7

Moduł 7
Kinematyka
1. Wiadomości wstępne z kinematyki
2. Podział ruchów
3. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
4. Ruch krzywoliniowy jednostajny i zmienny
5. Ruch obrotowy jednostajny i zmienny
6. Pojęcie ruchu płaskiego
7. Pojęcie ruchu złożonego
8. Bibliografia

2
1. Wiadomości wstępne z kinematyki
Wyraz kinematyka pochodzi od greckiego kineo, co oznacza „poruszam”. W tym
module kursu zostanie przedstawione zagadnienie ruchu, natomiast nie będą uwzględ-
nione przyczyny wywołujące zjawisko ruchu oraz nie będą brane pod uwagę własności
poruszających się ciał. W celu omówienia zjawiska ruchu używane będą uproszczone
modele ciał, tj.: punkt materialny lub ciało doskonale sztywne.
Ruch to ogólnie zjawisko zmiany położenia ciała materialnego względem układu
odniesienia, tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostających
w spoczynku.
Ruch (jak i spoczynek) jest pojęciem względnym i zależy od układu odniesienia,
względem którego ten ruch jest określany. To samo ciało może wykonywać różne ruchy
względem różnych układów odniesienia. Tak np. człowiek siedzący w przedziale pędzą-
cego pociągu wykonuje ruch względem Ziemi, jest natomiast w spoczynku względem
samego pociągu. Dlatego zawsze należy określić, względem jakiego układu odniesienia
porusza się rozważane ciało. Jeśli układ, względem którego jest opisywany ruch, jest
układem stałym (czyli pozostaje w bezwzględnym spoczynku), to ruch punktu lub ciała
rozpatrywany w takim układzie odniesienia nazywa się ruchem bezwzględnym. Jeśli
ruch rozpatruje się względem jakiegoś ruchomego układu odniesienia, to ruch ten na-
zywa się ruchem względnym.
Jak wiadomo, cały wszechświat jest w ruchu, stąd też nie ma możliwości wybra-
nia jakiekolwiek rzeczywistego, stałego układu odniesienia. Ruch bezwzględny jest więc
pojęciem umownym, zależnym od tego, który układ przyjmuje się za nieruchomy.
W technice wszelkie ruchy odnosi się najczęściej do Ziemi lub przedmiotów z nią
związanych. Dla uproszczenia pomija się fakt, że przyjęty układ (Ziemia) jest w ruchu.
Czasem wygodniej jest obrać inny układ odniesienia. Ruch pasażera po pokładzie płyną-
cego okrętu można opisać najprościej, przyjmując za układ odniesienia kadłub porusza-
jącego się okrętu. Aby opisać ruch układu słonecznego ciał niebieskich, za układ odnie-
sienia przyjmuje się Słońce.
Opisując zjawisko ruchu pomocne jest pojęcie czasu. Jednostką czasu jest sekun-
da s. W układzie SI stosuje się również jej wielokrotności, jak kilosekundę (1 ks = 1000
s) i megasekundę (1 Ms = 106 s). Często stosuje się jednostki pozaukładowe, jak minuty
min i godziny h.
2. Podział ruchów
W rozważaniach na temat ruchu różnego rodzaju ciała rzeczywiste zastępuje się
punktem materialnym lub ciałem sztywnym, w związku z czym kinematykę dzieli się na
dwa działy:
 kinematykę punktu materialnego,
 kinematykę ciała sztywnego.
Torem punktu nazywa się linię l utworzoną przez kolejne położenia poruszające-
go się punktu. Tak np. wystrzelony w ciemności pocisk świetlny, lecąc pozostawia ślad
w postaci jasnej linii, która właśnie jest jego torem. Tor poruszającego się punktu może
być linią prostą lub dowolną krzywą. Jeżeli torem jest linia prosta, to taki ruch nazywa
się prostoliniowym. Jeżeli tor ruchu jest linią krzywą, to taki ruch nazywa się ruchem
krzywoliniowym.

3
Następnie można podzielić ruchy zależnie od prędkości poruszającego się punk-
tu. Jeżeli wartość prędkości poruszającego się punktu jest przez cały czas trwania ruchu
taka sama, to ruch nazywa się ruchem jednostajnym. Natomiast, jeśli prędkość porusza-
jącego się punktu w każdej chwili zmienia się (rośnie lub maleje), to taki ruch nazywa się
ruchem zmiennym. W związku z tym, ogólnie ruchy punktu materialnego można podzie-
lić na następujące rodzaje:
 ruch prostoliniowy jednostajny,
 ruch prostoliniowy zmienny (niejednostajny),
 ruch krzywoliniowy jednostajny,
 ruch krzywoliniowy zmienny.
3. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
Ruch prostoliniowy jednostajny
Po torze prostoliniowym porusza się punkt w ten sposób, że w jednakowych, do-
wolnie małych, przedziałach czasu t przebywa takie same odcinki drogi. Ruch tego
punktu nazywa się ruchem prostoliniowym jednostajnym.
Stosunek drogi s do czasu t, w którym ta droga została przebyta, nazywa się prędkością poru-
szającego się punktu.
Przez cały czas trwania ruchu prędkość ma wartość stałą i wyraża się wzorem:
v =
𝐬
𝐭
= const.
Mnożąc powyższe równanie przez czas t, otrzymuje się związek:
s = v · t
To równanie nazywa się równaniem ruchu prostoliniowego jednostajnego. Wy-
nika z niego, że wartość drogi przebytej w ruchu jednostajnym jest wprost proporcjo-
nalna do czasu trwania ruchu.
Prędkość jest wektorem mającym wartość określoną wzorem v = s/t, jej kierunek
jest styczny do toru, a zwrot zgodny z ruchem. Podaje się ją w m/s lub w innych jednost-
kach, np. m/min, km/h itp.
Rys. 7.1. Wykres prędkości dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnym
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 327

4
W rozważaniach nad zjawiskiem ruchu prostoliniowego pomocy będzie prosto-
kątny układ współrzędnych, w którym za oś odciętych przyjmie się oś czasu t, a za oś
rzędnych oś prędkości v. W takim układzie osi graficznym przedstawieniem równania
prędkości będzie odcinek równoległy do osi czasu t. Na rys. 7.1. przedstawiono taki wy-
kres prędkości dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnym z prędkością v1. Drogę,
jaką dane ciało przebędzie w pewnym czasie t1, można obliczyć z równania ruchu,
a mianowicie s = v1 · t1. Patrząc na rysunek widać, że iloczyn v1 · t1 przedstawia pole
ograniczone osiami współrzędnych, wykresem prędkości oraz prostą t1 = const. wysta-
wioną z punktu przedstawiającego chwilę t1.
Rys. 7.2. Wykres prędkości w ruchu jednostajnym
Prowadząc rozważania nad wykresem drogi w zależności od czasu: wiadomo, że
w ruchu jednostajnym wartość przebytej drogi jest wprost proporcjonalna do czasu
trwania ruchu, co wynika ze znanego równania ruchu s = v · t. Równanie to można zapi-
sać krócej w postaci s = f(t), co czyta się: droga s jest funkcją czasu t. Funkcję tę można
przedstawić graficznie w układzie współrzędnych, w którym na osi odciętych będzie się
odmierzać czas t, na osi rzędnych drogę s. Otrzymany wykres jest odcinkiem przecho-
dzącym przez początek układu współrzędnych (rys. 7.2.). Wiadomo z matematyki, że
tangens kąta nachylenia linii wykresu s = v (t) jest stosunkiem rzędnej dowolnego punk-
tu tej linii do odciętej tego punktu. Z drugiej strony wiadomo, że rzędna na tym wykresie
przedstawia drogę, odcięta – czas.
A więc: tgα =
s
t
, czyli tgα = v.
Tangens kąta nachylenia linii wykresu drogi do osi odciętych przedstawia w przy-
jętej podziałce prędkość danego ruchu. Wynika z tego, że im większa jest prędkość ruchu,
tym bardziej stroma będzie linia wykresu drogi s = f(t). Z wykresu drogi można również
odczytać, jaką drogę przebędzie poruszające się ciało po upływie danego czasu t.
Dotychczas rozpatrywane było zjawisko ruchu prostoliniowego jednostajnego,
które charakteryzuje się stałą prędkością. Ruchem takim poruszają się w przybliżeniu:
kolarz na poziomej jezdni, naciskający równomiernie na pedały, samochód na poziomym
odcinku szosy, jeśli kierowca nie zmienia dopływu mieszanki do cylindrów, itp.
Wykresem prędkości w ruchu jednostajnym jest odcinek równoległy do osi czasu.
Pole zawarte pod wykresem prędkości przedstawia w przyjętej podziałce przebytą drogę.

5
Ruch prostoliniowy zmienny
Najczęściej jednak ma się do czynienia z ruchami zmiennymi, w czasie których
prędkość się zmienia. Każdy z nas np. obserwował jazdę pociągu z pewnej stacji A do
sąsiedniej stacji B. Najpierw pociąg zwiększa stopniowo swoją prędkość, a następnie –
po nabraniu odpowiedniej prędkości – przez pewien czas porusza się ruchem jednostaj-
nym, wreszcie przed stacją rozpoczyna hamowanie, zmniejszając powoli swą prędkość
do zera. Innym przykładem ruchu zmiennego może być spadanie ciała z pewnej wyso-
kości na Ziemię. Prędkość takiego ciała stale wzrasta.
W ruchu zmiennym prędkość ciała zmienia się. Ruch ciała, w czasie którego
prędkość rośnie, nazywa sie ruchem przyspieszonym. Jeżeli w ruchu ciała prędkość ma-
leje, to ruch taki nazywa się ruchem opóźnionym.
Stosunek przyrostu drogi Δs do przyrostu czasu Δt przedstawia wartość prędkości średniej
punktu.
v =
𝐬 𝟐− 𝐬 𝟏
𝐭 𝟐− 𝐭 𝟏
=
𝚫𝐬
𝚫𝐭
Zmniejszając coraz to bardziej przyrost czasu Δt, czyli zbliżając chwilę t2 do t1,
powoduje się zmniejszanie się przyrostu drogi Δs.
Ułamki
Δs
Δt
, dla tych coraz to mniejszych czasów Δt, dążą do pewnej granicy. Granicę wyrażenia
Δs
Δt
, jeżeli przyrost czasu Δt dąży do zera, nazywa się prędkością chwilową w rozważanym poło-
żeniu na torze.
Stosunek przyrostu prędkości Δv do czasu Δt, w którym ten przyrost nastąpił, na-
zywa się przyspieszeniem średnim a.
a =
𝚫𝐯
𝚫𝐭
Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym jest wektorem mającym wartość okre-
śloną wzorem a =
Δv
Δt
; kierunek tego wektora jest taki jak wektora prędkości, a zwrot
zgodny ze zwrotem prędkości, gdy ruch jest przyspieszony, oraz przeciwny zwrotowi
wektora prędkości, gdy ruch jest opóźniony.
W ruchu zmiennym przyspieszenie może wzrastać, maleć lub może być wielko-
ścią stałą.
Taki ruch zmienny, w którym przyspieszenie jest wielkością stałą, nazywa sie ruchem jedno-
stajnie zmiennym. Jeżeli przyspieszenie w czasie ruchu rośnie lub maleje, to ruch taki nazywa
się niejednostajnie zmiennym.
Gdy w ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie jest dodatnie (ma zwrot
zgodny ze zwrotem prędkości), mówi się, że jest to ruch jednostajnie przyspieszony. Gdy
natomiast przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym jest ujemne, to taki ruch na-
zywa się jednostajnie opóźnionym.
Jeżeli w ruchu jednostajnie zmiennym prędkość poruszającego się ciała w pew-
nym punkcie A0 oznaczy się przez v0, w dowolnym zaś następnym punkcie A prędkość
tego ciała oznaczymy przez v, to przyspieszenie ruchu wyrazi się wzorem:

6
a =
𝐯− 𝐯 𝐨
𝐭
gdzie t oznacza całkowity czas trwania ruchu od położenia A0 do A.
Prędkość v0, jaką ciało ma w chwili rozpoczęcia opisywania ruchu, nazywa się
prędkością początkową. Z powyższego równania można po przekształceniu otrzymać
wzór:
v = v0 + a · t
Otrzymany wzór nazywa się równaniem prędkości ruchu jednostajnie zmienne-
go. Przedstawia ono zależność między prędkością v i czasem t. Z równania tego widać, że
prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym zależy od czasu, czyli jest funkcją czasu
v = f(t). Funkcję tę dla danego ruchu można przedstawić graficznie w prostokątnym
układzie współrzędnych, w którym oś odciętych będzie przedstawiać oś czasu, oś rzęd-
nych zaś za oś prędkości.
Rys. 7.3. Wykres prędkości w ruchu jednostajnie zmiennym
Wykresem prędkości w ruchu jednostajnie zmiennym jest prosta nachylona pod
pewnym kątem do osi t i przecinająca oś v w odległości v0 od początku układu (rys. 7.3.).
Tangens kąta α nachylenia wykresu v = f (t) do osi czasu przedstawia w przyjętej
podziałce wartość przyspieszenia ruchu. Pole pod wykresem prędkości v = f (t) – pole
w kształcie trapezu – przedstawia drogę, czyli:
s =
v0+ v
2
· t
lub
s = v0 · t + a ·
𝐭 𝟐
𝟐
Równanie to umożliwia wyznaczenie drogi, jaką przebywa ciało w ruchu jedno-
stajnie zmiennym w czasie t, poruszając się z prędkością początkową v0 i przyspiesze-
niem a. Równanie to nazywa się równaniem ruchu jednostajnie zmiennego.
W przypadku ruchu jednostajnie zmiennego bez prędkości początkowej (v0 = O)
równanie przybierze postać:

7
s = a ·
𝐭 𝟐
𝟐
Rys. 7.4. Wykres drogi
Funkcję tę można wykreślić w układzie współrzędnych t – s, w których na osi od-
ciętych będzie odmierzany czas, na osi zaś rzędnych droga s. Otrzymaną w tym układzie
linię przedstawiającą funkcję s = f(t) nazywa się wykresem drogi. Wykres ten jest para-
bolą (rys. 7.4.).
Tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu drogi w dowolnym punkcie przedsta-
wia w przyjętej podziałce prędkość ruchu. Tak np. w chwili t prędkość będzie równa v = tgα.
4. Ruch krzywoliniowy jednostajny i zmienny
Wiadomości wstępne
Dotychczas omawiane były ruchy punktów po torach prostoliniowych. Wektor
prędkości w takim ruchu leży wciąż na torze. W ruchu krzywoliniowym wektor prędko-
ści jest w każdej chwili styczny do toru. Jeżeli jego wartość nie zmienia się z czasem
(a zmienia się tylko jego kierunek, czyli nachylenie), to ruch taki nazywa się krzywoli-
niowym jednostajnym.
Jeżeli w ruchu krzywoliniowym zmienia się również wartość prędkości, to ruch
taki nazywa się ruchem krzywoliniowym zmiennym.
Rys. 7.5. Ruch krzywoliniowy

8
Rozważaniom zostanie poddane zjawisko, kiedy po torze krzywoliniowym l po-
rusza się punkt materialny ruchem jednostajnym ze stałą co do wartości prędkością.
Rozpatrywane będą dwa kolejne położenia tego punktu: A0 i A (rys. 7.5.). Prędkości
punktu w obu położeniach są równe co do wartości (v0 = v).
Wektor prędkości v0 zostaje przeniesiony równolegle i zaczepiony w punkcie A,
wektor zaś łączący jego koniec z końcem wektora v (wektor BC na rys. 7.5.) i oznaczony
przez Δv. Z rysunku widać, że wektor v jest sumą geometryczną wektorów v0 i Δv, czyli;
𝑣⃗ = 𝑣⃗0 + Δ𝑣⃗
Wektor Δv nazywa sie geometrycznym przyrostem prędkości. Założono dalej, że
rozważany punkt materialny przeszedł z położenia A0 w położenie A w czasie Δt.
Stosunek geometrycznego przyrostu prędkości Δv do czasu Δt, w którym ten przyrost
nastąpił, nazywa się średnim przyspieszeniem ruchu w rozważanym przedziale czasu.
Jeżeli będzie się coraz bardziej zmniejszać przedział czasu Δt, to położenie A bę-
dzie zbliżać się do położenia A0. Gdy przyrost Δt zdąża do zera, średnie przyspieszenie
zdąża do pewnej granicy, którą nazwa się przyspieszeniem chwilowym w położeniu A0
na torze.
Ruch krzywoliniowy jednostajny
Przyjmuje się, że po torze krzywoliniowym porusza się punkt, zajmując kolejno
położenia A0, A1, A2, A3. Zakłada się, że (podobnie jak poprzednio) rozważany punkt wy-
konuje ruch jednostajny, czyli prędkości v0, v1, v2, v3 są sobie równe co do wartości (rys.
7.6.a). Z dowolnego punktu O, jako początku, prowadzi się wektory równe prędkości v0,
v1, v2, v3 w punktach A0, A1, A2, A3 na torze. Końce tych wektorów leżą na linii krzywej
zwanej hodografem.
Rys. 7.6. Ruch krzywoliniowy jednostajny

9
Hodografem nazywa się miejsce geometryczne końców wektorów prędkości wy-
kreślonych ze wspólnego punktu O. Dla otrzymania dokładnego kształtu hodografu na-
leżałoby znać prędkości w kolejnych, bardzo bliskich siebie, położeniach ruchomego
punktu na torze. W naszym przypadku prędkości są stałe co do wartości, a w związku
z tym hodograf będzie łukiem okręgu o promieniu równym wartości prędkości porusza-
jącego się punktu (rys. 7.6.b). Wektory łączące końce sąsiednich wektorów prędkości
wykreślonych ze wspólnego punktu O przedstawiają geometryczne przyrosty prędkości
w odpowiednich przedziałach czasu.
Przyspieszenie w ruchu jednostajnym po torze krzywoliniowym jest wektorem okre-
ślonym co do wartości wyrażeniem a =
Δv
Δt
.
Kierunek wektora przyspieszenia jest w każdej chwili prostopadły (normalny) do
prędkości poruszającego się punktu (czyli prostopadły do toru). Tak określone przy-
spieszenie, związane ze zmianą kierunku wektora prędkości, nazywa się przyspiesze-
niem normalnym.
Ruch krzywoliniowy zmienny
Rozpatrzony zostanie teraz przypadek ogólniejszy, kiedy punkt porusza się po to-
rze krzywoliniowym ruchem niejednostajnym. W tym wypadku wektor prędkości ru-
chomego punktu zmienia wartość i kierunek.
Rys. 7.7. Punkt poruszający się po torze krzywoliniowym
Po torze krzywoliniowym l porusza się punkt (rys. 7.7.) mający w kolejnych poło-
żeniach A0, A1, A2, A3 na torze prędkości v0, v1, v2, v3. Z dowolnego punktu O wykreśla się
kolejne prędkości, których końce wyznaczają hodograf. Wektory B0B1, B1B2, B2B3 łączące
odpowiednie punkty hodografu, przedstawiają geometryczne przyrosty prędkości Δv1,
Δv2, Δv3 w poszczególnych przedziałach czasu (rys. 6.7.b). Dzieląc każdy z tych przyro-
stów prędkości przez czas, w którym ten przyrost nastąpił, otrzymuje się średnie przy-
spieszenie odpowiadające poszczególnym przedziałom czasu.

