Adonai ufal

C´ALCULOvolume 1
A. Carlos & J. Adonai
UFAL-2007

ii Conteúdo
1 Vetores e Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 O Espaço Euclidiano Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Operações com n-uplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.13 Interpretações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Interpretações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.11 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.12 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.24 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.29 Distância de um Ponto a um Hiperplano . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.6 Conjuntos Associados a Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . 30
1.5 Funções Vetoriais Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.22 Superf´ıcies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1 Vetores e Funções Vetoriais – Exerc´ıcios . . . . . 50
2 Cálculo das Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . 57
2.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.3 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.14 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.19 Interpretação F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Conteúdo iii
2.3 Geometria das Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.8 Curvatura e Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.27 Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.31 C´ırculos no R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.36 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2 Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . 84
3 Funções Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.15 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Funções Cont´ınuas – Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1 Derivadas Parciais em R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.17 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . 123
4.2.3 O Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Derivadas Parciais em Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4 Derivadas Parciais Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

iv Conteúdo
4 Derivadas Parciais – Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Aplicações Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.1 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.1.21 Aplicações de Classe C1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.30 Aproximação Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2 Operações com Aplicações Diferenciáveis . . . . . . . . 173
5.2.6 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3 O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.4 Algumas Aplicações do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4.6 Superf´ıcies Definidas Implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5 Aplicações Diferenciáveis – Exerc´ıcios . . . . . . . 199
6 Funções Inversa e Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.1.1 Seqüências em Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.1.24 Funções Cont´ınuas em Conjuntos Compactos . . . . . . . . 214
6.1.39 Norma de Uma Aplicação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2 Contrações, Pontos Fixos e Perturbações . . . . . . . . 222
6.3 O Teorema da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Conteúdo v
6.4 O Teorema da Função Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.4.1 O Caso f : D ⊂ R2
−→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.4.9 O Caso f : D ⊂ Rn+m
−→ Rm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.5 Superf´ıcies Regulares em R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6 Funções Inversa e Impl´ıcita – Exerc´ıcios . . . . . 254
S Sugestões e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
I Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
R Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

1
Vetores
e
Func¸˜oes Vetoriais
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
π = P + [{V, W}]
T
z
E
y

©x
¨¨¨¨
¨¨¨
¨
d
d
d
d
d
d
d
d
¨¨¨¨B
d
d
d
¨
¨
¨
d
d
d
d‚
¨¨¨B
ˆˆˆˆˆˆˆˆz
d
d
d‚
V
sV
W
tW
sX
X − PssP
O s
Verso Preliminar
por
A. Carlos & J. Adonai

1.1
O Espaço Euclidiano Rn
Nesta se¸cão, introduziremos a no¸cão de espa¸co euclidiano Rn
, estabelecendo suas propri-
edades algébricas e geométricas básicas. Come¸camos com sua defini¸cão.
1.1.1
Definição Dado n ∈ N, o espa¸co euclidiano Rn
é definido como sendo o conjunto de todas
as n-uplas de números reais X = (x1, x2, . . . , xn), isto é,
Rn
= {X = (x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R, i = 1, 2, . . . n}.
1.1.2
Definição Dada uma n-upla X = (x1, x2, . . . , xn), os números reais x1, x2, . . . , xn são
chamados coordenadas de X.
1.1.3
Definição Dadas n-uplas X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn), diremos que X = Y
se x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn.
1.1.4
Operações com n-uplas
As estruturas aditiva e multiplicativa do corpo R induzem, naturalmente, uma estrutura
de espa¸co vetorial sobre Rn
. A adi¸cão de n-uplas e a multiplica¸cão de uma n-upla por um
número real são definidas a seguir.
1.1.5
Definição Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). A soma de X com Y , indicada
por X + Y , é a n-upla
X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).
1.1.6
Definição Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e a ∈ R. O produto de X pelo número real a,
indicada por aX, é a n-upla
aX = (ax1, ax2, . . . , axn).
1.1.7
Exemplo No espa¸co R4
, considere X = (1, 2, −π,
√
2), Y = (2,
√
3, π, 1) e a =
√
2. Então,
X + Y = (3, 2 +
√
3, 0, 1 +
√
2) e aX = (
√
2, 2
√
2, −π
√
2, 2).
2

Vetores e Funções Vetoriais 3
1.1.8
Exemplo Em R7
, considere X = (0, 1, 2, −1, 0,
√
2,
√
3) e Y = (2,
√
3, π, 1, 0, 2, −
√
3).
Então, X + Y = (2, 1 +
√
3, 2 + π, 0, 0, 2 +
√
2, 0).
As proposi¸cões que seguem mostram que as opera¸cões com n-uplas recém-definidas satis-
fazem os axiomas de espa¸co vetorial. Tal fato justifica a terminologia que consiste em chamar
uma n-upla, de vetor no Rn
.
1.1.9
Proposição Se X, Y, Z ∈ Rn
, então valem as seguintes propriedades:
(i) [Comutatividade] X + Y = Y + X;
(ii) [Associatividade] (X + Y ) + Z = X + (Y + Z);
(iii) [Elemento Neutro] a n-upla O = (0, 0, . . . , 0), chamada n-upla nula (ou zero), é a única
n-upla tal que X + O = X;
(iv) [Simétrico] a n-upla −X = (−x1, −x2, . . . , −xn), chamada simétrico da n-upla X, é a
única n-upla tal que X + (−X) = O.
Demonstração: Vejamos a demonstra¸cão de (ii). As demais são igualmente simples, e
serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Temos que
(X + Y ) + Z = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) + (z1, z2, . . . , zn)
= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2, . . . , (xn + yn) + zn))
= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . . , xn + (yn + zn))
= X + (Y + Z),
onde, na passagem da segunda para a terceira equa¸cão, foi usada a propriedade associativa dos
números reais. Os demais pontos envolvem apenas a defini¸cão 1.1.5. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppp
1.1.10
Proposição Se X, Y ∈ Rn
e a, b ∈ R, então valem as seguintes propriedades:
(i) [Distributividade] a(X + Y ) = aX + aY ;
(ii) [Distributividade] (a + b)X = aX + bX;
(iii) [Associatividade] (ab)X = a(bX);
(iv) 1 X = X.
Demonstração: Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). Temos que
a(X + Y ) = a(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
= (a(x1 + y1), a(x2 + y2), . . . , a(xn + yn))
= (ax1, ax2, . . . , axn) + (ay1, ay2, . . . , ayn) = aX + aY,

4 O Espaço Euclidiano Rn
onde usamos a propriedade distributiva de R junto com a defini¸cão 1.1.5, e obtemos (i). Para (ii),
a propriedade distributiva de R e a defini¸cão 1.1.6 são usadas:
(a + b)X = ((a + b)x1, (a + b)x2, . . . , (a + b)xn)
= (ax1 + bx1, ax2 + bx2, . . . , axn + bxn)
= aX + bX,
como quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.1.11
Corolário Rn
é um espa¸co vetorial de dimensão n.
Demonstração: As proposi¸cões 1.1.9 e 1.1.10 mostram que Rn
é uma espa¸co vetorial.
Falta mostrar que dim Rn
= n. Para isto, sejam e1, e2, . . . , en, definidos por
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
...
...
...
en = (0, 0, . . . , 0, 1).
Note que se X = (x1, x2, . . . , xn), então
X = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen.
Logo, {e1, e2, . . . , en} gera Rn
. Agora se c1, c2, . . ., cn são números reais tais que
c1e1 + c2e2 + · · · + cnen = (0, 0, . . . , 0),
vem que c1 = c2 = · · · = cn = 0, o que completa a prova. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.1.12
Definição A base {e1, e2, . . . , en} constru´ıda acima é chamada base canônica do espa¸co Rn
.
1.1.13
Interpretações Geométricas
A interpreta¸cão geométrica que descreve R como uma reta orientada, sobre a qual se esco-
lhe um ponto O, o qual corresponde ao número zero, uma unidade de medida, que corresponde
ao número 1, pode ser estendida a uma interpreta¸cão geométrica dos espa¸cos euclidianos R2
e
R3
. Para Rn
, n ≥ 4, fica por conta da imagina¸cão de cada um.

Figura 1: Os Números Reais R
r
0
r
1
r√
3
r
π +∞−∞
r
−
√
2
Para visualizar o R2
, tomamos duas cópias de R, as quais chamamos de eixos coordenados.
Estes eixos são denotados por eixo-x e eixo-y. O passo seguinte consiste em dispor os eixos
coordenados em um plano euclidiano de modo que eles se interceptem ortogonalmente ao longo
de suas origens, o que produz o ponto O, que será associado à dupla (2-upla) nula (0, 0),
conforme figura 2. Feito isso, uma dupla de R2
, digamos X = (x1, x2), é olhada como aquele
ponto do plano, também indicado por X, que se projeta ortogonalmente sobre eixo-x e eixo-y
naqueles pontos que correspondem a x1 e x2, respectivamente. Isto é feito tra¸cando-se por x1,
uma reta perpendicular ao eixo-x, e por x2, uma reta perpendicular ao eixo-y. A interse¸cão
destas perpendiculares é exatamente o ponto do plano que representará X. Deste modo, fica
estabelecida uma bije¸cão entre o plano euclidiano que fixamos e o espa¸co R2
.
Há situa¸cões em que é conveniente representar uma dupla X como um segmento orientado
localizado em O. A figura 2 exibe duas duplas X = (x1, x2) e Y = (y1, y2), de modo que cada
uma delas aparece ora como ponto, ora como segmento orientado. Neste ponto, observamos
que a no¸cão geométrica de ângulo entre X e Y é mais adequada à figura 2-(c), onde ambas são
olhadas como segmentos orientados localizados em O. Já a figura 2-(b) é perfeita para motivar
a no¸cão de reta que passa por Y e é paralela a X, conforme defini¸cão 1.3.1.
O
s E
T
x
y
Figura 2-(a)
s
Y
y2 r
y1
r
sXx2 r
x1
r
O
s E
T
x
y
Figura 2-(b)
s
Y
y2 r
y1
r¨
¨¨¨¨¨¨¨B
Xx2 r
x1
r
O
s E
T
x
y
Figura 2-(c)
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
Y
y2 r
y1
r¨
¨¨¨¨¨¨¨B
Xx2 r
x1
r
Analogamente, para fazermos geometria em R3
, recorremos a três retas, que formarão os
eixos coordenados, indicados, respectivamente, por eixo-x, eixo-y e eixo-z, e as colocamos no
espa¸co euclidiano tridimensional de modo que elas se interceptem ortogonalmente em suas ori-
gens, produzindo o ponto O, que corresponderá à tripla (3-upla) nula (0, 0, 0). Feito isso, temos
em mãos três planos especiais, chamados coordenados, e denotados por plano-xy, plano-xz e
plano-yz. Agora a uma tripla X = (x1, x2, x3) fazemos corresponder o ponto do espa¸co cujas
proje¸cões ortogonais sobre os eixos coordenados eixo-x, eixo-y e eixo-z coincidem, respectiva-
mente, com os pontos destes eixos que estão associados aos números reais x1, x2, x3. A figura 3
mostra como isso é feito: inicialmente, marcamos x1 no eixo-x, x2 no eixo-y e x3 no eixo-z.
Depois, a partir de x1, caminhamos paralelamente ao eixo-y até atingir a medida x2, onde en-
contramos o ponto que representa a proje¸cão de X no plano-xy, que corresponde a (x1, x2, 0).

6 O Espaço Euclidiano Rn
Pronto, agora é só subir (se x3 0), ou descer (se x3 0), paralelamente ao eixo-z até atingir
uma altura x3, e encontramos o ponto do espa¸co que representará X. Note que na figura 3-(b),
a tripla X é mostrada como um segmento orientado localizado na origem.
O
T
z
E
y

©x
X
(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
(x1, 0, x3)
x1
s
(0, x2, x3)
s
E E E E E E E

T
T
T
T
T
d
d
d
d
d
d
d
d
Figura 3-(a)
s
r s
s
O
T
z
E
y

©x
¨¨¨¨¨B X
(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
(x1, 0, x3)
x1
s
(0, x2, x3)
s
E E E E E E E

T
T
T
T
T
d
d
d
d
d
d
d
d
Figura 3-(b)
s
r s
O
s E
T
x
y
Figura 4-(a)
s
Y
y2 r
y1
r
sXx2 r
x1
r
s
X + Y
x2 + y2 r
x1 + y1
r
O
s E
T
x
y
Figura 4-(b)
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
Y
y2 r
y1
r¨¨¨¨
¨¨¨
¨B Xx2 r
x1
r

X + Y
x2 + y2 r
x1 + y1
r
¨
¨
¨
¨
¨
¨B
¢¢
¢¢
¢¢
¢¢
O
s E
T
x
y
Figura 4-(c)
sYy2 r
y1
r
sXx2 r
¨¨
¨¨¨¨¨¨B
x1
r
s
X + Y
x2 + y2 r
x1 + y1
r
¨
¨
¨
¨
¨
¨B

Agora podemos descrever geometricamente a adi¸cão de n-uplas e a multiplica¸cão de uma n-upla
por um número real. Para isso, usamos a figura 4, onde marcamos as duplas X = (x1, x2) e
Y = (y1, y2) juntamente com sua soma.
Olhando atentamente o conjunto de figuras 4, observamos que a (b), que mostra X e Y
como segmentos orientados localizados em O, nos dá uma regra geométrica evidente: o segmento
orientado X + Y é a diagonal do paralelogramo com arestas X e Y . Portanto, a dupla X + Y
é o ponto final deste segmento. A regra geométrica contida na figura 4-(c) é a mais simples:
localizamos em Y , o segmento orientado X. O ponto final obtido é a dupla X + Y . Fácil, não?
Para finalizar, consideremos a figura abaixo que ilustra geometricamente como funciona
a multiplica¸cão de uma n-upla por um escalar: a n-upla aX, a ∈ R, tem comprimento igual ao
comprimento de X multiplicado pelo valor absoluto de a. Seu sentido é o mesmo de X, quando
a 0, e lhe é contrário, quando a 0.
O
s E
T
x
y
Figura 5
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B
¨¨¨
¨¨¨
¨¨%
X
−X
x2 r
x1
r¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨B
¨¨¨
¨B
r aX (a 1)
aX (0 a 1)
ax1
r
ax2
1.2
Produto Interno e Norma
Vimos, recentemente, que o espa¸co Rn
possui uma estrutura de espa¸co vetorial. Em
várias situa¸cões, precisamos das no¸cões de comprimento, ângulo, ortogonalidade, não presentes
nas opera¸cões de espa¸co vetorial. Estas no¸cões são obtidas a partir de um produto escalar (ou
interno), que introduziremos agora.
1.2.1
Definição Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). O produto escalar (ou in-
terno) de X por Y , indicado por X · Y , é o número real dado por
X · Y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
A seguinte proposi¸cão descreve as propriedades deste produto.

8 Produto Interno e Norma
1.2.2
Proposição Se X, Y, Z ∈ Rn
e a ∈ R são arbitrários, então valem as seguintes proprieda-
des:
(i) [Positividade] X · X ≥ 0, e X · X = 0 se, e somente se, X = O = (0, 0, . . . , 0);
(ii) [Comutatividade] X · Y = Y · X;
(iii) [Distributividade] X · (Y + Z) = X · Y + X · Z;
(iv) [Homogeneidade] (aX) · Y = X · (aY ) = a(X · Y ).
Demonstração: Com X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) e Z = (z1, z2, . . . , zn),
temos que
X · (Y + Z) = x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2) + · · · + xn(yn + zn)
= x1y1 + x1z1 + x2y2 + x2z2 + · · · + xnyn + xnzn
= (x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn) + (x1z1 + x2z2 + · · · + xnzn)
= X · Y + X · Z.
Assim, fica provado (iii). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
A proposi¸cão 1.2.2, em seu item (i), permite-nos dar a seguinte defini¸cão.
1.2.3
Definição Seja X = (x1, x2, . . . , xn). A norma (ou comprimento) de X é dada por
X =
√
X · X = x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n.
1.2.4
Definição X ∈ Rn
é dito unitário se X = 1.
1.2.5
Exemplo Se X = (1, 2, −1, 0) e Y = (3, 1, 0, −
√
2), então X · Y = 5, X =
√
6 e
Y = 2
√
3.
1.2.6
Proposição Dados X, Y ∈ Rn
e a ∈ R, temos que
(i) X ≥ 0, e X = 0 se, e somente se, X = O;
(ii) aX = |a| X , onde |a| é o valor absoluto de a;
(iii) se X = O, o vetor uX = X/ X é unitário (uX é conhecido como vetor unitário na dire¸cão
de X);
(iv) X + Y 2
= X 2
+ 2X · Y + Y 2
;

v) X − Y 2
= X 2
− 2X · Y + Y 2
.
Demonstração: Temos que
aX = (aX) · (aX) = a2(X · X) = |a| X ,
o que prova (ii). Agora, usando (ii), vem que
uX =
X
X
=
1
X
X = 1,
e segue-se (iii). Para (iv), simplesmente expandimos X + Y 2
, usando a distributividade e a
comutatividade do produto escalar.
X + Y 2
= (X + Y ) · (X + Y )
= X · X + X · Y + Y · X + Y · Y
= X 2
+ 2X · Y + Y 2
.
Os demais itens são, também, de prova simples. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.2.7
Interpretações Geométricas
Estudaremos agora os aspectos geométricos envolvidos pelo produto escalar e pela norma.
Consideremos a figura 6 que segue. Note que o triângulo de vértices O, X e (x1, x2, 0) é
retângulo no vértice (x1, x2, 0) e seus catetos medem x2
1 + x2
2 e x3. Logo, sua hipotenusa
mede x2
1 + x2
2 + x2
3, o que coincide com X .
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
qqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
T
z
E
y

©x
¨¨¨¨¨B X
s(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
r
x1

d
d
d
d
d
d
d
d
d
Figura 6
x2
1 + x2
2
x3
d

O s
Deste modo, podemos visualizar X como o comprimento (euclidiano) do segmento orientado
X. Isto também acontece no R2
, como o leitor pode verificar facilmente.

Tomemos agora X, Y dois vetores em R2
(ou R3
) que fazem entre si um ângulo θ, como
mostra a figura 7. (Note a interpreta¸cão geométri-
ca para a diferen¸ca Y − X: o segmento orientado,
localizado em X, que representa Y − X termina
em Y .) Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo
OXY , obtemos que
Y − X 2
= X 2
+ Y 2
− 2 X Y cos θ,
o que comparado com (v) da proposi¸cão 1.2.6 dá
que
X · Y = X Y cos θ.
O
s E
T
x
y
Figura 7
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
Yy2 r
y1
r¨¨
¨¨
¨¨
¨¨B
Xx2 r
x1
r€€€€€€i
Y − X y2 − x2 r
y1 − x1
r
€€
€€€i
θppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Assim vemos que a no¸cão de produto interno está bem ligada à no¸cão de ângulo entre vetores,
e colhemos a seguinte proposi¸cão, onde ∠(X, Y ) indica o ângulo, no intervalo [0, π], entre os
vetores X e Y .
1.2.8
Proposição Se X, Y ∈ Rn
(n = 2, 3) e θ = ∠(X, Y ), então X · Y = X Y cos θ. Em
particular, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz: |X · Y | ≤ X Y , a
igualdade ocorrendo apenas quando X e Y são linearmente dependentes.
1.2.9
Exemplo A proposi¸cão 1.2.8 mostra que dois vetores X e Y em Rn
, n = 2, 3, são perpen-
diculares se, e somente se, X · Y = 0. De fato, X e Y são perpendiculares se, e
somente se, ∠(X, Y ) = π/2. Como caso particular disto, note que dado X = (x1, x2), o vetor
Y = (−x2, x1) é perpendicular a X. O vetor Y é obtido de X por uma rota¸cão em torno de O
no sentido anti-horário. Como exerc´ıcio, o leitor deve esbo¸car X e Y , para se convencer deste
fato.
Continuando com a nossa discussão geomé-
trica construiremos, agora, o que chamamos de
proje¸cão ortogonal de um vetor na dire¸cão de ou-
tro não-nulo dado. Sejam, então, X = O e Y
como na figura 8, onde uX = X/ X é o vetor
unitário na dire¸cão de X, θ = ∠(X, Y ) e PXY é
o vetor obtido pela proje¸cão ortogonal de Y sobre
X. Assim PXY = auX, onde
a = Y cos θ = uX · Y =
X · Y
X
.
O
s
e
¨
Figura 8: Proje¸cão de Y sobre X
¨
¨
e
e¨¨
a
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
e
e
e
e
eu
¨
¨¨
¨¨B
Y
¨
¨¨
¨¨¨
¨¨
¨¨B
¨
¨¨B
uX
PXY
Y − PXY
X
Logo, PXY =
X · Y
X 2 X. Da constru¸cão de PXY decorre facilmente que o vetor Y − PXY é
ortogonal a X, o que pode ser verificado, também, analiticamente:
X · (Y − PXY ) = X · (Y −
X · Y
X 2 X) = X · Y − X · Y = 0.

