1. EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido EJERCICIO 3
negativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capital 1. + 32 m ; − 16 m
tantos bs. como ha recibido; entonces 2. + 10 m ; − 4 m
la operaciòn queda expresada como
se indica 3. 50 − 85 = − 35 m
− 60 + 320 = + 260 bs. 4. − 6 ⋅11= − 66m
2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres
5. -8 × 6 =-48 m
3. 200 + 56 − 189 = + $ 67
9 × 6 =+ 54 m
4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles
5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30 6. 400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor
− 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo
6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9
7. Los 40 pies de longitud del poste
7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones se reparten asi: 15 pies que sobresalen
8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0 - se asumen en sentido positivo- .
25 pies que se encuentran enterrados.
- se asumen en sentido negativo - .
Al introducir 3 pies màs, se adicionan
EJERCICIO 2 a los que estan bajo el suelo y se deben
descontar de los que estan por encima.
1. 12 − 15 = − 3! Aritmèticamente significa:
2. − 3 + 8 − 6 = − 1! 40 = 15 + 25
− 25 − 3 = − 28 pies
3. 15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18! + 15 − 3 = + 12 pies
( )
4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13!
5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6! 8. 55 − 52 = + 3 m
9. − 32 + 15 = − 17m
6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4! → 7 am
10. 35 − 47 = − 12 m
− 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0! → 8 am
− 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12! → 11am 11. − 39 + 56 = + 17m
12. 90 − 58 − 36 = − 4 m
7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5! → 10 am
13. 72 − 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m
− 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7! → 11am
72 − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4! → 12 am
72 − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2! → 2 pm
72 − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m
8. − 56 + 7 = − 49!
14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km
9. − 71 + 5 = − 66! long
− 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0
− 15 + (− 5) = − 20! lat.
− 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km
− 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km
10. 18 + 3 =+ 21! long
65 -4 =+ 61! lat.
11. -75 +135 =+ 60 años

2. EJERCICIO 7. 27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a
1. x + 2x = 3x 28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1
2. 8a + 9a = 17a
29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y
3. 11b + 9b = 20b
30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am
4. − b − 5b = − 6b
1 1 1 4 + 2 +1 + 8 15
5. − 8m − m = − 9m 31. a+ a+ a+a = a= a
2 4 8 8 8
6. − 9m − 7m = − 16m
2 1 1 1 8 + 10 + 2 + 1 21
32. ax + ax + ax + ax = ax = ax
7. 4a x + 5a x = 9a x 5 2 10 20 20 20
8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1 33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m
9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1 1 1 1
34. − ab − ab − ab − ab
7 14 28
10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2 − 4 − 2 − 1− 28 35 5
= ab = − ab = − ab
1 1 1+ 1 2 28 28 4
11. a+ a= a = a =a
2 2 2 2
2 3 1 1 1 3
3 1 6ab + ab 7 35. − x y − x 3y − x3y − x y
3 6 9 12
12. ab + ab = = ab
5 10 10 10 −2 4 − 6 − 4 − 3 3 37 3
= x y=− x y
36 36
1 1 2 +1 3 1
13. xy + xy = xy = xy = xy
3 6 6 6 2 36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2
1 4 − 1− 4 5 37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m
14. − xy − xy = = − xy = − xy
5 5 5 5
38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1
5 2 1 − 20 − 3 2 23 2
15. − a b − a 2b = a b =− ab 1 1 1 1 1
6 8 24 24 39. a+ a+ a+ a+ a
2 3 4 5 6
7 −8−7 15 30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29
16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a = a= a= a
60 60 20
17. 8a + 9a + 6a = 23a
1 1 1 1 1
18. 15x + 20x + x = 36x 40. − ab − ab − ab − ab − ab
3 6 2 12 9
19. − 7m − 8m − 9m = − 24m −12 − 6 − 18 − 3 − 4 43
= ab = − ab
36 36
20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b
21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x
22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1
EJERCICIO 8
1 2 6+3+4 13
23. a + a + a = a= a
1. 8a − 6a = 2a
2 3 6 6
2 1 − 6 − 4 −1 11 2. 6a − 8a = − 2a
24. − x − x− x= x=− x
3 6 6 6 3. 9ab − 15ab = − 6ab
1 3 2 + 3 + 10 15 3 4. 15ab − 9ab = 6ab
25. ax + ax + ax = ax = ax = ax
5 10 10 10 2 5. 2a − 2a = 0
3 5 −9 − 10 − 12 2 31 2 6. − 7b + 7b = 0
26. − a x − a x − a x = a x=−
2 2 2
a x
4 6 12 12
7. − 14xy + 32xy = 18xy

3. 8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y 5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1
35. a − a = a = a = a
6 12 12 12 4
9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y
1 2 12 − 1 2 11 2
36. 4a − a = a = a
2
10. −m2n + 6m2n = 5m2n 3 3 3
11. − 15xy + 40xy = 25xy 3 − 20 + 3 17
37. − 5mn + mn = mn = − mn
12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2 4 4 4
13. − x 2 y + x 2 y = 0 38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3
14. −9ab 2 + 9ab2 = 0 7 m n m n −7+8 m n 1 m n
39. − a b +a b = a b = a b
8 8 8
15. 7x2 y − 7x2 y = 0
40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy
16. − 101mn + 118mn = 17mn
17. 502ab − 405ab = 97ab
18. − 1024 x + 1018x = − 6x
EJERCICIO 9
19. −15ab + 15ab = 0
1 3 2−3 1 1. 9a − 3a + 5a = 11a
20. a− a= a=− a
2 4 4 4 2. − 8x + 9x − x = 0
3 1 3−2 1 3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn
21. a− a= a= a
4 2 4 4 4. − x + 19x − 18x = 0
5 2 5 2 10 − 5 2 5 2 5. 19m − 10m + 6m = 15m
22. a b− a b= a b= a b
6 12 12 12 6. −11ab − 15ab + 26ab = 0
4 2 9 2 −8+ 9 2 1 2 7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X
23. − x y + x y= x y= x y
7 14 14 14
8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0
3 5 3 − 10 7
24. am − am = am = − am 2 1 2 + 1− 3 0
8 4 8 8 y+ y−y= y= y=0
9.
3 3 3 3
3 −5+3 2
25. − am + am = am = − am 3 1 1 − 12 + 5 − 10 17
5 5 5
10. − m+ m− m = m =− m
5 4 2 20 20
5 7 20 − 21 1
26. mn − mn = mn = − mn 3 2 1 3+2− 8 2 3
6 8 24 24 a b + a 2b − a 2b = a b = − a 2b
11.
8 4 8 8
3 2 − 11+ 3 2 8
27. − a b + a b= a b = − a 2b
2
12. − a + 8a + 9a − 15a = a
11 11 11
13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab
28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3
14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0
29. − 12yz + 3,4yz = 2,2yz
,
15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy
30. 4a x − 2a x = 2a x
16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab
31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0
17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2
32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1
18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax
33. − x a + 1 + x a + 1 = 0 19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0
1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2 20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0
34. − a + a = a = a
4 2 4 4

4. 1 1 1 1
x− x+ x− x=
30 − 20 + 15 − 12
x=
13
x
EJERCICIO 10
21.
2 3 4 5 60 60
1 1 1 1 4 − 4 + 2 −1 1
22. y− y+ y− y= y= y 1. 7a + 6a − 9b − 4b
3 3 6 12 12 12 7a + 6a = 13a − 9b − 4b = − 13b
3 2 1 2 1 2 = 13a − 13b
23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b
2
18 − 5 + 10 − 30 2 7 2 2. a + b − c − b − c + 2c − a
= a b=− a b a−a =0 b −b =0 − c − c + 2c = 0
30 30
=0
5 2 1 2 3 2
24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab
2
3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y
− 20 − 4 + 24 − 9 2 9 3 5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y − 9 − 1 = − 10
= ab = − ab 2 = − ab2 = 25x − 12y − 10
24 24 8
25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a 4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11
26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c − 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n 5 − 11= − 6
= − 13m + 7n − 6
27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn
28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0 5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b
− a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0 − 2c + 2c = 0
29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a
= 2a
1 2 7 1
x+ x− x+ x−x
30.
2 3 6 2 6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y
3+4−7+3−6 3 1 − 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0 − 30z
= x=− x= − x
6 6 2 = − 30z
3 1 5 7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab
31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x
15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2
− 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5
= x=− x= − x − 6ab − 5ab − ab = − 12ab 20 − 31= − 11
24 24 6
= 8a − 12ab − 11
2
32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0
8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b
33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1
−3a − 6a + 31a − a = 21a
34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a 4b + 81b − 114b − b = − 30b
35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b = 21a − 30b
36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b
9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b
3 4 2 3 4 2 3 3
37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x − 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b
= − 1340m2 x
− 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 = − 48a 3b
38. a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2
6 3 4 8
20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2 10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c
= ab = ab
24 24 −a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0
=
37 3 2
a b = 4 5 a 3b 2 − c − 2c + 3c = 0 8 − 19 − 3 = − 14
8
8 = − 2a − 14
39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a
40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0

5. 11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m
2 2 3 2 2 3
m + 6m = 7m
3 3 3
m − 14m − m − 115m2 = − 129m2
2 2 2
71 − 65mn = 6mn
mn
= 7m3 − 129m2 + 6mn
12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y − x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2
x 2y − x2y = 0 − y3 − 10 − 9 + 50 = 31
= 14x y − 7x y − y + 31
4 3 2 3
13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3
− 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0 − 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0 5a x + 1 − 5a x + 1 = 0 − 50 − 65 + 90 = − 25
= − 25
14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3
− x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3 am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2 −5+8−6= −3
m+3 m+2
=−x −a −3
15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c
0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a 0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b 0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c
= 2,7a − 3,3b − 3,4c
1 1 3 1 3 1
16. a + b + 2a − 3b − a − b + −
2 3 4 6 4 2
1 3 2+8−3 7 1 1 2 − 18 − 1 17 3 1 3−2 1
a + 2a − a = a= a b − 3b − b = b=− b − = =
2 4 4 4 3 6 6 6 4 2 4 4
7 17 1
= a− b+
4 6 4
3 2 1 1
17. m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2
5 10 3
3 2 1 6 + 1− 20 2 13 1 − 6 − 1+ 6 1
m + m2 − 2m2 = m = − m2 − 2mn − mn + 2mn = mn = − mn
5 10 10 10 3 3 3
13 2 1
= − m − mn
10 3
18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab
3
4 2 6 4 6 3
3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2 1 3 2−3−8 9
− a + a = a = a ab − ab − 2ab = ab = − ab
4 3 12 12 2 4 4 4
5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2 6 2
− b + b − b = b =− b =−b 2
6 6 3 6 6
19 2 9
= a − ab − b 2
12 4

6. 3 2 2 1
19. 0,4x y + 31+ xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6
2
8 5 4
2 2−2 2 3 2 3 − 16 2 14 2
, ,
0,4x 2 y − x 2 y = x y=0 xy − 0,2xy 2 = xy = xy = 0,175xy 2
5 5 8 8 8
1 − 2,4 + 1 3 ,
14 3
− 0,6y 3 + y 3 = y =− y = − 0,35y 3 31− 6 = 25
4 4 4
= 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25
3 7 m − 2 3 m−1 1 m− 2 1
a m−1
b − + a − b − 0,2a m − 1 + b m − 2
20. 25 50 5 25 5
3 m − 1 3 m −1 3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1 7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2
a + a − 0,2a m − 1 = a = a − b − b + b = b = b
25 5 25 25 50 25 5 50 50
13 m − 1 1 m − 2
= a + b
25 50
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6
4a 4 ⋅1 4 2
2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120 12. = = =
3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9
2 1 1 4 2
3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = =
2
2
2 3 6 3  1 1
5⋅ 2 2 ⋅   20 ⋅
5b m 2 2
 2 4 = 5 = 60
13. = =
2 3
 1   1 1 1 1 6 1
4. 24m n p = 24     ⋅ = 6⋅ ⋅ = = 1 1 1 1
2 3
np
 2   3 4 27 4 108 18 ⋅
3 4 12 12
3
2 4 2 3 2 4 2  1 2 1 8 1 3 3 3 3 3 ⋅ 8 24
5. a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅   = ⋅ 4⋅ = = ⋅2
3 3  2 3 8 24 3 14.
4
b
6
=4 = 4 = 4 = =1
2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6
7 3 2 7
2
 1  1 189 1 1 189 63 c ⋅3
6. c p m = ⋅ 33 ⋅   ⋅ = ⋅ ⋅ = = 3 3 3 3
12 12  4  2 12 16 2 384 128
1
2⋅
2 3
 1   1 1 1 1 1 1
7. m n p =     ⋅ = ⋅ ⋅ = 2m 2 = 1 = 1=3
b c a
 2   3 4 4 27 4 432 15. =
n2  1
2
1 1
 
5 b −1 c − 2 5 2 −1  1 
3− 2
5 1 5  3 9 3
8. a ⋅ m = ⋅1 ⋅   = ⋅ =
6 6  2 6 2 12
1 1 24
9. 2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6 24mn 24 ⋅ ⋅ 4
16. = 2 3 = 6 =
2 ⋅ n2 p2 2
 1  1 
2
1 1 1
1 3 2⋅     2⋅ ⋅ 2⋅
10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅ ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12
3 2
2  3  4  9 16 144
4 4
1 1 1 8 4 = = = 24
11. mn ⋅ 8a b = ⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = =
4 3 1 1
2 3 6 6 3 2⋅
12 6

7. 3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 3 ⋅ 36
17. 3 ⋅ 64b c =
3 3 6
= 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216
2m 1
2⋅
2
3 3 1 3 4 3 3 3
18. ⋅ apb 2 ⋅ 1⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 1
5 =
5 4
=
5 4
= 5 = 5 = 5 = 6 = 2
3 3 250 3 ⋅ 3 125 3 ⋅ 5 15 75 25
⋅ 125bm 3 ⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3
2 2 2 2 2 2 2 2
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1
1 1 1 4 + 12 + 9 25
2 2
 1 1 1  1
2. c + 2cd + d =   + 2 ⋅ ⋅ +   = + + = =
2 2
 3 3 2  2 9 3 4 36 36
a b 3 4
3. + = + = 9 + 8 = 17
c d 1 1
3 2
1
c m 6 2 2 − 72 + 6 64
4. − +2= 3 − + 2 = − 24 + 2 = =−
d n 1 1 3 3 3
2 4
a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36
5. − + = − + = − + = 3 − 8 + 6 =1
3 2 6 3 2 6 3 2 6
3 1 3 1 1 1 1 1− 10 + 5 4
6. c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1= =−
5 2 5 3 2 2 5 5 5
1 1
3⋅ 4⋅
ab ac bd 3 ⋅ 4 3 − 2 = 12 + 1 − 2 = 48 + 2 − 1 = 144 + 6 − 1 = 149 = 49 2
+ − = + 3
7. n d m 1 1 6 1 1 6 3 3 3
4 2 4 2
1 1 4 + 1+ 12 17
8. b + n + 6m = 4 + + 6⋅6 = 2 + + 6 = = =8 2
1
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 − 16 + 1 13
9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅ = ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + = =− =−6
2 2 1
2
3 2 4 2 3 2 4 2 2 2
ma 63 216
10. = 4 = = 216 ⋅ 16 = 3.456
 1 1
b
d
 
 2 16

8. 2 2
 1  1 1 1
3  4 
11. 3 c 2 + 4n =  3 +  4  = 3 + 4 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 1
2
4 m 4 6 4 6 12 24 24 24 8
2 2
4d 2 16n 2  1  1 2 8 1 1
12. + − 1= 2 ⋅   + 8 ⋅   − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0
2 2  2  4 4 16 2 2
a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10
− = − = − = 21− 20 = 1
13. c d 1 1 1 1
3 2 3 2
b−a m−b 4−3 6−4 1 2
+ + 5a = + + 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23
14. n d 1 1 1 1
4 2 4 2
1 1
12 ⋅ − 3 16 ⋅ − 3
12c − a 16n − a 1 3 4 1 4−3 4−3 1 1 3 − 4 + 48 47
15. − + = − + = − +2= − +2= = = 1 23
2b m d 2⋅4 6 1 8 6 8 6 24 24 24
2
3a 6m 3⋅ 3 6⋅6 9 36 3 6
16. 4b + − = 4⋅4 + − = 16 + − = 4 + − = 4 + 1− 1= 4
3 6 3 6 3 6 3 6
1 1 1
4 + 2⋅ 3⋅ + 8⋅
17. b + 2d 3c + 8d 2 3 2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3
− = − = − = − = =
2 4 2 4 2 4 2 4 4 4
2
9  1
3⋅ 2 +  
3⋅
2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d
2 2 2
2⋅ 3 ⋅4 2
1 2 ⋅ 144
2
4  21
18. + − a⋅ n = + − 3⋅ = + − 3⋅
3 4 3 4 4 3 4 2
3 9
2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3 9 3 64 + 9 − 12 61 5
= + − = + − = 8+ − = = =78
3 4 2 3 4 2 8 2 8 8
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5
( )( ) ( )(
2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3 )
 1  2  4 − 1  9 − 2  7+8
( )( 2
)
3. b − m c − n + 4a =  2 −   3 −  + 4 ⋅ 1 = 
 2   3
2
  + 4= ⋅ + 4= + 4=
 2  3  2 3 2 2
3 7 7
=
15 1
2
=72
4. (2m + 3n)(4 p + b ) =  2 ⋅ 2 + 3⋅ 2   4 ⋅ 4 + 2  = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15


2 1

3 
1


2
 1
( )(  2
)( 4
2 2
) 3 
1
5. 4m + 8 p a + b 6n − d =  4 ⋅ + 8  1 + 2  6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0
2 2
( ) 2 
( )

9.  2 − 1 1
( )( )( )( ) (
6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1  −  = 1⋅ 1⋅ 1
  
)( )( ) 2
1 1
4
 =
4  4
 1 2  3+ 4 7 168 − 7 161
2
( 2
) 2
(
7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1 
2

) ( ) +  + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 − 
2 3  6 
 = 28 − =
6 6
=
6
= 26 5
6
( ) 1
( )
8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14
2 2 2 2 2 2
2
( )
 1 1
 8⋅ 16 ⋅ 
 8m 16 p 
 +  a= 2+ 4  ⋅1 = 4 + 4 = 4 + 2 = 2 + 2 = 2 + 6 = 8 = 2 2
9.  9n b 
3
 9⋅ 2 2  18 2 6 3 3 3
 3  3
(
10. x + m a + d − c = 0 +
b c a
) 2
(1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 2 ⋅ 62 = 31
1 2 3 1 1 1
 1 1
11. (
4 m + p a 2 + b2
÷ =
2 ) 4 + 
4 1 + 2
÷
2 2
 2 + 1 1 + 4
= 4 ÷
3 5 3 27
= 4⋅ ÷ = = =52
2
a c 1 32
 4  9 4 9 5 5
5
9
( )(
12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p )( )
 1 1  1 1  2 1
=  2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅   8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅   9 ⋅ + 20 ⋅  = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176
2 2
 2 3 4  4 3 2  3 4
(
13. c m + n − d m + p + b n + p
2 2 2
) ( ) ( )
1 2  1 1  2 1 7 3 11 21 44 126 − 144 + 44 26
= 32  +  − 4 2  +  + 2 2  +  = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 + = = = 2 12 = 2 1
2
2 3  2 4  3 4 6 4 12 2 12 12 12
6
 c2 + d 2 2   32 + 4 2 2  1  9 + 16 2  1  25 2  1 1 5
  m=  ⋅ = 
÷ ÷  2  1 ÷ 2  ⋅ 2 =  1 ÷ 2  ⋅ 2 = 5⋅ 2 = 2 = 2 2
1
14.   
 a d  1 4    
15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a )
 1  1  1  1 
=  4 ⋅ + 2 ⋅ 2  18 ⋅ − 24 ⋅  + 2  8 ⋅ + 2  40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162
2
 4  3 4  2  4 
2
2 5+
2 5+
d 2 4  1 2+ 4 1 6
a+ 5 + 2 1+  
b⋅ m = 2⋅  2 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 13 = 3 ⋅ 208 = 624 = 312
16. =
d −b p2 4 − 2  1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
 
 4 16 16 16 16
 2 2 90 − 2 88
2
( ) 2
( )
17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅   = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =
2 2 1
2  3
1 2
2 3
2
6 6 6
= = 14 4 = 14 2
6
6 3
 2
 a+c  1+ 3 6⋅ 
6n  1  4 4
 ÷ (c + d )⋅ p =  ÷ (3 + 4)⋅
3 1 2 4
 + + = +  ÷ 7⋅ = =
18.  2
 b   2 2  4  2 2  2 7 7
 
  2

10. ( ) ( )
19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p −
2
n
= 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3
1 1 2 6
2 4 2 2
3
6abc 3mn cdnp
20. + −
2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc
1 2 2 1
3⋅ ⋅
6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 3⋅ 4 ⋅ ⋅
= +
2 3
− 3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11
2 ⋅ 8⋅ 2 2(2 − 1) 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3 24 24 12
a 2 + b2 12 + 2 2 5 + 216 221
2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2 + 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 =
5 5
21. = = 73 2
b −a
2
2 − 12 3 3 3 3
3
2
 1 1   1 1  1 1 
22. b +  +  +  + + 
2
 a b   b c   n m
2
 
 1 1   1 1  1 1 
2 2
 3 5  3  5  7 21 49 70 35
= 2 +  +   +  +  +  = 4 +  ⋅  +  + 2 = 4 + +   = +
2
= = = 17 2
1
 1 2   2 3  2 1   2 6  2  4  2 4 4 4 2
 3 2
(2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m 2
n2
4 189 − 4 185
2 2
 1 2  1   1  2
=  2 ⋅ + 3⋅   4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4     = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − =
23. 1 4 4
= = 20 9
5
 2 3  4   2   3 4 9 9 9 9 9
c 3 2 2
b2 − 22 −
3 − n = 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26
24. 2ab − m b − m 1 1 1 3 7 9 7 9 63 63
2 ⋅1⋅ 2 − 2− 4−
2 2 2 2 2
EJERCICIO 14
1. a + b + m
(
10. $ x + a − m ) 18. x 2 m2
2. m2 + b3 + x 4 (
11. m − a − b − c Km ) ( ) (
19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm )
12. $ (n − 300)
3. a + 1 ; a + 2 20. (a + b)( x + y )
4. x − 1 ; x − 2 13. (365− x) días 21. $ (8 x + 48)
5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6
22. bs. (a − 8)(x + 4)
14. $ 8a ; $15a ; $ ma
(
6. $ a + x + m ) c
15. 2a + 3b + 75
7. m − n 2 23. sucres
x
(
8. bs. x − 6 ) 16. a ⋅ b m2
a
(
9. x − m Km ) 17. 23n m2 24. $
m

11. 3.000
25. n − 1 colones a +b
29. $ m − 2
x
26. a − 3 soles  x
30.  x + 2 x +

 hab.
2
m
m
27.
14   a 2a  
31. 1000 −  a + +  sucres
3 4 
.
  
x +1 km
28. h
a
EJERCICIO 15
3 2
1. m, n → m + n 20. − 4x 2 y , x y
8
( )
2. m , − n → m + − n = m − n 3
− 4x 2 y + x 2 y =
− 32 + 3 2
x y=−
29 2
x y
3. − 3a , 4b → − 3a + 4b 8 8 8
4. 5b , 6a → − 6a + 5b 3 3
21. mn , − mn
( )
5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1 8 4
3 3 3−6 3
6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3 mn − mn = mn = − mn
8 4 8 8
7. − 2x , 3y → − 2x + 3y
22. a , b , c → a + b + c
8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m
23. a , − b , c → a − b + c
9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a
24. a , − b , 2c → a − b + 2c
( )
10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x 25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p
11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m 26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2
12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab
27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2
13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy
28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6
( )
14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn
29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b
1 2 1 2
15. a , − b → a− b 30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n
2 3 2 3
31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b
3 3 3 3
16. b, c→ b+ c 1 2 3
5 4 5 4 32. x, y, − x
2 3 4
1 2 1 2 3 4−6
17. b, b→ b+ b= b=b 1 3 2
x− x+ y=
2 1 2
x+ y=− x+ y
3 3 3 3 3 2 4 3 8 3 4 3
1 1 1 1 2
18. − xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy 3 2
2 2 2 2 2
33. − 5 m , − m , − 3 mn
3 2 3 2 −3−5 2 8 2
19. − abc , − abc − m − m − mn = m − mn = − m − mn
5 5 5 3 5 3 5 3
3 2 5
− abc − abc = − abc = − abc 34. − 7a 2 , 5ab , 3b 2 , − a2
5 5 5
− 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2

12. 35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m EJERCICIO 16
36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5
3 3 2 2 3 2
1. 3a + 2b − c
37. 5x2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2 10. ab + bc + cd
2a + 3b + c
− 8ab − 3bc − 3cd
38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3 5a + 5b 5ab + 2bc + 2cd
= − 9a b − 6ab − 7b
2 2 3
− 2ab
2. 7a − 4b + 5c
− 7a + 4b − 6c
39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n
3 2 2 2 3
11. ax − ay − az
= m − m n + 7mn − n
3 2 2 3 −c
− 5 ax − 7ay − 6az
3. m+n−p 4 ax + 9ay + 8az
1 1 2 1
40. a − a + b+ b−6 −m−n+ p
2 4 3 5 ay + az
2 −1 10 + 3 1 13 0
= a+ b−6= a + b−6
4 15 4 15 12. 5x − 7y + 8
4. 9x − 3y + 5 − 4x − y + 6
41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b
− x − y +4 − 3x + 8y + 9
− 5x + 4 y − 9
− 2x + 23
42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2 3x
= m3 − 8m2n − 7mn2 13. − am + 6mn − 4s
5. a+ b − c − am − 5mn + 6s
43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z
2a + 2b − 2c 3am − 5mn − 2s
− 3a − b + 3c
am − 4mn
44. 6a + 9a − 5ab − 7b − 8b − 11
2 2 2 2
2b
= 15a − 5ab − 15b − 11
2 2
14. 2a + 3b
6. p+ q+ r 6b − 4c
45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8
2 2 2 2 3 3 4
− 2p − 6q + 3r −a + 8c
= 2xy 3 − 4y 4 − 8
p + 5q − 8r
a + 9b + 4c
1 1 − 4r
46. 3a − a + b − b − 4 + 6
2 2 15. 6m − 3n
6 −1 1− 2 5 1 − 4n + 5p
= a+ b+2= a− b+2
2 2 2 2 7. − 7x − 4y + 6z −m − 5p
10x − 20y − 8z
1 2 3 2 2 1 5 5 5m − 7n
x + x + xy − xy + y 2 − y 2 − 5x + 24y + 2z
47.
2 4 3 3 6 6
− 2x
2 + 3 2 2 −1 5 2 1 16. 2a + 3b
= x + xy = x + xy
4 3 4 3 + 5c − 4
8. − 2m + 3n − 6 8a +6
48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2
3m − 8n + 8 + 7c − 9
3 2 2 2 1 1 − 5m + n − 10 10a + 3b + 12c − 7
49. x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2
4 3 3 3
− 4m − 4n − 8
3+ 4 2 3 1+ 15 2 7 2 16 2 17. 2x − 3y
= x − xy + y = x − xy + y
4 3 3 4 3 + 5z + 9
9. − 5a − 2b − 3c 6x −4
3 2 1 1 1 5
50. a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2 7a − 3b + 5c 3y −5
4 4 2 2 6
3 − 1+ 4 2 3+3−5 3 2 1 − 8a + 5b − 3c 8x + 5z
= a b+ ab = a b + ab 2
2
4 6 2 6 − 6a −c

13. 18. 8a + 3b − c 21. 5a x − 3am − 7an 24. a+ b − c +d
5a − b + c − 8a + 5a − 9a
x m n a− b + c −d
−a −b − c − 2a + 3b − 2c + d
− 11a x + 5am + 16an
7a − b + 4c − 3a − 3b + 4c − d
− 14a x + 7am
19a + 3c − 3a + 2c
a +1
22. 6m − 7m
a+2
− 5ma + 3 25. 5ab − 3bc + 4cd
19. 7x + 2y −4
a +1 a+2 a+3
+ 2bc + 2cd − 3de
+ 9y − 6z + 5 4m − 7m −m − 2ab + 4bc + 3de
− y + 3z − 6 − 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3 − ab − 3bc − 6cd
8 x − 3y −5
5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3 2ab
15x + 7y − 3z − 10
26. a − b
b−c
20. − m − n − p
23. 8x + y + z + u c+d
m + 2n −5 −c
− 3x − 4y − 2z + 3u a
− 6m + 3p + 4 c−d
4x + 5y + 3z − 4u
5m + 2n −8 −a +d
− 9x − y + z + 2u
a −d
− m + 3n + 2p − 9
y + 3z + 2u 2a
EJERCICIO 17 7. m2 + n2 12. a
3
− 4a + 5
+ 4n2 − 3mn a 3 − 2a 2 +6
1. x + 4 x
2
x 2 − 5x − 5m − 5n 2 2
+ a − 7a + 4
2
2x 2 − x − 4m 2
− 3mn 2a − a 2 − 11a + 15
3
2. a + ab
2
8. 3x + x 3 13. − x2 + x − 6
− 2ab + b 2 − 4x 2 + 5 x − 7x 2
3
+5
a − ab + b
2 2 − x + 4x − 6
3 2
−x 3
+ 8x − 5
3x −1 − 8x + 9x − 6
2
3. x
3
+ 2x
− x2 +4 9. x 2 − 3xy + y 2 14. a
3
− b3
x − x + 2x + 4
3 2 − x + 3xy − 2y
2 2
+ 5a b − 4ab
2 2
x 2 + 3xy − y 2 a 3
− 7ab2 − b3
4. a
4
− 3a 2
x + 3xy − 2y
2 2
2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3
+ a3 + 4a
a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a 10. a 2 − 3ab + b 2 15. x 3 + xy 2 + y 3
+ a − 5ab − b
2 2
x − 5x y
3 2
− y3
5. − x 2 + 3x
− 2a + 8ab − b
2 2
2x 3 − 4xy 2 − 5y 3
x3 +6
−b 2
4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3
x 3 − x 2 + 3x + 6
11. − 7x 2 + 5x − 6 − 7m2n + 4n3
6. x 2 − 4 x 16.
4 x + 8x − 9
2
+m 3
+ 6mn − n3
2
− 7x + 6
−x 2
− 7x + 14 − m + 7m n
3 2
+ 5n3
3x 2 −5
− 4 x 2 + 6x − 1 + 6mn2 + 8n3
4x 2 − 11x + 1

14. 24. − 8a 2m + 6am2 − m3
17. x
4
− x2 + x
+ a 3
− 5am2 + m3
+ x 3 − 4x 2 +5
− 4a + 4a m − 3am2
3 2
+ 7x 2 − 4x + 6
+ 7a 2m − 4am2 −6
x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11
− 3a + 3a m − 6am
3 2 2
−6
18. + a + a4 +6
6
25. x
5
− x 3y 2 − xy 4
+a 5
− 3a 3
+8
+ 2x y 4
+ 3x y 2 3
− y5
+ a 3 − a 2 − 14
+ 3x y 3 2
− 4xy − y 54
+ a + a + a − 2a − a
6 5 4 3 2
x5 + 5xy 4 + 2y 5
2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3
19. x
5
+ x −9
+ 3x 4 − 7x 2 +6 26. a 5 + a6 + a2
− 3x 3
− 4x + 5 + a 4 + a3 + 6
x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2 + 3a 2 − 8 + 5a
−a 5
− 4a 2 + 6 − 5a
20. a + a +a +a +a +4
3 6 4 3
+ a2 + 5
27. a4 − b4
+ 4a + 7 a 2
− a 3b + a 2b 2 − ab 3
− 8 a2 − 6
− 3a + 5a 3b − 4a 2b 2
4
a 3 + 5a −1
− 4a 3b + 3a 2b 2 − 3b 4
− 2a 4 − ab 3 − 4b 4
21. x
4
− x 2y2
− 5x 3 y + 6xy 3 28. m3 − n3 + 6m2n
− 4 xy 3 + y 4 + n3 − 4m2n + 5mn2
− 4x y 2 2
−6 m − n3
3
+ 6mn2
x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6 − 2m + n − 2m n
3 3 2
11mn2
22. + x + xy
2
29. a
x
− 3a x − 2
− x 2 + 4 xy − 7y 2 x −1
+ 5a + 6a x − 3
− x 2 + 6xy + 5y 2
+ 7a x − 3 + a x − 4
− 6x 2 − 4xy + y 2
+ ax −1 − 13a x − 3
− 7 x 2 + 7 xy − y 2 x −1 x−2
a + 6a
x
− 3a + ax − 4
23. a 3 − 8ax 2 + x 3 30. − a x + a x + 1 + ax + 2
− 6ax − x + 5a x
2 3 2
− 3a x+3
−a x −1
+a x−2
3a 3 − x 3 − 5a 2 x −a x
+ 4a x+3
− 5a x + 2
a + 14ax − x
3 2 3
+a x −1
−a x−2
+ ax + 2
5a 3 − 2x 3 − 2a x + a x + 1 + a x + 3 − 3a x + 2
x+3 x+2 x +1
⇒a − 3a +a − 2a x

15. 5 2 2 2 3
EJERCICIO 18 6. x − y + xy
6 3 4
1 2 1
1. x + xy 1
− x2 +
1 2
y −
1
xy
2 3 6 8 2
1 1
+ xy + y2 1
− x2 +
1 2
y +
5
xy
2 4 3 4 6
1 2 2+3 1 1 5 1 5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10
x + xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 x + y + xy
2 6 4 2 6 4 6 24 12
2 7 2 13 1 13 7 2
1 = x2 − y + xy ⇒ x 2 + xy − y
2. a + 2 ab
2 6 24 12 3 12 24
1 1 2 1 2
7. a 3 − ab + b3
− ab + b 2
4 2
3 2 5 2
1 1 − ab − 2b 3 + a b
− ab − b2 8 6
4 5 1 3 3 3 1 2
a − b − a b
2 − 1− 1 5−2 2 3 2 4 5 2
a +
2
ab + b = a2 + b
4 10 10 4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2
a + ab + b + a b
4 8 5 6
5 7 8 2 5 1 7 8
2 = a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3
3. x
2
+ xy 4 8 5 6 4 3 8 5
3
1 8. x4 − x2 + 5
− xy + y2
6 2 3 3
−3 + x − x
5 2 3 8
− xy + y2
6 3 3 4 5 3 3
− x + x − x
4 − 1− 5 3+2 2 5 6 4
x2 + xy + y
6 3 5−3 4 2 4+5 3 −3−6
x − x + 2+ x + x
2 5 1 5 5 6 8
= x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2
6 3 3 3 2 9 9 2 3 9
= x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2
5 6 8 5 2 8
3 2 1 2 2 3 1 2 3
4. x − y 9. m − mn2 + n
4 2 3 4 5
2 1 2 1 3 3 1 2
− xy + y + mn2 − n + m n
5 6 8 5 6
1 2
1 1 2 m3 − n3 − m n
+ xy + y 2
10 3
2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2
3 2 − 4 +1 − 3 + 1+ 2 2 3 2 3 m + mn + n + m n
x + xy + y = x − xy 3 8 5 6
4 10 6 4 10 5 1 6 2 5 1 1 6
= m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3
3 8 5 6 3 3 8 5
2 2 1 1 2 2 4
5. a + ab − b 10. x
4
+ 2x 2 y 2 + y
3 5 2 7
5 2 1 1 2 5 4 3 2 2 1 4 1 3
a − ab + b − x + x y − y − xy
6 10 6 6 8 14 6
1 2 2 1 4 5 3
1 2 1 1 2 − x y + y − x y
− a + ab − b 4 7 6
12 20 3
6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3
8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1 − 3 + 1− 2 2 x + x y + y − xy − x y
a + ab + b 6 8 14 6 6
12 20 6 1 17 2 2 5 4 1 3 5 3
= x4 + x y + y − xy − x y
17 2 3 4 17 2 3 2 6 8 14 6 6
= a + ab − b2 = a + ab − b2
12 20 6 12 20 3 1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4
⇒ x − x y+ x y − xy + y
6 6 8 6 14

16. 2 3 4
11. x − + 13. a − +
6
5
x x a4 a2
3 5
3 5 3 3 1
1 3 2 + a − a − a
− 3x 5 − x + x 5 8 2
10 8
3 4 5 2
1 3 1 2 2 4 − a − a +6
+ x − x − x 7 8
6 4 3
3
1 3 3 − a −6
− x + x −4 8
12 5
−7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3
− 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6 3−2 2 2 4 a6 + a + a + a − a + a
− 2x 5 + x + x+ x − x −4 7 8 5 8 8
12 10 8 3
10 4 3 2 3 5 3 3 7
= a6 − a + a + a − a − a
7 8 5 8 8
7 3 13 1 2
= − 2x 5 − x + x + x2 − x4 − 4 3 5 10 4 3 3 3 2 7
12 10 8 3 ⇒ a6 + a − a − a + a − a
5 7 8 8 8
2 7 3 1 2 13
⇒ − 2x 5 − x 4 − x + x + x −4
3 12 8 10
2 3 5 2 1 3 14. x5 − y5
12. a +ax − x 1 3 2 3 4 1 5
9 6 3 + x y − xy − y
10 4 6
3 7 2 1 3
− a2x − ax − x −
1 5
y +
3 4 5
x y − x2y3
7 8 9 9 5 6
2 3 2 1 5
2 1 1 2 − x y − y + 2x 4 y
− a3 + a2x − ax 5 3
3 2 4 1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4 5
x5 + x y − xy + y + x y − x2y3
2−6 3 −6+7 2 20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3 10 4 18 5 6
a + a x+ ax + x 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5
9 14 24 9 = x5 − x y − xy − y + x y − x2 y 3
10 4 18 5 6
4 1 2 7 4
= − a3 + a x− ax 2 − x 3 ⇒ x5 +
13 4
x y−
3 3 2 5 2 3 3 4 29 5
x y − x y − xy − y
9 14 24 9 5 10 6 4 18
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
3. x4 − y4
1. 4x − 5y 2x 4 − 5x 2 y 2 − 8
− 3x + 6y − 8 − 4x 4
+ 7x 3y + 10xy 3
− x+ y
− x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3
2y − 8
⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8
⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0
= − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8
= − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8
= − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811
2. x 2 − 5x + 8
− x 2 + 10x − 30
4. 3m − 5n + 6
− 6x 2 + 5x − 50 − 6m − 20n + 8
− 6x 2 + 10x − 72 12m − 20n − 12
⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72 9m − 45n + 2
= − 150 + 50 − 72 = − 172 2 1 18 45
⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 = − + 2 = 6 − 9 + 2 = −1
3 5 3 5

17. 5. nx + cn − ab
8nx − 2cn − ab 10. x 3 y − xy 3 + 5
nx − ab − 5 5x 3 y − 6 + x 4 − x 2y2
10nx − cn − 3ab − 5 − 6xy + 2
3
+ x2 y2
1 1
⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 + 3xy 3 + 1 − y4
5 5
6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4 − y4
50 10
= − − 6 ⋅3 − 5 ⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2
4 3 3 4
5 5
= 10 − 2 − 18 − 5 = − 15 = 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2
= 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2
6. a3 + b3 = 625 + 3.000 − 1280 − 256 + 2 = 2.091
.
− 3a b + 8ab − b 3
2 2
− 5a 3 − 6ab 2 +8 3 2
a
2 2
b +
11.
+ 3a b 2
− 2b 3 4 3
1 1
− 4a 3
+ 2ab − 2b3 + 82 − ab + b 2
3 9
⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8
3 2 3
1 1
+ ab − b 2
= − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8 6 3
= − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42 3 2 − 2 +1 6 + 1− 3 2
a − ab + b
4 6 9
7. 27m
3
+ 125n 3 3 1 4
= a 2 − ab + b 2
− 9m n + 25mn
2 2 4 6 9
− 14mn 2 −8 3 1 4
⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32
+ 10m n + 11mn 2
2 4 6 9
3 1 4
27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8 = ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6
3 2 2 3
4 6 9
 2  2 1 2  1  1
⇒ 27 ⋅   +   ⋅ + 22 ⋅ ⋅   + 125 ⋅   − 8
 3  3 5 3  5  5
9 2 25 2 1
8 4 1 44 1 1 m + n −
= 27 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 125 ⋅ −8 12. 17 34 4
27 9 5 3 25 125
7 2 5 2 1
4 44 4 44 m + n + − 15mn
=8+ + + 1− 8= + +1 34 17 2
45 75 45 75
7 2 1
20 + 132 + 225 377 − m − − 30mn
= = = 1 152
225 34 4
225 225
+ 3
a −1
+ y b − 2 + mx − 4 18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12
8. x m + n + − 45mn
a −1 b−2 x −4 34 34 4
2x − 2y − 2m 18 2 35 2 12
b−2 = m + n + − 45mn
+ 3y − 2m x − 4 34 34 4
9 2 35 2
3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4 ⇒
17
m − 45mn +
34
n +3
5−4
 2
2 2
9  2 2 1 35  1
⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3  = 15 + 8 − 2 = 21 =   − 45⋅ ⋅ +
17  3 
  +3
3 5 34  5
 3
9 4 90 35 1
= ⋅ − + ⋅ +3
b −1 x −3 17 9 15 34 25
9. n − m +8 4 35 4 7
= − 6+ + 3= + −3
− 5nb −1 − 3m x − 3 + 10 17 850 17 170
40 + 7 − 510 463
4nb −1 + 5m x − 3 − 18 = =− = − 2 123
170
170 170
mx − 3
5−3
 2  2
2
4
⇒  =  =
 3  3 9

