1. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Современные модели экономического роста
Лекция 4. Модель Солоу: Market allocations, Технологический
прогресс
В. Хачатуров
Экономический факультет
Санкт-Петербургский Государственный Университет
07 мая 2009 года
В. Хачатуров Модели роста

2. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Outline
1 Market allocations
2 Технологический прогресс
3 Скорость сходимости
4 Рост и окружающая среда
В. Хачатуров Модели роста

3. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Ранее мы предполагали “добродушного диктатора”, или
планово-распределительную систему.
Теперь перейдём к модели, которая явно включает рынки
Домохозяйства, которые раньше владели фирмами и
выпуском, теперь являются собственниками финансовых
ресурсов и труда.
Ставка процента по финансовым ресурсам составляет r(t),
заработная плата – w(t).
Полный доход домохозяйств в таком случае составляет
Income = r(t)(assets) + w(t)L(t)
В. Хачатуров Модели роста

4. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Ранее мы предполагали “добродушного диктатора”, или
планово-распределительную систему.
Теперь перейдём к модели, которая явно включает рынки
Домохозяйства, которые раньше владели фирмами и
выпуском, теперь являются собственниками финансовых
ресурсов и труда.
Ставка процента по финансовым ресурсам составляет r(t),
заработная плата – w(t).
Полный доход домохозяйств в таком случае составляет
Income = r(t)(assets) + w(t)L(t)
В. Хачатуров Модели роста

5. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Ранее мы предполагали “добродушного диктатора”, или
планово-распределительную систему.
Теперь перейдём к модели, которая явно включает рынки
Домохозяйства, которые раньше владели фирмами и
выпуском, теперь являются собственниками финансовых
ресурсов и труда.
Ставка процента по финансовым ресурсам составляет r(t),
заработная плата – w(t).
Полный доход домохозяйств в таком случае составляет
Income = r(t)(assets) + w(t)L(t)
В. Хачатуров Модели роста

6. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Ранее мы предполагали “добродушного диктатора”, или
планово-распределительную систему.
Теперь перейдём к модели, которая явно включает рынки
Домохозяйства, которые раньше владели фирмами и
выпуском, теперь являются собственниками финансовых
ресурсов и труда.
Ставка процента по финансовым ресурсам составляет r(t),
заработная плата – w(t).
Полный доход домохозяйств в таком случае составляет
Income = r(t)(assets) + w(t)L(t)
В. Хачатуров Модели роста

7. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Ранее мы предполагали “добродушного диктатора”, или
планово-распределительную систему.
Теперь перейдём к модели, которая явно включает рынки
Домохозяйства, которые раньше владели фирмами и
выпуском, теперь являются собственниками финансовых
ресурсов и труда.
Ставка процента по финансовым ресурсам составляет r(t),
заработная плата – w(t).
Полный доход домохозяйств в таком случае составляет
Income = r(t)(assets) + w(t)L(t)
В. Хачатуров Модели роста

8. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Какая-то часть дохода в каждый момент времени
потребляется домохозяйствами. Оставшаяся часть
накапливается:
d(assets)/dt = [r(t)(assets) + wL] − C
Пусть a ≡ (assets)/L. Тогда ˙a = d(assets)/dt − na.
Подставляя в предыдущее выражение,
˙a = (ra + w) − c − na
В. Хачатуров Модели роста

9. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Какая-то часть дохода в каждый момент времени
потребляется домохозяйствами. Оставшаяся часть
накапливается:
d(assets)/dt = [r(t)(assets) + wL] − C
Пусть a ≡ (assets)/L. Тогда ˙a = d(assets)/dt − na.
Подставляя в предыдущее выражение,
˙a = (ra + w) − c − na
В. Хачатуров Модели роста

10. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Какая-то часть дохода в каждый момент времени
потребляется домохозяйствами. Оставшаяся часть
накапливается:
d(assets)/dt = [r(t)(assets) + wL] − C
Пусть a ≡ (assets)/L. Тогда ˙a = d(assets)/dt − na.
Подставляя в предыдущее выражение,
˙a = (ra + w) − c − na
В. Хачатуров Модели роста

11. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Фирмы нанимают труд и капитал на рынке, и используют
два этих фактора для производства в соответствии с ПФ.
Весь выпуск продаётся, причём по единичной цене за
штуку продукции (остальные цены просто отнесены к
стоимости продукции).
Таким образом, издержки фирм состоят из стоимости
факторов, которые пропорциональны K и L.
Пусть цена капитала составляет R, и при этом капитал
выбывает с постоянной скоростью δ ≥ 0.
Тогда процент на единицу капитала для домохозяйств
составляет R − δ. При этом домохозяйства могут
одалживать деньги по ставке r.
Поскольку при прочих равных условиях одалживание и
сдача капитала фирмам являются совершенными
субститутами, в равновесии их цена должна быть
одинаковой: r = R − δ, или R = r + δ.
В. Хачатуров Модели роста

12. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Фирмы нанимают труд и капитал на рынке, и используют
два этих фактора для производства в соответствии с ПФ.
Весь выпуск продаётся, причём по единичной цене за
штуку продукции (остальные цены просто отнесены к
стоимости продукции).
Таким образом, издержки фирм состоят из стоимости
факторов, которые пропорциональны K и L.
Пусть цена капитала составляет R, и при этом капитал
выбывает с постоянной скоростью δ ≥ 0.
Тогда процент на единицу капитала для домохозяйств
составляет R − δ. При этом домохозяйства могут
одалживать деньги по ставке r.
Поскольку при прочих равных условиях одалживание и
сдача капитала фирмам являются совершенными
субститутами, в равновесии их цена должна быть
одинаковой: r = R − δ, или R = r + δ.
В. Хачатуров Модели роста

13. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Фирмы нанимают труд и капитал на рынке, и используют
два этих фактора для производства в соответствии с ПФ.
Весь выпуск продаётся, причём по единичной цене за
штуку продукции (остальные цены просто отнесены к
стоимости продукции).
Таким образом, издержки фирм состоят из стоимости
факторов, которые пропорциональны K и L.
Пусть цена капитала составляет R, и при этом капитал
выбывает с постоянной скоростью δ ≥ 0.
Тогда процент на единицу капитала для домохозяйств
составляет R − δ. При этом домохозяйства могут
одалживать деньги по ставке r.
Поскольку при прочих равных условиях одалживание и
сдача капитала фирмам являются совершенными
субститутами, в равновесии их цена должна быть
одинаковой: r = R − δ, или R = r + δ.
В. Хачатуров Модели роста

14. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Фирмы нанимают труд и капитал на рынке, и используют
два этих фактора для производства в соответствии с ПФ.
Весь выпуск продаётся, причём по единичной цене за
штуку продукции (остальные цены просто отнесены к
стоимости продукции).
Таким образом, издержки фирм состоят из стоимости
факторов, которые пропорциональны K и L.
Пусть цена капитала составляет R, и при этом капитал
выбывает с постоянной скоростью δ ≥ 0.
Тогда процент на единицу капитала для домохозяйств
составляет R − δ. При этом домохозяйства могут
одалживать деньги по ставке r.
Поскольку при прочих равных условиях одалживание и
сдача капитала фирмам являются совершенными
субститутами, в равновесии их цена должна быть
одинаковой: r = R − δ, или R = r + δ.
В. Хачатуров Модели роста

15. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Фирмы нанимают труд и капитал на рынке, и используют
два этих фактора для производства в соответствии с ПФ.
Весь выпуск продаётся, причём по единичной цене за
штуку продукции (остальные цены просто отнесены к
стоимости продукции).
Таким образом, издержки фирм состоят из стоимости
факторов, которые пропорциональны K и L.
Пусть цена капитала составляет R, и при этом капитал
выбывает с постоянной скоростью δ ≥ 0.
Тогда процент на единицу капитала для домохозяйств
составляет R − δ. При этом домохозяйства могут
одалживать деньги по ставке r.
Поскольку при прочих равных условиях одалживание и
сдача капитала фирмам являются совершенными
субститутами, в равновесии их цена должна быть
одинаковой: r = R − δ, или R = r + δ.
В. Хачатуров Модели роста

16. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
С учётом сказанного, в каждый момент времени прибыль
фирмы составит
π = F(K, L, T) − (r + δ)K − wL
Фирмы решают задачу максимизации прибыли.
Рассмотрим фирму некоторого масштаба L. Поскольку
наша ПФ обладает свойством постоянной отдачи от
масштаба:
π = L[f (k) − (r + δ)k − w]
Рынки считаются совершенно конкуретными, а потому для
фирмы r и w являются постоянными и заданными.
Следовательно, максимум этой функции достигается в
точке, где f (k) = r + δ.
Таким образом, фирмы выбирают капиталовооружённость
так, чтобы предельный продукт был равен цене найма
В. Хачатуров Модели роста

17. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
С учётом сказанного, в каждый момент времени прибыль
фирмы составит
π = F(K, L, T) − (r + δ)K − wL
Фирмы решают задачу максимизации прибыли.
Рассмотрим фирму некоторого масштаба L. Поскольку
наша ПФ обладает свойством постоянной отдачи от
масштаба:
π = L[f (k) − (r + δ)k − w]
Рынки считаются совершенно конкуретными, а потому для
фирмы r и w являются постоянными и заданными.
Следовательно, максимум этой функции достигается в
точке, где f (k) = r + δ.
Таким образом, фирмы выбирают капиталовооружённость
так, чтобы предельный продукт был равен цене найма
В. Хачатуров Модели роста

18. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
С учётом сказанного, в каждый момент времени прибыль
фирмы составит
π = F(K, L, T) − (r + δ)K − wL
Фирмы решают задачу максимизации прибыли.
Рассмотрим фирму некоторого масштаба L. Поскольку
наша ПФ обладает свойством постоянной отдачи от
масштаба:
π = L[f (k) − (r + δ)k − w]
Рынки считаются совершенно конкуретными, а потому для
фирмы r и w являются постоянными и заданными.
Следовательно, максимум этой функции достигается в
точке, где f (k) = r + δ.
Таким образом, фирмы выбирают капиталовооружённость
так, чтобы предельный продукт был равен цене найма
В. Хачатуров Модели роста

19. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
С учётом сказанного, в каждый момент времени прибыль
фирмы составит
π = F(K, L, T) − (r + δ)K − wL
Фирмы решают задачу максимизации прибыли.
Рассмотрим фирму некоторого масштаба L. Поскольку
наша ПФ обладает свойством постоянной отдачи от
масштаба:
π = L[f (k) − (r + δ)k − w]
Рынки считаются совершенно конкуретными, а потому для
фирмы r и w являются постоянными и заданными.
Следовательно, максимум этой функции достигается в
точке, где f (k) = r + δ.
Таким образом, фирмы выбирают капиталовооружённость
так, чтобы предельный продукт был равен цене найма
В. Хачатуров Модели роста

20. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для функций, подобных нашей производственной функции,
верная следующая
Теорема Эйлера
Функция, однородная степени 1, представима в виде:
F(K, L) = FK K + FLL
В. Хачатуров Модели роста

21. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Так как в нашем случае конкурентного равновесия
выплаты факторам совпадают с их предельным продуктом,
то прибыль фирмы равна нулю, что равносильно
w = f (k) − f (k)k
Поскольку экономика закрыта, то единственный товар на
рынке активов – это капитал. В равновесии, таким
образом, a = k. Собирая вместе все уравнения, получаем:
˙k = f (k) − c − (n + δ)k
Вспомним, что в модели Солоу потребление равно
постоянной доле дохода: c = (1 − s)f (k). Следовательно,
˙k = sf (k) − (n + δ)k
Мы получили в точности те же результаты, что и раньше.В. Хачатуров Модели роста

22. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Так как в нашем случае конкурентного равновесия
выплаты факторам совпадают с их предельным продуктом,
то прибыль фирмы равна нулю, что равносильно
w = f (k) − f (k)k
Поскольку экономика закрыта, то единственный товар на
рынке активов – это капитал. В равновесии, таким
образом, a = k. Собирая вместе все уравнения, получаем:
˙k = f (k) − c − (n + δ)k
Вспомним, что в модели Солоу потребление равно
постоянной доле дохода: c = (1 − s)f (k). Следовательно,
˙k = sf (k) − (n + δ)k
Мы получили в точности те же результаты, что и раньше.В. Хачатуров Модели роста

23. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Так как в нашем случае конкурентного равновесия
выплаты факторам совпадают с их предельным продуктом,
то прибыль фирмы равна нулю, что равносильно
w = f (k) − f (k)k
Поскольку экономика закрыта, то единственный товар на
рынке активов – это капитал. В равновесии, таким
образом, a = k. Собирая вместе все уравнения, получаем:
˙k = f (k) − c − (n + δ)k
Вспомним, что в модели Солоу потребление равно
постоянной доле дохода: c = (1 − s)f (k). Следовательно,
˙k = sf (k) − (n + δ)k
Мы получили в точности те же результаты, что и раньше.В. Хачатуров Модели роста

24. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Так как в нашем случае конкурентного равновесия
выплаты факторам совпадают с их предельным продуктом,
то прибыль фирмы равна нулю, что равносильно
w = f (k) − f (k)k
Поскольку экономика закрыта, то единственный товар на
рынке активов – это капитал. В равновесии, таким
образом, a = k. Собирая вместе все уравнения, получаем:
˙k = f (k) − c − (n + δ)k
Вспомним, что в модели Солоу потребление равно
постоянной доле дохода: c = (1 − s)f (k). Следовательно,
˙k = sf (k) − (n + δ)k
Мы получили в точности те же результаты, что и раньше.В. Хачатуров Модели роста

25. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Мы видели, что основным выводом модели Солоу при
отсутствии технологического прогресса является нулевой
темп роста основных переменных в стационарном
состоянии
Очевидно, что в реальной экономике это не наблюдается.
ВВП США на душу населения устойчиво растёт на
протяжении двух веков.
Причина этого состоит как раз в том, что технологический
прогресс позволяет избежать “проклятия” убывающей
предельной производительности.
В. Хачатуров Модели роста

26. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Мы видели, что основным выводом модели Солоу при
отсутствии технологического прогресса является нулевой
темп роста основных переменных в стационарном
состоянии
Очевидно, что в реальной экономике это не наблюдается.
ВВП США на душу населения устойчиво растёт на
протяжении двух веков.
Причина этого состоит как раз в том, что технологический
прогресс позволяет избежать “проклятия” убывающей
предельной производительности.
В. Хачатуров Модели роста

27. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Мы видели, что основным выводом модели Солоу при
отсутствии технологического прогресса является нулевой
темп роста основных переменных в стационарном
состоянии
Очевидно, что в реальной экономике это не наблюдается.
ВВП США на душу населения устойчиво растёт на
протяжении двух веков.
Причина этого состоит как раз в том, что технологический
прогресс позволяет избежать “проклятия” убывающей
предельной производительности.
В. Хачатуров Модели роста

28. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Хотя некоторые открытия и являются случайными, по
большей части они являются результатами
целеноправленной, финансируемой деятельности.
Финансирование существенным образом зависит от
экономических условий в стране, а они – от уровня
технологического прогресса. В эндогенных моделях роста
обсуждается эта взаимозависимость.
Пока что мы рассмотрим ситуацию, в которой прогресс
эндогенно задан.
В. Хачатуров Модели роста

29. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Хотя некоторые открытия и являются случайными, по
большей части они являются результатами
целеноправленной, финансируемой деятельности.
Финансирование существенным образом зависит от
экономических условий в стране, а они – от уровня
технологического прогресса. В эндогенных моделях роста
обсуждается эта взаимозависимость.
Пока что мы рассмотрим ситуацию, в которой прогресс
эндогенно задан.
В. Хачатуров Модели роста

30. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Хотя некоторые открытия и являются случайными, по
большей части они являются результатами
целеноправленной, финансируемой деятельности.
Финансирование существенным образом зависит от
экономических условий в стране, а они – от уровня
технологического прогресса. В эндогенных моделях роста
обсуждается эта взаимозависимость.
Пока что мы рассмотрим ситуацию, в которой прогресс
эндогенно задан.
В. Хачатуров Модели роста

31. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как известно, технологический прогресс бывает трёх
основных видов:
1 Капиталосберегающий. В этом случае тот же объём
выпуска достигается при относительно меньшем
использовании капитала.
2 Трудосберегающий. Тот же объём выпуска достигается
при относительно меньшем использовании труда.
3 Нейтральный. Не сберегающий ни то, ни другое.
В. Хачатуров Модели роста

32. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как известно, технологический прогресс бывает трёх
основных видов:
1 Капиталосберегающий. В этом случае тот же объём
выпуска достигается при относительно меньшем
использовании капитала.
2 Трудосберегающий. Тот же объём выпуска достигается
при относительно меньшем использовании труда.
3 Нейтральный. Не сберегающий ни то, ни другое.
В. Хачатуров Модели роста

33. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как известно, технологический прогресс бывает трёх
основных видов:
1 Капиталосберегающий. В этом случае тот же объём
выпуска достигается при относительно меньшем
использовании капитала.
2 Трудосберегающий. Тот же объём выпуска достигается
при относительно меньшем использовании труда.
3 Нейтральный. Не сберегающий ни то, ни другое.
В. Хачатуров Модели роста

34. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как известно, технологический прогресс бывает трёх
основных видов:
1 Капиталосберегающий. В этом случае тот же объём
выпуска достигается при относительно меньшем
использовании капитала.
2 Трудосберегающий. Тот же объём выпуска достигается
при относительно меньшем использовании труда.
3 Нейтральный. Не сберегающий ни то, ни другое.
В. Хачатуров Модели роста

35. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Дальше наша задача состоит в том, чтобы ввести в
модель все три типа технологического прогресса. Это
было сделано последовательно Хиксом (1932), Харродом
(1942) и Солоу (1962). (Далее ˙T ≥ 0).
Технологический прогресс, нейтральный по Хиксу.
Отношение предельных продуктов остаётся неизменным
для заданной капиталовооружённости. Фактически, все
изокванты сдвигаются.
Y = T(t)F(K, L)
Технологический прогресс, нейтральный по Харроду
(labour-augmenting).
Y = F[K, T(t)L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса труда.
В. Хачатуров Модели роста

36. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Дальше наша задача состоит в том, чтобы ввести в
модель все три типа технологического прогресса. Это
было сделано последовательно Хиксом (1932), Харродом
(1942) и Солоу (1962). (Далее ˙T ≥ 0).
Технологический прогресс, нейтральный по Хиксу.
Отношение предельных продуктов остаётся неизменным
для заданной капиталовооружённости. Фактически, все
изокванты сдвигаются.
Y = T(t)F(K, L)
Технологический прогресс, нейтральный по Харроду
(labour-augmenting).
Y = F[K, T(t)L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса труда.
В. Хачатуров Модели роста

37. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Дальше наша задача состоит в том, чтобы ввести в
модель все три типа технологического прогресса. Это
было сделано последовательно Хиксом (1932), Харродом
(1942) и Солоу (1962). (Далее ˙T ≥ 0).
Технологический прогресс, нейтральный по Хиксу.
Отношение предельных продуктов остаётся неизменным
для заданной капиталовооружённости. Фактически, все
изокванты сдвигаются.
Y = T(t)F(K, L)
Технологический прогресс, нейтральный по Харроду
(labour-augmenting).
Y = F[K, T(t)L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса труда.
В. Хачатуров Модели роста

38. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Дальше наша задача состоит в том, чтобы ввести в
модель все три типа технологического прогресса. Это
было сделано последовательно Хиксом (1932), Харродом
(1942) и Солоу (1962). (Далее ˙T ≥ 0).
Технологический прогресс, нейтральный по Хиксу.
Отношение предельных продуктов остаётся неизменным
для заданной капиталовооружённости. Фактически, все
изокванты сдвигаются.
Y = T(t)F(K, L)
Технологический прогресс, нейтральный по Харроду
(labour-augmenting).
Y = F[K, T(t)L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса труда.
В. Хачатуров Модели роста

39. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Технологический прогресс, нейтральный по Солоу
(capital-augmenting).
Y = F[T(t)K, L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса капитала.
Можно показать, что при постоянных темпах
технологического прогресса только ТП, нейтральный по
Харроду (трудосберегающий) приводит к
существованию стационарного состояния.
Возникает вопрос: а нужны ли нам steady states? Может
быть, стоит рассматривать модели, где темпы роста
переменных могут не сходиться?
Эмпирика показывает, что некоторые страны в течение
длительного времени имеют положительные и
относительно постоянные темпы роста – следовательно,
нам нужны steady states.
В. Хачатуров Модели роста

40. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Технологический прогресс, нейтральный по Солоу
(capital-augmenting).
Y = F[T(t)K, L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса капитала.
Можно показать, что при постоянных темпах
технологического прогресса только ТП, нейтральный по
Харроду (трудосберегающий) приводит к
существованию стационарного состояния.
Возникает вопрос: а нужны ли нам steady states? Может
быть, стоит рассматривать модели, где темпы роста
переменных могут не сходиться?
Эмпирика показывает, что некоторые страны в течение
длительного времени имеют положительные и
относительно постоянные темпы роста – следовательно,
нам нужны steady states.
В. Хачатуров Модели роста

41. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Технологический прогресс, нейтральный по Солоу
(capital-augmenting).
Y = F[T(t)K, L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса капитала.
Можно показать, что при постоянных темпах
технологического прогресса только ТП, нейтральный по
Харроду (трудосберегающий) приводит к
существованию стационарного состояния.
Возникает вопрос: а нужны ли нам steady states? Может
быть, стоит рассматривать модели, где темпы роста
переменных могут не сходиться?
Эмпирика показывает, что некоторые страны в течение
длительного времени имеют положительные и
относительно постоянные темпы роста – следовательно,
нам нужны steady states.
В. Хачатуров Модели роста

42. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Технологический прогресс, нейтральный по Солоу
(capital-augmenting).
Y = F[T(t)K, L]
В этом случае повышение уровня технологии аналогично
повышению запаса капитала.
Можно показать, что при постоянных темпах
технологического прогресса только ТП, нейтральный по
Харроду (трудосберегающий) приводит к
существованию стационарного состояния.
Возникает вопрос: а нужны ли нам steady states? Может
быть, стоит рассматривать модели, где темпы роста
переменных могут не сходиться?
Эмпирика показывает, что некоторые страны в течение
длительного времени имеют положительные и
относительно постоянные темпы роста – следовательно,
нам нужны steady states.
В. Хачатуров Модели роста

43. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для случая функции Кобба-Дугласа все три типа
технологического прогресса, очевидно, эквивалентны:
Y = AKα
L1−α
Это означает, что для стран с похожей ПФ мы можем
спокойно сосредоточиться на исследовании ТП,
нейтрального по Харроду.
В. Хачатуров Модели роста

44. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для случая функции Кобба-Дугласа все три типа
технологического прогресса, очевидно, эквивалентны:
Y = AKα
L1−α
Это означает, что для стран с похожей ПФ мы можем
спокойно сосредоточиться на исследовании ТП,
нейтрального по Харроду.
В. Хачатуров Модели роста

45. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Будем предполагать, что технологический прогресс
постоянен и имеет темп x.
Тогда уравнение динамики капитала в абсолютных
величинах запишется следующим образом:
˙K = sF[K, LT(t)] − δK (1)
Разделив на L:
˙k = sF[k, T(t)] − (n + δ)k (2)
Сосчитаем темп роста k:
˙k/k = sF[k, T(t)]/k − (n + δ) (3)
В. Хачатуров Модели роста

46. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Будем предполагать, что технологический прогресс
постоянен и имеет темп x.
Тогда уравнение динамики капитала в абсолютных
величинах запишется следующим образом:
˙K = sF[K, LT(t)] − δK (1)
Разделив на L:
˙k = sF[k, T(t)] − (n + δ)k (2)
Сосчитаем темп роста k:
˙k/k = sF[k, T(t)]/k − (n + δ) (3)
В. Хачатуров Модели роста

47. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Будем предполагать, что технологический прогресс
постоянен и имеет темп x.
Тогда уравнение динамики капитала в абсолютных
величинах запишется следующим образом:
˙K = sF[K, LT(t)] − δK (1)
Разделив на L:
˙k = sF[k, T(t)] − (n + δ)k (2)
Сосчитаем темп роста k:
˙k/k = sF[k, T(t)]/k − (n + δ) (3)
В. Хачатуров Модели роста

48. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Будем предполагать, что технологический прогресс
постоянен и имеет темп x.
Тогда уравнение динамики капитала в абсолютных
величинах запишется следующим образом:
˙K = sF[K, LT(t)] − δK (1)
Разделив на L:
˙k = sF[k, T(t)] − (n + δ)k (2)
Сосчитаем темп роста k:
˙k/k = sF[k, T(t)]/k − (n + δ) (3)
В. Хачатуров Модели роста

49. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Будем предполагать, что технологический прогресс
постоянен и имеет темп x.
Тогда уравнение динамики капитала в абсолютных
величинах запишется следующим образом:
˙K = sF[K, LT(t)] − δK (1)
Разделив на L:
˙k = sF[k, T(t)] − (n + δ)k (2)
Сосчитаем темп роста k:
˙k/k = sF[k, T(t)]/k − (n + δ) (3)
В. Хачатуров Модели роста

50. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Это очень похоже на предудщее уравнение (без ТП) –
снова разность двух выражений. Однако теперь средний
продукт капитала F[k, T(t)]/k будет расти из-за роста T с
темпом x.
Сосчитаем стационарное состояние, ˙k/k = const.
Поскольку s, n и δ постоянны, то для постоянства всего
всего соотношения необходимо, чтобы F[k, T(t)]/k было
тоже постоянным.
В силу постоянной отдачи от масштаба
F[k, T(t)]/k = F[1, T/k]
Отсюда немедленно следует, что F = const ⇔ (˙k/k = x),
то есть темпы роста T и k должны совпадать.
В. Хачатуров Модели роста

51. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Это очень похоже на предудщее уравнение (без ТП) –
снова разность двух выражений. Однако теперь средний
продукт капитала F[k, T(t)]/k будет расти из-за роста T с
темпом x.
Сосчитаем стационарное состояние, ˙k/k = const.
Поскольку s, n и δ постоянны, то для постоянства всего
всего соотношения необходимо, чтобы F[k, T(t)]/k было
тоже постоянным.
В силу постоянной отдачи от масштаба
F[k, T(t)]/k = F[1, T/k]
Отсюда немедленно следует, что F = const ⇔ (˙k/k = x),
то есть темпы роста T и k должны совпадать.
В. Хачатуров Модели роста

52. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Это очень похоже на предудщее уравнение (без ТП) –
снова разность двух выражений. Однако теперь средний
продукт капитала F[k, T(t)]/k будет расти из-за роста T с
темпом x.
Сосчитаем стационарное состояние, ˙k/k = const.
Поскольку s, n и δ постоянны, то для постоянства всего
всего соотношения необходимо, чтобы F[k, T(t)]/k было
тоже постоянным.
В силу постоянной отдачи от масштаба
F[k, T(t)]/k = F[1, T/k]
Отсюда немедленно следует, что F = const ⇔ (˙k/k = x),
то есть темпы роста T и k должны совпадать.
В. Хачатуров Модели роста

53. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Это очень похоже на предудщее уравнение (без ТП) –
снова разность двух выражений. Однако теперь средний
продукт капитала F[k, T(t)]/k будет расти из-за роста T с
темпом x.
Сосчитаем стационарное состояние, ˙k/k = const.
Поскольку s, n и δ постоянны, то для постоянства всего
всего соотношения необходимо, чтобы F[k, T(t)]/k было
тоже постоянным.
В силу постоянной отдачи от масштаба
F[k, T(t)]/k = F[1, T/k]
Отсюда немедленно следует, что F = const ⇔ (˙k/k = x),
то есть темпы роста T и k должны совпадать.
В. Хачатуров Модели роста

54. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Это очень похоже на предудщее уравнение (без ТП) –
снова разность двух выражений. Однако теперь средний
продукт капитала F[k, T(t)]/k будет расти из-за роста T с
темпом x.
Сосчитаем стационарное состояние, ˙k/k = const.
Поскольку s, n и δ постоянны, то для постоянства всего
всего соотношения необходимо, чтобы F[k, T(t)]/k было
тоже постоянным.
В силу постоянной отдачи от масштаба
F[k, T(t)]/k = F[1, T/k]
Отсюда немедленно следует, что F = const ⇔ (˙k/k = x),
то есть темпы роста T и k должны совпадать.
В. Хачатуров Модели роста

55. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Выпуск на душу населения задаётся соотношением
y = F[k, T] = kF[1, T/k]
Если темпы роста k и T совпадают и равны x, то выпуск
на душу населения растёт с темпом x. Аналогично и
потребление, как постоянная доля выпуска, растёт с тем
же темпом x.
В. Хачатуров Модели роста

56. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Выпуск на душу населения задаётся соотношением
y = F[k, T] = kF[1, T/k]
Если темпы роста k и T совпадают и равны x, то выпуск
на душу населения растёт с темпом x. Аналогично и
потребление, как постоянная доля выпуска, растёт с тем
же темпом x.
В. Хачатуров Модели роста

57. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для анализа динамики переходов в модели нам стоит
перейти к переменным, которые остаются постоянными в
стационарном состоянии.
Поскольку k и T растут с одинаковым темпом, перейдём к
новой переменной:
ˆk ≡ k/T(t) = K/[LT(t)]
Произведение L и T часто называют эффективным
трудом. Соответственно, ˆk – капиталовооружённость
эффективного труда.
Выпуск на единицу эффективного труда составит
ˆy = Y /LT = F(ˆk, 1) ≡ f (ˆk)
В. Хачатуров Модели роста

58. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для анализа динамики переходов в модели нам стоит
перейти к переменным, которые остаются постоянными в
стационарном состоянии.
Поскольку k и T растут с одинаковым темпом, перейдём к
новой переменной:
ˆk ≡ k/T(t) = K/[LT(t)]
Произведение L и T часто называют эффективным
трудом. Соответственно, ˆk – капиталовооружённость
эффективного труда.
Выпуск на единицу эффективного труда составит
ˆy = Y /LT = F(ˆk, 1) ≡ f (ˆk)
В. Хачатуров Модели роста

59. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для анализа динамики переходов в модели нам стоит
перейти к переменным, которые остаются постоянными в
стационарном состоянии.
Поскольку k и T растут с одинаковым темпом, перейдём к
новой переменной:
ˆk ≡ k/T(t) = K/[LT(t)]
Произведение L и T часто называют эффективным
трудом. Соответственно, ˆk – капиталовооружённость
эффективного труда.
Выпуск на единицу эффективного труда составит
ˆy = Y /LT = F(ˆk, 1) ≡ f (ˆk)
В. Хачатуров Модели роста

60. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Для анализа динамики переходов в модели нам стоит
перейти к переменным, которые остаются постоянными в
стационарном состоянии.
Поскольку k и T растут с одинаковым темпом, перейдём к
новой переменной:
ˆk ≡ k/T(t) = K/[LT(t)]
Произведение L и T часто называют эффективным
трудом. Соответственно, ˆk – капиталовооружённость
эффективного труда.
Выпуск на единицу эффективного труда составит
ˆy = Y /LT = F(ˆk, 1) ≡ f (ˆk)
В. Хачатуров Модели роста

61. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Если для этих новых переменных проделать всё то же, что
мы делали раньше, то мы получим очень похожее
уравнение динамики:
˙ˆk/k = sf (ˆk)/ˆk − (x + n + δ)
Как видно, эффективная норма выбытия включает в себя
темп ТП (как если бы население росло с темпом x + n.
Аналогично, стационарное состояние для ˆk∗ определится
следующим образом:
sf (ˆk∗
) = (x + n + δ)ˆk∗
Никакого различия в сходимости с предыдущим случаем
нет.
В. Хачатуров Модели роста

62. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Если для этих новых переменных проделать всё то же, что
мы делали раньше, то мы получим очень похожее
уравнение динамики:
˙ˆk/k = sf (ˆk)/ˆk − (x + n + δ)
Как видно, эффективная норма выбытия включает в себя
темп ТП (как если бы население росло с темпом x + n.
Аналогично, стационарное состояние для ˆk∗ определится
следующим образом:
sf (ˆk∗
) = (x + n + δ)ˆk∗
Никакого различия в сходимости с предыдущим случаем
нет.
В. Хачатуров Модели роста

63. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Если для этих новых переменных проделать всё то же, что
мы делали раньше, то мы получим очень похожее
уравнение динамики:
˙ˆk/k = sf (ˆk)/ˆk − (x + n + δ)
Как видно, эффективная норма выбытия включает в себя
темп ТП (как если бы население росло с темпом x + n.
Аналогично, стационарное состояние для ˆk∗ определится
следующим образом:
sf (ˆk∗
) = (x + n + δ)ˆk∗
Никакого различия в сходимости с предыдущим случаем
нет.
В. Хачатуров Модели роста

64. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Если для этих новых переменных проделать всё то же, что
мы делали раньше, то мы получим очень похожее
уравнение динамики:
˙ˆk/k = sf (ˆk)/ˆk − (x + n + δ)
Как видно, эффективная норма выбытия включает в себя
темп ТП (как если бы население росло с темпом x + n.
Аналогично, стационарное состояние для ˆk∗ определится
следующим образом:
sf (ˆk∗
) = (x + n + δ)ˆk∗
Никакого различия в сходимости с предыдущим случаем
нет.
В. Хачатуров Модели роста

65. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В. Хачатуров Модели роста

66. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В стационарном состоянии переменные с крышками
(ˆy, ˆk, ˆc не растут.
Все маленькие переменные без крышек растут с темпом
ТП, x.
Все большие переменные (уровни) растут с постоянным
темпом x + n.
В. Хачатуров Модели роста

67. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В стационарном состоянии переменные с крышками
(ˆy, ˆk, ˆc не растут.
Все маленькие переменные без крышек растут с темпом
ТП, x.
Все большие переменные (уровни) растут с постоянным
темпом x + n.
В. Хачатуров Модели роста

68. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Вообще говоря, важно понимать, с какой скоростью
экономики сходятся к стационару. Если быстро, то мы
можем анализировать их поведение на стационарных
траекториях. Если медленно, то на их поведение будут
влиять законы переходной динамики.
Для функции Кобба-Дугласа:
˙ˆk/k = sA(ˆk)−(1−α)
− (x + n + δ)
В. Хачатуров Модели роста

69. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Вообще говоря, важно понимать, с какой скоростью
экономики сходятся к стационару. Если быстро, то мы
можем анализировать их поведение на стационарных
траекториях. Если медленно, то на их поведение будут
влиять законы переходной динамики.
Для функции Кобба-Дугласа:
˙ˆk/k = sA(ˆk)−(1−α)
− (x + n + δ)
В. Хачатуров Модели роста

70. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Скорость сходимости
Скорость сходимости определяет, на сколько падают темпы
роста при пропроциональном увеличении запаса эффективного
капитала.
β ≡ −
∂(
˙ˆk/ˆk)
∂ log ˆk
В. Хачатуров Модели роста

71. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Переходя в уравнении динамики к log ˆk и дифференцируя,
получаем:
β = (1 − α) · sA · (ˆk)−(1−α)
Скорость сходимости не постоянна, а убывает c ростом
капитала к его стационарному значению. Как мы помним,
в стационарном состоянии накопление капитала в точности
равно его выбытию, sA · (ˆk)−(1−α) = (x + n + δ), и тогда
вблизи стационарного состояния
β∗
= (1 − α)(x + n + δ)
В процессе сходимости β превосходит β∗, но монотонно
сходится к этому значению.
В. Хачатуров Модели роста

72. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Переходя в уравнении динамики к log ˆk и дифференцируя,
получаем:
β = (1 − α) · sA · (ˆk)−(1−α)
Скорость сходимости не постоянна, а убывает c ростом
капитала к его стационарному значению. Как мы помним,
в стационарном состоянии накопление капитала в точности
равно его выбытию, sA · (ˆk)−(1−α) = (x + n + δ), и тогда
вблизи стационарного состояния
β∗
= (1 − α)(x + n + δ)
В процессе сходимости β превосходит β∗, но монотонно
сходится к этому значению.
В. Хачатуров Модели роста

73. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Переходя в уравнении динамики к log ˆk и дифференцируя,
получаем:
β = (1 − α) · sA · (ˆk)−(1−α)
Скорость сходимости не постоянна, а убывает c ростом
капитала к его стационарному значению. Как мы помним,
в стационарном состоянии накопление капитала в точности
равно его выбытию, sA · (ˆk)−(1−α) = (x + n + δ), и тогда
вблизи стационарного состояния
β∗
= (1 − α)(x + n + δ)
В процессе сходимости β превосходит β∗, но монотонно
сходится к этому значению.
В. Хачатуров Модели роста

74. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Занятно, что β не зависит ни от s, ни от A (для
Кобба-Дугласа).
В случае высокой нормы сбережений мы имеем два
взаимоисключающих эффекта: с одной стороны, капитал
накапливается быстрее. С другой стороны, стационарное
состояние сдвигается на более высокий уровень. Оба
эффекта взаимно гасятся, и скорость сходимости остаётся
той же.
В. Хачатуров Модели роста

75. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Занятно, что β не зависит ни от s, ни от A (для
Кобба-Дугласа).
В случае высокой нормы сбережений мы имеем два
взаимоисключающих эффекта: с одной стороны, капитал
накапливается быстрее. С другой стороны, стационарное
состояние сдвигается на более высокий уровень. Оба
эффекта взаимно гасятся, и скорость сходимости остаётся
той же.
В. Хачатуров Модели роста

76. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Рассмотрим конкретный пример. Пусть x = 0.02, n = 0.01,
δ = 0.05 (что примерно соответствует США). Стандартное
значение α = 1/3 (если рассматривать капитал в узком
смысле, то есть как станки и оборудование).
Тогда β∗ = 5.6 процента в год, что влечёт сходимость на
половину за 12.5 лет, то есть в принципе очень короткий
срок.
Эмпирические исследования показывают, что реальные
сходимости значительно медленней, и β от 1 до 3 лучше
отражает реальные данные.
В. Хачатуров Модели роста

77. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Рассмотрим конкретный пример. Пусть x = 0.02, n = 0.01,
δ = 0.05 (что примерно соответствует США). Стандартное
значение α = 1/3 (если рассматривать капитал в узком
смысле, то есть как станки и оборудование).
Тогда β∗ = 5.6 процента в год, что влечёт сходимость на
половину за 12.5 лет, то есть в принципе очень короткий
срок.
Эмпирические исследования показывают, что реальные
сходимости значительно медленней, и β от 1 до 3 лучше
отражает реальные данные.
В. Хачатуров Модели роста

78. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Рассмотрим конкретный пример. Пусть x = 0.02, n = 0.01,
δ = 0.05 (что примерно соответствует США). Стандартное
значение α = 1/3 (если рассматривать капитал в узком
смысле, то есть как станки и оборудование).
Тогда β∗ = 5.6 процента в год, что влечёт сходимость на
половину за 12.5 лет, то есть в принципе очень короткий
срок.
Эмпирические исследования показывают, что реальные
сходимости значительно медленней, и β от 1 до 3 лучше
отражает реальные данные.
В. Хачатуров Модели роста

79. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Рассмотрим конкретный пример. Пусть x = 0.02, n = 0.01,
δ = 0.05 (что примерно соответствует США). Стандартное
значение α = 1/3 (если рассматривать капитал в узком
смысле, то есть как станки и оборудование).
Тогда β∗ = 5.6 процента в год, что влечёт сходимость на
половину за 12.5 лет, то есть в принципе очень короткий
срок.
Эмпирические исследования показывают, что реальные
сходимости значительно медленней, и β от 1 до 3 лучше
отражает реальные данные.
В. Хачатуров Модели роста

80. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
При β∗ = 2 сходимость на половину происходит за 35 лет,
а на 3/4 – за 70 лет, то есть порядка двух поколений.
Для β∗ = 2 в неоклассической модели, при неизменных
значениях темпов роста, α должен быть порядка 0.75, что
совершенно не согласуется с реальностью, если мы
понимаем капитал в узком смысле.
Однако в широком смысле, включая человеческий капитал
в K, такое α вполне разумно.
В. Хачатуров Модели роста

81. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
При β∗ = 2 сходимость на половину происходит за 35 лет,
а на 3/4 – за 70 лет, то есть порядка двух поколений.
Для β∗ = 2 в неоклассической модели, при неизменных
значениях темпов роста, α должен быть порядка 0.75, что
совершенно не согласуется с реальностью, если мы
понимаем капитал в узком смысле.
Однако в широком смысле, включая человеческий капитал
в K, такое α вполне разумно.
В. Хачатуров Модели роста

82. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
При β∗ = 2 сходимость на половину происходит за 35 лет,
а на 3/4 – за 70 лет, то есть порядка двух поколений.
Для β∗ = 2 в неоклассической модели, при неизменных
значениях темпов роста, α должен быть порядка 0.75, что
совершенно не согласуется с реальностью, если мы
понимаем капитал в узком смысле.
Однако в широком смысле, включая человеческий капитал
в K, такое α вполне разумно.
В. Хачатуров Модели роста

83. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Все вопросы, связанные с окружающей средой и
загрязнением, остаются за рамками классической модели
Солоу.
Однако это, по-видимому, неразумно: ясно, что если
запасы нефти, к примеру, на земле ограничены, то
увеличение их расходования в какой-то момент прекратит
рост.
Аналогичная проблема и с загрязнением: в какой-то
момент на Земле станет так грязно при увеличении
выпуска, что рост прекратится.
В. Хачатуров Модели роста

84. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Все вопросы, связанные с окружающей средой и
загрязнением, остаются за рамками классической модели
Солоу.
Однако это, по-видимому, неразумно: ясно, что если
запасы нефти, к примеру, на земле ограничены, то
увеличение их расходования в какой-то момент прекратит
рост.
Аналогичная проблема и с загрязнением: в какой-то
момент на Земле станет так грязно при увеличении
выпуска, что рост прекратится.
В. Хачатуров Модели роста

85. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Все вопросы, связанные с окружающей средой и
загрязнением, остаются за рамками классической модели
Солоу.
Однако это, по-видимому, неразумно: ясно, что если
запасы нефти, к примеру, на земле ограничены, то
увеличение их расходования в какой-то момент прекратит
рост.
Аналогичная проблема и с загрязнением: в какой-то
момент на Земле станет так грязно при увеличении
выпуска, что рост прекратится.
В. Хачатуров Модели роста

86. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как и раньше, рассуждая об этом, важно разделять те
ресурсы, на которые чётко фиксированы права
собственности: земля и природные ресурсы.
На некоторые же ресурсы права собственности не
закреплены: например, чистый воздух или вода.
Это важно хотя бы потому, насколько мы сможем считать
рынок регулятором цены этих ресурсов: так, если мы все
предполагаем, что нефть кончится, то разумно считать,
что цена нефти будет повышаться. А значит, разумный
владелец нефти не согласится продавать её дёшево сейчас,
что, в свою очередь, означает отстутствие необходимости
государственного вмешательства и мотивацию для
пользователей нефти по её сбережению.
Затем, мы можем использовать текущую цену нефти в
качестве прямого показателя её важности для
производства – без отдельного анализа такой важности.
В. Хачатуров Модели роста

87. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как и раньше, рассуждая об этом, важно разделять те
ресурсы, на которые чётко фиксированы права
собственности: земля и природные ресурсы.
На некоторые же ресурсы права собственности не
закреплены: например, чистый воздух или вода.
Это важно хотя бы потому, насколько мы сможем считать
рынок регулятором цены этих ресурсов: так, если мы все
предполагаем, что нефть кончится, то разумно считать,
что цена нефти будет повышаться. А значит, разумный
владелец нефти не согласится продавать её дёшево сейчас,
что, в свою очередь, означает отстутствие необходимости
государственного вмешательства и мотивацию для
пользователей нефти по её сбережению.
Затем, мы можем использовать текущую цену нефти в
качестве прямого показателя её важности для
производства – без отдельного анализа такой важности.
В. Хачатуров Модели роста

88. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как и раньше, рассуждая об этом, важно разделять те
ресурсы, на которые чётко фиксированы права
собственности: земля и природные ресурсы.
На некоторые же ресурсы права собственности не
закреплены: например, чистый воздух или вода.
Это важно хотя бы потому, насколько мы сможем считать
рынок регулятором цены этих ресурсов: так, если мы все
предполагаем, что нефть кончится, то разумно считать,
что цена нефти будет повышаться. А значит, разумный
владелец нефти не согласится продавать её дёшево сейчас,
что, в свою очередь, означает отстутствие необходимости
государственного вмешательства и мотивацию для
пользователей нефти по её сбережению.
Затем, мы можем использовать текущую цену нефти в
качестве прямого показателя её важности для
производства – без отдельного анализа такой важности.
В. Хачатуров Модели роста

89. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как и раньше, рассуждая об этом, важно разделять те
ресурсы, на которые чётко фиксированы права
собственности: земля и природные ресурсы.
На некоторые же ресурсы права собственности не
закреплены: например, чистый воздух или вода.
Это важно хотя бы потому, насколько мы сможем считать
рынок регулятором цены этих ресурсов: так, если мы все
предполагаем, что нефть кончится, то разумно считать,
что цена нефти будет повышаться. А значит, разумный
владелец нефти не согласится продавать её дёшево сейчас,
что, в свою очередь, означает отстутствие необходимости
государственного вмешательства и мотивацию для
пользователей нефти по её сбережению.
Затем, мы можем использовать текущую цену нефти в
качестве прямого показателя её важности для
производства – без отдельного анализа такой важности.
В. Хачатуров Модели роста

90. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Как и раньше, рассуждая об этом, важно разделять те
ресурсы, на которые чётко фиксированы права
собственности: земля и природные ресурсы.
На некоторые же ресурсы права собственности не
закреплены: например, чистый воздух или вода.
Это важно хотя бы потому, насколько мы сможем считать
рынок регулятором цены этих ресурсов: так, если мы все
предполагаем, что нефть кончится, то разумно считать,
что цена нефти будет повышаться. А значит, разумный
владелец нефти не согласится продавать её дёшево сейчас,
что, в свою очередь, означает отстутствие необходимости
государственного вмешательства и мотивацию для
пользователей нефти по её сбережению.
Затем, мы можем использовать текущую цену нефти в
качестве прямого показателя её важности для
производства – без отдельного анализа такой важности.
В. Хачатуров Модели роста

91. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В случае же неспецифицированных прав собственности у
нас проблема: производство будет создавать экстерналии,
а цена чистого воздуха не определяется рынком.
Это означает необходимость государственного
вмешательства, а экономисты должны придумывать
какие-то механизмы для оценки важности этих ресурсов.
Рассмотрим последовательно “рыночные” ресурсы, а затем
“нерыночные”.
В. Хачатуров Модели роста

92. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В случае же неспецифицированных прав собственности у
нас проблема: производство будет создавать экстерналии,
а цена чистого воздуха не определяется рынком.
Это означает необходимость государственного
вмешательства, а экономисты должны придумывать
какие-то механизмы для оценки важности этих ресурсов.
Рассмотрим последовательно “рыночные” ресурсы, а затем
“нерыночные”.
В. Хачатуров Модели роста

93. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В случае же неспецифицированных прав собственности у
нас проблема: производство будет создавать экстерналии,
а цена чистого воздуха не определяется рынком.
Это означает необходимость государственного
вмешательства, а экономисты должны придумывать
какие-то механизмы для оценки важности этих ресурсов.
Рассмотрим последовательно “рыночные” ресурсы, а затем
“нерыночные”.
В. Хачатуров Модели роста

94. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Используем ПФ Кобба-Дугласа:
Y (t) = K(t)α
R(t)β
T(t)γ
[A(t)L(t)](
1 − α − β − γ) (4)
Здесь R – природные ресурсы, используемые в
производстве, T – запас земли.
Динамика капитала, труда и технологического прогресса
такая же, как и ранее: ˙K = sY − δK, ˙L = nL, ˙A = gA.
Поскольку запас земли на планете ограничен, в
длительном периоде её количество не растёт:
˙T = 0 (5)
Поскольку запас природных ресурсов ограничен, и они
просто кончаются, разумной будет следующая динамика:
˙R = −bR, b > 0 (6)
В. Хачатуров Модели роста

95. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Используем ПФ Кобба-Дугласа:
Y (t) = K(t)α
R(t)β
T(t)γ
[A(t)L(t)](
1 − α − β − γ) (4)
Здесь R – природные ресурсы, используемые в
производстве, T – запас земли.
Динамика капитала, труда и технологического прогресса
такая же, как и ранее: ˙K = sY − δK, ˙L = nL, ˙A = gA.
Поскольку запас земли на планете ограничен, в
длительном периоде её количество не растёт:
˙T = 0 (5)
Поскольку запас природных ресурсов ограничен, и они
просто кончаются, разумной будет следующая динамика:
˙R = −bR, b > 0 (6)
В. Хачатуров Модели роста

96. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Используем ПФ Кобба-Дугласа:
Y (t) = K(t)α
R(t)β
T(t)γ
[A(t)L(t)](
1 − α − β − γ) (4)
Здесь R – природные ресурсы, используемые в
производстве, T – запас земли.
Динамика капитала, труда и технологического прогресса
такая же, как и ранее: ˙K = sY − δK, ˙L = nL, ˙A = gA.
Поскольку запас земли на планете ограничен, в
длительном периоде её количество не растёт:
˙T = 0 (5)
Поскольку запас природных ресурсов ограничен, и они
просто кончаются, разумной будет следующая динамика:
˙R = −bR, b > 0 (6)
В. Хачатуров Модели роста

97. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
Используем ПФ Кобба-Дугласа:
Y (t) = K(t)α
R(t)β
T(t)γ
[A(t)L(t)](
1 − α − β − γ) (4)
Здесь R – природные ресурсы, используемые в
производстве, T – запас земли.
Динамика капитала, труда и технологического прогресса
такая же, как и ранее: ˙K = sY − δK, ˙L = nL, ˙A = gA.
Поскольку запас земли на планете ограничен, в
длительном периоде её количество не растёт:
˙T = 0 (5)
Поскольку запас природных ресурсов ограничен, и они
просто кончаются, разумной будет следующая динамика:
˙R = −bR, b > 0 (6)
В. Хачатуров Модели роста

98. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В такой постановке ˆk больше не будет сходиться, и нам
нужно использовать что-то другое.
Попробуем найти стационарное состояние и посмотреть,
что будет в нём происходить с переменными.
По предположению, A, L, R и T растут с постоянными
темпами. Значит, для сбалансированного роста Y и K
должны расти с одинаковыми темпами.
Из уравнения динамики капитала:
˙K/K = sY /K − δ (7)
Это значит что? Что Y /K должно быть постоянным, то
есть Y и K должны иметь одинаковые темпы роста.
В. Хачатуров Модели роста

99. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В такой постановке ˆk больше не будет сходиться, и нам
нужно использовать что-то другое.
Попробуем найти стационарное состояние и посмотреть,
что будет в нём происходить с переменными.
По предположению, A, L, R и T растут с постоянными
темпами. Значит, для сбалансированного роста Y и K
должны расти с одинаковыми темпами.
Из уравнения динамики капитала:
˙K/K = sY /K − δ (7)
Это значит что? Что Y /K должно быть постоянным, то
есть Y и K должны иметь одинаковые темпы роста.
В. Хачатуров Модели роста

100. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В такой постановке ˆk больше не будет сходиться, и нам
нужно использовать что-то другое.
Попробуем найти стационарное состояние и посмотреть,
что будет в нём происходить с переменными.
По предположению, A, L, R и T растут с постоянными
темпами. Значит, для сбалансированного роста Y и K
должны расти с одинаковыми темпами.
Из уравнения динамики капитала:
˙K/K = sY /K − δ (7)
Это значит что? Что Y /K должно быть постоянным, то
есть Y и K должны иметь одинаковые темпы роста.
В. Хачатуров Модели роста

101. Market allocations
Технологический прогресс
Скорость сходимости
Рост и окружающая среда
В такой постановке ˆk больше не будет сходиться, и нам
нужно использовать что-то другое.
Попробуем найти стационарное состояние и посмотреть,
что будет в нём происходить с переменными.
По предположению, A, L, R и T растут с постоянными
темпами. Значит, для сбалансированного роста Y и K
должны расти с одинаковыми темпами.
Из уравнения динамики капитала:
˙K/K = sY /K − δ (7)
Это значит что? Что Y /K должно быть постоянным, то
есть Y и K должны иметь одинаковые темпы роста.
В. Хачатуров Модели роста