É conveniente notar aqui que a expressão que define PXY pode muito bem ser usada para
o espa¸co Rn
, visto que ela não contém nenhum apelo geométrico expl´ıcito. Isto será parte do
conteúdo da próxima subse¸cão.
1.2.10
Exemplo Considere, em R2
, o triângulo ABC, onde
A = (1, 1), B = (3, 2) e C = (0, 4). Os veto-
res X = C − B e Y = A − B aparecem na figura 9 localiza-
dos em B. Temos que X = (−3, 2) e Y = (−2, −1). Assim,
X · Y = 4, X 2
= 13 e
PXY =
4
13
X =
4
13
(−3, 2).
Agora fica fácil calcular a altura relativa ao lado BC, hBC,
do triângulo ABC. De fato, temos
hBC = Y − PXY = (−
14
13
, −
21
13
) = 7
√
13
13
.
O
s E
T
x
y
Figura 9
sBhBC
PXY
r
3
r2
s
A
X
Y
1
1
r
r
ssC4

k

k
¨¨¨¨%f
f
f
f
f
ff

r
1.2.11
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Inicialmente, nos inspiramos nas no¸cões geométricas que usamos há pouco, para definir
ortogonalidade entre n-uplas e construir a proje¸cão ortogonal de uma n-upla sobre outra.
1.2.12
Definição Dados X, Y ∈ Rn
, diremos que X é ortogonal (perpendicular) a Y se X · Y = 0.
1.2.13
Definição Um subconjunto {v1, v2, . . . , vk} ⊂ Rn
é dito ortogonal se vi · vj = 0, para
1 ≤ i, j ≤ k, i = j. {v1, v2, . . . , vk} é ortonormal se é ortogonal e seus elementos
são vetores unitários.
1.2.14
Exemplo Seja {e1, e2, . . . , en} a base canônica do espa¸co Rn
(veja defini¸cão 1.1.12). É claro
que e1 = e2 = · · · = en = 1. Além disto, dados i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i = j,
temos que ei · ej = 0. Logo, a base canônica é uma base ortonormal do espa¸co Rn
.
1.2.15
Definição Dados dois vetores X, Y ∈ Rn
, X = O, o vetor
PXY =
X · Y
X 2 X
é chamado proje¸cão de Y sobre X.

1.2.16
Proposição Sejam X, Y ∈ Rn
com X = O. Então, Y − PXY é perpendicular a X.
Portanto, é também perpendicular a PXY .
Demonstração: X · (Y − PXY ) = X · (Y −
X · Y
X 2 X) = X · Y − X · Y = 0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Agora podemos estender o teorema de Pitágoras para o Rn
.
1.2.17 [Pitágoras]
Proposição Sejam X, Y ∈ Rn
com X = O. Então, X é perpendicular a Y se, e
somente se, X + Y 2
= X 2
+ Y 2
.
Demonstração: Resulta imediatamente de X + Y 2
= X 2
+ Y 2
+ 2X · Y , como
indica a proposi¸cão 1.2.6, item (iv). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Enfim a desigualdade de Cauchy-Schwarz, já obtida via argumento geométricos para os
espa¸cos R2
e R3
.
1.2.18 [Cauchy-Schwarz]
Teorema Sejam X, Y ∈ Rn
. Então, |X · Y | ≤ X Y , e a igual-
dade é atingida se, e somente se, X e Y são linearmente
dependentes.
Demonstração: Inicialmente notamos que se X = O, a desigualdade é facilmente
verificada. Portanto, podemos supor X = O. Seja PXY a proje¸cão ortogonal de Y sobre X.
Segue-se da proposi¸cão 1.2.16 que Y − PXY é perpendicular a PXY . Usando a proposi¸cão 1.2.17,
obtemos que
Y 2
= (Y − PXY ) + PXY 2
= (Y − PXY ) 2
+ PXY 2
≥ PXY 2
, (¶1)
e a igualdade ocorre se, e somente se, Y = PXY =
X · Y
X 2 X. Mas
PXY 2
=
X · Y
X 2 X
2
=
(X · Y )2
X 2 ,
o que combinado com a desigualdade (¶1) dá (X · Y )2
≤ X 2
Y 2
, como quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Como corolário da desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos as propriedades da norma
que faltavam ser apresentadas: as desigualdades triangulares.
1.2.19
Corolário Se X, Y ∈ Rn
e a ∈ R, então
(i) X ≥ 0, e X = 0 se, e somente se, X = O;
(ii) aX = |a| X ;

(iii) [Desigualdade triangular] X + Y ≤ X + Y ;
(iv) [Desigualdade triangular] | X − Y | ≤ X − Y .
Demonstração: Note que (i) e (ii) aparecem na proposi¸cão 1.2.6. Daremos uma prova
para (iii) e (iv). Temos que
X + Y 2
= X 2
+ 2X · Y + Y 2
≤ X 2
+ 2|X · Y | + Y 2
≤ X 2
+ 2 X Y + Y 2
= ( X + Y )2
,
o que implica (iii). A segunda desigualdade triangular resulta da primeira. De fato,
X = (X − Y ) + Y ≤ X − Y + Y .
Logo,
X − Y ≤ X − Y . (¶2)
Trocando X por Y , vem que
Y − X ≤ Y − X = X − Y . (¶3)
Agora, juntando (¶2) e (¶3), segue-se que
− X − Y ≤ X − Y ≤ X − Y ,
o que é equivalente a
| X − Y | ≤ X − Y ,
e está pronto o corolário. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Neste ponto, tomamos duas n-uplas não-nulas X e Y . Da desigualdade de Cauchy-
Schwarz, obtemos que
−1 ≤
X · Y
X Y
≤ 1.
Logo, existe um único número real θ ∈ [0, π] tal que
cos θ =
X · Y
X Y
.
Posto isto, temos a seguinte defini¸cão.
1.2.20
Definição Dadas as n-uplas não-nulas X e Y , o número real
∠(X, Y ) = arccos
X · Y
X Y
.
é chamado ângulo entre X e Y .

1.2.21
Exemplo Sejam X = (1, 2, 1, 0) e Y = (1, 1, 3, 1) dois elementos do R4
. Então, X =
√
6,
Y = 2
√
3 e X · Y = 6. Logo, ∠(X, Y ) = arccos
6
2
√
18
= arccos
√
2
2
=
π
4
.
Observação Seja V um espa¸co vetorial qualquer sobre R, de dimensão finita ou não. Um
produto interno em V é definido como sendo uma forma bilinear simétrica e
positiva definida, que indicamos por , . Isto significa que se X, Y, Z ∈ V e a ∈ R, então
devem valer:
(i) X, X ≥ 0, e X, X = 0 se, e somente se, X é o vetor nulo de V;
(ii) X, Y = Y, X ;
(iii) X, Y + Z = X, Y + X, Z ;
(iv) a X, Y = aX, Y = X, aY .
Note que o produto escalar · que definimos para o Rn
satisfaz estas propriedades, como indica a
proposi¸cão 1.2.2. O que queremos chamar a aten¸cão aqui é que todo o conteúdo desta subse¸cão
poderia ser aplicado para o espa¸co V, com apenas uma mudan¸ca, a saber: a troca do produto
escalar · por , . Em particular, ter´ıamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
| X, Y | ≤ X Y ,
onde, é claro, X = X, X . Esta norma também satisfaz as propriedades do corolário 1.2.19.
Para finalizar esta subse¸cão, consideraremos em Rn
a distância induzida por sua norma.
1.2.22
Definição A distância entre as n-uplas X e Y , indicada por d(X, Y ), é o número real
d(X, Y ) = Y − X = (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + · · · + (yn − xn)2.
(A figura 7 sugere, também, esta defini¸cão.)
1.2.23
Exemplo Se X = (1, 2, 3, −1, 2), Y = (1, 1, 2, 0, 1), então d(X, Y ) = 2.
1.2.24
Proposição Sejam X, Y, Z ∈ Rn
. A distância tem as seguintes propriedades.
(i) d(X, Y ) ≥ 0, e d(X, Y ) = 0 se, e somente se, X = Y ;
(ii) d(X, Y ) = d(Y, X);

(iii) d(X, Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z).
Demonstração: Para (ii) basta observar que Y − X = X − Y . Vejamos (iii).
d(X, Z) = Z − X
= (Z − Y ) + (Y − X)
≤ Z − Y + Y − X
≤ d(X, Y ) + d(Y, Z),
onde a desigualdade obtida vem do corolário 1.2.19, item (iii). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3
Retas e Planos
Como vimos fazendo até aqui, para definirmos reta e plano no Rn
, usaremos alguns argu-
mentos geométricos no espa¸co euclidiano R2
.
A figura 10 ao lado mostra a dupla P, os
vetores V = O e N (perpendicular a V ) e a reta
l que passa por P e é paralela a V . Se X é um
ponto qualquer de l, então o vetor X −P deve ser
um múltiplo de V , isto é, existe t ∈ R tal que
X − P = tV,
ou
X = P + tV,
equa¸cão que descreve os pontos de l, e motiva a
seguinte defini¸cão.
O
s E
T
x
y
Figura 10: Reta passando por P
e paralela a V
s¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨
¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨
¨¨¨B
¨¨¨
¨¨Bs
X
¨¨
¨¨¨
P
X − P
¨¨¨B
e
e
eu
V
N
l = P + [V ]
[V ]
1.3.1
Definição Dados P, V ∈ Rn
, V = O, o subconjunto l = P + [V ], onde [V ] indica o
subespa¸co gerado por V , é chamado reta que passa por P e é paralela ao vetor V .
Assim,
l = {X ∈ Rn
; X = P + tV, t ∈ R}.
A equa¸cão X = P + tV é a equa¸cão paramétrica de l.
1.3.2
Exemplo Dados P, Q ∈ Rn
, P = Q, a reta que passa por P (ou Q) e é paralela ao vetor
Q − P é a reta lPQ = P + [Q − P]. Para t = 1, obtemos X = P + t(Q − P) = Q.

