This document provides examples and problems related to friction forces. It defines static and kinetic friction coefficients and discusses how they relate to the acceleration and motion of objects on inclined planes and horizontal surfaces. Examples calculate friction forces based on given masses, coefficients of friction, and applied or resulting forces. The maximum value of static friction is defined as μe*N.

1. Aplicaciones de las leyes de Newton. Tipler 5. Tema 5.
Rozamiento
1. En el suelo de un camión que se mueve a lo largo de una carretera horizontal hay
varios objetos. Si el camión acelera, ¿qué fuerza actúa sobre los objetos para que
estos se aceleren?
La fuerza de rozamiento con el suelo, que estará dirigida en el sentido de la
aceleración.
2. Todo objeto situado sobre el suelo de un camión se desliza si la aceleración de éste
es grande. ¿Qué relación hay entre la aceleración crítica del camión para que un
objeto ligero comience a deslizarse y la que corresponde a un objeto mucho más
pesado?
Si suponemos que los dos coeficientes de fricción son los mismos para cada cuerpo,
la fuerza responsable del movimiento es la fricción:
𝑭 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒈
Por tanto, la aceleración crítica no depende de la masa.
3. Verdadero o Falso:
a) La fuerza de rozamiento estático es siempre igual a µeFn.
b) La fuerza de rozamiento se opone siempre al movimiento de un objeto.
c) La fuerza de rozamiento se opone siempre al deslizamiento.
d) La fuerza de rozamiento cinético es siempre igual a µcFn.
a) Falso, éste sería su valor máximo antes de pasar al caso dinámico.
b) Verdadero.
c) Verdadero.
d) Verdadero en los casos considerados de fuerza de rozamiento dinámico
constante.
4. Un bloque de masa m descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo ϴ
con la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano
es
a) 𝝁𝒆 ≥ 𝒈.
b) 𝝁𝒆 = 𝒕𝒈 𝜽
c) 𝝁𝒆 ≤ 𝒕𝒈 𝜽.
d) 𝝁𝒆 ≥ 𝒕𝒈 𝜽.

2. La condición límite de movimiento es:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≤ 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎
𝝁𝒆 ≥ 𝒕𝒈𝜽 , respuesta d.
5. Un bloque de masa m se encuentra en reposo sobre un plano inclinado 30º con la
horizontal, como indica la figura. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto a la
fuerza de rozamiento estático es cierta?
a. 𝒇𝒔 > 𝒎 ∗ 𝒈.
b. 𝒇𝒔 < 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎
c. 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎
d. 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎
e. Ninguna es cierta.
La condición límite de movimiento es:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≤ 𝒇𝒔; Ninguna de las anteriores es correcta.
6. Un bloque de masa m se desliz a velocidad constante hacia abajo por un plano
inclinado según un ángulo ϴ con la horizontal. Se verifica que
a) 𝝁𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
b) 𝝁𝒄 = 𝒕𝒈𝜽
c) 𝝁𝒄 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽
d) 𝝁𝒄 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽
Para tener m.r.u.:
𝑷𝒕 = 𝑭𝒇; 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ; 𝝁𝒄 = 𝒕𝒈𝜽 ; Respuesta b.
7. Un bloque de madera se arrastra mediante una cuerda horizontal sobre una
superficie horizontal a velocidad constante con una fuerza de 20 N. El coeficiente
de rozamiento cinético entre las superficies es 0,3. La fuerza de rozamiento es
a) Imposible de determinar sin conocer la masa del bloque.
b) Imposible de determinar sin conocer la velocidad del bloque.
c) 0,3 N.
d) 6 N.
e) 20 N.
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑭 = 𝑭𝒓 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈

3. Por tanto, la fuerza de rozamiento es de 20 N.
8. Un bloque de 20 N descansa sobre una superficie horizontal. Los coeficientes de
rozamiento estático y cinético entre la superficie y el bloque son respectivamente
µc=0,8 y µc=0,6. Una cuerda horizontal está atada al bloque con una tensión
constante T. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque si
a) T=15 N ó
b) T=20 N?
a) La fuerza de rozamiento estático máxima será:
𝑭𝒔 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟖 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟏𝟔 𝑵; por tanto, en este caso la fuerza de
rozamiento (estática) será 15 N. El cuerpo no se mueve.
b) En este caso el cuerpo se mueve, superamos los 16 N, estamos en el caso
dinámico, la fuerza de rozamiento será:
𝑭𝒅 = 𝝁𝒅 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟔 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟏𝟐 𝑵
9. Un bloque de masa m se arrastra a velocidad constante sobre una superficie
horizontal mediante una cuerda como se indica en la figura. La magnitud de la
fuerza de rozamiento es
a) 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈
b) 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
c) 𝝁𝒄 ∗ (𝑻 − 𝒎 ∗ 𝒈)
d) 𝝁𝒄 ∗ 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
e) 𝝁𝒄 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 + 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽)
Si tenemos en cuenta la segunda ley de Newton:
Eje x: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑭𝒄
Eje y: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despejamos N y aplicamos la expresión de la fuerza de rozamiento:
𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑭𝒄 = 𝝁𝒄 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽)
Corresponde a la expresión b.
10. Un obrero empuja con una fuerza horizontal de 500 N un cajón de 100 kg situado
sobre una alfombra gruesa. Los coeficientes de rozamiento e estático y cinético
son respectivamente 0,6 y 0,4. Determinar la fuerza de rozamiento ejercida por la
superficie.
Hemos de determinar si estamos en caso dinámico o estático.
La fuerza de rozamiento estático máxima es:
𝑭𝒆 = 𝝁𝒆 ∗ 𝑵 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟓𝟖𝟖 𝑵
Para el caso dinámico tenemos:
𝑭𝒄 = 𝝁𝒄 ∗ 𝑵 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟑𝟗𝟐 𝑵
Si el cajón estaba en reposo la fuerza de rozamiento será de 500 N, caso estático, no
hemos llegado a su valor máximo para poner en marcha el cajón.
11. Una caja que pesa 600 N es empujada a lo largo de un suelo horizontal con
velocidad constante mediante una fuerza de 250 N paralela al suelo. ¿Cuál es el
coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y el suelo?

4. 𝑭 = 𝑭𝒄 ; 𝑭 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝝁𝒄 =
𝑭
𝒎∗𝒈
=
𝟐𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟒𝟐
12. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos de un coche y la
carretera es µe=0,6. Si la fuerza resultante que actúa sobre el coche es la fuerza de
rozamiento estática ejercida por la carretera,
a) ¿Cuál es la aceleración máxima que puede adquirir el coche cuando se frena?
b) ¿Cuál es la mínima distancia a la que se detendrá el coche si inicialmente llevaba
una velocidad de 30 m/s?
a)
𝑭𝒆 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟓,𝟗
𝒎
𝒔𝟐
𝒃)
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙
∆𝒙 =
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
𝟐 ∗ 𝒂
=
𝟎𝟐
− 𝟑𝟎𝟐
−𝟐 ∗ 𝟓,𝟗
= 𝟕𝟔,𝟑 𝒎
13. La fuerza que acelera un coche a lo largo de una carretera horizontal es la fuerza
de rozamiento entre la carretera y los neumáticos.
a) Explicar por qué la aceleración es mayor cuando las ruedas no giran.
b) Si un coche acelera de 0 a 90 km/h en 12 s con aceleración constante, ¿Cuál es el
mínimo coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera? Suponer que
la mitad del peso del coche lo soportan las ruedas tractoras.
a) La causa es que el coeficiente de fricción estático es siempre mayor que el
cinético.
b) 𝒂 =
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟐𝟓
𝟏𝟐
= 𝟐, 𝟏 𝒎/𝒔𝟐
𝝁𝒆 ∗
𝟏
𝟐
∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝝁𝒆 =
𝟐 ∗ 𝒂
𝒈
=
𝟐 ∗ 𝟐, 𝟏
𝟗, 𝟖
= 𝟎,𝟒𝟐
14. En una exhibición de música rock, el espectáculo comienza con el escenario a
oscuras. Súbitamente se oye el ruido de un gran accidente de automóvil. Una
cantante aparece deslizándose sobre sus rodillas hacia la parte frontal del

5. escenario. Su velocidad inicial es de 3 m/s. Después de deslizar 2 m, queda en
reposo en una niebla de hielo seco rodeada de destellos luminosos por todas
partes. ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento de la cantante sobre el
suelo del escenario?
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙
𝒂 =
𝒗𝟐−𝒗𝒐
𝟐
𝟐∗∆𝒙
=
𝟎𝟐−𝟑𝟐
𝟐∗𝟐
= −𝟐,𝟐𝟓 𝒎/𝒔𝟐
𝑭𝒆 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝝁𝒆 =
𝒂
𝒈
=
𝟐,𝟐𝟓
𝟗,𝟖
= 𝟎, 𝟐𝟑
15. Un bloque de 5 kg se mantiene en reposo contra una pared vertical mediante una
fuerza horizontal de 100 N.
a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento ejercida por la pared sobre el bloque?
b) ¿Cuál es la fuerza horizontal mínima necesaria para evitar que el bloque caiga si
el coeficiente de rozamiento entre la pared y el bloque es µe=0,40?
a)
𝑭𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟒𝟗 𝑵
b) Eje x: F= N
Eje y: 𝑭𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝝁𝒔 ∗ 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝑵 =
𝒎∗𝒈
𝝁𝒔
; 𝑭 = 𝑵 =
𝒎∗𝒈
𝝁𝒔
=
𝟓∗𝟗,𝟖
𝟎,𝟒𝟎
= 𝟏𝟐𝟐,𝟓 𝑵
16. En un día de nieve y con la temperatura próxima al punto de congelación el
coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y una carretera con hielo
es 0,08. ¿Cuál es la máxima inclinación que un vehículo con tracción a las cuatro
ruedas puede vencer ascendiendo con aceleración nula?
La fuerza de rozamiento entre las ruedas y el suelo es la fuerza impulsora del
vehículo.
𝑭𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ; 𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒕𝒈 𝜽 = 𝝁𝒔: 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟎,𝟎𝟖) = 𝟒, 𝟓𝟕𝒐
17. Una caja de 50 kg de be arrastrarse sobre un suelo horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático ente la caja y el suelo es 0,6. Un método de arrastre sería

6. empujar la caja con una fuerza que formase un ángulo ϴ hacia abajo con la
horizontal. Otro método sería tirar de la caja con una fuerza que formase un
ángulo ϴ hacia arriba con la horizontal.
a) Explicar por qué un método es mejor que otro.
b) Calcular la fuerza necesaria para mover la caja en cada uno de los métodos si
ϴ=30º y comparar la respuesta con los resultados que se obtendrían si el ángulo
fuera ϴ=0º.
a)
En el caso 1 la Normal es mayor y la fricción también lo será.
b) Caso 1:
Eje x: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇𝒔
Eje y: 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝑵
Despejamos N y substituimos en la fuerza de fricción:
𝒇𝒔 = 𝝁𝒔 ∗ (𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈); 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝝁𝒔 ∗ (𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈)
𝑭 =
𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔 𝜽−𝝁𝒔∗𝒔𝒆𝒏 𝜽
; para 30º F=520 N
Caso 2:
Eje x: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇𝒔
Eje y: 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈; 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝝁𝒔 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽)
𝑭 =
𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔 𝜽+𝝁𝒔∗𝒔𝒆𝒏 𝜽
; Para 30º F=252 N
𝑬𝒏 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝟎º 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏 𝒚 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑭 = 𝟐𝟗𝟒 𝑵
18. Una caja de 3 kg descansa sobre una plataforma horizontal y está conectada a otra
caja de 2 kg por una cuerda ligera como indica la figura.
a) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de rozamiento estático que permite que las dos
cajas permanezcan en reposo?
b) Si el coeficiente de rozamiento estático es menor que el determinado en la parte
(a) y el coeficiente de rozamiento cinético entre la caja y la plataforma es 0,3,
determinar el tiempo que tardará la masa de 2 kg en recorrer los 2 m que la
separan del suelo, suponiendo que el sistema parte del reposo.