18. 1 2 3
13. b m − cn − 2 14. 0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b
2 5
3 2 1 + 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3
b m − cn + 6
4 10 − 0,4a 3 − 0,8a 2b +6
1 2 1
− b m + cn + 4 0,2a 3
+ 15a 2b + 0,9b3
,
4 25
1
− b 2m + 2cn +
3 ab 2 − 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6
8 5
⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6
2 2
4 + 6 − 2 −1 2 − 30 − 5 + 2 + 100 − 10 + 30 + 20 + 3
b m+ cn + = − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6
8 50 5
7 2 67 43 7 2 2 67 1 43 = − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6
⇒ b m+ cn + = ⋅3 ⋅ + ⋅10 ⋅ +
8 50 5 8 3 50 5 5 = − 12 + 18 + 2,7 + 6
,
7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43
= + + = + + = + + = 25,5
24 50 5 24 250 5 4 25 5
525 + 268 + 860 1. 653
= = = 16 100
53
100 100
EJERCICIO 20
21. − 8xa + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11
1. − 8 − 5 = − 13
22. 6a n − (− 5a n ) = 6a n + 5a n = 11a n
2. − 7 − 4 = − 11
3. 8 − 11 = − 3 23.− 45a x −1 − (− 60a ) = − 45a + 60a = 15a
x −1 x −1 x −1 x −1
4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3
24. 54bn −1 − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b
n −1 n −1 n −1 n −1
( )
5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8
6. 2a − 3b = 2a − 3b 25. − 35ma − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m
a a a a
7. 3b − 2 = 3b − 2  1 1 10 + 1 11 1
26. 5 −  −  = 5 + =
 2
= =52
8. 4x − 6b = 4x − 6b 2 2 2
9. − 5a − 6b = − 5a − 6b 2 3 −8−9 17
27. − − = =−
( )
10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3 3 4 12 12
11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2
2 1 2  2 2 1 2 2 2 3 2 2
28. x −− x  = x + x = x = x
3  3  3 3 3
( )
12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz
4 3  5 3  24 + 25 3 49 3
13. 3a − 4a = − a 29. x y −  − x y = x y= x y
5  6  30 30
14. 11 2 − 25 m2 = − 14m2
m
1 2  3 2  − 1+ 6 2 5 2
− 6 x 2 y − (− x 2 y) = − 6x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y 30. − ab −  − ab  = ab = ab
15. 8  4  8 8
16. 11a 3m2 − (− 7a 3m2 ) = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2 31. − 2 − 3 = − 5
( )
32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8
17. − 8ab 2 − (− 8ab 2 ) = − 8ab 2 + 8ab 2 = 0
33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3
18. 31x 2 y − (− 46 x 2 y) = 31x 2 y + 46 x 2 y = 77 x 2 y 34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9
19. − 84a 2b − (− 84a 2b) = − 84a 2b + 84a 2b = 0 35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0
20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2 36. 2a − (− 5) = 2a + 5

19. 37. −3x − b = − 3x − b EJERCICIO 21
38. − 2n − 5m = − 2n − 5m
1. a +b 2. 2x − 3y
(
39. 3b − − 6a = 6a + 3b ) −a +b x − 2y
40. 8b − (− 5a ) = 5a + 8b
3 3 2b 3x − 5y
41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9 3. 8a + b 4. x − 3x
2
(
42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25 ) 3a −4 5x − 6
11a + b − 4 x 2 + 2x − 6
( )
43. 3a − − a = 3a + a = 4a
44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b 5. a − a b
3 2
6. x−y+z
54 x 3 − (− 11x 3 ) = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3
− 7a 2b − 9ab 2 −x+y−z
45.
a 3 − 8a 2b − 9ab 2 0
46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b
47. − 54a 2 y − (− 43a 2 y ) = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y
48. − ab − 9ab = − 10ab 7. x + y − z 8. x 2 + y 2 − 3xy
x+ y − z − 3x 2 + y 2 + 4xy
49. − 31x y − (− 31x y) = − 31x y + 31x y = 0
2 2 2 2
2 x + 2 y − 2z − 2x 2 + 2y 2 + xy
50. − 3a − a = − 4a
x x x
⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2
51. 311a x +1 − (− 7a x +1 ) = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1
9. x3 − x2 + 6 10. y
2
+ 6y 3 −8
52. 105m − 9m = 96m
x x x
− 5x − 6 + 4 x
2
3y − 2y
2 4
− 6y
53. − 31a x −1
− 18a x −1
= − 49a x −1
x − 6x 2
3
+ 4x 4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8
⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8
54. − 236ma − (− 19m ) = − 236ma a
+ 19ma = − 217ma
55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2 11. a 3 − 6ab 2 + 9a
+ 8a − 15a 2b − 5
56. − (− 6a ) = + 6a
1 1
4 4 a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5
2 − 2 + 15 13 ⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5
57. − − ( − 5) = =
3 3 3
12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4
7 3 3 3
58. − m − m − 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2
10 8
− 56 − 30 3 86 3 43 3 x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2
= m =− m =− m
80 80 40 ⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4
5 2 2  11 2 2  13. a + b + c − d ab + 2ac − 3cd − 5de
59. a b −− ab  14.
6  12  − 8ab + 4ac + 5cd − 5de
a + b−c+d
10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2
= ab = ab = ab 2a + 2b − 7 ab + 6ac + 2cd − 10de
12 12 4
15. x 3 + 6x 2 − 9x − 19
1 3 2
60. − a b − 45a 3b 2 − 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43
9
− 1− 405 3 2 − 406 3 2 − 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24
= ab = a b = − 45 9 a 3b2
1
9 9

20. 16. y − 9y + 6y − 31
5 3 2
− 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y
y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31
17. 5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2
− 5m3 + 21m2n − 14mn2 + 18
− 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18
18. 4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2
25x 3 y + 51xy 3 − 32 x 2 y 2 + x 4
29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4
19. m + m n − 9m n + 19
6 4 2 2 4
+ 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5
m6 + m4n2 + 21 2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80
m
20. − a 5b + 6 a 3b 3 − 18 ab 5 + 42
8a 6
+ 11a b 4 2
+ 11a b2 4
− 9b 6
8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42
21. 1 − x + x − x + 3x − 6x
2 4 3 5
24 + 30x 2 − 8x 4 − 15x + x6
25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25
22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18
+ 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4
− 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98
23. m
6
− 8m4n2 + 21m2n4 − 6mn5 + 8
23m n 5
− 14m n 3 3
+ 24mn5 − 8n6 + 14
m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21 2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22
m
24. x − 8x + 16x − 23x − 15
7 5 2
− 51x + 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3
x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3
25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6 + 14
+ 15a b 4 2
− 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab
6 5 3 3 5
9a 6
+ 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14
2 4
ax + ax +1 − ax + 2
− 5a x + 6a x + 1 + a x + 2
26.
− 4a x + 7a x + 1

21. a −1
27. m − m
a
+ 3ma − 2
4ma − 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3
5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3
m+4
28. a − 7am + 2 − 8a m + 6am − 1
+ 14a m + 2 + 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1
a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1
a+2
29. x − 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2
− 19x a − 45x a − 1 + 11x a + 1 − 60x a − 3
a+2 a −1 a−2
x − 26x − 36x
a
+ 25x + 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3
n+1 n−2
30. m − 6m + 8mn − 3 − 19mn − 5
− 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4
mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5
EJERCICIO 22
b− a 7. − a + 2b − 3c
b− a − a + b − 2c
1.
2b − 2a ⇒ − 2a + 2b − 2a + 3b − 5c
2. 2x + 3y 8. − 3n + 4m + 5p
−x+y + n − m −p
x + 4y − 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p
3. − 7a + 5 9. x + 3y − 6z
5a −b x−y +z
− 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5 2x + 2y − 5z
4. − x 2 + 6 10. − 5b 2 + 8ab + a 2
−x 2
+ 5x 6b 2 − ab − 3a 2
− 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6
2 2
b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2
5. x 2 y + 5xy 2 − 5m2 − n2 + 6mn
+ xy 2
−x 3
− m2 + n2 + 3mn
11.
x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2 − 6m2 + 9mn
6. 7a 2b + 5ab 2 12. − 8x 2 + 5x − 4
− 6a 2 b + 8a 3 + x − 6 + x3
a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab
2 2 3 3 2 2
− 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10

22. 14m2 − 8n + 16 23. y + y + y + 9
6 3 2
13.
− 14m 2
− 9 −m 3
− 23y 3 + 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
− 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7 y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14
14. 8ab + 5bc + 6cd
− ab + bc − 6cd
24. x − x + 3x − 5x − 9
8 6 4 2
7 ab + 6bc
− 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
15. a − 9a b − b
3 2 3
x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
− 25a 2b + b 3 + 8ab 2 ⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45
a 3 − 34a 2b + 8ab 2
25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60
16. 6x − 8x y − 6xy
3 2 2 + 60x 4 y 3 + x 2 y 5 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
− xy 2 + 6y 3 − 4 x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
7 5 2 4 3 2 5
⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60
6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4
x+3
17. m2 − 9n + 11c + 14 26. a − 8a x + 1 − 5
− m2 − 7n + 8c −d + 5a x + 1 − a x + 2 + 6a x
− 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14 a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x
⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5
18. 5a + 9a b − 40ab 3 + 6b 4
4 3
− 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4 27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3
5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4 − 7an − 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1
− 15an + 16an − 4 + 10an − 2 − 8an − 1
19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15 n −1 n−2
⇒ − 15a − 8a n
+ 10a + 16an − 4
− 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x
x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x
28. 15x a + + 5x a + − 6x a + 41x a −
3 2 1
⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22
+ 9x a + 2 + 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18 15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
− 6xy 4
− 25y 5
−x +x y
5 2 3
⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1
− 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3
⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18 m −1
29. 9a − 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5
5am − 1 − 12am − 2 + am + 8am − 4
21. x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x
− 25x 3 + 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4
⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5
− 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5
⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37
30. − 15mx + 3 + 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2
22. a
5
− 26a 3b 2 + 8ab 4 − b 5 + 6 m x+4
+ 23m x+2
+ 6mx + 1 + mx − 1
− 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4 +8 m x+4
− 15m x+3
+ 23m x+2
+ 56m x +1
− 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2
x
a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14
5 4 3 2 2 3 4 5

23. EJERCICIO 23
11. x − 1
2
− xy − y 2
1. 1
− a +1 x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1
−a+2
12. a
3
+6
2. 0 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3
− a+8
a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6
− a+8
13. x
3
+ y3
−9 + 5 x y − 17 xy
2 2
+5
3.
− 3a − a + 5
2 x + 5 x y − 17 xy + y + 5
3 2 2 3
− 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4
2 2
14. x
4
−1
4. + 16 − 9 x y + 8x y + 15 xy
3 2 2 3
− 5xy + x − 162
x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1
4
− 5xy + x 2 ⇒ x 2 − 5xy
15. a
5
+ b5
+ 11a b − 2a b − 8a b + 4ab
4 2 3 3 2 4
5. 1
a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5
5
− a 3 + a 2b − ab 2
⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5
1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1
3 2 2 3 2 2
16. x
4
+ x2 + 50
6. x 3
− 5x 3
+ 25x
x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2
x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50
2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2
17. y + y − 41
6
3
7. a
− 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
+ 8a 2b − 6ab 2 + b 3
y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3
⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41
8. + y4 18. a
6
+ 9a 4b 2 + a 2b 4
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + 15a b 5
− 17a b 3 3
+ 14ab 5 + b 6
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4 a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6
19. x + x − 11x
4 3
9. m4
− 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 − 5 x + x 2 + 34
− 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34
20. m
3
−1
10. 16 − m2n − 7mn2 + 3n3
14 − b + a − c − d
m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1
30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30

24. EJERCICIO 24
5 3 2 3
1.
1 2
a 6. 6 m + 9
n
2
1 2 1 2 1 3 1 2 3
a + ab − b 2 + n + m n − mn2
4 3 5 5 2 8
2 +1 2 1 2 5 3 10 + 9 3 1 2 3
a + ab − b 2 m + n + m n − mn2
4 3 5 6 45 2 8
3 2 1 2 2
= a + ab − b 5 3 1 2 3 19 3
4 3 5 ⇒ m + m n − mn + 2
n
6 2 8 45
2. 15
3 2 1 3
4 2 5 7. a + ab − b2
− xy − yz + 7 3 5
5 3 9 5 2 1 1
− a − ab +
4 2 135 + 5 14 2 8
− xy − yz +
5 3 9 6−5 2 2−3
4 2 140 a + ab
= − xy − yz + 14 6
5 3 9 1 2 1 3 1
4 2 a − ab − b 2 +
= − xy − yz + 15 5 9
14 6 5 8
5 3
3 2 5 1 2
3 8. x + xy − y
bc 8 6 10
3.
5 3 2 3
1 3 2 x + xy − 2y 2
− bc + ab + cd 5 10
6 4 9 15 + 24 2 50 + 18 1+ 20 2
18 − 5 3 2 x + xy − y
bc + ab + cd 40 60 10
30 4 9 39 2 68 21 2 39 2 17 21 2
3 13 2 = x + xy − y = x + xy − y
⇒ ab + bc + cd 40 60 10 40 15 10
4 30 9
5
9. a + a − +
3 2
1 2 a
4. a − b 6
2 3 7 2 9 7
4 2 1 + a − a −
− a − b + 8 10 8
5 9 2 8 + 7 2 10 + 9 20 − 21
5−8 6+2 1 a3 + a − a+
a− b+ 8 10 24
10 9 2 15 2 19 1
3 8 1 =a +
3
a − a−
=− a− b+ 8 10 24
10 9 2
7 4 3
10 . m + 12 mn −
3 2
n
5 2 3 2 7
5. 9 x − 8
y
5 5 2 1
1 2 5 3 − mn2 − n3 + m n+
− y − xy + 9 21 8
10 7 11
21− 20 4+7 3 5 2 1
5 2 30 + 8 2 5
x − y − xy +
3 m3 + mn2 − n + m n+
9 80 7 11 36 7 21 8
5 38 2 5 3 5 1 11 1
= x2 − y − xy + ⇒ m3 + m2n + mn2 − n3 +
9 80 7 11 21 36 7 8
5 5 19 2 3
⇒ x 2 − xy − y +
9 7 40 11

25. 3 4 3 5 3 2 4 1 3 7 8
11. x + x3y − xy + y 12. a+ b − c + d
5 4 7 3 2 5 8 9
5 2 2 1 5 4 7 1 1 7
− x4 − x y + xy 3 − y + b − c + d −
8 3 6 20 8 9 8
3−5 4 3 3 5 15 − 7 3 4 − 5 4 1 12 + 7 7 +1 8 +1 7
x + x y − x2y 2 − xy + y a+ b− c+ d−
5 4 8 21 6 2 20 8 9 8
2 3 5 8 3 1 4 1 19 8 9 7
= − x 4 + x3y − x2y 2 − xy − y = a+ b− c+ d −
5 4 8 21 6 2 20 8 9 8
1 19 7
= a+ b− c+ d −
2 20 8
EJERCICIO 25
1. 3 2 5 6. 5 2 1 2 1
a − a a b+ ab −
8 6 8 4 3
5 7 2 5 3
− a2 + ab − 6 − a
6 8 6
9 − 20 2 5 11 2 5 5 2 2 + 7 2 1+ 18 5 3
a − a=− a − a a b+ ab − − a
24 6 24 6 8 8 3 6
5 2 9 2 19 5 3
= a b + ab − − a
2. 8a + 6b −5 8 8 3 6
1 3 5 5 9 19
− a + b ⇒ − a 3 + a 2b + ab2 −
2 5 6 8 8 3
16 − 1 30 + 3 15 33
a+ b−5 = a+ b−5
2 5 2 5
2 3 5 2 2 1
7. mn + mn + mn3 − 6
2 2 11 14 3
3. x + x y − 6
3
3 7 2 2 2
m4 − mn + mn3
7 2 8 9
− x y
9 2 3 20 − 49 2 2 3 + 2
m4 + m n+ mn + mn3 − 6
6−7 2 1 11 56 9
x3 + x y − 6 = x3 − x2y − 6
9 9 2 29 2 2 5
= m4 + m3n − m n + mn3 − 6
11 56 9
4. a + b − c
1 3 2
− a + b − c
2 4 3
7 4 1 3 2 2 2 3 1 4
2 −1 4+3 3+2 1 7 5 8. − x y + x y + x y + xy − 7
a+ b− c= a+ b− c 8 14 3 3
2 4 3 2 4 3 1 5 3 3 2 1 2
x − x y + xy 4 −
2 7 8 9
2 5 1
5. m + n + p 1 5 7 4 1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2
3 6 2 x − x y+ x y + x y + xy −
2 8 14 3 24 9
−m − n + p
1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65
2−3 5−6 1+ 2 1 1 3 = x − x y− x y + x y + xy −
m+ n+ p= − m− n+ p 2 8 14 3 24 9
3 6 2 3 6 2 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4
= x − x y− x y + x y + xy − 7 2
9
2 8 14 3 24

26. 7 5 2 4 2 1 2 6
9. x y+ x y − x 3y 3 − x 2 y 4 + xy 5 + y
9 3 8 13
7 4 2 1 2 4
− x6 + x y − x y − xy 5 + y6
9 11
7 5 6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4 2 + 13 6 7 13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6
− x6 + xy+ x y − x y − x y + y = − x6 + x5 y + x y − x y − x y + y
9 9 8 11 13 9 9 8 11 13
1 3 7 2 5 2 7 3 2
10. x − x y + xy − y −
3 9 8 11 5
2 3 1 2 3
x + x y − xy 2 − 6
3 6 4
1+ 2 3 14 − 3 2 5 − 6 2 7 3 2 + 30 11 2 1 7 32
x − x y+ xy − y − = x3 − x y − xy 2 − y 3 −
3 18 8 11 5 18 8 11 5
3 4 2 3 2 4 5 6
11. mn − mn + n
10 7 9
2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 3
m + mn − mn − n +
13 20 14 3 5
2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3
m + mn − mn + n + = m + mn − mn + n +
13 20 14 9 5 13 20 14 9 5
3 5 7 4 7 3 2 1 2 3 1 5
12. 8 c + 22 c d +
12
c d + c d
2
−
3
d − 35
5 4 5 3 2 3 3 5
+ c d + c d − cd 4 − d
11 6 4 13
3 5 7 + 10 4 7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5
c + c d+ c d + c d − cd − d − 35
8 22 12 2 4 39
3 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5
= c5 + c d+ c d + c d − cd − d − 35
8 22 12 2 4 39
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
2. a + b
3 3
1. a − ab
2
+ 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2
− 3ab − b 2
a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3
3
a 2 − 4ab − b 2
= 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8
= 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11
= 1+ 10 − 24 + 24 = 11

27. 1
3. a
2 2 3 1
8. 3 m n + 4 mn − 2 n
2 2 3
1 5
−a − b+ c
2 3 1 2 1 2 1 3
1− 2 1 5 1 1 5
mn + mn + n + m3
a − b+ c=− a− b + c 6 4 2
2 2 3 2 2 3 4+1 2 3+ 1 2 5
1 1 5 1 m n+ mn + m3 = m3 + m2 n + mn2
⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5 6 4 6
2 2 3 2 3 2 2
 3 5  3 2 3  2  27 5 18 3 4
−1− 2 + 10 7 =  +   ⋅ +   = + ⋅ + ⋅
= = =3 21
 2 6  2 5 2  5 8 6 20 2 25
2 2
27 3 12 675 + 150 + 48 873
= + + = =
8 4 50 200 200
4. 3m − 5n
2 2
− m2 − 10n 2 − 8mn
9. a
5
− 3a 2b 4 + b 5
2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2
2 2
− a b + 5a b
4 2 3 3
 3 3 2  2 9 48 4
= 2   − 8 ⋅ ⋅ − 15   = 2 ⋅ − − 3⋅ a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5
5
 2 2 5  5 4 10 5
9 24 12 45 − 48 − 24 27 = 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25
= − − == =− = 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21
2 5 5 10 10
5. x
4
− 18x 2 y 2 + 15y 4 10. − ab + 10mn − 8mx
16x y3
+ 6xy − 9y 4
3 − 15ab
x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4 − 16ab + 10mn − 8mx
3 2 3
= 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5
4 3 2 2 3 4
= − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4
2 5 2
= 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625
= − 32 + 6 − 48 = − 74
= 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926
3
11. a
6. a − 7am + m
3 2 3
+ 5am + 5m3 − 8a 2 m
2 − 11a 2b + 9ab 2 − b 3
a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3 a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3
3  3
2
 3 24
3
9 27 = 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23
= 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1  + 6   = 1 − − 2⋅ + 6⋅
2  2  2 2 4 8 = 1− 22 + 36 − 8 = 7
9 81 4 − 48 − 18 + 81 19
= 1 − 12 − + = =
2 4 4 4
1 4
12. x
64
2 2 7 1 2 2 5 3
7. a + ab − b2 − x − x+
3 8 5 3 6 8
1 1 2 1 4 2 2 5 3
− a 2 − ab + b x − x − x+
6 10 64 3 6 8
4 −1 2 7 − 8 2 −1 2 1 2 1 1 1 4 2 2 5 3
a + ab − b = a − ab − b 2 = ⋅4 − ⋅4 − ⋅4 +
6 8 10 2 8 10 64 3 6 8
1 1 1 2 1 2 4 32 20 3 96 − 256 − 80 + 9
⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 − ⋅2 = − − = 4− − + =
2 8 10 2 8 10 3 6 8 24
1 1 2 10 − 5 − 8 3 231 77
= − − = =− =− =− = −9 8
5
2 4 5 20 20 24 8

28. 3 2 2 2
13. x3 + x y− xy 2 x −1 x 5
16 5 14. a + a − ax − 3 + ax − 2
3 3 3 2 1 3 5 6
− x + xy + y
4 5 25 − ax −1 + 9a x − 3 − a x − 2
4−3 3 3 2 2−3 2 1 3 2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3
x + x y− xy + y a +a − a
4 16 5 25 5 6
1 3 2 1 2 1 3 3 49 x − 3
⇒ x3 + x y+ xy + y ⇒ ax − ax −1 + a
4 16 5 25 5 6
1 3 2 1 1 3 3 49 4 − 3
= ⋅ 43 + ⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 + ⋅5 = 14 − ⋅14 − 1 + ⋅1
4 16 5 25 5 6
1 15 4 125 3 49 + 30 − 18 + 245 257
= ⋅ 64 + ⋅16 + ⋅ 25 + =1 − + = = = 8 17
30
4 16 5 25 5 6 30 30
= 16 + 15 + 20 + 5 = 56
EJERCICIO 27
7. − m + n − p m−n+p
1. + ab + b 2 a2 2m − 2n + 2p −m+n−p
a2 − 5b 2 − a 2 − ab + 4b 2
m− n + p 0
a 2 + ab − 4b 2 − ab + 4b 2
8. 9ax − a 2 x 2 − 5ax + 3a 2
2. a+8 1 − 9ax + 7a 2 + 25 x 2 − 25 x 2 − 6a 2
−a+6 − 14
6a 2 + 25x 2 − 24 x 2 − 5ax − 3a 2
14 − 13
9. 5a 2 + 6a − 4 a3 −1
3. − x + 4xy 2 − 8a + 6 − 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2
3
2a 3
+ 5x 2 y + y3 2a 3 + 5a 2 − 2a + 2 − a 3 − 5a 2 + 2a − 3
− x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3
5 x 3 − 9x 2 +4 x4 −1
− 7x y2 − 11x − 7x
4 3
− 6x 11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4
10.
x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3 − 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4 12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5
x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3
11. 35a 2b − 7ab 2 − 11 a3 + b3
− 7a − 35a b + 8ab + 6
3 2 2
7a − ab
3 2
+5
4. − 3m n + 4mn − n
3 2 3
5m4
− 7a 3
+ ab − 5
2
8a − ab + b + 5
3 2 3
3m n − 4mn + 5n3
3 2
− 4n3
+ 4n3 5m4 − 4n3
12. − 11n4 + 14n2 − 25n + 8
5. 8a + 9b − 3c 6a 19n3 − 6n2 + 9n − 4
− 7a − 9b + 3c −a − 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4
a 5a
n5 − 7n3 + 4n
6. a −b +c a +b−c
11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4
4
− 2a + b − c a
−a 2a + b − c n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4

29. 20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4 x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4
13. − 6a 3m + 5am3 −6 + 8x y + 31y
2 2 4
− x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4
7a − 5a m − 11a m
4 3 2 2
− 6m 4
x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4 0
7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6
4 3 2 2 3 4
21. − 6n + n + n2
5 4
a4 − 8a 2m2 + m4
+ 7n3 − n2 − 8n − 6
− 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6
− 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6
− 4x 4 y + 13x 2 y 3 − 9xy 4 n 6
+ 3n4 + 8n3 − 19
14.
− 6x 5
+ 8x y 3 2
+ xy 4
− 2y 5
n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25
6 5 4 3
− 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y
5 4 3 2 2 3 4 5
22. a
5
− 3a 3b2 + 6ab 4
x5 − 30x 3 y 2 + 40xy 4 + y 5
+ 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5
4
6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5
a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5
7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5
a 5 + 22a 4b + 7a 3b2 − 5ab 4 − b 5
15. a + b 2a
− 5a b 4
+ 7a b 2 3
− b5
a−b − 2a + b
a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5
2a b
16. 8x +9 8x + 6y + 4
6y − 5 2
23. 4m3 − 5m2 − 2m − 3m3 − 5m2 + 6m + 4
8x + 6y + 4 8 x + 6y + 6
− 7m3 + 8m + 4 m4 −5
17. x
2
− 6y 2
x − 7 xy + 34y
2 2 − 3m − 5m + 6m + 4
3 2
m − 3m − 5m + 6m − 1
4 3 2
− 7 xy + 40y 2 9y 2 − 16
24. 7a 2 − 11ab + b 2 2b 2 − 8
x 2 − 7 xy + 34y 2 x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16
− 7a 2 + 11ab + b 2 − 8 +4
18. 4a + 8ab − 5b
2 2
5a + ab + b
2 2 2b 2 − 8 2b 2 − 4
a 2 − 7ab + 6b 2 − 4a 2 − ab + b 2
25. 3a − 4b + 5c
5a 2 + ab + b 2 a2 + 2b 2 − 7a + 8b − 11 − 5a + 6b − 2c − 11
− a + 2b − 7c − a + b + 2c
19. x 3 − y3 − 5a + 6b − 2c − 11 − 6a + 7b − 11
− 14x y + 5xy
2 2
x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3
3
26. 5a 3 + 14a 2 − 19a + 8
a5 + 9a − 1
x − 14x y + 5xy − y
3 2 2 3
− a4 + 3a 2 −1
3x 3 − 19y 3 a −a5 4
+ 5a + 17a − 10a + 6
3 2
4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3 − a 4 + 3a 3 −5
a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1
5 4 3 2

30. 27. m
4
+ 10m2n2 + 15n4 5
+ y5
29. x
− 11m n − 14m n − 3mn + n4
3 2 2 3
3x y + 21x y + 18x y − y 5
4 3 2 2 3
m − 11m n − 4m n
4 3 2 2
− 3mn + 16n3 4
x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3
6m4 + 7m2n2 + 8mn3 − n4 x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5
− m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4
4 3
− x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3
5m + 11m n + 11 n + 11mn − 17n
4
m 3 2 2 3 4
29x 4 y − 47x 3 y 2 − 2xy 4 + y 5
28. a
5
+ 4a 3b 2 + 8ab 4 − b5 x −1
30. 3a + 6a
x
− 7a b 4
+ 15a b − 25ab + 3b
2 3 4 5
a x − 7a x − 1 + a x − 2
− a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4
4a x − a x − 1 + a x − 2
a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5
8a x + 2 − 7a x + 1 − a x + 12 a x − 1
3a 5
− 6a b − 21ab
2 3 4
−6 − 4a x
+ ax −1 − ax − 2
− a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b
5 4 3 2 2 3 4 5
8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2
2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab
5 4 3 2 2 3 4
− 2b − 6 5
EJERCICIO 28
1. x
2
+5 x−4 x 2 + 2x − 1 6. a2 x − 3x 3 − 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3
2x − 6 −x+6 −2 a 3
+ 3ax 2
a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3
3
x + 2x − 1
2
2 x + 2x − 3
2
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3 a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3
2. 3a − 5b + c 7a + b 4a − 6b − 2c
a − b − 3c − 8b − 3c − 7a + 7b + 3c a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
− a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3
4a − 6b − 2c 7a − 7b − 3c − 3a + b + c
10a 2 x − 14ax 2
3. x
3
+1 9x + 4 6x 3 − x 2 +8
5x 3 − x 2 + 7 − 3x 2 − x + 1 3x 2 − 8x − 5
6x − x + 8
3 2
− 3x + 8 x + 5
2
6x + 2x 2 − 8x + 3
3
7. x
4
+ x2 −3
a +1 2
a 4
+2 a +a3 2 −x 3
− 3x + 5 − 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4
4.
a3 −1 a −2 − a4 −a x 4
− 5x + 4 x
2
x 4
−3
a3 + a2 a4 + a − a4 + a3 + a2 − a 2x − x − 4 x + x + 2
4 3 2
x − 7 x + 8 x − 3x + 1
4 3 2
5. ab + bc + ac 5ab − 3bc + 4ac ab − 6bc + 9ac − 9 2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2
− 7bc + 8ac − 9 − ab + 3bc + 5ac − 4ab − 9ac
− x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1
ab − 6bc + 9ac − 9 4ab + 9ac − 3ab − 6bc −9
x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1

31. 8. m
4
− n4
17m n − 4m n − 7mn3
3 2 2
− m4 +6 17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
− m4 + 6m2n2 − 80n4 − m2n2 + mn3 − 4 m4 + m2n2 − mn3 −2
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4 − m4 − m2n2 + mn3 + 2 m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2
9. + a3 + a − 7
a −a
5 4
− 6a 2 + 8 − a 4 − 4a 3 + a 2 a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− 5a 2 − 11a + 26 16a 3 − 8a 2 − 7a − 15 + a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27 − a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15 a5 − 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42
10. 3x
2
− y2 x 2 − 3xy − y 2 20x 2 − 11xy + 8y 2
− 11xy + 9y − 14 2
19x − 8xy + 9y
2 2
− 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14
3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14 20x 2 − 11xy + 8y 2 17 x 2 + 14
11. a −1 a2 −3 12. a 2 − ab + b 2
− a +1 a −4 3a 2 − 8ab + 7b 2 − a 2 + 9ab + 3b 2 − a 2 + ab − 4b2
0 − 3a + 8 − 5a + 11ab − 17b
2 2
− 8ab − 7b 2
a 2 − 2ab + 9b 2
a 2 − 2a + 1 − a 2 + 2ab − 9b2 − a 2 + ab − 4b 2 − ab + 5b 2
13. m
4
−1
− m3 + 8m2 − 6m + 5 m5 − 16 m5 − 16m4 + 7m2 − 19
− m − 7m + 1
2
− 16m + 7m − 3 4 2
− m + m − 7m2 + 13m − 5
4 3
m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5 m5 − 16m4 + 7m2 − 19 m5 − 17m4 + m3 + 13m − 24
14. x
5
− y5
− 2x y + 5x y − 7 x y
4 3 2 2 3
− 3y 5 7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4 − x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8
− 7x y
3 2
+ 6 xy 4
−8 − xy 4
−1 7x 4 y − x 3 y 2 + 10xy 4 −1
x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8
5 4 3 2 2 3 4 5
7 x y − x y + 10xy − 1
4 3 2 4
− x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7
5 4 3 2 2 3
15. − a + 7a 4 − 8a
6
− 3a 5
+ 11a 3 − a 2 +4
− 6a 4 − 11a 3 − 2a + 8 − 3a 4 + 7a 2 − 8a + 5 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
− 5a 3
+ 5a − 4a + 1
2
5a 5
− 7a + 41a − 50a + 8
3 2
a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13
6
− a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13 a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a
16. a
5
− 7a 3 x 2 + 9 + 18a 3 x 2 − 4x 5 − 8
− 20a x 4
+ 21a x − 19ax
2 3 4
− 9a x − 17a x + 11a x
4 3 2 2 3
+ 9a 3 x 2 − 7ax 4 + x 5 − 80 a5 + 36
a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71
5 4 3 2 2 3 4 5
a − 9a x + a x
5 4 3 2
+ 11a x − 4 x
2 3 5
+ 28
a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3 − 4 x 5 + 28
− a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71
5
11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99

32. EJERCICIO 29
7 7 4 3 2
5. 12 a
4
a − a3 + a2 −6
1 3 12 7 5
1. a + b a 3 3 2 2 3 4 1 1
2 4 − a + a −6 a − a+
2 3 1 5 7 5 4 5 3
− a + b − a − b 7 4 3 3 2 2 7+9 4 3 3 2 2 1 18 − 1
3 4 3 4 a − a + a −6 a − a + a − a−
12 7 5 12 7 5 5 3
3−2 2+3 9−4 5
a+ b a− b 4 4 3 3 2 2
= a − a + a −
1
a−
17
3 4 12 4 3 7 5 5 3
1 5 5 5
= a+ b = a− b
3 4 12 4
1 2 1 5 2
6. − x+ y− z y −
2 3 4 9 5
3 1 3 3 2 1 2 1 5 13
2. a−6 a + a − y− z +3 x− y+ z− 3
8 2 5
9 5 2 9 20
5 3 5 3 3 2 3
− a3 + a2 a − a − a+6 1 6 −1 5+8 1 13 2 + 15
6 5 6 5 8 − x+ y− z+3 x + z−
5 3 3 3+5 3 3 2 9 20 2 20 5
− a3 + a2 + a − 6 a − a+6 1 5 13 1 13 17
6 5 8 6 8 =− x+ y− z+3 = x+ z−
4 3 2 9 20 2 20 5
= a3 − a + 6
3 8
3 7 3 2 3
3. a + 3b a+ b +6 7. − a b + ab2 − b3
5 3 2 4
2 2 1 1 1 2 5 2 3
− a − b +6 − a+ b a b − ab 2 + b
5 3 5 6 8 6 3
5−2 9 −2 3 −1 14 + 1 12 − 1 2 9 − 10 2 3 − 2 3
a+ b+6 a+ b+6 − a b+ ab − b
5 3 5 6 8 12 3
3 7 2 5 11 1 1
= a+ b+6 = a+ b+6 = − a 2b − ab 2 − b 3
5 3 5 2 8 12 3
1 3 1 3
a −
b
2 3
1 3 3 2 1
4. 3 x − 7
x +
5
11 2
a b+
1 1
ab 2 + b 3
8 12 3
1 2 2
x − x+6 1 3 11 2 1
14 9 a + a b+ ab 2
2 8 12
1 3 6 −1 2 2 1+ 30
x − x − x+
3 14 9 5
1 3 5 2 2 31
= x − x − x+ 1 2 2 1 1 1 3
3 14 9 5 8. a − b b + c a+ b − c
2 9 3 5 2 9 5
1 3 5 1 1 1
−
5 3
x b − c − b − c − b− c
6 3 5 9 10 9 10
1 3 5 2 2 31 1 2−3 3 6−5 2 −1 1 6 +1
− x + x + x− a− b− c b+ c a − c
3 14 9 5 2 9 5 9 10 2 10
5+2 3 5 2 2 1 1 3 1 1 1 7
− x + x + x−
31 = a+ b − c = b+ c = a− c
6 14 9 5 2 9 5 9 10 2 10
7 3 5 2 2
=− x + x + x−6 5
1
6 14 9

33. 1 3 1 2 1 1 2 2 1 1 3 19 2 2 1
9. 3 a + 8 a +
5 4
a −
3
a+
4 3
a −
40
a −
3
a +
8
3 3 1 1 3 29 2 1 1 19 2 3 1
− a2 − a− a − a − − a3 + a + a −
5 4 10 3 40 8 3 40 4 10
1 3 5 − 24 2 3 2 −1 1 3 10 − 29 2 2 2 −1 8−9 10 − 8
a + a − a+ a + a − a+ a+ −
3 40 4 10 3 40 3 8 12 80
1 3 19 2 3 1 1 3 19 2 2 1 1 2 1 1
= a − a − a+ = a − a − a+ = a+ = a+
3 40 4 10 3 40 3 8 12 80 12 40
3 2 5 2 2 2 2 1 2 2 3 2 7 13 2 1
10. 5 x − 6 xy +
9
y
9
x +
9
xy −
3
y −
5
x + xy +
3 6
y +
2
3 1 1 17 2 22 3 2 1 3 2 7 1 1
− xy − y2 + x − xy − y − x − xy − y 2 +
2 3 4 45 9 2 2 5 3 9 4
3 2 10 + 18 2−3 2 1 10 + 17 2 1− 22 4+9 2 1 39 − 2 2 2 + 1
x − xy + y + x + xy − y − y +
5 12 9 4 45 9 6 2 18 4
3 2 28 1 2 1 27 2 21 13 2 1 37 2 3
= x − xy − y + = x − xy − y − = y +
5 12 9 4 45 9 6 2 18 4
3 2 7 1 2 1 3 2 7 13 2 1
= x − xy − y + = x − xy − y −
5 3 9 4 5 3 6 2
2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 3 7
3
− a b + − −
a b + ab 2 − b 3 −
11. 7 a 5
b
2 4
ab
5 4 8 2 10
3 3 1 3 5 1 2 3 1 2 3 3 1 3
− a 2b + ab 2 + b − a 2b + ab − b 3 − − a 3 + a 2b − ab 2 + b
4 8 10 4 8 2 2 7 4 8 10
2 3 3 2 3 2 −1 3 2−5 2 2 +1 2 3 3 2 + 5 2 3 15 − 1 3 7
a − a b + ab 2 − b a b+ ab − b − − a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10 7 10 10
2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 3 2 3 3 7 2 3 14 3 7 2 3 7 3 7
= a − a b + ab − b = − a b + ab − b − =− a − b − =− a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10 7 10 10 7 5 10
1 2 2 1
12. mn − mn3 − n4
3 4
2 4 3 2 2 2 5 4 5 4 2
m + m3n − mn + n m − n4
7 5 5 3 14 5
1 4 7 3 1 2 2 2 4 5 4 1 3 11 2 2 1
m − mn + mn − n − m − m n− m n + mn3
14 20 4 3 14 4 60 4
4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1 3−5+2 4 1 3 11 2 2 1 2
m + m n+ m n − mn3 − n − m n− m n + mn3 − n4
14 20 60 4 3 4 60 4 5
5 4 5 3 11 2 2 1 0
= m + m n+ m n − mn3 − n4
14 20 60 4 3
5 4 1 3 11 2 2 1
= m + m n+ m n − mn 3
14 4 60 4