10
W przypadku ruchu krzywoliniowego zmiennego hodograf będzie pewną krzywą
różną od łuku okręgu. Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu, jed-
nak nie prostopadły do prędkości poruszającego się punktu, a co za tym idzie, nie pro-
stopadły do toru w rozważanym położeniu punktu ruchomego.
W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem pręd-
kości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).
Rys. 7.8. Wektor przyspieszenia punktu
Załóżmy, że po torze krzywoliniowym l porusza się punkt ruchem zmiennym, ma-
jący w położeniu A na torze prędkość v. Wektor przyspieszenia tego ruchu będzie w tym
przypadku nachylony do kierunku wektora prędkości pod pewnym kątem, który ozna-
czony będzie przez α (rys. 7.8.). Rozkładając wektor przyspieszenia a na dwie składowe
otrzymuje się: jedną w kierunku wektora prędkości, drugą w kierunku normalnym do
prędkości. Z rys. 7.8. widać, że przyspieszenie składowe an w kierunku prostopadłym do
prędkości (do toru) ma wartość:
an = a · sinα
Tę składową przyspieszenia całkowitego o kierunku prostopadłym do toru na-
zywa się przyspieszeniem normalnym. Przyspieszenie to jest związane ze zmianą kie-
runku wektora prędkości. Składową przyspieszenia całkowitego w kierunku prędkości
oznacza się przez at i nazywa przyspieszeniem stycznym. Wartość tego przyspieszenia
wynosi:
at = a · cosα
Przyspieszenie styczne jest związane ze zmianą wartości wektora prędkości.
Całkowite przyspieszenie jest sumą geometryczną przyspieszeń normalnego
i stycznego, czyli:
a⃗⃗ = a⃗⃗n+ a⃗⃗t
a jego wartość jest równa:
a = √an
2 + at
2
Na podstawie tych wiadomości można ustalić podział ruchów punktu material-
nego:
o an ≠ O, at ≠ O

11
Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwar-
tym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym – zmieniają
się wartość i kierunek prędkości.
o an = O, at ≠ O
Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może
zmieniać tylko swoją wartość, a jej kierunek pozostaje stały. W tym wypadku jest to ruch
prostoliniowy zmienny. W szczególnym przypadku, kiedy at = a = const., rozważany ruch
jest ruchem jednostajnie zmiennym, tj. jednostajnie przyspieszonym lub opóźnionym
w zależności od tego czy a jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
o an ≠ O, at = O
Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w takim
ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, pozostając stałą co do wartości. Rozważany
ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.
o an = O, at = O
Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie
może zmieniać swego kierunku ani wartości. Rozważany ruch będzie ruchem jednostaj-
nym prostoliniowym.
Poznane związki charakteryzują różne ruchy punktu materialnego. Zależności te
są również słuszne dla pewnego ruchu ciała sztywnego. W ogólnym przypadku ruchu
ciała sztywnego każdy jego punkt wykonuje ruch po innym torze. Również prędkości
i przyspieszenia poszczególnych punktów ciała są różne. Istnieje jednak taki ruch, w któ-
rym wszystkie punkty ciała poruszają się jednakowo.
Rys. 7.9. Ruch postępowy
Rys. 7.9. przedstawia mechanizm złożony z dwóch równych i równoległych korb
K, obracających się dookoła osi 01 i O2 połączonych przegubowo łącznikiem L. W czasie

12
ruchu łącznik nie obraca się, lecz zajmuje stale położenie równoległe do położenia po-
czątkowego. Taki rodzaj ruchu nazywa się ruchem postępowym.
Rys. 7.10. Ruch postępowy płytki prostokątnej
Rysunek 7.10. przedstawia ruch postępowy prostokątnej płytki, którą przedsta-
wiono w trzech położeniach.
W ruchu postępowym tory, prędkości i przyspieszenia wszystkich punktów ciała
sztywnego są w danej chwili jednakowe.
Podsumowując można stwierdzić, że ruch postępowy ciała sztywnego jest całko-
wicie określony ruchem jednego punktu tego ciała. Zagadnienie ruchu postępowego
sprowadza się pod względem kinematycznym do ruchu punktu materialnego.
5. Ruch obrotowy jednostajny i zmienny
Ruch jednostajny po okręgu
Jednym z najczęściej spotykanych ruchów krzywoliniowych jest ruch po okręgu.
Ruchem takim porusza się każdy punkt ciała obracającego się dookoła stałej osi. Taki
ruch wykonuje również pociąg (traktowany jako punkt materialny) na zakręcie, jadąc po
torze stanowiącym okrąg koła.
Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r,
przebywając w równych odstępach czasu t równe drogi łuków A0A1
̂ , A1A2
̂ ,A2A3
̂ . Wektor
prędkości poruszającego się punktu jest, w każdej chwili styczny do toru. Jego wartość
jest stała, gdyż rozważany ruch jest jednostajny.
Prędkość punktu poruszającego się po okręgu koła nazywa się prędkością liniową.
W ruchu jednostajnym wartość prędkości określa stosunek drogi do czasu, w któ-
rym ta droga została przebyta.

13
Rys. 7.11. Ruch jednostajny po okręgu
W przypadku z rys. 7.11. punkt w czasie t przebywa drogę po łuku s = A0A1
̂ .
Wiadomo z geometrii, że:
s = A0A1
̂ = r · α, czyli v = r ·
α
t
Stosunek kąta α (wyrażonego w radianach) do czasu t, w którym ten kąt został zatoczo-
ny, nazywa się prędkością kątową ω.
ω =
𝛂
𝐭
rad/s v = r · ω
W ruchu jednostajnym poruszający się punkt przebywa w równych okresach cza-
su równe drogi łukowe, czyli także zatacza i równe kąty. Prędkość kątowa ω w takim
ruchu jest więc wielkością stałą.
Prędkość liniowa v w ruchu jednostajnym po okręgu koła ma wartość stałą, równą ilo-
czynowi promienia r toru i prędkości kątowej ω.
W ruchu jednostajnym po okręgu występuje przyśpieszenie normalne an związane
ze zmianą kierunku i zwrotu wektora prędkości w czasie. Przyśpieszenie to ma wartość:
an =
𝐯 𝟐
𝐫
lub
an = r · ω2