16 Retas e Planos
Logo, Q ∈ l, o que implica que l é a reta que passa por P e Q. Deixando t percorrer o intervalo
fechado [0, 1], obtemos o subconjunto [P, Q] ⊂ lPQ, o qual
chamaremos de segmento de reta ligando P a Q. Assim,
[P, Q] = {X = P + t(Q − P); 0 ≤ t ≤ 1}.
Para t = 1/2, obtemos
M = P +
1
2
(Q − P) =
P + Q
2
∈ [P, Q],
¨¨¨
¨¨
Figura 11: Segmento [P, Q]
P
QM
s
s
s
o ponto médio de [P, Q]. Observe que d(M, P) = d(M, Q) = M − P = M − Q = d(P, Q)/2.
1.3.3
Exemplo Tomemos, em R2
, P = (x0, y0) e V = (v1, v2) = (0, 0). Se
X = (x, y) ∈ l = P + [V ] = {X = (x, y) = (x0, y0) + t(v1, v2), t ∈ R}
é um ponto qualquer de l, então x = x0 + tv1 e y = y0 + tv2, t ∈ R. Donde
v2x = v2x0 + tv2v1 e v1y = v1y0 + tv1v2
e, portanto,
ax + by = c,
onde a = −v2, b = v1 e c = ax0 + by0. Esta é a equa¸cão cartesiana de l, forma usual nos textos
elementares de Geometria Anal´ıtica, e que pode ser reescrita como
(X − P) · N = 0,
onde N = (a, b) = (−v2, v1) é perpendicular a V e, portanto, a l (veja o exemplo 1.2.9).
Observação Uma reta l = P + [V ] não determina unicamente P e V . De fato, se Q ∈ l é
um ponto qualquer de l e W = λV , λ = 0, então l = Q + [W].
1.3.4
Definição Duas retas no Rn
, l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W], são ditas paralelas se V e W
são linearmente dependentes.
1.3.5
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W] duas retas no R2
que não são paralelas.
Logo, como nossa intui¸cão espera, l1 e l2 devem se tocar num único ponto (o
que pode não ocorrer em dimensões maiores que 2, como mostra o exemplo 1.3.6). Com efeito,
{V, W} é uma base do R2
(por quê?) e, portanto, devem existir únicos t1, t2 ∈ R tais que
Q − P = t1V + t2W. Donde, Q − t2W = P + t1V . Mas P + t1V ∈ l1 e Q − t2W ∈ l2. Logo, l1
e l2 se interceptam em R = Q − t2W = P + t1V .

1.3.6
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W], onde P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), V = (1, 1, 1)
e W = (1, 1, 0). Os vetores V e W são linearmente independentes, o que resulta
de uma simples observa¸cão de suas terceiras coordenadas. Assim, l1 e l2 não são paralelas.
Entretanto, ao contrário do que ocorre no plano (exemplo 1.3.5), l1 e l2 não se interceptam. De
fato, se R é um ponto onde estas retas se interceptam, então
R = P + t1V = (1 + t1, t1, t1) e R = Q + t2W = (t2, 1 + t2, 0),
para alguns t1, t2 ∈ R. Isto implica que t2 = 1 = −1, um absurdo. Portanto, devemos mesmo
ter l1 ∩ l2 = ∅.
Nosso objetivo agora é construir planos no Rn
. Come¸caremos trabalhando em R3
.
Sejam V e W dois vetores linearmente independentes em R3
, localizados em P, como
mostra a figura 12.
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
T
z
E
y
π = P + [{V, W}]

©x
¨
¨¨¨
¨¨¨
¨
d
d
d
d
d
d
d
d
¨
¨¨¨B
d
d
d
¨
¨
¨
d
d
d
d‚
¨
¨¨B
ˆˆˆˆˆˆˆˆz
d
d
d‚
V
sV
W
tW
sX
X − PssP
O s
Figura 12: Plano que passa por P e é paralelo a V e W
Seja π = P + [{V, W}] o plano que passa por P e é paralelo aos vetores V e W. Dado X ∈ π, o
vetor X − P está no subespa¸co gerado pelos vetores V e W. Logo, existem escalares s e t tais
que X − P = sV + tW, donde X = P + sV + tW.
1.3.7
Definição Dados P, V, W ∈ Rn
com {V, W} linearmente independente, o subconjunto
π = P + [{V, W}], onde [{V, W}] é o subespa¸co gerado por {V, W}, é chamado
plano que passa por P e é paralelo aos vetores V e W. Em outras palavras,
π = {X ∈ Rn
; X = P + sV + tW, s, t ∈ R}.
A equa¸cão X = P + sV + tW é a equa¸cão paramétrica de π.
1.3.8
Exemplo Sejam P, Q, R ∈ Rn
três pontos tais que o triângulo PQR seja não-degenerado,
isto é, os vetores V = Q−P e W = R−P são linearmente independentes. Então,
o plano
π = P + [{V, W}] = {X ∈ Rn
; X = P + s(Q − P) + t(R − P), s, t ∈ R}

18 Retas e Planos
contém os pontos Q e R. Para ver isto, ponha s = 1 e t = 0, para obter Q, e s = 0 e t = 1, para
encontrar R. Este é o plano que passa pelos pontos P, Q, R, que indicaremos por πPQR. Como
caso particular, tomemos, em R3
, os pontos P = (0, 0, 2), Q = (4, 1, 0) e R = (1, 1, 1). Então,
V = (4, 1, −2) e W = (1, 1, −1), e πPQR fica
πPQR = {(x, y, z) = (0, 0, 2) + s(4, 1, −2) + t(1, 1, −1), s, t ∈ R}
= {(x, y, z) = (4s + t, s + t, 2 − 2s − t), s, t ∈ R},
Eliminando s e t na equa¸cão paramétrica obtida, obtemos que
πPQR = {(x, y, z); x + 2y + 3z = 6},
que é a forma cartesiana de πPQR. Note que os coeficientes desta última equa¸cão, a saber, 1,
2 e 3, dão origem ao vetor N = (1, 2, 3) que, como é fácil de ver, é perpendicular aos vetores
V e W. Portanto, N é também perpendicular a πPQR. A seguinte proposi¸cão generaliza esta
situa¸cão.
1.3.9
Proposição Seja π = P + [{V, W}] um plano do R3
. Então existe N = (a, b, c), não-nulo,
perpendicular a V e W (e portanto perpendicular a π) tal que
π = {X ∈ R3
; (X − P) · N = 0} = {(x, y, z); ax + by + cz = d},
onde d = N · P.
Demonstração: Sejam P = (p1, p2, p3), V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3). Assim,
π = {(x, y, z) = (p1 + sv1 + tw1, p2 + sv2 + tw2, p3 + sv3 + tw3), s, t ∈ R}. (¶4)
Como V e W são linearmente independentes, a matriz


v1 w1
v2 w2
v3 w3


tem posto 2. Resulta da´ı, que pelo menos uma das matrizes
v1 w1
v2 w2
,
v1 w1
v3 w3
e
v2 w2
v3 w3
tem determinante não-nulo. Logo, podemos supor, sem perda de generalidade, que a primeira
destas matrizes tem inversa, a qual é dada por
v1 w1
v2 w2
−1
=
1
v1w2 − v2w1
w2 −w1
−v2 v1
.
Seja X = (x, y, z) ∈ π um ponto qualquer. De (¶4) vem que
x − p1
y − p2
=
v1 w1
v2 w2
s
t
z − p3 = (v3 w3)
s
t
.

Logo,
z − p3 = (v3 w3)
v1 w1
v2 w2
−1
x − p1
y − p2
=
1
v1w2 − v2w1
(v3 w3)
w2 −w1
−v2 v1
x − p1
y − p2
.
Donde,
(v2w3 − v3w2)(x − p1) + (v3w1 − v1w3)(y − p2) + (v1w2 − v2w1)(z − p3) = 0,
ou (X − P) · N = 0, onde
N = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1).
A equa¸cão (X − P) · N = 0 implica, em particular, que N é perpendicular aos vetores V e W.
De fato, tomando X = P + V ∈ π, temos que (X − P) · N = V · N = 0. Da mesma forma,
vemos que W · N = 0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
A equa¸cão (X −P)·N = 0, obtida para planos no R3
, serve, como vimos no exemplo 1.3.3,
também para retas em R2
. Isto sugere a seguinte defini¸cão.
1.3.10
Definição Sejam P, N ∈ Rn
, onde N é um vetor não-nulo. O subconjunto
H = {X ∈ Rn
; (X − P) · N = 0}
é chamado hiperplano que passa por P e é perpendicular a N.
Observação Os hiperplanos de R2
são retas; os do R3
são os planos. Por analogia a estes
casos é de se esperar que a “dimensão” destes objetos dependa do ambiente no
qual eles habitam. Um hiperplano H ⊂ Rn
deve ter dimensão n − 1.
1.3.11
Exemplo Seja H = {X = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4
; x1 + x2 − 2x3 − x4 = 1}. Temos que H é o
hiperplano do R4
que é perpendicular a N = (1, 1, −2, −1) e passa, por exemplo,
por P = (0, 0, 0, −1). Agora observe que X ∈ H se, e somente se,
X = (x1, x2, x3, x1 + x2 − 2x3 − 1) = P + x1(1, 0, 0, 1) + x2(0, 1, 0, 1) + x3(0, 0, 1, −2),
o que mostra que os pontos de H são descritos por uma equa¸cão paramétrica a três parâmetros.
Isto basta para sentir que a dimensão de H é 3.
1.3.12
Produto Vetorial
Devido ao seu valor geométrico, o vetor N constru´ıdo na proposi¸cão 1.3.9 merece destaque
especial. Nesta subse¸cão colocaremos as propriedades básicas deste vetor.