34. 1 1
13. x+ y
2 3
3 1
y − z
4 6
2 1
z + m 5
5 4
1 1 3 1 13 7 1 1 3
− m + n+ − x− y− z+ m − n −
2 3 8 2 12 30 4 3 8
1 4+9 5 − 12 1− 2 1 3 1 13 7 1 1 40 − 3
x+ y− z+ m + n+ − x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8 2 12 30 4 3 8
1 13 7 1 1 3 1 13 7 1 1 37
= x+ y+ z− m + n+ =− x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8 2 12 30 4 3 8
5 4 1 3 3
14. a + a − a
6 2 5
2 2 3
− a − a + 5
3 8
3 4 3 3 1 2 2 11 4 1 3 1 2 152
− a − a + a − a − a − a +
8 4 6 3 24 12 2 33
1 3 39 3 1 3 3
+ a + a + − a4 + a −
6 40 11 12 8
20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39 165 − 22 + 9 11− 24 4 1 1216 − 99
.
a + a − a − a+ a − a2 +
24 12 6 40 33 24 2 264
11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 .
13 4 1 2 1117
= a − a − a − a+ = a − a − a + =− a − a +
24 12 6 40 33 24 12 2 33 24 2 264
EJERCICIO 30
1. x3 − x2 +5 4. x 3 − 4x 2 +8 7. 5a + 8ab − b − 11
3 2 3
− x + x + 3x − 5 − 6
3 2
− x 3 + 4 x 2 + x − 13 − a3 + b3
3x −6 x− 5 4a 3 + 8ab 2 − 11
Rta. − x + x + 3x − 11
3 2
Rta. x − 4 x − x + 13
3 2
Rta. 5a + 8ab − b3 − 11
3 2
1 1
2. − 5a + 9b − 6c 5. m4 − 3mn3 + 6n4 8. x− y−4
2 3
5a − 9b + 6c + 8x + 9 − m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8 1 1
− x+ y
8x + 9 4m2n2 −8 2 3
Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9 Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8
4 −4
1 1
3. a3 − b3 6. 4x + 5x − 5x − 2
3 2
Rta. x− y−4
2 3
− a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3 − 5x 2 − 4 x + 8
− 8a 2b + 5ab2 − 4b 3 4x 3 − 9x + 6
Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b
3 2 2 3
Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2

35. 9. 5x 2 − 7 xy − 8y 2 10. n3 11. 0
− 5x + 7 xy + 8y + 1
2 2
− 9m + 8m n − 5mn + n
3 2 2 3 − a + 5a − 8
3
1 − 9m + 8m n − 5mn + 2n
3 2 2 3 − a 3 + 5a − 8
Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1
2 2
10m − 8m n + 5mn − 2n
3 2 2 3 Rta. 0
m3
Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3
EJERCICIO 31
1. x − ( x − y) 6. a + (a − b) + (− a + b) 11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z)
= x− x+ y = a+ a−b− a+b = x+ y+ x− y+ z− x− y+ z
=y = 2a − a = a = x − y + 2z
(
2. x + − 3x − x + 5
2 2
) 7. a + − b + 2a − a − b
2 2 2 2 2
12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b)
= x − 3x − x + 5
2 2
= a − b + 2a − a + b
2 2 2 2 2 = a − b − a − a + b + a − 2b
= − 3x + 5 = 3a − a = 2a
2 2 2 = − 2b
3. a + b − (− 2a + 3) 8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3} ( ) (
13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy ) [ ]
= a + b + 2a − 3 = 2a + x − a + 1 − a − x + 3 = − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy
2 2 2 2
= 3a + b − 3 = 1+ 3= 4
= − 3x 2 + 3xy + 2 y 2
4. 4m − (− 2m − n)
2 2 2
(
9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y
2 2 2
) [ ] 2
[ 2 2
]{
14. 8x + − 2 xy + y − − x + xy − 3 y − x − 3xy
2 2
} ( )
= 4m + 2m + n = x + y − x − 2 xy − y − x + y
2 2 2 2 2 2
= 8x − 2 xy + y + x − xy + 3y − x + 3xy
2 2 2 2 2
= 6m + n = − x − 2 xy + y
2 2 = 8x 2 + 4 y 2
5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y) 10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6 15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b)
= 2 x + 3y − 4 x − 3 y = − 5m + 6 − m + 5 − 6 = − a − b − a − b + b − a + 3a + b
= − 2x = − 6m + 5 =0
EJERCICIO 32
[
1. 2a + a − (a + b) ] [
2. 3x − x + y − (2 x + y) ] [
3. 2m − (m − n) − (m + n) ]
[
= 2a + a − a − b ] [
= 3x − x + y − 2 x − y ] [
= 2m − m − n − m − n ]
= 2a + a − a − b = 3x − x − y + 2 x + y = 2m − m + n + m + n
= 2a − b = 4x = 2m + 2n

36. [( ) (
4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y
2 2 2 2 2
) ( )] [
11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b) ]
[
= 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y
2 2 2 2 2
] [
= a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b ]
= a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b
= 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2
= 3a − 7b
= 6 x 2 + 3xy − 4 y 2
5. a + {(− 2a + b) − (− a + b − c) + a} {[
12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m
2 2 2
( ) ( )] }− (2n + 3)
= a + {− 2a + b + a − b + c + a} {[
= 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 ]} − 2n − 3
= 7m − {− m − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3
= a − 2a + b + a − b + c + a 2 2 2
=a+c
= 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3
[
6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1)] [ ] = 7 m2 + 2 n − 5
[
= 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1 ] [ ]
= 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1 {[
13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a ) ]}
= − 5n + 2
{[
= 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a ]}
= 6a − b − { 4a − b + a − b + a}
[ (
7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y} )]
= 6a − b − 4a + b − a + b − a
[
= 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y ) ] =b
[
= 2 x + − 5x + 2 y + x − y ]
= 2 x − 5x + 2 y + x − y
= − 2x + y ( [ {
14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y)} ])
( [
= 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y ])
{ [
8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y
2 2
( 2 2
)] } = 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] )
= 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y)
{ [
= x 2 − − 7 xy + − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 ]}
= 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y
= x 2 − {− 7 xy − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 } = 5x − 5y + 6
= x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2
= 2 x 2 + 4 xy + 3y 2
[ {
15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c } ]
[
= 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c ]
[ {
9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a } ] [
= 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c ]
[
= − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b} ] = 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c
[
= − a − b + − a + b + 2a − b + a − b ] = 6a + 7c
= − a − b − a + b + 2a − b + a − b
= a − 2b
( ) [ {
16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5 ( ))} − (n + 6)]
(
= − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6]
{
10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y )[]}
= − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6]
= − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] }
= − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6]
= − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y}
= − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6
= − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y
= − 6m + 2n + 1
= − 3x + y

37. {[ ( )]
17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b) } [ {( ) [ ( ) (
23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y )] }]
= − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}]
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b}
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b} = − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}]
= 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b} = − [x − x − 2 y + z ]
= 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b = − x + x + 2y − z = 2y − z
= − a − 5b − 6
[ { ( ) ( ) [ ( ) ] }]
24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b
[ ( )] {
18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y) }
= − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }]
= − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y}
= − [− a + {− a − c − a − b}]
[ ]
= − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y
= 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1 = − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c
=−4
EJERCICIO 33
[ ][ ] {[
19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c)] [ ]}
[ ] { [ ]}
= − [a] − − a + b − c − − c 1. a − b + c − d
= − a + a + {b − c + c} (
= a + −b+ c− d )
= b− c+ c
2. x − 3xy − y + 6
2 2
=b
= x 2 + (− 3xy − y 2 + 6)
{[ ]} { [
20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b)]} 3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1
= − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b = x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1)
= − {a + b} − {b + a} − a − b 4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3
= − a− b− b− a − a− b
= a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 )
= − 3a − 3b
5. x − x + 2 x − 2 x + 1
4 3 2
{[ ]} { [ ]} [ {
21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b) }] = x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)
= − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}]
6. 2 a + b − c + d
[
= − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b ] (
= 2a − − b + c − d )
= − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b
= − a + b + 2c 7. x + x + 3x − 4
3 2
= x 3 − (− x 2 − 3x + 4)
[ {
22. − 3m + − m − n − m + 4 ( ( ))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}]
8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
= − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}]
= x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 )
= − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ]
9. a − x − 2 xy − y
2 2 2
= − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3]
= a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )
= − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3
= − 2m + 4n − 7
10. a + b − 2bc − c
2 2 2
= a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )

38. EJERCICIO 34
1. x + 2 y + ( x − y ) 6. − 2a + (− 3a + b)
[
= x − − 2 y − (x − y) ] [
= − 2a − (− 3a + b) ]
2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n)
[
= 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n) ]
2
(
7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y
2
) ( 2 2
)
[
= − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 ) ]
3. x − 3xy + x − xy + y
2
[( ) ]
2 2
= x2 − {3xy − [( x − xy) + y ] }
2 2
8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2
[ ]
4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3 ( ) = − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2
{ }
[ [ ]
= x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3) ]
{
[ ( )] }
5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a
9. [m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3)
4 2
= − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)}
= 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }]
4 2
EJERCICIO 35
17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1
1. 2 ⋅ − 3 = − 6 18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x
2. − 4 ⋅− 8 = 32 19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x
3. − 15 ⋅16 = − 240
20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1
4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2
5. 2x 2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3
EJERCICIO 36
6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3
7. − 5x3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3 1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1
8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x 2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2
9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p 3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1
10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y
2 2 2 2
4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2
11. − x2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4 5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4
12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d 6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5
13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3 7. 4x a + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5
14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y 8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc
15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6 9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2
16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4 10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c

39. EJERCICIO 37
3 m 2 3 1 3 m+1 3
1 2 4 3 1 4 4 5 2 8. − a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 = a b
1. a ⋅ a b = ⋅ a 5b = a b = a 5b 4 5 2 5 10
2 5 2 5 10 5
5 m n 3
3 2 7 2 3 9. a b ⋅− ab 2c
2. − m n ⋅− am 6 10
7 14
1 1 1
3 7 2 5 21 2 5 3 2 5 = − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c
= − ⋅− a m n= a m n= amn 2 2 4
7 14 98 14
2 x m +1 3 x −1 m
2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 10. − a b ⋅− a b
3. x y ⋅− a x y = − a x y = − a2x 6y 4 9 5
3 5 15 5
2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1
= ⋅ a b = a b
1 3 4 4 3 2 4 3 5 5 1 3 5 5 3 5 15
4. − m n ⋅− a m n = amn = amn
8 5 40 10
3 m n 4 12 3m 2n 3 3m 2n
7 2 3 14 4 1 11. a b ⋅ − a 2mbn = − a b =− a b
5. − abc ⋅ a = − a bc = − a 4bc 8 5 40 10
8 7 56 4
2 x +1 x − 3 2 44 x − 3 2
3 3 4 5 3 1 12. − a b c ⋅− a b
6. − x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9 11 7
5 6 6 2 4 8
= 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2
1 3 3 m+1 1 m+1 7 7
7. a ⋅ am = a = a
3 5 15 5
EJERCICIO 38 3 3 1 x a
8. − m ⋅− 5a 2m ⋅− am
5 10
1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4 15 2 + x 3 +1+ a 3 x+2 a+4
=− a m =− a m
2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y 50 10
3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4 9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7
4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2 10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x
= − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x
5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1
1 3 2 2 3 6 2 + 4 3 +1 1 11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x
6. x ⋅− a x ⋅− a 4m = a x m = a 6 x 4m
2 3 5 30 5 = − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x
2 m 3 2 4 1 2 3 10 3 3 2
7. a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1 12. − x y ⋅− xy 2 ⋅− x ⋅− x y
3 4 2 5 3 4
18 m + 2 + 4 4 + x + 1 3 6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4
=− a b = − a m + 6b x + 5 = x y = x y
12 2 8 4
EJERCICIO 39
4. a − 4a + 6a
3 2
2. 8x 2 y − 3y 2 3. x − 4x + 3
2
1. 3x 3 − x 2
− 2x 2ax 3 − 2x 3ab
− 6x + 2x
4 3
16ax 5 y − 6ax 3 y 2 − 2x 3 + 8 x 2 − 6 x 3a 4b − 12a 3b + 18a 2b

40. 5. a − 2ab + b
2 2
13. x 3 − 3x 2 + 5x − 6
− ab
− 4x 2
− a 3b + 2a 2b 2 − ab 3
− 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2
6. x − 6 x − 8x
5 3
14. a − 6a x + 9a x − 8
4 3 2 2
2 2
3a x 3
3bx
3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3
3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3
7. m4 − 3m2n2 + 7n4 n+ 3
15. a − 3a n + 2 − 4a n + 1 − an
− 4m3 x
− an x 2
− 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x
− a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2
8. x − 4x y + 6 xy
3 2 2
16. x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5
ax 3 y
− 3a 2 x 3
ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3
− 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3
9. a − 5a b − 8ab
3 2 2
17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y
3 2 2 3
− 4 a 4m 2
2 2
5a xy
− 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2
− 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5
m −1
10. a − a
m
+ am − 2
18. x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1
− 2a
− 2x 2
− 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1
− 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3
= − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1
m+1 19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8
11. x + 3 xm − x m − 1
2m − 5a 3 y 2
3x
− 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2
3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1
m −1 n + 2 m−2 n+4
m − 1 n +1 m−2 n+ 2 20. a b + 3a b − a b
m n
+ a m − 3b n + 6
12. a b + a b − a b
m n
4a mb 3
3a 2b
4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9
3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3
EJERCICIO 40
1 2 3 1 2 2 1 2
a− b 2 3 a− b+ c a2 + ab − b 2
1. 2 3 2. 3 a − 4 b 3. 5 6 5 4. 5 3 9
2 2 5 2 3a 2 x
a 2 3 − ac
5 − a b 3
3 6 2+2 3 6
2 1+ 2 4 2 15 1+ 1 2 5 10 2 + 1 a x + a2 + 1bx − a 2b 2 x
a − a b 4 6 3 1+ 1 − a c + abc 2 − 5 3 9
10 15 − a3 + 1b + a b 15 18 15
ac
9 12 6 2
1 3 4 2 5 2 = a 4 x + a3bx − a 2b 2 x
= a − a b 4 4 1 3 2 = − a 2c 2 + abc 2 − ac 3 5 3
5 15 =− a b+ a b 18 3
9 2

41. 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
5. x − xy − y 2 a − b + x − y
3 5 4 2 3 4 5
5
3 3 − a 2m
y 8
2
5 2+ 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2
3 2 3 6 3 8. − a m+ a b m− a mx + a my
x y − xy 3 + 1 − y 2 + 3 16 24 32 40
6 10 8 5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2
=− a m+ a b m− a mx + a my
1 3 3 16 24 32 8
= x 2 y 3 − xy 4 − y 5
2 5 8
2 3 1 2 5 1
9. m + m n − mn2 − n3
6. 3a − 5b + 6c 3 2 6 9
3 2 3 3 2 3
− a x mn
10 4
9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3 6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3
− a x + a bx − a cx m n + m n − m n − mn
10 10 10 12 8 24 36
9 3 3 3 2 3 9 2 3 1 3 5 1
=− a x + a bx − a cx = m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6
10 2 5 2 8 8 12
2 4 2 2 1 4 2 6 1 4 2 3 2 4 1 6
7. x −x y + y x − x y + x y − y
9 3 5 3 5 10
3 3 4 5
x y − a3x 4 y3
7 7
6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4 10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3
x y − x y + x y 10. − a x y + a x y − a x y + a x y
63 7 21 35 21 35 70
2 7 4 3 5 6 1 3 8 2 5 3 1 3 4 9
= x y − x y + x y = − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 + a x y
21 7 7 7 21 7 14
EJERCICIO 41
1. a + 3 3. x + 5 5. − x + 3 7. 3x − 2 y
a −1 x−4 −x+5 2x + y
a 2 + 3a x + 5x
2
x 2 − 3x 6x 2 − 4 xy
− a−3 − 4x − 20 − 5x + 15 + 3xy − 2 y 2
a 2 + 2a − 3 x + x − 20
2
x 2 − 8x + 15 6x 2 − xy − 2 y 2
2. a − 3 4. m − 6 6. − a − 2 8. 5x − 4y
a +1 m−5 −a −3 − 3x + 2y
a 2 − 3a m2 − 6m a 2 + 2a − 15x 2 + 12xy
a−3 − 5m + 30 + 3a + 6 + 10xy − 8y 2
a − 2a − 3
2
m − 11m + 30
2
a 2 + 5a + 6 − 15x 2 + 22xy − 8y 2

42. 9. 5a − 7b 11. − a + b 13. − 9m + 8n
a + 3b 8a − 4b 6m + 4n
5a 2 − 7ab − 8a 2 + 8ab − 54m2 + 48mn
+ 15ab − 21b 2
+ 4ab − 4b 2
− 36mn + 32n2
5a 2 + 8ab − 21b2 − 8a 2 + 12ab − 4b2 − 54m2 + 12mn + 32n2
10. 7x − 3 12. 6m − 5n 14. − 7y − 3
2x + 4 m−n 2y − 11
14x 2 − 6x 6m2 − 5mn − 14y 2 − 6y
+ 28x − 12 − 6mn + 5n 2
+ 77y + 33
14x + 22x − 12
2
6m − 11 + 5n
2
mn 2
− 14y + 71y + 33
2
EJERCICIO 42
1. x + xy + y 5. a + a − a 9. m − m + m − 2
2 2 3 2 3 2
x−y a −1 am + a
x 3 + x 2 y + xy 2 a 4 + a3 − a2 am4 − am3 + am2 − 2am
− x y − xy − y
2 2 3
−a −a
3 2
+a + am3 − am2 + am − 2a
x3 − y3 a4 − 2a 2 + a am4 − am − 2a
6. m + m n + n 10. 3a − 5ab + 2b
4 2 2 4
2. a − 2ab + b
2 2 2 2
a −b m −n
2 2 4a − 5b
a 3 − 2a 2b + ab 2 m6 + m4n2 + m2n4 12a 3 − 20a 2b + 8ab 2
− a 2b + 2ab 2 − b 3 − m4n2 − m2n4 − n6 − 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 m6 − n6 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
7. x − 2x + 3x − 1
3 2
3. a + 2ab + b 11. 5m − 3m n + n
2 2 4 2 2 4
a +b 2x + 3 3m − n
a 3 + 2a 2b + ab 2 2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x 15m5 − 9m3n2 + 3mn4
+ a b + 2ab + b
2 2 3
+ 3x − 6 x + 9x − 3
3 2
− 5m n
4
+ 3m n
2 3
− n5
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 2x 4 − x 3 + 7x − 3 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
12. a + a + 1
2
4. x − 3x + 1 9. 3y − 6y + 5
3 2 3
x+3 y2 + 2 a2 − a − 1
x 4 − 3x 3 +x 3y 5 − 6y 3 + 5y 2 a 4 + a3 + a2
+ 3x − 9x
3 2
+3 + 6y 3
− 12y + 10 − a3 − a2 − a
x4 − 9x 2 + x + 3 3y 5 + 5y 2 − 12y + 10 − a2 − a − 1
a4 − a 2 − 2a − 1

43. 13. x 3 + 2x 2 − x 19. x 2 − 2xy + y 2
x 2 − 2x + 5 − x 2 + xy + 3y 2
x + 2x − x
5 4 3
− x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2
− 2x − 4 x + 2x
4 3 2
+ x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3
+ 5x + 10x − 5 x
3 2
+ 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
x5 + 12x 2 − 5x − x 4 + 3x 3 y − 5xy 3 + 3y 4
20. n − 2n + 1
2
14. m − 3m n + 2mn
3 2 2
m − 2mn − 8n
2 2 n2 − 1
m5 − 3m4n + 2m3n2 n4 − 2n3 + n2
− 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3 − n2 + 2n − 1
− 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4 n4 − 2n3 + 2n − 1
m − 5m n
5 4
+ 20m n − 16mn
2 3 4
15. x 2 + x + 1 21. a − 3a b + 4ab
3 2 2
x2 − x − 1 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3
x4 + x3 + x2
− 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4
− x3 − x2 − x
− 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5
− x2 − x −1
a 5b − 5a 4b 2 + 22a 2b 4 − 40ab 5
x4 − x 2 − 2x − 1
16. x − 3x + 2
4 2
22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
x 2 − 2x + 3 2x + 3y
x 6
− 3x 4
+ 2x 2
16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3
− 2x 5
+ 6x 3
− 4x + 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
+ 3x 4
− 9x 2
+6 16x 4 − 24 x 2 y 2 − 27y 4
x 6 − 2x 5 + 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6
23. 2y − 3y + y − 4
3 2
17. m3 + m2 − 4m − 1
2y + 5
m3 + 1
4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y
m6 + m5 − 4m4 − m3
+ 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20
+ m3 + m2 − 4m − 1
4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20
4
m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1
24. − a + 2ax + 3x
3 2 3
18. a − 5a + 2
3
a −a+5
2 2a 2 − 3ax − x 2
a5 − 5a 3 + 2a 2 − 2a 5 + 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3
−a 4
+ 5a − 2a
2 + 3a x
4
− 6a 2 x 3 − 9ax 4
+ 5a 3
− 25a + 10 +a x3 2
− 2ax 4 − 3x 5
a5 − a4 + 7a 2 − 27a + 10 − 2a + 3a x + 5a x
5 4 3 2
− 11ax 4 − 3x 5

44. 30. y − 2y + 1
2
25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
− x 2 − xy − y 2 y 4 − 2y 2 + 2
− x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3 y 6 − 2y 5 + y 4
− x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4 − 2y 4 + 4y 3 − 2y 2
− x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5 + 2y 2 − 4y + 2
− x 6 + 2x 5 y − 3x 2 y 4 − xy 5 y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3 − 4y + 2
31. m − 3m + 4
4 2
26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3
a − 2a − 7
3 3m3 − 2m + 1
a 6 − 5a 5 + 2a 4 − 3a 3 3m7 − 9m5 + 12m3
− 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a − 2m 5
+ 6m3 − 8m
− 7a + 35a − 14a + 21
3 2 +m 4
− 3m 2
+4
a − 5a
6 5
+ 31a − 8a + 21
2 3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4
7 5 4 3 2
27. m + m − m + 3 32. a + a − a + 1
4 3 2 3 2
m − 2m + 3
2
a + a 2 − 2a − 1
3
m6 + m5 − m4 + 3m2 a6 + a 5 − a 4 + a3
− 2m5 − 2m4 + 2m3 − 6m +a + a5 4
− a3 + a2
+ 3m4 + 3m3 − 3m2 +9 − 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a
m6 − m5 + 5m3 − 6m + 9 − a 3 − a2 + a − 1
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1
28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4 33. 8x − 12x y − 6xy + y
3 2 2 3
a 2 − 2ab + b2 3x 2 − 2xy + 4y 2
a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3
− 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab
5 4 2 3 3 2 4 5
− 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4
+ a b + a b − 3a b − ab + b
4 2 3 3 2 4 5 6
+ 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 − 3ab5 + b6 24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5
29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 34. 5a − 4a + 2a − 3a − 1
4 3 2
x 2 + xy − 2y 2 a 4 − 2a 2 + 2
x −x y+ x y
6 5 4 2
− x y3 3
+ x y 2 4
5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4
+ x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5 − 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2
− 2x y + 2x y
4 2 3 3
− 2x y + 2xy − 2y
2 4 5 6
+ 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2
x6 − 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2

45. 35. x − x + x − x + 1
4 3 2
40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 2x + 3x + 6
3 2 a 4 − 3a 2 + 4a − 5
x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4
− 9a 7 + 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2
− 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2
+ 12a 6
− 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a
+ 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x
− 15a 5
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
+ 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6
3a 9 − 15a 7 + 14a 6 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10
x 7 − 3x 6 + 6x 5 + x 2 − 3x + 6
36. 3a + 2a − 5a − 4 41. a + b − c
3 2
a + a − 2a + 1
3 2 a−b+c
3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3 a 2 + ab − ac
+ 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2 − ab − b 2 + bc
− 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a + ac + bc − c 2
+ 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 a2 − b 2 + 2bc − c 2
3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4
37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y 42. x + 2y − z
y 4 − 3y 2 − 1 x−y+z
5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5 x 2 + 2xy − xz
− 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3 − xy − 2y 2 + yz
− 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y + xz + 2yz − z 2
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y x 2 + xy − 2y 2 + 3yz − z2
38. m − 2m n + 3m n − 4n 43. 2x − 3y + 5z
4 3 2 2 4
− m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 − x + y + 2z
− m7 + 2m6n − 3m5n2 + 4m3n4
− 2x 2 + 3xy − 5xz
+ 3m n − 6m n + 9m n
6 5 2 4 3
− 12m2n5
+ 2xy − 3y 2 + 5yz
− 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4 + 20mn6
+ m4n3 − 2m3n4 + 3m2n5 − 4n7
+ 4 xz − 6yz + 10z 2
− m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2
39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2
x − 2x y + 3xy
5 3 2 4 x +y+z
x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6 x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2
− 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8 + x2y − xy 2 − xyz + y 3 − y 2 z + yz 2
+ 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10 +x z 2
− xyz − xz 2
+ y 2z − yz 2 + z 3
x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x3 − 3xyz + y3 + z3

46. x −1 x−2
EJERCICIO 43 7. a + 3a − 2a
x
x−2
ax − ax −1 + a
x+ 2 x +1
1. a − a + a
x
a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2
a +1 − a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3
a x+ 3
−a x +2
+a x +1
+ a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
+ a x + 2 − a x +1 + a x a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x+ 3
a +a x
a+4
8. m − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1 a−3
− ma − 1 + ma − 2 + m
x +x2
− m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a
− x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3
+ m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1
− x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2
+ m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2
− x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2 2a + 3 2a + 2
−m + 2m + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
a+ 2 a +1 a −1
3. m + m − m + m
a
m2 − 2m + 3
9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4
a−3
ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1 xa − 1 − xa − 2 − x
− 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5
a+ 2 a +1 a −1
+ 3m + 3m − 3m + 3m
a
− x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6
ma + 4 − ma + 3 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 − x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7
x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4 − x 2a − 7
n+ 2 n +1
4. a + 3a − 2a
n
n +1
a +a n
n −1 2 n− 2 3 n−3 4
10. a b − a b + 2a b − a b
n
2n + 3 2n + 2 2n + 1
a + 3a − 2a anb2 − an − 2b4
+ a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n − a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8
5. x a + 2 + 2x a +1 − x a
x a + 3 − 2x a + 1
11. a x + b x
x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3 a m + bm
2a + 3 2a + 2 2a + 1
− 2x − 4x + 2x
am + x + amb x
2a + 5
x + 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 + a xbm + bm + x
m+ x
a + a b + a xbm + bm + x
m x
x −1 x−2
6. a − 2a
x
+ 3a
a 2 + 2a − 1 x −1 n−1
12. a − b
x+2 x +1
a − 2a + 3a x
a−b
x +1
+ 2a − 4a x + 6a x − 1 a x − abn − 1
x −1 x−2
− a + 2ax
− 3a − a x − 1b + bn
x+2 x −1 x−2
a − 2a + 8a x
− 3a a − ab
x n −1
− a x − 1b + bn

47. 13. − 5a m + + a m + + 3a m
2 2 2 1 2
6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3
− 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1
+ 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2
− 5a 5m − 1 + a 5m − 2 + 3a 5m − 3
− 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3
a + 2 x −1 a +1 x a x +1
14. x y − 4x y + 3x y
− 2x 2a − 1y x − 2 − 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2 + 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1
EJERCICIO 44
1 2 1 1
3. x − xy + y 2
2 3 4
1 1
1. a− b 2 3
2 3 x− y
3 2
1 1
a+ b 2 3 2 2 2
3 2 x − x y + xy 2
6 9 12
1 2 1
a − ab 3 2 3 2 3
6 9 − x y + xy − y 3
4 6 8
1 1
+ ab − b2 2 3 8 + 27 2 2+6 2 3 3
4 6 x − x y+ xy − y
6 36 12 8
1 2 4−9 1
a − ab − b 2 1 3 35 2 8 3 3
6 36 6 = x − x y+ xy − y
2
3 36 12 8
1 5 1
= a2 + ab − b2 1 3 35 2 2 2 3 3
6 36 6 = x − x y + xy − y
3 36 3 8
2
2. x − y 1 2 2
5 4. a − ab + b2
4 3
1 5
x+ y 1 3
3 6 a− b
4 2
1 2 2
x − xy 1 3 1 2 2
3 15 a − ab + ab2
16 4 12
5 10 2
+ xy − y 3 2 3 2 6 3
6 30 − ab + ab − b
8 2 6
1 2 4 − 25 10 2
x − xy − y 1 3 2+3 2 2 + 18 2
3 30 30 a − a b+ ab − b3
16 8 12
1 21 1
= x2 + xy − y 2 1 3 5 2 20 2
3 30 3 = a − a b+ ab − b3
16 8 12
1 7 1
= x2 + xy − y 2 1 3 5 2 5
3 10 3 = a − a b + ab 2 − b
16 8 3

48. 2 2 1 1 3 2 1 2
5. m + mn − n2 6. x + x−
5 3 2 8 4 5
3 2 1
m − mn + 2n2 2x − x + 2
3
2 3
6 4 3 3 3 2 2 6 5 2 4 4 3
m + m n − m n x + x − x
10 6 4 8 4 5
2 1 1 3 3 1 2 2
− m3n − m2n2 + mn 3 − x − x + x
5 3 2 24 12 15
4 2 2 4 6 2 2 4
+ m2n2 + mn 3 − n + x + x −
5 3 2 8 4 5
6 4 15 − 12 3 45 + 20 − 48 2 2 3 + 4 2 6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30 4
m + m n− m n + mn3 − n4 x + x − x − x + x−
10 30 60 6 2 8 4 120 24 60 5
6 4 3 3 17 2 2 7 3 5 1 4 111 3 16 2 38 4
= m + m n − m n + mn 3 − n 4 = x + x − x + x + x−
10 30 60 6 4 2 120 24 60 5
3 4 1 3 17 2 2 7 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4
= m + m n − m n + mn3 − n4 = x + x − x + x + x−
5 10 60 6 4 2 40 3 30 5
2 3 1 1 2
1 1 3 x − x2y + xy
7. − 2 x + 3 ax + 2 a 8.
2 2
7 5 2
1 2 2 5 2
x − xy + y
3 2 2 4 3 6
x − ax + a 2
2 3 2 5 1 4 1 3 2
x − x y + x y
3 4 3 3 9 2 2 28 20 8
− x + ax + a x 4 4 2 3 2 2 2 3
4 6 4 − x y + x y − x y
21 15 6
1 1 2 2 3
+ ax 3 − a x − a3x 10 3 2 5 2 3 5
2 3 2 + x y − x y + xy 4
42 30 12
2 2 2 2 6 4
− a x + a3x + a 2 5
x −
21+ 80 4
x y+
105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5
x y − x y + xy 4
6 9 6 28 420 840 30 12
3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3 6 =
2 5
x −
101 4
x y+
417 3 2 15 2 3
x y − x y +
5
xy 4
− x + ax + a x − a x + a4 28 420 840 30 12
4 6 12 18 6
1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5
3 6 19 2 2 23 3 6 = x − x y+ x y − x y + xy 4
= − x 4 + ax 3 + a x − a x + a4 14 420 280 2 12
4 6 12 18 6
3 4 19 2 2 23 3
= − x + ax +
3
a x − a x+a 4
4 12 18
1 3 1 2 1 1
9. x + x − x+
4 3 4 2
3 2 1 1
x + x−
2 10 5
3 5 3 4 3 3 3 2
x + x − x + x
8 6 8 4
1 4 1 3 1 2 1
+ x + x − x + x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x −
20 15 20 10
3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1 1
x + x − x + x + x−
8 120 120 120 20 10
3 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1
= x5 + x − x + x + x− = x + x − x + x + x−
8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10

49. 3 1 2 1
10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n
3 2 2 3
2 2 2 5
m − mn + n2
3 3 2
6 5 2 4 4 3 2 2 2 3
m − m n + m n − m n
12 6 15 12
6 4 2 3 2 4 2 3 2
− m n+ m n − m n + mn 4
12 6 15 12
15 3 2 5 2 3 10 5 5
+ m n − m n + mn 4 − n
8 4 10 8
6 5 4+6 4 32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120 5
m − m n+ m n − m n + mn4 − n5
12 12 120 60 120 8
1 5 10 4 297 3 2 101 2 3 140 5 5 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5
= m − m n+ m n − m n + mn − n = m − m n +
4
m n − m n + mn 4 − n5
2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8
EJERCICIO 45
4. m − 5m n + 6mn + n por m − 4mn − n
3 2 2 3 3 2 3
1. x − x + x por x − 1
3 2 2
1− 1+ 1 1− 5 + 6 + 1
1+ 0 − 1 1 + 0 − 4 −1
1− 1+ 1 1− 5 + 6 + 1
− 1+ 1− 1 − 4 + 20 − 24 − 4
−1 + 5 − 6 −1
1− 1+ 0 + 1− 1
= x5 − x 4 + x 2 − x 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1
= m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6
2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7
4 3 2 3 2
5. x − 8x + 3 por x + 6x − 5
4 2 4 2
1+ 3 − 5 + 0 + 8 1+ 0 − 8 + 0 + 3
1− 2 + 0 − 7 1+ 0 + 6 + 0 − 5
1+ 3 − 5 + 0 + 8 1+ 0 − 8 + 0 + 3
− 2 − 6 + 10 + 0 − 16 + 6 + 0 − 48 + 0 + 18
− 7 − 21+ 35 + 0 − 56 − 5 + 0 + 40 + 0 − 15
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15
= x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 = x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15
6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b
4 3 2 2 3 4
por a − 2ab + b
2 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
1+ 3 − 2 + 5 − 1 1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2
1− 2 + 1 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
1+ 3 − 2 + 5 − 1 − 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40
− 2 − 6 + 4 − 10 + 2 + 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30
+1 + 3 − 2 + 5 −1 − 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20
= a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 = a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2

50. 8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3
12 8 4 16 12 8 4
7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10
1− 7 + 9 − 15
1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2
1− 5 + 9 − 4 + 3
3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10
1− 7 + 9 − 15
3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6
− 5 + 35 − 45 + 75
− 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16
+ 9 − 63 + 81 − 135
+ 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20
− 4 + 28 − 36 + 60
3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20 + 3 − 21 + 27 − 45
= 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45
= m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45
10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7
5 2 4 2
9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2 6+0+0−4+6−2
1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 1+ 0 − 2 + 1− 7
2+0+4 6+0+ 0 −4+ 6 −2
2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2 − 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4
+ 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4 + 6+ 0 +0−4 +6 − 2
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 − 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14
= 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14
= 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14
12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3
11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4
6 4 3 4 2 3 − 4 + 0 + 0 −1
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 1+ 0 − 5 + 3
1+ 0 − 3 + 0 + 4 3 − 4 + 0 + 0 −1
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 15 + 20 + 0 + 0 + 5
− 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12 + 9 − 12 + 0 + 0 − 3
+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 = 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7
= n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16
13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
− 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24
− 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30
+ 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6
1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6
x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16
15. a − 5a − 7a por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
x+2 x +1 x −1
m−1 m− 3
14. a − 3a + 5a por a 2 − 5
m
1− 3 + 0 + 5 1− 5 + 0 − 7
1+ 0 − 5 7 + 0 + 6 +1
1− 3 + 0 + 5 7 − 35 + 0 − 49
− 5 + 15 + 0 − 25 + 6 − 30 + 0 − 42
+ 1 −5+ 0 −7
1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7
= a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3
= 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3
− 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1

51. 16. x − 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2
a+2
17. a
2x + 2
− 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1
1+ 0 − 5 + 0 − 6 1− 3 − 1− 5
6 − 4 + 2 +1 6−5+3
6 + 0 − 30 + 0 − 36 6 − 18 − 6 − 30
− 4 + 0 + 20 + 0 + 24 − 5 + 15 + 5 + 25
+ 2 + 0 − 10 + 0 − 12 + 3 − 9 − 3 − 15
+ 1+ 0 − 5 + 0 − 6
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 = 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2
= 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a
− 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4
EJERCICIO 46
( )(
4. x + 1 x − 1 x + 1
2 2 2
)( ) ( )(
6. a − b a − 2ab + b a + b
2 2
)( )
(
1. 4 a + 5 a − 3 )( ) x +12 a 2 − 2ab + b 2
4a + 20
x2 + 1 a+b
a−3
x4 + x2 a 3 − 2a 2b + ab2
4a 2 + 20a
+ x2 + 1 + a 2b − 2ab2 + b3
− 12a − 60
x 4 + 2 x2 + 1 a 3 − a 2b − ab 2 + b 3
4a 2 + 8a − 60
a−b
x2 − 1
a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3
x 6 + 2 x 4 + x2
(
2. 3a x + 1 x − 1
2
)( ) − x4 − 2 x 2 − 1
− a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4
3a 2 x + 3a 2 a 4 − 2a 3b + 2ab3 − b 4
x6 + x4 − x2 − 1
x−1
3a 2 x 2 + 3a 2 x
− 3a 2 x − 3a 2
3a 2 x 2 − 3a 2 ( )(
5. m m − 4 m − 6 3m + 2 )( ) ( )(
7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1 )( )
m − 4m
2
3x − 6 x + 3x
3 2
m− 6
x−1
( )(
3. 2 a − 3 a − 1 a + 4 )( ) m 3 − 4 m2
3x 4 − 6 x 3 + 3x 2
2a − 6 − 6m2 + 24m
− 3 x 3 + 6 x 2 − 3x
a −1
m − 10m + 24m
3 2
3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x
2a 2 − 6a 3m + 2
− 2a + 6 x+1
3m4 − 30m3 + 72m2
2a 2 − 8a + 6 3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2
+ 2m3 − 20m2 + 48m
a+4 + 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x
3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m
2a 3 − 8a 2 + 6a 3x 5 − 6 x 4 + 6 x 2 − 3x
+ 8a − 32a + 24
2
2a 3
− 26a + 24

52. 11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1)
( )(
8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2
2 2
)( ) x−3 x−5
x2 − x + 1 x+ 4 x+1
x2 + x − 1 x 2 − 3x x 2 − 5x
+ 4 x − 12 + x −5
x4 − x3 + x2
x 2 + x − 12 x2 − 4 x − 5
+ x3 − x2 + x
x2 − 4x − 5
− x2 + x − 1
x 4 + x 3 − 12 x 2
x4 − x2 + 2x − 1 − 4 x 3 − 4 x 2 + 48x
x− 2 − 5x 2 − 5x + 60
x 5
− x + 2x − x
3 2
x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60
− 2x 4
+ 2x − 4x + 2
2
12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3)
2 2 2
x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2
5 4 3
x + 2x + 1
2
x2 − 3
x2 + 3 x−1
x + 2x + x
4 3 2
x 3
− 3x
9. (a − 3)(a + 2)(a − 1)
m m −1 m −1
+ 3x 2 + 6 x + 3 − x2 +3
a −3
m
x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3 x 3 − x 2 − 3x + 3
a m −1 + 2 x 3 − x 2 − 3x + 3
2 m −1 m −1
+a − 3a x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3
2a m
−6 − x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2
2 m −1 m −1
2a + a m
− 3a −6 − 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x
a m −1 − 1 + 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9
2 m −1 3m − 2 2m−2 m −1
2a +a − 3a − 6a x +x −x
7 6 5
− x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9
2 m −1 m −1
− a + 3a − 2a + 6
m
13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1)
2
2 m −1 3m − 2 2m−2 m −1
a +a − 3a − 3a − 2a m + 6
27a 3 − 18a 2 2a − 1
⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6
2a + 1 a−1
54a 4 − 36a 3 2a 2 − a
+ 27a − 18a 3 2
− 2a + 1
(
10. a a − 1 a − 2 a − 3)( )( ) 54a − 9a − 18a
4 3 2
2a − 3a + 1
2
a2 − a 2a 2 − 3a + 1
a−2
108a 6 − 18a 5 − 36a 4
a3 − a2 − 162a 5 + 27a 4 + 54a 3
− 2a + 2a2
+ 54a 4 − 9a 3 − 18a 2
a − 3a + 2a
3 2
108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2
6 5
a−3
a 4 − 3a 3 + 2a 2
x +1
14. a a + b
x
(
x +2
)(a x +1
− b x + 2 )b x
2 x +1 x+2
a +a b x
− 3a 3 + 9a 2 − 6a
x +1 x
a b − b2 x + 2
a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a
a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2
− a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4
a 3 x + 2b x − a xb 3 x + 4