14
Ruch obrotowy ciała sztywnego dookoła stałej osi – wiadomości wstępne
Ruch obrotowy jest bardzo często występującym w technice ruchem.
Rys. 7.12. Ruch obrotowy dookoła osi
Na rys. 7.12. przedstawiono przykład takiego ruchu. Ciało sztywne obraca się do-
okoła osi l. Wszystkie punkty leżące na tej osi są w spoczynku, natomiast każdy inny
punkt C należący do ciała, odległy o r od osi, wykonuje ruch po okręgu koła o promieniu
r, leżącego w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. W czasie Δt punkt ten przebywa
drogę s = CC′̂ = r · α, gdzie α – to tzw. kąt obrotu w radianach.
Oś obrotu może leżeć także poza ciałem, jak np. oś obrotu wagonu, który jedzie
po torze kolejowym, będącym łukiem kołowym w płaszczyźnie poziomej. Oś obrotu jest
wtedy pionowa i przechodzi przez środek okręgu wyznaczonego przez linię środkową
toru kolejowego (linię środkową pomiędzy dwiema szynami).
Ruch obrotowy jednostajny
Jeżeli ciało obraca się w ten sposób, że w jednakowych odstępach czasu przebywa
jednakowe kąty obrotu, to ruch taki nazywa się ruchem obrotowym jednostajnym.
Prędkość kątowa ω w ruchu obrotowym jednostajnym jest wielkością stałą.
ω =
α
t
= const
W technice wartość prędkości kątowej określa się najczęściej liczbą obrotów na
minutę. Tak określona liczba n nazywa się prędkością obrotową.
Zakładając, że ciało obraca się jednostajnie, wykonując w ciągu jednej minuty
pełny obrót (kąt obrotu α = 360° = 2π rad). Prędkość kątowa tego ruchu będzie równa
ω =
𝛼
𝑡
, ale α = 2π rad, zaś t = 1 min = 60 s, stąd:
ω =
2π
60
rad/s

15
Widać stąd, że przy n = 1 obr/min prędkość kątowa ω =
2π
60
rad/s. Jeżeli natomiast
ciało wykonuje n obr/min, to jego prędkość kątowa będzie równa ω =
2π · n
60
rad/s, czyli:
ω =
𝛑 · 𝐧
𝟑𝟎
rad/s
Wyrażenie to przedstawia związek pomiędzy prędkością kątową, a prędkością
obrotową (liczbą obrotów na minutę).
Prędkość kątową uważa się za wektor leżący na osi obrotu, mający wartość okre-
śloną wzorem i zwrot zgodny z zasadą śruby o gwincie prawozwojnym (rys. 7.12.).
Każdy punkt obracającego się ciała (oprócz punktów leżących na osi obrotu) wy-
konuje ruch po torze kołowym prostopadłym do osi obrotu.
Prędkość liniowa dowolnego punktu jest równa iloczynowi promienia r toru
przez prędkość kątową
v = r · ω
Kierunek wektora prędkości liniowej jest w każdej chwili styczny do toru. Wsta-
wiając do wzoru na prędkość liniową zależność ω =
2π · n
60
oraz d = 2r otrzyma się
v =
𝛑 · 𝐝 · 𝐧
𝟔𝟎
Wyrażenie to przedstawia związek pomiędzy prędkością liniową, a prędkością
obrotową.
Ruch obrotowy zmienny
W ruchu obrotowym zmiennym prędkość kątowa nie jest wielkością stałą. Jeżeli
prędkość kątowa rośnie, mówi się o ruchu obrotowym przyśpieszonym, a jeżeli pręd-
kość kątowa maleje, to ma się do czynienia z ruchem obrotowym opóźnionym.
Spośród różnych możliwości ruchów zmiennych w technice ważnym zagadnie-
niem jest ruch obrotowy jednostajnie zmienny (jednostajnie przyspieszony i jednostaj-
nie opóźniony). Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny charakteryzuje przyspiesze-
nie (styczne do toru) stałe co do wartości a = at =
v − vo
t
Zupełnie podobnie ruch obrotowy jednostajnie zmienny charakteryzuje stałe co
do wartości przyspieszenie kątowe ε.
Załóżmy, że w danej chwili prędkość kątowa obracającego się ciała wynosi ω0. Po
upływie czasu t prędkość kątowa wzrosła i wynosi ω.
Stosunek przyrostu prędkości kątowej ω – ω0 do czasu t, w którym ten przyrost nastą-
pił, nazywa się przyspieszeniem kątowym ε.
ε =
𝛚 − 𝛚 𝐨
𝐭
rad/s2
Przyspieszenie kątowe jest wektorem leżącym na osi obrotu, mającym zwrot
zgodny ze zwrotem prędkości kątowej, jeżeli obrót jest przyspieszony (rys. 7.12.).
W ruchu obrotowym opóźnionym zwrot wektora ε jest przeciwny do zwrotu wektora

16
prędkości kątowej. Oczywiście, w ruchu obrotowym jednostajnym wektor ε jest wekto-
rem zerowym.
Mnożąc równanie na przyspieszenie kątowe przez promień okręgu r otrzyma się:
r · ε =
r · ω − r · ωo
t
=
v − vo
t
Porównując to wyrażenie ze wzorem na przyspieszenie ruchu widać, że prawe
strony obu wyrażeń są jednakowe, czyli lewe strony muszą też równać się sobie. A więc:
at = r · ε
Przyspieszenie styczne w ruchu obrotowym jest równe iloczynowi promienia
okręgu, po którym porusza się rozważany punkt ciała sztywnego i przyspieszenia kąto-
wego ciała.
Po pomnożeniu równania przedstawiającego wartość przyspieszenia kątowego
obustronnie przez czas t otrzyma się:
ω = ω0 + ε · t
Równanie to nazywa się równaniem prędkości ruchu obrotowego jednostajnie
zmiennego.
Droga w ruchu prostoliniowym jednostajnie zmiennym określona jest wzorem:
s = v0 · t + a ·
t2
2
W przypadku ruchu obrotowego ma się do czynienia z drogą kątową, którą ozna-
cza się przez α. Analogicznie do ruchu prostoliniowego droga w ruchu obrotowym jed-
nostajnie zmiennym będzie równa:
α = ω0 · t + ε ·
𝐭 𝟐
𝟐
rad
Równanie to nazywa się równaniem ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego.
6. Pojęcie ruchu płaskiego
Wiadomości wstępne
Omówiony zostanie jeszcze jeden ważny w technice ruch ciała sztywnego, a mia-
nowicie ruch płaski.
Rys. 7.13. Ruch płaski

17
Rozważony zostanie ruch ciała K, założona zostanie stała płaszczyzna β, która
przecina poruszające się ciało K. Otrzymany w ten sposób przekrój ciała stałą płaszczy-
zną β oznaczony został przez S (rys. 7.13.). Jeżeli ciało będzie się poruszało tak, że jego
przekrój S stale będzie pozostawał na płaszczyźnie β, to ruch ciała nazywa się płaskim.
W ruchu takim wszystkie punkty ciała poruszają się po torach płaskich leżących
w płaszczyznach wzajemnie równoległych (i równoległych do płaszczyzny β). Do okre-
ślenia ruchu płaskiego ciała wystarczy wiedzieć, jak się porusza przekrój tego ciała po
stałej płaszczyźnie β. Wszystkie punkty ciała leżące na wspólnej normalnej do płaszczy-
zny β poruszają się jednakowo.
Za przykład ruchu płaskiego służyć może staczanie się walca po równi pochyłej
(rys. 7.14.). Wszystkie punkty walca poruszają się po torach równoległych do płaszczy-
zny rysunku. Wszystkie punkty walca leżące na wspólnej normalnej do płaszczyzny ry-
sunku poruszają się jednakowo (po takich samych torach, z jednakowymi prędkościami
i przyspieszeniami).
Rys. 7.14. Staczanie walca po równi pochyłej
Ruch płaski wykonuje wiele mechanizmów, dlatego analiza tego ruchu jest dla
techniki bardzo ważna.

18
Twierdzenie o rzutach prędkości
Rys. 7.14. Warunek sztywności
Przyjmuje się założenie, że dowolny punkt A ciała sztywnego ma prędkość vA.
Powstaje pytanie: czy prędkość dowolnego innego punktu B zależy od prędkości vA?
Przyjmuje się, że punkt B ma prędkość vB (rys. 7.14.). Rzutując oba wektory prędkości na
kierunek prostej łączącej punkty A i B otrzymuje się rzuty vA i vB. Z warunku sztywności
ciała wynika, że w czasie ruchu odległość dwóch dowolnych punktów ciała musi być
stała. Wobec tego dochodzi się do wniosku, że rzut vA musi być równy rzutowi vB (w in-
nym wypadku rozważane punkty zbliżałyby się lub oddalały od siebie).
Rzuty prędkości dwu dowolnych punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty
muszą być sobie równe.
Twierdzenie to, zwane warunkiem sztywności, umożliwia rozwiązanie wielu za-
dań z zakresu kinematyki ciała sztywnego.

19
Zastępcza i chwilowa oś obrotu
W ruchu płaskim ciała wystarczy określić ruch przekroju tego ciała po pewnej
płaszczyźnie stałej, którą nazywamy płaszczyzną kierującą.
Rys. 7.15. Płaszczyzna kierująca
Na rys. 7.15. przedstawiono przekrój ciała poruszającego się ruchem płaskim w
dwóch położeniach I i II. Przekrój ciała wykonuje ruch w płaszczyźnie rysunku, którą
uważa się za płaszczyznę kierującą. Łącząc ze sobą dwa dowolne punkty A i B przekroju
otrzyma się odcinek AB, który po wykonaniu przez przekrój ruchu zajmie położenie
A'B'. Nietrudno zauważyć, że z położenia I do położenia II można przeprowadzić rozwa-
żany przekrój za pomocą jednego obrotu dookoła punktu C, w którym przecinają się sy-
metralne odcinków AA' i BB', łączących początkowe i końcowe położenia punktów A i B.
Tak określony punkt C nazywa się zastępczym środkiem obrotu.
Jeżeli zamiast ruchu przekroju będzie rozważany ruch płaski ciała, to z położenia
początkowego I do położenia końcowego II można przeprowadzić to ciało za pomocą
jednego obrotu dookoła osi prostopadłej do rysunku (płaszczyzny kierującej), a prze-
chodzącej przez punkt C. Tę oś nazywa się zastępczą osią obrotu.
Taki obrót zastępczy nie odzwierciedla położenia ciała w każdej chwili ruchu,
umożliwia tylko przeprowadzenie ciała z położenia początkowego do położenia końco-
wego. Gdyby chcieć wiernie przedstawić położenie ciała w każdej chwili ruchu, należa-
łoby znaleźć zastępcze osie obrotu dla kolejnych, bardzo bliskich sobie położeń. Przy
rozważaniu nieskończenie bliskich położeń przekroju stwierdzono, że poszczególne sy-
metralne wyznaczające zastępcze środki obrotów przejdą w normalne do torów (a tym
samym i do prędkości). Odpowiedni punkt S przecięcia się tych normalnych nazywa się
chwilowym środkiem obrotu (rys. 7.16.).

20
Rys. 7.16. Chwilowy ośrodek obrotu
Jeżeli punkty A i B należą do ciała sztywnego wykonującego ruch płaski, to chwi-
lowe przemieszczenie tego ciała jest obrotem dookoła osi przechodzącej przez punkt S
i prostopadłej do płaszczyzny kierującej. Oś tę nazywa się chwilową osią obrotu.
Tak więc chwilowy środek obrotu jest to punkt, dookoła którego należy przekrój
poruszającego się ciała obrócić o kąt nieskończenie mały, żeby znaleźć następne rze-
czywiste położenie tego przekroju.
Chwilowa oś obrotu jest to oś, dookoła której należy obrócić o kąt nieskończenie
mały ciało w ruchu płaskim, żeby uzyskać następne rzeczywiste położenie tego ciała.
Określenie położenia chwilowego środka obrotu i chwilowej osi obrotu jest bar-
dzo istotne, gdyż umożliwia sprowadzenie ruchu płaskiego do ruchu obrotowego.
Z rozważań przeprowadzonych nad ruchem obrotowym wynika, że tak chwilowy
środek obrotu, jak i wszystkie punkty leżące na chwilowej osi obrotu mają prędkość
chwilową równą zeru (czyli są w danej chwili w spoczynku).