7. a) Cuerpo 1 : 𝑻 = 𝑭𝒔 ; 𝑻 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
Cuerpo 2: 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
𝝁𝒔 =
𝒎𝟐
𝒎𝟏
=
𝟐
𝟑
= 𝟎,𝟔𝟕
b) Cuerpo 1: 𝑻 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Cuerpo 2: 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Despejando a:
𝒂 =
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
𝒎𝟐 + 𝒎𝟏
=
𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 − 𝟎,𝟑 ∗ 𝟑 ∗ 𝟗,𝟖
𝟑 + 𝟐
= 𝟐, 𝟏𝟔 𝒎/𝒔𝟐
Por cinemática:
∆𝒙 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐
; ∆𝒕 = √
𝟐∗∆𝒙
𝒂
= √
𝟐∗𝟐
𝟐,𝟏𝟔
= 𝟏, 𝟑𝟔 𝒔
19. Un bloque con una velocidad inicial v se desliza sobre un plano horizontal y se
detiene después de un desplazamiento d. El coeficiente de rozamiento cinético
entre el bloque y el plano viene dado por
a) 𝝁𝒄 =
𝒗𝟐∗𝒅
𝟐∗𝒈
b) 𝝁𝒄 =
𝒗𝟐
𝟐∗𝒅∗𝒈
c) 𝝁𝒄 =
𝒗𝟐∗𝒈
𝟐∗𝒅𝟐
d) Ninguno de los anteriores.
𝟎𝟐
− 𝒗𝟐
= −𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
𝒂 =
𝒗𝟐
𝟐 ∗ 𝒅
𝑭𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝝁𝒄 =
𝒂
𝒈
=
𝒗𝟐
𝟐 ∗ 𝒅 ∗ 𝒈
Respuesta b.
20. Un bloque de masa m1=250 g se encuentra en reposo sobre un plano que forma un
ángulo ϴ=30º sobre la horizontal (figura). El coeficiente de rozamiento cinético
entre el bloque y el plano es µc= 0,100. Este bloque está unido a un segundo
bloque de masa m2=200 g que cuelga libremente de una cuerda que pasa por una
polea sin rozamiento y masa despreciable. Cuando el segundo bloque ha caído 30
cm, su velocidad es
a) 83 cm/s
b) 48 cm/s
c) 160 cm/s
d) 59 cm/s
e) 72 cm/s

8. El sentido del movimiento es hacia la derecha, tal como dice el enunciado.
Cuerpo 1: 𝑻 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Cuerpo 2: 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Despajando a:
𝒂 =
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐
=
(𝟎,𝟐 − 𝟎,𝟏 ∗ 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎) ∗ 𝟗, 𝟖
𝟎,𝟐𝟓 + 𝟎,𝟐
= 𝟏,𝟏𝟔 𝒎/𝒔𝟐
Por cinemática:
𝒗𝟐
− 𝟎𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅
𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒅 = √𝟐 ∗ 𝟏, 𝟏𝟔 ∗ 𝟎, 𝟑 = 𝟎,𝟖𝟑𝟒
𝒎
𝒔
Respuesta a.
21. Supongamos ahora que, en la figura anterior, m1=4kg. El coeficiente de rozamiento
estático entre el bloque y el plano inclinado es 0,4.
a) Determinar el intervalo de valores posibles para m2 de modo que el sistema se
encuentre en equilibrio estático.
b) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 4 kg si m2=1 kg?
a) Cuerpo 1, movimiento hacia arriba:
𝑻 = 𝒇𝒔 + 𝑷𝑻; 𝑻 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
Cuerpo 2:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝑻
Despejando la masa pedida:
𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
𝒎𝟐 = (𝝁𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎) ∗ 𝒎𝟏 = (𝟎,𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎) + 𝟒 = 𝟑, 𝟑𝟗 𝒌𝒈
Cuerpo 1, movimiento hacia abajo:
𝑻 + 𝒇𝒔 = 𝑷𝑻; 𝑻 + 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
Cuerpo 2:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝑻
Despejando la masa pedida:

9. 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 + 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
𝒎𝟐 = 𝒎𝟏(𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 − 𝝁𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎) = 𝟒 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 − 𝟎, 𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎) = 𝟎,𝟔𝟏𝟒 𝒌𝒈
Por tanto, entre estos dos valores permanecerá en reposo.
b) Para esta masa de m2 el sistema estará en reposo. El sentido de la fuerza de
rozamiento estático estará dirigido hacia arriba. Estamos en caso estático y la
fuerza de rozamiento ha de equilibrar a las otras.
𝑻 + 𝒇𝒔 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝑻
𝒇𝒔 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎+ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝟒 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 − 𝟏 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟗, 𝟖 𝑵
22. Volviendo a la figura del problema 20, supongamos que m1=4kg, m2=5 kg y que el
coeficiente de rozamiento cinético entre el plano inclinado y el bloque de 4 kg es
µc=0,24. Determinar la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda.
Cuerpo 1, movimiento hacia arriba:
𝑻 − 𝒇𝒔 − 𝑷𝑻 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 ;𝑻 − 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Cuerpo 2:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Sumando y despejando a:
𝒂 =
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
𝒎𝟐 + 𝒎𝟏
=
𝟗, 𝟖 ∗ (𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟒 ∗ 𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎)
𝟓 + 𝟒
= 𝟐, 𝟒 𝒎/𝒔𝟐
Para T:
𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 = 𝟓 ∗ 𝟗,𝟖 − 𝟓 ∗ 𝟐, 𝟒 = 𝟑𝟕 𝑵
23. El coeficiente de rozamiento estático entre el fondo de un camión y un cajón que
reposa es 0,30. El camión circula a 80 km/h a o largo de una carretera horizontal.
¿Cuál será la mínima distancia de parada del camión para que la caja no deslice?
80 km/h=22,2 m/s
Encontramos el valor de la fuerza de rozamiento estático máxima:
𝒇𝒔 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟐,𝟗𝟒 𝒎/𝒔𝟐
Por cinemática:
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 =
𝒗𝟐−𝒗𝒐
𝟐
𝟐∗𝒂
=
−𝟐𝟐,𝟐𝟐
−𝟐∗𝟐,𝟗𝟒
= 𝟖𝟒 𝒎
24. Una masa de 4,5 kg con una velocidad inicial de 14 m/s comienza a ascender por
un plano inclinado 37º con la horizontal. Cuando su desplazamiento es de 8,0 m,
su velocidad ascendente ha disminuido a 5,2 m/s. Determinar
a) El coeficiente de rozamiento cinético entre la masa y el plano.
b) El desplazamiento de la masa desde su punto de partida al momento en que
durante un instante alcanza el reposo.
c) La velocidad del bloque cuando alcanza de nuevo su posición inicial.
a) 𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ;𝒂 =
𝒗𝟐−𝒗𝒐
𝟐
𝟐∗∆𝒙
=
𝟓,𝟐𝟐−𝟏𝟒𝟐
𝟐∗𝟖,𝟎
= −𝟏𝟎,𝟓𝟔 𝒎/𝒔𝟐
Aplicando la segunda ley de Newton:
−𝑷𝑻 − 𝑭𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒂
−𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕 = 𝒎 ∗ 𝒂
Despejando el coeficiente de rozamiento:
𝝁𝒄 =
−𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕−𝒂
𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕
=
−𝟗,𝟖∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕+𝟏𝟎.𝟓𝟔
𝟗,𝟖∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕
= 𝟎,𝟔𝟎
b) 𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 =
𝒗𝟐−𝒗𝒐
𝟐
𝟐∗𝒂
=
𝟎𝟐−𝟏𝟒𝟐
𝟐∗(−𝟏𝟎,𝟓𝟔)
= 𝟗, 𝟐𝟖 𝒎
c) Cuando baja la fuerza de rozamiento estará dirigida hacia arriba.

10. 𝑷𝑻 − 𝑭𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕 = 𝟗,𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕 − 𝟎, 𝟔𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕) =
𝟏,𝟐 𝒎/𝒔𝟐
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙
𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 = √𝟐 ∗ 𝟏,𝟐 ∗ 𝟗,𝟐𝟖 = 𝟒,𝟕𝟏 𝒎/𝒔
25. Un automóvil asciende por una carretera de pendiente 15º a una velocidad de 30
m/s. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es
0,7.
a) ¿Qué distancia mínima recorrerá para detener el coche?
b) ¿Qué distancia mínima recorrerá si el coche descendiera por la misma
pendiente?
a) Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑷𝑻 + 𝑭𝒓 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 + 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 + 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓 = 𝟗, 𝟏𝟔 𝒎/𝒔𝟐
Por cinemática:
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 =
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
𝟐 ∗ 𝒂
=
𝟎𝟐
− 𝟑𝟎𝟐
𝟐 ∗ (−𝟗, 𝟏𝟔)
= 𝟒𝟗,𝟏 𝒎
b) Para la bajada:
𝑷𝑻 − 𝑭𝒓 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 − 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓 = −𝟒, 𝟏
𝒎
𝒔𝟐
La aceleración estará dirigida hacia arriba. Si la velocidad inicial dela bajada
son 30 m/s:
∆𝒙 =
𝒗𝟐−𝒗𝒐
𝟐
𝟐∗𝒂
=
𝟎𝟐−𝟑𝟎𝟐
𝟐∗(−𝟒,𝟏)
= 𝟏𝟏𝟎 𝒎
26. Un bloque de masa m desliza con la velocidad inicial vo sobre una superficie
horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la
superficie es µc, determinar la distancia d que el bloque recorrerá antes de
detenerse.
La fuerza de rozamiento es la causante de la aceleración.
𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒈
Por cinemática, y teniendo en cuenta que la aceleración es negativa:
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 =
𝒗𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
𝟐 ∗ 𝒂
=
𝟎𝟐
− 𝒗𝒐
𝟐
−𝟐 ∗ 𝝁𝒄 ∗ 𝒈
=
𝒗𝒐
𝟐
𝟐 ∗ 𝝁𝒄 ∗ 𝒈
27. Un coche de tracción trasera soporta un 40% de su peso sobre sus dos ruedas
de tracción y posee un coeficiente de rozamiento estático de 0,7.
a) ¿Cuál es la aceleración máxima del vehículo?
b) ¿Cuál es el tiempo más corto posible para que este coche alcance una
velocidad máxima de 100 km/h? (Suponer que la potencia del motor es
ilimitada).
a)

11. 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝝁𝒔 ∗ 𝟎,𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝝁𝒔 ∗ 𝟎, 𝟒 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟕 ∗ 𝟎,𝟒 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟐,𝟕
𝒎
𝒔𝟐
b) 10km/h=27,8 m/s
𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂 ∗ ∆𝒕; ∆𝒕 =
𝒗−𝒗𝒐
𝒂
=
𝟐𝟕,𝟖
𝟐,𝟕
= 𝟏𝟎 𝒔
28. Un estudiante A, afirma que él puede colocar un bloque de 2 kg sobre el lado
exterior de una vagoneta, como indica la figura, y que el bloque no caerá al suelo,
comprometiéndose a no utilizar ningún tipo de ganchos, cuerdas, grapas, imanes,
pegamentos, adhesivos, etc. Cuando otro estudiante B, acepta la apuesta, el
primero empuja la vagoneta en la dirección indicada. El coeficiente de rozamiento
estático entre el bloque y la vagoneta es 0,6.
a) Determinar la aceleración mínima para que A gane la apuesta.
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento en este caso?
c) Determinar la fuerza de rozamiento sobre el bloque si a es dos veces la
aceleración mínima necesaria para que el bloque no caiga.
d) Demostrar que un bloque de cualquier masa no caerá si la aceleración es a≥g/µc,
siendo µc el coeficiente de fricción estático.
a)
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝝁𝒄 ∗ 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒂
Por tanto:

12. 𝝁𝒄 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝒎 ∗ 𝒈 ;𝒂 =
𝒈
𝝁𝒄
=
𝟗,𝟖
𝟎,𝟔
= 𝟏𝟔 𝒎/𝒔𝟐
b) 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟐 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟐𝟎 𝑵
c) La fuerza de rozamiento será la misma que en apartado anterior dado que este
es su valor máximo.
d) Dado que la aceleración mínima para no caer es 𝒂 =
𝒈
𝝁𝒄
, a partir de este valor de
la aceleración , la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo y el cuerpo no
caerá.
29. Dos bloques atados por una cuerda se deslizan hacia abajo por una pendiente de
20º.el bloque inferior tiene una masa de m1=0,2 kg y un coeficiente de rozamiento
cinético µc=0,2. Para el bloque superior m2=0,8 kg y µc=0,3. Determinar
a) La aceleración de los bloques.
b) La tensión de la cuerda.
a) Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo:
Cuerpo 1:
𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝑻 − 𝝁𝒄𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Cuerpo 2:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 + 𝑻 − 𝝁𝒄𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Sumamos y despejamos a:
𝒂 =
𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝝁𝒄𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝝁𝒄𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐
𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 ∗
𝝁𝒄𝟏∗𝒎𝟏+𝝁𝒄𝟐∗𝒎𝟐
𝒎𝟏+𝒎𝟐
𝑺𝒖𝒃𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒂 = 𝟎,𝟗𝟔 𝒎/𝒔𝟐
b) Del mismo sistema encontramos T: T=0,18 N.
30. Dos bloques atados por una cuerda están en reposo sobre un plano inclinado. El
bloque inferior tiene una masa m1=0,2 kg, y un coeficiente de rozamiento estático
µe= 0,4. El bloque superior tiene una masa de m2= 0,1 kg y µe= 0,6.
a) ¿Para qué ángulo ϴc comienzan los bloques a deslizar?
b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda justo antes de que comience el deslizamiento?