53. EJERCICIO 47
( ) 2
(
11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2 )
2
1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2 ) = 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2
= 4 x + 12 + 5x + 10
= 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
= 9 x + 22
= 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
( ) (
2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2
2 2 2
) ( ) = 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2
= 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10
2 2 2
= 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2
= 8x + 31 2
12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n)
2 2 2
3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a )
= a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2 = (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n)
= 10a + ax 2
= m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2
4. x ( y + 1) + y ( x + 1) − 3x y
2 2 2 2 2 2 = 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2
= − 2m2 − 10mn + 16n 2
= x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2
= − x2 y2 + x2 + y2
( ) ( ) ( )(
13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x ) ( ) 2
5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n ) + 3ax + 3x − (ax + 2 x + a + 2 x ) − (a − x)(a − x )
3 2 2 2 2 2 2
= ax + x 2 2
= 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2
= 4ax + x + 3x − ax − 2 x
2 2
− a − 2 x − (a − ax − ax + x )
2 2
= 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2
= 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2
2 3 3 2 2 2
(
6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1
2 2 2
) ( ) ( ) = − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2
= y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2
= − y 3 + 3y 2
14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c)
2 2 2
( ) ( )( )
7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x a+b− c a−b+ c
= 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x
2 a+ b− c a−b+ c
a 2 + ab − ac a 2 − ab + ac
= − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4
+ ab + b 2 − bc − ab + b 2 − bc
= − x 2 − 6x + 6
− ac − bc + c 2 + ac − bc + c 2
8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4) a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c
2 2 2
a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
2
= a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20
a+b+ c
= a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4)
a+b+ c
= a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12
a 2 + ab + ac
= − 2a 2 + 5a + 7 + ab + b 2 + bc
9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b) + ac + bc + c 2
= 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 ) a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2
2 2
= 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2
a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2
= − 14a 2 + 5ab + 5b 2
a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
( ) ( )
10. a + c − a − c
2 2
− a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2
= (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c) a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2
= a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c )
2 2 2 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc
= a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2
= 4ac

54. ( ) (
2
15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3
2 2 2
) (
2
)2
( ) (
2
16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y
2 2
)( ) ( )
x + x− 3
2
x + x−2
2 x+ y+ z x+ y
x+ y+ z x− y
x + x− 3
2
x2 + x − 2
x 2 + xy + xz x 2 + xy
x 4 + x 3 − 3x 2 x4 + x3 − 2x2
+ xy + y 2 + yz − xy − y 2
+ x 3 + x 2 − 3x + x3 + x2 − 2x
− 3 x 2 − 3x + 9 − 2x2 − 2x + 4 + xz + yz + z 2 x2 − y2
x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9 x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z
2 2 2
x2 − x − 3 x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2
x2 − x − 3 − x2 + y2
3x + 3xy2
+ 3y 2
x 4 − x 3 − 3x 2 x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
− x 3 + x 2 + 3x − x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4 3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2
− 3x 2 + 3x + 9 x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 ⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14
[
18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2)][ ]
[ ][
17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x
2
] [ ][
= 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4 ]
[ ][ ]
= x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2 = [− x + 2][x + 8]
= [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x 2
= − x 2 − 8 x + 2 x + 16
= 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2 = − x 2 − 6 x + 16
= 5x − 5x + 3
2
20. [(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)]
2 2
[( )( )][ ( ) ( )]
) (
19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n )(
[ ][
= x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2 ]
= [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n]
[ ][xy − y ]
2 2 2 2
= x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y
2 2 2 2 2
= [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n]
[ ][ ]
2 2 2 2
= − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2
= [− 2mn − 2n ][− m + 5n] 2
= − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4
= 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3 = − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4
= 2m n − 8mn − 10n
2 2 3
EJERCICIO 48 [
3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1) ]
[
= − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3 ]
[
1. x − 3a + 2 (− x + 1) ] [
= − − 4x − 6y − 3 ]
[
= x − 3a − 2 x + 2 ] = 4x + 6y + 3
= x − 3a + 2 x − 2
= 3 x − 3a − 2
{
4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x [ )] } (
= 4x2 − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] }
[ ]
2
2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2)
[
= − a − b − 3 2a − ab + 2b ] = 4x2 − {− 3x + 5 + x − 2 x + x } 2
= − a − b − 6a + 3ab − 6b = 4x2 − {− 4 x + 5 + x } 2
= − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b = 4x2 + 4x − 5− x2
= 3x 2 + 4 x − 5

55. { [
5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a ( )) ] }( [{(
10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m) }]
= m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] }
= − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] }
= − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] }
= − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}]
= 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8}
[
= − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5 ]
= 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8 = − 2m − 3n − 6m + 4n − 5
= − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8 = − 8m + n − 5
[
6. a − ( x + y ) − 3( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y) ]
[
= a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y ]
= a − 4x + 2y + 2 x + 4y [ ] { [
11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y) ] } − {− [− (x + y)] }
= a − 4x + 2 y + 2x + 8y = − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] }
= a − 2 x + 10 y = − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y}
= − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y
{ [
7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1) ]}
= − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y
{ [
= m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1 ]} = 36 x + 29 y
{ [
= − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1 ]}
= − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1}
= − n − 3 { − 5m + 2n − 1}
= − n + 15m − 6n + 3
{ [
12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a] }
= − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3 { [ ] }
= 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a
{ [ ] }
= 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a
{ [
8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b)]} = 5 {− 2 a − b + 18a − 9b}
= − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] } = 5{16a − 10b}
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] } = 80a − 50b
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2}
= − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2}
= − 5a − 4b − 12a + 16b + 8 {[
13. − 3 − + (− a + b) ] } − 4 {− [− (− a − b)] }
= − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] }
= − 17a + 12b + 8
= − 3{a − b} − 4 {− a − b}
[ { }]
9. − 5( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x
= − 3a + 3b + 4a + 4b
= − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x
= a + 7b
= − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}]
[
= − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4 ] { {[ ]} [
14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a ) ]}
= − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4]
= − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] }
= − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4
= − x − 8y + 4 = − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6}
= − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9}
= − {− a + 9b − 3}
= a − 9b + 3

56. EJERCICIO 49 1 8 9 4 −4 1
12. − a b c ÷ 8c = − = − a 8b9
8 9 4 4
a b c
8 8
1. − 24 ÷ 8 = − 3
16 6 4 − 3 16
2. − 63 ÷ − 7 = 9 13. 16m n ÷ − 5n = −
6 4 3
mn = − m6n
5 5
3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a
108 7 6 − 6 8 − 8 27 7
14. − 108a b c ÷ − 20b c = =
7 6 8 6 8
ab c a
4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2 20 5
5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c 2 2 −1 6 − 6 2
15. − 2m n ÷ − 3mn = m n = m
2 6 6
6. − a b ÷ − ab = a 2 − 1 1− 1 3 3
2
b =a
16. a x ÷ a 2 = a x − 2
7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x
2 2 3 2 3
17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2
8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5
5 m − 3 n − 4 1− 1 5
9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1 18. 5a b c ÷ − 6a b c = −
m n 3 4
a b c = − a m − 3bn − 4
6 6
xy 2 − 1 xy
10. − xy ÷ 2y = − =−
2 1 x−m m−n
19. a b ÷ − 4a b = −
x m m n
2 2 a b
4
5 4 − 4 5 −1 5
11. 5x y ÷ − 6x y = − x y = − y4
4 5 4 a−x x−2 3−3 3 3
20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x
a x 3 x 2 3
= m a − xnx − 2
6 6 5 5
EJERCICIO 50
2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − b+ 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2
a
1. am + 3 ÷ am + 2 = a m+3− m+2 b g= am + 3 − m − 2 = a 1 2n + 3 − b+ 4g 1 1
2n + 3
÷ − 4xn + 4 = − = − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1
n
4. x x
3 m − 2 − b − 5 g 3 m −2 − m + 5 3 3 4 4 4
m− 2
3. − 3a ÷ − 5am − 5 = = a = a
m
a
5 5 5 m + 3 m −1 7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3
6. − 7x y ÷ − 8x 4 y 2 = x y = x y
x−2 n 4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2 8 8
5. − 4a b ÷ − 5a b = b = a b
3 2
a
5 5 n −1 n +1 n −1 n +1 4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1 4
8. − 4x y ÷ 5x y = − x y =−
5 5 5 5
7. 5a
2m − 1 x − 3
b ÷ − 6a 2m − 2
b x−4
= − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab
6 6
5 1− m 2 − n 3 − x
10. − 5ab c ÷ 6a b c = −
2 3 m n x
a b c
9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x 6
EJERCICIO 51
1
1 2 2 2 2 3 2 2
x ÷ = x = x
1. 2 3 2 4 5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5
3 9 2 18 9
1 3
3 6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p
3
3 3 4 2 15 3
− a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 = a= a 3
2. 5 5 4 20 4
7
5 7 2 5 6 5 5 6 8 2 − 1 5 − 5 6 − 6 = 14 a = 7 a
2
7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a b c 40 20
2 5 3 1 3 12 5 2
xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = − xy = − 4xy 5
3. 3 6 1 3
6 2
2 x m 3 2 10 x − 1 m − 2
7 8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = − a b
3 5 3 9
7 m n 3 28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2
− a b ÷ − ab 2 = 8 a m − 1b n − 2 = a b = a b 5
4. 8 4 3 24 6
4

57. 3 11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6
3 3 5 3 x 2 1
− c d ÷ d =− 8 c 3 d 5 − x = − 12 c 3 d 5 − x = − 1 c 3 d 5 − x
9. 8 4 3 24 2 2
4 1 3
12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1
3 15 5
3 m n 3 6 m n− 3 1 1
a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = − a b = − a mb n − 3
10. 4 2 3 12 2 5 1
= − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = − ab 6 c 2 = − ab 6 c 2
2 3 45 9
5
EJERCICIO 52
a x + am − 1 a x am − 1
a 2 − ab a 2 ab 10. = 2 + 2 = a x − 2 + am − 3
1. a − ab ÷ a = = − =a −b
2
a2 a a
a a a
m+2
11. 2a − 3a
m
+ 6am + 4
2. 3x y − 5a x ÷ − 3x
2 3 2 4 2
3x 2 y 3 − 5a 2 x 4 3x 2 y 3 5a 2 x 4 5 2 2
− 3a 3
= = − = − y3 + a x
− 3x 2 − 3x 2 − 3x 2 3 2am 3am + 2 6am + 4 2
= − + = − am − 3 + am − 1 − 2am + 1
− 3a 3 − 3a 3 − 3a 3 3
3. 3a − 5ab − 6a b
3 2 2 3
m −1 n + 2 m−2 n+4
− 2a 12. a b + a b − a b
m n
2 3
3a 3
5ab 6a b2
3 5 2 3 ab
= − − = − a 2 + b 2 + 3ab 3
− 2a − 2a − 2a 2 2 ambn am − 1bn + 2 am − 2bn + 4
= 2 3 + −
ab a 2b 3 a 2b 3
x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x
4. = − + = x 2 − 4x + 1 = a b + a b − a m − 4 bn + 1
m−2 n−3 m− 3 n−1
x x x x
m+2
13. x − 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1
5. 4x − 10x − 5x
8 6 4
xm − 2
2x 3 m+2
x 5x m 6x m + 1 x m − 1
4x 8 10x 6 5x 4 5 = m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2
= 3− − = 2x 5 − 5x 3 − x x x x x
2x 2x 3 2x 3 2
= x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x
6. 6m − 8m n + 20mn
3 2 2
x + 4 m−1
− 2m 14. 4a b − 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3
6m3 8m2n 20mn2 − 2a x + 2 b m − 4
= − + = − 3m2 + 4mn − 10n2
− 2m − 2m − 2m 4a x + 4 b m − 1 6a x + 3 b m − 2 8a x + 2 b m − 3
= x+2 m−4
− x+2 m−4
+
− 2a b − 2a b − 2a x + 2b m − 4
7. 6a b − 3a b − a b
8 8 6 6 2 3
2 3
= − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b
3a b
6a 8b 8 3a 6b6 a 2b 3 1
= 2 3− − = 2a 6b 5 − a 4b3 − EJERCICIO 53
3a b 3a 2b3 3a 2b3 3
8. x − 5x − 10x + 15x
4 3 2
1 2 2
− 5x x x
3 6 3
1. 2 − 3 = x − = x −1
x4 5x 3 10x 2 15x 1 2 2 4 6 4
= − − + = − x 3 + x 2 + 2x − 3 x x
− 5x − 5 x − 5x − 5 x 5 3 3
9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n
9 2 7 4 5 6 3 8 1 3 3 2 1
a a a
2m 2 3 −5 + 4
3 3 3
8m9n2 10m7n4 20m5n6 12m3n8 − − −
= − − + 2. 5 5 5
2m2 2m2 2m2 2m2
5 3 15 2 5 5 5
= 4m n − 5m n − 10m n + 6mn
7 2 5 4 3 6 8 =− a + a − a = − a 3 + a2 − a
9 15 12 9 12

58. 2 3 3 2 2 1 m 1 m−1
3. 1 m 4 mn mn a a
2 2 2 1
3 3 +4 = am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2
4 − + 8 6. 1 1
1 2 1 2 1 2 a a 3 4 3 2
m m m
4 4 4 2 2
4 8 12 2 8 3
= m2 − mn + n = m2 − mn + n2 2 x +1 1 x −1 2 x
4 3 8 3 2 7. a a a
3 − 4 − 5
1 x−2 1 x−2 1 x−2
2 4 3 1 3 4 1 2 5 a a a
4. x y x y x y
xy 6
6 6 6
3 − 5 + 4 − 12 3 6 12 2 12 2 3
1 1 1
− xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3
1 = a − a− a ⇒ 4a 3 − a − a
5 5 5 5 3 4 5 5 2
10 3 5 2 5
=− x + x y − xy 2 + 5y 3 3 n−1 m+ 2 1 n m +1 2 n +1 m
3 5 4 8. − a x ax a x
4 + 8 −3
10 3 5 2 2 2 2
= − x + x y − xy + 5y 3
2
− a 3x2 − a3x 2 − a 3x2
3 4 5 5 5
15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2
2 5 1 3 3 = a x − a x + a x
a ab 8 16 6
5. 5 ab 5 2 4 1 2 3 1 5
−3 − = a − ab − b 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2
5a 5a 5a 25 15 5 = a x − a x + a x
8 16 3
EJERCICIO 54
1. a + 2a − 3
2
a+3 6. a 2 + 5a + 6 a+2 11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2 −a +b
− a 2 − 3a a −1 − a − 2a
2
a+3 + 8a 2 − 8ab 8a − 4b
− a−3 3a + 6 4ab − 4b 2
+ a+3 − 3a − 6 − 4ab + 4b 2
2. a − 2a − 3
2
a +1 7. 6x 2 − xy − 2y 2 2x + y
− 6 x 2 − 3xy 3x − 2y 12. 6m2 − 11 + 5n2
mn m−n
−a −a
2
a−3
− 6m + 6mn
2
6m − 5n
− 3a − 3 − 4 xy − 2y 2
+ 3a + 3 + 4 xy + 2y 2 − 5mn + 5n2
+ 5mn − 5n2
3 . x + x − 20
2
x+5 8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2 − 3 x + 2y
− x 2 − 5x x−4 + 15x 2 − 10xy 5x − 4y
13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n
2 2
− 4x − 20 12 xy − 8y 2
+ 54m2 − 48mn 6m + 4n
+ 4x + 20 − 12xy + 8y 2
− 36mn + 32n2
4. m − 11 + 30
2
m m−6 9. 5a + 8ab − 21b
2 2
a + 3b + 36mn − 32n2
− m2 + 6m m−5 − 5a 2 − 15ab 5a − 7b
− 5m + 30 − 7ab − 21b 2 14. − 14y 2 + 71y + 33 − 7y − 3
+ 5m − 30 + 7ab + 21b 2
+ 14y 2 + 6y 2y − 11
+ 77y + 33
5. x 2 − 8x + 15 −x+3 10. 14x 2 + 22x − 12 7x − 3
− 77y − 33
− x + 3x
2
−x+5 − 14x + 6x 2
2x + 4
− 5x + 15 28x − 12
+ 5x − 15 − 28x + 12

59. 15. x3 − y3 x − y 21. 3y 5 − 12y + 5y 2 + 10 y2 + 2
−x +x y
3 2
x 2 + xy + y 2 − 3y − 6 y
5 3
3y 3 − 6 y + 5
2
x y − 6y 3 − 12y
− x 2 y + xy 2 + 6y 3 + 12y
xy − y 2 3
5y 2 + 10
− xy + y 2 3
− 5y 2 − 10
16. a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b
am4 − am − 2a am + a
− a 3 + a 2b a 2 − 2ab + b 2 22.
− am4 − am3 m3 − m2 + m − 2
− 2a 2b + 3ab2
− am3
+ 2a 2b − 2ab 2
+ am3 + am2
ab 2 − b3
am2 − am
− ab 2 + b3
− am2 − am
17. x 4
− 9x 2
+x+3 x+3 − 2am − 2a
− x 4 − 3x 3 x 3 − 3x 2 + 1 + 2am + 2a
− 3x 3 − 9 x 2
+ 3x 3 + 9x 2 23. 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3 4a − 5b
x+3 − 12a 3 + 15 a 2b 3a 2 − 5ab + 2b 2
−x−3
− 20a 2b + 33ab 2
18. a 4
+a a +1 + 20a 2b − 25ab 2
−a − a 4 3
a −a +a
3 2
8ab 2 − 10b 3
−a 3
− 8ab 2 + 10b 3
+a +a3 2
a2 + a 24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5 3m − n
−a −a 2 − 15m + 5m n
5 4
5m4 − 3m2n2 + n4
− 9m3n2 + 3m2n3
19. m6 − n6 m 2 − n2
+ 9m3n2 − 3m2n3
− m 6 + m 4 n2 m4 + m2n2 + n4
3mn4 − n5
m 4n2
− 3mn4 + n5
− m4n2 + m2n4
m2n4 − n6
− m2n4 + n6
EJERCICIO 55
20. 2x − x + 7x − 3 2x + 3
4 3
− 2x 4 − 3x 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 1
1. a 4 − a 2 − 2a − 1 a2 + a + 1
− 4x 3
− a4 − a3 − a2 a2 − a − 1
+ 4 x 3 + 6x 2
− a − 2a − 2a
3 2
6x 2 + 7 x
+ a3 + a 2 + a
− 6x 2 − 9x
− a2 − a − 1
− 2x − 3
2x + 3 + a2 + a + 1

60. 2. x 5 + 12x 2 − 5x x 2 − 2x + 5 8. − x + 3x y
4 3
− 5xy 3 + 3y 4 x 2 − 2xy + y 2
− x + 2x − 5 x
5 4 3
x 3 + 2x 2 − x + x − 2x y + x y
4 3 2 2
− x 2 + xy + 3y 2
2 x − 5 x + 12x
4 3 2
x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3
− 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2 − x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
− x + 2x − 5x
3 2
3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
+ x − 2x + 5 x
3 2
− 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4
3. m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn 4 m2 − 2mn − 8n 2 9. n4 − 2n3 + 2n − 1 n2 − 2n + 1
− m + 2m n + 8m n
5 4 3 2
m − 3m n + 2mn
3 2 2
− n4 + 2n3 − n2 n2 − 1
− 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3
− n2 + 2n − 1
+ 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3
+ n2 − 2n + 1
2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4
− 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4
10. a 5b − 5a 4b 2 + 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
− a b + 2a b + 10a b
5 4 2 3 3
a 3 − 3a 2b + 4ab 2
4. x4 − x 2 − 2x − 1 x2 − x −1
− 3a b + 10a b + 22a b
4 2 3 3 2 4
− x 4 + x 3 + x2 x2 + x + 1
+ 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4
+x 3
− 2x
4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5
− x 3 + x2 + x
− 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5
x − x −1
2
− x2 + x + 1 11. 16x 4 − 24x 2 y 2 − 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
− 16x + 24x y − 12x y + 18xy
4 3 2 2 3
2 x + 3y
5. x − 2x + 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6 x 4 − 3x 2 + 2 24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
6 5
− x6 + 3x 4 − 2x 2 x 2 − 2x + 3 − 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4
− 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x
+ 2x 5 − 6x3 + 4x
12. 4y + 4y − 13y − 3y − 20 2y + 5
4 3 2
3x 4
− 9x 2
+6
− 4y 4 − 10y 3 2y 3 − 3y 2 + y − 4
− 3x 4
+ 9x 2
−6
− 6y 3 − 13y 2
+ 6y 3 + 15y 2
6. m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1 m3 + m2 − 4m − 1
2y 2 − 3y
− m6 − m5 + 4m4 + m3 m3 + 1
− 2y 2 − 5y − 20
m3 + m2 − 4m − 1
− 8y − 20
− m3 − m2 + 4m + 1
8y + 20
7. a5 − a 4 + 7a 2 − 27a + 10 a2 − a + 5
13. − 2a − 3a x + 5a x − 11ax 4 − 3x 5 − a 3 + 2ax 2 + 3x 3
5 4 3 2
− a + a − 5a
5 4 3
a 3 − 5a + 2
+ 2a 5
− 4a x − 6a x3 2 2 3
2a 2 − 3ax − x 2
− 5a + 7a − 27a
3 2
3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4
+ 5a 3 − 5a 2 + 25a − 3a 4 x + 6a 2 x 3 + 9ax 4
2a − 2a + 10
2 3
a x 2
− 2ax 4 − 3x 5
−a x 3 2
+ 2ax 4 + 3x 5
− 2a 2 + 2a − 10

61. 14. − x + 2x y − 3x 2 y 4 − xy 5 x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
6 5
+ x − 3x y + 2x y + x y
6 5 4 2 3 3
− x 2 − xy − y 2
− x y + 2x y + x y − 3x y
5 4 2 3 3 2 4
19. y − 2y − y + 4y − 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2
6 5 4 3
+ x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4
−y 6
+ 2y 4
− 2y 2
y 2 − 2y + 1
− x y + 3x y − 2 x y − xy
4 2 3 3 2 4 5
− 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y
+ x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5
+ 2y 5 − 4y 3 + 4y
y 4
− 2y 2
+2
15. a − 5a + 31a 2 − 8a + 21 a 3 − 2a − 7
6 5
− y4 + 2y 2 −2
−a 6
+ 2a + 7a
4 3
a − 5a + 2a − 3
3 2
− 5a + 2a + 7a + 31a
5 4 3 2
20. 3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4 m4 − 3m2 + 4
+ 5a 5 − 10a 3 − 35a 2
− 3m7 + 9m5 − 12m3 3m3 − 2m + 1
2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a
− 2m5 + m4 + 6m3 − 8m
− 2a 4 + 4a 2 + 14a + 2m5 − 6m3 + 8m
− 3a 3 + 6a + 21
m4 − 3m2 +4
+ 3a 3 − 6a − 21 − m4 + 3m2 −4
16. m6 − m5 + 5m3 − 6m + 9 m 4 + m3 − m2 + 3
21. a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 a3 + a2 − a + 1
− m6 − m5 + m 4 − 3m2 m2 − 2m + 3
− a6 − a5 + a4 − a3 a 3 + a 2 − 2a − 1
− 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m
a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2
+ 2m5 + 2m4 − 2m3 + 6m
− a5 − a4 + a3 − a2
3m4 + 3m3 − 3m2 +9
− 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a
− 3m4 − 3m3 + 3m2 −9
+ 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1
17. a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 − 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2 − a3 − a2 + a − 1
− a + 2a b − a b
6 5 4 2
a + a b − 3a b − ab + b
4 3 2 2 3 4
+ a3 + a2 − a + 1
a b − 5a b + 6a b
5 4 2 3 3
− a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3
22. 24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
− 3a 4b 2 + 5a 3b 3 − 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3 3x 2 − 2xy + 4 y 2
+ 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4
− 16x y + 56x y − 36x y − 26xy
4 3 2 2 3 4
− a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5 + 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4
+ a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5
32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5
a b − 2ab + b
2 4 5 6
− 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5
− a b + 2ab − b
2 4 5 6
18. x6 − 2 x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2
− x − x y + 2x 4 y 2
6 5
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
−x y
5
+ 2x y 3 3
x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3 23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2
− 5a 8 + 10a 6 − 10a 4 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a
+ x4y2 − 2x 2 y 4
− 4a + 2a + 5a − 4a − 2a
7 6 5 4 3
− x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4
+ 4a 7 − 8a 5 + 8a 3
− x3y3 + 3xy 5
+ 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2
+ x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5
− 2a 6 + 4a 4 − 4a 2
x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6
− 3a 5
+ 6a 3
− 6a
− x2y4 − xy 5 + 2y 6
3a 5 − 6a 3 + 6a

62. 24. x − 3x + 6x + x 2 − 3x + 6 x 3 − 2x 2 + 3x + 6
7 6 5
− x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4 x 4 − x 3 + x2 − x + 1
− x + 3x − 6 x
6 5 4
+ x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 3x + 6x + x
5 4 3 2 − 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4
9 7 6 5
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
− x + 2x − 3x − 6 x − 3x
5 4 3 2
− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a
7 6 5 4 3 2
− x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x + 9a 7 − 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2
+ x − 2x + 3x + 6 x + 6
4 3 2
+ 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a
x − 2x
3 2
+ 3x + 6 − 12a 6 + 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a
− x + 2 x − 3x − 6
3 2
− 15a 5
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
+ 15a 5
− 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10
25. 3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4
6 5 4 3 2 3 2
− 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3 a 3 + a 2 − 2a + 1 30. a 2 − b2 + 2bc − c 2 a+b−c
− a 2 − ab + ac a−b+c
+ 3a − 4a − 6a + 8a
5 4 3 2
− 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2 − ab − b 2 + ac + 2bc
+ ab + b 2 − bc
− 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a
+ 6a + 4a − 10a − 8a
4 3 2 ac + bc − c 2
− ac − bc + c 2
3a 3 + 2a 2 − 5a − 4
− 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4
31. − 2x + 5xy − xz − 3y − yz + 10z 2x − 3y + 5z
2 2 2
+ 2 x 2 − 3xy + 5 xz − x + y + 2z
26. 5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y
− 5y + 3y − 4y − 2y
8 7 6 5
y − 3y − 1
4 2 2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz
− 2xy + 3y 2 − 5yz
− 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3
+ 15y − 9y + 12y + 6y
6 5 4 3
4 xz − 6yz + 10z 2
− 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y − 4 xz + 6yz − 10z 2
+ 5y − 3y + 4y + 2y
4 3 2
27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3
+ m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3 m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4
2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4
− 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4
− 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11 3n 4 − 9m2n 5
m
+ 3m5n 2 − 9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5
4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7
− 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7
28. x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4
− x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4 x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6
− 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6
32. x 3 + y3 − 3xyz + z 3 x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2
+ 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6
− x3 + x 2y + x2z − xy 2 + xyz − xz 2 x+y+z
− x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8
x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2
+ x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8
− x2 y − y 3 + xy 2 + xyz + y 2 z − yz 2
+ x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10
2
x z − xyz + z − xz + y 2 z − yz 2
3 2
− x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10
−x z 2
+ xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2

63. 33. a 5 + b5 a + b
−a −a b
5 4
a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4
− a 4b 37. x15 + y 15 x3 + y 3
+ a 4b + a 3b 2 −x −x y
15 12 3
x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12
3 2
a b −x y12 3
− a 3b 2 − a 2b 3 x12 y 3 + x 9 y 6
−a b 2 3
x9y6
+ a 2b 3 + ab 4 − x9y 6 − x6y 9
ab 4 + b 5 − x6y 9
− ab 4 − b 5 x 6 y 9 + x 3 y 12
x 3 y12 + y15
34. 21x 5
− 21y 5
3x − 3y − x 3 y 12 − y 15
− 21x + 21x y
5 4
7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y
4 3 2 2 3 4
21x 4 y
− 21x 4 y + 21x 3 y 2 38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1 x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1
− x − 2x y − xy
3 2 2
− x − xy − x
2
x + y −1
21x 3 y 2
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x
− 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3
− x 2 y − 2xy 2 − y 3 − xy − y2 − y
21x 2 y 3
− 1− x − 2xy − x − y 2 − y
2
− 21x 2 y 3 + 21xy 4
+ 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y
21xy 4 − 21y 5
− 21xy 4 + 21y 5
16x 8 − 16y 8 2x 2 + 2y 2
35.
− 16x − 16x y
8 6 2
8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6
− 16x 6 y 2
+ 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4 39. x
5
+ y5 x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
− x + x y − x y + x y − xy
5 4 3 2 2 3 4
x+y
16x 4 y 4
− 16x y − 16x y
4 4 2 6 x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5
− x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
− 16x 2 y 6 − 16y 8
+ 16x 2 y 6 + 16y 8
36. x 10 − y 10 x2 − y2
− x10 + x 8 y 2 x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8
x8y2
− x8y2 + x6y4 EJERCICIO 56
6 4
x y
− x6y 4 + x 4 y6 ax+3 + ax a +1
1.
x4 y 6 − ax +3 − ax +2 a x + 2 − a x +1 + a x
− x 4y 6 + x2y 8 −a x+2
x 2 y 8 − y 10 + a x + 2 + a x +1
− x 2 y 8 + y 10 a x +1 + a x
− a x +1 − a x

64. 2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2 x2 + x
n+ 5 n+ 4
+x +x − x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1
+ 2x n+ 4
+ 3x n+ 3 8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2 − ma − 1 + ma − 2 + ma − 3
− 2x n+ 4
− 2x n+ 3 + m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1 ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
+ m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a
xn + 3 + x n + 2
− xn+ 3 − xn+ 2 − m2a + 2 + m2a +1 + m2a
2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1
− 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1
3. ma + 4 − ma + 3 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 m2 − 2m + 3 − m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2
− ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2 ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1 + m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2
m a+3
− 3m a+2
+ 6m a +1
− ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1
9. x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4 − x 2a − 7 x a − 1 − x a −2 − x a − 3
− ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma − x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4 x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4
+ ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma
+ 2x 2a − 3
− 3x 2a − 4
ma + 1 − 2ma + 3ma − 1 − 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5
− ma + 1 + 2ma − 3ma − 1
− x 2a − 4 + 2x 2a − 5
+ x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6
4. a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n
+ x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7
− a 2 n + 3 − a 2n + 2 a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n
− x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7
3a 2n + 2 + a 2n + 1
− 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1 2n −1 4 2n − 2 5
− 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4
10. a b − a b + a b
2n 3
− 2a 2n +1
− 2a 2n
−a b +a
2n 3 2n − 1 4
b − 2a 2n − 2
b +a
5 2n − 3
b6 a nb 2 − a n − 2 b 4
2a 2n + 1 + 2a 2n −a 2n − 2
b +a
5 2n − 3
b − 2a
6 2n − 4
b +a
7 2n − 5
b 8
+ a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8
5. x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1
− x 2a + 5 + 2x 2 a + 3 x a + 2 + 2x a + 1 − x a
+ 2x 2a + 4
−x 2a + 3
11. a m + x + a mb x + a x b m + b m + x ax + bx
− 2x 2a + 4 + 4x 2 a + 2
− a m + x − a mb x a m + bm
− x 2a + 3 + 2x 2 a + 1
a b +b
x m m+ x
+ x 2a + 3 − 2x 2 a + 1
− a xb m − b m + x
6. ax+2 − 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2 a x − 2a x − 1 + 3a x − 2
−a x+2
+ 2a x +1
− 3a x
a 2 + 2a − 1
2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1 12. a x − a x − 1b + b n − ab n − 1 a−b
− 2a x +1
+ 4a − 6a
x x −1 − a x + a x − 1b a x −1 − b n − 1
n−1
− a x + 2a x − 1 − 3a x − 2 b − ab n
+ a − 2a
x x −1
+ 3a x−2 − b n + ab n − 1
7. a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4 a x − a x −1 + a x − 2
− a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2 a x + 3a x − 1 − 2a x − 2
3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3
13. 3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1
− 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3
− 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1 3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2
− 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
+ a 5m − 2
− 13a 5m − 1
+ 46a 5m
+ 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4
− a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m
− 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1
5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1

65. 14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2 − 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1
3a + 1 2 x − 3 3a 2 x − 2 3a − 1 2 x − 1
− 2x y + 8x y − 6x y − 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x
+ 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x
10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
EJERCICIO 57
1 2 5 1 1 1
1. a + ab − b 2 a+ b
6 36 6 3 2 3 4 1 3 17 2 2 7 3 2
5. m + m n− m n + mn 3 − n 4 m − mn + 2n 2
1 1 1 1 5 10 60 6 2
− a 2 − ab a− b 3 4 2 3 4 2 2 2 2 1 1
6 4 2 3 − m + m n− m n m + mn − n2
5 5 5 5 3 2
1 1
− ab − b 2 1 3 65 2 2 7
9 6 m n− m n + mn3
2 60 6
1 1
ab + b 2 1 3 1 2 2 2
− m n + m n − mn 3
9 6 2 3 3
3 2 2 1
1 2 7 1 2 − m n + mn3 − n4
2. x + xy − y 2 x− y 4 2
3 10 3 5 3 2 2 1
m n − mn3 + n 4
1 2 1 5 4 2
− x2 + xy x+ y
3 15 3 6
5 1 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 1
xy − y 2 6. x + x − x + x + x− 2x 3 − x+2
6 3 4 2 40 3 30 5 3
5 1 3 5 1 3 3 2 3 2 1 2
− xy + y 2 − x + x − x x + x−
6 3 4 8 4 8 4 5
1 4 4 3 1 2 19
x − x − x + x
1 3 35 2 2 2 3 3 1 2 1 1 2 5 12 30
3. x − x y+ xy − y x − xy + y 2
3 36 3 8 2 3 4 1 1 2 1
− x4 + x − x
1 3 2 2 1 2 2 3 2 12 2
− x + x y− xy x− y
3 9 6 3 2 4 3 2 4
− x + x−
3 2 1 2 3 3 5 15 5
− x y+ xy − y
4 2 8 4 3 2 4
x − x+
3 2 1 2 3 3 5 15 5
x y− xy + y
4 2 8
9 1 13 1 3 2 2
1 3 5 2 5 1 3 7. a 4 − a 3x − a 2x 2 + ax 3 − x 4 a − ax + x 2
4. a − a b + ab 2 − b 3 a− b 4 12 18 3 2 3
16 8 3 4 2 9 4 3 3 3 2 1 1
− a + a x− a x 2 2
a + ax − x 2
1 3 3 2 1 2 2 4 2 2 3 2
− a + ab a − ab + b 2
16 8 4 3 1 3 13 2 2 13 3
a x− a x + ax
1 5 2 2 12 18
− a 2b + ab 1 1 2 2 2 3
4 3 − a3x + a x − ax
2 3 9
1 2 3 2
ab− ab 3 2 2 1 3 1 4
4 2 − a x + ax − x
4 2 3
1 2 3 2 2 1 3 1 4
ab − b 3 a x − ax + x
6 4 2 3
1
− ab 2 + b3
6

66. 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 2 3 1 2 1
8. x − x y+ x y − x y + xy 4 x − x y + xy 2
14 420 280 2 12 7 5 2
1 5 1 4 1 3 2 1 2 2 5
− x + x y− x y x − xy + y 2
14 20 8 4 3 6
4 4 13 3 2 1 2 3
− x y+ x y − x y
21 35 2 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 1 3 1 2 1 1
9. x + x − x + x + x− x + x − x+
4 4 2 3 2 1 2 3 8 40 120 120 10 10 4 3 4 2
+ x y− x y + x y
21 15 3 3 1 3 3 3 2 3 2 1 1
− x5 − x4 + x − x x + x− x
5 3 2 1 2 3 5 8 2 8 4 2 10 5
x y − x y + xy 4
21 6 12 1 4 1 3 11 2 1
x − x − x + x
5 3 2 1 2 3 5 40 60 120 10
− x y + x y − xy 4
21 6 12 1 4 1 3 1 2 1
− x − x + x − x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x−
20 15 20 10
1 3 1 2 1 1
x + x − x+
20 15 20 10
1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 3 3 1 2 2 1
10. m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 m − m n + mn 2 − n3
2 6 40 60 6 8 4 2 5 4
1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 2 2 2 5
− m + m n− m n + m n m − mn + n2
2 3 15 6 3 3 2
1 4 53 3 2 91 2 3 7
− m n+ m n − m n + mn 4
2 24 60 6
1 4 1 3 2 4 2 3 1
m n− m n + m n − mn4
2 3 15 6
15 3 2 5 2 3 5 5
m n − m n + mn 4 − n
8 4 8
15 3 2 5 2 3 5
− m n + m n − mn4 + n5
8 4 8
EJERCICIO 58
1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x
1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1
3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2
− 1+ 1− 1 1+ 0 − 1
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 1− 2 + 1
− 1+ 1− 1 ⇒ x2 − 1 − 1+ 2 − 1 1+ 3 − 2 + 5 − 1
+ 1− 1+ 1
3 − 8 + 12 ⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4
−3+6− 3
2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7
− 2 + 9 − 13
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1− 2 + 0 − 7
2− 4+ 2
− 1+ 2 − 0 + 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8
5 − 11 + 7
3 − 11+ 10 − 13 ⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8
− 5 + 10 − 5
− 3 + 6 − 0 + 21
− 1 + 2 −1
− 5 + 10 + 8 + 19
+ 1 − 2 +1
+ 5 − 10 + 0 − 35
8 − 16 + 0 − 56
− 8 + 16 − 0 + 56

67. 4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 1+ 0 − 4 − 1
− 1− 0 + 4 + 1 1− 5 + 6 + 1
− 5 + 6 + 21 − 19 ⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3
5 + 0 − 20 − 5
6 + 1 − 24 − 10 8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15
− 6 − 0 + 24 + 6 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 1− 7 + 9 − 15
1 + 0 − 4 −1 − 1+ 7 − 9 + 15 1− 5 + 9 − 4 + 3
−1 − 0 + 4 +1 − 5 + 44 − 112 + 187 ⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3
+ 5 − 35 + 45 − 75
5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5 9 − 67 + 112 − 192
1− 2 − 50 + 58 − 15 1+ 6 − 5 − 9 + 63 − 81 + 135
− 1− 6 + 5 1− 8 + 3
− 4 + 31 − 57 + 87
− 8 − 45 + 58 ⇒ x 4 − 8x 2 + 3 + 4 − 28 + 36 − 60
+ 8 + 48 − 40 3 − 21 + 27 − 45
3 + 18 − 15 − 3 + 21 − 27 + 45
− 3 − 18 + 15
6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2
− 1+ 4 − 3 + 2 1− 3 − 6 + 10
9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2
− 3 + 6 + 25 − 52 ⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10
6
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 2+0 +4
3 − 12 + 9 − 6
−2−0− 4 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1
− 6 + 34 − 58 + 42
− 6 − 12 − 20 ⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5
+ 6 − 24 + 18 − 12
6 + 0 + 12
10 − 40 + 30 − 20
− 12 − 8 − 24
− 10 + 40 − 30 + 20
+ 12 + 0 + 24
− 8 + 0 − 18
7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10
15 12 9 6 3 6 3
+ 8 + 0 + 16
3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10
− 2+0−4
− 3 + 8 − 10 1− 4 + 3 − 2
2+0+ 4
− 12 + 41 − 70 ⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2
12 − 32 + 40
9 − 30 + 46 10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7
− 9 + 24 − 30 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7
− 6 + 16 − 20 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 6+0+0−4+6−2
6 − 16 + 20 − 4 + 6 + 6 − 16 + 38 ⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2
+ 4 + 0 − 8 + 4 − 28
6 − 2 − 12 + 10 − 44
− 6 − 0 + 12 − 6 + 42
− 2 + 0 + 4 − 2 + 14
+ 2 − 0 − 4 + 2 − 14

68. 11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
− 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4 1+ 0 − 3 + 0 + 4
− 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12 ⇒ n4 − 3n2 + 4
+ 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12 12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3
4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 1+ 0 − 5 + 3
− 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16 − 3 − 0 + 15 − 9 3 − 4 + 0 + 0 −1
− 4 + 0 + 20 − 13 ⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4
+ 4 + 0 − 20 + 12
− 1+ 0 + 5 − 3
1 −0−5+3
13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6 1− 4 − 5 + 1
− 1+ 4 + 5 − 1 1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6
14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5
− 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5
+ 5 − 20 − 25 + 5 − 1− 0 + 5 1− 3 + 0 + 5
3 − 18 + 9 + 33
− 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3
− 3 + 12 + 15 − 3
+ 3 + 0 − 15
− 6 + 24 + 30 − 6
+ 5 + 0 − 25
+ 6 − 24 − 30 + 6
− 5 − 0 + 25
15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 7 + 0 + 6 +1
−7− 0 −6− 1 1− 5 + 0 − 7
− 35 + 0 − 79 − 5 ⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1
+ 35 + 0 + 30 + 5
− 49 + 0 − 42 − 7
49 − 0 + 42 + 7
16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 6 − 4 + 2 +1
− 6 + 4 − 2 −1 1+ 0 − 5 + 0 − 6
− 30 + 20 − 46 + 19 ⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2
+ 30 − 20 + 10 + 5
− 36 + 24 − 12 − 6
36 − 24 + 12 + 6
17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 1− 3 − 1− 5
− 6 + 18 + 6 + 30 6−5+3
− 5 + 18 − 4 + 22 ⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1
+ 5 − 15 − 5 − 25
3 − 9 − 3 − 15
− 3 + 9 + 3 + 15