20 Retas e Planos
1.3.13
Definição Sejam X = (x1, x2, x3) e Y = (y1, y2, y3) duas triplas em R3
. O produto vetorial
de X por Y , denotado por X × Y (ou X ∧ Y ), é definido por
X × Y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1),
que pode ser facilmente lembrado expandindo o determinante abaixo ao longo da primeira linha:
X × Y =
e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
= (x2y3 − x3y2)e1 + (x3y1 − x1y3)e2 + (x1y2 − x2y1)e3,
onde {e1, e2, e3} é a base canônica do R3
.
1.3.14
Exemplo Sejam X = (1, 1, 2) e Y = (3, −1, 1). O produto vetorial de X por Y é o vetor
X × Y =
e1 e2 e3
1 1 2
3 −1 1
= 3e1 + 5e2 − 4e3 = (3, 5, −4).
Note que (X × Y ) · X = (3, 5, −4) · (1, 1, 2) = 0. Também (X × Y ) · Y = 0, o que diz que X × Y
é perpendicular a X e a Y . Esta propriedade é verdadeira em geral, como veremos a seguir.
1.3.15
Proposição Sejam X, Y, Z ∈ R3
e a ∈ R. As seguintes propriedades são verificadas.
(i) X × Y = −Y × X;
(ii) a(X × Y ) = (aX) × Y = X × (aY );
(iii) X × (Y + Z) = X × Y + X × Z;
(iv) (X × Y ) · Z = det (X, Y, Z);
(v) X × Y 2
= X 2
Y 2
− (X · Y )2
,
onde (X, Y, Z) indica a matriz cujas colunas (ou linhas) são as triplas X, Y e Z, olhadas como
matrizes 3 × 1. Assim,
det (X, Y, Z) =
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
=
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
.
Demonstração: A demonstra¸cão destas propriedades é feita via computa¸cão direta,
usando a defini¸cão 1.3.13. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

1.3.16
Corolário Se X, Y ∈ R3
, então
X × Y = X Y sen ∠(X, Y ).
(Geometricamente, isto significa que a área do paralelogramo gerado por X e Y é X × Y .)
Demonstração: O item (v) da proposi¸cão 1.3.15,
junto com a equa¸cão da proposi¸cão 1.2.8, implica que
X × Y = X 2
Y 2
− (X · Y )2
= X 2
Y 2
(1 − cos2 ∠(X, Y ))
= X Y sen ∠(X, Y )
,
o que quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppp rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
O
s
e
¨
Figura 13: Paralelogramo gerado por X e Y
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨B
e
e
e
e
e
Y
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨B¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
h = Y sen θ
X
1.3.17
Corolário Os vetores X, Y ∈ R3
são linearmente dependentes se, e somente se, X×Y = O.
Demonstração: X e Y são linearmente dependentes se, e somente se, sen ∠(X, Y ) = 0.
Agora é só aplicar o corolário 1.3.17. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.18
, então det (X, Y, X × Y ) = X × Y 2
. Em particular, se X e Y
são linearmente independentes, então {X, Y, X ×Y } é uma base com a mesma
orienta¸cão da base canônica.
Demonstração: Usando o item (iv) da proposi¸cão 1.3.15, vem que
det (X, Y, X × Y ) = (X × Y ) · (X × Y ) = X × Y 2
.
Agora, como X e Y são linearmente inde-
pendentes, temos que X × Y = O, o que
vem do corolário 1.3.17. Portanto,
det (X, Y, X × Y ) = X × Y 2
0,
e obtemos que (X, Y, X × Y ), que é a ma-
triz de passagem da base {X, Y, X × Y }
para a base canônica, tem determinante
positivo, isto é, tem a mesma orienta¸cão
que a base canônica. Geometricamente,
isto significa que {X, Y, X × Y } está posi-
cionada no espa¸co de modo análogo à base
{e1, e2, e3}, como mostra a figura 14. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
g
g
g
g
d

T
e3
E
e2

©
e1
sg
g
g
g
g
g
g
gyX × Y
I
Y
d
d
d
d
d‚
X
s
Figura 14: Produto Vetorial

22 Retas e Planos
1.3.19
são ortonormais (unitários e ortogonais), então {X, Y, X × Y } é
uma base ortonormal do R3
.
Demonstração: Falta verificar que X × Y é também unitário. Isto segue-se facilmente
de (v) da proposi¸cão 1.3.15. Com efeito,
X × Y 2
= X 2
Y 2
− (X · Y )2
= 1 − 0 = 1. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.20 [Duplo Produto Vetorial]
Corolário Se X, Y, Z ∈ R3
, então vale a fórmula do duplo
produto vetorial:
(X × Y ) × Z = (X · Z) Y − (Y · Z) X.
Demonstração: Suponhamos, inicialmente, que X e Y sejam ortonormais. Logo,
{X, Y, X × Y } é uma base ortonormal do R3
, e isto implica que existem (e são únicos) números
reais c1, c2 e c3 tais que Z = c1X + c2Y + c3X × Y . Na realidade, c1 = X · Z, c2 = Y · Z e
c3 = (X ×Y )·Z. Como (X ×Y )×Z é perpendicular a X ×Y , vem que ele deve ser combina¸cão
linear de X e Y . Portanto,
(X × Y ) × Z = aX + bY,
onde a = ((X × Y ) × Z) · X e b = ((X × Y ) × Z) · Y . Mas
((X × Y ) × Z) · X = det (X × Y, Z, X)
= det (X × Y, c1X + c2Y + c3X × Y, X)
= c2 det (X × Y, Y, X)
= −c2 det (X, Y, X × Y )
= −c2 X × Y 2
= −c2 = −Y · Z.
Analogamente, vemos que ((X × Y ) × Z) · Y = c1 = X · Z. Logo, a = −Y · Z e b = X · Z, o
que prova a fórmula do duplo produto vetorial para o caso onde X e Y são ortonormais. Para
estendê-la para o caso onde X e Y são apenas ortogonais, tomamos os unitários uX e uY . Logo
(uX × uY ) × Z = (uX · Z) uY − (uY · Z) uX,
ou, equivalentemente,
1
X Y
(X × Y ) × Z =
1
X Y
(X · Z) Y −
1
X Y
(Y · Z) X,
que simplificada dá
(X × Y ) × Z = (X · Z) Y − (Y · Z) Y,
e a fórmula do duplo produto vetorial funciona também quando X e Y são ortogonais. Para o
caso geral, onde X e Y são linearmente independentes, recorremos à proje¸cão de Y sobre X,

PXY . Da proposi¸cão 1.2.16 vem que PXY = λX, onde λ = (X · Y )/ X 2
, e que Y − PXY é
perpendicular a X. Logo,
(X × (Y − PXY )) × Z = (X · Z) (Y − PXY ) − ((Y − PXY ) · Z) X. (¶5)
Mas
X × (Y − PXY ) = X × Y − X × PXY = X × Y,
visto que PXY é paralelo a X, e
(X · Z)(Y − PXY ) − ((Y − PXY ) · Z)X = (X · Z)Y − (X · Z)PXY − (Y · Z)X + (PXY · Z)X
= (X · Z)Y − (Y · Z)X − λ((X · Z)X − (X · Z)X)
= (X · Z)Y − (Y · Z)X.
Assim, (¶5) fica:
(X × Y ) × Z = (X · Z) Y − (Y · Z) X.
A fórmula do duplo produto vetorial agora vale sempre que X e Y são linearmente independentes.
O caso onde X e Y são linearmente dependente (Y = kX) é trivial: a fórmula tem ambos os
membros nulos, como pode ser facilmente verificado pelo leitor. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.21
Corolário Sejam T e N dois vetores ortonormais do R3
. Se B = T ×N, então B × T = N
e N × B = T.
Demonstração: A fórmula do duplo produto vetorial dá que
B × T = (T × N) × T = (T · T)N − (N · T)T = N,
visto que T = 1 e T · N = 0. Agora convidamos o leitor a provar que N × B = T. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.22
Exemplo Sejam e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Um cálculo direto mostra que
e1 × e2 = e3. Logo, e2 × e3 = e1 e e3 × e1 = e2. Em particular,
(e1 × e2) × e2 = e3 × e2 = −e1
e1 × (e2 × e2) = e1 × O = O,
o que implica que (e1 × e2) × e2 = e1 × (e2 × e2) e mostra que o produto vetorial, em geral, não
é associativo. O próximo corolário mostra quando o produto vetorial é associativo.

24 Retas e Planos
1.3.23
Corolário Dados vetores X, Y e Z em R3
, então X × (Y × Z) = (X × Y ) × Z se, e
somente se, (X · Y ) Z = (Y · Z) X.
Demonstração: Usando o corolário 1.3.20 temos que
X × (Y × Z) = −(Y × Z) × X = −((X · Y ) Z − (X · Z) Y ) = (X · Z) Y − (X · Y ) Z,
que comparado com
(X × Y ) × Z = (X · Z) Y − (Y · Z) X,
mostra que X × (Y × Z) = (X × Y ) × Z se, e somente se, (X · Y ) Z = (Y · Z) X. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.24
Distância de um Ponto a uma Reta
Seja l = P + [V ] uma reta no Rn
. Dado
Q ∈ Rn
um ponto qualquer, seja Y = Q − P,
como mostra a figura 15. A proje¸cão de Y sobre
V é dada por
PV Y = λV, onde λ =
Y · V
V 2 .
Como a figura 15 mostra é bastante razoável se
esperar que a distância de Q a l, que indicaremos
por d(Q, l), definida como sendo o m´ınimo das
distâncias de Q a pontos de l, isto é,
d(Q, l) = min{d(Q, X), X ∈ l},
¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨
¨
¨¨¨
Figura 15
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
e
e
e
e
eu
¨¨
¨¨¨B
Y = Q − P
Qs
¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B
PV Y
Y − PV Y
V
l = P + [V ]
sQ
P
s
seja atingida no ponto Q ∈ l, a proje¸cão ortogonal de Q sobre l, dado por
Q = P + PV Y = P + λV = P +
(Q − P) · V
V 2 V.
Portanto,
(d(Q, l))2
= Y − PV Y 2
= (Q − P) −
(Q − P) · V
V 2 V
2
= Q − P 2
− 2(Q − P) · (
(Q − P) · V
V 2 V ) +
((Q − P) · V )2
V 4 V 2
=
Q − P 2
V 2
− ((Q − P) · V )2
V 2 ,
o que produz o seguinte resultado.

1.3.25
Proposição Seja l = P +[V ] a reta do Rn
que passa por P e é paralela a V . Dado Q ∈ Rn
a distância de Q a l é dada por
d(Q, l) =
Q − P 2
V 2
− ((Q − P) · V )2
V
.
Além disto, o ponto Q ∈ l onde esta distância é atingida é dado por
Q = P +
(Q − P) · V
V 2 V.
A partir desta proposi¸cão obtemos as fórmulas usuais da distância de um ponto a uma
reta, em R3
e R2
, como mostram os corolários 1.3.27 e 1.3.28.
1.3.26
Exemplo Sejam P = (1, 0, −2, 3), Q = (1, 1, , 0, 2) e V = (1, 1, −1, 1), e consideremos a
reta l = P + [V ]. Temos que Q − P 2
= 6, (Q − P) · V = −2 e V = 2. Logo,
usando a proposi¸cão 1.3.25, a distância de Q a l é
d(Q, l) =
Q − P 2
V 2
− ((Q − P) · V )2
V
=
√
5.
O ponto Q ∈ l onde d(Q, l) é atingida é dado por
Q = P +
(Q − P) · V
V 2 V = (1, 0, −2, 3) −
1
2
(1, 1, −1, 1) =
1
2
(1, −1, −3, 5).
Sugerimos ao leitor o cálculo de d(Q, Q ) que, claro, deve produzir
√
5.
1.3.27
Corolário Seja l = P + [V ] a reta do R3
que passa por P e é paralela a V . Dado Q ∈ R3
a distância de Q a l é dada por
d(Q, l) =
(Q − P) × V
V
.
Demonstração: Resulta de (v), proposi¸cão 1.3.15, junto com a proposi¸cão 1.3.25. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.28
Corolário Seja l = P + [V ] a reta do R2
que passa por P = (x1, x2) e é paralela a
V = (v1, v2). Dado Q = (x0, y0) a distância de Q a l é dada por
d(Q, l) =
|ax0 + by0 − c|
√
a2 + b2
,

26 Retas e Planos
onde N = (a, b) = (−v2, v1) é normal a l e c = ax1 + bx2. (Neste caso, a equa¸cão cartesiana de
l é: ax + by = c.)
Demonstração: Visando utilizar o corolário 1.3.27, mergulharemos R2
em R3
, isto é,
olharemos uma dupla X = (x1, x2), como sendo a tripla X = (x1, x2, 0). Assim,
d(Q, l) =
(x0 − x1, y0 − y1, 0) × (v1, v2, 0)
(v1, v2, 0)
,
que expressa em termos de a = −v2, b = v1 e c = ax1 + bx2 fica:
d(Q, l) =
(0, 0, −ax0 − by0 + c)
(b, −a, 0)
=
|ax0 + by0 − c|
√
a2 + b2
. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.29
Distância de um Ponto a um Hiperplano
Seja π o plano do R3
que é perpendicular a N e passa por P, conforme mostra a figura 16.
Dado Q ∈ R3
, a distância de Q a π, d(Q, π), é definida como sendo o m´ınimo das distâncias de
Q a pontos de π, isto é,
d(Q, π) = min{d(Q, X); X ∈ π}.
Seja l a reta que passa por Q e é paralela a N. Temos que l intercepta (ortogonalmente) π no
ponto
Q = Q − PN (Q − P) = Q −
(Q − P) · N
N 2 N,
onde PN (Q − P) é a proje¸cão de Q − P sobre N.
Fixemos X ∈ π um ponto arbitrário. Como Q − Q é perpendicular a π, ele é perpendicular a
X − Q . Usando o teorema de Pitágoras (veja proposi¸cão 1.2.17), vem que
X − Q 2
= X − Q − Q + Q 2
= X − Q 2
+ Q − Q 2
≥ Q − Q 2
e, portanto, obtemos
Q − Q ≤ X − Q , ∀X ∈ π.
Segue-se, então, que d(Q, π) é atingida em Q e
d(Q, π) = Q − Q =
(Q − P) · N
N 2 N =
|(Q − P) · N|
N
.
Isto prova a seguinte proposi¸cão.
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
ˆ
¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
d
d
d
d
d
d
d
d
g
g
g
g
g
g
g
g
Q
d(Q, π) d(Q, X)
Q
π
Q − PT

N
P
s
sXs
Figura 16

1.3.30
Proposição Seja H o hiperplano do Rn
que é perpendicular a N e passa por P. Dado
Q ∈ Rn
, a distância de Q a H é dada por
d(Q, H) =
|(Q − P) · N|
N
.
Mais ainda, d(Q, H) é atingida no ponto de H
Q = Q −
(Q − P) · N
N 2 N.
Em particular, se n = 3, Q = (x0, y0, z0), N = (a, b, c) e d = N · P, a distância de Q ao plano H
fica:
d(Q, H) =
|ax0 + by0 + cz0 − d|
√
a2 + b2 + c2
.
1.3.31
Exemplo A distância de Q = (3, −2, 1) ao plano π de equa¸cão cartesiana 2x − 2y − z = −9
vale
d(Q, π) =
|(3, −2, 1) · (2, −2, −1) + 9|
3
= 6.
Agora se X = (x, y, z) é um ponto qualquer de π, então
X = (x, y, 2x − 2y + 9) = (0, 0, 9) + x(1, 0, 2) + y(0, 1, −2)
= P + xV + yW,
onde P = (0, 0, 9), V = (1, 0, 2) e W = (0, 1, −2). Logo, π = P + [{V, W}], e obtemos uma
representa¸cão paramétrica para π.
1.3.32
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W] duas retas em Rn
. Se V e W são linearmente
independentes, há duas possibilidades para a interse¸cão l1 ∩ l2, a saber:
(i) l1 ∩ l2 é um ponto, digamos l1 ∩ l2 = {R};
(ii) l1 ∩ l2 é vazio.
No primeiro caso, o plano π = R + [{V, W}] contém l1 e l2, e dizemos que l1 e l2 são retas
coplanares. Já em (ii), não existe um plano que contenha ambas as retas, e diremos que l1 e l2
são retas reversas. O leitor deve observar que as retas do exemplo 1.3.6 são retas reversas em
R3
. Suponhamos, agora, que os vetores V e W sejam linearmente dependentes. Obtemos, outra
vez, duas alternativas:
(iii) l1 e l2 são coincidentes, isto é, l1 = l2;
(iv) l1 e l2 são paralelas e l1 ∩ l2 = ∅.
Em (iv), l1 e l2 são coplanares, visto que o plano π = P + [{V, W}] = Q + [{V, W}], onde
W = Q − P, as contém.

28 Funções Vetoriais
1.4
Funções Vetoriais
Nesta se¸cão, estudaremos as no¸cões básicas relacionadas com aplica¸cões entre espa¸cos
euclidianos de dimensões quaisquer.
1.4.1
Definição Uma fun¸cão vetorial é uma fun¸cão com dom´ınio D ⊂ Rn
e contradom´ınio Rm
,
isto é, uma fun¸cão do tipo
f : D ⊂ Rn
−−−−−→ Rm
X −−−−−→ f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)),
onde X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D. Quando m = 1, diremos que f é uma fun¸cão real. Já quando
n = 1, f é dita uma fun¸cão vetorial de uma variável real. A imagem de f, denotada por Im(f),
ou por f(D), é o conjunto
Im(f) = f(D) = {Y ∈ Rm
; Y = f(X), X ∈ D}.
Dizemos, também, que f parametriza o conjunto Im(f), ou que Im(f) é o conjunto parametri-
zado por f.
1.4.2
Definição Dada uma fun¸cão vetorial
f : D ⊂ Rn
−−−−−→ Rm
X −−−−−→ f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)),
as m fun¸cões reais
f1 : D ⊂ Rn
−−−−−→ R
X −−−−−→f1(X)
f2 : D ⊂ Rn
−−−−−→ R
X −−−−−→f2(X)
...
fm : D ⊂ Rn
−−−−−→ R
X −−−−−→fm(X)
são as fun¸cões coordenadas de f.
1.4.3
Exemplo Seja f : R2
−→ R definida por f(x, y) = x2
+ y2
. Temos que f é uma fun¸cão real
(de duas variáveis) cuja imagem coincide com o intervalo [0, ∞).

1.4.4
Exemplo Seja f(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t), t ∈ [0, 2π], onde a 0, b 0, x0 e y0 são
números reais fixados. A imagem de f,
Im(f) = {(x, y) ∈ R2
; x = x0 + a cos t, y = y0 + b sen t, t ∈ R}, (¶6)
coincide com a elipse de semi-eixos a e b, centrada em C = (x0, y0), que denotaremos por
E(C, a, b). De fato, se x e y são como em (¶6), então
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = cos2
t + sen2
t = 1.
E
f
O
C
s E
T
x
E(C, a, b)
y
r
q
qy0
x0
a
b
0 2πt
r
Figura 17: Elipse
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1
¨¨¨¨B
r
f(t)
r
f1(t)
rf2(t)

t
r
P2
rP1
Assim f parametriza E(C, a, b). A figura 17 mostra, em particular, a constru¸cão geométrica
da fun¸cão f: pelo ponto C = (x0, y0) tra¸camos a semi-reta que faz o ângulo t com o eixo-x.
Esta semi-reta intercepta os c´ırculos, centrados em C e de raios a e b, nos pontos P1 e P2,
respectivamente. Agora, por P1 tra¸camos uma
reta paralela ao eixo-y, e por P2 tra¸camos uma
reta paralela ao eixo-x. A interse¸cão destas retas
é exatamente o ponto da elipse
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1
que indicamos por f(t). Em particular, se b = a,
obtemos que f parametriza o c´ırculo de centro
C = (x0, y0) e raio a, denotado por S1
(C, a). Ob-
serve que, neste caso, as fun¸cões coordenadas de
f ficam assim:
f1(t) = x(t) = x0 + a cos t
f2(t) = y(t) = y0 + a sen t,
onde t ∈ [0, 2π].
O
C
s E
T
x
S1
(C, a)
y
r
q
qy0
x0
a
Figura 18: (x − x0)2
+ (y − y0)2
= a2
ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp

r
f1(t)
rf2(t)
t
rf(t)