13. a) Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo:
Cuerpo 2:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 + 𝑻 − 𝝁𝒆𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 − 𝑻 − 𝝁𝒆𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Caso comenzar a deslizar, a=0:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 − 𝝁𝒆𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 − 𝝁𝒆𝟏𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄 = 𝟎
𝜽𝒄 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝝁𝒆𝟐 ∗ 𝒎𝟐 + 𝝁𝒆𝟏 ∗ 𝒎𝟏
𝒎𝟐 + 𝒎𝟏
)
= 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝟎,𝟒 ∗ 𝟎,𝟐 + 𝟎, 𝟔 ∗ 𝟎,𝟏𝟎,𝟐 + 𝟎,𝟏
𝟎,𝟐 + 𝟎, 𝟏
) = 𝟐𝟓𝒐
b) 𝑻 = 𝝁𝒆𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄 = 𝟎, 𝟔 ∗ 𝟎, 𝟏 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟏 ∗
𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝑵
31. Dos bloques conectados por una barra rígida, de masa despreciable deslizan sobre
una superficie inclinada 20º. El bloque inferior tiene una masa m1=1,2 kg, y el
bloque superior m2=0,75 kg.
a) Si los coeficientes de rozamiento cinético son µc=0,3 para el bloque inferior y
µc=0,2 para el bloque superior, ¿Cuál es la aceleración de los bloques?
b) ¿Determinar la fuerza transmitida por la barra?
a) Cuerpo 1, inferior:
𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑭𝑨𝑩 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Cuerpo 2, superior:
𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽−𝑭𝑨𝑩 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Despejando a:
𝒂 =
𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒎𝟐 + 𝒎𝟏
𝒂 =
𝟏,𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟏,𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 + 𝟎,𝟕𝟓 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝟎,𝟐 ∗ 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎
𝟏, 𝟐 + 𝟎,𝟕𝟓
𝒂 = 𝟎, 𝟗𝟒 𝒎/𝒔𝟐
b) 𝑭𝑨𝑩 = −𝒎𝟐 ∗ 𝒂 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑭𝑨𝑩 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟎, 𝟗𝟒 + 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝟎, 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 𝑵
32. Un bloque de masa m descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático es 0,6. El bloque está sometido a la fuerza F que forma un ángulo ϴ

14. con la horizontal mediante una cuerda de masa despreciable, como indica la figura. El valor
mínimo de la fuerza necesaria para mover el bloque depende del ángulo ϴ.
a) Analizar cualitativamente en qué forma esta fuerza depende de ϴ.
b) Calcular la fuerza para los ángulos ϴ=0, 10, 20,30, 40, 50 y 60o
y hacer un gráfico de F en
función de ϴ para mg=400 N. Según este gráfico, ¿Cuál es el ángulo más eficaz que debe
formar la dirección de la fuerza para mover el bloque?
a)
𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇𝒔 = 𝝁 ∗ 𝑵
𝑵 + 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despejando N en la segunda y substituyendo en la primera obtenemos F:
𝑭 =
𝝁∗𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽
b) Aplicando la fórmula obtenida:
ϴ (o
) 0 10 20 30 40 50 60
F(N) 240 220 210 206 208 218 235

15. El valor más eficaz está cercano a los 30º.
Para calcularlo con exactitud debe riamos hacer:
𝒅𝑭
𝒅𝜽
= 𝟎
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)∗(𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒔𝒆𝒏𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 = 𝟎
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝝁 = 𝟑𝟏𝒐
33. Responder a las mismas cuestiones que plantea el problema anterior, pero
suponer que la fuerza F está dirigida hacia abajo formando el ángulo ϴ con la
horizontal como indica la figura.
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑵 = 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈
𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇𝒔 = 𝝁 ∗ 𝑵
Despejando N de la primera, substituyendo en la segunda y despejando F:
𝑭 =
𝝁∗𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽−𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽
Para la gráfica los valores son:
ϴ (o
) 0 10 20 30 40 50 60

16. F(N) 240 273 327 424 631 1310
Negativo,
no tiene
sentido
El valor mínimo es para un ángulo de 0o
.
34. Una masa de 100 kg es empujada a lo largo de una superficie sin rozamiento por
una fuerza F de tal modo que su aceleración es 6 m/s2
(véase figura). Una masa de
20 kg se desliza por la parte superior de la masa de 100 kg con una aceleración de
4 m/s2
.(Por tanto, se desliza hacia atrás respecto a la masa de 100 kg).
a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento ejercida por la masa de 100 kg sobre la masa de
20 kg?
b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la masa de 100 kg? ¿Cuánto vale la fuerza
F?
c) Una vez que la masa de 20 kg se ha caído de la masa de 100 kg, ¿Cuál es la
aceleración que adquiere esta última?
Superficie inferior sin rozamiento

17. Aplicando la segunda ley de Newton:
Cuerpo 1, 20 kg:
𝒇𝒌𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏 ;𝑵𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
Cuerpo 2, 100 kg:
𝑭 − 𝒇𝒌𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ; 𝑵𝟐 = 𝑵𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
a) De la primera ecuación y de los datos del problema:
𝒇𝒌𝟏 = 𝟐𝟎 ∗ 𝟒 = 𝟖𝟎 𝑵
b) La fuerza neta sobre la masa de 100 kg es:
𝑭 − 𝒇𝒌𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟔 = 𝟔𝟎𝟎 𝑵
La fuerza aplicada, teniendo en cuenta que las dos fuerzas de rozamiento
dibujadas son de acción y reacción entre ellas:
𝑭 = 𝟔𝟎𝟎 + 𝒇𝒌𝟐 = 𝟔𝟎𝟎 + 𝟖𝟎 = 𝟔𝟖𝟎 𝑵
c) Como no hay rozamiento en la superficie inferior, la única fuerza que actua
sobre el cuerpo es F:
𝑭 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 ;𝒂 =
𝑭
𝒎𝟐
=
𝟔𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟔,𝟖𝟎 𝒎/𝒔𝟐
35. Un bloque de 60 kg se desliza por la parte superior de otro bloque de 100 kg con
una aceleración de 3 m/s2
por la acción de una fuerza horizontal F de 320 N, como
indica la figura. El bloque de 100 kg se apoya sobre una superficie horizontal sin
rozamiento, pero hay rozamiento entre los bloques.
a) Determinar el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques.
b) Determinar la aceleración del bloque de 100 kg durante el tiempo en que el
bloque de 60 kg mantiene el contacto.

18. a) Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑭 − 𝒇𝒌𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏 ; 𝑵𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
𝒇𝒌𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ; 𝑵𝟐 = 𝑵𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
Las dos fuerzas de rozamiento indicadas son iguales (acción y reacción).
𝒇𝒌𝟏 = 𝑭 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 = 𝟑𝟐𝟎 − 𝟔𝟎 ∗ 𝟑 = 𝟏𝟒𝟎 𝑵
Aplicando ahora la ecuación para el eje vertical, cuerpo 1:
𝒇𝒌𝟏 = 𝝁 ∗ 𝑵𝟏; 𝝁 =
𝒇𝒌𝟏
𝑵𝟏
=
𝒇𝒌𝟏
𝒎𝟏∗𝒈
=
𝟏𝟖𝟎
𝟔𝟎∗𝟗,𝟖
= 𝟎,𝟑𝟏
b) Para el cuerpo 2:
𝒇𝒌𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐; 𝒂𝟐 =
𝒇𝒌𝟐
𝒎𝟐
=
𝟏𝟒𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏,𝟒 𝒎/𝒔𝟐
36. El coeficiente de rozamiento entre un neumático de caucho y la superficie de la
carretera es 0,85. ¿Cuál es la máxima aceleración de un camión de 100 kg con
tracción en las cuatro ruedas, si la carretera forma un ángulo de 12 º con la
horizontal y el camión está
a) Subiendo.
b) Descendiendo.
a)
La fuerza de tracción la hacen las ruedas.
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝒇𝒔𝒎𝒂𝒙 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐 = 𝟔, 𝟏𝟏 𝒎/𝒔𝟐
b) En este caso la segunda ley de Newton queda:
𝒇𝒔𝒎𝒂𝒙 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝝁𝒔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐 + 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐
La aceleración estará dirigida hacia abajo, igual que las dos fuerzas consideradas.

19. 37. Un bloque de 2 kg está situado sobre otro de 4 kg, que a su vez se apoya sobre una
mesa sin rozamiento (figura). Los coeficientes de rozamiento entre los bloques son
µe=0,3 y µc=0,2.
a) ¿Cuál es la fuerza máxima F que puede aplicarse al bloque de 4 kg de tal modo
que el bloque de 2 kg no deslice?
b) Si F es la mitad de este valor máximo, determinar la aceleración de cada bloque y
la fuerza de rozamiento que actúa sobre cada uno de ellos.
c) Si F es el doble de este valor determinado en (a), calcular la aceleración de cada
bloque.
a) Aplicando la segunda ley de Newton:
Cuerpo 1, superior:
𝒇𝒔𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏 ;𝑵𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
Cuerpo 2, inferior:
𝑭 − 𝒇𝒔𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ; 𝑵𝟐 = 𝑵𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
Para las fuerzas de rozamiento tenemos:
𝒇𝒔𝟏 = 𝒇𝒔𝟐 = 𝝁𝒆𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈
Por tanto:
𝝁𝒆𝟏 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏
𝒂𝟏 = 𝝁𝒆𝟏 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟑 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟐, 𝟗𝟒 𝒎/𝒔𝟐
Con la ecuación del cuerpo 2:
𝑭 − 𝒇𝒔𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ;𝑭 = 𝒇𝒔𝟐 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 = 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 + 𝟒 ∗ 𝟐, 𝟗𝟒 = 𝟏𝟕, 𝟕 𝑵
b) Dado que en estas condiciones el cuerpo superior no se mueve podemos
considerar el sistema como un único cuerpo de 6 kg.
𝑭 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒂 ;𝒂 =
𝑭
(𝒎𝟏+𝒎𝟐)
=
𝟏𝟕,𝟕
𝟐
𝟔
= 𝟏,𝟒𝟕 𝒎/𝒔𝟐
Para las fuerzas de rozamiento entre los bloques:
𝒇𝒔𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏 = 𝟐 ∗ 𝟏,𝟒𝟕 = 𝟐,𝟗𝟒 𝑵
c) En este caso el bloque de 2 kg se moverá.
Para el bloque 2 tenemos:

20. 𝒇𝒄𝟏 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏; 𝒂𝟏 = 𝟎, 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟏, 𝟗𝟔 𝒎/𝒔𝟐
Para el cuerpo 2:
𝑭 − 𝒇𝒔𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐
𝑭 − 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐
𝒂𝟐 =
𝑭−𝝁𝒄∗𝒎𝟏∗𝒈
𝒎𝟐
=
𝟐∗𝟏𝟕,𝟕−𝟎,𝟐∗𝟐∗𝟗,𝟖
𝟒
= 𝟕, 𝟖𝟕 𝒎/𝒔𝟐
38. En la figura la masa m2=10 kg se desliza sobre una plataforma sin rozamiento. Los
coeficientes de rozamiento estático y cinético entre m2 y la masa m1=5 kg son
respectivamente µe=0,6 y µc=0,4.
a) ¿Cuál es la aceleración máxima de m1?
b) ¿Cuál es el valor máximo de m3 si m1 se mueve con m2 sin deslizamiento?
c) Si m3=30 kg, determinar la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda.
a) Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo:
Cuerpo 1:
𝒇𝒔𝟏 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏
Cuerpo 2:
𝑻 − 𝒇𝒔𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ; 𝑵𝟐 = 𝑵𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
Cuerpo 3:
𝒎𝟑 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟑 ∗ 𝒂𝟑
Las fuerzas de rozamiento entre los cuerpos son iguales entre ellas y las
aceleraciones de 2 y 3 también.
Para el cuerpo 1 la condición es:
𝒂𝟏 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟔 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟓,𝟖𝟗 𝒎/𝒔𝟐
b) Como no hay deslizamiento entre las dos masas 1 y 2 podemos tratarlas
como un único bloque que se mueve sin rozamiento:
𝑻 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒂
𝒎𝟑 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟑 ∗ 𝒂
Por tanto:

21. 𝒎𝟑 =
(𝒎𝟏+𝒎𝟐)∗𝒂
(𝒈−𝒂)
= 𝟐𝟐,𝟔 𝒌𝒈
c) En este caso la masa 1 desliza.
𝒇𝒔𝟏 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟏 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟒 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟑, 𝟗𝟐 𝒎/𝒔𝟐
Para los cuerpos 2 y 3:
𝑻 − 𝒇𝒔𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
𝒎𝟑 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟑 ∗ 𝒂
La fuerza de rozamiento entre cuerpos es:
𝒇𝒔𝟏 = 𝝁𝒄 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 = 𝒇𝒔𝟐
Sumando las ecuaciones de los dos cuerpos y despejando a:
𝒂 =
𝒎𝟑∗𝒈−𝝁𝒄∗𝒎𝟏∗𝒈
(𝒎𝟏+𝒎𝟐)
= 𝟔,𝟖𝟕 𝒎/𝒔𝟐
Del sistema obtenemos T:
𝑻 = 𝒇𝒔𝟐 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 = 𝟖𝟖,𝟑 𝑵
39. Un bloque de masa m descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático es µe. Como indica la figura del problema 32 se aplica una
fuerza F bajo un ángulo ϴ.
a) Determinar la fuerza F necesaria para desplazar el bloque en función del ángulo
ϴ.
b) Para el ángulo ϴ en que esta fuerza es mínima, la pendiente dF/dϴ de la curva F
en función de ϴ es cero. Calcular dF/dϴ y demostrar que esta derivada es cero
para el ángulo ϴ que satisface la expresión tgϴ=µe. Comparar este resultado
general con el obtenido en el problema 32.
a) 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇𝒔 = 𝝁 ∗ 𝑵
𝑵 + 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despejando N en la segunda y substituyendo en la primera obtenemos F:
𝑭 =
𝝁∗𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽
b)
𝒅𝑭
𝒅𝜽
=
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)∗(𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒔𝒆𝒏𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)∗(𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒔𝒆𝒏𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 = 𝟎
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝝁 = 𝟑𝟏𝒐
40. Un bloque de 10 kg descansa sobre un soporte de 5 kg como se muestra en la
figura. Los coeficientes de rozamiento entre el bloque y el soporte son µe=0,40 y
µc=0,30. El soporte se apoya sobre una superficie sin rozamiento.
a) ¿Cuál es la fuerza máxima F que puede aplicarse sin que el bloque de 10 kg
deslice sobre el soporte?
b) ¿Cuál es la aceleración correspondiente del soporte?