69. EJERCICIO 59 3. 9x 3 + 6x 2 + 7 3x 2
7
a 2 + b2 − 9x 3 3x + 2 +
1. a2 2. a4 + 2 a3 3x 2
b2
− a4 a+
2 + 6x 2
− a2 1+
a2 a3
− 6x 2
b 2 +2
+7
4. 16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2 9. x 3 − x 2 + 3x + 2 x2 − x + 1
3
− 16a 4 4a 2 − 5ab + 2b 2 +
7b 2x + 2
− x3 + x2 − x x+ 2
4a x − x +1
− 20a 3b + 2x + 2
+ 20a 3b
8a 2 b 2 10. x3 + y3 x−y
− 8a b 2 2
2y 3
− x3 + x2y x 2 + xy + y 2 +
x−y
+ 7ab 3
x2y
5. x 2 + 7x + 10 x + 6 − x 2 y + xy 2
4 xy 2 + y 3
− x 2 − 6x x + 1+
x+6
− xy 2 + y 3
x + 10
−x − 6 2y 3
+4
6. x 2 − 5x + 7 x−4 11. x5 + y5 x−y
3 2y 5
− x + 4x
2
x − 1+ −x + x y
4 4
x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 +
x−4 x−y
−x+7 x4 y
x−4 − x4 y + x3y 2
x3y2
+3
− x3y2 + x2y3
7. m4 − 11m2 + 34 m2 − 3 x2y3
10 − x 2 y 3 + xy 4
− m4 + 3m2 m2 − 8 + 2
m −3 + xy 4 + y 5
− 8m + 342
− xy 4 + y 5
8m − 24
2
2y 5
+ 10
x 2 − 6xy + y 2 x +y 12. x + 4 x − 5x + 8 x2 − 2x + 1
3 2
8.
8y 2
6x + 2
− x 2 − xy x − 7y + − x3 + 2x2 − x x + 6+
x+y x2 − 2x + 1
− 7xy + y 2 6 x 2 − 6x + 8
+ 7xy + 7y 2
− 6 x 2 + 12 x − 6
+ 8y 2 6x + 2

70. 14. x − 3x + 9x 2 + 7 x − 4 x 2 − 3x + 2
5 4
13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b
3 2 2 3
12b3 20 x − 10
− 8a 3 + 12a 2b 4a 2 + 3ab + 7b 2 + − x 5 + 3x 4 − 2x 3 x 3 − 2x + 3 +
2a − 3b x 2 − 3x + 2
6a 2b + 5ab 2 − 2x 3 + 9x 2 + 7x
− 6a 2b + 9ab 2 + 2x 3 − 6x 2 + 4 x
14ab 2 − 9b 3 3x 2 + 11x − 4
− 14ab 2 + 21b 3 − 3x 2 + 9x − 6
20x − 10
12b 3
EJERCICIO 60
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1. a − 2ab + b 2. 3a − 4a b + 3ab − b 3. a − 3a + 2ac − 3bc
2 2 3 2 2 3 4 3
= (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2 = 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3  1  1
= (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1)  −  − 3⋅ 2  − 
2 3 2
4 3
 2  2
= 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9 = − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31
1 1
= 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8
2 2
4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c
5 4 3 2 2 3 4 5
2 3 4 5
4 1 3 1 2 1  1  1
= (− 1) − 8 (− 1)  −  + 16 (− 1)  −  − 20 (− 1)  −  + 40 (− 1)  −  −  − 
5
 2  2  2  2  2
1 1 1 1 1 5 5 1 1 − 32 + 1 31
= − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ + = − 1+ 4 − 4 + − + = − 1+ = =−
2 4 8 16 32 2 2 32 32 32 32
( ) ( 2
5. a − b + b − c − a − c ) (
2
)
2
( ) (
3
6. b + a − b − c − a − c ) (
3
)3
  1  
2
 1 
2 3 3
= (− 1 − 2) +  2 −  −   −  − 1 −  −   [   1  
]  1 
= 2 + (− 1) −  2 −  −   −  − 1 −  −  
2 3
  2    2    2    2 
 1 
2
1
2
 5  1 
2 2
= (− 3) +  2 +  −  − 1 +  = 9 +   −  −   1 
3
1
3
 5  1
3 3
[ ]
2 3
 2  2 = 2 − 1 −  2 +  −  − 1 +  = 13 −   −  − 
 2  2  2  2  2  2
25 1 24 125 1 124 31 2 − 31 29
= 9+ − = 9+ = 9 + 6 = 15 = 1− + = 1− = 1− = =− = − 14 2
1
4 4 4 8 8 8 2 2 2
7. ab + ac − bc ( ) ( 2
8. a + b + c − a − b − c + c ) 2
c b a 2 2
  1    1   1
 1  1 1 =  − 1+ 2 +  −   −  − 1− 2 −  −   +  − 
− 1 −  2  −    2    2   2
− 1⋅ 2  2  2 2 2 2
= + − = + −
−1  1 
2
1
2
1  1  5
2 2
1 2 1 2 2 1
− = 1−  −  − 3 +  − =   −  −  −
2 2  2  2 2  2  2 2
1 1 12 + 1 13 1 25 1 1 − 25 − 2
= 4 + − 1= 3 + = = =34 1
= − − =
26
= − = −62 = −621
4 4 4 4 4 4 2 4 4
4
( ) (
9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b ) ( )
[ ]
  1   1

 1 2
 2 2
[  3 6
2 2
]
= 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1)  2 +  −   − 2  −  (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4  2 −  + (− 3) = 3⋅ 0 + 4   − = 6 − 3 = 3
 2   2

71. Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x − y )(m + x − n)
4 2 2
10. x − x y + 3xy − y 3
2 2 2
2
8 2 2
[ ] [ ] [ 2  1
= 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1)  3 + (− 2) − ]
2 2
(− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1)
2
4 2 2
− (− 1)
3  2
=
 1  1
8
16 − 4 − 6
2 2
[ ] [ ] [ ]
= 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1  3 − 2 −  = [ 4] + − 1 + 3 1 − 
2 2
 2
2 2
 2
[ ]
= − + + 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2
8 2 2  1 3 34 + 3 37
= 16 + 1 + 3   = 17 + = = = 18 2
1
 2 2 2 2
( ) (
12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n)( ) ( )
[
= − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1)][ 2 2
][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 1  − 2 + (− 1) + 2  = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+  − 2 − 1 + 2 
3
1 1
 1  5 38 + 5

[ ] 2  2
5
= 1 + 5 − 4 +  − 3 +  = 1 − 20 +  −  = − 19 − = −
2 2
43
= − = − 21 2
2
1
4x x3  1 1
x− y 14. − +  −  x + x4 − m
13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y − 2 2 3y 2 + y 3  n b 
2
 
(− 2) − (− 1) 4 (− 2 ) (− 2)  1 1
3
[  1
 2
] 
= 3(− 2) − 2 (− 1)  2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) −

2 2
2 = − +  −  (− 2 ) + (− 2 ) − 3
3 (− 1) 2 + (− 1)
3
4
 1 1
− 2+1 −1  2 3
[ ][
= − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − ] = − 4 − 11 + 16 − [ ] −8 −8
+ (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13
2 2 8
= −
1 1 − 3 2−1 3
= 44 + 16 + = 60 + = 60 2 1
2 2 8 8 8 + 69 77
= + 21 + 2 = + 23 = = = 25 2
3
15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n)
2 2 2 2 2 3 3 3 3
[ 
][ 1
] [ ]
2 1
= (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) −  + − 2 + (− 1)  32 − 2 ⋅ 
2 2 2
 2  2
 1  1 9 160 + 9 169
= 4 [1 + 1] − [− 2 + 1]  4 + 1 −  + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 −  + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + =
2 2 9
= = 84 2
1
 2  2 2 2 2 2
1
16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) +
3⋅
x m y n −2 3 −1 1
( ) ( ) [ 3 2 ]
2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4
[ ]
2
4+ 9 114 + 13
= − 9−
6
[ ]
13
6
13
+ 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = −
6 6
=−
127
6
= − 21 1
6
EJERCICIO 61
1. 7 am 8 am 9 am 10 am 5. 3 2a 2 − 3a + 8
↓ ↓ ↓ ↓ 2a 2 − 3a + 5 8a + 5
+5 !
+2 !
−1 !
−4 !
2a 2 − 3a + 8 2a 2 + 5a + 13 Rta
{[ ( ( ))] }
3. x 2 − 3xy x2
6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6
3xy − y 2 − x2 + y2
x2 − y2 y 2 Rta = − 3x 2 − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] }
2 2
4. 3x 2 − 5x + 6
= − 3x 2 − { − [4 x + 5x − x + x + 6] }
2 2
− 3x 2 + 8 x − 6 Rta
3x = − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6

72. ( )(
7. x + y x − y − x + y ) ( ) 2
1 3 1 1 3 1 1
= x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y ) 12. a − ab 2 + b a+ b
4 90 15 2 3
= x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 ) 1 1
− a 3 − a 2b
1 2 1 1
a − ab + b 2
4 6 2 3 5
= x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2
1 2 1
= − 2 xy − 2 y 2 − a b− ab 2
6 90
8. a = 2 b = 3 c = 1 1 2 1
a b + ab 2
1 2 1
a + ab + b 2
c− b 6 9 2 5
3 (a + b) − 4 (c − b) +
−a 1 1 3 1 2 1 1
ab 2 + b − a + ab − b2
1− 3 10 15 2 3 5
= 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) +
−2 1 1 3 3 +1 4
− ab 2 − b ab = ab
−2 10 15 3 3
= 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) +
−2
= 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24
13. − 3ab 2 − b3 a 3 − a 2b + b3
9. 3x
2
− 5y 2 2 x 2 + 5xy + 6 y 2 2a b + 3ab − b
2 2 3
− 2a 2b + 2b3
− x + 3xy − y
2 2
− x − 5xy
2
2a 2b − 2b 3 a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y
2 2
x 2
+ 6y 2
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y
2 2
a 2 − ab + b2
x 2
+ 6y 2
a 5 − 3a 4b + 3a 2b 3
3x + 3xy 2
Rta − a b + 3a b4 3 2
− 3ab 4
2 2 1 1 2 + a b − 3a b
3 2 2 3
+ 3b 5
10. a − ab + b
3 2 5 a 5 − 4a 4b + 4a 3b2 − 3ab 4 + 3b 5
1 2 3
a + ab − 2b2
2 4
14. x − 5x + 4x
3 2
1 4 1 3 1 2 2
a − a b+ ab
3 4 10 − 6x 2 − 6 x + 3 2x 3 − 16x 2 + 5x + 12
1 3 3 − 8x + 8x − 3 2
− x 3 + 19x 2 − 6x
+ a 3b − a 2b2 + ab 3
2 8 20
4 2 x 3 − 19x 2 + 6x x 3 + 3x 2 − x + 12
− a 2b 2 + ab 3 − b4
3 5
1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4 x 3 + 3x 2 − x + 12 x2 − x + 3
a + a b− a b + ab − b
3 4 120 20 5 − x 3 + x 2 − 3x x+4
x5 − x 3 + 5x 2 4x − 4x + 12
2
11.
− 2x 4
+ 2x − 10x
2 − 4x 2 + 4x − 12
+ 6x 3
− 6 x + 30
x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30
5 4 3 2
x 2 − 2x + 6
− x + 2x − 6 x
5 4 3
x3 − x + 5
− x + 7 x − 16x
(2 + x) (1+ x ) − (x − 2)( x 2 + x − 3) = x 2 (3x + 10) + 2 (3x − 1)
3 2 2 2 2
15.
+ x 3 − 2x 2 + 6x
5 x 2 − 10x + 30
(4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x
2 2 4 3
− 5x 2 − 2 x + 6) = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
− 5 x 2 + 10x − 30 4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2

73. 16. x = − 2 y = 1 21. [x − (3x + 2)][x + (− x + 3)]
2 2
= x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6)
(x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y)
2 2
[x 2
][
− 3x − 2 x 2 − x + 3 ] = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6
= (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1)
2 2
x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6
= (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3) x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6
2 2
= 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
[
22. x ( x + y ) − x ( x − y ) ] [2 (x 2
]
+ y 2 ) − 3( x 2 − y 2 )
17. x + 2x + 8
2
= x 2 + xy − x 2 + xy = 2 x + 2 y 2 − 3x 2 + 3 y 2
2
x+4 x 2 + 4x + 6 = 2 xy = − x 2 + 5y 2
x−6 4x − 8x − 3 Rta
2
− x 2 + 5y 2 − 2 x 3 y + 10 xy 3
x + 4x + 6
2
5x 2 − 4x + 3
2 xy 4 x 3 y − 7 xy 3 Rta
18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) } [
− 2 (a + b) − (a − b) ] − 2 x y + 10 xy 2 x 3 y + 3xy 3
3 3
= − {3a − b + a − 2a − 2b} [
= − 2 a +b− a +b ]
= − {2a − 3b} − y3 x − y x 2 + 3xy − y 2
3
= − 2 [ 2b ] 23. x
= − 2 a + 3b = − 4b −x +x y 3 2
x + xy + y
2 2
x 2 + xy + y 2
− 4b x2y x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2
2a − 3b − x y + xy
2 2
+ x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3
2a − 7b Rta
xy 2 + x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4
[(
19. 5x + − 3x − x − y ))]
( [
8 x + − 2 x + (− x + y) ] − xy + y 2 3
x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta
4 3
= 5x + [− (3x − x + y )] [
= 8x + − 2 x − x + y ]
= 5x + [− 2 x − y ] = 8 x − 3x + y
( )(
24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y
2 2 2 2
) ( )( )
= 5x − 2 x − y = 5x + y
= 3x − y
[
= x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3 ]
5x + y [
= x3 − y3 − x 3 + y3 ]
3x − y = x3 − y3 − x 3 − y 3
15x 2 + 3xy = − 2 y3
− 5xy − y 2 25. a = 4 b = 9 c = 25
15x − 2 xy − y
+ 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b)
2 2
Rta ab 9b c
c a b
1 3 1 2 5 1 1 2 1
4⋅9 9⋅9
+ 2 (9 − 4) − 3 (25 − 9)
20. x + x y+ xy 2 + y 3 x − xy + y 2 25
4 24 12 3 2 4 =
25 42 9
1 3 1 2 1 2 1 1
− x + x y − xy x+ y 36 81 5 6 9 5
4 8 2 2 3 = + 2⋅5 − 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅
1 2 1 1 25 16 3 5 4 3
x y− xy 2 + y 3 6 45 12 + 225 − 800 − 563
6 12 3
= + − 80 = = = − 56 10
3
1 2 1 1 5 2 10 10
− x y+ xy − y 3
2
6 12 3
26. x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3 x2 − 4 =x−2
[
2 x + − 5x − ( x − y ) ] − 4x + y − x − 3x 3 2
x −4
2
?
− 4x − 12
[ ]
1 1
= 2 x + − 5x − x + y − x − y
2 3 + 4x + 12 x2 −4 x−2
8+ 1 3− 1
[
= 2 x + − 6x + y ] −
2
x+
3
y x + 2x
2
x+2 Rta
9 2 2x − 4
= 2 x − 6x + y − x+ y Rta
2 3
− 2x + 4
= − 4x + y

74. { (
27. 4 x − 3x − x − (4 + x ) + x − x + (− 3) )} [ { }] 28. x + 7x − 5
2
2 2 2
x2 − 9 x 4 − 11x 3 + 21x Rta
= 4 x2 − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si
2 2
x=−2
x + 7x − 5x
4 3 2
18x − 14x − 84 x + 45
3 2
= 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3 [ ] 6 x 2 − 5x − 1
− 9x 2 − 63x + 45 x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45
= 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1
2
= 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3 x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45
= 6 x − 5x − 1
2
= 6 ( 4) + 10 − 1
= 24 + 10 − 1 = 33 30. 3 [
− x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3) ]
x + 5x − 6
3 2
[
= − x − 3x + 4 + x − 3
2
]
29. (a 2
+b 2
)(a + b)(a − b) 4
[
= a − 3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b 4
] x 3 + 5x 2 − 3 [
= − x2 − 2 x + 1 ]
(a 2
+b 2
)(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ]
2 2 4 4 = − x2 + 2 x − 1
(a + b )(a − b ) = a − [b ]
2 2 2 2 4 4
x 3 + 5x 2 −3 x2 − x + 2
a −a b +a b −b
4 2 2 2 2 4
=a −b 4 4
x+1 − x2 + 2x − 1
a −b
4 4
=a −b 4 4
x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta x +1
EJERCICIO 62 10. (3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b
3 4 2 6 3 4 8
( )
1. m + 3 = m2 + 6m + 9
2
11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n
5 6 2 10 5 6 12
2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x 12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x 4 2
2 2 2 3 4 6 2 3 4 8
3. (6a + b) = 36a + 12ab + b 13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y
2 2 2
2 3 2 2 4 2 3 2 6
4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m
2
14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m
2
2 3 2 4 2 2 3 6
5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121
2 2
15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y
10 12 2 20 10 12 24
6. ( x + y ) = x + 2 xy + y
2 2 2
16. (a + a ) = a + 2a n 2
+a m+ n
(1+ 3x2 ) = 1+ 6x2 + 9 x 4 2 m 2m 2n
7.
17. (a + b ) = a + 2a b + bx +1 2 x x +1 2 x +2
( ) 2 x 2x
8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
9. (a x + by ) = a x
2 2 2 4 2
+ 2a 2 xby 2 + b 2 y 4 18. ( x + y ) = x + 2x y + y
a +1 x −2 2 2a +2 a +1 x − 2 2 x −4
EJERCICIO 63
8. (x − 1) = x − 2 x + 1
2 2 4 2
( )
1. a − 3 = a 2 − 6a + 9
2
9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y
5 2 2 10 5 2 2 4
2. ( x − 7) = x − 14 x + 49
2
10. (a − b ) = a − 2a b + b
2
7 7 2 14 7 7 14
3. (9 − a ) = 81 − 18a + a
2 2
4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b
2 2 2
(
11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2 )2
5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1
2 2 2 12. (10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y
3 5 2 6 4 5 2 10
13. ( x − y ) = x − 2 x y + y n 2
(a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6
2 m 2m m n 2n
6.
14. (a − 5) = a − 10a + 25
2
(3a − 5b2 ) = 9a 8 − 30a 4b2 + 25b4
2 x −2 2 x −4 x −2
4
7.
15. ( x − 3x ) = x
a +1
− 6x + 9 x a −2 2 2a + 2 2a −1 2a − 4

75. EJERCICIO 64
( )(
11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2 )
( )( )
1. x + y x − y = x 2 − y 2 ( )( )
6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1
2. (m − n )(m + n) = m − n 2 2 7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x 2 2 12. (6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x
2 2 2 2 4 4 2
3. (a − x )( x + a ) = a − x 2 2 8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81 2 13. (a + b )(a − b ) = a − b
m n m n 2m 2n
4. (x 2
+ a 2 )( x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4 9. (a − b )(a + b ) = a − b
3 2 3 2 6 4
14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y
a m m a 2a 2m
( )(
5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1 ) 10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y
2 2 4 2 15. (a x +1
− 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 ) = a 2 x + 2 − 4b2 x − 2
EJERCICIO 65
8. (a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9
2 2 4 2
( )( )
1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z 2 2 2
9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1
2 2 4 2
2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z 2 2 2
( )( )
10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2
3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z 2 2 2
11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x 2
− y 2 + 2 yz − z 2
4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1 2 2
5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1 2 2
12. (x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36
2 2 4 2
6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4 2 2 13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b
2 2 2 2 4 2 2 4
7. (n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1
2 2 4 2 14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x
3 2 3 2 6 4 3 2
EJERCICIO 66
( ) 3
1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8 ( ) 3
5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 ( )3
9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27
6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y
2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1 (a − 2b) = a 6 − 6a 4b + 12a 2b2 − 8b3
3
− 27 y 3
3 3 2 2 2 3
10.
3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27
3 3 2
7. (2 + y ) = 8 + 12 y
2 3 2
+ 6y4 + y6 ( ) 3
11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3
4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64 ( ) (1− a ) = 1− 3a
3 3
3 2
8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3 2 3
12. 2
+ 3a 4 − a 6
EJERCICIO 67
( )( )
1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2 ( )( )
9. a − 11 a + 10 = a 2 − a − 110 17.(a − 2)(a + 7) = a
5 5 10
+ 5a 5 − 14
2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8 2 10. (n − 19)(n + 10) = n 2
− 9n − 190 18. (a + 7)(a − 9) = a
6 6 12
− 2a 6 − 63
3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 2
11. (a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45
2 2 4 2
(
19. ab + 5 ab − 6 = a 2b 2 − ab − 30)( )
4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 12. ( x − 1)( x − 7) = x − 8 x + 7 (xy − 9)(xy + 12) = x y + 3xy − 108
2
2 2 4 2 2 2 2 4 2
20.
5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21
13. (n − 1)(n + 20) = n + 19n − 20 21. (a b − 1)(a b + 7) = a b + 6a b − 7
2
2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2
6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2 2
14. (n + 3)(n − 6) = n − 3n − 18
3 3 6 3
22. ( x y − 6)(x y + 8) = x y + 2 x y − 48
3 3 3 3 6 6 3 3
7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3 2
8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20 2 15. ( x + 7)( x − 6) = x + x − 42
3 3 6 3
23. (a − 3)(a + 8) = a + 5a − 24
x x 2x x
16. (a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8
4 4 8 4
24. (a − 6)(a − 5) = a
x +1
− 11a + 30 x +1 2 x +2 x +1

76. EJERCICIO 68 20. (x − 2)(x + 5) = x
4 4 8
+ 3x 4 − 10
( )(
21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2 )
( ) 2
1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4
2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6 2
22. (a + b )(a − b ) = a − b
x n x n 2x 2n
3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1 2 23. ( x − 8)( x + 9) = x
a +1
− x − 72 a +1 2a +2 a +1
4. ( x − 1) = x − 2 x + 1 24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15 ( )
2 3
25. 2a + x = 8a 3 + 12a 2 x + 6ax 2 + x 3
6. (m − 3)(m + 3) = m − 9
(x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22
2
2 2 4 2
26.
7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b −1
27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b
2 2
3 4 2 6 3 4 8
8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b
3 2 3
28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180
3 3 6 3
9. (a + 4)(a − 4) = a − 16
2 2 4
29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n
2 2 4 2 2
− m2
10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx
2 2 2 2 2
+ 25x 4
30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77
4 4 8 4
( )(
11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2 )
12. (1 − 4ax )
2
= 1 − 8ax + 16a 2 x 2
( ) 2
31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2
13. (a + 8)(a − 7) = a
2 2 4
+ a 2 − 56
32. (x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48
2 3 2 3 4 6 2 3
33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b
( )( )
2 2 4 2 2 4
14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1
15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a 2
34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 2 4 2
16. (m − 8)(m + 12) = m 2
+ 4m − 96 35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81
2 4
17. (x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3
2 2 4 2
36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25 2 4 2
18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48
3 3 6 3
( )( )( )( )
37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4
19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m
4 2 38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a − 13a 2 + 36
3 6 3 4 8 4
a 2 x + 2 − 100
EJERCICIO 69 14. = a x + 1 + 10
a − 4b
2 2
a x + 1 − 10
7. = a − 2b
a + 2b
1− 9x 2m + 4
1. x − 1 = x − 1
2 m+2
15. 1 + 3x m + 2 = 1− 3x
25 − 36x 4
x +1 8. = 5 + 6x 2
1− x 2
5 − 6x 2
(x + y ) − z = x + y + z 2 2
2. 1− x = 1+ x
9.
4x − 9m n
2
= 2x − 3mn2
2 4 16.
(x + y ) − z
2x + 3mn2
1 − (a + b)
2
x2 − y2
3. x + y = x − y = 1− a − b
1 + (a + b)
36m − 49n x 2 2 4 17.
10. = 6m + 7nx 2
6m − 7nx 2
4 − (m + n)
2
y2 − x2
= y+x 81a 6 − 100b 8 = 2 − m− n
2 + (m + n)
4.
11. 9a 3 + 10b 4 = 9a − 10b 18.
3 4
y−x
x2 − 4 x − (x − y)
2 2
5. x + = x − 2 a 4b6 − 4x 8 y10
12. a 2b 3 + x 4 y 5 = a b + 2x y
2 3 4 5
=y
x + (x − y)
2 19.
2
9 − x4
6. 3 − x 2 = 3 + x
2
x 2n − y 2n
= xn − y n
(a + x) − 9 = a + x − 3
2
13. xn + yn 20.
(a + x) + 3

77. EJERCICIO 70 EJERCICIO 71
1+ a 3
1. 1+ a = 1− a + a
2
x4 − y4 m5 + n 5
1. = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 2. = m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4
x−y m+n
1− a 3
2. 1− a = 1+ a + a
2
a 5 − n5
3. = a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4
a −n
x3 + y 3
3. = x 2 − xy + y 2 x6 − y6
x+y = x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
4.
x+y
8a 3 − 1
4. 2a − 1 = 4a + 2a + 1
2
a6 − b6
5. = a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5
a −b
8x 3 + 27y 3
5. = 4x 2 − 6xy + 9y 2
2x + 3y x7 + y7
6. = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6
x+y
27m3 − 125n3
6. = 9m2 + 15m + 25n2
3m − 5n a 7 − m7
7. = a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6
64a + 343
3 a −m
7. = 16a 2 − 28a + 49
4a + 7 a 8 − b8
8. = a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7
216 − 125y 3 a+b
8. = 36 + 30y + 25y 2
6 − 5y x10 − y10
9. = x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9
1 +a b 3 3 x−y
9. = 1− ab + a 2b 2
1+ ab m9 + n9
10. = m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8
729 − 512b 3 m+n
10. = 81+ 72b + 64b 2
9 − 8b
m9 − n9
11. = m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8
a 3x3 + b3 m−n
11. ax + b = a x − axb + b
2 2 2
a10 − x10
n3 − m3 x 3 12. = a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9
a+x
12. n − mx = n + nmx + m x
2 2 2
1− n5 1− a 6
13. 1− n = 1+ n + n + n + n 14. 1− a = 1+ a + a + a + a + a
2 3 4 2 3 4 5
x 6 − 27y 3
13. x 2 − y = x + 3x y + 9y
4 2 2
3
1+ a 7
15. 1+ a = 1− a + a − a + a − a + a
2 3 4 5 6
8a 9 + y 9
14. 2a 3 + y 3 = 4a − 2a y + y
6 3 3 6
1− m8
1− x12 16. 1+ m = 1− m + m − m + m − m + m − m
2 3 4 5 6 7
15. 1− x 4 = 1+ x + x
4 8
x 4 − 16
27x 6 + 1 17. = x 3 + 2x 2 + 4x + 8
16. 3x 2 + 1 = 9x − 3x + 1
4 2
x−2
x 6 − 64
64a 3 + b9 18. = x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32
17. 4a + b3 = 16a − 4ab + b
2 3 6
x+2
x 7 − 128
a 6 − b6 19. = x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64
18. a 2 − b2 = a + a b + b
4 2 2 4
x−2
125 − 343 x15 a 5 + 243
= 25 + 35x 5 + 49 x10 20. = a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81
19. 5 − 7x 5 a+3
n +1 4 2
6 x 6 − 729
20. n2 + = n − n + 1 21. = x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243
1 x−3

78. 625 − x 4 m8 − 256
22. = 125 − 25x + 5x 2 − x 3 23. = m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128
x+5 m−2
x10 − 1 9 8 x 5 + 243y 5
24. = x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1 25. = x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4
x −1 x + 3y
16a 4 − 81b 4
26. = 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3
2a − 3b
64m6 − 729n6
27. = 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5
2m + 3n
1. 024x10 − 1
28. = 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1
2x − 1
512a 9 + b9
29. = 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8
2a + b
a 6 − 729
30. = a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243
a −3
EJERCICIO 72
m16 − n16
8. m4 − n4 = m + m n + m n + n
12 8 4 4 8 12
x6 + y6
1. x 2 + y 2 = x − x y + y
4 2 2 4
a18 − b18
a 8 − b8 9. = a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15
2. a 2 + b2 = a − a b + a b − b a 3 + b3
6 4 2 2 4 6
x 20 − y 20
m10 − n10 10. = x15 − x10 y 5 + x 5 y10 − y15
3. m2 − n2 = m + m n + m n + m n + n x5 + y 5
8 6 2 4 4 2 6 8
m21 + n21
11. m3 + n3 = m − m n + m n − m n + m n − m n + n
18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18
a12 − b12
4. a 3 + b 3 = a − a b + a b − b
9 6 3 3 6 9
x 24 − 1 18 12 6
a12 − x12 12. x 6 − = x + x + x + 1
5. a 3 − x 3 = a + a x + a x + x
9 6 3 3 6 9
1
a 25 + b 25
13. a 5 + b 5 = a − a b + a b − a b + b
20 15 5 10 10 5 15 20
x15 + y15
6. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + y
12 9 3 6 6 3 9 12
m12 + 1 a 30 − m30
7. m4 + = m − m + 1
8 4
14 a 6 − m6 = a + a m + a m + a m + m
24 18 6 12 12 6 18 24
1
EJERCICIO 73
x4 −1 2 x 6 − 27y 3
1. = x −1 = x 4 + 3x 2 y + 9y 2
1+ x 2 4. x 2 − 3y
8m3 + n6 x 6 − 49y 6
2. 2m + n2 = 4m − 2mn + n
2 2 4
5. = x 3 − 7y 3
x 3 + 7y 3
1 − a5 a14 − b14
3. 1− a = 1+ a + a + a + a
2 3 4
6. = a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12
a2 − b2

79. 1 + a3 64x 6 − 343y 9
7. 1+ a = 1− a + a
2
16. = 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6
4x 2 − 7y 3
16x 2 y 4 − 25m6 a18 − b18
= 4xy 2 − 5m3
17. a 3 + b 3 = a − a b + a b − a b + a b − b
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15
8. 4xy 2 + 5m3
x 27 + y 27
9. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + x y − x y + x y − x y + y
24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24
a 27 + y 27
10. a 9 + y 9 = a − a y + y
18 9 9 18 (a + x) − y
2 2
=a+ x+ y
18.
(a + x) − y
a 4b 4 − 64x 6 1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
11. a 2b2 + x 3 = a b − 8x
2 2 3
8 19. = x − x + x − x + x − x + x − x + x − x +1
x +1
1− a 2b 4 c 8 x 40 − y 40
12. 1− ab 2c 4 = 1+ ab c
2 4
20. = x 32 + x 24 y 8 + x16 y16 + x 8 y 24 + y 32
x8 − y8
32x 5 + 243y 5
13. = 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4
2x + 3y
25 − (a + 1)
2
9 − 36x10
= 4− a = 3 − 6x 5
5 + (a + 1)
14. 21. 3 + 6x 5
1− x12 x 8 − 256 7
= x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128
15. 1− x 4 = 1+ x + x
4 8
22. x−2
EJERCICIO 74 2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1
3 2
3. x − x + 5 ÷ x − 2
4 3
= (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2
3 2
1. x − 2x + 3 ÷ x − 1
2
= 24 − 23 + 5
= 1 − 2 ⋅1+ 3
2
= − 1− 3− 2 − 2 = − 8 = 16 − 8 + 5 = 13
= 1− 2 + 3 = 2 6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3
5. m + m − m + 5 ÷ m − 4
4 3 2 5 4 3 2
= (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2
5 4 3 2
=4 +4 −4 +5
4 3 2
4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3
4 3 2
= 256 + 64 − 16 + 5 = 309 = − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2
= (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6
4 3 2
= − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98
8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1
3 2
= 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6 3 2
 1  1  1
= 81 + 135 + 18 − 6 = 228 = 6  −  +  −  + 3 −  + 5 9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3
3
 2  2  2
 1 1 3 3 1 3 = 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90
7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5
5 3 = 6 −  + − + 5= − + − + 5
 8 4 2 4 4 2 = 12 − 21+ 90 = 81
= 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4 − 3 + 1 − 6 + 20 12
= = = 3
= 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4 4 4 12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3
6 4 2
= 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2  3  3
6
 3
4
 3
2
=  −  +  −  − 8 −  + 4 −  + 1
 2
4
 2
3
 2
2
 2  2  2  2  2
= 5   − 12   + 9   − 22   + 21
 5  5  5  5
10. 15x − 11x + 10 x + 18 ÷ 3x + 2 729 81 9 12
3 2
= + − 8⋅ − + 1
3 2 16 8 4 44 64 16 4 2
 2  2  2 = 5⋅ − 12 ⋅ + 9⋅ − + 21
= 15  −  − 11  −  + 10  −  + 18 625 125 25 5 729 81 729 81
 3  3  3 = + − 18 − 6 + 1 = + − 23
16 96 36 44 64 16 64 16
 8 4 20 = − + − + 21
= 15  −  − 11⋅ − + 18 125 125 25 5 729 + 324 − 1. 472 419
 27  9 3 = = −
80 36 44 64 64
40 44 20 =− + − + 21
=− − − + 18 125 25 5
9 9 3 − 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625
− 40 − 44 − 60 + 162 18 = = = 13
= = =2 125 125
9 9

80. EJERCICIO 75 11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3
1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3
2 6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2 1 −3 4 − 3 −1 0 2 −3
1 −5 0 4 − 48 −2 −3 18 − 66 207 − 618 1. 854
1 −7 5 3
− 2 14 − 28 48 1 −6 22 − 69 206 − 618 1. 856
3 − 12
1 − 7 14 − 24 0 = x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856
1 −4 −7
= n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0
= x − 4 Re s. − 7 12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1
1
2 −3 7 − 5
7. x − 3x + 5 ÷ x − 1
4 2
2. a − 5a + 1÷ a + 2
2
1 −1 3
1 0 0 −3 5 1
1 −5 1 −2 2 −2 6 −2
1 1 1 −2
− 2 14 = x 2 − x + 3 Re s. − 2
1 1 1 −2 3
1 − 7 15
13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2
3 2
= a − 7 Re s. 15 = x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3
2
3 −4 5 6 −
3
8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4 −2 −6
5 4 3 2
4
3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1
3 2
1 1 − 12 − 1 −4 −2 −4 3 −6 9 0
1 −1 2 − 2 −1
− 4 12 0 4 0 = a 2 − 2a + 3 Re s. 0
−1 2 − 4
1 −3 0 −1 0 −2
1 −2 4 −6 14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1
4 3 2
= x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2
1
= x − 2x + 4 Re s. − 6
2
3 −4 4 − 10 8
3
9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2 1 −1 1 −3
4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2
1 0 −3 0 4 −6 2 3 −3 3 −9 5
1 −2 1 −2 2
2 4 2 4 16 = x3 − x2 + x − 3 Re s. 5
2 0 2
1 2 1 2 8 10
1 0 1 0 15
15. x − x + 8 x + x − 1 ÷ 2x + 3
6 4 3 2
= a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10
= x + 1 Re s. 0
2
15 3
1 0 −1 1 0 −1 −
5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3 x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5 8 2
3 9 15 3 9
1 −3 0 −6 −3 1 0 0 − 208 0 2 . 076 5 − − 0 −
2 4 8 2 4
− 3 18 − 54 5 25 125 − 415 − 2 . 075
10. 1 3 5 3 5
1 − 6 18 − 60 5 25 − 83 − 415 1 1 − 0 1 −
2 4 2 4
= a 2 − 6a + 18 Re s. − 60 = x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1 1 5 3 4 5 3 1 3 5
= x − x + x + x− Re s.
2 4 8 2 4 4
EJERCICIO 76
1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3 7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5
Exacta (6 múltiplo de 3)
(− 1) 3
− 2(− 1) + 2(− 1) + 5
2
2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2
3 2
= − 1− 2 − 2 + 5 = 0
Exacta (10 múltiplo de 2)
No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-
3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1 mente al polinomio, por lo que se deduce es
Inexacta (1 no anula el polinomio) un factor de este.
4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3 8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
Inexacta (8 no es múltiplo de 3) 55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10
5. 4x 3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1 = 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0
Exacta (4 múltiplo de 1) Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se
6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1 anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
Inexacta (- 1 no anula el polinomio) x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10

81. 9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3 17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5
4 3 2 − 25 0 30 − 20 5
 3  3  3  3
4  − 7  + 7  − 7  + 3 − 18 − 3 −6
 4  4  4  4 15 0 12
324 189 63 21 Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n − 1; Re s. − 6
4 2
= − + − +3
256 64 16 4
18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5
2
324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768 0
= = =0 35 150
256 256
La variable x del dividendo se reemplaza 7 30 0
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el Sik = − 150 se anula
divisor.
valor de la variable del divisor. Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es 19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2
un divisor exacto de tal polinomio.
2 −2 4
10. 3n + 2 no es factor de 1 −1 2 0
3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es k + 4 = 0 , luegok = − 4
múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio re- 20. 2a
4
+ 25a + k ÷ a + 3
sultará un residuo, por ende la división − 6 18 − 54 87
no será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio. 2 − 6 18 − 29 0
11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2 Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0
− 4 12 − 16
21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1
3 2
2 −6 8 0 −5 3 −8
Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8 20 − 12 32 0
k − 8 = 0 entoces k = 8
12. a
4
− a + 2a + 2 ÷ a + 1
2
−1 1 0 − 2
1 −1 0 2 0
Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2 EJERCICIO 77
13. x 4 + 5x − 6 ÷ x − 1
x5 + 1 a 5 + 32
1 1 1 6 Inexacta Re s. 64
1. x − 1 Inexacta Re s. 2 9. a−2
1 1 1 6 0
a 4 + b4
Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6 2. Inexacta Re s. 2b 4
a+b
14. x
6
− 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6 x 7 − 128
6 36 − 18 48 − 24 30 x8 −1 10. Inexacta Re s. − 256
3. x 2 + Exacta x+2
1 6 −3 8 −4 5 0
1
Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5 a11 + 1
4. a − Inexacta Re s. 2
1
15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4
6 5 4 3 2
16a 4 − 81b 4
4 0 −4 0 4 − 16 a 6 + b6 11. Exacta
5. 2 Inexacta Re s. 2b 6 2a + 3b
1 0 −1 0 1 −4 9 a + b2
Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9 x7 − 1
6. x − Exacta
1 a 3x6 + b9
16. 16x − 24 x + 37x − 24x + 4 ÷ 4x − 1
4 3 2
12. ax 2 + b3 Exacta
4 −5 8 −4 x3 − 8
7. x + 2 Inexacta Re s. − 16
16 − 20 32 − 16 0
Exacta; coc. 4x 3 − 5x 2 + 8x − 4 x 4 − 16
8. Exacta
x+2

82. EJERCICIO 78
1. 5x = 8x − 15 2. 4 x + 1= 2 3. y − 5 = 3y − 25 4. 5x + 6 = 10x + 5 5. 9y − 11= − 10 + 12y
5x − 8x = − 15 4x = 2 − 1 y − 3y = − 25 + 5 5x − 10x = 5 − 6 9y − 12y = − 10 + 11
− 3x = − 15 4x = 1 − 2y = − 20 − 5x = − 1 − 3y = 1
− 15 1 − 20 −1 1
x= x= y= x= y=−
−3 4 −2 −5 3
x=5 y = 10 1
x=
5
6. 21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36 8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14 9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x
− 6x + 8x = 27 − 21 16x = 65x − 36 + 1 11x − 4 = 8 x + 14 − 4 x + 9 = − x − 13
2x = 6 16x − 65x = − 35 11x − 8 x = 14 + 4 − 4x + x = − 13 − 9
6 − 49x = − 35 3x = 18 − 3x = − 22
x=
2 − 35 18 − 22
x= x= x=
x=3 − 49 3 −3
5 x=6 22
x= x=
7 3
10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y 11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x 12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100
11y − 81= 72y + 102 8x + 11= 10x − 3 − x + 68 = 8 − 16x
11y − 72y = 102 + 81 8x − 10x = − 3 − 11 − x + 16 x = 8 − 68
− 61y = 183 − 2x = − 14 15 x = − 60
183 − 14 − 60
y= x= x=
− 61 −2 15
y=−3 x=7 x=−4
13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x 14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172
9x + 14 = − 717x + 256 − 88x = 84 x − 172
9x + 717x = 256 − 14 − 88x − 84x = − 172
726x = 242 − 172x = − 172
242 − 172
x= x=
726 − 172
1 x =1
x=
3
EJERCICIO 79
1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3) 2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6)
x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3 15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3 5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6
− x − 1 = 5 − 3x 15x − 10 = 4 x + 1 x − 1 = 5x + 17
− x + 3x = 5 + 1 15x − 4 x = 10 + 1 x − 5x = 17 + 1
2x = 6 11 − 4 x = 18
x=
6 11 18
x= x=
2 x=1 −4
x=3 9
x= −
2