21
7. Pojęcie ruchu złożonego
Wiadomo z podstaw kinematyki, że – w zależności od układu odniesienia – ruchy
dzielimy na bezwzględne i względne.
Rys. 7.17. Ruch złożony
Ruch złożony zachodzi wtedy, gdy jakiś punkt (ciało) P porusza się względem
układu ruchomego Ur, który to układ porusza się względem układu Us, przyjętego za stały.
Na rys. 7.17. przedstawiono punkt P poruszający się po ruchomej bryle, którą
przyjmuje się za ruchomy układ odniesienia Ur. Bryła ta natomiast (razem z poruszają-
cym się po niej punktem P) wykonuje ruch względem stałego układu Us, reprezentowa-
nego przez układ osi x, y, z.
Ruchy składowe w ruchu złożonym
Ruch punktu P względem układu ruchomego Ur nazywa się ruchem względnym.
Ruch punktu P względem stałego układu Us nazywa się ruchem bezwzględnym.
Ruch układu ruchomego Ur względem układu stałego Us nazywa się ruchem uno-
szenia. Ruch bezwzględny jest rezultatem złożenia ruchu względnego i ruchu unoszenia.
Przykładem takiego ruchu może być ruch wózka po pomoście suwnicy, która jednocze-
śnie porusza się wzdłuż hali fabrycznej. Układem ruchomym Ur jest suwnica, zaś ukła-
dem stałym Us hala fabryczna. Ruch wózka względem pomostu suwnicy jest ruchem
względnym, zaś ruch wózka względem hali jest ruchem bezwzględnym. Natomiast ruch
pomostu suwnicy względem hali jest ruchem unoszenia.
Podobnie można rozpatrywać ruch pasażera po statku poruszającym się względem
brzegów rzeki. Ruch pasażera względem statku jest ruchem względnym. Ruch tego pa-

22
sażera względem nieruchomego brzegu jest ruchem bezwzględnym, zaś ruch statku
względem brzegów jest ruchem unoszenia.
Prędkość w ruchu złożonym
Z podanymi trzema ruchami (względnym, bezwzględnym unoszenia) związane są
trzy prędkości, które zdefiniuje się następująco:
 Prędkość bezwzględna vb jest to prędkość poruszającego się punktu P wzglę-
dem stałego układu odniesienia (np. w omawianym poprzednio przykładzie
prędkość pasażera względem brzegów rzeki).
 Prędkość względna vw jest to prędkość ruchomego punktu P względem ru-
chomego układu odniesienia. W przykładzie będzie to prędkość pasażera
względem pokładu statku.
 Prędkość unoszenia vu jest to prędkość tego punktu układu ruchomego
(względem układu stałego), z którym w danej chwili pokrywa się ruchomy
punkt P.
W każdym ruchu względnym prędkość bezwzględna jest sumą geometryczną
prędkości względnej i prędkości unoszenia.
𝐯⃗⃗b = 𝐯⃗⃗w + 𝐯⃗⃗u
Przykład 7.1.
Wzdłuż wału o średnicy d = 10 cm porusza się punkt materialny P ze stałą pręd-
kością (względem wału) vw = 1 m/s. Obliczyć prędkość bezwzględną tego punktu, jeżeli
wał ma prędkość obrotową n = 300 obr/min. Określić również tor względny, unoszenia
i bezwzględny rozważanego ruchu względnego (rys. 7.18.).
Rys. 7.18. Tor względny i bezwzględny ruchu
Dana jest prędkość względna vw poruszającego się punktu. Prędkość unoszenia
jest to prędkość tego punktu wału, z którym w danej chwili styka się ruchomy punkt P.
Wynosi ona:
vu = r · ω =
d
2
·
π · n
30
=
0,1
2
·
π · 300
30
= 1,6 m/s
vb = √vw
2 + vu
2 = √12 + 1,62 = 1,9 m/s2
Torem względnym punktu P jest linia prosta. Torem unoszenia w dowolnej chwili
jest okrąg o promieniu d/2 zaś torem bezwzględnym – linia śrubowa.

23
Przykład 7.2.
Podobne zagadnienia spotyka się bezpośrednio w technice. Żuraw obracający się
dookoła pionowej osi z prędkością kątową ω0 podnosi ciężar z prędkością względną vw
(rys. 7.19.).
Rys. 7.19. Podnoszenie ciężaru z prędkością względną
Prędkość względna jest wektorem równoległym do osi obrotu żurawia. Prędkość
unoszenia vu = l · ω0 jest styczna do okręgu o promieniu l (ten okrąg jest w danej chwili
torem unoszenia). W rezultacie tych dwóch ruchów składowych ciężar (traktowany jako
punkt materialny) będzie poruszał się względem Ziemi (układu stałego) po linii śrubo-
wej z prędkością bezwzględną
vb = √vw
2 + vu
2
Przyspieszenie w ruchu złożonym
Przy omawianiu przyspieszenia w ruchu złożonym uwzględnia się dwa przypadki:
 gdy układ ruchomy Ur wykonuje ruch postępowy (nie obraca się),
 gdy układ ruchomy Ur wykonuje ruch obrotowy.
Układ ruchomy Ur wykonuje ruch postępowy

24
Z takim przypadkiem ma się do czynienia przy ruchu wózka po pomoście suwni-
cy, która ruchem postępowym przesuwa się wzdłuż hali. Przyjmuje się następujące
określenia:
ab – przyspieszenie bezwzględne, czyli przyspieszenie ruchomego punktu P wzglę-
dem stałego układu odniesienia,
aw – przyspieszenie względne, czyli przyspieszenie ruchomego punktu P względem
ruchomego układu odniesienia,
au – przyspieszenie unoszenia, czyli przyspieszenie tego punktu układu ruchomego
(względem układu stałego), z którym w danej chwili styka się ruchomy punkt P.
Jeżeli ruchomy układ odniesienia wykonuje ruch postępowy, przyspieszenie
bezwzględne jest sumą geometryczną przyspieszenia względnego i przyspieszenia uno-
szenia.
𝐚⃗⃗b = 𝐚⃗⃗w + 𝐚⃗⃗u
Układ ruchomy Ur wykonuje ruch obrotowy
W tym przypadku przyspieszenie bezwzględne jest sumą geometryczną trzech
przyspieszeń:
𝐚⃗⃗b = 𝐚⃗⃗w + 𝐚⃗⃗u+ 𝐚⃗⃗c
Przyspieszenia ab, aw i au zostały zdefiniowane poprzednio. Przyspieszenie ac na-
zywa się przyspieszeniem Coriolisa (czyt. Koriolisa).
Można wykazać, że przyspieszenie, Coriolisa jest równe:
ac = 2 · ω · vw · sinα
gdzie:
ω – prędkość kątowa układu ruchomego,
vw – wartość prędkości względnej,
α – kąt zawarty pomiędzy wektorem prędkości względnej a osią obrotu układu rucho-
mego.
Jak każde przyspieszenie, również i przyspieszenie Coriolisa jest wektorem. War-
tość tego wektora określa powyższy wzór, a kierunek przyspieszenia Coriolisa jest pro-
stopadły do osi obrotu układu ruchomego i do wektora prędkości względnej. Wektor ac
jest zwrócony w tę stronę, w którą następuje zmiana kierunku wektora vw na skutek
obrotu układu ruchomego.
Wektor przyspieszenia Coriolisa można przedstawić za pomocą iloczynu wekto-
rowego:
a⃗⃗c = 2ω⃗⃗⃗ x v⃗⃗w
Ze wzoru na przyspieszenie Corilisa wynika, że przyspieszenie to nie występuje
(jest równe zeru) w następujących przypadkach:
 gdy ω = O, czyli układ ruchomy porusza się ruchem postępowym,
 gdy vw = O, czyli gdy nie występuje przypadek ruchu względnego (punkt jest
sztywno związany z układem ruchomym),

25
 gdy sinα = O, czyli gdy wektor vw jest równoległy do osi obrotu układu rucho-
mego.
Ziemia jest również obracającym się układem ruchomym, na którym na porusza-
jące się ciała działa przyspieszenie Coriolisa. Rozszerzając rozumowanie dotyczące kie-
runku i zwrotu tego przyspieszenia można powiedzieć, że ciała poruszające się po Ziemi
na półkuli północnej poddane są działaniu przyspieszenia Coriolisa, działającego pro-
stopadle do prędkości względnej i zwrócone w lewo, jeżeli patrzeć w kierunku ruchu
ciała. Na półkuli południowej zwrot przyspieszenia ac zmieni się na przeciwny. Z fizyki
wiadomo, że iloczyn masy ciała i przyspieszenia ruchu jest równy co do wartości sile
działającej. Iloczyn masy poruszającego się ciała i przyspieszenia Coriolisa nazywa się
siłą Coriolisa. Jako obserwatorzy znajdujący się na Ziemi (na układzie ruchomym, czyli
względnym) zauważamy skutek działania siły bezwładności (m · ac). A więc wszystkie
ciała poruszające się po półkuli północnej odchylane są przez siłę Coriolisa w prawo, zaś
ciała poruszające się po półkuli południowej odchylane są w lewo, jeśli patrzeć w kie-
runku ruchu ciała. Tak np. na półkuli północnej nacisk jadącego pociągu na prawą szynę
jest większy niż na lewą. Prawe brzegi rzek na półkuli północnej są bardziej rozmywane
niż lewe.
Na ogół wartość siły Coriolisa jest nieduża, przede wszystkim dlatego, że pręd-
kość kątowa Ziemi jest mała (ω = 0,000073 rad/s). Jednak w przypadku dużych mas (np.
masy wód w płynących rzekach) siły Coriolisa mogą osiągnąć duże wartości. Działaniem
tych sił tłumaczy się fakt, że duże rzeki, szczególnie przy ujściach, skręcają na półkuli
północnej w prawo, a na półkuli południowej w lewo (o ile na to pozwala ukształtowa-
nie terenu). Podane zjawisko znane jest w meteorologii: działaniu sił Coriolisa przypisu-
je się fakt częstego skręcania wiatrów na półkuli północnej w prawo, a na półkuli połu-
dniowej w lewo. Istnieniem sił Coriolisa tłumaczy się również inne zjawiska meteorolo-
giczne, np. kierunki pasatów, monsunów i inne.
Przykład 7.3.
Rys. 7.20. Przyspieszenie bezwzględne punktu P
Tarcza o promieniu r = 1 m obraca się jednostajnie dookoła osi 0 z prędkością ką-
tową ω = 4 rad/s. Po obwodzie tarczy porusza się punkt materialny P ze stałą prędko-
ścią vw = 0,5 m/s w stronę przeciwną obrotowi tarczy.
Należy określić przyspieszenie bezwzględne punktu P (rys. 7.20.).

26
Przyspieszenie względne wynosi:
aw =
vw
2
r
=
0,52
2
= 0,25 m/s2
i jest ono zwrócone do środka tarczy.
Przyspieszenie unoszenia jest to przyspieszenie tego punktu obwodu tarczy,
w którym znajduje się w danej chwili punkt P. Jest ono równe przyspieszeniu normal-
nemu:
au = r · ω2 = 1 · 42 = 16 m/s2
i jest zwrócone do środka tarczy.
Przyspieszenie Coriolisa ma wartość:
ac= 2ω · vw · sinα
Kąt α, zawarty pomiędzy osią obrotu (która jest prostopadła do rysunku) i pręd-
kością względną vw, jest równy 90°, czyli sinα = 1, a więc:
ac = 2ω · vw = 2 · 4 · 0,5 = 4 m/s2
Przyspieszenie ac jest prostopadłe do osi obrotu i do wektora vw, ma więc kieru-
nek OP. Zwrócone jest w tę stronę, w którą zmienia się kierunek wektora vw wskutek
obrotu układu ruchomego (tarczy), czyli jest zwrócone do zewnątrz okręgu.
Przyspieszenie bezwzględne ma wartość:
ab = aw + au – ac = 0,25 + 16 – 4 = 12,25 m/s2
Jego kierunek pokrywa się z kierunkiem promienia OP i jest ono zwrócone do
środka okręgu.
Bibliografia:
1. Siuta W. (2004). Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP,
2. Siuta W., Rososiński S., Kozak B. (2008) Zbiór zadań z mechaniki technicznej.
Warszawa: WSiP.
3. Awrejcewicz J. (2009) Mechanika techniczna. WN-T,
4. Głowacki H. (2003) Mechanika techniczna. Statyka i kinematyka. Politechnika
Warszawska,
5. Janicki L. Sawaniewicz Z. Poradnik – Rozwiązywanie zadań z mechaniki. Część I
Statyka. REA,
6. Kozak B. (2008) Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP,
7. Kozak B. (2000) Części maszyn z elementami mechaniki technicznej. WSiP,
8. Misiak J. (2003) Mechanika techniczna Tom 1 Statyka i wytrzymałość materia-
łów. Tom 2. Kinematyka i dynamika. WN-T,
9. Rutkowski A. (2009) Części maszyn. Warszawa: WSiP,
10. Opracowanie zbiorowe (2008) Poradnik mechanika. REA.

7

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Emotka

More from Emotka (20)

7