + 2xftv + x2fvv dy 2
+ 2 ftt + (x + y)ftv + xyfvv + fv dxdy.

136. 134 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
´ . ’
a e ı ` u
V´ du 5. Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng c´c gi´ tri:
ı . a a a .
2,03
1) a = (1, 04)
1, 97
2) b = arctg −1
1, 02
3) c = (1, 04)1,99 + ln(1, 02)
sin 1, 49 · arctg0, 07
4) d = .
22,95
Giai. Dˆ ´p dung vi phˆn v`o t´ gˆn d´ng ta cˆn thu.c hiˆn c´c
’ ’
ea . a a ınh ` u a `
a . e a
.
.´.c sau dˆy:
bu o a
Th´ u . nhˆt l` chı r˜ biˆu th´.c giai t´ dˆi v´.i h`m m` gi´ tri gˆn
´
a a ’ o e ’ u ´
’ ıch o o a a a . ` a
’ o `
d´ng cua n´ cˆn phai t´
u a ’ ınh.
Th´. hai l` chon diˆm dˆu M0 sao cho gi´ tri cua h`m v` cua c´c
u a . ’
e ` a a . ’ a a ’ a
. e ’ o . ’ ´
e a o e ı ’
dao h`m riˆng cua n´ tai diˆm ˆy c´ thˆ t´nh m` khˆng cˆn d`ng
a a o `
a u
’
bang.
Cuˆi c`ng ta ´p dung cˆng th´.c
´
o u a . o u
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0 ) + fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y.
1) T´ a = (1, 04)2,03 . Ta x´t h`m f (x, y) = xy . Sˆ a cˆn t´ l`
ınh e a o ` ınh a
´ a
a . ’ a
gi´ tri cua h`m khi x = 1, 04 v` y = 2, 03.
a
´
Ta lˆy M0 = M0 (1, 2). Khi d´ ∆x = 0, 04, ∆y = 0, 03.
a o
e´
Tiˆp theo ta c´
o
∂f ∂f
= yxy−1 ⇒ =2
∂x ∂x M0
∂f ∂f
= xy lnx ⇒ = 1 · ln1 = 0.
∂y ∂y M0
Bˆy gi`. ´p dung cˆng th´.c v`.a nˆu o. trˆn ta c´:
a o a . o u u e ’ e o
a = f (1, 04; 2, 03) = (1, 04)2,03 ≈ f (1, 2) + 2 · 0, 04 = 1 + 0, 08 = 1, 08.
1, 97
a e `
2) Ta nhˆn x´t r˘ng arctg
. a a a . ’ a
− 1 l` gi´ tri cua h`m
1, 02
x
f (x, y) = arctg −1
y

137. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 135
’
tai diˆm M(1, 97; 1, 02).
. e
Ta chon M0 = M0 (2, 1) v` c´
. a o
∆x = 1, 97 − 2 = −0, 03,
∆y = 1, 02 − 1 = 0, 02.
´ ´
Tiˆp dˆn ta c´
e e o
1
∂f y y
= 2 = 2
∂x x y + (x − y)2
1+ −1
y
∂f x
=− 2 ·
∂y y + (x − y)2
T`. d´
u o
∂f 1
(M0) = fx (2, 1) = 2 = 0, 5
∂x 1 + (2 − 1)2
∂f
(M0) = fy (2, 1) = −1.
∂y
o
Do d´
1, 97 2
arctg − 1 = arctg − 1 + (0, 5) · (−0, 03) + 1 · (0, 02)
1, 02 1
π
= − 0, 015 − 0, 02 = 0, 785 − 0, 035
4
= 0, 75.
a `
´ a a a . ’ a
3) Ta thˆy r˘ng c = (1, 04)1,99 + ln(1, 02) l` gi´ tri cua h`m
√
’
u = f (x, y, z) = xy + lnz tai diˆm M(1, 04; 1, 99; 1, 02).
. e
Ta chon M0 = M0 (1, 2, 1). Khi d´
. o
∆x = 1, 04 − 1 = 0, 04
∆y = 1, 99 − 2 = −0, 01
∆z = 1, 02 − 1 = 0, 02.

138. 136 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
Bˆy gi`. ta t´ gi´ tri c´c dao h`m riˆng tai diˆm M0 . Ta c´
a o ınh a . a . a e . e ’ o
∂f yxy−1 ∂f 2·1
= √ ⇒ (M0 ) = √ = 1,
∂x 2 x y + lnz ∂x 2 1 + ln1
∂f xy lnx ∂f
= √ ⇒ (M0 ) = 0,
∂y 2 x y + lnz ∂y
∂f 1 ∂f 1
= √ ⇒ (M0 ) = ·
∂z 2z xy + lnz ∂z 2
T`. d´ suy ra
u o
√
(1, 04)1,99 + ln(1, 02) ≈ 1 + ln1 + 1 · (0, 04) + 0 · (−0, 01)
+ (1/2) · 0, 02 = 1, 05.
a a a . ’ a . e ’
4) Ta thˆy d l` gi´ tri cua h`m f (x, y, z) = 2x sin y arctgx tai diˆm
´
M(−2, 95; 1, 49; 0, 07)
π
´
Ta lˆy M0 = M0 − 3, , 0 . Khi d´
a o
2
∆x = −2, 95 − (−3) = 0, 05
∆y = 1, 49 − 1, 57 = −0, 08
∆z = 0, 07.
´
Tiˆp theo ta c´
e o
f (M0 ) = 2−3 sin(π/2) arctg0 = 0,
fx (M0 ) = 2x ln2 · sin y arctgz M0
= 0,
fy (M0 ) = 2x cos y arctgz M = 0,
0
2x sin y
fz (M0 ) = = 2−3 .
1 + z 2 M0
T`. d´ ta thu du.o.c
u o .
sin 1, 49 arctg0, 07
≈ 2−3 · 0, 07 ≈ 0, 01.
22,95
V´ du 6. Khai triˆn h`m f (x, y) = xy theo cˆng th´.c Taylor tai lˆn
ı . ’
e a o u . a
cˆn diˆm (1, 1) v´.i n = 3.
a
. e’ o

139. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 137
Giai. Trong tru.`.ng ho.p n`y cˆng th´.c Taylor c´ dang sau dˆy
’ o . a o u o . a
df (1, 1) d2 f (1, 1) d2 f (1, 1)
f (x, y) = f (1, 1) + + + + R3 . (*)
1! 2! 3!
1+ T´ moi dao h`m riˆng cua h`m cho dˆn xˆp 3. Ta c´
ınh . . a e ’ a ´ ´
e a o
fx = yxy−1 , fy = xy lnx, fx2 = y(y − 1)xy−2 ,
fxy = xy−1 + yxy−1 lnx, fy2 = xy (lnx)2,
(3) (3)
fx3 = y(y − 1)(y − 2)xy−3 , fx2 y = (2y − 1)xy−2 + y(y − 1)xy−2 lnx,
(3) (3)
fxy2 = 2xy−1 lnx + yxy−1 (lnx)2, fy3 = xy (lnx)3.
ınh a . ’ a . a e . e ’
2+ T´ gi´ tri cua c´c dao h`m riˆng tai diˆm (1, 1). Ta c´
o
f (1, 1) = 1, fx (1, 1) = 1, fy (1, 1) = 0, fx2 (1, 1) = 0,
(3) (3)
fxy (1, 1) = 1, fy2 (1, 1) = 0, fx3 (1, 1) = 0, fx2 y (1, 1) = 1,
(3) (3)
fxy2 (1, 1) = 0, fy3 (1, 1) = 0.
3+ Thˆ v`o cˆng th´.c (*) ta c´
´
e a o u o
df (1, 1) = fx (1, 1)∆x + fy (1, 1)∆y = ∆x,
d2 f (1, 1) = fx2 (1, 1)∆x2 + 2fxy (1, 1)∆x∆y + fy2 (1, 1)∆y 2 = 2∆x∆y,
d3 f (1, 1) = 3∆x2∆y
v` do d´
a o
1
xy = 1 + ∆x + ∆x∆y + ∆x2∆y + R3.
2
V´ du 7. T´ vi phˆn cua h`m ˆn w(x, y) du.o.c cho bo.i phu.o.ng
ı . ınh a ’ a a’ . ’
tr`
ınh
w3 + 3x2 y + xw + y 2w2 + y − 2x = 0.
Giai. Ta xem phu.o.ng tr` d˜ cho nhu. mˆt dˆng nhˆt v` lˆy vi
’ ınh a o `
. o ´
a a a ´
´
a ’ e a a e ’ ´
phˆn cua vˆ tr´i v` vˆ phai:
3w2 dw + 6xydx + 3x2 dy + wdx + xdw + 2y · w2 dy
+ 2y 2 wdw − 2dx + dy = 0

140. 138 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
v` t`. d´ r´t ra dw. Ta c´
a u o u o
(6xy + w − 2)dx + (3x2 + 2yw2 + 1)dy + (3w2 + x + 2y 2w)dw = 0
v` do d´
a o
2 − 6xy − w 3x2 + 2yw2 + 1
dw = dx − dy.
3w2 + x + 2y 2w 3w2 + x + 2y 2w
V´ du 8. T´ dw v` d2 w cua h`m ˆn w(x, y) du.o.c cho bo.i phu.o.ng
ı . ınh a ’ a a ’ . ’
tr`
ınh
x2 y 2 w 2
+ + = 1.
2 6 8
Giai. Dˆu tiˆn t`m dw. Tu.o.ng tu. nhu. trong v´ du 7 ta c´
’ `
a e ı . ı . o
ydy wdw 4x 4y
xdx + + = 0 ⇒ dw = − dx − dy. (*)
3 4 w 3w
Lai lˆy vi phˆn to`n phˆn d˘ng th´.c thu du.o.c v´.i lu.u y l` dx, dy l`
. a ´ a a `
a a ’ u . o ´ a a
` ´ a ’ a
h˘ng sˆ; dw l` vi phˆn cua h`m.
a o a
Ta c´ o
wdx − xdw 4 wdy − ydw
d2 w = −4 2
dx − · dy
w 3 w2
hay l`
a
1 2 x2 1 y
d2 w = 4 dx − 2 dxdw + dy 2 − dydw (**)
w w 3w 3w2
Dˆ c´ biˆu th´.c d2 w qua x, y, w, dx v` dy ta cˆn thˆ dw t`. (*) v`o
’
e o e ’ u a `
a ´
e u a
(**).
V´ du 9. C´c h`m ˆn u(x, y) v` v(x, y) du.o.c x´c dinh bo.i hˆ
ı . a a a ’ a . a . ’ e .
xy + uv = 1,
xv − yu = 3.

141. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 139
T´ du(1, −1), d2 u(1, −1); dv(1, −1), d2 v(1, −1) nˆu u(1, −1) = 1,
ınh ´
e
v(1, −1) = 2.
’ ´
a a e a
. `
Giai. Lˆy vi phˆn hˆ d˜ cho hai lˆn ta c´
a o
ydx + xdy + udv + vdu = 0,
(I)
xdv + vdx − ydu − udy = 0.
2dxdy + 2dudv + ud2 v + vd2 u = 0,
(II)
2dxdv − 2dudv + xd2v − yd2u = 0.
´
Thˆ v`o (I) gi´ tri x = 1, y = −1, u = 1, v = 2 ta c´
e a a . o
−dx + dy + dv + 2du = 0 du = 3dx − 2dy
⇒ (III)
2dx − dy + dv + du = 0 dv = −5dx + 3dy
T`. (III) ta c˜ng thu du.o.c ux = 3, uv = −2; vx = −5, vy = 3.
u u .
Thay v`o (II) c´c gi´ tri x = 1, y = −1, u = 1, v = 2 v` du, dv t`.
a a a . a u
(III) ta c´:
o
d2 v + 2d2 u = −2dxdy − 2(3dx − 2dy)(3dy − 5dx)
d2 v + d2 u = 2dy(3dx − 2dy) − 2dx(3dy − 5dx)
v` do d´
a o
d2 u = 4(5dx2 − 10dxdy + 4dy 2 ),
d2 v = 10(−dx2 + 4dxdy − 2dy 2 ).
` ˆ
BAI TAP
.
ınh a ’ a a
T´ vi phˆn dw cua c´c h`m sau
1. w = x2y − y 2x + 3. (DS. dw = (2xy − y 2)dx + (x2 − 2xy)dy)
2. w = (x2 + y 2)3 . (DS. 6(x2 + y 2)2 (xdx + ydy))
3. w = x − 3 sin y. (DS. dw = dx − 3 cos ydy)

142. 140 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
2xdx dy
4. w = ln(x2 + y). (DS. 2+y
+ 2 )
x x +y
y x y yy xx y x−1
5. w = . ln −
(DS. dx + dy)
x x xx x
y 2ydx 2dy
6. w = ln tg . (DS. − + ).
x 2y 2y
x2 sin x sin
x x
ınh ’ a a . e ’
T´ dw(M0 ) cua c´c h`m tai diˆm M0 d˜ cho (7-14)
a
y
7. w = e− x , M0 (1, 0). (DS. dw(1, 0) = −dy)
√ 1
8. w = y 3 x, M0 (1, 1). (DS. dw(1, 1) = dx + dy)
3
yz
9. f (x, y) = , M0 (1, 2, 3). (DS. df M0
= −6dx + 3dy + 2dz)
x
π π
10. f (x, y, z) = cos(xy + xz), M0 1, , .
6 6
√
3 π
(DS. df M = − dx + dy + dz )
0 2 3
11. f (x, y) = exy , M0 (0, 0). (DS. df M0
= 0)
12. f (x, y) = xy , M0 (2, 3). (DS. df M0
= 12dx + 8ln2dy)
13. f (x, y) = xln(xy), M0 (1, 1). (DS. df M0
= dx + dy)
x 1
14. f (x, y) = arctg , M) (1, 2). (DS. df M0 = (2dx − dy)).
y 5
T` vi phˆn cua c´c h`m ho.p sau dˆy tai c´c diˆm d˜ chı ra (15-18)
ım a ’ a a . a . a e ’ a ’
15. f (x, y) = f (x − y, x + y), M(x, y), M0 (1, −1).
(DS. df M
= (ft + fv )dx + (fv − ft )dy,
df M0
= ft (2, 0) + fv (2, 0) dx + fv (2, 0) − ft (2, 0) dy,
t = x − y, v = x + y)

143. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 141
x
16. f (x, y) = f xy, , M(x, y), M0 (0, 1).
y
1 x
(DS. df M
= yft + fv dx + xft − 2 fv dy,
y y
x
df M0
= ft (0, 0) + fv (0, 0) dx, t = xy, v = )
y
17. f (x, y, z) = f (x2 − y 2 , y 2 − z 2, z 2 − x2), M(x, y, z), M0 (1, 1, 1).
(DS. df M
= 2(xft − xfw )dx + 2y(fv − ft )dy + 2z(fw − fv )dz,
df M0
= 2(ft (0, 0, 0) − fw (0, 0, 0))dx + 2(fv (0, 0, 0) − ft (0, 0, 0))dy
+ 2(fw (0, 0, 0) − fv (0, 0, 0))dz,
t = x2 − y 2 , v = y 2 − z 2 , w = z 2 − x2 )
18. f (x, y, z) = f (sin x +sin y, cos x − cos z), M(x, y, z) v` M0 (0, 0, 0).
a
(DS. df M
= (ft cos x − fv sin x)dx + ft cos ydy + fv sin zdz,
df M0
= ft (0, 0)dx + fv (0, 0)dy,
t = sin x + sin y, v = cos x − cos z).
ınh a a . e ’
T´ vi phˆn dw v` d2 w tai diˆm M(x, y) (19-22) nˆu:
´
e
19. w = f (lnz), z = x2 + y 2 .
2
(DS. d2 w = (2x2 ftt − x2 ft + y 2ft )dx2
(x2 + y 2 )2
+ (4xyftt − 4xyft )dxdy + (x2 ft − yft + 2yft2 )dy 2 )
` ´
20. w = f (α, β, γ), α = ax, β = by, γ = cz; a, b, c-h˘ng sˆ.
a o
(DS. dw = afαdx + bfβ dy + cfγ dz;
d2 w = a2fα2 dx2 + b2fβ 2 dy 2 + c2 fγ 2 dz 2
+ 2(fαβ abdxdy + fβγ bcdydz + fαγ acdxdz))
21. w = f (x + y, x − y). (DS. x + y = u, x − y = v;
d2 w = (fu2 + 2fuv + fv2 )dx2 + (fu2 − 2fv2 )dxdy + (fu2 − 2fuv + fv2 )dy 2 )

144. 142 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
x x x2
22. w = xf . (DS. dw = f + f dx − 2 f dy,
y y y
2 x 4x 2x2 2x2 x3
d2 w = f + 2 f )dx2 − f + 3 f dxdy − f − 4f dy 2 )
y y y2 y y3 y
ınh a a ´ ’ a a a . a ’
T´ vi phˆn cˆp hai cua c´c h`m sau dˆy tai c´c diˆm M(x, y)
e
a ´
e a a `
a ’ a ´ . .
v` M0 (x0, y0 ) nˆu f l` h`m hai lˆn kha vi v` x, y, z l` biˆn dˆc lˆp
a e o a
(23-25)
23. u = f (x − y, x + y), M(x, y), M0 (1, 1) .
(DS. d2 u M
= ftt(dx − dy)2 + 2ftv (dx2 − dy 2 ) + fvv (dx + dy)2,
d2 u M0
= ftt(0, 2)dx(dx − dy)2 + 2ftv (0, 2)(dx2 − dy 2 )
+ fvv (0, 2)(dx + dy)2 )
24. u = f (x + y, z 2), M(x, y, z), M0 (−1, −1, 0).
(DS. d2 u M
= ftt (dx + dy)2 + 4zftv dz(dx + dy)
+ 4z 2 fvv dz 2 + 2fv d2 z,
d2 u M0
= ftt (0, 0)(dx + dy)2 + 2fv (0, 0)dz 2 ,
t = x + y, v = z 2)
25. u = f (xy, x2 + y 2), M(x, y), M0 (0, 0).
(DS. d2 u M
= ftt (ydx + xdy)2 + 4ftv (ydz + xdy)(xdx + ydy)
+ 4fvv (xdx + ydy)2 + 2ft dxdy + 2fv (dx2 + dy 2 ),
d2 u M0
= 2ft (0, 0)dxdy + 2fv (0, 0)(dx2 + dy 2 ),
t = xy, v = x2 + y 2 )
T´ vi phˆn dn w (26-27) nˆu:
ınh a ´
e
26. w = f (ax + by + cz).
(DS. dn w = f (n) (ax + by + cz)(adx + bdy + cdz)n )

145. a ’ a ` ´
9.2. Vi phˆn cua h`m nhiˆu biˆn
e e 143
27. w = f (ax, by, cz).
∂ ∂ ∂ n
(DS. dn w = a dx + b dy + c dz f (α, β, γ),
∂α ∂β ∂γ
α = ax, β = by, γ = cz)
Khai triˆn c´c h`m d˜ cho theo cˆng th´.c Taylor dˆn c´c sˆ hang
’
e a a a o u ´
e a o . ´
´ ´
cˆp 2 (28-30) nˆu
a e
1
28. f (x, y) =
x−y
∆y − ∆x ∆x2 − 2∆x∆y + ∆y 2
(DS. ∆w = + + R2)
(x − y)2 (x − y)3
√
29. f (x, y) = x + y.
∆x + ∆y ∆x2 + 2∆x∆y + ∆y 2
(DS. ∆w = √ − + R2 )
2 x+y 8(x + y)3/2
30. f (x, y) = ex+y .
x+y x+y (∆x + ∆y)2
DS. ∆w = e (∆x + ∆y) + e + R2 ).
2
´ ’ `
Ap dung vi phˆn dˆ t´nh gˆn d´ng (31-35)
. a e ı a u
31. i) a = (0, 97)2,02 (DS. ≈ 0, 94)
ii) b = (4, 05) 2 + (2, 93)2 (DS. ≈ 4.998)
32. i) a = (1.04)2,99 + ln 1, 02. (DS. 1,05)
√
’ ˜
Chı dˆ n. X´t h`m xy + ln z.
a e a
ii) b = 3 (1, 02)2 + (0, 05)2 . (DS. 1,013)
’ ˜
Chı dˆ n. X´t h`m
a e a 3
x2 + y 2 .
33. i) a = sin 29◦ · tg46◦ . (DS. ≈ 0, 502)
ii) b = sin 32◦ · cos 59◦ . (DS. ≈ 0, 273)
34. i) a = ln(0, 093 + 0, 993 ). (DS. ≈ −0, 03)

146. 144 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
Chı dˆ n. X´t h`m f = ln(x3 + y 3 ), M0(0, 1).
’ ˜a e a
ii) b = 5e0,02 + (2, 03)2 . (DS. ≈ 3, 037)
’ ˜
Chı dˆ n. X´t h`m f =
a e a 5ex + y 2, M0 (0, 2).
ınh a a ´. . ’
35. T´ vi phˆn cua h`m f (x, y) = x3 + y 3 . U ng dung dˆ t´nh
’ e ı
´
xˆp xı (1, 02)3 + (1, 97)3 . (DS. ≈ 2, 95)
a ’
a a a ı ´
a a ’
Trong c´c b`i to´n sau dˆy (36-38) h˜y t´nh vi phˆn cˆp 1 cua
a a
h`m ˆn z(x, y) x´c dinh bo.i c´c phu.o.ng tr` tu.o.ng u.ng
a a ’ a . ’ a ınh ´
(2y − 6xz)dx + 2xdy
36. z 3 + 3x2 z = 2xy. (DS. dz = )
3(x2 + z 2)
37. cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1.
sin 2xdx + sin 2ydy
(DS. dz = − ).
sin 2z
38. x + y + z = e−(x+y+z) . (DS. dz = −dx − dy)
39. Cho w l` h`m cua x v` y x´c dinh bo.i phu.o.ng tr`nh
a a ’ a a . ’ ı
x w
= ln + 1.
w y
T´ vi phˆn dw, d2 w.
ınh a
w(ydx + wdy) w2 (ydx − xdy)2
(DS. dw = , d2 w = − ).
y(x + w) y 2 (x + w)2
40. T´ dw v` d2 w nˆu h`m w(x, y) du.o.c x´c dinh bo.i phu.o.ng tr`
ınh a ´
e a . a . ’ ınh
y
w − x = arctg .
w−x
(w − x)dy
(DS. dw = dx + ,
(w − x)2 + y 2 + y
2(y + 1)(w − x)[(w − x)2 + y 2] 2
d2 w = − dy ).
[(w − x)2 + y 2 + y]3

147. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 145
9.3 Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e
9.3.1 Cu.c tri
. .
H`m f (x, y) c´ cu.c dai dia phu.o.ng (ho˘c cu.c tiˆu dia phu.o.ng) b˘ng
a o . . . a .
. ’
e . `
a
’ ´ o
e ` . a a ’ ’
f (x0, y0 ) tai diˆm M0 (x0, y0 ) ∈ D nˆu tˆn tai δ-lˆn cˆn cua diˆm M0
. e . e
sao cho v´.i moi diˆm M = M0 thuˆc lˆn cˆn ˆy ta c´
o . e ’ o a a a
. . ´ o
f (M) < f (M0 ) (tu.o.ng u.ng : f (M) > f (M0 )).
´
Goi chung cu.c dai, cu.c tiˆu cua h`m sˆ l` cu.c tri cua h`m sˆ.
. . . . ’
e ’ a ´
o a . . ’ a ´
o
` e ` e ` . .’ o
Diˆu kiˆn cˆn dˆ tˆn tai cu
e .c tri dia phu.o.ng: Nˆu tai diˆm M0 h`m
´ ’
. a . . e . e a
f (x, y) c´ cu
o . .c tri dia phu.o.ng th` tai diˆm d´ ca hai dao h`m riˆng cˆp
ı . e ’ o ’ ´
. . . a e a
´ u ` . ` a
o e ` a ıt a
. ´ o
1 (nˆu ch´ng tˆn tai) dˆu b˘ng 0 ho˘c ´ nhˆt mˆt trong hai dao h`m
e . . a
o `
riˆng khˆng tˆn tai (d´ l` nh˜
e o . o a u .ng diˆm t´.i han ho˘c diˆm d`.ng cua
e’ o . a e’ u ’
.
a o ’
h`m f (x, y)). Khˆng phai moi diˆm d` ’ .ng dˆu l` diˆm cu.c tri.
` a e ’
. e u e . .
` e ’
Diˆu kiˆn du: gia su
e ’ ’ .
.
fxx (M0 ) =, fxy (M0 ) = B, fyy (M0 ) = C.
Khi d´:
o
A B
´
i) Nˆu ∆(M0) =
e a ı . ’
> 0 v` A > 0 th` tai diˆm M0 h`m f c´
e a o
B C
cu.c tiˆu dia phu.o.ng.
. ’
e .
A B
´
ii) Nˆu ∆(M0 ) =
e ’
> 0 v` A < 0 th` tai diˆm M0 h`m f c´
a ı . e a o
B C
cu.c dai dia phu.o.ng.
. . .
A B
´
iii) Nˆu ∆(M0 ) =
e < 0 th` M0 l` diˆm yˆn ngu.a cua f , t´.c
ı a e ’ e . ’ u
B C
l` tai M0 h`m f khˆng c´ cu.c tri.
a . a o o . .
A B
´
iv) Nˆu ∆(M0) =
e ’ ´
= 0 th` M0 l` diˆm nghi vˆn (h`m f c´
ı a e a a o
B C
thˆ c´ v` c˜ng c´ thˆ khˆng c´ cu.c tri tai d´).
’
e o a u ’
o e o o . . . o