83. 4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x ) 5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x)
30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x 15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x
26 x − 2 = − 2 x − 14 10 x = − 10x − 20
26 x + 2 x = − 14 + 2 10 x + 10 x = − 20
28x = − 12 20 x = − 20
12 − 20
x=− x=
28 20
3 x= −1
x=−
7
[ ]
6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9) [ ] [
7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3) ]
[ ]
3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9 [ ]
16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3 [ ]
3x + [− 6x − 3] = 3x − 9 [ ]
16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5 [ ]
3x − 6x − 3 = 3x − 9 16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5
− 3x − 3 = 3x − 9 4 x + 6 = 26 x − 5
− x − 1= x − 3 4 x − 26 x = − 5 − 6
− x − x = − 3+ 1 − 22 x = − 11
−2 − 11 1
− 2x = − 2 ⇒ x = =1 x= =
−2 − 22 2
[ {
8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3}]
{ }
9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0
x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3
9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0
x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3
4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0
4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0 [
x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3 ]
12 x − 8 = 0 [ ]
x − 11 − x = − 3
12 x = 8 x − 11 + x = − 3
8 2 x = − 3 + 11
x=
12 8
2 2x = 8⇒ x = =4
2
x=
3 [ ] [
10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3) ]
{ [ ] }
11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5 [ ]
71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3[ ]
− {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5 [ ]
71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7 [ ]
71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7
− {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5
74 − 7 x = 32 + 7 x
− {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5 74 − 32 = 7 x + 7 x
− {− x} = − 5 42 = 14 x
x=−5 42
=x
EJERCICIO 80 14
3= x
1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5 ( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x 3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5)
x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12 5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x 6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x
4 x − 3 = − 8x − 6 37 x + 43 = 5x − 21 − 14 x + 18 = − 8 x
4 x + 8x = − 6 + 3 37 x − 5x = − 21 − 43 − 14 x + 8 x = − 18
12 x = − 3 32 x = − 64 − 6 x = − 18
−3 1 − 64 − 18
x= ⇒ x= − x= ⇒ x= − 2 x= ⇒ x=3
12 4 32 −6

84. 4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6
( )( ) (
10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5 )( )
184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6
2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5
2 2
149 − 14 x = 289 + 6 x
7 x + 5x = − 7 − 5
149 − 289 = 6 x + 14 x
12 x = − 12
− 140 = 20 x
− 12
− 140 x=
=x 12
20
x= −1
− 7= x
5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3(2 x + 5) − 12 11. (x − 2) − (3 − x)
2 2
=1
126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12 x2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1
108 + 23x = − 13x − 36 2x − 5= 1
23x + 13x = − 36 − 108 2x = 6
36 x = − 144 6
x=
− 144 2
x=
36 x=3
x= − 4
( )( )
12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6 ( )( )
( ) ( ) ( ) (
6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0 )
14 − (10 x 2
+ 13x − 3) = 17 − (10 x 2
− 59 x − 6)
3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0
14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6
− 5x + 25 = 0
− 13x − 59 x = 6
− 5x = − 25
− 72 x = 6
− 25
x= 6
−5 x=
− 72
x=5
1
7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0 x= −
12
− 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0
4 x − 20 = 0 13. ( x − 2) 2
+ x ( x − 3) = 3( x + 4)( x − 3) − ( x + 2)( x − 1) + 2
4 x = 20 x − 4 x + 4 + x 2 − 3x = 3 ( x 2 + x − 12) − ( x 2 + x − 2) + 2
2
20 2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2
x=
4
2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4
x=5
− 7 x − 2 x = − 36
8. (3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5) − 9 x = − 36
12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20 − 36
− 25x + 38 x = 20 − 12 x=
−9
13x = 8 x= 4
8
x=
14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0
2 2
13
( )( ) (
9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x )( ) 9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0
− 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21
2 2 − 20x + 4 = 0
41x − 76 x = − 21 + 20 − 20x = − 4
− 35x = − 1 −4
x=
−1 − 20
x=
− 35 x=
1
1 5
x=
35

85. 2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12
2 2
15.
2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12
4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12
− 46 x = − 12 − 34
− 46 x = − 46
− 46
x=
− 46
x=1
7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2
2 2
5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0
2 2 19.
16. 7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2
2 2
5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0 4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6
− 51x − 27 = 0 − 86 x = − 6 − 37
− 51x = 27 − 86 x = − 43
27 − 43
x= x=
− 51 − 86
1
9 x=
x= − 2
17
17. x − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x )
2
x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x
− 5x + 15 = − 4 x + 15
5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2
2
20.
− 5x + 4 x = 0
5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2
− x= 0
x= 0 − x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2
8 x + 13x = − 2 − 47
18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0 21x = − 49
3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0 − 49
x=
45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0 21
21x − 6 = 0 7
x= −
21x = 6 3
6
x=
21
2
x=
7
EJERCICIO 81
[
1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0 ] 2. (3x − 7) 2
[
− 5(2 x + 1)( x − 2) = − x 2 − − (3x + 1) ]
[
14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0 ] 9 x 2 − 42 x + 49 − 5(2 x 2 − 3x − 2) = − x 2 − − 3x − 1 [ ]
9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1
[
11x + 2 − 4 x + 3 = 0 ]
− 27 x + 59 = 3x + 1
11x + 2 − 4 x − 3 = 0
− 27 x − 3x = 1− 59
7 x − 1= 0
7x = 1 − 30 x = − 58
− 58 29
x=
1 x= ⇒ x=
7 − 30 15

86. {
3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1) [ ]} 8. (x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7
6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1 { ]} [ ( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7
2 2
4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1} x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7
4 x − 1 = − {− 3x + 1} 4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57
4 x − 1 = 3x − 1 x + 16 x = − 57 + 6
4 x − 3x = − 1 + 1 17 x = − 51
x=0 − 51
x= ⇒ x= − 3
( ) {
4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2
2 2
( ) ( )} 17
2 x − 3x 2
− 3 = − {3x 2
+ 2 x − 2 − 3x − 6} 9.
(x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3)
3 3
2 x − 3x 2 − 3 = − {3x 2
− x − 8} x 3 + 3x 2 + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x
3 2 2
2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8 x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x
3 2 3 2
2x − x = 8 + 3 6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x
x = 11 2 = − 18 x
2 1
{ [(
5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x
2 2 2
) ( ]} = 0 ) − 18
= x⇒ − = x
9
x 2
− {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0
2 2 2
3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3
2 2
10.
x − {3x + [x + x − 4] } = 0
2 2
3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3
x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0 (3x 2
− 12 x + 12)( x + 5) = (3x 2 + 6 x + 3)( x − 1) + 3
3x + 15x − 12 x 2 − 60 x + 12 x + 60 = 3x 3 − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3
3 2
x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0
3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x
− 4x = − 4 − 48x + 3x = − 60
−4 − 45x = − 60
x=
−4 − 60 4
x= ⇒ x=
− 45
x=1 3
6. 3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2
2
[{ } ]
3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2
2 2
[ ] EJERCICIO 82
− 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x
2 2
[ 2
]
− 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2 1. x → N º mayor
− 5x + 3x = 16 − 15 x − 8 → N º menor
− 2x = 1 x + x − 8 = 106
1 2 x − 8 = 106
x= − 2 x = 106 + 8
2
114
7. (x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1) x=
2
(x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1)
2 2 x = 57 → N º mayor
x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2
3 2 2 3
x − 8 ⇒ 57 − 8
− 7 x − 6 = − 3x − 2
= 49 → N º menor
− 7 x + 3x = − 2 + 6
− 4x = 4
4
x= ⇒ x= −1
−4

87. 2. x → Nº mayor 6. A + B = 1.080 soles 10. 2x → Nº menor
x − 32 → Nº menor A − 1.014 = B 2x + 2 → Nº mayor
x + x − 32 = 540 A + A − 1.014 = 1.080 2x + 2x + 2 = 194
2x = 540 + 32 2A = 1.080 + 1.014 4x = 194 − 2
2x = 572 2 .094
A= x=
192
572 2 4
x= A = 1.047 soles
2 x = 48
x = 286 → Nº mayor 2x ⇒ 2 ⋅ 48
A − 1.014 = B = 96 → Nº menor
x − 32 ⇒ 286 − 32 ⇒ 1.047 − 1.014 = B 2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2
= 254 → Nº menor 33 soles = B = 96 + 2
7. x → Nº mayor = 98 → Nº mayor
3. A + B = 1.154 bs. x − 1→ Nº menor
A − 506 = B x + x − 1= 103
11. x → Nº mayor
A + A − 506 = 1.154 2x = 103 + 1
x − 1→ Nº medio
2A = 1.154 + 506 x=
104
x − 2 → Nº menor
2A = 1.660 2
x = 52 → Nº mayor x + x − 1+ x − 2 = 186
1.660
A= 3x − 3 = 186
2
x − 1⇒ 52 − 1 3x = 189
A = 830 bs.
189
= 51→ Nº menor x=
3
A − 506 = B 8. x → Nº menor
x = 63 → Nº mayor
⇒ 830 − 506 = B x + 1 → Nº medio
x − 1⇒ 63 − 1
324 bs. = B x + 2 → Nº mayor
= 62 → Nº medio
x + x + 1+ x + 2 = 204
x − 2 ⇒ 63 − 2
4. x → Nº mayor 3x + 3 = 204
= 61→ Nº menor
x − 24 → Nº menor 3x = 204 − 3
x + x − 24 = 106 201
x=
2x = 106 + 24 3
130 x = 67 → Nº menor
x=
2
x = 65 x → Nº mayor x + 1⇒ 67 + 1 12. caballo + coche + arreos = 325
= 68 → Nº medio coche + 80 = caballo
x − 24 ⇒ 65 − 24 x + 2 ⇒ 67 + 2 coche − 25 = arreos
= 41→ Nº menor = 69 → Nº mayor coche + 80 + coche + coche − 25 = 325
9. x → Nº 1 x + 1→ Nº 2 3 coches + 55 = 325
5. A + B = 56 años x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4 3 coches = 270
A + 14 = B 270
x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74 coche =
A + A + 14 = 56 3
4x + 6 = 74
2A = 56 − 14 coche = $ 90
4x = 74 − 6
42
A= 68
2 x= coche + 80 = caballo
4
A = 21años ⇒ 90 + 80 = caballo
x = 17 → Nº 1
x + 1⇒ 17 + 1 $ 170 = caballo
A + 14 = B coche − 25 = arreos
= 18 → Nº 2
21+ 14 = B ⇒ 90 − 25 = arreos
x + 2 ⇒ 17 + 2 x + 3 ⇒ 17 + 3
35 años = B $ 65 = arreos
= 19 → Nº 3 = 20 → Nº 4

88. EJERCICIO 83
13. x → Nº mayor
x → 1º 1. x → edad Juan
x − 32 → Nº medio 16.
x − 20 → 2º 3x → edadPedro
x − 65 → Nº menor
x − 20 − 40 → 3º x + 3x = 40
x + x − 32 + x − 65 = 200
⇒ x − 60 → 3º 4 x = 40
3x − 97 = 200
3x = 297 x + x − 20 + x − 60 = 310 x=
40
297 3x = 310 + 80 4
x= 3x = 390 x = 10 → edad Juan
3
3x ⇒ 3 ⋅10
x = 99 → Nº mayor x=
390
= 30 → edadPedro
x − 32 ⇒ 99 − 32 3
x = 130 → 1º
= 67 → Nº medio 2. x → Arreos
x − 65 ⇒ 99 − 65 x − 20 ⇒ 130 − 20 4x → Caballo
= 34 → Nº menor = 110 → 2º x + 4x = 600
x − 60 ⇒ 130 − 60 5x = 600
= 70 → 3º 600
x=
5
14. x → 1º cesto x = $ 120 → Arreos
x − 10 → 2º cesto 4x ⇒ 4 ⋅120
x − 15 → 3º cesto 17. x → mayor
= $ 480 → Caballo
x + x − 10 + x − 15 = 575 x − 20 → menor
x − 18 → medio 3. x → 1º piso
3x − 25 = 575
3x = 600 x + x − 20 + x − 18 = 88 x
→ 2º piso
3x − 38 = 88 2
600
x= 3x = 88 + 38
x
3 x + = 48
2
x = 200 → 1º cesto 3x = 126
2x + x
x − 10 ⇒ 200 − 10 126 = 48
x= 2
= 190 → 2º cesto 3 3x = 48 ⋅ 2
x − 15 ⇒ 200 − 15 x = 42 → mayor
3x = 96
x − 20 ⇒ 42 − 20
= 185 → 3º cesto 96
= 22 → menor x=
3
x − 18 ⇒ 42 − 18 x = 32 Habt. → 1º piso
= 24 → medio x 32
15. x → mayor ⇒
2 2
x − 55 → medio = 16 Habt. → 2º piso
x − 70 → menor
18. x → mayor 4. A + B + C = 300
x + x − 55 + x − 70 = 454
x − 36 → menor B = 2A
3x − 125 = 454
x + x − 36 = 642 C = 3A
3x = 454 + 125
2x − 36 = 642 ⇒ A + 2A + 3A = 300
3x = 579
2x = 642 + 36 6A = 300
579
x= 2x = 678 300
3 A=
x = 193 → mayor 678 6
x=
x − 55 ⇒ 193 − 55 2 A = 50 colones
x = 339 → mayor B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50
= 138 → medio
x − 70 ⇒ 193 − 70 = 100 colones
x − 36 ⇒ 339 − 36 C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50
= 123 → menor
= 303 → menor = 150 colones

89. 5. A + B + C = 133 8. x → 1º parte
13. x → 1º parte
B 4x → 2º parte
A= x
→ 2º parte
2 5x → 3º parte
3
C = 2B x + 4x + 5x = 850 4x
B 10x = 850 → 3º parte
⇒ + B + 2B = 133 3
2 850 x 4x
x= x+ + = 96
B 10 3 3
+ 3B = 133
2 x = 85 → 1º parte 3x + x + 4 x
B + 6B = 96
= 133 4x ⇒ 4 ⋅ 85 3
2 = 340 → 2º parte 8x = 96 ⋅ 3
7B = 133 ⋅ 2 8x = 288
5x ⇒ 5 ⋅ 85
266
B= = 425 → 3º parte x=
288
7 8
B = 38 Sucres x = 36 → 1º parte
A=
B 38
⇒ 9. x → Nº buscado x 36
2 2 ⇒ = 12 → 2º parte
2x = x + 111 3 3
= 19 Sucres 4x 4 ⋅ 36
2x − x = 111
C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38 ⇒ = 4 ⋅12 = 48 → 3º parte
x = 111→ Nº buscado 3 3
= 76 Sucres
14. x → EdadEnrique
6. x → Nº mayor x → edadRosa
10. 2x → EdadPedro
x 3x + 15 → edadMaría
→ Nº menor 3x → Edad Juan
6
x + 3x + 15 = 59
x 6x → EdadEugenio
x + = 147 4x = 59 − 15
6 x + 2x + 3x + 6x = 132
4x = 44
6x + x 12x = 132
= 147 44
6 x= 132
7x = 147 ⋅ 6 4 x=
12
x = 11→ edadRosa
7x = 882 x = 11→ EdadEnrique
3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15
882 2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro
x= = 33 + 15
7 3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan
x = 126 → Nº mayor = 48 → edadMaría
6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio
x 126
⇒
6 6
= 21→ Nº menor 11. x → Nº buscado
8 x = x + 21
EJERCICIO 84
7. A + B + C = 140 8 x − x = 21
A 7 x = 21 x → 1º parte
B = ⇒ 2B = A 1.
2 21 3x → 2º parte
C x=
B = ⇒ 4B = C 7 3x − 40 → 3º parte
4 x = 3 → Nº buscado x + 3x + 3x − 40 = 254
2B + B + 4B = 140
7x = 254 + 40
7B = 140
12. x → Mi edad 7x = 294
140
B= 294
7 3x + 7 = 100 x=
B = 20 Quetz. 3x = 100 − 7 7
x = 42 → 1º parte
A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20 3x = 93
3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte
= 40 Quetz. 93
x= 3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40
C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20 3
x = 31→ Mi edad = 126 − 40 = 86 → 3º parte
= 80 Quetz.

90. 5. x → 1º Número 8. A + B + C = 152
2. A + B + C = 130
x−6 B+8
C = 2A → 2º Número B = 2 A − 8⇒ =A
5 2
B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A x − 6 → 3º Número B − 32 = C
B = 2A + 15 x−6 B+8
A + 2A + 15 + 2A = 130 x+ + x − 6 = 72 + B + B − 32 = 152
5 2
5A = 130 − 15 x 6 B 8
2x + − = 78 + + 2 B = 152 + 32
5A = 115 5 5 2 2
115 10x + x 6 B + 4B
A= = 78 + = 184 − 4
5 5 5 2
A = 23 Balb. 11x 390 + 6 5B = 180 ⋅ 2
=
B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb. 5 5 360
11x = 396 B=
C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb. 5
396 B = $ 72
x=
3. x → 1º Número 11 B + 8 72 + 8 80
x = 36 → 1º Número A= ⇒ = = $ 40
x−8 2 2 2
→ 2º Número
2 x−6 36 − 6 C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40
⇒
x − 18 → 3º Número 5 5
x−8 =
30
= 6 → 2º Número
x+ + x − 18 = 238
2 5
x 8 x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número
2x + − = 256
2 2
4x + x 6. A + B = 99
= 256 + 4 9. x → Nº buscado
2 B = 3A + 19 x − 80 = 220 − 2 x
5x = 260 ⋅ 2 A + 3A + 19 = 99 x + 2x = 220 + 80
520 4A = 99 − 19 3x = 300
x=
5 4A = 80 300
x = 104 → 1º Número 80 x=
A= 3
x − 8 104 − 8 96 4
⇒ = = 48 → 2º Número x = 100 → Nº buscado
2 2 2 A = 20 bs.
x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19
= 60 + 19 = 79 bs.
4. x → Costo traje
x 7. x → cm de azúl 10. x → Tengo ahora
→ Costo sombrero
8 x − 14 2x + 10 = x + 60
→ cm deblanco
x − 30 → Costo bastón 2 2x − x = 60 − 10
x x − 14 x = 50 S /. → Tengo ahora
x + + x − 30 = 259 x+ = 74
8 2
x x 14
2x + = 259 + 30 x+ − = 74
8 2 2 11. x → Parte separada
16x + x 2x + x x + 80 → La otra parte
= 289 = 74 + 7
8 2 x + x + 80 = 910
17x = 289 ⋅ 8 3x = 81⋅ 2 2x = 910 − 80
2 .312 162
x= x= 830
17 3 x=
2
x = $ 136 → Costo traje x = 54 → cmde azúl x = 415 cm
x 136 x − 14 54 − 14 ⇒ 4 ,15 m → Parte separada
⇒ = $ 17 → Costo sombrero ⇒
8 8 2 2
x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm
x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón =
40
= 20 → cmde blanco ⇒ 4 , 95 m → La otra parte
2

91. 12. x → Edad padre 14. x → Nº buscado
x−3 13. A + B + C = 9 . 000 8 x − 60 = 60 − 7 x
→ Edad hijo
3 B + 500 = A 8 x + 7 x = 60 + 60
x−3 B − 800 = C 15 x = 120
x+ = 83
3 B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000 120
x 3 x=
x + − = 83 3B = 9 .000 + 300 15
3 3 9 . 300 x = 8 → Nº buscado
3x + x B=
= 83 + 1 3
3 B = 3 .100 Votos 15. x → Edad hom bre
4x = 84 ⋅ 3 2x − 17 = 100 − x
A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos
252 2x + x = 100 + 17
x= C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos
4 3x = 117
x = 63 → Edad padre 117
x=
x − 3 63 − 3 60 3
⇒ = = 20 → Edad hijo
3 3 3 x = 39 → Edad hom bre
EJERCICIO 85 3. x → Partemayor 6. x → Nº mayor
x − 232 → Partemenor x − 88
→ Nº menor
1. x → Nº mayor x + x − 232 = 1.080 3
2x = 1.080 + 232 x − 88
2x x+ = 540
→ Nº menor 1.312 3
3 x= x 88
2x
2 x+ − = 540
x+ = 100 x = 656 → Partemayor 3 3
3 3x + x 88
x − 232 ⇒ 656 − 232 = 540 +
3x + 2x = 424 → Partemenor
3 3
= 100 4 x 1. 620 + 88
3 =
5x = 100 ⋅ 3 4. A + B = 150 3 3
A − 46 = B 4 x = 1. 708
300
x= A + A − 46 = 150 x=
1.708
5 4
2A = 150 + 46
x = 60 → Nº mayor x = 427 → Nº mayor
196
2x 2 ⋅ 60 A= x − 88 427 − 88
⇒ = 40 → Nº menor 2 ⇒
3 3 A = 98 Soles 3 3
339
B = A − 46 ⇒ 98 − 46 = = 113 → Nº menor
2. x → Edad padre 3
= 52 Soles
x − 15
→ Edad hijo x → Ang. mayor x → N º mayor
2 5. 7.
x + 45 x − 12
x − 15 → Ang. menor → N º menor
x+ = 60 2 4
2
x + 45  x − 12 
x 15 x+ = 180 x−   = 36
x+ − = 60 2  4 
2 2 x 45 x 12
2x + x 15 x+ + = 180 x− + = 36
= 60 + 2 2 4 4
2 2 2x + x 45 4x − x
= 180 − = 36 − 3
3x 120 + 15 2 2 4
= 3x 360 − 45
2 2 = 3x = 33⋅ 4
3x = 135 2 2 3x = 132
3x = 315
135 132
x= 315 x=
3 x= 3
3 x = 44 → N º mayor
x = 45 → Edad padre x = 105 ! → Ang. mayor x − 12 44 − 12
x − 15 45 − 15 x + 45 105 + 45 ⇒ = 8 → N º menor
⇒ = 15 → Edad hijo ⇒ = 75! → Ang. menor 4 4
2 2 2 2

92. 8 x → Costo perro 9. A + B = 84 10. x → Nº Señoritas
x A − 16 = B + 20 x − 15
→ Costo collar → Nº Jovenes
8 ⇒ A − 16 − 20 = B 2
x x − 15
x + = 54 A − 36 = B x+ = 60
8 2
A + A − 36 = 84
8x + x x 15
= 54 2A = 84 + 36 x + = 60 +
8 2 2
9x = 54 ⋅ 8 120
A= 2 x + x 120 + 15
2 =
9x = 432 2 2
A = $ 60
432 3x = 135
x= B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24
9 135
x=
x = $ 48 → Costo perro 3
x 48 x = 45 → Nº Señoritas
⇒ = $ 6 → Costo collar 12. x → Nº mayor
8 8 x − 15 45 − 15
⇒ = 15 → Nº jovenes
x + 150 2 2
→ Nº menor
3
x → Parte mayor x → Esti log ráfica
11. x + 150 13.
x + 16 x+ = 506 x − 10 → Lapicero
→ Parte menor 3
3 x + x − 10 = 18
x + 16 x 150
x+ = 160 x + = 506 − 2x = 28
3 3 3
28
x 16 3x + x 1.518 − 150 x=
x + = 160 − = 2
3 3 3 3 x = 14 bs. → Esti log ráfica
3x + x 480 − 16 4x = 1.368
= x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero
3 3
1. 368
4x = 464 x=
4
464 14. x → Parte roja
x= x = 342 → Nº mayor
4 x + 4 → Parte negra
x = 116 → Parte mayor x + 150 342 + 150
⇒ x + x + 4 = 84
x + 16 116 + 16 3 3
⇒ 2x = 80
3 3 492
= = 164 → Nº menor x = 40 cm → Parte roja
132 3
= = 44 → Parte menor x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra
3
EJERCICIO 86 3. 2x → Tiene A 5. x → Nº var ones
x → TieneB x
→ Nº Srtas
1. 2 x → Edad actual A 2x − 30 = x − 5 3
x → Edad actual B 2x − x = 30 − 5 x
+ 14 = x − 10
2 x − 10 = 3 ( x − 10) x = $ 25 → TieneB 3
x
2 x − 10 = 3x − 30 2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A − x = − 10 − 14
3
2 x − 3x = − 30 + 10 x
4. → Tiene A x − 3x
− x = − 20 2 = − 24
x → Tiene B 3
x = 20 → Edad actual B − 2x = − 72
+ 66 = 2 ( x − 90)
x
2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A 2 x = 36 → Nº var ones
x + 132
= 2 ( x − 90) x 36
⇒ = 12 → Nº Srtas
2. 2
3x → Edad A 3 3
x + 132 = 4 (x − 90)
x → Edad B x + 132 = 4 x − 360 6. 3x → Edad padre
3x + 5 = 2 ( x + 5) − 3x = − 492 x → Edad hijo
3x + 5 = 2 x + 10 − 492
x= 3x − 5 = 2 ( x + 10)
−3
3x − 2 x = 10 − 5 3x − 5 = 2 x + 20
x = 164 colones → Tiene B
x = 5 → Edad B x = 25→ Edad hijo
x 164
3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A ⇒ = 82 → colones Tiene A 3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre
2 2

93. 8. 5x → Tiene Enrique 9. x → Bolsa 1
7. x → Nº mayor x → Tiene suhno. x − 400 → Bolsa 2
2x − 56 → Nº menor 5x − 0 ,5 = x + 0 , 5 x + x − 400 = 1. 400
x + 2x − 56 = 85 5x − x = 0 , 5 + 0 , 5 2x = 1. 800
3x = 141 4x = 1 x = 900 S /. → Bolsa 1
141 1 x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2
x= x=
3 4
x = 47 → Nº mayor x = $ 0 , 25 → Tiene suhno
2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56 5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25 12. 3x → Edad actual Juan
= 94 − 56 = 38 → Nº menor = $ 1, 25 → Tiene Enrique x → Edad actual hijo
3x + 22 = 2 ( x + 22)
11. 2 x → Edad act . padre 3x = 2 x + 44 − 22
10. 4x → Días Trab.Pedro x → Edad act . hijo
x = 22 → Edad actual hijo
x → Días Trab.Enrique 2 x − 14 = 3( x − 14) 3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan
4x − 15 = x + 21 2 x − 14 = 3x − 42
13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B
4x − x = 21+ 15 2 x − 3x = − 42 + 14 A + 80 = 3 ( B + 4)
3x = 36 − x = − 28 ⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12
x=
36 x = 28 → Edad act . hijo − B − 3B = 12 − 164
3 Edades hace 14 años : − 4 B = − 152
x = 12 → Días Trab.Enrique 2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14 − 152
B=
4x ⇒ 4 ⋅12 = 42 años → padre −4
= 48 → Días Trab.Pedro x − 14 ⇒ 28 − 14
B = $ 38
A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46
= 14 años → hijo
EJERCICIO 87
1. 2x → Nº Sombreros 3. 16 − x → Pr ob. reslt . 5. 35 − x → Trajes de 30 Q
x → Nº trajes x → Pr ob. no reslt . x → Trajes de 25 Q
4x + 50x = 702 12 (16 − x) − 5x = 73 30 (35 − x ) + 25x = 1.015
54x = 702 192 − 12 x − 5x = 73 1. 050 − 30 x + 25x = 1.015
x=
702 − 17 x = 73 − 192 − 5x = 1.015 − 1.050
54 − 119 − 35
x = 13 → Nº trajes x= x=
− 17 −5
2x ⇒ 2 ⋅13 x = 7 → Trajes de 25 Q
x = 7 → Pr ob. no reslt .
= 26 → Nº Sombreros 35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q
16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt .
6. x → Traje Cal.
2. x → Cab. x − 7 → Traje inf.
4. 50 − x → Días trab.
x − 6 → Vacas 32 x + 18 ( x − 7) = 1.624
x → Días no trab.
600x + 800 ( x − 6) = 40 .000 32 x + 18x − 126 = 1. 624
3(50 − x) − 2 x = 90
600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000 50x = 1.750
150 − 3x − 2 x = 90
1. 400x = 44 .800 1.750
− 5x = − 60 x=
44 .800 50
x= − 60 x = 35balb. → Traje Cal.
1. 400 x=
−5 x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.
x = 32 → Cab.
x = 12 → Días no trab.
x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas
50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab.

94. 8. 3 x + 5 → Sac. Frij. 9. 80 − x → Cedro 10. 1. 050 − x → P. mayor
x → Sac. azúc. x → Caoba x → P. menor
7. 3x → N º Lápices
x → N º cuad . 6 (3 x + 5) + 5 x = 582 0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825
3
0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47 18 x + 30 + 5x = 582 60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 40 .150 − 3x − 2 x = 1.825
3
0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47 23 x = 552 0 ,15x = 8 , 40 − 5x = 1.825 − 3.150
0 , 21x = 1, 47 552 8 , 40 − 5x = − 1. 325
x= x= − 1. 325
1 , 47 23 0 , 15 x=
x= x = 24 −5
0 , 21 x = 56
x=7 ⇒ 24 → Sac. azúc. x = 265
⇒ 56 pies → Caoba
3
⇒ 7 → N º cuad . 3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5 ⇒ 265 → P. menor
80 − x ⇒ 80 − 56
= 77 → Sac. Frij. 1. 050 − x ⇒ 1. 050 − 265
3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices = 24 pies3 → Cedro
= 785 → P. mayor
EJERCICI0 88
4. x → Costo casa
7. x → Gasté
x → 1º x x
1. = + 2 . 000 85 − x = 4x
2x → 2º 4 6
85 = 5x
x x + 12 . 000
x + 2x − 20 → 3º = 85
4 6 =x
⇒ 3x − 20 → 3º 5
6x = 4x + 48 . 000
x + 2x + 3x − 20 = 196 17 = x
2x = 48 . 000
6x = 196 + 20 ⇒ $ 17 → Gasté
48 .000
216 x=
x= 2
6 x = 24 . 000bs. → Costo casa
x = 36 → 1º
x → Nº mayor x → Edad act . B
2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º 5. 8.
2 ( x − 12) → Edad A hace 12 años
2 x − 156
3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20 → Nº menor
3
= 108 − 20 = 88 → 3º 2 x − 156 2 ( x − 12) + 24 + 68 = 3 ( x + 12)
x+ = 108
3 2 x − 24 + 92 = 3x + 36
2x 156
x+ = 108 + 2 x − 3x = 36 − 68
2. 3x → Edad A 3 3
x → Edad B 3x + 2x 324 + 156 − x = − 32
=
x = 32 → Edad act . B
3x − 5 = 4 ( x − 5)
3 3
5x = 480 Edad actual de A :
3x − 5 = 4 x − 20
2 ( x − 12) + 12 ⇒ 2 (32 − 12) + 12
480
x=
3x − 4 x = − 20 + 5 5
x = 96 → Nº mayor = 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años
− x = − 15
2 x − 156 2 ⋅ 96 − 156
x = 15 → Edad B ⇒
3 3
3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A 36
= = 12 → Nº menor
3
9. x → mon. 10 cts.
3. x → Par zap. 22 − x → mon. 5 cts.
6. x → Ancho
2 x + 50 → Traje
461− 11= 9x 0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85
50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000 0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85
450 = 9x
100 x + 2.500 + 35x = 16 .000 450 0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10
135x = 16 .000 − 2. 500 =x
9 0 , 05x = 0 , 75
13. 500 50 = x 0 , 75
x= x=
135 ⇒ 50 pies → Ancho 0 , 05
x = 100 soles → Par zap.
x = 15 → mon.10 cts.
2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje
22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.

95. x → Parte hijo x → Lunes
10. x → N º buscado 15. 19.
x + 2 . 000 → Parte hijas 2 x → Martes
12 ( x − 24) = 24 ( x − 27) 3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500 4 x → Miercoles
12 x − 288 = 24 x − 648 3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500 8 x → Jueves
12 x − 24 x = − 648 + 288 5x = 12 . 500 8 x − 30 → Viernes
− 12 x = − 360 12 .500 8 x − 20 → Sábado
x=
x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911
− 360 5
x= x = 2 .500 31x − 50 = 911
− 12
⇒ 2 .500 colones → Parte hijo 31x = 911 + 50
x = 30 → N º buscado x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500 961
x=
11. x → c / cab. ⇒ 4 .500 colones → Parte hijas 31
x = $ 31→ Lunes
35x = 40 ( x − 10)
x → N º mayor
16.
x − 1→ N º menor 2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes
35x = 40 x − 400 4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles
− 5x = − 400
( )
2
x − x − 1 = 31
2
8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves
x − x + 2 x − 1 = 31
2 2
− 400 8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes
x= 2 x = 32
−5 8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado
x = 16 → N º mayor
x = $ 80 → c / cab.
x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor 20. x → Nº 1
12. x → Nº buscado 17. 3x → Edad A x − 18 → Nº 2
3x − 55 = 233 − x x → Edad B x + x − 18 = 3 ⋅18
3x + x = 233 + 55 x
→ Edad C 2x = 54 + 18
5
4x = 288 72
x − 12 → Edad C x=
288 2
x= Luego :
4 x x = 36 → Nº 1
x = 72 → Nº buscado = x − 12
5 x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2
x → N º menor x = 5 ( x − 12) x → Tiene A
13. 21.
x = 5x − 60
x + 1→ N º medio 3( x − 16) → Tiene B
− 4 x = − 60
x + 2 → N º mayor
x = 15 → Edad B x + 3 ( x − 16) = 36
2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740 3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A x + 3x − 48 = 36
2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740 x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C 4 x = 84
9 x = 740 − 11 18. x → Edad act . A 84
729 x+5 x=
x= 4
→ Edad B en 5 años
9 3 x = $ 21→ Tiene A
x = 81 x + 20
→ Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16)
⇒ 81 → N º menor 2
= 3⋅ 5 = $15 → Tiene B
x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio Luego :
x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor x+5 x + 20 22. 3x → Tiene A
+ 15 =
3 2 x → Tiene B
14. x → A caballo x + 5 + 45 x + 20
= x
→ Tiene C
3x → Enauto 3 2 2
x − 20 → A pie 2 ( x + 50) = 3( x + 20) x 
x + 3x + x − 20 = 150 3x − 1 − ( x − 3) = 2  + 20
2 x + 100 = 3x + 60 2 
5x = 150 + 20 − x = − 40 3x − 1 − x + 3 = x + 40
170 x = 40 → Edad act . A
x= 2 x − x = 40 − 2
5 Edad actual de B : x = 38 → Tiene B
x = 34 Km → A caballo
x + 20 40 + 20 3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A
3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto − 20 ⇒ − 20
2 2 x 38
x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie = 30 − 20 = 10 años ⇒ = $19 → Tiene C
2 2

96. 23. x → Costo tienda 27. 4 x → Cab. 30. 2 x → L arg o
x x x → Vacas x → Ancho
− 800 =
5
x − 4 . 000 x
7
4 x + 5 = 3 (x + 5) (2 x − 6)(x + 4) = 2 x 2
=
5 7 4 x + 5 = 3x + 15 2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2
7 x − 28 .000 = 5 x x = 10 → Vacas 2 x = 24
2 x = 28 .000
4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab. x = 12 m → Ancho
x = 14 . 000
2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o
⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda
28 x → Lunes
24. x → Cab. peor 31. 3x → Padre hace 5 años
x + 6 → Martes
2 ( x + 15) → Cab. mejor x → Hijo hace 5 años
x + 12 → Miercoles
x + 2 ( x + 15) = 120
x + 18 → Jueves 3x + 10 = 2 ( x + 10)
x + 2 x + 30 = 120 3x + 10 = 2 x + 20
4x → Jueves
3x = 90 x = 10 años
x + 18 = 4x
x = $ 30 → Cab. peor
− 3x = − 18 Edad actual Padre :
2 ( x + 15) = 2 (30 + 15)
x = $ 6 → Lunes 3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años
= 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor
x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes Edad actual Hijo :
25. x → queda A
3x → queda B x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años
x + 3x = 160 4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves 32. 3x → Edad A en 4 años
4x = 160
x → Edad B en 4 años
x = 40
29. x → Tenía ppio. 3x − 6 = 5 ( x − 6)
2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0
Como A tenía 80 Q.
⇒ lo que perdío A 3x − 6 = 5x − 30
= 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q. 2 x − 440 + 4 x − 100 = 0 − 2 x = − 24
26. 2 x → Emp. A 6 x = 540 x = 12 años
x → Emp. B 540 Edad Actual A :
x=
2 (2 x − 400) = x + 400 6 3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años
4 x − 800 = x + 400 x = 90
Edad Actual B :
3x = 1. 200 ⇒ 90 soles → Tenía ppio.
x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años
x = $ 400 → Emp. B
2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A
EJERCICIO 89
20. 2a x + 2ax − 3ax
2 2
1. a + ab = a a + b
2
( ) 11. 9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 (a 2 − 2 x ) = ax (2a + 2 x − 3)
( )
2. b + b 2 = b 1 + b 12. 15c d + 60c d = 15c d
3 2 2 3 2 2
(c + 4d ) 21. x 3 + x 5 − x 7 = x 3 (1 + x 2 − x 4 )
3. x + x = x ( x + 1)
2 13. 35m2 n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m)
22. 14 x 2 y 2 − 28 x 3 + 56 x 4
4. 3a − a = a (3a − 1)
3 2 2
14. abc + abc2 = abc 1 + c ( ) = 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )
5. x − 4 x = x (1 − 4 x )
3 4 3
(2a − 3xy )
15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 2 2
23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2
6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m) = 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )
16. a + a + a = a (a + a + 1)
2 3 2
3 2 2
7. ab − bc = b (a − c)
17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1)
2 2 24. 96 − 48mn 2 + 144n 3
8. x y + x z = x ( y + z)
2 2 2
= 48 (2 − mn 2 + 3n 3 )
18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1)
3 2 2
9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x )
2 2
25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2
10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x ) = a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )
2 3 2 2 2 2

97. 26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3 34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4
= 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 ) = 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 )
27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x
35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2
= 31a x (3axy − 2 x y − 4)
2 2 2
= 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c)
x − x + x − x = x (1 − x + x − x ) x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x (x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)
2 3 4 2 3
28.
36.
29. a − 3a + 8a − 4a = a (a − 3a + 8a − 4)
6 4 3 2 2 4 2
37. a − 2a + 3a − 4a + 6a
2 3 4 5 6
30. 25x − 10 x + 15x − 5x
= a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 )
7 5 3 2
= 5x (5x − 2 x + 3x − 1)
2 5 3
38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m
x − x + 2 x − 3x = x ( x − x + 2 x − 3)
15 12 9 6 6 9 6 3
= ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm)
31.
32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3
39. a − a + a − a + a − a
20 16 12 8 4 2
= 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 )
= a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1)
33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3
= 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 )
EJERCICIO 90
1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b) 19. (x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4)
2 2
( ) ( ) ( )( )
2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3 ( ) ( )( ) ( )(
20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1 ) ( )
3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y )
21. 5x (a 2 + 1) + (x + 1) (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(6x + 1)
4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n)
22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b )
5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y )
= (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b )
6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1)
7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1)
( )( ) (
23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2 )( ) ( )
24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n)
8. a 2 + 1− b (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(1 − b)
= ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n)
( ) ) ( )((
9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y )
25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x
10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a )
11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1) 26. (a + b − 1)(a + 1) − a
2 2
− 1 = (a 2 + 1)(a + b − 2)
12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1) 27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3)
13. a (a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b
3 2 3 2
) = ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a
14. 4m (a 2 + x − 1) + 3n ( x − 1 + a 2 ) = (a 2 + x − 1)(4m + 3n) ( ) ( ) () ( )(
28. 3x x − 1 − 2 y x − 1 + z x − 1 = x − 1 3x − 2 y + z )
29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1)
15. x (2a + b + c) − 2a − b − c
= x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1) 30. x (a + 2) − a − 2 + 3 (a + 2) = (a + 2)(x + 2)
16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3) 31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4)
17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y )
( )( ) (
32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2 ) ( )( )
18. (a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1) = (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2)