22. a) B) Para que el cuerpo de 10 kg no deslice, la fuerza fs ha de ser la máxima
fuerza estática:
𝒇𝒔 = 𝝁𝒔 ∗ 𝑵𝟏𝟎 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒈 = 𝟎,𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟗,𝟖𝟏 = 𝟑𝟗,𝟐𝟒 𝑵
Aplicando ahora la segunda ley de Newton al soporte y el bloque de 10 kg:
𝒇𝒔 − 𝑭 = 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂𝟏𝟎
𝟐 ∗ 𝑭 − 𝒇𝒔 = 𝒎𝟓 ∗ 𝒂𝟓
Como el cuerpo de 10 kg no desliza las aceleraciones de los dos cuerpos han
de ser iguales.
𝟐 ∗ (𝒇𝒔 − 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂) − 𝒇𝒔 = 𝒎𝟓 ∗ 𝒂
Despejando a:
𝒂 =
𝝁𝒔∗𝒎𝟏𝟎∗𝒈
𝟐∗𝒎𝟏𝟎+𝒎𝟓
= 𝟏, 𝟓𝟕 𝒎/𝒔𝟐
𝑭 = 𝒇𝒔 − 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂𝟏𝟎 = 𝝁𝒔 ∗ 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂𝟏𝟎 = 𝟑𝟗, 𝟐𝟒 − 𝟏𝟎 ∗ 𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟐𝟑, 𝟓 𝑵
41. Un feriante ha ideado una carrera de niños en la Feria de Hielo. Ha construido una especie
de trineo semejante a una cuña triangular con un ángulo recto, que hay que empujar sobre
el hielo con el niño montado sobre la hipotenusa. Si se empuja con demasiada fuerza el
niño se desliza hacia arriba con peligro de que salte por encima. Si no se empuja
suficientemente, el niño se desliza hacia abajo y los padres del niño la pedirán que les
devuelva su dinero. Si el ángulo de inclinación de la cuña es de 40o
, ¿Cuáles son los valores
máximo y mínimo de la aceleración para que el juego funcione? Utilizar m para la masa del
niño y µe para el coeficiente de rozamiento estático entre el niño y la cuña.
Utilizamos como eje x el de la fuerza F.

23. En todos los casos 𝒇𝒔 = 𝝁𝒆 ∗ 𝑵
Aplicando la segunda ley de Newton, caso estático:
Niño, eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
Niño, eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despajamos N en la segunda y substituimos en la primera, encontramos a mínima:
𝒂𝒎í𝒏 =
𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽−𝝁𝒆∗𝒄𝒐𝒔𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝝁𝒆∗𝒔𝒆𝒏𝜽)
Para calcular el valor máximo consideramos la fuerza de fricción descendente,
aplicamos la segunda ley de Newton:
Niño, eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
Niño, eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despejando a de las ecuaciones:
𝒂𝒎𝒂𝒙 =
𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁𝒆∗𝒄𝒐𝒔𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽−𝝁𝒆∗𝒔𝒆𝒏𝜽)
42. Un bloque de masa 0,5 kg descansa sobre la superficie inclinada de una cuña de
masa 2 kg, como muestra la figura. Sobre la cuña actúa una fuerza horizontal F y
desliza sobre una superficie sin rozamiento.
a) Si el coeficiente de rozamiento estático entre la cuña y el bloque es µe=0,8 y el
ángulo de inclinación es de 35º, determinar los valores máximo y mínimo de F
para los que el bloque no desliza.
b) Repetir la parte (a) con µe=0,4.
a)

24. Fuerza mínima, a mínima:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝒂𝒎í𝒏 =
𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝒆 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝝁𝒆 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽)
Para la fuerza sobre el sistema:
𝑭𝒎𝒊𝒏 = 𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 ∗ 𝒂 = 𝟐, 𝟓 ∗
𝟗,𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓)
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 + 𝟎,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓)
= 𝟏,𝟔 𝑵
Para la máxima, invertimos la fricción:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝒂𝒎𝒂𝒙 =
𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁𝒆 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽)
(𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝝁𝒆 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽)
Para la fuerza:
𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 ∗ 𝒂 = 𝟐, 𝟓 ∗
𝟗,𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓 + 𝟎, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓)
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 − 𝟎,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓)
= 𝟖𝟒 𝑵
b) En las ecuaciones anteriores cambiamos el coeficiente de fricción:
𝑭𝒎𝒊𝒏 = 𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 ∗ 𝒂 = 𝟐, 𝟓 ∗
𝟗,𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓 − 𝟎, 𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓)
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 + 𝟎,𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓)
= 𝟓,𝟖 𝑵
𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 ∗ 𝒂 = 𝟐, 𝟓 ∗
𝟗,𝟖 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓 + 𝟎, 𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓)
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 − 𝟎,𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓)
= 𝟑𝟕 𝑵
Movimiento circular
43. Verdadero o falso: Un objeto no puede moverse en círculo a menos que actúe una
fuerza resultante neta.
Verdadero.
44. Un objeto se mueve en círculo con velocidad constante y sentido contario a las
agujas del reloj (figura). ¿Cuál de los esquemas representados en esta figura
muestra correctamente los vectores velocidad y aceleración?

25. Dibujo correcto el c.
45. Una partícula se mueve en un círculo vertical a velocidad escalar constante. ¿Cuál
de las siguientes magnitudes permanece constante?
a) La velocidad vectorial.
b) La aceleración.
c) La fuerza neta.
d) El peso aparente.
e) Ninguna de las anteriores.
Velocidad vectorial no es constante dado que gira.
La aceleración normal es constante en módulo, pero no como vector, va girando.
La fuerza resultante es constante en módulo, pero no como vector, va girando.
El peso aparente no se mantiene constante en ningún momento.
46. Un objeto se mueve con velocidad v constante en una trayectoria circular de radio
r.
a) Si v se duplica, ¿cómo se modifica la aceleración a?
b) Si r se duplica, ¿cómo se modifica a?
c) ¿Por qué es imposible que un objeto realice un giro angular perfectamente
definido (por ejemplo, 90º)?
a) Dado que la velocidad es constante en el giro, la única aceleración existente es la
normal:
𝒂 =
𝒗𝟐
𝒓
Si la velocidad se duplica la aceleración se multiplica por 4.
b) Si el radio se duplica la aceleración se divide por 2.

26. 47. Un muchacho hace girar una pelota atada a una cuerda en una circunferencia
horizontal de 0,8 m de radio. ¿A cuántas revoluciones por minuto deberá girar la
pelota si su aceleración hacia el centro de la circunferencia ha de tener el mismo
módulo que la aceleración de la gravedad?
𝒂 =
𝒗𝟐
𝒓
= 𝝎𝟐
∗ 𝒓
𝝎 = √
𝒂
𝒓
= √
𝟗,𝟖
𝟎,𝟖
= 𝟑, 𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝟑,𝟓
𝒓𝒂𝒅
𝒔
∗
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟐∗𝝅 𝒓𝒂𝒅
∗
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕
= 𝟑𝟑,𝟒 𝒓𝒆𝒗/𝒎𝒊𝒏
48. Una piedra de 0,20 kg atada a una cuerda de 0,8 m de longitud gira en el plano
horizontal. La cuerda forma un ángulo de 20º con la horizontal. Determinar la
velocidad de la piedra.
Aplicando la segunda ley de Newton:
Eje y: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
Por otra parte:
𝑳 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒓
Dividiendo las dos ecuaciones y utilizando la expresión de r:
𝒕𝒈𝜽 =
𝒈∗𝑳∗𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒗𝟐
Despejando la velocidad:
𝒗 = √
𝒈∗𝑳∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
= √
𝟗,𝟖∗𝟎,𝟗∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝟎
𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎
= 𝟒, 𝟓 𝒎/𝒔
49. Una piedra de 0,75 kg atada a una cuerda gira en un círculo horizontal de 35 cm
como un péndulo cónico. La piedra forma un ángulo de 30º con la vertical.
a) Determinar la velocidad de la piedra.
b) Determinar la tensión de la cuerda.

27. Aplicando la segunda ley de Newton:
Eje y: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
De esto:
𝒗 = √𝒓 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕𝒈𝜽 = √𝟎, 𝟑𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒕𝒈𝟑𝟎 = 𝟏, 𝟒𝟏 𝒎/𝒔
a) 𝑻 =
𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽
= 𝟖,𝟓𝟎 𝑵
50. Una piedra de masa m=95 g se hace girar en un círculo horizontal en el extremo de
una cuerda de 85 cm de longitud. El tiempo necesario para que la piedra dé una
revolución completa es 1,22 s. El ángulo que la cuerda forma con la horizontal es:
a) 52º b) 46º c) 26º d) 23º e) 3º
Aplicando la segunda ley de Newton, y considerando el ángulo con la vertical:
Eje y: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
= 𝒎 ∗ 𝝎𝟐
∗ 𝒓 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓
Por otra parte:
𝑳 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒓
Despejando:

28. 𝒕𝒈𝜽 =
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳∗𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑻𝟐∗𝒈
Operando y utilizando sen2
ϴ+cos2
ϴ =1:
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
=
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
𝑻𝟐∗𝒈
Obtenemos:
𝑻𝟐∗𝒈
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜽 +
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
𝑻𝟐∗𝒈
𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
𝑻𝟐∗𝒈
= 𝟎
La resolución de la ecuación de segundo grado nos lleva a :
𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟏
De esto el ángulo con la vertical es ϴ=65º y por tanto el ángulo con la horizontal
es de 25º. La respuesta c es la que más se aproxima.
51. Un piloto de masa 50 kg sale de un rizo vertical según un arco circular tal que su
aceleración hacia arriba es 8,5 g.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el asiento del piloto en la parte
más baja del arco?
b) Si la velocidad del avión es de 345 km/h, ¿Cuál es el radio del arco circular?
a)
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂𝒏
Por tanto:
𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝟓𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 + 𝟓𝟎 ∗ 𝟖,𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟒𝟔𝟓𝟓 𝑵
b) 𝟑𝟒𝟓
𝒌𝒎
𝒉
∗
𝟏 𝒉
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
∗
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎
𝟏 𝒌𝒎
= 𝟗𝟓,𝟖 𝒎/𝒔
𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝒓
𝒓 =
𝒗𝟐
𝒂𝒏
=
𝟗𝟓,𝟖𝟐
𝟖,𝟓∗𝟗,𝟖
= 𝟏𝟏𝟎 𝒎
52. Un piloto de avión de masa 65 kg se lanza hacia abajo para describir un rizo
siguiendo un arco de circunferencia cuyo radio es 300 m. En la parte inferior de la
trayectoria, donde su velocidad es de 180 km/h,
a) ¿Cuáles son la dirección y el módulo de la aceleración?
b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre el piloto en la parte más baja del círculo?
c) ¿Cuál es la fuerza ejercida por el asiento sobre el piloto?

29. a) La dirección de la aceleración es vertical y hacia el centro de la circunferencia.
𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
=
(
𝟏𝟖𝟎
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟑𝟎𝟎
= 𝟖,𝟑𝟑 𝒎/𝒔𝟐
b) 𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂𝒏
𝑳𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒏𝒆𝒕𝒂 ,𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕,𝒆𝒔 𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝟔𝟓 ∗ 𝟖, 𝟑𝟑 = 𝟓𝟒𝟏, 𝟓 𝑵
c) 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝟔𝟓 ∗ 𝟗,𝟖 + 𝟓𝟒𝟏,𝟓 = 𝟏𝟏𝟕𝟖,𝟓 𝑁
53. La masa m1 se mueve con velocidad v en una trayectoria circular de radio R sobre
una mesa sin rozamiento (figura). Está sujeta a una cuerda que pasa a través de un
orificio (sin rozamiento) situado en el centro de la mesa. Una segunda masa m2
está sujeta en el otro extremo de la cuerda. Deducir una expresión para R en
función de las masas.
Aplicando la segunda ley de Newton a cada masa:
𝑴𝒂𝒔𝒂 𝟏,𝒆𝒋𝒆 𝒚:𝑵 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ; 𝒆𝒋𝒆 𝒙 ∶ 𝑻 = 𝒎𝟏 ∗
𝒗𝟐
𝑹

30. Masa 2: 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈
Despejando el radio de las ecuaciones:
𝑹 =
𝒎𝟏∗𝒗𝟐
𝒎𝟐∗𝒈
54. En la figura se muestran los movimientos circulares de partículas en sentido
contrario a las agujas del reloj. El radio de los círculos es de 5 m. Los vectores
aceleración se indican para tres tiempos específicos. Hallar los valores de v y dv/dt
para cada uno de estos tiempos.
a) 𝒂𝒏 = 𝒂 = 𝟐𝟎
𝒎
𝒔𝟐 ; 𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒗 = √𝒂𝒏 ∗ 𝑹 = √𝟐𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟎
𝒎
𝒔
𝒂𝒕 = 𝟎 ;
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝟎
b) 𝒂𝒏 = 𝒂 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟐𝟓,𝟗𝟖
𝒎
𝒔𝟐 ; 𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒗 = √𝒂𝒏 ∗ 𝑹 = √𝟐𝟓,𝟗𝟖 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟏,𝟒
𝒎
𝒔
𝒂𝒕 = 𝒂 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟏𝟓
𝒎
𝒔𝟐 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
c) 𝒂𝒏 = 𝒂 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 = 𝟑𝟑,𝟑𝟔
𝒎
𝒔𝟐 ; 𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒗 = √𝒂𝒏 ∗ 𝑹 = √𝟑𝟑,𝟑𝟔 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟐,𝟗
𝒎
𝒔
𝒂𝒕 = −𝒂 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 = −𝟑𝟑,𝟒𝟔
𝒎
𝒔𝟐 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
55. Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda de longitud L1 fija por un extremo.
La masa se mueve en un círculo horizontal soportada por una masa sin
rozamiento. Una segunda masa m2 se une a la primera mediante una cuerda de
longitud L2 y se mueve también en círculo como indica la figura. Determinar la
tensión en cada una de las cuerdas si el período del movimiento es T.

31. Aplicando la segunda ley de Newton a cada masa:
Masa 1; Eje x : 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = 𝒎𝟏 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝑳𝟏
Masa 2, Eje x : 𝑻𝟐 = 𝒎𝟐 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ (𝑳𝟐 + 𝑳𝟏)
Sumando las ecuaciones:
𝑻𝟏 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ (𝒎𝟏 ∗ 𝑳𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ (𝑳𝟐 + 𝑳𝟏))
La expresión de T2 ya está encontrada.
56. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de 4 cm de radio. Tarda 8 s en
dar una vuelta completa. Dibujar la trayectoria de la partícula a escala e indicar las
posiciones a intervalos de 1 s. Dibujar los vectores de desplazamiento
correspondientes a estos intervalos de 1 s. Estos vectores indican también los
vectores velocidad media durante los mismos intervalos. Hallar gráficamente la
variación de la velocidad media ∆v correspondiente a dos intervalos de 1 s
consecutivos. Comparar ∆v/∆t, medida así, con la aceleración instantánea
calculada a partir de a=v2
/r.

32. ∆𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒓 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
𝒗𝒎𝒆𝒅 =
∆𝒓
∆𝒕
=
𝟐∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
∆𝒕
El vector velocidad tiene la dirección y el sentido de ∆r, y su módulo es constante.
∆𝒗 = 𝟐 ∗ 𝒗𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂:
∆𝒗 = 𝟐 ∗
𝟐∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
∆𝒕
∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓 =
𝟒∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
∆𝒕
La aceleración será:
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟒∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
(∆𝒕)𝟐
Substituyendo los valores:
∆𝒗
∆𝒕
=
𝟒∗𝟎,𝟎𝟒∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟓
(𝟏)𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝒎/𝒔𝟐
Si ahora buscamos la aceleración con la expresión de la aceleración centrípeta:
𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝒓
= 𝝎𝟐
∗ 𝒓 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝟖𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓
𝒎
𝒔𝟐
57. Un hombre hace oscilar circularmente a su hijo como indica la fotografía adjunta.
Si la masa del niño es de 25 kg, el radio del circulo 0,75 m y el periodo de
revolución de 1,5 s, ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza que debe ejercer
el hombre sobre el niño? (Suponer en los cálculos que el niño es una partícula
puntual).

33. Aplicando la segunda ley de Newton:
Eje y: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓
Dividiendo las dos ecuaciones:
𝒕𝒈𝜽 =
𝟒∗𝝅𝟐∗𝒓
𝑻𝟐∗𝒎∗𝒈
=
𝟒∗𝝅𝟐∗𝟎,𝟕𝟓
𝟏,𝟓𝟐∗𝟐𝟓∗𝟗,𝟖
; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝟒∗𝝅𝟐∗𝟎,𝟕𝟓
𝟏,𝟓𝟐∗𝟐𝟓∗𝟗,𝟖
) = 𝟓𝟑𝒐
Substituyendo calculamos F:
𝑭 =
𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟐𝟓∗𝟗,𝟖
𝒄𝒐𝒔𝟓𝟑
= 𝟒𝟎𝟕 𝑵
58. La cuerda de un péndulo cónico tiene 50 cm de longitud y la masa del cuerpo
pendular es 0,25 kg. Determinar el ángulo que forman la cuerda y la horizontal
cuando la tensión de la cuerda es seis veces mayor que el peso del cuerpo
pendular. En estas condiciones, ¿Cuál es el periodo del péndulo?
Eje y: 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓
Por los datos F=6*m*g
𝟔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈

34. 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝟔
; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (
𝟏
𝟔
) = 𝟗, 𝟔𝒐
𝒕𝒈𝜽 =
𝒈∗𝑻𝟐
𝟒∗𝝅𝟐∗𝒓
; 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝒓∗𝒕𝒈𝜽
𝒈
= 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝑳∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒕𝒈𝜽
𝒈
= 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒎∗𝒈
𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝟎,𝟓∗𝒔𝒆𝒏𝟗,𝟔
𝟗,𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟖 𝒔
59. Frustrado por su incapacidad de vivir honradamente, un pícaro organiza un
negocio engañoso para personas que desean adelgazar. El truco consiste en hacer
creer a sus infelices clientes que viajando en una camioneta de su propiedad
podrán eliminar los kilogramos extra que tienen en sus cuerpos. El pícaro sienta al
cliente sobre una balanza de resorte en la parte trasera de su camioneta y
comienza su viaje a una velocidad constante de 14 m/s. De pronto dice a su cliente
que piense que “va a engordar” y se lanza por una cuesta abajo y llega hasta el
fondo de una depresión donde la carretera tiene un radio de curvatura de 80 m.
Naturalmente, la balanza marca un peso mayor, hasta que el pícaro dice a su
cliente que piense que “va a adelgazar” y le conduce sobre la cresta de una colina
que tiene un radio de curvatura de 100 m. Si la balanza marcaba 800 N cuando la
camioneta circulaba por un lugar llan0, ¿qué intervalo de lecturas marcaría en el
viaje descrito?
En el tramo horizontal:
800=m*g
𝒎 =
𝟖𝟎𝟎
𝟗,𝟖
= 𝟖𝟏,𝟔 𝒌𝒈
En la parte inferior de la curva:
𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
= 𝟖𝟎𝟎 + 𝟖𝟏,𝟔 ∗
𝟏𝟒𝟐
𝟖𝟎
= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵
En la parte superior:
𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑵 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
= 𝟖𝟎𝟎 − 𝟖𝟏,𝟔 ∗
𝟏𝟒𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟔𝟒𝟎 𝑵
60. Un disco de 100 g se coloca sobre una plataforma giratoria horizontal que gira a
razón de una revolución por segundo. El disco está situado a 10 cm del eje de
rotación de la plataforma.
a) ¿Qué fuerza de rozamiento actúa sobre el disco?
b) El disco desliza y sale despedido de la plataforma cuando se coloca a una
distancia radial superior a 16 cm del eje de rotación. ¿Cuál es el coeficiente de
rozamiento estático?

35. a) Aplicando la segunda ley de Newton:
𝟏
𝒓𝒆𝒗
𝒔
∗
𝟐 𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
= 𝟐 𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔
Eje x: 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓 ; 𝒇𝒔 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
(𝟏)𝟐 ∗ 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟓 𝑵
b) 𝒇𝒔
= 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓 = 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈
𝝁 =
𝟒∗𝝅𝟐∗𝒓
𝑻𝟐∗𝒈
=
𝟒∗𝝅𝟐∗𝟎,𝟏𝟔
𝟏∗𝟗,𝟖
= 𝟎, 𝟔𝟒𝟒
61. Una bola de masa 0,25 kg está sujeta a una barra vertical por una cuerda de 1,2 m
de longitud. Suponer que la cuerda está sujeta al centro de la bola. Si la cuerda
forma un ángulo de 20º con la vertical, calcular
a) La tensión de la cuerda.
b) La velocidad de la bola.
a) Eje y: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Eje x: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎
𝒗𝟐
𝑹
= 𝒎
𝒗𝟐
𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽
De la primera:
𝑻 =
𝒎∗𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟎,𝟐𝟓∗𝟗,𝟖
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎
= 𝟐,𝟔 𝑵
b) De la segunda:
𝒗 = √
𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 ∗ 𝑳
𝒎
= √
𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 ∗ 𝑳
𝒄𝒐𝒔𝜽
= √
𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝟎 ∗ 𝟏, 𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟐
𝒎
𝒔

36. 62. Un objeto situado en el ecuador tiene una aceleración dirigida hacia el centro de la
Tierra debida a la rotación terrestre y una aceleración dirigida hacia el Sol debida
al movimiento de la Tierra en su órbita. Calcular los módulos de ambas
aceleraciones y expresarlos como fracciones de la aceleración de caída libre debida
a la gravedad g.
Utilizamos RT=6370 km
Para la aceleración dirigida hacia el centro de la Tierra debida a la rotación (T= 24
h):
𝟐𝟒 𝒉 ∗
𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔
𝟏 𝒉
= 𝟖𝟔𝟒𝟎𝟎 𝒔
𝒂 = 𝝎𝟐
∗ 𝑹𝑻 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝑹𝑻 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝟖𝟔𝟒𝟎𝟎𝟐 ∗ 𝟔𝟑𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑
= 𝟎. 𝟎𝟑𝟑𝟕
𝒎
𝒔𝟐 = 𝟑,𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑
∗ 𝒈
Para la aceleración asociada al movimiento de traslación:
𝑹𝑻−𝑺𝒐𝒍 = 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏
𝒎
𝑻 = 𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔 ∗
𝟐𝟒 𝒉
𝟏 𝒅𝒊𝒂
∗
𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔
𝟏 𝒉
= 𝟑𝟏𝟓𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒔
𝒂 = 𝝎𝟐
∗ 𝑹𝑻−𝑺𝒐𝒍 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐
∗ 𝑹𝑻−𝑺𝒐𝒍 =
𝟒∗𝝅𝟐
(𝟑,𝟏𝟓𝟑𝟔∗𝟏𝟎𝟕)𝟐
∗ 𝟏,𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏
= 𝟓,𝟗𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎
𝒔𝟐
= 𝟔,𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟒
∗ 𝒈
63. Una pequeña cuenta con una masa de 100 g se desliza a lo largo de un alambre
semicircular con un radio de 10 cm que gira alrededor de un eje vertical a razón de
2 vueltas por segundo como se indica en la figura. Determinar los valores de ϴ
para los cuales la cuenta permanece estacionaria respecto al alambre giratorio.
T=0,5 s

37. R=L*senϴ
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝑹 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
Dividiendo las ecuaciones:
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗
𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒈
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑻𝟐∗𝒈
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (
𝑻𝟐∗𝒈
𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳
) = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (
𝟎,𝟓𝟐∗𝟗,𝟖
𝟒∗𝝅𝟐∗𝟎,𝟏
) = 𝟓𝟐𝒐
64. Considerar una cuenta de masa m que puede moverse libremente sobre un
alambre delgado y circular de radio r. Se da a la cuenta una velocidad inicial vo y el
coeficiente cinético de rozamiento es µc. El experimento se realiza en un vehículo
espacial que se mueve por el espació. Determinar la velocidad de la cuenta en
cualquier tiempo t posterior.
Tendremos que considerar una componente tangencial i una normal:
Componente tangencial: 𝒇𝒌 = −𝝁 ∗ 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒂𝒕 = 𝒎 ∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Componente Normal: 𝑵 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
Substituimos N en la ecuación tangencial:
−𝝁 ∗ 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
= 𝒎 ∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
−
𝝁
𝒓
∗ 𝒅𝒕 =
𝒅𝒗
𝒗𝟐
-
𝝁
𝒓
∗ ∫ 𝒅𝒕
𝒕
𝟎
= ∫
𝒅𝒗
𝒗𝟐
𝒗
𝒗𝒐
-
𝝁
𝒓
∗ 𝒕 = −
𝟏
𝒗
+
𝟏
𝒗𝒐
𝒗 = 𝒗𝒐 ∗ (
𝟏
𝟏+
𝝁𝒄∗𝒗𝒐
𝒓
∗𝒕
)
65. En el problema 64.
a) Determinar la aceleración centrípeta de la cuenta.
b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración resultante?

38. a) De acuerdo con el problema anterior:
𝒗 = 𝒗𝒐 ∗ (
𝟏
𝟏+
𝝁𝒄∗𝒗𝒐
𝒓
∗𝒕
)
𝒂𝒏 =
𝒗𝟐
𝒓
=
𝒗𝒐
𝟐
𝒓
∗ (
𝟏
𝟏+
𝝁𝒄∗𝒗𝒐
𝒓
∗𝒕
)
𝟐
𝒂𝒕 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= −𝝁 ∗
𝒗𝟐
𝒓
La aceleración total:
𝒂 = √𝒂𝒕
𝟐
+ 𝒂𝒏
𝟐 = √(𝝁 ∗
𝒗𝟐
𝒓
)
𝟐
+ (
𝒗𝟐
𝒓
)
𝟐
=
𝒗𝟐
𝒓
∗ √𝝁𝟐 + 𝟏
Rizar el rizo
66. Un bloque se desliza sobre una superficie sin rozamiento a lo largo de un rizo
como indica la figura. El bloque se mueve con la velocidad necesaria para que en
ningún momento pierda el contacto con la pista. Asignar los puntos A, B, C y D a
sus correspondientes diagramas de fuerza de la segunda figura.

39. Punto A: Dibujo 3.
Punto B: Dibujo 4.
Punto C: Dibujo 5.
Punto C: Dibujo 2.
67. Una persona está sobre un carrusel en un parque de atracciones. La vagoneta
circula por la pista a velocidad constante. En la parte superior de un rizo vertical, la
fuerza normal ejercida por el asiento es igual al peso de la persona, mg. En la parte
inferior del rizo, la fuerza ejercida por el asiento será:
a) 0 b) mg c) 2 mg d) 3 mg
e) mayor que mg, pero no puede calcularse el valor exacto con la información
dada.
En el punto más alto: 𝑵 + 𝑷 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
= 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈
En el punto inferior: 𝑵 − 𝑷 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝑵 = 𝑷 + 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
= 𝟑 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈
Respuesta correcta la d.
68. El radio de curvatura del rizo vertical de una montaña rusa es de 120 m. En lo alto
del rizo, la fuerza que el asiento ejerce sobre un pasajero de masa m es de 0,4 mg.
Determinar la velocidad de la vagoneta en ese punto.
Si consideramos que la vagoneta va por la pate interior de la curva:
𝑵 + 𝑷 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝟏, 𝟒 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝒗 = √𝟏, 𝟒 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 = √𝟏,𝟒 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟏𝟐,𝟎 = 𝟏𝟐,𝟖 𝒎/𝒔
Si consideramos que la vagoneta va por la parte exterior:

40. 𝑷 − 𝑵 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝟎, 𝟔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝒗 = √𝟎, 𝟔 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 = 𝟖,𝟒 𝒎/𝒔
Curvas sin peralte
69. Al recordar de pronto que ha dejado la estufa del gas encendida, un joven toma el
coche para ir lo más rápidamente posible a su casa. Vive en el otro extremo de una
larga curva sin peralte de la autopista y sabe que cuando viaja solo en su coche a
40 km/h muy ajustadamente sin patinar. Ante la urgencia de su problema dice a
sus amigos: “!Todos al coche ¡, con mayor masa podré tomar la curva a más
velocidad”. Uno de sus amigos le dice : “No, con mayor masa patinarás a menor
velocidad”. Otro exclama: ”La masa no influye para nada”. ¿Quién está en lo
cierto?
En la curva:
𝒇𝒔 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
La masa no afecta.
70. Un coche acelera a lo largo de la rampa curvada de salida de una autopista . El
radio de la curva es de 80 m . Un pasajero de 70 kg se sujeta al reposabrazos de la
puerta del coche con una fuerza de 220 N para no deslizarse en su asiento. (Se
supone que la rampa de salida no tiene peralte y se desprecia el rozamiento sobre
el asiento) ¿Cuál es la velocidad del coche?
a) 16 m/s b) 57 m/s c) 18 m/s d) 50 m/s e) 28 m/s
𝟐𝟐𝟎 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒗 = √
𝟐𝟐𝟎∗𝑹
𝒎
= √
𝟐𝟐𝟎∗𝟖𝟎
𝟕𝟎
= 𝟏𝟔 𝒎/𝒔
Respuesta a
71. Un estudiante montado en una bicicleta sobre una superficie horizontal, recorre
un círculo de radio 20 m. La fuerza resultante ejercida por la carretera sobre la
bicicleta ( fuerza normal más fuerza de rozamiento) forma un ángulo de 15º con la
vertical.
a) ¿Cuál es la velocidad del estudiante?
b) Si la fuerza de rozamiento es la mitad de su valor máximo , ¿Cuál es el
coeficiente de rozamiento estático?
a)

41. Si consideramos las fuerzas verticales:
𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈
Para las componentes horizontales:
𝒇𝒔 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
Para las dos fuerzas consideradas:
𝒕𝒈𝜽 =
𝒇𝒔
𝑵
=
𝒎∗
𝒗𝟐
𝑹
𝒎∗𝒈
𝒗 = √𝒈 ∗ 𝑹 ∗ 𝒕𝒈𝜽 = √𝟗,𝟖 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝒕𝒈𝟏𝟓 = 𝟕, 𝟐𝟒 𝒎/𝒔
b) 𝒇𝒔 =
𝟏
𝟐
∗ 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝝁 =
𝟐∗𝒗𝟐
𝒈∗𝑹
=
𝟐∗𝟕,𝟐𝟒𝟐
𝟗,𝟖∗𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟓𝟒
Curvas con peralte
72. Un coche de 750 kg toma una curva de radio 160 m a 90 km/h. ¿Cuál debería ser el
ángulo de peralte de la curva para que la única fuerza entre el pavimento y los
neumáticos fuese la fuerza de reacción normal?
La componente en el eje x de la Normal es la fuerza centrípeta:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝒕𝒈𝜽 =
𝒗𝟐
𝒈∗𝑹
; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝒗𝟐
𝒈∗𝑹
) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
(𝟗𝟎/𝟑,𝟔)𝟐
𝟗.𝟖∗𝟏𝟔𝟎
) = 𝟐𝟏,𝟕𝒐
73. Una curva de radio 150 m tiene un peralte con un ángulo de 10º. Un coche de 800
kg toma la curva a 85 km/h sin patinar. Determinar
a) La fuerza normal que actúa sobre los neumáticos ejercida por el pavimento.
b) La fuerza de rozamiento ejercida por el pavimento sobre los neumáticos del
coche.
c) El mínimo coeficiente de rozamiento estático entre el pavimento y los
neumáticos.
a)

42. Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
Despejando N:
𝑵 = 𝒎 ∗ (
𝒗𝟐
𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟖𝟎𝟎 ∗ (
(
𝟖𝟓
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟏𝟓𝟎
∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 + 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎) = 𝟖𝟐𝟓𝟎 𝑵
b) 𝒇𝒔 =
𝑵∗𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒎∗𝒈
𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝟖𝟐𝟓𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎−𝟖𝟎𝟎∗𝟗,𝟖
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎
= 𝟏𝟓𝟗𝟎 𝑵
c) 𝒇𝒔 = 𝝁 ∗ 𝑵 ; 𝝁 =
𝒇𝒔
𝑵
=
𝟏𝟓𝟗𝟎
𝟖𝟐𝟓𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟗𝟑
74. En otra ocasión el coche del problema anterior toma la curva a 38 km/h.
Determinar
a) La fuerza normal ejercida por el pavimento sobre los neumáticos
b) La fuerza de rozamiento ejercida entre el pavimento y los neumáticos.
a)
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒇𝒔 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽
Despejando N:
𝑵 = 𝒎 ∗ (
𝒗𝟐
𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟖𝟎𝟎 ∗ (
(
𝟑𝟖
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟏𝟓𝟎
∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 + 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎) = 𝟕𝟖𝟑𝟐 𝑵
b) 𝒇𝒔 =
𝑵∗𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒎∗𝒈
𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝟕𝟖𝟑𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎−𝟖𝟎𝟎∗𝟗,𝟖
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎
= −𝟕𝟕𝟕 𝑵

43. La fuerza de rozamiento estará dirigida hacia la parte superior del plano
inclinado.
75. Un ingeniero de caminos recibe la siguiente consulta. Hay que diseñar una sección
curva de carretera que cumpla las siguientes condiciones: Con hielo sobre la
carretera, cuando el coeficiente de rozamiento estático entre la carretera y el
caucho es de 0,08, un coche en reposo no debe deslizar hacia la cuneta y un coche
que circule a una velocidad inferior a 60 km/h no debe deslizarse hacia el exterior
de la curva. ¿Cuál debe ser el radio mínimo de curvatura de la curva y el ángulo de
peralte de la carretera?
Para no deslizar hacia la cuneta (primer dibujo):
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒇𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 ; 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
De la primera ecuación:
𝒕𝒈𝜽 = 𝝁 ; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝝁 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟎,𝟎𝟖) = 𝟒,𝟔𝒐
Para este ángulo consideramos el segundo caso:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
( Si la fuerza de rozamiento va hacia abajo)
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Despejamos N de la segunda, substituimos en la primera, utilizamos la expresión
del coeficiente de fricción encontrada y obtenemos:
𝒓 =
𝒗𝟐
𝟐∗𝒈∗𝒕𝒈𝜽
=
(
𝟔𝟎
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟐∗𝟗,𝟖∗𝒕𝒈𝟒,𝟔
= 𝟏𝟕𝟔 𝒎
76. Una carretera está peraltada de modo que un coche de 950 kg que se desplace a
40 km/h puede tomar una curva de 30 m de radio incluso si existe una capa de
hielo equivalente a un coeficiente de rozamiento aproximadamente cero.
Determinar el intervalo de velocidades a que un coche puede tomar esta curva sin
patinar, si el coeficiente de rozamiento estático entre la carretera y las ruedas es
0,3.

44. Si en el primer caso suponemos que no hay fricción:
𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Por tanto:
𝒕𝒈𝜽 =
𝒗𝟐
𝒓∗𝒈
; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝒗𝟐
𝒓∗𝒈
) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
(
𝟒𝟎
𝟑,𝟔
)
𝟐
𝟑𝟎∗𝟗,𝟖
) = 𝟐𝟐,𝟖𝒐
Para una fuerza de rozamiento, tenemos las dos posibilidades del dibujo:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
( Si la fuerza de rozamiento va hacia abajo)
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
La expresión anterior permite determinar la velocidad máxima, despejamos N de
la segunda, substituimos en la primera y despejamos la velocidad:
𝒗𝒎𝒂𝒙 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒓 ∗ 𝒕𝒈𝜽 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟑𝟎 ∗ 𝒕𝒈𝟐𝟐,𝟖 = 𝟏𝟓,𝟕𝟐 𝒎/𝒔
Si la fuerza de rozamiento va hacia arriba encontraremos la velocidad mínima:
Eje x: 𝑵 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝒓
( Si la fuerza de rozamiento va hacia arriba)
Eje y: 𝑵 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈
Procediendo igual que en el caso anterior:
𝒗 = √𝒈 ∗ 𝒓 ∗ (𝒕𝒈𝜽 − 𝝁) = √𝟗, 𝟖 ∗ 𝟑𝟎 ∗ (𝒕𝒈𝟐𝟐,𝟖 − 𝟎, 𝟑) = 𝟔 𝒎/𝒔
Fuerzas de arrastre
77. ¿En qué forma es de esperar que varié el coeficiente b de la resistencia del aire con
su propia densidad?
La expresión es b*vn
.
La causa de esta fricción es el choque del cuerpo que cae con las moléculas del
fluido, por tanto, a mayor densidad se habrá de esperar un mayor valor de b.
78. ¿Verdadero o falso? ¿La velocidad límite de un objeto depende de su forma?
Por el mismo motivo del problema anterior, como b depende de las moléculas de
fluido que chocan con el cuerpo en caída, la afirmación será verdadera.
79. Cuando un paracaidista cae a través del aire, su velocidad límite
a) Depende de su masa.
b) Depende de su orientación al caer.
c) Es igual a su peso.
d) Depende de la densidad del aire.
e) Depende de todas las afirmaciones anteriores.

45. La velocidad límite es:
𝒎 ∗ 𝒈 − 𝒃 ∗ 𝒗𝒏
= 𝒎 ∗ 𝒂
Para velocidad límite a=0.
𝒗𝒍 = (
𝒎∗𝒈
𝒃
)
𝟏/𝒏
Por tanto:
A es correcta.
B es correcta, afecta la orientación a b.
C es correcta si b =1 i n =1.
D es correcta, la densidad afecta a b.
E es correcta.
80. Calcular las dimensiones y unidades SI de la constante b de la fuerza de arrastre
b*vn
.
a) Si n=1.
b) Si n=2.
a) |𝒃| = |
𝑭
𝒗
| =
𝑴∗𝑳∗𝑻−𝟐
𝑳∗𝑻−𝟏 = 𝑴 ∗ 𝑻−𝟏
b) |𝒃| = |
𝑭
𝒗𝟐
| =
𝑴∗𝑳∗𝑻−𝟐
𝑳𝟐∗𝑻−𝟐 = 𝑴 ∗ 𝑳−𝟏
81. Una pequeña partícula contaminante cae a tierra a través del aire en reposo con
una velocidad límite de 0,3 mm/s. La partícula posee una masa de 10-10
g y la
fuerza de arrastre es de la forma b*v. ¿Cuál es el valor de b?
𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒃 ∗ 𝒗 ; 𝒃 =
𝒎 ∗ 𝒈
𝒗
=
𝟏𝟎−𝟏𝟑
∗ 𝟗, 𝟖
𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒
= 𝟑,𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
𝑲𝒈/𝒔
82. Una pelota de ping-pong posee una masa de 2,3 g y una velocidad límite de 9 m/s.
La fuerza de arrastre es del tipo b*v2
. ¿Cuál es el valor de b?
𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒃 ∗ 𝒗𝟐
;𝒃 =
𝒎∗𝒈
𝒗𝟐 =
𝟐,𝟑∗𝟏𝟎−𝟑∗𝟗,𝟖
(𝟗)𝟐 = 𝟐,𝟕𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟒
𝑲𝒈/𝒎
83. Un paracaidista de 60 kg de masa consigue descender con una velocidad constante
de 90 km/h ajustando su forma de caída.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de arrastre hacia arriba sobre el paracaidista?
b) Si la fuerza de arrastre es igual a b*v2
,¿Cuál es el valor de b?
a) 𝑭𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔𝒕𝒓𝒆 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟔𝟎 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟓𝟖𝟗 𝑵
b) 𝑭𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔𝒕𝒓𝒆 = 𝒃 ∗ 𝒗𝟐
; 𝒃 =
𝒎∗𝒈
𝒗𝟐 =
𝟔𝟎∗𝟗,𝟖
(
𝟗𝟎
𝟑,𝟔
)
𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟐 𝑲𝒈/𝒎
84. Newton demostró que la resistencia opone el aire a un objeto de sección
transversal circular en caída libre es aproximadamente igual a
𝟏
𝟐
𝝆𝝅𝒓𝟐
𝒗𝟐
, en
donde 𝝆 = 𝟏, 𝟐 𝒌𝒈/𝒎𝟑
es la densidad del aire. Calcular la velocidad límite de un
paracaidista de 56 kg si se supone que su sección transversal es equivalente a la de
un disco de 0,30 m de radio.
Aplicando la fórmula dada:
𝑭𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔𝒕𝒓𝒆 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝟏
𝟐
𝝆𝝅𝒓𝟐
𝒗𝟐
=
𝟏
𝟐
∗ 𝟏,𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎,𝟑𝟎𝟐
∗ 𝒗𝟐
= 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟓𝟔 ∗ 𝟗,𝟖
𝒗 = √
𝒎∗𝒈
𝟏
𝟐
∗𝝆∗𝝅∗𝒓𝟐
= √
𝟓𝟔∗𝟗,𝟖
𝟏
𝟐
∗𝟏,𝟐∗𝝅∗𝟎,𝟑𝟐
= 𝟓𝟔,𝟗 𝒎/𝒔