148. 146 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
9.3.2 Cu.c tri c´ diˆu kiˆn
. . o ` e e
.
Trong tru.`.ng ho.p do.n gian nhˆt, cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m f (x, y)
o . ’ ´ .
a . o ` e e ’ a
.
.c dai ho˘c cu.c tiˆu cua h`m d´ dat du.o.c v´.i diˆu kiˆn c´c biˆn
’ ’ ´
l` cu .
a . a .
. e a o . . o ` e e a
. e
x v` y thoa m˜n phu.o.ng tr`nh ϕ(x, y) = 0 (phu.o.ng tr` r`ng buˆc).
a ’ a ı ınh a o.
Dˆ t`m cu.c tri c´ diˆu kiˆn v´.i diˆu kiˆn r`ng buˆc ϕ(x, y) ta lˆp
’
e ı . . o ` e e o `
. e e a
. o
. a
.
h`m Lagrange (h`m bˆ .
a a o ’ tro.)
F (x, y) = f (x, y)λϕ(x, y)
trong d´ λ l` h˘ng sˆ nhˆn chu.a du.o.c x´c dinh v` di t`m cu.c tri thˆng
o a ` a ´
o a . a . a ı . . o
.`.ng cua h`m bˆ tro. n`y. Dˆy l` phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh
thu o ’ a ’
o . a a a a ´ ´
u o a .
Lagrange.
T` diˆu kiˆn cˆn dˆ tˆn tai cu.c tri c´ diˆu kiˆn chung quy l` giai
ım ` e . a ’ o
e ` e ` . . . o ` e e
. a ’
hˆ phu.o.ng tr`nh
e. ı

 ∂F
 ∂f ∂ϕ

 ∂x = ∂x + λ ∂x = 0


∂F ∂f ∂ϕ (9.15)
 ∂y = +λ =0

 ∂y ∂y


ϕ(x, y) = 0
T`. hˆ n`y ta c´ thˆ x´c dinh x, y v` λ.
u e a. ’
o e a . a
a ` ` . a a ı
´ e o ’ .
Vˆn dˆ tˆn tai v` d˘c t´nh cua cu.c tri dia phu.o.ng du.o.c minh dinh
. . . . .
. so. x´t dˆu cua vi phˆn cˆp hai cua h`m bˆ tro.
trˆn co ’ e a ’
e ´ a a ´ ’ a ’
o .
2 ∂ 2F 2 ∂ 2F ∂ 2F 2
d F = dx + 2 dxdy + dy
∂x2 ∂x∂y ∂y 2
du.o.c t´nh dˆi v´.i c´c gi´ tri x, y, λ thu du.o.c khi giai hˆ (9.15) v´.i diˆu
. ı ´
o o a a . . ’ e . o ` e
kiˆn l`
e a
.
∂ϕ ∂ϕ
dx + dy = 0 (dx2 + dy 2 = 0).
∂x ∂y
’
Cu thˆ l`:
. e a

149. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 147
i) Nˆu d2 F < 0 h`m f (x, y) c´ cu.c dai c´ diˆu kiˆn.
´
e a o . . o ` e e
.
´
e 2
ii) Nˆu d F > 0 h`m f (x, y) c´ cu e o `
a o . .c tiˆu c´ diˆu kiˆn.
’ e e
.
iii) Nˆ ´u d2 F = 0 th` cˆn phai khao s´t.
e ı a` ’ ’ a
Nhˆn x´t
a e
.
i) Viˆc t` cu.c tri cua h`m ba biˆn ho˘c nhiˆu ho.n du.o.c tiˆn h`nh
e ım .
. . ’ a ´
e a. `
e . ´
e a
tu.o.ng tu. nhu. o. 1.
. ’
.o.ng tu. c´ thˆ t`m cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m ba biˆn ho˘c
’ ´
ii) Tu . o e ı . . o ` e e ’ a
. e a
.
`
nhiˆu ho
e .n v´.i mˆt ho˘c nhiˆu phu.o.ng tr`nh r`ng buˆc (sˆ phu.o.ng
o o a `
e ı a o ´
o
. . .
tr` r`ng buˆc phai b´ ho o e
ınh a o ’ e .n sˆ biˆn). Khi d´ cˆn lˆp h`m bˆ tro. v´.i
´ ´ ` a a
o a . ’
o . o
.
sˆ th`.a sˆ chu.a x´c dinh b˘ng sˆ phu.o.ng tr`nh r`ng buˆc.
´
o u o ´ a . `
a ´
o ı a o
.
iii) Ngo`i phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh Lagrange, ngu.`.i ta c`n
a a ´ ´
u o a . o o
d`ng phu.o.ng ph´p khu. biˆn sˆ dˆ t`m cu.c tri c´ diˆu kiˆn.
u a ´ ´ ’
’ e o e ı . . o ` e e
.
9.3.3 Gi´ tri l´.n nhˆt v` b´ nhˆt cua h`m
a . o ´
a a e ´
a ’ a
H`m kha vi trong miˆn d´ng bi ch˘n dat gi´ tri l´.n nhˆt (nho nhˆt)
a ’ ` o
e . a. . a . o ´
a ’ ´
a
ho˘c tai diˆm d`.ng ho˘c tai diˆm biˆn cua miˆn.
a . e
. ’ u a . e
. ’ e ’ `
e
CAC V´ DU
´ I .
V´ du 1. T` cu.c tri dia phu.o.ng cua h`m
ı . ım . . . ’ a
f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 .
’ ` a .
e ’ a a a a
. ’
Giai. i) Miˆn x´c dinh cua h`m l` to`n m˘t ph˘ng R2.
a
ii) T´ c´c dao h`m riˆng fx v` fy v` t` c´c diˆm t´.i han. Ta
ınh a . a e a a ım a e’ o .
c´
o
fx = 4x3 − 4x + 4y, fy = 4y 3 + 4x − 4y.
Do d´
o
4x3 − 4x + 4y = 0
4y 3 + 4x − 4y = 0

150. 148 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
v` t`. d´
a u o
√ √
x1 = 0 x2 = − 2 x3 = 2
√ √
y1 = 0 y2 = 2 y3 = − 2.
Nhu. vˆy ta c´ ba diˆm t´.i han. V` fx , fy tˆn tai v´.i moi diˆm
a
. o ’
e o . ı `
o . o . e’
M(x, y) ∈ R2 nˆn h`m khˆng c`n diˆm t´.i han n`o kh´c.
e a o o ’
e o . a a
a . a e ´
a a a . ’
iii) Ta t´nh c´c dao h`m riˆng cˆp hai v` gi´ tri cua ch´ng tai c´c
ı u . a
’ o
diˆm t´ .
e .i han.
fxx (x, y) = 12x2 = 4, fxy = 4, fyy = 12y 2 − 4.
. e ’
Tai diˆm O(0, 0): A = −4, B = 4, C = −4
√ √
’
Tai diˆm M1(− 2, + 2): A = 20, B = 4, C = 20
. e √ √
. ’
Tai diˆm M2(+ 2, − 2): A = 20, B = 4, C = 20.
e
. e ’
iv) Tai diˆm O(0, 0)ta c´
o
A B −4 4
= = 16 − 16 = 0.
B C 4 −4
Dˆu hiˆu du khˆng cho ta cˆu tra l`.i. Ta nhˆn x´t r˘ng trong lˆn
´
a e ’
. o a ’ o a e `
. a a
cˆn bˆt k` cua diˆm O tˆn tai nh˜.ng diˆm m` f (x, y) > 0 v` nh˜.ng
. ´
a a y ’ ’
e ` .
o u e’ a a u
’ a a’
diˆm m` f (x, y) < 0. Ch˘ng han doc theo trung c Ox (y = 0) ta c´
e . . o
f (x, y) y=0
= f (x, 0) = x4 − 2x2 = −x2(2 − x2 ) < 0
tai nh˜.ng diˆm du gˆn (0, 0), v` doc theo du.`.ng th˘ng y = x
. u ’
e ’ `a a . o ’
a
f (x, y) y=x
= f (x, x) = 2x4 > 0
Nhu. vˆy, tai nh˜.ng diˆm kh´c nhau cua mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua
a. . u ’
e a ’ o a a a o ’
. .
’ ´
o a `
a o o u . ´
diˆm O(0, 0) sˆ gia to`n phˆn ∆f (x, .y) khˆng c´ c`ng mˆt dˆu v` do
e o a a
d´ tai O(0, 0) h`m khˆng c´ cu
o . a o o ..c tri dia phu.o.ng.
√ √ . .
. e ’m M1(− 2, 2) ta c´
Tai diˆ o
A B 20 4
= = 400 − 16 > 0
B C 4 20

151. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 149
√ √
v` A > 0 nˆn tai M1 (− 2, 2) h`m c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng v`
a e . a o . ’
e . a
fmin = −8.
√ √
. ’
Tai diˆm M2 ( 2, − 2) ta c´ AC − B 2 > 0 v` A > 0 nˆn tai d´
e o a e . o
h`m c´ cu
a o . .c tiˆu dia phu.o.ng v` fmin = −8.
’
e . a
V´ du 2. Khao s´t v` t`m cu.c tri cua h`m
ı . ’ a a ı . . ’ a
f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x − 3y.
’ ’
Giai. i) Hiˆn nhiˆn Df ≡ R.
e e
ım e’
ii) T` diˆm d` u.ng. Ta c´
o
fx = 2x + y − 2 2x + y − 2 = 0,
⇒
fy = x + 2y − 3 x + 2y − 3 = 0.
1 4 1 4
Hˆ thu du.o.c c´ nghiˆm l` x0 = , y0 = . Do d´
e
. . o e. a o , ’
l` diˆm
a e
3 3 3 3
d`.ng v` ngo`i diˆm d`.ng d´ h`m f khˆng c´ diˆm d`.ng n`o kh´c v`
u a a e ’ u o a o o e’ u a a ı
a ` a
fx v` fy tˆn tˆi ∀(x, y).
o .
iii) Khao s´t cu.c tri. Ta c´ A = fx2 = 2, B fxy = 1, C = fy2 = 2.
’ a . . o
Do d´ o
2 1
∆(M0) = = 3 > 0 v` A = 2 > 0
a
1 2
1 4
nˆn h`m f c´ cu.c tiˆu tai diˆm M0 ( , .
e a o . ’
e . e ’
3 3
.c tri cua h`m f (x, y) = 6 − 4x − 3y v´.i diˆu kiˆn l`
o `
V´ du 3. T` cu
ı . ım . . ’ a e e a
.
x v` y liˆn hˆ v´
a e e o .i nhau bo.i phu.o.ng tr` x2 + y 2 = 1.
’ ınh
.
’
Giai. Ta lˆp h`m Lagrange
a a
.
F (x, y) = 6 − 4x − 3y + λ(x2 + y 2 − 1).
Ta c´
o
∂F ∂F
= −4 + 2λx, = −3 + 2λy
∂x ∂y

152. 150 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
v` ta giai hˆ phu.o.ng tr`nh
a ’ e . ı
−4 + 2λx = 0
−3 + 2λx = 0
x2 + y 2 = 1
’
Giai ra ta c´
o
5 4 3
λ1 = , x1 = , y1 =
2 5 5
5 4 3
λ2 = − , x 2 = − , y2 = −
2 5 5
V`
ı
∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F
= 2λ, = 0, = 2λ
∂x2 ∂x∂y ∂y 2
nˆn
e
d2 F = 2λ(dx2 + dy 2).
5 4 3 4 3
´
e ı e . ’
Nˆu λ = , x = , y = th` d2 F > 0 nˆn tai diˆm
e , h`m
a
2 5 5 5 5
c´ cu.c tiˆu c´ diˆu kiˆn.
o . ’
e o ` e e
.
5 4 3
Nˆu λ = − , x = − , y = − th` d2 F < 0 v` do d´ h`m c´ cu.c
´
e ı a o a o .
2 5 5
4 3
. o ` e e . e
. ’
dai c´ diˆu kiˆn tai diˆm − , − .
5 5
Nhu. vˆya.
16 9
fmax = 6 + + = 11,
5 5
16 9
fmin = 6 − − = 1.
5 5
V´ du 4. T` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua h`m
ı . ım . . o ` e e ’ a
.
2 2
1) f (x, y) = x + y + xy − 5x − 4y + 10, x + y = 4.
2) u = f (x, y, z) = x + y + z 2
z − x = 1,
y − xz = 1.

153. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 151
Giai. 1) T`. phu.o.ng tr` r`ng buˆc x + y = 4 ta c´ y = 4 − x v`
’ u ınh a o
. o a
f (x, y) = x2 + (4 − x)2 + x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10
= x2 − 5x + 10,
ta thu du.o.c h`m mˆt biˆn sˆ
. a o
. ´ ´
e o
g(x) = x2 − 5x + 10
v` cu.c tri dia phu.o.ng cua g(x) c˜ng ch´ l` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua
a . . . ’ u ınh a . . o ` e e ’
.
´ dung phu.o.ng ph´p khao s´t h`m sˆ mˆt biˆn sˆ dˆi
h`m f (x, y). Ap .
a a ’ a a ´ .
o o ´ ´ ´
e o o
v´
o.i g(x) ta t` du.o.c g(x) c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng
ım o . ’
e .
.
5 15
gmin = g = ·
2 4
Nhu.ng khi d´
o h`m
a f (x, y) d˜
a cho c´
o
5 3
cu.c
. ’
tiˆu
e c´
o `
diˆu
e kiˆn
e
. tai
. ’
diˆm
e ,
2 2
5 3
(y = 4 − x ⇒ y = 4 − = ) v`a
2 2
5 3 15
fmin = f , = ·
2 2 4
2) T`. c´c phu.o.ng tr`nh r`ng buˆc ta c´
u a ı a o
. o
z =1+x
y = x2 + x + 1
v` thˆ v`o h`m d˜ cho ta du.o.c h`m mˆt biˆn sˆ
´
a e a a a . a o
. ´ ´
e o
u = f (x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2 + 4x + 2.
Dˆ d`ng thˆy r˘ng h`m g(x) c´ cu.c tiˆu tai x = −1 (khi d´ y = 1,
˜ a
e ´ `
a a a o . ’
e . o
z = 0) v` do d´ h`m f (x, y, z) c´ cu
a o a o . .c tiˆu c´ diˆu kiˆn tai diˆm
’
e o ` e e . ’
e
.
(−1, 1, 0) v`a
fmin = f (−1, 1, 0) = 0.