1.4.5
Exemplo A fun¸cão vetorial
g : R2
−−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = (1 + u, 2 + v, u + v)
tem fun¸cões coordenadas
g1(u, v) = x(u, v) = 1 + u
g2(u, v) = y(u, v) = 2 + v
g3(u, v) = z(u, v) = u + v,
(u, v) ∈ R2
, e sua imagem coincide com o plano que passa por (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores
(1, 0, 1) e (0, 1, 1).
1.4.6
Conjuntos Associados a Funções Vetoriais
Estudaremos, agora, alguns subconjuntos do espa¸co euclidiano que desempenham papel
de grande relevância na descri¸cão das fun¸cões vetoriais.
1.4.7 [Gráficos]
Definição Seja f : D ⊂ Rn
−→ Rm
, f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)), uma fun-
¸cão vetorial. O gráfico de f, indicado por G(f), é definido por
G(f) = {(X, Y ) ∈ Rn+m
; Y = f(X), X ∈ D}
= {(x1, x2, . . . , xn, f1(X), f2(X), . . . , fm(X)); X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D}.
Diremos, também, que G(f) é o conjunto definido explicitamente por f.
Observação Na defini¸cão acima, introduzimos uma nova nota¸cão, que será útil em outras
situa¸cões: dados X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
e Y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rm
, escre-
vemos (X, Y ) para representar a (n + m)-upla (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym).
1.4.8
Exemplo Seja f : [−1, 1] −→ R definida por
f(x) = x2
. Temos que f é uma fun-
¸cão real de uma variável real cuja imagem coincide
com o intervalo [0, 1], e cujo gráfico é o subcon-
junto do R2
dado por
G(f) = {(x, y); y = x2
, x ∈ [−1, 1]},
que coincide com o arco da parábola y = x2
que
se projeta sobre o intervalo [−1, 1].
−1 1O
E
T
x
y
Figura 19: Parábola y = x2
s

1.4.9 [Parabolóide de Revolução]
Exemplo Seja f : R2
−→ R, f(x, y) = x2
+ y2
, a qual
já usamos no exemplo 1.4.3. O seu gráfico,
que chamamos parabolóide de revolu¸cão (ou rota¸cão), é dado por
G(f) = {(x, y, z); z = x2
+ y2
}.
Para fazer um esbo¸co deste conjunto usamos o método dos cortes por planos da forma z = c, isto
é, planos paralelos ao plano-xy. Neste caso, quando cortamos G(f) pelo plano z = 4, obtemos,
neste plano, o c´ırculo de raio 2 e centro (0, 0, 4):
{(x, y, z); x2
+ y2
= 4, z = 4}.
Mais geralmente, se cortamos G(f) com planos
z = a 0, obtemos a´ı o c´ırculo de raio
√
a e centro
(0, 0, a). Note que, quando a 0, a interse¸cão é
vazia, e coincide com a origem, quando a = 0. Isto
sugere que G(f) é um subconjunto de R3
obtido
pela rota¸cão em torno do eixo-z de alguma curva
plana, por exemplo, do plano-xz. Esta curva é
facilmente obtida, interceptando-se G(f) com o
plano y = 0, isto é, com o plano-xz, o que produz
a parábola z = x2
. Como resultado, obtemos a
figura 20.
T
z
E
y

©x
Figura 20: Parabolóide z = x2
+ y2
1.4.10 [Sela]
Exemplo A sela ou parabolóide hiperbólico é o gráfico da fun¸cão f(x, y) = y2
− x2
,
(x, y) ∈ R2
. Por não ser um subconjunto obtido por rota¸cões, o seu esbo¸co é
um pouco mais trabalhoso. Come¸cando com cortes por planos z = a ≥ 0, obtemos as hipérboles
{(x, y, z); y2
− x2
= a, z = a},
que se degeneram no par de retas y = ±x, quando a = 0, como mostra a figura 21-(a).
T
z
E
y

©x
Figura 21-(a)
T
z
E
y

©x
Figura 21-(b)
T
z
E
y

©x
Figura 21-(c): A sela z = y2
− x2

Procedimento análogo, agora usando planos a ≤ 0, dá a figura 21-(b). Os cortes de G(f) por
planos y = c produz parábolas z = c2
− y2
, que o leitor deverá esbo¸car. Finalmente, obtemos a
sela, como na figura 21-(c).
1.4.11 [Hélice Circular]
Exemplo Consideremos, ago-
ra, a fun¸cão de uma
variável
f : R −−−−−→ R2
t −−−−−→ f(t) = (a cos t, a sen t),
onde a 0 é uma constante. O seu gráfico,
G(f) = {(t, f(t)) = (t, a cos t, a sen t); t ∈ R},
é a hélice circular de raio a, cujo eixo coincide com eixo-x,
como mostra a figura 22. Observe que a proje¸cão de
G(f) no plano-yz é o c´ırculo de raio a. Suas proje¸cões
no plano-xy e plano-xz são os gráficos das fun¸cões reais
de uma variável real y = a cos x e z = a sen x, respecti-
vamente.
T
z
E
y

©

x
Figura 22: Hélice Circular
Observação O fato de coincidir com um gráfico impõe restri¸cões à forma de um subconjunto.
Pensando com uma fun¸cão f : D ⊂ R2
−→ R, vem que
G(f) = {(x, y, z); z = f(x, y), (x, y) ∈ D}.
Isto significa que para cada (x, y) ∈ D, existe um único ponto em G(f), a saber (x, y, f(x, y)).
Geometricamente, isto diz que a reta que passa por (x, y, 0) e é perpendicular ao plano-xy
intercepta G(f) em um único ponto. Por exemplo, a esfera
S2
(a) = {(x, y, z); x2
+ y2
+ z2
= a2
} ⊂ R3
não pode ser gráfico de nenhuma fun¸cão do tipo que es-
tamos considerando. De fato, há retas perpendiculares
ao plano-xy que interceptam esta esfera em dois pontos.
Entretanto, parte dela, digamos seu hemisfério superior,
é o conjunto definido explicitamente por
f : D[a] ⊂ R2
−−−−−→ R
(x, y) −−−−−→ f(x, y) = a2 − x2 − y2,
onde D[a] = {(x, y); x2
+ y2
≤ a2
} é o disco fechado de
raio a. Já o hemisfério inferior é o gráfico de g = −f,
isto é, g(x, y) = −f(x, y), (x, y) ∈ D[a].
Figura 23

©
s
x
Es
y
T
s
z
r
r

Observação É muito comum na prática nos referirmos a uma equa¸cão Y = f(x1, x2, . . . , xn),
onde o lado direito indica uma m-upla envolvendo os s´ımbolos x1, x2, . . ., xn,
como uma fun¸cão. O que estamos pensando, na realidade, é na fun¸cão f : D −→ Rm
, onde D é
o maior subconjunto de Rn
, onde tal expressão faz sentido.
1.4.12
Exemplo A expressão
z = 4 − x2 − y2 log (x2
+ y2
− 1)
define uma fun¸cão f no anel de R2
dado por
D = {(x, y); 1 x2
+ y2
≤ 4}.
De fato, se x2
+y2
≤ 1, então não existe log (x2
+ y2
− 1),
e se x2
+ y2
4 não tem sentido 4 − x2 − y2.
pppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp ppppp ppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppppp ppppp ppppp ppppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pppppppppp pp p pppppp pp pppp pppp pp ppp pppp pp pppp pppp pp ppp ppp pp p pp pppp pp p pp ppp pp p pp ppp pp p p pp p pp pp pp ppp pp p pp p pp pp pp p pp p pp p pp pp pp p pp p p pp p p pp pp pp pp pp p pp pp p pp p p pp pp p pp pp p pp pp p pp p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp p p pp pp pp pp p p pp p p pp p p pp p pp p pp p pp p pp p pp ppp pp p pp pp pp p p pp ppp pp pp pp ppp pp p pp ppp pp p pp ppp ppp pp ppppp ppppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pp pppppp pp pppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppppp ppppp ppppp pppppp ppppp ppppp ppppppp ppppppp ppppp ppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppp ppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppp
r
1
r
2
E
x
T
y
Figura 24: Anel
1.4.13 [Conjuntos de N´ıvel]
Definição Sejam f : D ⊂ Rn
−→ Rm
uma fun¸cão vetorial e K
um vetor em Rm
fixado. O conjunto de n´ıvel K de f
é o subconjunto de D definido por
f−1
(K) = {X ∈ D; f(X) = K}.
Isto é, se f1, f2, . . ., fm são as fun¸cões coordenadas de f, e K = (k1, k2, . . . , km), então f−1
(K)
é o conjuntos das solu¸cões em D do sistema de m-equa¸cões e n-incógnitas:



f1(x1, x2, . . . , xn) = k1
f2(x1, x2, . . . , xn) = k2
...
...
...
fm(x1, x2, . . . , xn) = km.
Os conjuntos de n´ıvel f−1
(K) são, também, denominados conjuntos definidos implicitamente
por f.
Observação f−1
(K) = ∅ se, e somente se, K ∈ Im(f).
1.4.14
Exemplo Os conjuntos de n´ıvel f−1
(a), a ∈ R, de z = f(x, y) = x2
+ y2
, (x, y) ∈ R2
, são
os seguintes:
(i) f−1
(a) = ∅, se a 0, pois Im(f) = [0, +∞);
(ii) f−1
(0) = {(0, 0)};

(iii) f−1
(a) = S1
(
√
a) = {(x, y); x2
+ y2
= a}, se a 0.
Na figura 25, temos o gráfico de f e alguns conjuntos de n´ıvel, que podem ser obtidos via
proje¸cão no plano-xy das interse¸cões de G(f) com planos z = a ≥ 0.
z
E
y

©x
Figura 25: Parabolóide de Revolu¸cão
T
1.4.15
Exemplo Estudemos agora os conjuntos definidos
implicitamente por
z = f(x, y) = y2
− x2
, (x, y) ∈ R2
.
Os conjuntos de n´ıvel f−1
(k), k 0, são as hipérboles
equiláteras de semi-eixos
√
k: y2
− x2
= k. Quando
k 0, temos as hipérboles, também equiláteras e com
semi-eixos
√
−k, x2
− y2
= −k. Já f−1
(0) coincide com
o par de retas y = ±x. Estes conjuntos definidos impli-
citamente aparecem quando cortamos a sela por planos
paralelos ao plano-xy, como mostra a figura 21.
E
x
T
y
Figura 26
k 0k 0
r
√
k
r
√
k
k 0
k 0
k = 0
1.4.16
Exemplo Seja f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
, (x, y, z) ∈ R3
. Os conjuntos de n´ıvel desta fun¸cão
são ou o conjunto vazio, ou {(0, 0, 0)}, ou as esferas do R3
centradas na origem e
de raio
√
a:
S2
(
√
a) = {(x, y, z); x2
+ y2
+ z2
= a} = f−1
(a), a 0. (¶7)
1.4.17
Exemplo Seja
f : R3
−−−−−→ R2
(x, y, z) −−−−−→ f(x, y, z) = (x2
+ y2
+ z2
, x + y + z).
Dada K = (a, b) o conjunto de n´ıvel f−1
(K) é o conjunto de solu¸cões do sistema
x2
+ y2
+ z2
= a
x + y + z = b.

que, claro, não tem solu¸cões, se a 0. Se a ≥ 0, f−1
(a, b) é a interse¸cão de S2
(
√
a) (veja (¶7))
com o plano πb de equa¸cão x+y+z = b. Logo, f−1
(a, b) pode ser vazio, se πb está longe de S2
(
√
a);
coincidir com um ponto, se πb tangencia S2
(a); ou, fi-
nalmente, ser um c´ırculo contido em πb. Por exemplo,
os pontos P1 = (1, 0, 0) e P2 = (0, 1, 0) pertencem a
f−1
(1, 1). Logo, este conjunto de n´ıvel deve coincidir
com um c´ırculo no plano x + y + z = 1. Observando
que P3 = (0, 0, 1) também pertence ao c´ırculo f−1
(1, 1),
vemos que o seu centro deve coincidir com o baricentro
do triângulo (equilátero) de vértices P1, P2 e P3, que é o
ponto
C =
P1 + P2 + P3
3
= (1/3, 1/3, 1/3).
Para obter o raio, é só calcular a distância de C a P1, que
é r =
√
6/3.