98. EJERCICIO 91
17. n x − 5a y − n y + 5a x
2 2 2 2 2 2
9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby
2 2 2 2
1. a 2 + ab + ax + bx = (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 ) = (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x )
= (a 2 + ab) + (ax + bx ) = 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 ) = n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x )
= a (a + b) + x (a + b) = (x 2 + y 2 )(3ab − 2) = n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 )
= (a + b)(a + x ) = ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 )
10. 3a − b + 2b x − 6ax
2 2
2. am − bm + an − bn = (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x) 18. 1 + a + 3ab + 3b
= (am − bm) + (an − bn) = (1 + a ) + (3ab + 3b)
= 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )
= m (a − b) + n (a − b) = (1 + a ) + 3b (a + 1)
= (1 − 2 x )(3a − b 2 )
= (a − b)(m + n) = (1 + a )(3b + 1)
11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx
3 2
3. ax − 2bx − 2ay + 4by 19. 4am − 12amn − m + 3n
3 2
= (ax − 2bx ) − (2ay − 4by ) = (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx )
= (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n)
= x (a − 2b) − 2 y (a − 2b) = 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax )
= 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n)
= (a − 2b)( x − 2 y ) = 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b)
= (m2 − 3n)(4am − 1)
= (ax − b)(4a 2 − 3m)
4. a x − 3bx + a y − 3by
2 2 2 2 2 2
20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay
= (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 ) 12. 6ax + 3a + 1 + 2 x
= (20ax + 8ay) − (5bx + 2by )
= (6ax + 3a ) + (1 + 2 x )
= x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b) = 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y)
= 3a (2 x + 1) + (2 x + 1)
= (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 ) = (5x + 2 y )(4a − b)
= (2 x + 1) (3a + 1)
5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4 21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab
13. 3x − 9ax − x + 3a
3 2
= (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 ) = (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab)
= (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a )
= 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 ) = (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3)
= x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1)
= (1 + x 4 )(3m − 2n) = (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 )
= (3x 2 − 1)( x − 3a )
= (3 − x 2 )(1 − 2ab)
6. x − a + x − a x
2 2 2
14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx
2 2
= − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x ) = (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx)
22. a + a + a + 1
3 2
= − a 2 (1 + x) + x ( x + 1) = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
= a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x )
= ( x + 1)( x − a 2 ) = a 2 (a + 1) + (a + 1)
= a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y )
= (a 2 + 1)(a + 1)
7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a = (2 x − 5 y )(a 2 − 3b)
= (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 ) 15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3
23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2
= (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 )
= 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 ) = (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 )
= 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a )
= (a 2 + 1)(4a − 1) = xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 )
= (a + x )(3a − 7b 2 )
= (2 x + y 2 )( xy + z 2 )
8. x + x − xy − y
2 2 2
24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1
= ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 ) 16. 6m − 9n + 21nx − 14mx
= (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1)
= (6m − 14mx ) − (9n − 21nx )
= x (1 + x ) − y 2 ( x + 1)
= 2a (m − n + 1) − (m − n + 1)
= 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x )
= ( x + 1)( x − y 2 ) = (2a − 1)(m − n + 1)
= (3 − 7 x )(2m − 3n)

99. 25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b 28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2
= (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b) = − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 )
= 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2)
= − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 )
= ( x + y − 2)(3a − 2b )
= (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 )
26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2 29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y
= (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) = (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 )
= a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 )
= (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 )
= (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 )
27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b
3 2 2 2 2
30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
= (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b
3 2 2 2 2
) = (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x)
= 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b
2 2 2 2
) = a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x )
= (3a − 1)(a − ab + 3b 2 2
) = (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x)
EJERCICIO 92 n2 n 
2
17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4 28. + 2mn + 9m2 =  + 3m
3 
1. a 2 − 2ab + b2 = a − b ( ) 2 9
= (7m3 − 5an2 )
2
2. a 2
+ 2ab + b = (a + b) 2 2 ) ( )
29. a + 2a a + b + a + b
2
( 2
18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12
= (a + a + b) = (2a + b)
2 2
− 2 x + 1 = ( x − 1)
2
3. x 2
= (10 x − 3a y )4 6 2
30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a)
5
2
y + 2 y + 1 = ( y + 1)
4 2 2 2
19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 )
4.
= (2 − 1 + a ) = (1 + a)
2 2 2
5. a 2 − 10a + 25 = a − 5 ( ) 2
31. 4m − 4m (n − m) + (n − m)
20. a − 24am x + 144m x
2 2 2 4 4
2 2
6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x ( ) 2
= (a − 12m2 x 2 ) = (2m − n + m) = (3m − n)
2
2 2
16 + 40 x + 25x = (4 + 5x
2 4 2 2
) 21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9
7. 2 4 2 2 2
8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a 2
( ) 2
22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1) = (m − n + 3)
2 2
9. 36 + 12m2 + m4 = (6 + m 2 2
) 33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y )
2 2 2
a 
2
a
− ab + b =  − b
1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a )
2
23.
10. 3 2 4 2  = (a + x − x − y ) = (a − y )
2 2
a 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9)
2
2b b2  b 
34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m)
2 2 2
11. 24. 1 + + =  1+ 
3 9  3
= (m + n − a + m) = (2m + n − a)
a 6 − 2a 3b3 + b6 = (a 3 − b3 )
2 2
2
2
12. b4  2 b2 
25. a − a b + = a −  ( ) ( )( ) ( )
4 2 2 2 2
35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1
13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y ( ) 2 4  2
= (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3)
2 2
9b − 30a b + 25a = (3b − 5a )
2
2 2 4 2 2 1 x 2 25x 4  1 5x 2 
14. − + = − 
36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y )
26.
36  5 6 
2 2
25 3
1 + 14 x y + 49 x y = (1 + 7 x y)
2
= (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y )
2 4 2 2
15. 2 2 2
y4  3 y2 
27. 16 x − 2 x y + =  4x − 
6 3 2
16. 1 − 2a + a = (1 − a
5 10 5 2
) 16  4

100. EJERCICIO 93
x 2 y 2 z 4  x yz 2   x yz 2 
(
1. x 2 − y 2 = x + y x − y )( ) 27. − = +  −
100 81  10 9   10 9 

( )( )
2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1
x 6 4a 10  x 3 2a 5   x 3 2a 5 
( )( )
3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2 28. − = +   −
49 121  7 11   7 11 

4. 9 − b = (3 + b )(3 − b)
2
1 8  1  1 
5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m) 29. 100m n − x =  10mn 2 + x 4   10mn 2 − x 4 
2 4
2
16  4  4 
6. 16 − n = (4 + n)(4 − n)
(a + b n )(a n − b n )
2
30. a 2n − b 2n = n
7. a − 25 = (a + 5)(a − 5)
2
1  n 1   n 1
8. 1 − y = (1 + y )(1 − y )
2
31. 4 x −
2n
=  2x +   2x − 
9  3  3
9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3)
2
a 4 n − 225b 4 = (a 2 n + 15b 2 )(a 2 n − 15b 2 )
25 − 36 x 4 = (5 + 6 x 2 )(5 − 6 x 2 )
32.
10.
y 2 n  3m y n   3m y n 
11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab( )( ) 33. 16 x
6m
− =  4x +   4x − 
49  7 7
12. 4 x 2 − 81y 4 = (2 x + 9 y 2 )(2 x − 9 y 2 )
b12 x  5n b 6 x   5n b 6 x 
a 2b8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c) 34. 49a − =  7a +   7a − 
10 n
13.
81  9   9 
14. 100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) 1  n 2 n 1  n 2 n 1
35. a b − = a b +  a b − 
2n 4n
15. a − 49b = (a + 7b
10 12 5 6
)(a − 7b )
5 6 25  5  5
16. 25x y − 121 = (5xy
2 4 2
+ 11 )(5xy − 11) 2
36.
1  1   1 
− x 2n =  + x n   − x n 
100  10   10 
17. 100m2 n 4 − 169 y 6
= (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 )
18. a 2 m4 n 6 − 144 = (am2 n 3 + 12)(am2 n 3 − 12) EJERCICIO 94
19. 196 x 2 y 4 − 225z12
= (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 )
( )
2
1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a ( ) )(
20. 256a12 − 289b 4 m10
2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a)
2
= (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 )
3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n )
2
21.1 − 9a b c d = (1 + 3ab c d
2 4 6 8 2 3 4
)(1− 3ab c d )
2 3 4
4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4)
2
22. 361x14 − 1 = (19 x 7 + 1)(19 x 7 − 1) 5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z)
2 2
1 1 1  6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1)
2
23. − 9a 2 =  + 3a  − 3a
4 2 2 
7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y )
2
a2  a  a 
24. 1 − = 1+  1− 
25  5   5  8. ( x + 2a ) − 4 x 2
2
1 4x  1 2x   1 2x  = ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x )
2
25. − = +   − 
16 49  4 7   4 7 
( ) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d )
9. a + b − c + d
2 2
a2 x6  a x3   a x3 
− = +  −  10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d )
2 2
26.
36 25  6 5   6 5 

101. 11. ( x + 1) − 16 x 2 25. (2a + b − c) − (a + b)
2 2 2
= ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x) = (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b)
= (3a + 2b − c)(a − c)
12. 64m2 − (m − 2n)
2
= (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n) ( ) ( 2
26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z )( )
( ) ( ) ( )( ) − ( y − x ) = (x + y − x )( x − y + x ) = ( y )(2 x − y )
2 2 2
13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y 27. x 2
14. (2a − c) − (a + c) 28. (2 x + 3) − (5x − 1)
2 2
2 2
= (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c) = (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x )
15. ( x + 1) − 4 x 29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x )
2 2
2 2
= ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x ) = ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x )
= (3x ) (2 z − 2 y − x )
16. 36 x 2 − (a + 3x )
2
= (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a )
30. (2 x + 1) − ( x + 4)
2 2
a 6 − (a − 1) = (a 3 + a − 1)(a 3 − a + 1) = (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3)
2
17.
18. (a − 1) − (m − 2) 31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1)
2 2 2 2
= (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1) = (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1)
= (2a + 3x )( x + 2)
19. (2 x − 3) − (x − 5)
2 2
= (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2) ( ) 2
(
32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y )( )
( ) ( )( ) 33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y )
2 2 2
20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x
= (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y )
21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9)
2
= (7 x − 3 y )(3x − 7 y )
m6 − (m2 − 1) = (m3 + m2 − 1)(m3 − m2 + 1)
2
22.
34. 36 (m + n) − 121(m − n)
2 2
16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3)
2
= (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n)
10 2 5 2 5 2
23.
( ) (
2
24. x − y − c + d ) = (x − y + c + d )(x − y − c − d )
2
= (17m − 5n)(17n − 5m)
EJERCICIO 95
10. 4 x + 25 y − 36 + 20 xy
2 2
7. a + 4 − 4a − 9b
2 2
4. a − 2a + 1− b
2 2
1. a + 2ab + b − x
2 2 2
= (a − 2) − 9b 2 = (2 x + 5 y ) − 36
2
= (a − 1) − b 2
2
= (a + b ) − x 2
2
2
= (a + 3b − 2)(a − 3b − 2) = (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6)
= (a + b + x )(a + b − x ) = (a − 1 + b)(a − 1 − b)
8. x + 4 y − 4 xy − 1
2 2 11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax
5. n + 6n + 9 − c
2 2
2. x − 2 xy + y − m
2 2 2
= (x − 2 y ) − 1 = (3x − 4a ) − 1
2
= (n + 3) − c2
2
= (x − y) − m
2
2 2
= ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1) = (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1)
= ( x − y + m)( x − y − m) = (n + 3 + c)(n + 3 − c)
12. 1 + 64a b − x − 16ab
2 2 4
9. a − 6ay + 9 y − 4 x
2 2 2
6. a + x + 2ax − 4
2 2
3. m + 2mn + n − 1
2 2
= (a + x ) − 4 = (a − 3 y ) − 4 x 2 = (8ab − 1) − x 4
2 2
2
= (m + n) − 1
2
= (a + x + 2)(a + x − 2) = (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x) = (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )
= (m + n + 1)(m + n − 1)

102. 21. 9 x − a − 4m + 4am 30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab
2 2 2 2 2 2 2
13. a − b − 2bc − c
2 2 2
= 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 ) = (9 x − 12 xy + 4 y ) − (a + 10ab + 25b 2 )
2 2 2
= a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 )
= 9 x 2 − (a − 2m) = (3x − 2 y ) − (a + 5b)
2 2 2
= a 2 − (b + c)
2
= (3x + a − 2m)(3x − a + 2m) = (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b)
= (a + b + c)(a − b − c)
31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x
2 2 2
22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b
2 2 2 2
14. 1 − a + 2ax − x = (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9)
2 2
= 16x 2 y 2 − (4a 2 − 12ab + 9b 2 )
= 1 − (a − 2ax + x
2 2
) = (a + m) − ( x + 3)
2 2
= 16x 2 y 2 − (2a − 3b)
2
= 1 − (a − x ) = (a + m + x + 3)(a + m − x − 3)
2
= (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b)
= (1 + a − x)(1 − a + x ) 32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b
2 4 2 2
23. − a + 25m − 1 − 2a
2 2
= ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 )
15. m − x − 2 xy − y = 25m2 − (a 2 + 2a + 1)
2 2 2
= m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = ( x + 1) − (b − 3a 2 )
2 2
= 25m2 − (a + 1)
2
= m2 − ( x + y) = ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 )
2
= (5m + a + 1)(5m − a − 1)
= (m + x + y)(m − x − y ) 33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m
2 2 2
24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy
4 2 2
= (16a 2 − 24ax + 9 x 2 ) − (25m2 + 10m + 1)
16. c − a + 2a − 1 = 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 )
2 2
= (4a − 3x) − (5m + 1)
2 2
= c2 − (a 2 − 2a + 1)
= 49 x 4 − (5x − 3 y )
2
= (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1)
= c2 − (a − 1) = (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y )
2
34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m
2 2 2 2
= (c + a − 1)(c − a + 1)
25. a − 2ab + b − c − 2cd − d = − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100)
2 2 2 2
2 2 2
= (a − b) − (c + d ) = (3m − 10) − (a − cd )
2 2
17. 9 − n − 25 − 10n
2 2 2
= 9 − (n + 10n + 25)
2
= (a − b + c + d )(a − b − c − d ) = (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd )
= 9 − (n + 5)
2
26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n
2 2 2 2
35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab
2 2 2 2
= (3 + n + 5)(3 − n − 5) = ( x + y) − (m − n) = (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
2 2
= − (n + 8)(n + 2) = ( x + y + m − n)( x + y − m + n) = (2a − 7b) − (3x + 5 y )
2 2
27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a
2 2 2 2
= (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y )
18. 4a − x + 4 x − 4
2 2
= (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a ) 36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c
2 2 2 2 2 2 2
= 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4)
= (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 )
= (a + 2b) − ( x + a )
2 2
= 4a 2 − ( x − 2)
2
= (15a + 1) − (13b − c)
= (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a)
2
= (2a + x − 2)(2a − x + 2) = (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c)
= (2a + 2b + x )(2b − x )
37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y
2 2
19. 1 − a − 9n − 6an
2 2
28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by
2 2 2 2
= 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 ) = ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1)
= ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 )
= 1 − (a + 3n) = ( x + 2) − ( y + 1)
2 2 2
= ( x − 2a ) − ( y − 3b)
2 2
= (a + 3n + 1)(1 − a − 3n) = ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1)
= ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b)
= ( x + y + 3)( x − y + 1)
20. 25 − x − 16 y + 8 xy
2 2
29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a
2 2 2 2
38. a − 16 − x + 36 + 12a − 8 x
2 2
= 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 ) = (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 ) = (a + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16)
2
= 25 − ( x − 4 y ) = (m + 3n) − ( x + 2a )
2
= (a + 6) − ( x + 4)
2 2 2 2
= (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y ) = (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a ) = (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4)
= (a + x + 10)(a − x + 2)

103. 7. 4a + 3a b + 9b 14. c − 45c + 100
4 2 2 4 4 2
EJERCICIO 96
+ 9a 2b 2 − 9a 2b 2 + 25c2 − 25c2
1. a 4 + a 2 + 1 4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 c4 − 20c2 + 100 − 25c2
= (2a 2 + 3b ) = (c2 − 10) − 25c2
2 2 2
+ a2 − a2 − 9a 2b 2
(a + 2a + 1) − a
4 2 2
= (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 ) = (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10)
= (a + 1) − a 8. 4 x − 29 x + 25
2 4 2
15. 4a − 53a b + 49b
2 2 8 4 4 8
= (a + a + 1)(a − a + 1)
2 2 + 9x2 − 9 x2 + 25a 4b 4 − 25a 4b 4
4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2 4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4
2. m + m n + n
= (2 x 2 − 5) − 9 x 2 = (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4
4 2 2 4 2
2
+ m2 n 2 − m2 n 2
= (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5) = (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 )
m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
9. x + 4 x y + 16 y
8 4 4 8
16. 49 + 76n 2 + 64n 4
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2
2
+ 4x4 y4 − 4x4 y4 + 36n 2 − 36n 2
= (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn)
x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4 49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2
3. x + 3x + 4 = (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4 = (7 + 8n2 ) − 36n 2
8 4 2 2
+ x −x
= (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7)
4 4
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )
x + 4x + 4 − x
8 4 4
10. 16m − 25m n + 9n 17. 25x − 139 x y + 81y
4 2 2 4 4 2 2 4
= ( x 4 + 2) − x 4
2
+mn 2 2
−m n 2 2
+ 49 x 2 y 2 − 49 x 2 y 2
= (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2) 16m − 24m n + 9n − m n 25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2
4 2 2 4 2 2
= (4m2 − 3n 2 2
) − m2 n 2 = (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2
2
4. a + 2a + 9
4 2
+ 4a 2 − 4a 2 = (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 ) = (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 )
a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2 11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4
18. 49 x + 76 x y + 100 y
8 4 4 8
= (a 2 + 3) − 4a 2 + 16a b − 16a b
2 2 2 2 2
+ 64 x 4 y 4 − 64 x 4 y 4
= (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3) 25a + 70a b + 49b − 16a b 49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4
4 2 2 4 2 2
= (5a + 7b 2 2
) = (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4
2
2
− 16a b 2 2
5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4
= (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 ) = (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )
+ a 2b 2 − a 2b 2
12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4 19. 4 − 108 x + 121x
2 4
a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2
+ 25x y 2 2
− 25x y2 2
+ 64 x 2
− 64 x 2
= (a 2 − b2 ) − a 2b 2
2
36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2 4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2
= (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 )
= (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2 = (2 − 11x 2 ) − 64 x 2
2 2
6. x − 6 x + 1 = (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 ) = (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 )
4 2
+ 4x2 − 4x2
13. 81m + 2m + 1
8 4
20. 121x − 133x y + 36 y
4 2 4 8
x − 2 x + 1− 4 x 2
4 2
+ 16m 4
− 16m 4
+ x2 y4 − x2 y4
= ( x − 1) − 4 x
2 2 2
81m + 18m + 1 − 16m
8 4 4
121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4
= ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1) = (9m + 1) − 16m = (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4
2 2 4 2 4 2
= (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1) = (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )

104. 21. 144 + 23n 6 + 9n12 25. 1 − 126a b + 169a b
2 4 4 8
+ 49n 6 − 49n6 + 100a 2b 4 − 100a 2b 4
144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6 1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4
= (12 + 3n 6 2
) = (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4
2
− 49n 6
= (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 ) = (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 )
22. 16 − 9 c 4 + c8 26. x y + 21x y + 121
4 4 2 2
+ c 4
−c 4
+ x2 y2 − x2 y2
16 − 8c 4 + c8 − c4 x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2
= (4 − c4 ) − c4 = ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2
2 2
= (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 ) = ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11)
23. 64a − 169a b + 81b 27. 49c + 75c m n + 196m n
4 2 4 8 8 4 2 2 4 4
+ 25a 2b4 − 25a 2b4 + 121c4 m2 n2 − 121c4 m2 n 2
64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4 49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2
= (8a 2 − 9b 4 2
) = (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2
2
− 25a 2b4
= (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 ) = (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 )
24. 225 + 5m2 + m4 28. 81a b − 292a b x + 256 x
4 8 2 4 8 16
+ 25m 2
− 25m 2
+ 4a b x 2 4 8
− 4a 2b 4 x 8
225 + 30m2 + m4 − 25m2 81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8
= (15 + m2 ) − 25m2 = (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8
2 2
= (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15) = (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )
EJERCICIO 97
4
+ 64 y 4 4
+ 324b 4 5. 4 + 625x 8
1. x 3. a
+ 16 x 2 y 2 − 16 x 2 y 2 + 100 x 4 − 100 x 4
+ 36a 2b 2 − 36a 2b 2
4 + 100 x + 625x − 100 x 4
4 8
x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2 a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2
= (2 + 25x 4 ) − 100 x 4
2
= ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2 = (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2
2 2
= (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2)
= ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 ) = (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 )
2. 4 x
8
+ y8 6. 64 + a 12
4. 4 m
4
+ 81n 4
+ 4x4 y4 − 4x4 y4 + 16a 6 − 16a 6
+ 36m2n 2 − 36m2 n 2
4x + 4x y + y − 4x y
8 4 4 8 4 4
64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6
4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2
= (2 x + y 4
)
4 2
− 4x y 4 4
= (8 + a 6 ) − 16a 6
2
= (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n ( 2
)
2 2
− 36m n 2 2
= (a 6 + 4a 3 + 8)(a 6 − 4a 3 + 8)
= (2m 2
+ 6mn + 9n 2 )(2m2 − 6mn + 9n 2 )

105. 7. 1 + 4n 4 8. 64 x 8 + y8 9. 81a
4
+ 64b 4
+ 4n 2
− 4n 2
+ 16 x y 4 4
− 16 x y
4 4
+ 144a b 2 2
− 144a 2b 2
1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2 64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4 81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2
= (1 + 2n2 ) − 4n2 = (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4 = (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2
2 2
2
= (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1) = (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 )
= (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 )
EJERCICIO 98
(
)( )
1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2 (
27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3 )( ) 37. m − 2m − 168
2
2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2)
168 2
2
28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2 ( )( ) 84 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2)
2 2
( )( )
29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1 42 2 2 ⋅ 7 = 14
4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1)
2
30. x 2 + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7) 21 3 ⇒ 14 − 12 = 2
− 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6) = (m − 14)(m + 12)
5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1)
2 31. x 2 7 7
+ 7a − 60 = (a + 12)(a − 5)
1
6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2)
2 32. a 2
38. c + 24c + 135
2
7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4) 33. x − 17 x − 60
2 2
135 3
8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)
60 2
2 45 3 3⋅ 3 = 9
30 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
3⋅ 5 = 15
9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1)
15 3
3⋅ 1 = 3
2
15 3
5 5 ⇒ 15 + 9 = 24
10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3)
2 5 5 ⇒ 20 − 3 = 17
1 = (c + 15)(c + 9)
= ( x − 20)( x + 3)
11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1)
2 1
39. m − 41m + 400
2
12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1) 34. x + 8 x − 180
2
2
400 2
180 2
13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1)
2
90 2 2 ⋅ 3⋅ 3 = 18
200 2 2 4 = 16
52 = 25
14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2)
100 2
2 45 3 2 ⋅ 5 = 10
50 2 ⇒ 25 + 16 = 41
3 ⇒ 18 − 10 = 8
15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3)
15
= (m − 25)(m − 16)
2
= ( x + 18)( x − 10)
25 5
5 5
16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2)
2
5 5
1
17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1)
2 1
35. m − 20m − 300
2
18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3) 40. a + a − 380
2
2
300 2
380 2
19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2)
2 150 2 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30
75 3 2 ⋅ 5 = 10 190 2 2 2 ⋅ 5 = 20
20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1)
2
25 5 ⇒ 30 − 10 = 20 95 5 19 ⋅ 1 = 19
21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5)
19 ⇒ 20 − 19 = 1
= (m − 30)(m + 10)
2 19
5 5
= (a + 20)(a − 19)
22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4)
1
2 1
23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4) 41. x + 12 x − 364
2
36. x + x − 132
2
2
132 2 364 2
24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4)
2
2 ⋅ 13 = 26
66 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 182 2
25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5)
2
33 3 11⋅ 1 = 11 91 7 2 ⋅ 7 = 14
11 ⇒ 12 − 11 = 1 13 ⇒ 26 − 14 = 12
26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1)
2 11 13
1 = ( x + 12)( x − 11) 1 = ( x + 26)( x − 14)

106. 42. a + 42a + 432
2
47. c − 4c − 320
2
45. x − 2 x − 528
2
432 2
216 2 2 3 ⋅ 3 = 24 528 2 320 2
108 2 2 ⋅ 32 = 18 264 2 2 3 ⋅ 3 = 24 160 2 2 4 = 16
54 2 ⇒ 24 + 18 = 42 132 2 2 ⋅ 11 = 22 80 2 22 ⋅ 5 = 20
27 3 = (a + 24)(a + 18) 66 2 ⇒ 24 − 22 = 2 40 2 ⇒ 20 − 16 = 4
9 3 33 3 = ( x − 24)( x + 22) 20 2 = (c − 20)(c + 16)
3 3 11 11 10 2
1 1 5 5
1
43. m − 30m − 675
2
675 3
46. n + 43n + 432
2
225 5 3⋅ 5⋅ 3 = 45
48. m − 8m − 1. 008
432 2 2
45 3 3⋅ 5 = 15
216 2 2 = 16
4
1. 008 2
15 3 ⇒ 45 − 15 = 30
108 2 33 = 27 504 2 2 2 ⋅ 7 = 28
5 5 = (m − 45)(m + 15)
54 2 ⇒ 16 + 27 = 43 252 2 2 2 ⋅ 32 = 36
3 = (n + 16)(n + 27)
1
27 126 2 ⇒ 36 − 28 = 8
44. y 2 + 50 y + 336
9 3 63 3 = (m − 36)(m + 28)
336 3
3 3 21 3
112 2 3⋅ 7 ⋅ 2 = 42
1 7 7
56 2 2 =8 3
1
28 2 ⇒ 42 + 8 = 50
14 2 = ( y + 42)( y + 8)
7 7
1
18. a b − 2a b − 99
4 4 2 2
13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2
EJERCICIO 99
= ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a )
99 3 3⋅ 3 = 9
1. x + 5x + 4 = (x + 4)( x + 1)
4 2 2 2
14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3
2
33 3 11⋅ 1 = 11
11 11 ⇒ 11 − 9 = 2
2. x 6 − 6 x 3 − 7 = ( x 3 − 7)( x 3 + 1) = (2 x − 3)(2 x − 1) 1 = (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9)
3. x 8 − 2 x 4 − 80 = (x 4
− 10)(x 4 + 8) 15. (m − n) + 5 (m − n) − 24
2
19. c + 11cd + 28d
2 2
(
4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3 )( ) = (m − n + 8)(m − n − 3) = (c + 7d )(c + 4d )
)( )
5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3 ( 16. x + x − 240 20. 25x − 5 (5x ) − 84
2 8 4 2
+ 13(5x) + 42 = (5x + 7)(5x + 6)
240 2 84 2
6. (5x )
2
120 2 24 = 16 42 2 2 2 ⋅ 3 = 12
( )( )
7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a 60 2 3⋅ 5 = 15 21 3 7 ⋅1 = 7
8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b)
2 2
30 2 ⇒ 16 − 15 = 1 7 7 ⇒ 12 − 7 = 5
9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4)
2
15 3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15) 1 = (5x − 12)(5x + 7)
5 5
10. − x + 4 x + 5 21. a − 21ab + 98b
2 2 2
= − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1)
1 98 2 2 ⋅ 7 = 14
17. − y + 2 y + 15
2
7 ⋅1= 7
x + x 5 − 20 = (x 5 + 5)(x 5 − 4)
49 7
10
= − ( y − 2 y − 15)
11. 2 7 7 ⇒ 14 + 7 = 21
12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n ( )(m − 7n) = − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1 = (a − 14b)(a − 7b)

107. 22. x y + x y − 132
4 4 2 2 27. − n 2 + 5n + 14 32. − x 2 + 4ax + 21a 2
132 2 = − (n − 5n − 14)
2
= − ( x 2 − 4ax − 21a 2 )
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
= − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2) = − ( x − 7a)(x + 3a )
66 2
33 3 11⋅ 1 = 11
28. x + x − 930
6 3 = (7a − x )( x + 3a )
11 11 ⇒ 12 − 11 = 1
= ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11)
930 2
1 33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2
465 5 2 ⋅ 5⋅ 3 = 30
23. − x + 2 x + 48 = ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a )
4 2
93 3 31⋅ 1 = 31
= − (x − 2 x − 48)
4 2
31 31 ⇒ 31 − 30 = 1
34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108
2
= − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6) 1 = ( x 3 + 31)( x 3 − 30)
108 2
24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65 29. (4 x ) − 8 (4 x 2 ) − 105
2
2 2
54 2 2 2 ⋅ 3 = 12
= (c + d − 13)(c + d − 5) 105 5 27 3 32 = 9
25. a + 2axy − 440 x y
2 2 2 21 3 5⋅ 3 = 15 9 3 ⇒ 12 − 9 = 3
440 2 7 7 7 ⋅1= 7 3 3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9)
2 ⋅ 5 = 20 1 ⇒ 15 − 7 = 8 = (a + 11)(a − 10)
2
220 2 1
110 2 11⋅ 2 = 22 = (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7)
55 5 ⇒ 22 − 20 = 2 35. m + abcm − 56a b c
2 2 2 2
30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2
11 11 = (a + 22 xy )(a − 20 xy ) = (m + 8abc )(m − 7abc)
1 = ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab)
36. (7 x ) + 24(7 x 2 ) + 128
2 2
26. m n − 21m n + 104
6 6 3 3
31. a − a b − 156b
4 2 2 4
104 2 128 4
156 2 4 2 = 16
52 2 2 =8 3
32 4
26 2 13⋅ 1 = 13 78 2 2 ⋅ 3 = 12
2
8 4 4⋅2 = 8
13 13 ⇒ 13 + 8 = 21 39 3 13⋅ 1 = 13 2 2 ⇒ 16 + 8 = 24
13 ⇒ 13 − 12 = 1
= (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8) = (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8)
13
1 1
1 = (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 )
EJERCICIO 100
7. 4a + 15a + 9
2
10.20 y + y − 1
2
4. 5x + 13x − 6 = 16a 2 + 15( 4a ) + 36
2
1. 2 x + 3 x − 2
2
= 400 y 2 + 1(20 y ) − 20
= 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4 = 25x 2 + 13 (5x ) − 30 (4a + 12)(4a + 3)
(5x + 15)(5x − 2)
= (20 y + 5)(20 y − 4)
(2 x + 4)(2 x − 1) 4 =
= =
5 = (a + 3)(4a + 3) 5⋅ 4
= (4 y + 1)(5 y − 1)
2
= ( x + 2)(2 x − 1) = ( x + 3)(5x − 2) 8. 10a + 11a + 3
2
= 100a 2 + 11(10a ) + 30
5. 6 x − 5x − 6
2
2. 3x − 5x − 2
2
= 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36
(10a + 6)(10a + 5) 11. 8a 2 − 14a − 15
= 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6 =
2⋅5 = 64 a 2 − 14 (8a) − 120
(3x − 6)(3x + 1) =
(6x − 9)(6x + 4) = (5a + 3)(2a + 1)
= 3⋅ 2
120 2
3 9. 12m2 − 13m − 35 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
= ( x − 2)(3x + 1) = (2 x − 3)(3x + 2) = 144m2 − 13(12m) − 420 30 2 2⋅ 3= 6
3. 6x + 7 x + 2 6. 12 x − x − 6 4 ⋅ 7 = 28
2 2
420 4 15 3 ⇒ 20 − 6 = 14
= 36x + 7 ( 6x) + 12 = 144 x 2 − 1(12 x) − 72 5⋅ 3 = 15
(8a − 20)(8a + 6)
2 105 5
3 ⇒ 28 − 15 = 13
(6x + 4)(6x + 3) (12 x − 9)(12 x + 8) 5 =
21 5
4⋅ 2
= = (12m − 28)(12m + 15)
2⋅ 3 3⋅ 4 7 7 =
4⋅3 1 = (2a − 5)(4a + 3)
= (3x + 2)(2 x + 1) = (4 x − 3)(3x + 2) 1 = (3m − 7)(4m + 5)

108. 17. 20n − 9n − 20
2
23. 14m − 31m − 10
2
12. 7 x − 44 x − 35
2
= 400n − 9( 20) − 400
2
= 196m2 − 31(14m) − 140
= 49 x 2 − 44 (7 x) − 245 400 2 140 2
245 5
200 2 2 4 = 16 70 2 5⋅ 7 = 35
49 7 7 ⋅ 7 = 49 35 5 2⋅2 = 4
100 2 52 = 25
7 7 5⋅1 = 5 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31
50 2 ⇒ 25 − 16 = 9
1 ⇒ 49 − 5 = 44 (14m − 35)(14m + 4)
(7 x − 49)(7 x + 5) 25 5 =
(20n − 25)(20n + 16) 1 =
7⋅2
= 5⋅ 4 = (2m − 5)(7m + 2)
7
= ( x − 7)(7 x + 5) 5 5 = (4n − 5)(5n + 4) 24. 2 x + 29 x + 90
2
1 = 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180
18. 21x + 11x − 2
2
180 2
13. 15m + 16m − 15 = 441x 2 + 11(21x) − 42
2
90 2 22 ⋅ 5 = 20
= 225m2 + 16 (15m) − 225
=
(21x + 14)(21x − 3) 45 3 32 = 9
225 5 7⋅ 3 15 3 ⇒ 20 + 9 = 29
5⋅ 5 = 25
= (3x + 2)(7 x − 1)
45 5
9 3 3⋅ 3 = 9 5 5 =
(2 x + 20)(2 x + 9)
19. 15m2 + m − 6 2
3 3 ⇒ 25 − 9 = 16
= 225m2 + 15m − 90 = (2 x + 10)(2 x + 9)
(15m + 25)(15m − 9)
1
1 =
5⋅ 3 =
(15m + 10)(15m − 9) 25. 20a − 7a − 40
2
5⋅ 3 = 400a 2 − 7 (20a ) − 800
= (3m + 5)(5m − 3)
= (3m + 2)(5m − 3)
800 4
200 4 42 ⋅ 2 = 32
20. 15a − 8a − 12
2
14. 2a + 5a + 2 52 = 25
2
50 5
= 225a 2 − 8 (15a ) − 180
= 4a + 5 ( 2a ) + 4
2 10 5 ⇒ 32 − 25 = 7
(2a + 4)(2a + 1)
180 2
2 =
(20a − 32)(20a + 25)
= 90 2 2 ⋅ 32 = 18 2
4⋅5
2
45 5 5⋅ 2 = 10 = (5a − 8)(4a + 5)
= (a + 2)(2a + 1)
1
9 3 ⇒ 18 − 10 = 8
26. 4n + n − 33
2
3 3 =
(15a − 18)(15a + 10) = 16n2 + 4n − 132
15. 12 x − 7 x − 12
2
3⋅ 5 132 2
= 144 x 2 − 7 (12 x) − 144 = (5a − 6)(3a + 2)
1 66 2 2 2 ⋅ 3 = 12
144 2
21. 9 x + 37 x + 4 11⋅ 1 = 11
2
33 3
24 = 16
= 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36
72 2 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1
32 = 9
36 2
(9 x + 36)(9 x + 1) =
(4n + 12)(4n − 11)
18 2 ⇒ 16 − 9 = 7 = 1
9 4
9 3 =
(12 x − 16)(12 x + 9) = (x + 4)(9 x + 1) = (n + 3)(4n − 11)
4⋅3 27. 30 x 2 + 13x − 10
22. 20n + 44n − 15
2
3 3 = (3x − 4)(4 x + 3) = 400n2 + 44 ( 20n) − 300 = 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300
1 300 2 300 2
150 2 2 ⋅ 5 = 50 2 150 2 52 = 25
16. 9a + 10a + 1
2
75 5 2⋅ 3= 6 75 5 2 ⋅ 3 = 12
2
= 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9 15 5 ⇒ 50 − 6 = 44 15 5 ⇒ 25 − 12 = 13
=
(9a + 9)(9a + 1) (20n + 50)(20n − 6) (30 x + 25)(30x − 12)
3 3 = 3 3 =
9 10 ⋅ 2 5⋅ 6
= (a + 1)(9a + 1) 1 = (2n + 5)(10n − 3) 1 = (6 x + 5)(5x − 2)

109. EJERCICIO 101 7. − 10 x 2 − 7 x + 12 12. 7 x 6 − 33x 3 − 10
1. 6 x + 5x − 6 = − (10 x 2 + 7 x − 12) = (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70
4 2 2
= (6 x 2 2
) + 5 (6 x 2 ) − 36 [
= − (10x ) + 7 (10 x ) − 120
2
] (7 x 3
− 35)(7 x 3 + 2)
=
=
(6x 2
+ 9)(6 x 2 − 4) 120 2 7
3⋅ 2 60 2 5⋅ 3 = 15
= ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2)
2 3=8
= (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2)
30 2
13. − 3a 2 + 13a + 30
15 5 ⇒ 15 − 8 = 7
2. 5x 6 + 4 x 3 − 12 = − (3a 2 − 13a − 30)
[
− (10x + 15)(10x − 8) ]
= (5x )
3 2
+ 4 (5x 3 ) − 60 3 3 =
5⋅ 2 = − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90)
(5x 3
+ 10)(5x 3 − 6) 1 = − (2 x + 3)(5x − 4) =−
(3a − 18)(3a + 5)
=
= (2 x + 3)(4 − 5x )
5 3
= (x + 2)(5x − 6)
3 3 = − (a − 6)(3a + 5)
8. 21x − 29 xy − 72 y
2 2
= (6 − a )(3a + 5)
3. 10 x + 29 x + 10 = 441x 2 − 29 (21xy ) − 1.512 y 2
8 4
= (10 x ) + 29 (10 x 4 ) + 100 14. − 6 x + 7 x + 5
8 4
4 2 1. 512 2
(10 x + 25)(10 x 4 + 4)
2 ⋅ 7 = 56 = − (6 x 8 − 7 x 4 − 5)
3
4 756 2
= 3 = 27
( )
3
= − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30
378 2
5⋅ 2
2
189 3 ⇒ 56 − 27 = 29
= (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2) (21x − 56 y)(21x + 27 y) (6 x 4
− 10)(6 x + 3) 4
63 3 = =−
4. 6a x + 5ax − 21
2 2
7⋅3 2⋅ 3
(6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126 21 3 = (3x − 8 y )(7 x + 9 y ) = − (3x 4 − 5)(2 x 4 + 1)
126 2
= (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1)
7 7
63 3 2 ⋅ 7 = 14 1
21 7 3⋅ 3 = 9 9. 6m − 13am − 15a
2 2
15. 6a 2 − ax − 15x 2
3 3 ⇒ 14 − 9 = 5 = 36m − 13 (6am) − 90a
2 2
= 36a 2 − 6ax − 90 x 2
=
(6ax + 14)(6ax − 9) (6m − 18a )(6m + 5a ) (6a − 10x)(6a + 9 x)
1 = =
2⋅3 6 2⋅3
= (3ax + 7)(2ax − 3) = (m − 3a )(6m + 5a ) = (3a − 5x )(2a + 3x )
5. 20 x y + 9 xy − 20 10. 14 x − 45x − 14
2 2 4 2
16. 4 x + 7mnx − 15m n
2 2 2
= (20 xy) + 9 (20 xy) − 400 = (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196
2
= ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2
2 2
400 2 196 2
=
(4 x + 12mn )(4 x − 5mn)
200 2 52 = 25 98 2 7 ⋅ 7 = 49 4
100 2 24 = 16 49 7 2⋅2 = 4 = ( x + 3mn)(4 x − 5mn)
50 2 ⇒ 25 − 16 = 9 7 ⇒ 49 − 4 = 45
7 17.18a + 17ay − 15y
2 2
25 5 =
(20xy + 25)(20xy − 16) (14 x 2
− 49)(14 x 2 + 4) = (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2
2
5⋅ 4 1 = 270 2
7⋅2
= (4 xy + 5)(5xy − 4) 33 = 27
= (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2)
5 5 135 5
1 27 3 5⋅ 2 = 10
11. 30a − 13ab − 3b
2 2
6. 15x − ax − 2a
2 2 9 3 ⇒ 27 − 10 = 17
= (15x) − a (15x ) − 30a 2
2 = 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2
3 3 =
(18a + 27 y)(18a − 10 y)
(15x − 6a)(15x + 5a) =
(30a − 18b)(30a + 5b) 9⋅2
= 6⋅ 5 1 = (2a + 3 y )(9a − 5 y )
3⋅ 5
= (5x − 2a )(3x + a ) = (5a − 3b)(6a + b)

110. 18. − 8 x + 2 x + 15 23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2
4 2
= − (8 x 4 − 2 x 2 − 15) = − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 )
21. 30m + 17am − 21a
2 2
(
= − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120
2
) = (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2
2
(
= − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2
2
)
(8x 2
− 12)(8 x 2 + 10)
630 2
=−
(6 y − 8x)(6 y − 3x)
=− 315 5 5⋅ 7 = 35 2⋅ 3
4⋅ 2 2 ⋅ 32 = 18
= − (3 y − 4 x )(2 y − x )
63 3
= − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5) 21 3 ⇒ 35 − 18 = 17
= (4 x − 3y )(2 y − x )
= (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5) 7 7 =
(30m + 35a)(30m − 18a)
5⋅ 6
19. − 25x + 5x + 6
8 4
= (6m + 7a )(5m − 3a )
= − (25x 8 − 5x 4 − 6)
1
(
= − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150
2
) 24. − 20a + 27ab − 9b
2 2
(25x 4
− 15)(25x 4 + 10) = − (20a 2 − 27ab + 9b 2 )
=−
5⋅ 5 (
= − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2
2
)
22. − 15a + 16a − 4
2
= − (5x − 3)(5x + 2)
4 4 180 2
= − (15a 2 − 16a + 4) 2 2 ⋅ 3 = 12
= (3 − 5x )(5x + 2)
90 2
( )
4 4
= − (15a ) − 16 (15a ) + 60 5⋅ 3 = 15
2
45 5
20. 30 x − 91x − 30
10 5
(15a − 10)(15a − 6) 9 3 ⇒ 15 + 12 = 27
= (30 x 5 2
) − 91(30 x ) − 900 5 =−
5⋅ 3 (20a − 15b)(20a − 12b)
3 3 =−
=
(30x 5
− 100)(30 x + 9) 5
= − (3a − 2)(5a − 2)
5⋅ 4
= − (4a − 3b)(5a − 3b)
10 ⋅ 3 = (3a − 2)(2 − 5a )
1
= (3x − 10)(10 x + 3)
5 5 = (4a − 3b)(3b − 5a )
EJERCICIO 102
(
12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x ) 3
1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1 ( )
3
13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto
2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x 2 3
( )
3
14. a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = (a 2 + b3 )
3
3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n ( )
3
x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = ( x 3 − 3 y 4 )
3
15.
4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a 2 3
( ) 3
16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y ( )
3
5. 8 + 12a 2
+ 6a + a = (2 + a
4 6 2 3
) 216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = (6 − 7a 2 )
3
17.
)
6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1 ( 3
7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b)
3 2 2 3 3
18. 125x 12 + 600 x 8 y 5 + 960 x 4 y10 + 512 y15 = (5x 4
+ 8 y5 )
3
a18 + 3a 12 + 3a 6 + 1 = (a 6 + 1)
3
8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n)
3 2 2 3 3 19.
9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto
20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an ( )3
10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto 21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = (1+ 6a b ) 2 3 3
( ) − 125 y = (4 x − 5 y ) 4 3
3
11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b 22. 64 x 9 − 240x 6 y 4 + 300 x 3 y 8 12 3

111. EJERCICIO 103
(1+ 7n)(1− 7n + 49n ) 20. 1 + 343n 3 = 2
1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a )
3
21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81)
2 3 2
2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a )
3
22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x )
2 3 3 6 2 2 2 2 4
3. x + y = (x + y)( x − xy + y )
3 3
23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a )
2 2 9 3 3 6
4. m − n = (m − n )(m + mn + n )
3 3
24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y )
2 2 6 12 2 4 4 2 4 8
5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1)
3
25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x )
2 6 2 2 4
6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1)
3
26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n )
2 3 9 3 2 3 6
7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1)
3
27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y )
2 3 6 2 2 2 4
8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1)
3
28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y )
2 3 6 9 2 3 2 4 5 6
9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x )
3
29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 )
2 3 3 3 2 2 2
10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9)
3
30. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
2 9 9 3 3 6 3 3 6
11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9)
3
31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1)
2 3 2
12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y )
3 3
32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b )
2 2 6 12 2 4 4 2 4 8
13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b )
3 3
33. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
2 2 12 12 4 4 8 4 4 8
14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a )
6
34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b )
2 2 4 3 3 2 2
15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25)
3
35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81)
2 6 2 4 2
16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m )
3
36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b )
2 3 12 4 2 4 8
17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b )
3 6
37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z )
2 2 2 4 9 3 6 3 2 6 3 2 2 4
18. x − b = ( x − b )( x + x b + b )
6 9 2
38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n )
3 4 2 3 6 6 9 2 3 4 2 3 6
19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y )
3 3
39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x )
2 2 12 4 4 8
EJERCICIO 104 )[( ) ( ) ] ( ) 3
5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1 ( 2
1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ] = (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1)
3 2 2 2
6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ]
= (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y )
3 2
2 2
2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ]
3 = (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b )
2 2 2
7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ]
3 2
= (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b )
3 2
2 2
= (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1)
3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ]
2 2 2
3 2
= (2a + 1)(a + a + 1) 2
= (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n )
8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ]
2 2
3 3 2 2
4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4]
3 2
= (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1) 2 2 2
= (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4) 2
= (a + 1)(7a − 4a + 1)
2 2

112. ( )
9. 27 x 3 − x − y
3
14. ( x − y ) − ( x + y )
3 3
= [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ] = [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ]
2 2 2 2
= (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y ) 2
= ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= (2 x + y )(13x − 5xy + y ) 2
= − 2 y (3x + y )
2 2 2
10. (2a − b) − 27 15. (m − 2) + (m − 3)
3 3 3
= (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9] = [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ]
2 2 2
= (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9) 2
= (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9)
2 2 2 2
11. x − ( x + 2) = (2m − 5)(m − 5m + 7)
6 3
2
= [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ] 16. (2 x − y ) + (3x + y )
2 3 3
2 4 2
= ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4) = [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ]
2 2
2 4 3 2 2
= ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4)
2 4 = (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y )
3 2 2 2 2 2 2 2
12. (a + 1) + (a − 3)
3 3
= (5x ) (7 x + 3xy + 3 y ) 2 2
17. 8 (a + b) + (a − b)
= (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ]
3 3
2 2
= [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ]
2 2
= (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9)
2 2 2
= (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b )
= (2a − 2)(a − 2a + 13)
2 2 2 2 2 2
2
= (3a + b)(3a + 6ab + 7b )
13. ( x − 1) − ( x + 2)
2 2
3 3
18. 64 (m + n) − 125
= [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ]
3
2 2
= [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25]
2
= ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4)
2 2 2
= − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1)
2 = (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25)
2
2 2
EJERCICIO 105
243 − 32b5 = (3 − 2b)(81 + 54b + 36b 2 + 24b 3 + 16b 4 )
(a + 1)(a − a + a − a + 1)
10.
1. a 5 + 1 = 4 3 2
a 5 + b5c5 = (a + bc)(a 4 − a 3bc + a 2b2 c 2 − ab3c 3 + b4 c4 )
2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1)
11.
5 4 3 2
12. m − a x
7 7 7
3. 1 − x = (1− x)(1 + x + x + x + x )
5 2 3 4
= (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 )
4.a + b
7 7
= (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 )
13. 1 + x 7 = (1+ x)(1− x + x 2
− x 3 + x 4 − x5 + x 6 )
14. x 7 − y 7
5. m7 − n 7
= ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 )
= (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 )
15. a 7 + 2 .187
(a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81)
6. a 5 + 243 = 4 3 2
= (a + 3)(a 6 − 3a 5 + 9a 4 − 27a 3 + 81a 2 − 243a + 729)
7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m )
(1− 2a)(1+ 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a )
5 2 3 4
16. 1 − 128a 7 = 2 3 4 5 6
8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x )
5 2 3 4
17. x10 + 32 y = (x + 2 y )(x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y )
5 2 8 6 4 2 2 3 4
9. x 7 + 128 18. 1 + 128 x 4
= (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64) = (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )

113. EJERCICIO 106
(a + 1)(a − a + 1)
18. a 6 + 1 = 2 4 2
1. 5a + a = a 5a + 1
2
( ) 19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my
3 6 2 2 2
+ 9 y4 )
( )
2. m + 2mx + x = m + x
2 2 2
3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b)
2 2
20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b ( ) 2
= a (a + 1) − b(a + 1) 21. 1 + a 7 = (1+ a)(1− a + a 2
− a3 + a4 − a5 + a6 )
= (a + 1)(a − b) 22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1 ( )3
4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6)
2 2 2
23. 1 − m2 = (1 + m)(1− m)
5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y ) x 4 + 4 x 2 − 21 = ( x 2 + 7)( x 2 − 3)
2 2 2
24.
6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4)
(5a + 1)(25a − 5a 2 + 1)
2
25. 125a 6 + 1 = 2 4
7. 6 x 2 − x − 2
26. a + 2ab + b − m
2 2 2
= 36 x 2 − 6 x − 12
(6x − 4)(6x + 3) = (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m)
2
=
3⋅ 2 27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b ( )
= (3x − 2)(2 x + 1) 28. x 5 − x 4 + x − 1
(1+ x)(1− x + x )
8. 1 + x 3 = = (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1)
2 5 4 4 4
9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1)
3 2
29. 6 x + 19 x − 20
2
10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m ) = 36x + 19 ( 6 x ) − 120 2
5 5 4 3 2 2 3 4
11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b )
120 2
3 2 2 2 2
60 2 2 ⋅ 3 = 24 3
12. 2 xy − 6 y + xz − 3z 30 2 5⋅1 = 5
= 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z) 15 3 ⇒ 24 − 5 = 19
13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b ( ) 2
=
(6x + 24)(6x − 5)
5 5
14. 4 x + 3x y + y
4 2 2 4 6
+x y 2 2
−x y 2 2 1 = (x + 4)(6 x − 5)
4x + 4x y + y − x2 y2 25x 4 − 81y 2 = (5x 2 + 9 y)(5x 2 − 9 y)
4 2 2 4
30.
= (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 (1− m)(1+ m + m )
2
31. 1 − m3 = 2
= (2 x + xy + y
2 2
)(2 x 2
− xy + y 2
) 32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b
2 2 2 2
15. x − 6 x y + y = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 )
8 4 4 8
+ 2x y 4 4
− 4x y 4 4
= ( x + y ) − (a − b)
2 2
x − 2x y + y − 4x y
= ( x + y + a − b)( x + y − a + b)
8 4 4 8 4 4
= (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4
2
33. 21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n3 − 7m2 n = 7m2 n (3m3 − m2 n + mn 2 − 1)
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 )
( ) ( ) ( ) ( )(
34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1 )
16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5 ( )( )
35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y)
2 2
17. 15m + 11m − 14
2
= 225m2 + 11(15m) − 210 36. 1 − a 2b 4 = (1+ ab )(1− ab )
2 2
=
(15m + 21)(15m − 10) 37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a ( )2
3⋅ 5
x 6 + 4 x 3 − 77 = (x 3 + 11)( x 3 − 7)
= (5m + 7)(3m − 2)
38.

114. 39. 15x − 17 x − 4 (1+ 6x )(1− 6x + 36x )
4 2
52. 1 + 216 x 9 = 3 3 6
= (15x 2 2
) − 17 (15x ) − 60
53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16)
2
3 2
=
(15x 2
− 20)(15x + 3) 2
54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x ( )
5⋅ 3
= (3x 2 − 4)(5x 2 + 1)
55. 18ax y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 (ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5 )
5 3 4 3
40. 1 + a − 3b( ) 3 56. 49a 2b 2 − 14ab + 1 = 7ab − 1 ( )
) (
( )( ) ( )( )
[ ]
2
57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8
= (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b)
2
58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c)
2 2
= (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a 2 − 6ab + 9b ) 2
59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3)
2 2
41. x + x + 25
4 2
61. 9a + 63a − 45a
3 2
60. 7 x + 31x − 20
2
+ 9x2 − 9 x2
= ( 7 x) + 31( 7 x) − 140
2 = 9a (a 2 + 7 − 5a )
x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2
140 2 62. ax + a − x − 1
= (x 2 + 5) − 9 x 2 = (ax + a ) − (x + 1)
2
70 2 7 ⋅ 5 = 35
= (x + 3x + 5)(x − 3x + 5)
2 2
35 5 2 =4 2
= a (x + 1) − ( x + 1)
42. a − 28a + 36
8 4 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31 = (a − 1)( x + 1)
+ 16a 4 − 16a 4 1 =
(7 x + 35)(7 x − 4) 63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y
7
a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4 ⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2
= ( x + 5)(7 x − 4)
= (a 4 − 6) − 16a 4 = (9 x 2 − 5 y )
2 2
64. 1 − 27b + b
2 4
= (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6) 65. m + m n + n
4 2 2 4
+ 25b 2 − 25b 2
43. 343 + 8a 3 = (7 + 2a )(49 − 14a + 4a 2 ) 1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2
+ m2 n 2 − m2 n 2
44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y ( ) = (1 − b 2 ) − 25b 2
2 m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
= ( x + 5y)( x − 3y ) = (m2 + n 2 ) − m2 n 2
2
45. x 2 + 2 xy − 15 y 2
= (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 )
46. 6am − 4an − 2n + 3m = (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 )
= (6am + 3m) − (4an + 2n)
= 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1)
66. c 4 − 4d 4 = (c2 + 2d 2 )(c 2 − 2d 2 )
= (3m − 2n)(2a + 1) 67. 15x 4 − 15x 3 + 20 x 2 = 5x 2 (3x 2
− 3x + 4 )
− 4b c = (9a + 2bc )(9a − 2bc ) 68. a − x −a− x
6 2 8 3 4 3 4 2 2
47. 81a
(
48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b) (
2
)( ) = (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1)
49. 20 − x − x
2
70. 6m + 7m − 20
4 2
= − ( x 2 + x − 20) 69. x − 8 x − 240
4 2
= (6m )
2 2
+ 7 (6m2 ) − 120
= − ( x + 5)( x − 4) 240 4
120 4
= ( x + 5)(4 − x ) 60 4 4 ⋅ 5 = 20
4 ⋅ 3 = 12 30 3 4⋅2 = 8
50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6 ( )( ) 15
5
3
5 ⇒ 20 − 12 = 8 10 5 5⋅ 3 = 15
51. a − d + n − c − 2an − 2cd
2 2 2 2
⇒ 15 − 8 = 7
= ( x 2 − 20)( x 2 + 12)
2 2
1
= (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d 2
) (6m 2
+ 15)(6m2 − 8)
=
= (a − n) − (c + d )
1
3⋅ 2
2 2
= (a − n + c + d )(a − n − c − d ) = (2m2 + 5)(3m2 − 4)

115. 71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2 84. a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 (a 6 − a 4 + a 2 + 1)
= (3n − 2a )
2
( ) ( ) (
85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1 ) ( )( )
72. 2 x + 2 = 2 (x + 1)
2 2
( )( ) ( ) ( )( ) ) (
86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n )(
( ) () )( (
73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1 ) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2
74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3)
2
= − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 )
75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n )
= − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 )
2 2
76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y)
3 2 2 3 3 2
88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a
2 1  1
89. x − x + =  x − 
2
8a − 22a − 21
= (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a ) 9  3
2
77. 3
= (8a ) − 22 (8a ) − 168
2
168 4
= m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a ) 90. 4a 2 n − b 4 n
42 2 3⋅ 2 = 6 = m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c) = (2a n + b2 n )(2a n − b2 n )
21 3 4 ⋅ 7 = 28 = (2a − 3b − c)(m + 1)
7 7 ⇒ 28 − 6 = 22
91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a )
2
(8a − 28)(8a + 6)
2
1 =
4⋅ 2 92. a + 9 − 6a − 16 x
2 2
= (2a − 7)(4a + 3)
= (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3)
2
78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab ( )
2
93. 9a − x − 4 + 4 x
2 2
79. 4a − 1 = (2a + 1)(2a − 1)
6 3 3
= 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2)
2
80. x − 4 x − 480
6 3
94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y
480 4
120 3 5⋅ 4 = 20 = (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1)
4 ⋅ 3⋅ 2 = 24
40
10
4
5 ⇒ 24 − 20 = 4
(
95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8 )( )
100. 49 x 2 − 77 x + 30
= (x − 24)( x + 20) 96. 36a − 120a b + 49b
4 2 2 4
3 3
2 2
= ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470
2
1 + 36a 2b2 − 36a 2b 2 1. 470 7
81. ax − bx + b − a − by + ay
36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2
= (ax + ay − a ) − (bx + by − b)
210 7
= (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2
2 30 5
= a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 ) 6 6 7 ⋅ 5 = 35
= (a − b)( x + y − 1) = (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 ) 1 7 ⋅ 6 = 42
82 6am − 3m − 2a + 1 97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b
2 2 2 2 ⇒ 42 + 35 = 77
= (6am − 3m) − (2a − 1 ) (49 x − 35)(49 x − 42)
= (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 ) =
= 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 ) 7⋅7
= (a + 2b) − (m + 3n)
2 2
83. 15 + 14 x − 8 x = (7 x − 5)(7 x − 6)
2
= − (8 x 2 − 14 x − 15) = (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n)
[
= − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120
2
] 98. 1 −
4 8  2 4  2 4
a =  1+ a   1− a  101. x − 2abx − 35a b
2 2 2
120 4 9  3  3  + 36a 2b 2 − 36a 2b 2
30 3 4 ⋅ 5 = 20
x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2
2
10 5 3⋅ 2 = 6 99. 81a
8
+ 64b12
= ( x − ab) − 36a 2b 2
2
2 2 ⇒ 20 − 6 = 14 + 144a 4b 6 − 144a 4b 6
(8x − 20)(8x + 6) = ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab)
1 =− 81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6
4⋅2 = ( x + 5ab)( x − 7ab)
= − (2 x − 5)(4 x + 3) = (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6
2
= (5 − 2 x )(4 x + 3) = (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )

116. ( ) 116. 49a − x − 9 y + 6 xy
3 2 2 2
102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3
103. (a − 2) − (a + 3)
2 2 =− [ (x 2
− 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2 ]
= (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5) [
= − ( x − 3 y) − 49a 2
2
]
104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn
2 2 = − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y )
= (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn) = (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y)
= 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b) 117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2
= ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 )
(1+ 3x )
105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 = 3 2
= ( x 2 + 2) − ( y + 2 z )
2 2
106. a + 3a b − 40b = (a + 8b)(a − 5b)
4 2 2 2 2
= ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z)
107. m + 8a x = (m + 2ax )(m − 2axm + 4a x )
3 3 3 2 2 2
118. a 3 − 64 = (a − 4)(a 2 + 4a + 16)
108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y
a 5 + x 5 = (a + x )(a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 + x 4 )
2 2
[ ]
119.
= − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1
a 6 − 3a 3b − 54b 2 = (a 3 − 9b)(a 3 + 6b)
[
= − (3x − 4 y) − 1 ]
2 120.
121. 165 + 4 x − x 2
[
= − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1) ] = − ( x 2 − 4 x − 165)
= (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x ) 165 5
33 3 5⋅ 3 = 15
109. 1 + 11x + 24 x
2
11 11 11⋅ 1 = 11
= ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24
2
1 ⇒ 15 − 11 = 4
=
(24 x + 8)(24 x + 3) = − ( x − 15)( x + 11)
8⋅ 3
= (15 − x ) ( x + 11)
= (3x + 1)(8 x + 1)
122. a + a + 1
4 2
110. 9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 (1 − 3x − x 3 ) + a2 − a2
(
111. a + b − c
2 2
) − 9x y
2 2 2 2 a 4 + 2a 2 + 1 − a 2
= (a 2 + b 2 − c + 3xy)(a + b2 − c2 − 3xy) = (a 2 + 1) − a 2
2
2 2
= (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1)
(
112. 8 a + 1 − 1 ) 3
][ ]
x2 y6  x y3   x y3 
[
= 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1
2
123. − = +  − 
4 81  2 9   2 9 
= (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1) 2
8 xy y 2  y
2
124. 16 x + + =  4x + 
2
= (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7) 5 25  5
125. a b + 4a b − 96
4 4 2 2
113. 100 x y − 121m
4 6 4
+ 100 − 100
= (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 )
a b + 4a b + 4 − 100
4 4 2 2
(
114. a + 1
2
) + 5(a + 1 ) − 242 2
= (a 2b 2 + 2) − 100
2
= (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a
2 2 2
+ 9)(a − 2) 2
= (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10)
115. 1 + 1. 000 x 6 = (1+ 10x )(1− 10x 2 2
+ 100 x 4 ) = (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)

117. 126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx
2 3 2
= (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx) 130. 729 − 125x 3 y12 = (9 − 5xy 4 )(81 + 45xy 4 + 25x 2 y 8 )
= 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1
= (1 + 3b − a )(7 y + 8a x ) 2
132. 4 − a + b + 2ab
2 2
( )
127. x + 11x − 390
4 2
4 − a 2 − b 2 + 2ab
390 3
130 2 13⋅ 2 = 26 + b2 − b2
65 5 5⋅ 3 = 15 4 − a2 + 2ab − b 2
13 13 ⇒ 26 − 15 = 11 = 4 − (a 2 − 2ab + b 2 )
= ( x + 26)( x − 15)
= 4 − (a − b)
2 2
1 2
128. 7 + 33m − 10m
= (2 + a − b)(2 − a + b)
2
= − (10m2 − 33m − 7)
2
[
= − (10m) − 33 (10m) − 70 ] 133. x − y + x − y
3 3
(10m − 35)(10m + 2) = (x 3 − y 3 ) + (x − y )
=−
5⋅ 2
= (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1)
= − (2m − 7)(5m + 1)
= (7 − 2m)(5m + 1) 134. a − b + a − b
2 2 3 3
129. 4 (a + b) − 9 (c + d )
2 2 = (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 )
[ ][
= 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d ) ] = (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
= (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d ) = (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 )
EJERCICIO 107
7. 3ax + 3ay
3 3
1. 3ax 2 − 3a 12. x 3 − x + x 2 y − y
= 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1) = 3a ( x + y 3 3
) = (x 3 − x) + (x 2 y − y)
2. 3x 2 − 3x − 6 = 3a ( x + y )( x − xy + y 2 2
) = x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1)
= 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1) 8. 4ab − 4abn + an
= (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y )
2 2
= a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n)
2 2 2
3. 2a x − 4abx + 2b x
2 2
13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a
= 2 x (a 2 − 2ab + b 2 ) 9. x − 3x − 4
= 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1)
4 2
= 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b)
2
= ( x − 4)( x + 1)
2 2
14. 16 x − 48 x y + 36 xy
3 2 2
= ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
= 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y)
2
4. 2a 3 − 2 2
= 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1) 10. a − a − a + 1
3 2
15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3
5. a − 3a − 28a
3 2 = (a 3 − a 2 ) − (a − 1) = (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 )
= a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4) = a (a − 1) − (a − 1)
= x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y )
2
= (a − 1)(a − 1)
= (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y )
2
6. x − 4 x + x − 4
3 2
= (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4) = (a − 1)(a + 1)(a − 1)
16. 5a 4 + 5a
= x ( x + 1) − 4 ( x + 1) 11. 2ax − 4ax + 2a
= 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)
2 2
= (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1) = 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1)
2
2

118. 17. 6ax − ax − 2a 27. 4 x 2 + 32 x − 36
2
35. x − 3x 2 − 18 x 3
= a (6 x − x − 2)
2 = 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144
= x (1 − 3x − 18 x 2 )
= a (36 x − 6 x − 12)
144 2
= − x (18 x 2 + 3x − 1)
2
22 = 4
a (6 x − 4)(6 x + 3)
72 2
= 36 4 4 ⋅ 3⋅ 3 = 36 [
= − x (18x ) + 3 (18x) − 18
2
]
2⋅3
9 3 ⇒ 36 − 4 = 32 − x (18 x + 6)(18 x − 3)
= a (3x − 2)(2 x + 1) =
3 3 =
(4 x + 36)(4 x − 4) 6⋅ 3
18. n 4 − 81 4
= − x (3x + 1)(6x − 1)
= (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9) = ( x + 9)(4 x − 4)
= x (3x + 1)(1 − 6x )
2 2 2 1
19. 8ax 2 − 2a = 4 ( x + 9)( x − 1)
36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b
= 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1)
2
20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax
(
28. a 4 − a + 2 )
2
= (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 )
= (a + a + 2)(a − a − 2) = 2 x (3a − b) + 2b (3a − b)
= ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5)
2 2
= (a + a + 2)(a − 2)(a + 1)
2 = (3a − b)(2 x + 2b)
21. x − 6 x − 7 x
3 2
= 2 ( x + b )(3a − b)
= x ( x 2 − 6 x − 7) 29. x − 25x − 54
6 3
37. am − 7am + 12am
= x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16) = ( x 3 − 27)(x 3 + 2)
3 2
= am (m2 − 7m + 12)
= x ( x 2 − 6 x + 9 − 16) = ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2)
= am (m − 4)(m − 3)
[
= x ( x − 3) − 4 2
2
] 30. a + a
6
38. 4a x − 4a
2 3 2
= x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4) = a (a 5 + 1)
= 4a 2 ( x 3 − 1)
= x ( x + 1)( x − 7) = a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
= 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)
22. m + 3m − 16m − 48
3 2
31. a b + 2a bx + abx − aby
3 2 2 2
= (m3 + 3m2 ) − (16m + 48) 39. 28 x y − 7 xy
3 3
= ab (a + 2ax + x − y
2 2 2
) = 7 xy (4 x 2 − y 2 )
= m2 (m + 3) − 16 (m + 3)
= (m + 3)(m2 − 16) [
= ab (a + x ) − y 2
2
] = 7 xy (2 x − y )(2 x + y )
= (m + 3)(m − 4)(m + 4) = ab (a + x + y )(a + x − y ) 40. 3abx − 3abx − 18ab
2
23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y
3 2 2 3 = 3ab ( x 2 − x − 6)
32. 3abm − 3ab
2
= (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y )
3
= 3ab (m2 − 1) = 3ab ( x − 3)( x + 2)
( )(
24. a + b a − b − a − b
2 2
) ( 2 2
) = 3ab (m + 1)(m − 1) 41. x 4 − 8 x 2 − 128
= (a 2 − b 2 )(a + b − 1) 128 4
33. 81x y + 3xy
4 4
4 ⋅ 4 = 16
= (a + b)(a − b)(a + b − 1)
32 4
= 3xy (27 x 3 + y 3 ) 8 4 4⋅ 2 = 8
25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x
= 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 ) 2 2 ⇒ 16 − 8 = 8
= 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 ) 1 = ( x 2 − 16)( x 2 + 8)
34. a 4 − a 3 + a − 1
= 2ax (4a 2 − 3b) = ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8)
2
= (a 4 − a 3 ) + (a − 1)
= 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b) 42. 18 x y + 60 xy + 50 y
2 2 3
= a 3 (a − 1) + (a − 1)
26. x − x + x − x = 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
4 3 2
= (a − 1)(a 3 + 1)
= x ( x − x + x − 1)
3 2
= 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )
= (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
[
= x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1)
2
] [ 2
]

119. ( )(
43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1
2 2
( ) ) ( ) ( ) 3
51. 9 x − y − x − y 57. 7 x + 32a x − 15a x
6 2 4 4 2
= (a + 1)( x − 2 xy + y ) = (x − y )[9 ( x − y ) − 1] = x (7 x + 32a x − 15a )
2 2 4 2 2 4
2 2
= (a + 1)( x − y)( x − y ) = (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a 2 2 2 2 2 4
]
= (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1) 105 5
44. x + 2 x y − 3xy
3 2 2
5⋅ 7 = 35
= x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 )
21 3
52. 6a x − 9a − ax 3⋅ 1 = 3
2 3 2
7 7
= x ( x + 3 y)( x − y )
= a (6ax − 9a − x 2 2
) 1 ⇒ 35 − 3 = 32
45. a x − 4b x + 2a y − 8b y
2 2 2 2
= − a (x − 6ax + 9a
2
) 2 x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
=
= (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y) = − a (x − 3a )( x − 3a )
7
= x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
= x (a 2 − 4b2 ) + 2 y (a 2 − 4b 2 ) = a (3a − x )( x − 3a )
= (a 2 − 4b2 )( x + 2 y)
2m + 2
58. x − x 2 y 2n
53. 64a − 125a
4
= (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y ) = ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n )
= a (64 − 125a 3
) = x (x m + y n ) x (x m − y n )
46. 45a x − 20a = a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a )
2 4 2
2
= x 2 ( x m + y n )( x m − y n )
= 5a 2 (9 x 4 − 4)
= 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2) 59. 2 x + 5x − 54 x − 135
4 3
54. 70 x + 26 x − 24 x
4 3 2
= 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12) = (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135)
(
47. a 4 − a − 12 )
2
[
= 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420 ] = 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27)
= (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12)
2
= ( x 3 − 27)(2 x + 5)
= (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12)
420 2
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5)
210 2
48. bx − b − x + 1 105 5
2 2
60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2
= (bx 2 − x 2 ) − (b − 1)
21 3
7 7 = a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 )
= x 2 (b − 1) − (b − 1)
[
= a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ) ]
1
= (b − 1)(x 2 − 1) 2 2 ⋅ 7 = 28
= (b − 1)(x + 1)( x − 1) 3⋅ 5 = 15 = a [x (x 2
+ xy + y ) − 2 ( x + xy + y
2 2 2
)]
⇒ 28 − 15 = 13 = a (x − 2)( x + xy + y 2 2
)
49. 2 x + 6 x − 56 x
4 3 2
(35x + 28)(35x − 15)
= 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28) = ( ) 4
7 ⋅5 61. x + y − 1
= 2 x 2 ( x + 7)( x − 4) = 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3) [
= (x + y ) + 1 (x + y ) − 1
2
][ 2
]
50. 30a − 55a − 50 = ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1)
2 2 2
= ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500 55. a 7 + 6a 6 − 55a 3
2
62. 3a 5 + 3a 3 + 3a
= a 3 (a 4 + 6a 3 − 55)
1. 500 2
5⋅ 2 = 20 = 3a (a 4 + a 2 + 1)
2
750 2
52 ⋅ 3 = 75 = a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5)
= 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 )
375 5
75 5 ⇒ 75 − 20 = 55
(30a − 75)(30a + 20) 56. 16a b − 56a b + 49ab
[
= 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2 ]
5 3 3 5
=
= ab (16a − 56a b + 49b )
15 5
[ ]
15⋅ 2 4 2 2 4
= 3a (a + 1 ) − a
2
= (2a − 5)(15a + 10)
2 2
= ab (4a 2 − 7b 2 )
3 3 2
1 = 5 (2a − 5)(3a + 2) = 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 )
2 2

120. EJERCICIO 108 9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy
1. 1 − a8 = (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy) 16 a − 25a + 144
4 2
= (1+ a 4 )(1− a 4 ) = 9 x 3 (x + y) − x (x + y)
144 4
4 2 = 16
= (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 )
36 4
= (9 x 3 − x )( x + y) 9 3 32 = 9
= (1+ a 4
)(1+ a )(1+ a)(1− a)
2
= x (9 x − 1)( x + y ) 2
3 3 ⇒ 16 + 9 = 25
2. a − 1 = x (3x + 1)(3x − 1)( x + y )
6
1
= (a 3 + 1)(a 3 − 1) 10. 12ax + 33ax − 9a
4 2 = (a 2 − 16 )(a 2 − 9 )
= (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1) = 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3) = (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3)
3. x − 41x + 400
[
= 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12 ]
4 2
17. a x − a y + 2ax − 2ay
2 2 3 2 3 3 3
= (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 )
400 4
100 5 42 = 16 3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1)
=
4 = a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 )
20 5 52 = 25
4 4 ⇒ 25 + 16 = 41 = 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1) = (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 )
1 = ( x 2 − 25)( x 2 − 16) = 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1) = a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
= ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y
8 8
18. a + 2a − a − 2a
4 3 2
4. a − 2a b + b 4 = (x + y )(x − y ) = (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a)
4 2 2 4 4 4 4
= (a − b )2 2 2
= (x + y ) (x + y )( x − y )
4 4 2 2 2 2
= a 3 (a + 2) − a (a + 2)
= [(a + b)(a − b)] = (a + b) (a − b) = (x + y )( x + y )( x + y )( x − y ) = (a 3 − a )(a + 2)
2 2 2 4 4 2 2
12. x − 7 x − 8 = a (a 2 − 1)(a + 2)
6 3
5. x + x − 2 x
5 3
= x ( x 4 + x 2 − 2) = (x − 8)(x + 1)
3 3
= a (a + 1)(a − 1)(a + 2)
= x (x + 2)( x − 1)
2 2 = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)
2 3
19. 1 − 2a 3 + a 6
= x (x + 2)(x + 1)( x − 1) = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1)
2 2
= (a 3 − 1)
2 2
13. 64 − x
6
6. 2 x + 6 x − 2 x − 6
4 3
[
= (a − 1)(a 2 + a + 1) ]
2
= (2 x + 6x ) − (2 x + 6)
4 3 = (8 + x 3 )(8 − x 3 )
= (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) = (a − 1) (a 2 + a + 1)
2 2
= 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3)
= (2 x 3 − 2)( x + 3) 14. a − a b − a b + b 20. m − 729
5 3 2 2 3 5 6
= 2 ( x 3 − 1)( x + 3) = (a − a b ) − (a b − b
5 3 2 2 3 5
) = (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81)
= 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3) = a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 ) = (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 )
7. 3x 4 − 243 = (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 ) [
= (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2 ]
= 3( x − 81) 4
= (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b 2 2
) = (m + 3)(m − 3)[(m + 9) − 9m ]
2 2 2
= 3( x + 9)(x − 9)
2 2 15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2
= (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9)
2 2
= 3( x + 9)( x + 3)( x − 3)
2 = 2 (4 x + 3x − 1)
4 2
21. x − x
5
8. 16 x − 8 x y + y
4 2 2 4
= 2 (4 x[ 2 2
) + 3 (4 x ) − 4 2
] = x (x 4 − 1)
= (4 x − y ) 2 2
2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1)
2
= x (x 2 + 1)(x 2 − 1)
=
= [(2 x + y )(2 x − y )]
2
= x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
4
= (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y ) = 2 ( x 2 + 1)(4 x 2 − 1) = 2 (x 2 + 1)(2 x + 1)(2 x − 1)

121. 22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5 33. 16m − 25m + 9
4 2
27.1 − a b
6 6
= (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 ) = (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 ) = (16m ) − 25(16m2 ) + 144
2 2
= x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 ) = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 )
144 4
36 4 4 2 = 16
= (x + y 3 3
)(x 2
−y 2
) = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 ) 9 3 32 = 9
= (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y)
3 3 ⇒ 16 + 9 = 25
28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a
3 2
1
23. a b − a b − a b + ab = (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a ) (16m − 16)(16m2 − 9)
4 3 2 2 3 4 2
=
= (a b − a b ) − (a b − ab
4 3 2 2 3 4
) = 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2)
16
= (m2 − 1)(16m2 − 9)
= a b (a − b) − ab (a − b)
3 3
= (5ax 2 − 5a )( x + 2)
= (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3)
= (a 3b − ab 3 )(a − b) = 5a ( x 2 − 1)(x + 2) 34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b
= ab (a 2 − b 2 )(a − b) = 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2) = (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b)
= ab (a + b)(a − b)(a − b)
= 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1)
29. a x + b y − b x − a y
= (3bx 2 − 12b)(a + 1)
2 2 2 2 2 2 2 2
24. 5a − 3.125
4
= 5 (a 4 − 625) = (a x − b x ) + (b y − a y
2 2 2 2 2 2 2 2
) = 3b ( x 2 − 4)(a + 1)
= 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25) = x (a − b ) + y (b − a ) = 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1)
2 2 2 2 2 2
= 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5)
2 = x (a − b ) − y (a − b )
2 2 2 2 2 2
35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30
2 2
= (a − b )( x − y )
2 2 2 2
= (3a 2 m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30)
(
25. a + 2a
2
) 2
− 2 (a + 2a ) − 3
2
= (a + b)(a − b)( x + y )( x − y ) = 3m (a 2 + 3a − 10) + 3 (a 2 + 3a − 10)
= (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4 = (3m + 3)(a 2 + 3a − 10)
2 2 2
{[(a + 2a) − 2 (a + 2a)+ 1]− 4} 30. x + x − 2 = 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2)
2 8 4
= 2 2
= (x + 2)(x − 1 )
4 4
36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6
3 2 3 3 2
= (a 2 + 2a − 1) − 4
2
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x 2 − 1) = (a 3 x 2 − 5a 3 x + 6a 3 ) + ( x 2 − 5x + 6)
= (a 2 + 2a − 1 + 2)(a 2 + 2a − 1 − 2)
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) = a 3 ( x 2 − 5x + 6) + ( x 2 − 5x + 6)
= (a 2 + 2a + 1)(a 2 + 2a − 3) = (a 3 + 1)( x 2 − 5x + 6)
= (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(x − 3)( x − 2)
2
31. a + a − 9a − 9a
2 4 3 2
= (a + a ) − (9a + 9a )
= (a + 1) [(a + 2a + 1) − 4 ] ( ) ( )( )
2 4 3 2
37. x x − y − 2 x − 1 x − y
2 2 2 2 2 2
= a (a + 1) − 9a (a + 1)
[(a + 1) − 4] )[x − (2 x − 1) ] = (x − y
3
= (a + 1)
2 2 2 2 2
= (a 3 − 9a )(a + 1)
= ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1)
= (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2)
2
2
= a (a − 9)(a + 1) 2
= ( x + y)( x − y)( x − 1)
2
= (a + 1) (a + 3)(a − 1) = a(a + 3)(a − 3)(a + 1)
2
38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1)
3
26. a x + 2ax − 8a − 16a = a ( x + 1)(x − x + 1) + 3ax ( x + 1)
2 3 3 2
2
32. a x + a x − 6a − x − x + 6
2 2 2 2 2
= (a x + 2ax ) − (8a + 16a )
2 3 3 2
= (x + 1)[a (x − x + 1) + 3ax ]
= (a x + a x − 6a ) − ( x + x − 6)
2
2 2 2 2 2
= ax (a + 2) − 8a (a + 2)
3
= (x + 1)(ax − ax + a + 3ax )
= a ( x + x − 6) − ( x + x − 6)
2
2 2 2
= (ax − 8a )(a + 2)
3
= (x + 1)(ax + 2ax + a )
= (a − 1)( x + x − 6)
2
2 2
= a ( x − 8)(a + 2)
3
= a ( x + 1)(x + 2 x + 1)
= (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2)
2
= a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2) = a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1)
2 3

122. EJERCICIO 109 6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b
4 3 2 2 2 2 2 10. x + x − 81x − 81
7 4 3
= (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 ) = (x 7 + x 4 ) − (81x 3 + 81)
1. x − xy = x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1)
9 8
= 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2)
= x (x − y ) = (x 4 − 81)(x 3 + 1)
8 8
= 2 (a − a − 2)(a − b ) 2 2 2
= x (x − y )( x + y )
= (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1)
4 4 4 4
= 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b)
= x(x + y )(x − y )(x + y )
2 2 2 2 4 4
= (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1)
= x (x + y )(x + y )( x − y )( x + y )
2 2 4 4
11. x − x
17
7. x + 5x − 81x − 405x
= x ( x16 − 1)
6 5 2
2. x − 40 x + 144 x
5 3
= ( x + 5x ) − (81x + 405x)
= x ( x 4 − 40 x 2 + 144)
6 5 2
= x ( x 8 + 1)(x 8 − 1)
= x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5)
= x ( x 2 − 36)( x 2 − 4) = x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1)
= x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 ) = ( x 5 − 81x )( x + 5)
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1)
= x ( x 4 − 81)( x + 5)
3. a + a b − a − ab
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
= x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5)
6 3 3 4 3
= (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 ) 12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200
6 4 2
= x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5)
= a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 ) = (3x 6 − 75x 4 ) − (48 x 2 − 1. 200)
= (a 3 − a)(a 3 + b3 ) = 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25)
8. 3 − 3a 6
= a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = (3x 4 − 48)( x 2 − 25)
= 3 (1 − a 6 )
= a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5)
= 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 )
= 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5)
= 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 )
4. 4 x − 8 x + 4
= 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5)
4 2
= 4 ( x − 2 x + 1) 9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax
4 2 2 2 2 3 2 2
13. a x − x + a x − x
6 2 2 6
= 4 ( x − 1)( x − 1) = 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 )
2
= (a 6 x 2 − x 2 ) + (a 6 x − x )
2 2
= 4 ( x + 1) ( x − 1) = 4ax (a − x ) − a (a − x )