154. 152 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
V´ du 5. B˘ng phu.o.ng ph´p th`.a sˆ bˆt dinh Lagrange t` cu.c tri
ı . `
a a ´ ´
u o a . ım . .
o ` e ’ a
c´ diˆu kiˆn cua h`m
e .
u = x + y + z2
v´.i diˆu kiˆn
o ` e e
.
z−x = 1
(9.16)
y − xz = 1
(xem v´ du 4, ii)).
ı .
’
Giai. Ta lˆp h`m Lagrange
a a
.
F (x, y, z) = x + y + z 2 + λ1 (z − x − 1) + λ2 (y − zx − 1)
v` x´t hˆ phu.o.ng tr`nh
a e e . ı

 ∂F

 = 1 − λ1 − λ2 z = 0

 ∂x



 ∂F

 = 1 + λ2 = 0
∂y
 ∂F

 = 2z + λ1 − λ2 x = 0

 ∂z



 ϕ1 = z − x − 1 = 0


ϕ2 = y − xz − 1 = 0.
e a o
. e. ´
Hˆ n`y c´ nghiˆm duy nhˆt x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = 1 v`
a a
’ ´ ’ .c tri cua
λ2 = −1 ngh˜a l` M0 (−1, 1, 0) l` diˆm duy nhˆt c´ thˆ c´ cu
ı a a e a o e o . . ’
a o.i c´c diˆu kiˆn r`ng buˆc ϕ1 v` ϕ2 .
h`m v´ a ` e e a o a
. .
T`. c´c hˆ th´.c
u a e u .
z−x = 1
y − xz = 1
ta thˆy r˘ng (9.16) x´c dinh c˘p h`m ˆn y(x) v` z(x) (trong tru.`.ng
a `
´ a a . a a a
. ’ a o
ho.p n`y y(x) v` z(x) dˆ d`ng r´t ra t`. (9.16)). Gia su. thˆ nghiˆm
. a a ˜ a
e u u ’ ’ e ´ e
.

155. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 153
a e . a a` a ´
a a a ` o ´
y(x) v` z(x) v`o hˆ (9.16) v` b˘ng c´ch lˆy vi phˆn c´c dˆng nhˆt
a a
th´
u.c thu du.o.c ta c´
o
.
dz − dx = 0 dz = dx
⇒ (9.17)
dy − xdz − zdx = 0 dy = (x + z)dx.
Bˆy gi`. t´ vi phˆn cˆp hai cua h`m Lagrange
a o ınh a a ´ ’ a
d2 F = 2(dz)2 − 2λ2 dxdz. (9.18)
Thay gi´ tri λ2 = −1 v` (9.17) v`o (9.18) ta thu du.o.c dang to`n
a . a a . . a
phu.o.ng x´c dinh du.o.ng l`
a . a
d2 F = 4dx2 .
T`. d´ suy ra h`m d˜ cho c´ cu.c tiˆu c´ diˆu kiˆn tai diˆm
u o a a o . e’ o ` e e
. . ’
e
M0(−1, 1, 0) v` fmin = 0.
a
V´ du 6. T` gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m
ı . ım a . o ´
a a ’ ´
a ’ a
f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y
`
trong miˆn
e
D = {x 0, y 0, x + y −3}.
Giai. Miˆn D d˜ cho l` tam gi´c OAB v´.i dınh tai A(−3, 0),
’ `
e a a a o ’ .
B(0, −3) v` O(0, 0).
a
i) T` c´c diˆm d`.ng:
ım a e’ u
fx = 2x − y + 1 = 0
fy = 2y − x + 1 = 0
T`. d´ x = −1, y = −1. Vˆy diˆm d`.ng l` M(−1, −1).
u o a
. ’
e u a
. e ’
Tai diˆm M ta c´:
o
f (M) = f (−1, −1) = −1.

156. 154 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
ii) Ta c´
o
A = fxx (−1, −1) = 2
B = fxy (−1, −1) = −1
C = fyy (−1, −1) = 2.
Vˆy AC − B 2 = 4 − 1 = 3 > 0, nˆn h`m c´ biˆt th´.c AC − B 2 > 0
a
. e a o e. u
v` A = 2 > 0. Do d´ tai diˆm M n´ c´ cu.c tiˆu dia phu.o.ng v`
a o . e’ o o . ’
e . a
fmin = −1.
’ a a e ’ `
iii) Khao s´t h`m trˆn biˆn cua miˆn D.
e e
+) Khi x = 0 ta c´ f = y 2 + y. Dˆi v´.i h`m mˆt biˆn f = y 2 + y,
o ´
o o a o
. ´
e
−3 y 0 ta c´ o
(fln ) ’
= 6 tai diˆm (0, −3)
. e
x=0
−1 1
(fnn ) = ’
tai diˆm 0, − .
. e
x=0 4 2
+) Khi y = 0 ta c´ h`m mˆt biˆn f = x2 + x, −3
o a o
. ´
e x 0 v`
a
tu.o.ng tu.:
.
(fln ) ’
= 6 tai diˆm (0, −3)
. e
y=0
−1 1
(fnn ) = ’
tai diˆm − , 0 .
. e
y=0 4 2
+) Khi x + y = −3 ⇒ y = −3 − x ta c´ f (x) = 3x2 + 9x + 6 v`
o a
−3 3 3
(fnn ) = ’
tai diˆm − , −
. e
x+y=−3 4 2 2
(fln ) ’
= 6 tai diˆm (0, −3) v` (−3, 0).
. e a
x+y=−3
iv) So s´nh c´c gi´ tri thu du.o.c dˆi v´.i f ta kˆt luˆn fln = 6 tai
a a a . . o o´ ´ a
e . .
a a a . e’
(0, −3) v` (−3, 0) v` gi´ tri fnn = −1 tai diˆm d` u.ng (−1, −1).
.
` ˆ
BAI TAP
.

157. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 155
H˜y t` cu.c tri cua c´c h`m sau dˆy
a ım . . ’ a a a
’
1. f = 1 + 6x − x2 − xy − y 2. (DS. fmax = 13 tai diˆm (4, −2))
. e
2. f = (x − 1)2 + 2y 2. ’
(DS. fmin = 0 tai diˆm (1, 0))
. e
’
3. f = x2 + xy + y 2 − 2x − y. (DS. fmin = −1 tai diˆm (1, 0))
. e
’
4. f = x3y 2 (6 − x − y) (x > 0, y > 0). (DS. fmax = 108 tai diˆm (3, 2))
. e
5. f = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 .
’
(DS. fmax = 0 tai diˆm (0, 0),
. e
9 1 −1
e’
fmin = − tai c´c diˆm M1
a , −1 v` M2
a ,1
8 . 2 2
9 1 −1
e’
fmin = − tai c´c diˆm M3
a , −1 v` M4
a , −1 )
8 . 2 2
2 +xy+y 2 )
6. f = (5x + 7y − 25)e−(x .
(DS. fmax = 3−13 tai diˆm M1 (1, 3),
. e ’
−1 −3
fmin = −26e−1/52 tai diˆm M2
. e ’ , )
26 26
50 20
7. f = xy + ’
+ , x > 0, y > 0. (DS. fmin = 30 tai diˆm (5, 2))
. e
x y
’
8. f = x2 + xy + y 2 − 6x − 9y. (DS. fmin = −21 tai diˆm (1, 4))
. e
√ ’
9. f = x y − x2 − y + 6x + 3. (DS. fmax = 15 tai diˆm (4, 4))
. e
√ 2
10. f = (x2 + y) ey . (DS. fmin = − tai (0, −2))
e .
’
11. f = 2 + (x − 1)4 (y + 1)6 . (DS. fmin = 2 tai diˆm (1, −1))
. e
’ ˜ ’ ` ’ a a ´
Chı dˆ n. Tai diˆm M0 (1, −1) ta c´ ∆(M0) = 0. Cˆn khao s´t dˆu
a . e o a
’
cua f (M) − f (M0 ) = f (1 + ∆x, −1 + ∆y) − f (1, −1).
12. f = 1 − (x − 2)4/5 − y 4/5. ’
(DS. fmax = 1 tai diˆm (2, 0))
. e
’ ˜ ’ ’ ’ a a ´ ’
Chı dˆ n. Tai diˆm (2, 0) h`m khˆng kha vi. Khao s´t dˆu cua
a . e a o
f (M) − f (M0 ), M0 = (2, 0).

158. 156 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
T` cu.c tri c´ diˆu kiˆn cua c´c h`m sau dˆy
ım . . o ` e e ’ a a
. a
13. f = xy v´.i diˆu kiˆn x + y = 1.
o ` e e.
1 1 1
(DS. fmax = tai diˆm
. e ’ , )
4 2 2
14. f = x + 2y v´.i diˆu kiˆn x2 + y 2 = 5.
o ` e e
.
’
(DS. fmax = 5 tai diˆm (1, 2))
. e
x y
15. f = x2 + y 2 v´.i diˆu kiˆn + = 1.
o ` e e. 2 3
36 18 12
(DS. fmin = tai diˆm
. e ’ , )
13 13 13
16. f = x − 2y + 2z v´.i diˆu kiˆn x2 + y 2 + z 2 = 9.
o ` e e
.
. e ’
(DS. fmin = −9 tai diˆm (−1, 2, −2); fmax = 9 tai (1, −2, 2).)
.
17. f = xy v´.i diˆu kiˆn 2x + 3y = 5.
o ` e e
.
25 5 5
(DS. fmax = ’
tai diˆm
. e , )
24 4 6
x y
18. 1) f = x2 + y 2 v´.i diˆu kiˆn r`ng buˆc + = 1.
o ` e e a
. o. 4 3
144 36 48
(DS. fmin = tai
. 25 , 25 )
25
2) f = e v´.i diˆu kiˆn x + y = 1.
xy
o ` e e
.
1 1
(DS. fmax = e1/4 tai diˆm
. e ’ , )
2 2
Chı dˆ n. C´ thˆ su. dung phu.o.ng ph´p khu. biˆn.
’ ˜a ’
o e ’ . a ’ e ´
19. f = x2 + y 2 + 2z 2 v´.i diˆu kiˆn x − y + z = 1.
o ` e e
.
’
(DS. fmin = 0, 4 tai diˆm (0, 4; −0, 4; 0, 2))
. e
20. f = x3 + y 2 − z 3 + 5 v´.i diˆu kiˆn x + y − z = 1.
o ` e e
.
10 4 8 4
. e ’ a . e ’
(DS. fmin = 5 tai diˆm (0, 0, 0) v` fmax = 7 tai diˆm − , , )
27 3 3 3

159. 9.3. Cu.c tri cua h`m nhiˆu biˆn
. . ’ a `
e ´
e 157
21. f = xyz v´.i c´c diˆu kiˆn x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8.
o a ` e e
.
4 4 4 7 4 7 4 7 4 4
(DS. fmax = 4 tai
. 3, 3, 3 ; 3, 3, 3 ; 3, 3, 3
27
fmin = 4 tai (2, 2, 1); (2, 1, 2); (1, 2, 2))
.
T` gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua c´c h`m sˆ sau.
ım a . o ´
a a ´
’ a ’ a a ´
o
22. f = x2y(2 − x − y), D l` tam gi´c du.o.c gi´.i han bo.i c´c doan
a a . o . ’ a .
th˘’ ng x = 0, y = 0, x + y = 6.
a
1
’ ’
(DS. fln = tai diˆm (1, 2); fnn = −128 tai diˆm (4, 2)).
e . e
4 .
23. f = x + y, D = {x2 + y 2 1}.
√ √
√ 2 2
’
(DS. fln = 2 tai diˆm biˆn
. e e , ;
2 √ 2 √
√ 2 2
’
fnn = − 2 tai diˆm biˆn −
. e e ,− ).
2 2
24. T`. moi tam gi´c c´ chu vi b˘ng 2p, h˜y t`m tam gi´c c´ diˆn t´ch
u . a o `
a a ı a o e ı
.
l´
o.n nhˆt.
´
a
’ ˜
Chı dˆ n. D˘t a = x, b = y ⇒ c = 2p − x − y v` ´p dung cˆng
a a
. a a . o
th´.c Heron
u
S= p(p − x)(p − y)(x + y − p)
a `
(DS. Tam gi´c dˆu).
e
25. X´c dinh gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m
a . a . o ´
a a ´
’ a ’ a
f = x2 − y 2 , D = {x2 + y 2 1}
(DS. fln = 1 tai (1, 0) v` (−1, 0);
. a
fnn = −1 tai (0, 1) v` (0, −1)).
. a
26. X´c dinh gi´ tri l´.n nhˆt v` nho nhˆt cua h`m
a . a . o ´
a a ´
’ a ’ a
f = x3 − y 3 − 3xy, D = {0 x 2, −1 y 2}.

160. 158 Chu.o.ng 9. Ph´p t´ vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
e ınh a a `
e ´
e
’
(DS. fln = 13 tai diˆm (2, −1);
. e
. e ’
fnn = −1 tai diˆm (1, 1) v` (0, −1)).
a