©
s
P1
x
Es
P2
y
T
sP3
z
Figura 27
Vejamos mais três belos conjuntos definidos implicitamente.
1.4.18
Exemplo Seja f : R3
−→ R definida por f(x, y, z) = x2
+ y2
− z2
. Observe que a imagem
de f coincide com todo R, isto é, f é sobrejetiva. De fato, f(0, 0, z) = −z2
, o que
mostra que f transforma o eixo-z em (−∞, 0]. Agora é só calcular, por exemplo, f(x, 0, 0) = x2
,
x ∈ R, para cobrir [0, +∞). Neste exemplo, esbo-
¸caremos três conjuntos de n´ıvel de f, a saber:
f−1
(0), f−1
(1) e f−1
(−1). Os demais possuem
a mesma forma que f−1
(1) ou f−1
(−1), como o
leitor pode facilmente verificar. Temos que
f−1
(0) = {(x, y, z); z2
= x2
+ y2
},
que produz o cone de duas folhas, como mostra
a figura 28-(a) ao lado. A técnica para obten-
¸cão desta figura é aquela que temos usado: corta-
mos o conjunto com planos z = a, o que produz,
neste plano, o c´ırculo de raio |a| centrado no ponto
(0, 0, a). Quandoa = 0,obtemosapenasumponto,
z = x
z = −x
Tz
E
y

©

x
Figura 28-(a): Cone de Duas Folhas
x2
+ y2
− z2
= 0
ponto, a origem. Isto mostra que f−1
(0) é de revolu¸cão. A curva perfil, a geratriz do conjunto,
é obtida fazendo, por exemplo, a interse¸cão com o plano y = 0, o que dá origem ao par de retas
z = ±x. Donde podemos concluir que, de fato, f−1
(0) é o cone de duas folhas. Para o esbo¸co
dos outros dois n´ıveis, a mesma técnica mostra que eles também são de revolu¸cão: o conjunto
f−1
(1), mostrado na figura 28-(b), tem como geratriz a hipérbole
H1 = {(x, 0, z); x2
− z2
= 1}.
A hipérbole
H2 = {(x, 0, z); z2
− x2
= 1}

36 Funções Vetoriais Especiais
é a geratriz de f−1
(−1), que, por isso, tem duas folhas, como mostramos na figura 28-(c).
T

©
E
z
y
x
z2
− x2
= 1
Figura 28-(b): Hiperbolóide de Uma Folha
x2
+ y2
− z2
= 1
x2
− z2
= 1
T
z
E
y

©x
Figura 28-(c): Hiperbolóide de Duas Folhas
x2
+ y2
− z2
= −1
1.5
Funções Vetoriais Especiais
Reservamos esta se¸cão para destacar algumas fun¸cões vetoriais que são de grande inte-
resse prático, para o Cálculo e para a Geometria. Inicialmente, faremos uma breve exposi¸cão
das fun¸cões lineares, que, certamente, constituem a pedra fundamental das fun¸cões do Cálculo
Diferencial.
1.5.1 [Funções Lineares]
Definição Uma fun¸cão (ou aplica¸cão, ou transforma¸cão) linear é uma
fun¸cão vetorial do tipo
T : Rn
−−−−−→ Rm
X −−−−−→ T(X) = (T1(X), T2(X), . . . , Tn(X)),
satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) T(X + Y ) = T(X) + T(Y ), ∀X, Y ∈ Rn
;
(ii) T(aX) = aT(X), ∀a ∈ R e ∀X ∈ Rn
.
1.5.2
Exemplo Consideremos a seguinte fun¸cão T : R2
−→ R2
dada por T(x, y) = (x + y, y − x).
Sejam X = (x1, x2) e Y = (y1, y2). Temos que
T(X + Y ) = T(x1 + y1, x2 + y2)
= ((x1 + y1) + (x2 + y2), (x2 + y2) − (x1 + y1))
= ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x2 − x1) + (y2 − y1))
= (x1 + x2, x2 − x1) + (y1 + y2, y2 − y1)
= T(X) + T(Y ).

Agora, se a ∈ R, vem que
T(aX) = T(ax1, ax2)
= (ax1 + ax2, ax2 − ax1)
= a(x1 + x2, x2 − x1)
= aT(X).
Logo, T é linear. Um modo eficiente de ver que T é linear, é introduzindo a seguinte identifica-
¸cão: uma dupla X = (x1, x2) passará a ser olhada como a matriz-coluna X =
x1
x2
. Isto posto,
vem que
T(X) = T(x1, x2) =
x1 + x2
x2 − x1
=
1 1
−1 1
x1
x2
,
ou T(X) = M(T)X, onde
M(T) =
1 1
−1 1
.
Agora, usando propriedades da multiplica¸cão de matrizes, segue-se facilmente a linearidade de T.
De fato,
e
T(X + Y ) = M(T)(X + Y ) = M(T)X + M(T)Y = T(X) + T(Y )
T(aX) = M(T)(aX) = aM(T)X = aT(X).
A identifica¸cão feita no exemplo anterior pode ser usada com uma k-upla qualquer, o que
facilitará a compreensão das fun¸cões lineares definidas em Rn
. Dado X = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk
,
identificaremos, sempre que for preciso, X com a matriz-coluna (vetor-coluna)
X =






x1
x2
...
xk






.
Assim sendo, sejam T : Rn
−→ Rm
uma aplica¸cão linear, e X ∈ Rn
. Temos que
X = (x1, x2, . . . , xn) =






x1
x2
...
xn






= x1






1
0
...
0






+ x2






0
1
...
0






+ · · · + xn






0
0
...
1






.
Logo,
T(X) = x1T(e1) + x2T(e2) + · · · + xnT(en) = x1T






1
0
...
0






+ x2T






0
1
...
0






+ · · · + xnT






0
0
...
1






. (¶8)

38 Funções Vetoriais Especiais
Como Im(T) ⊂ Rm
, vem que
T(e1) =






a11
a21
...
am1






, T(e2) =






a12
a22
...
am2






, . . . , T(en) =






a1n
a2n
...
amn






,
para alguns números reais aij, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, o que posto em (¶8) dá que
T(X) = x1






a11
a21
...
am1






+ x2






a12
a22
...
am2






+ · · · + xn






a1n
a2n
...
amn






=






x1a11
x1a21
...
x1am1






+






x2a12
x2a22
...
x2am2






+ · · · +






xna1n
xna2n
...
xnamn






=






a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn






=






a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn












x1
x2
...
xn






.
Isto prova o seguinte teorema.
1.5.3
Teorema Sejam T : Rn
−→ Rm
uma aplica¸cão linear, e M(T) a matriz de ordem m × n
cujas colunas são os vetores T(e1), T(e2), . . ., T(en), nesta ordem. Temos que
(i) T(X) = M(T)X;
(ii) Im(T) é gerado pelas colunas de M(T);
(iii) posto T = posto M(T),
onde posto T indica a dimensão de Im(T), e posto M(T) indica o posto da matriz M(T), isto
é, o número máximo de colunas linearmente independentes que ela possui.

1.5.4
Definição A matriz M(T) = (aij) é conhecida como a matriz de T com rela¸cão às bases
canônicas do Rn
e Rm
. Por simplicidade, chamaremos M(T) de matriz de T.
Um conjunto de n´ıvel especial de uma fun¸cão linear T : Rn
−→ Rm
é o seu núcleo,
N(T) = T−1
(0, 0, . . . , 0) = {X ∈ Rn
; T(X) = (0, 0, . . . , 0)}.
Os outros conjuntos definidos implicitamente por T, quando não-vazios, são determinados a
partir dele, como mostra seguinte proposi¸cão.
1.5.5
Proposição Seja T : Rn
−→ Rm
uma aplica¸cão linear. Se K = T(P), P ∈ Rn
, então
T−1
(K) = P + N(T) = {X ∈ Rn
; X = P + V, V ∈ N(T)}.
Demonstração: Seja X ∈ T−1
(K). Logo, T(X) = K = T(P). Como T é linear,
vem que T(X − P) = O, isto é, V = X − P ∈ N(T). Assim, X = P + V , o que prova
que T−1
(K) ⊂ P + N(T). Por outro lado, se X = P + V , para algum V ∈ N(T), então
T(X) = T(P) + T(V ) = T(P) = K. Donde, P + N(T) ⊂ T−1
(K)). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.5.6
Exemplo Seja
T : R3
−−−−−→ R3
(x, y, z) −−−−−→ T(x, y, z) = (x + y, x + 2y + z, −x + 3y + 4z).
Temos que T(e1) = (1, 1, −1), T(e2) = (1, 2, 3) e T(e3) = (0, 1, 4). Logo, a matriz de T é
M(T) =



1 1 0
1 2 1
−1 3 4


 ,
e, usando o teorema 1.5.3, obtemos
T



x
y
z


 =



1 1 0
1 2 1
−1 3 4






x
y
z


.
Sugerimos ao leitor que verifique diretamente esta identidade. Como det M(T) = 0, segue-se
que posto M(T) ≤ 2. Como, por exemplo, as duas primeiras colunas de M(T) são linearmente
independentes, devemos ter posto T = 2. (Convém observar, que esta informa¸cão pode ser
obtida, também, usando opera¸cões elementares sobre as linhas (colunas) de M(T), o que é mais
conveniente para matrizes de ordem alta.) Logo, Im(T) tem dimensão dois e é gerado pelos

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