46. 85. Un automóvil de 800 kg desciende por una larga pendiente de 6º. La fuerza de
arrastre que se opone al movimiento del coche tiene la forma Fd=100 N+(1,2
N*s2
/m2
)v2
. ¿Cuál es la velocidad límite del automóvil al descender por la
pendiente?
Para la velocidad límite:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟔 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏, 𝟐 ∗ 𝒗𝟐
𝒗 = √
𝒎∗𝒈∗𝒔𝒊𝒏𝟔−𝟏𝟎𝟎
𝟏,𝟐
= √
𝟖𝟎𝟎∗𝟗,𝟖𝟏∗𝒔𝒊𝒏𝟔−𝟏𝟎𝟎
𝟏,𝟐
= 𝟐𝟒,𝟓 𝒎/𝒔
86. Decir que han caído piedras de hielo del tamaño de pelotas de golf puede ser una
exageración, pero normalmente el granizo es muy superior al tamaño de las gotas
de agua. Estimar la velocidad límite de una gota de agua y de una piedra grande
(Véase problema 84).
𝟏
𝟐
𝝆𝝅𝒓𝟐
𝒗𝟐
= 𝒎 ∗ 𝒈
𝒗 = √
𝟐∗𝒎∗𝒈
𝝆𝝅𝒓𝟐
Si consideramos gotas esféricas 𝑽 =
𝟒
𝟑
∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟑
y 𝝆 =
𝒎
𝑽
:
𝒗 = √
𝟖∗𝒈∗𝒓
𝟑
87.
a) Un paracaídas crea bastante resistencia para que una persona de 80 kg caiga
con una velocidad constante de 6,0 m/s. Suponiendo que la fuerza de
resistencia del aire viene dada por f=b*v2
, calcular b para este caso.
b) Un paracaidista cae libremente hasta que su velocidad es 60 m/s antes de
abrir su paracaídas. Si se abre instantáneamente, calcular la fuerza inicial
ejercida sobre el paracaidista en estas condiciones. Explicar por qué es
importante que el paracaídas tarde varios segundos en abrirse.
a) 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒃 ∗ 𝒗𝟐
𝒃 = √
𝒎∗𝒈
𝒗𝟐 = √
𝟖𝟎∗𝟗,𝟖𝟏
𝟔𝟐 = 𝟐𝟏,𝟖 𝒌𝒈/𝒎
b) 𝒇 = 𝟐𝟏, 𝟖 ∗ 𝟔𝟎𝟐
= 𝟕𝟖𝟒𝟖𝟎 𝑵
La aceleración causada seria:
𝒂 =
𝒎 ∗ 𝒈 − 𝒇
𝒎
=
𝟖𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 − 𝟕𝟖𝟒𝟖𝟎
𝟖𝟎
= 𝟗𝟕𝟏 𝒎/𝒔𝟐
𝑶𝒃𝒗𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒂 𝒔𝒐𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆.

47. 88. Un cuerpo cae bajo la influencia de la gravedad y una fuerza de arrastre Fa=-bv.
a) Demostrar aplicando la segunda ley de Newton que la aceleración puede
escribirse en la forma
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 −
𝒃
𝒎
𝒗
b) Reajustar esta ecuación para obtener
𝒅𝒗
𝒗−𝒗𝟏
= −
𝒈
𝒗𝟏
𝒅𝒕
En donde 𝒗𝟏 = 𝒎𝒈/𝒃.
c) Integrar esta ecuación y obtener la solución exacta
𝒗 =
𝒎𝒈
𝒃
(𝟏 − 𝒆−
𝒃𝒕
𝒎) = 𝒗𝟏 (𝟏 − 𝒆
−
𝒈𝒕
𝒗𝟏)
d) Representar v en función de t para 𝒗𝟏 = 𝟔𝟎 𝒎/𝒔.
a) 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝒃 ∗ 𝒗 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝒈 −
𝒃
𝒎
∗ 𝒗
b) Si tenemos en cuenta que a=dv/dt
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 −
𝒃
𝒎
∗ 𝒗 ; 𝒎 ∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒈 ∗ 𝒎 − 𝒃 ∗ 𝒗 ;
𝒎
𝒃
∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
=
𝒈∗𝒎
𝒃
− 𝒗 ;
𝒎
𝒃
∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝒗𝟏 − 𝒗
𝒗 − 𝒗𝟏 = −
𝒎
𝒃
∗
𝒅𝒗
𝒅𝒕
;
𝒅𝒗
𝒗−𝒗𝟏
= −
𝒃
𝒎
𝒅𝒕 ;
𝒅𝒗
𝒗−𝒗𝟏
= −
𝒈
𝒗𝟏
𝒅𝒕
c) ∫
𝒅𝒗
𝒗−𝒗𝟏
𝒗
𝟎
= ∫ −
𝒈
𝒗𝟏
𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝒍𝒏(𝒗 − 𝒗𝟏) − 𝒍𝒏(𝟎 − 𝒗𝟏) = −
𝒈
𝒗𝟏
∗ 𝒕
𝒗−𝒗𝟏
−𝒗𝟏
= 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
𝒗 = 𝒗𝟏 ∗ (𝟏 − 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
)
d)
89. Las partículas pequeñas esféricas experimentan una fuerza de resistencia viscosa
dada por la ley de Stokes, 𝑭𝒂 = 𝟔𝝅𝜼𝒓𝒗, en donde r es el radio de la partícula, v su
velocidad y 𝜼 la viscosidad dinámica del medio fluido donde caen las esferitas.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40 60 80 100 120 140
v

48. a) Estimar la velocidad límite de una partícula contaminante esférica de radio
10-5
m y densidad 2000 kg/m3
. Suponer que el aire está en reposo y que 𝜼 =
𝟏, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓
Ns/m2
.
b) Estimar el tiempo que esta partícula tarda en caer por una chimenea de 100 m
de altura.
a) Calculamos b:
𝒃 = 𝟔 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓
∗ 𝟏𝟎−𝟓
= 𝟑,𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
𝑵 ∗ 𝒔/𝒎
𝒎 ∗ 𝒈 − 𝟔𝝅𝜼𝒓𝒗 = 𝟎
𝝔 ∗ 𝑽 ∗ 𝒈 − 𝟔𝝅𝜼𝒓𝒗 = 𝟎
𝝆 ∗
𝟒
𝟑
∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟑
∗ 𝒈 − 𝟔𝝅𝜼𝒓𝒗 = 𝟎
𝒗 =
𝝆∗
𝟒
𝟑
∗𝝅∗𝒓𝟑∗𝒈
𝟔∗𝝅∗𝜼∗𝒓
=
𝟒∗𝒓𝟐∗𝝆∗𝒈
𝟗∗𝜼
=
𝟐∗(𝟏𝟎−𝟓)
𝟐
∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟗,𝟖𝟏
𝟗∗𝟏,𝟖∗𝟏𝟎−𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟐
𝒎
𝒔
b)
Podemos calcular el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad límite i el
espacio que recorrerá en este tiempo, utilizamos los cálculos del problema 88:
𝒗𝟏 = 𝒗𝟏 ∗ (𝟏 − 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
)
Despejamos el tiempo para tener esta velocidad:
𝒕 =
𝒗𝟏
𝒈
=
𝟎,𝟎𝟐𝟒𝟐
𝟗,𝟖
= 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟒𝟕 𝒔
Si integramos la expresión de la velocidad podremos saber el espac io
recorrido:
𝒗 = 𝒗𝟏 ∗ (𝟏 − 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
)
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒗𝟏 ∗ (𝟏 − 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
)
∫ 𝒅𝒙
𝒙
𝟎
= ∫ 𝒗𝟏
𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟒𝟕
𝟎
∗ (𝟏 − 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
) ∗ 𝒅𝒕
𝒙 = [
𝒗𝟏
𝒈
+
𝒗𝟏
𝒈
∗ 𝒆
−
𝒈
𝒗𝟏
∗𝒕
]
𝟎
𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟒𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟓𝟔 𝒎
Por tanto, este primer tramo es irrelevante y podemos considerar m.r.u. de
100 m durante todo el proceso:
𝒕 =
𝒙
𝒗
=
𝟏𝟎𝟎
𝟎,𝟎𝟐𝟒𝟐
= 𝟒𝟏𝟑𝟐𝒔 = 𝟏, 𝟏𝟓 𝒉
90. Una muestra de aire que contiene partículas contaminantes del tamaño y
densidad especificados en el problema 89 se toma en un tubo de ensayo de 8,0 cm
de longitud. Este tubo se coloca en una centrifugadora, de modo que el punto
medio del tubo de ensayo se encuentra a 12 cm del centro de la centrífuga, la cual
gira a razón de 800 revoluciones por minuto. Estimar el tiempo necesario para que
prácticamente todas las partículas contaminantes se sedimenten en el fondo del
tubo de ensayo y comparar este tiempo con el necesario para que una partícula
contaminante caiga 8,0 cm bajo la acción de la gravedad, sometida a la fuerza de
arrastre viscoso del aire.
Calculamos el tiempo de sedimentación en la centrífuga. R será el radio de la
partícula i r el radio del movimiento circular.
Aplicando la segunda ley de Newton para la dirección radial:
𝟔 ∗ 𝝅 ∗ 𝜼 ∗ 𝑹 ∗ 𝒗𝒕 = 𝒎 ∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓
Utilizando la densidad:
𝒎 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗
𝟒
𝟑
∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑

49. 𝟔 ∗ 𝝅 ∗ 𝜼 ∗ 𝑹 ∗ 𝒗𝒕 = 𝝆 ∗
𝟒
𝟑
∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑
∗
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝒓
𝒗𝒕 =
𝟏𝟔∗𝝆∗𝝅∗𝑹𝟑∗𝝅𝟐∗𝒓
𝟏𝟖∗𝝅∗𝜼∗𝑹∗𝑻𝟐 =
𝟖∗𝝆∗𝑹𝟐∗𝝅𝟐∗𝒓
𝟗∗𝜼∗𝑻𝟐
𝑻 =
𝟏
𝟖𝟎𝟎
𝒎𝒊𝒏
𝒓𝒆𝒗
∗
𝟔𝟎 𝒔
𝟏 𝒎𝒊𝒏
= 𝟎,𝟎𝟕𝟓 𝒔/𝒓𝒆𝒗
𝒗𝒕 =
𝟖∗𝟐𝟎𝟎𝟎∗(𝟏𝟎−𝟓)𝟐∗𝝅𝟐∗𝟎,𝟏𝟐
𝟗∗𝟏,𝟖∗𝟏𝟎−𝟓∗𝟎,𝟎𝟕𝟓𝟐 = 𝟐,𝟎𝟖 𝒎/𝒔
Si suponemos velocidad constante para sedimentación:
𝚫𝒕 =
𝚫𝒙
𝒗𝒕
=
𝟎,𝟎𝟖
𝟐,𝟎𝟖
= 𝟎,𝟎𝟑𝟖𝟓 𝒔
Utilizando la velocidad terminal para el aire encontrada en el problema anterior:
𝚫𝒕 =
𝚫𝒙
𝒗𝒕
=
𝟎,𝟎𝟖
𝟎,𝟎𝟐𝟒𝟐
= 𝟑, 𝟑𝟏 𝒔
Problemas generales
91. La masa de la Luna es aproximadamente el 1% de la masa de la Tierra. La fuerza
centrípeta que mantiene a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra
a) Es muy inferior a la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la Luan.
b) Depende de la fase de la Luna.
c) Es mucho mayor que la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la Luna.
d) Es la misma que la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la LUNA.
e) No puedo responder, no hemos estudiado todavía la ley de Newton de la
gravitación.
Respuesta correcta la d.
92. Verdadero o falso: La fuerza centrípeta es una de las cuatro fuerzas
fundamentales.
Falso. Son gravitatoria, electromagnética y nuclear fuerte y débil.
93. En un día helado de invierno, el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos de
un coche y la superficie de una carretera puede reducirse a la mitad de su valor en
un día seco. Como resultado, la velocidad máxima a la cual puede tomarse una
curva de radio R es
a) La misma que en un día seco.
b) Reducida a un 71 % de su valor en un día seco.
c) Reducida al 50 % de su valor en un día seco.
d) Reducida al 37 % de su valor en un día seco.
e) Reducida a un valor desconocido que depende de la masa del coche.
Aplicando la segunda ley de Newton:
𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
𝒗 = √𝝁 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹
La única variación está en el coeficiente de fricción, la variación de la velocidad
será la debida a √𝝁 , como se reduce al 50 % la velocidad será un 71 % menor
(√𝟎, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎).
Respuesta b.

50. 94. Un bloque de 4,5 kg se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un
ángulo de 28º con la horizontal. Partiendo del reposo, el bloque se desliza una
distancia de 2,4 m en 5,2 s. Determinar el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano.
Por cinemática encontramos la aceleración:
𝚫𝒙 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ 𝒕𝟐
; 𝒂 =
𝟐∗𝚫𝒙
𝒕𝟐 =
𝟐∗𝟐,𝟒
𝟓,𝟐𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟕𝟓 𝒎/𝒔𝟐
Con la segunda ley de Newton:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝝁 =
𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽−𝒂
𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟗,𝟖𝟏∗𝒔𝒆𝒏𝟐𝟖−𝟎,𝟏𝟕𝟕𝟓
𝟗,𝟖𝟏∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟏
95. Una maqueta de avión de masa 0,4 kg está sujeta a una cuerda horizontal y vuela
en un círculo horizontal de radio 5,7 m. (El peso del avión está equilibrado por la
fuerza ascensional del aire sobre las alas del modelo). El avión da 1,2 revoluciones
cada 4 s.
a) Determinar la velocidad v del avión.
b) Determinar la tensión de la cuerda.
a) Aplicando la segunda ley de Newton:
Eje x: 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝝎𝟐
∗ 𝑹
Eje y: 𝑭𝒂𝒔𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒈
𝝎 =
𝟏,𝟐 𝒓𝒆𝒗∗
𝟐 𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝟏 𝒓𝒆𝒗
𝟒 𝒔
= 𝟏,𝟖𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝒗 = 𝝎 ∗ 𝑹 = 𝟏,𝟖𝟖 ∗ 𝟓,𝟕 = 𝟏𝟎,𝟕 𝒎/𝒔
b) La fuerza F será la tensión de la cuerda:
𝑻 = 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝝎𝟐
∗ 𝑹 = 𝟎,𝟒 ∗ 𝟏, 𝟖𝟖𝟐
∗ 𝟓,𝟕 = 𝟖, 𝟎𝟑 𝑵

51. 96. Mostrar con un diagrama de fuerzas cómo una motocicleta puede recorrer un
círculo sobre una pared vertical. Considerar parámetros razonables (coeficientes
de rozamiento, radio del círculo, masa de la motocicleta, etc.) y calcular la
velocidad mínima necesaria.
Ha de existir una fuerza hacia el centro, responsable del giro, en este caso la
componente de la normal en el sentido radial.
La resultante en el sentido tangencial será debida a la resultante entre el peso y la
fuerza de rozamiento. , en el tramo de subida produce una aceleración tangencial
opuesta al movimiento y en el tramo de bajada produce una aceleración en el
sentido del movimiento.
La velocidad mínima para girar se obtiene en el punto más alto del círculo:
𝑾 + 𝑵 = 𝒎 ∗
𝒗𝟐
𝑹
; 𝒗 = √(𝑾 + 𝑵) ∗
𝑹
𝒎
La velocidad mínima corresponde al caso en que N=0:
𝒗𝒎𝒊𝒏 = √(𝑾) ∗
𝑹
𝒎
= √𝒈 ∗ 𝑹
97. Una caja de 800 N descansa sobre una superficie plana inclinada 30º con la
horizontal. Un estudiante de física comprueba que para evitar que la caja deslice
por el plano inclinado, basta aplicar una fuerza de 200 N paralela a la superficie.
a) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la superficie?
b) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicarse a la caja, paralelamente al
plano inclinado, antes de que la caja se deslice por el mismo hacia arriba?
a) Aplicando la segunda ley de Newton:
EJE X: 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝑭 + 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝝁 =
𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽−𝑭
𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟖𝟎𝟎∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎−𝟐𝟎𝟎
𝟖𝟎𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟖𝟗
b) Por la segunda ley de Newton:
𝑭 = 𝑭𝒓 + 𝑷𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝟖𝟎𝟎 ∗ (𝟎,𝟐𝟖𝟗 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎) = 𝟔𝟎𝟎 𝑵
98. La posición de una partícula viene dada por el vector 𝒓
⃗ = −𝟏𝟎 𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝒊 +
𝟏𝟎 𝒎 𝒔𝒆𝒏𝒘𝒕 𝒋, en donde w=2 s-1
.
a) Demostrar que el movimiento es circular.

52. b) ¿Cuál es el radio del círculo?
c) ¿La partícula se mueve en el sentido de las agujas del reloj o en sentido
contrario alrededor del círculo?
d) ¿Cuál es el módulo de velocidad de la partícula?
e) ¿Cuál es el tiempo invertido en una revolución completa?
a) El módulo del vector de posición será:
𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = √𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒘𝒕 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒘𝒕 = 𝟏𝟎 𝒎
Como es un valor constante la trayectoria será un circulo.
b) Encontrado en a.
c) Buscamos la posición inicial:
𝒓
⃗ (𝟎) = −𝟏𝟎 𝒊 + 𝟎 𝒋
⃗
⃗
Buscamos los valores iniciales de la velocidad:
𝒗𝒙 = 𝟏𝟎 ∗ 𝒘 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒘𝒕 ; 𝒗𝒙(𝟎) = 𝟏𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟎 = 𝟎 ; a partir de este valor la
velocidad x será positiva hasta que wt=𝝅.
𝒗𝒚 = 𝟏𝟎 ∗ 𝝎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒘𝒕 ; 𝒗𝒚(𝟎) = 𝟏𝟎 ∗ 𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟎 = 𝟐𝟎
𝒎
𝒔
; a partir de aquí este
valor será positivo hasta que wt=
𝝅
𝟐
.
De esto concluimos que se mueve en sentido de las agujas del reloj.
d) A partir de los valores de la velocidad encontrados:
𝒗 = √𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔
e) 𝑻 =
𝟐 𝝅
𝒘
=
𝟐𝝅∗𝒓
𝒗
=
𝟐𝝅∗𝟏𝟎
𝟐𝟎
= 𝝅 𝒔/𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂
99. Un cajón de libros ha de subirse a un camión con la ayuda de unas planchas
inclinadas 30º. La masa del cajón es 100 kg y el coeficiente de rozamiento por
deslizamiento entre el cajón y las planchas es 0,5. Para esta operación varias
personas empujan horizontalmente con una fuerza total F. Una vez que el cajón
comienza a moverse, ¿qué valor debe tomar F para que el cajón sigua subiendo
con velocidad constante?
Aplicando la segunda ley de Newton:
Eje x: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒇𝒌 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎
Eje y: 𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎
Aplicando la expresión de la fuerza de rozamiento:

53. Eje x: 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝝁 ∗ 𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎
Eje y: 𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎
Despejamos N en la segunda y substituimos en la primera:
𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝝁 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎
𝑭 =
𝒎∗𝒈∗(𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝒄𝒐𝒔𝜽−𝝁∗𝒔𝒆𝒏𝜽
= 𝟏𝟒𝟗𝟎 𝑵
100. Bernard es un perro muy grande que le encanta deslizarse en un tobogán. Su
dueño le lleva a dar un paso en tobogán a Idiots’Hill; así llamado porqué se trata
de una pendiente profunda que termina en una superficie horizontal de 10 m y
después cae a un río. Cuando alcanzan esta superficie plana el dueño del perro,
situado en la parte delantera, comienza a hundir sus talones en el suelo para que
el tobogán se detenga. Sin embargo, él sabe que, si frena con demasiada fuerza,
Bernard se precipitará contra su espalda. Si el coeficiente de rozamiento estático
entre el perro y el tobogán es 0,8, ¿Cuál será la distancia mínima de parada para
que no se verifique un choque entre el perro y su amo?
????
101. Un objeto de masa 5,5 kg se deja deslizar desde el reposo hacia abajo por un
plano inclinado. El plano forma un ángulo de 30º con la horizontal y su longitud es
de 72 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el objeto es 0,35. La
velocidad del objeto en el fondo del plano es
a) 5,3 m/s b) 15 m/s c) 24 m/s d) 17 m/s e) 11 m/s
Eje x: 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽)
𝒗𝟐
= 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) ∗ ∆𝒙
𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) ∗ ∆𝒙
𝒗 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 − 𝟎, 𝟑𝟓 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 ∗ 𝟕𝟐 = 𝟏𝟔,𝟕 m/s
Respuesta d.
102. Un ladrillo se desliza hacia abajo por una tabla inclinada un ángulo 𝜽𝒐a
velocidad constante. Si el ángulo se incrementa a 𝜽𝟏, el bloque adquiere una
aceleración a. El coeficiente de rozamiento cinético es el mismo en ambos casos.
Dados 𝜽𝒐 𝒚 𝜽𝟏, determinar el valor de a.

54. Para el primer ángulo:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒐 = 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐
𝝁 = 𝒕𝒈𝜽𝒐
Para el segundo ángulo:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝒂 = 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 − 𝒕𝒈𝜽𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏)
103. Una mañana un vagabundo se encontraba durmiendo pacífica y
profundamente. Había pasado la noche en la parte trasera de un camión volquete
y el conductor tenía prisa de terminar su trabajo. Llegó al vertedero. Levantó el
volquete y cuando había alcanzado un ángulo de 30º el vagabundo se deslizó por
la pendiente en 2 s y se desplomó en un montón de arena donde siguió
durmiendo. Calcular los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el
vagabundo y el camión. La rampa del camión tiene una longitud de 4 m.
Para el inicio de movimiento tendremos el coeficiente estático:
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝝁 = 𝒕𝒈𝜽 = 𝒕𝒈𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟖
Para el movimiento de caída:
∆𝒙 =
𝟏
𝟐
∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐
𝒂 =
𝟐∗∆𝒙
∆𝒕𝟐 =
𝟐∗𝟒
𝟐𝟐 = 𝟐 𝒎/𝒔𝟐
𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝝁 =
𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽−𝒂
𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝟗,𝟖𝟏∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎−𝟐
𝟗,𝟖𝟏∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎
= 𝟎,𝟑𝟒𝟐
104. En un carrusel de feria, un pasajero se sienta en un compartimiento que gira
con velocidad constante en un círculo vertical de radio r= 5 m. Las cabezas de los
pasajeros sentados apuntan siempre hacia el eje de rotación.
a) Si el carrusel completa un círculo completo en 2 s, determinar la aceleración
del pasajero.
b) Determinar la velocidad más lenta de rotación (es decir, el tiempo más largo
para completar el círculo) del carrusel, para la cual el cinturón de seguridad del
asiento no ejerce fuerza alguna sobre el pasajero en l aparte más alta del
recorrido.

55. a) 𝒂 = 𝒘𝟐
∗ 𝑹 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝑻𝟐 ∗ 𝑹 =
𝟒∗𝝅𝟐
𝟐𝟐 ∗ 𝟓 = 𝟒𝟗,𝟑 𝒎/𝒔𝟐
b) La velocidad mínima vendrá dada por la condición N=0.
𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗
𝟒 ∗ 𝝅𝟐
𝑻𝟐
∗ 𝑹 ;𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √
𝑹
𝒈
= 𝟒, 𝟒𝟗 𝒔
105. Una carretilla de juguete se mueve sobre ruedas sin rozamiento, arrastrada
por una cuerda bajo la tensión T. La masa de la carretilla es m1. Una carga de masa
m2 reposa sobre el suelo plano de la carretilla con un coeficiente de rozamiento
estático 𝝁𝒆. La carretilla es arrastrada hacia arriba por una rampa inclinada
formando un ángulo ϴ por encima de la horizontal. La cuerda está situada
paralelamente a la rampa. ¿Cuál es la máxima tensión que puede aplicarse sin que
la carga se deslice?
Para la masa 2:
Eje x: 𝒇𝒔 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂; 𝝁𝒆 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂
Eje y: 𝑵𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
Para el sistema de las dos masas juntas:

56. Eje x: 𝑻 − (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Despejamos a de la primera y substituimos en la segunda:
𝒂 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝝁𝒆
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑻 =∗ 𝝁𝒆
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐)
También podríamos considerar las fuerzas que actúan sobre la masa 1 únicamente
(actúan la tensión, la normal 2, la normal 1, el peso de 1 y la fuera de reacción a fs ,
que actuará hacia abajo):
Eje x: 𝑻 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝒆
∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂
Obteniendo, obviamente, el mismo resultado.
106. Un trineo que pesa 200 N descansa sobre un plano inclinado 15º y se
mantiene en reposo gracias al rozamiento estático (figura). El coeficiente de
rozamiento estático es 0,5.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal sobre el trineo?
b) ¿Cuál es la magnitud del rozamiento estático sobre el trineo?
c) El trineo es ahora arrastrado hacia arriba a velocidad constante por un niño.
Este pesa 500 N y tira de la cuerda con una fuerza constante de 100 N. La
cuerda forma un ángulo de 30º con el plano inclinado y es de masa
despreciable. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento cinético sobre el
trineo?
d) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre el trineo y el plano?
e) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el niño por el plano inclinado?
a)
𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓 = 𝟏𝟗𝟑 𝑵
b) 𝒇𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 = 𝟓𝟏,𝟖 𝑵
c)