1. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Современные модели экономического роста
Лекция 5. Модель перекрывающихся поколений Даймонда
В. Хачатуров
Экономический факультет
Санкт-Петербургский Государственный Университет
15 мая 2009 года
В. Хачатуров Модели роста

2. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Outline
1 Постановка задачи
2 Поведение домохозяйств
3 Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста

3. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Теперь нашей задачей будет построение моделей, в
которых динамика будет существенным образом
определяться “микроэкономическим” поведением
максимизирующих агентов.
При этом мы по-прежнему предполагаем темпы роста
населения и технологический прогресс заданными.
В. Хачатуров Модели роста

4. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Теперь нашей задачей будет построение моделей, в
которых динамика будет существенным образом
определяться “микроэкономическим” поведением
максимизирующих агентов.
При этом мы по-прежнему предполагаем темпы роста
населения и технологический прогресс заданными.
В. Хачатуров Модели роста

5. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.
Агрегированный выпуск фирм описывается
производственной функцией Y = F(K, AL),
удовлетворяющей всем указанным ранее условиям
(неоклассической).
Технологический прогресс A задан, темп его роста g.
Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, и
продают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.
Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весь
доход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста

6. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.
Агрегированный выпуск фирм описывается
производственной функцией Y = F(K, AL),
удовлетворяющей всем указанным ранее условиям
(неоклассической).
Технологический прогресс A задан, темп его роста g.
Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, и
продают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.
Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весь
доход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста

7. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.
Агрегированный выпуск фирм описывается
производственной функцией Y = F(K, AL),
удовлетворяющей всем указанным ранее условиям
(неоклассической).
Технологический прогресс A задан, темп его роста g.
Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, и
продают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.
Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весь
доход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста

8. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.
Агрегированный выпуск фирм описывается
производственной функцией Y = F(K, AL),
удовлетворяющей всем указанным ранее условиям
(неоклассической).
Технологический прогресс A задан, темп его роста g.
Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, и
продают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.
Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весь
доход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста

9. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.
Агрегированный выпуск фирм описывается
производственной функцией Y = F(K, AL),
удовлетворяющей всем указанным ранее условиям
(неоклассической).
Технологический прогресс A задан, темп его роста g.
Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, и
продают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.
Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весь
доход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста

10. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают его
фирмам.
Ключевое предположение: существует постоянный оборот
людей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простоты
предположим, что индивид живёт два периода.
В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,
население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.
Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде t
есть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихся
в предыдущем периоде, и выбывающих в этом.
Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в
“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от труда
разделяется между сбережениями и текущим
потреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста

11. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают его
фирмам.
Ключевое предположение: существует постоянный оборот
людей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простоты
предположим, что индивид живёт два периода.
В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,
население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.
Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде t
есть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихся
в предыдущем периоде, и выбывающих в этом.
Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в
“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от труда
разделяется между сбережениями и текущим
потреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста

12. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают его
фирмам.
Ключевое предположение: существует постоянный оборот
людей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простоты
предположим, что индивид живёт два периода.
В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,
население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.
Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде t
есть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихся
в предыдущем периоде, и выбывающих в этом.
Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в
“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от труда
разделяется между сбережениями и текущим
потреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста

13. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают его
фирмам.
Ключевое предположение: существует постоянный оборот
людей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простоты
предположим, что индивид живёт два периода.
В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,
население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.
Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде t
есть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихся
в предыдущем периоде, и выбывающих в этом.
Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в
“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от труда
разделяется между сбережениями и текущим
потреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста

14. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают его
фирмам.
Ключевое предположение: существует постоянный оборот
людей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простоты
предположим, что индивид живёт два периода.
В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,
население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.
Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде t
есть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихся
в предыдущем периоде, и выбывающих в этом.
Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в
“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от труда
разделяется между сбережениями и текущим
потреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста

15. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а только
потребляет то, что было сбережено им в первом периоде, с
начисленной ставкой процента.
Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида в
первом и втором периодах соответственно.
Тогда совокупная полезность индивида, родившегося в
периоде t, примет следующий вид (мы используем
функцию полезности CRRA):
U(t) =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста

16. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а только
потребляет то, что было сбережено им в первом периоде, с
начисленной ставкой процента.
Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида в
первом и втором периодах соответственно.
Тогда совокупная полезность индивида, родившегося в
периоде t, примет следующий вид (мы используем
функцию полезности CRRA):
U(t) =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста

17. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а только
потребляет то, что было сбережено им в первом периоде, с
начисленной ставкой процента.
Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида в
первом и втором периодах соответственно.
Тогда совокупная полезность индивида, родившегося в
периоде t, примет следующий вид (мы используем
функцию полезности CRRA):
U(t) =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста

18. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивид
присваивает потреблению во втором периоде.
Для простоты предположим, что коэффициент выбытия
капитала δ = 0.
Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентны
Капитал и труд зарабатывают свой предельный продукт
Фирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f (kt), доход труда
wt = f (kt) − ktf (kt).
Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всем
домохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста

19. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивид
присваивает потреблению во втором периоде.
Для простоты предположим, что коэффициент выбытия
капитала δ = 0.
Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентны
Капитал и труд зарабатывают свой предельный продукт
Фирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f (kt), доход труда
wt = f (kt) − ktf (kt).
Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всем
домохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста

20. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивид
присваивает потреблению во втором периоде.
Для простоты предположим, что коэффициент выбытия
капитала δ = 0.
Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентны
Капитал и труд зарабатывают свой предельный продукт
Фирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f (kt), доход труда
wt = f (kt) − ktf (kt).
Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всем
домохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста

21. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивид
присваивает потреблению во втором периоде.
Для простоты предположим, что коэффициент выбытия
капитала δ = 0.
Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентны
Капитал и труд зарабатывают свой предельный продукт
Фирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f (kt), доход труда
wt = f (kt) − ktf (kt).
Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всем
домохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста

22. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивид
присваивает потреблению во втором периоде.
Для простоты предположим, что коэффициент выбытия
капитала δ = 0.
Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентны
Капитал и труд зарабатывают свой предельный продукт
Фирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f (kt), доход труда
wt = f (kt) − ktf (kt).
Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всем
домохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста

23. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Словами процесс в модели можно описать следующим
образом: в нулевом периоде молодые совмещают свой
труд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.
Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, а
затем умирают.
Молодые разделяют свой доход (wtAt) между
потреблением и сбережением. Запас капитала следующего
периода равен совокупному сбережению всех индивидов в
предыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этот
капитал комбинируется с трудом следующего поколения
молодых, и процесс продолжается.
В. Хачатуров Модели роста

24. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Словами процесс в модели можно описать следующим
образом: в нулевом периоде молодые совмещают свой
труд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.
Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, а
затем умирают.
Молодые разделяют свой доход (wtAt) между
потреблением и сбережением. Запас капитала следующего
периода равен совокупному сбережению всех индивидов в
предыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этот
капитал комбинируется с трудом следующего поколения
молодых, и процесс продолжается.
В. Хачатуров Модели роста

25. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетное
ограничение индивида:
C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) при
бюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста

26. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетное
ограничение индивида:
C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) при
бюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста

27. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетное
ограничение индивида:
C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) при
бюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста

28. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
+λ Atwt − C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1
(4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ
1t = λ (5)
1
1 + ρ
C−θ
2t+1 =
1
1 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашей
задачи:
C2t+1
C1t
=
1 + rt+1
1 + ρ
. (7)
В. Хачатуров Модели роста

29. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
+λ Atwt − C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1
(4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ
1t = λ (5)
1
1 + ρ
C−θ
2t+1 =
1
1 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашей
задачи:
C2t+1
C1t
=
1 + rt+1
1 + ρ
. (7)
В. Хачатуров Модели роста

30. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =
C1−θ
1t
1 − θ
+
1
1 + ρ
C1−θ
2t+1
1 − θ
+λ Atwt − C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1
(4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ
1t = λ (5)
1
1 + ρ
C−θ
2t+1 =
1
1 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашей
задачи:
C2t+1
C1t
=
1 + rt+1
1 + ρ
. (7)
В. Хачатуров Модели роста

31. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t и
подставить в бюджетное уравнение потребителя, мы
получим следующее выражение для потребления в первом
периоде, как части дохода:
C1t =
(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θ
Atwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависит
от ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемой
части дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =
(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ
(9)
Таким образом,
C1t = [1 − s(rt+1)]Atwt. (10)
В. Хачатуров Модели роста

32. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t и
подставить в бюджетное уравнение потребителя, мы
получим следующее выражение для потребления в первом
периоде, как части дохода:
C1t =
(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θ
Atwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависит
от ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемой
части дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =
(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ
(9)
Таким образом,
C1t = [1 − s(rt+1)]Atwt. (10)
В. Хачатуров Модели роста

33. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t и
подставить в бюджетное уравнение потребителя, мы
получим следующее выражение для потребления в первом
периоде, как части дохода:
C1t =
(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θ
Atwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависит
от ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемой
части дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =
(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ
(9)
Таким образом,
C1t = [1 − s(rt+1)]Atwt. (10)
В. Хачатуров Модели роста

34. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодого
индивида растут с ростом r только тогда, когда растёт
(1 + r)(1−θ)/θ.
Производная этого выражения по r равна
[(1 − θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r если
θ < 1 и убывает, если θ > 1.
Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектом
дохода и эффектом замещения в межвременном выборе
индивида (вспомним вид функции полезности), то таким
образом можно отследить влияние межвременных
предпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста

35. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодого
индивида растут с ростом r только тогда, когда растёт
(1 + r)(1−θ)/θ.
Производная этого выражения по r равна
[(1 − θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r если
θ < 1 и убывает, если θ > 1.
Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектом
дохода и эффектом замещения в межвременном выборе
индивида (вспомним вид функции полезности), то таким
образом можно отследить влияние межвременных
предпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста

36. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодого
индивида растут с ростом r только тогда, когда растёт
(1 + r)(1−θ)/θ.
Производная этого выражения по r равна
[(1 − θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r если
θ < 1 и убывает, если θ > 1.
Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектом
дохода и эффектом замещения в межвременном выборе
индивида (вспомним вид функции полезности), то таким
образом можно отследить влияние межвременных
предпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста

37. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запас
капитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставку
процента, свою текущую заработную плату.
Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные нам
темпы роста и выражения для rt и wt, получая динамику
капитала:
kt+1 =
1
(1 + n)(1 + g)
s(f (kt+1))[f (kt) − ktf (kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста

38. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запас
капитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставку
процента, свою текущую заработную плату.
Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные нам
темпы роста и выражения для rt и wt, получая динамику
капитала:
kt+1 =
1
(1 + n)(1 + g)
s(f (kt+1))[f (kt) − ktf (kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста

39. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запас
капитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставку
процента, свою текущую заработную плату.
Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные нам
темпы роста и выражения для rt и wt, получая динамику
капитала:
kt+1 =
1
(1 + n)(1 + g)
s(f (kt+1))[f (kt) − ktf (kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста

40. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Видно, что динамика капитала у нас определилась только
неявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общем
случае трудно что-либо сказать про явный вид этой
зависимости.
Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФ
Кобба-Дугласа:
kt+1 =
1
(1 + n)(1 + g)
1
2 + ρ
(1 − α)kα
t (13)
В. Хачатуров Модели роста

41. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Видно, что динамика капитала у нас определилась только
неявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общем
случае трудно что-либо сказать про явный вид этой
зависимости.
Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФ
Кобба-Дугласа:
kt+1 =
1
(1 + n)(1 + g)
1
2 + ρ
(1 − α)kα
t (13)
В. Хачатуров Модели роста

42. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста

43. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста

44. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Сдвиг в коэффициенте дисконтирования аналогичен росту
нормы сбережения в модели Солоу: уровни переменных
вырастают, темпы роста переменных в расчёте на единицу
эффективного труда после сходимости снова нулевые.
В. Хачатуров Модели роста

45. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, но
и количественные предсказания модели: в том числе,
скорость сходимости.
Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированного
роста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗
+
dkt+1
dkt
(k∗
) (kt − k∗
) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этого
ЛРУ будет:
kt − k∗
≈ λt
(k0 − k∗
) (15)
В. Хачатуров Модели роста

46. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, но
и количественные предсказания модели: в том числе,
скорость сходимости.
Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированного
роста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗
+
dkt+1
dkt
(k∗
) (kt − k∗
) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этого
ЛРУ будет:
kt − k∗
≈ λt
(k0 − k∗
) (15)
В. Хачатуров Модели роста

47. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, но
и количественные предсказания модели: в том числе,
скорость сходимости.
Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированного
роста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗
+
dkt+1
dkt
(k∗
) (kt − k∗
) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этого
ЛРУ будет:
kt − k∗
≈ λt
(k0 − k∗
) (15)
В. Хачатуров Модели роста

48. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавно
сходится.
Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируя
вокруг сбалансированной траектории.
Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” и
расходится.
Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между
0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтонную
сходимость.
При этом скорость сходимости отличается от скорости
сходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что во
втором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,
причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста

49. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавно
сходится.
Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируя
вокруг сбалансированной траектории.
Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” и
расходится.
Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между
0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтонную
сходимость.
При этом скорость сходимости отличается от скорости
сходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что во
втором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,
причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста

50. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавно
сходится.
Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируя
вокруг сбалансированной траектории.
Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” и
расходится.
Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между
0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтонную
сходимость.
При этом скорость сходимости отличается от скорости
сходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что во
втором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,
причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста

51. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавно
сходится.
Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируя
вокруг сбалансированной траектории.
Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” и
расходится.
Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между
0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтонную
сходимость.
При этом скорость сходимости отличается от скорости
сходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что во
втором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,
причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста

52. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавно
сходится.
Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируя
вокруг сбалансированной траектории.
Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” и
расходится.
Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между
0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтонную
сходимость.
При этом скорость сходимости отличается от скорости
сходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что во
втором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,
причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста

53. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики в
общем случаем нетривиально.
В частности, в зависимости от вида ПФ и функции
полезности, может возникнуть ситуация, когда
равновесных значений k будет больше двух.
Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,
так и не устойчивыми, или вообще не определяться
однозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста

54. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики в
общем случаем нетривиально.
В частности, в зависимости от вида ПФ и функции
полезности, может возникнуть ситуация, когда
равновесных значений k будет больше двух.
Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,
так и не устойчивыми, или вообще не определяться
однозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста

55. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики в
общем случаем нетривиально.
В частности, в зависимости от вида ПФ и функции
полезности, может возникнуть ситуация, когда
равновесных значений k будет больше двух.
Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,
так и не устойчивыми, или вообще не определяться
однозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста

56. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста

57. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может быть
точно так же динамически неэффективна, как и экономика
модели Солоу – в частности, состояние равновесия может
быть с k∗ > kgold .
Казалось бы, как так может быть? Конкурентность
экономики и отсутствие экстерналий должно привести к
Парето-эффективному распределению.
Причина состоит в том, что у нас бесконечное число
агентов. Social planner мог бы устраивать в такой
экономике распределения, которые не являются
результатом рыночного механизма: в частности, он мог бы
бесконечно забирать одну единицу дохода от труда у
молодых и отдавать старым, причём делать это для
каждого поколения – а значит, можно улучшить
децентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста

58. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может быть
точно так же динамически неэффективна, как и экономика
модели Солоу – в частности, состояние равновесия может
быть с k∗ > kgold .
Казалось бы, как так может быть? Конкурентность
экономики и отсутствие экстерналий должно привести к
Парето-эффективному распределению.
Причина состоит в том, что у нас бесконечное число
агентов. Social planner мог бы устраивать в такой
экономике распределения, которые не являются
результатом рыночного механизма: в частности, он мог бы
бесконечно забирать одну единицу дохода от труда у
молодых и отдавать старым, причём делать это для
каждого поколения – а значит, можно улучшить
децентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста

59. Постановка задачи
Поведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может быть
точно так же динамически неэффективна, как и экономика
модели Солоу – в частности, состояние равновесия может
быть с k∗ > kgold .
Казалось бы, как так может быть? Конкурентность
экономики и отсутствие экстерналий должно привести к
Парето-эффективному распределению.
Причина состоит в том, что у нас бесконечное число
агентов. Social planner мог бы устраивать в такой
экономике распределения, которые не являются
результатом рыночного механизма: в частности, он мог бы
бесконечно забирать одну единицу дохода от труда у
молодых и отдавать старым, причём делать это для
каждого поколения – а значит, можно улучшить
децентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста