เส้นขนาน

1. 1บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
บทที่ 4 เส้นขนาน
1. เส้นขนาน
บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน เมื่อเส้นทั้งสองไม่ตัดกัน
เราใช้สัญลักษณ์ “ ” แทนการขนาน ดังนั้น PQ ขนานกับ RS เขียนแทนด้วย PQ RS
2. การเรียกชื่อมุม
ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้น บนระนาบเดียวกัน จะทาให้เกิดมุม 8 มุม ดังรูป
จากรูป เรียก 3 และ 6 ว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด AB
เรียก 1 และ 3 ว่า เป็นมุมตรงข้าม
เรียก 4 และ 6 ว่า มุมแย้ง
B
A
43
6 5
87
2 1
P
R
Q
S
จากรูป PQ ขนานกับ RS ถ้าวัดระยะตั้งฉาก
ระหว่างจุดสองจุดใดๆ ระยะตั้งฉากระหว่างจุดสองจุด
นั้นจะยาวเท่ากันตลอด ซึ่งหมายความว่า ถ้าเราต่อ
เส้นตรงทั้งสองออกไป เส้นตรงทั้งสองนี้จะไม่ตัดกัน

2. 2บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
3. เส้นขนานและมุมภายใน
ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งมาตัดแล้ว ขนาดของมุมภายในที่อยู่บน
ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา
จากรูป กาหนดให้ AB CD มี EF เป็นเส้นตัด
จะได้ว่า ˆ ˆ3 6 180o
 
และ ˆ ˆ4 5 180o
 
ดังนั้น สรุปได้ว่า ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน
รวมกันเป็น 180 องศา แล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
4. เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน
ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้ว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน
ข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมีขนาดเท่ากัน
จากรูป กาหนดให้ AB CD มี EF เป็นเส้นตัด
จะได้ว่า
ดังนั้น สรุปได้ว่า
ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน
ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
BA
43
6 5
87
2 1
F
E
DC
BA
43
6 5
87
2 1
F
E
DC

3. 3บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
5. เส้นขนานและมุมแย้ง
ถ้าเส้นตรางสองเส้นขนานกันแล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน
จากรูป กาหนดให้ AB CD มี EF เป็นเส้นตัด
จะได้ว่า
ดังนั้น สรุปได้ว่า
ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันแล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
สรุป ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งที่ขนานกัน จะทาให้
1. ผลบวกของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้180 องศา
2. มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
3. มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
6. รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน
สมบัติของรูปสามเหลี่ยม
1. มุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ รวมกันเป็น 180 องศา
จากรูป จะได้ว่า …………………………
BA
43
6 5
87
2 1
F
E
DC
ˆ1 ˆ3
ˆ2

4. 4บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
2. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่แล้วมุมคู่ที่สามจะมีขนาดเท่ากัน
จากรูป ถ้า ˆ ˆ1 4 และ ˆ ˆ3 6 แล้ว ………………..
3. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวก
ของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด
จากรูป จะได้ว่า …………………….
4. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวเท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน
จากรูป ถ้าสามเหลี่ยม ABC มี AB BC
แล้ว จะได้ว่า …………………….
5. เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมย่อมขนานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง
ของด้านที่สาม
จากรูป ถ้า D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC และ E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB แล้ว
จะได้ว่า ED ….. BC และ ED …… 1
2
BC
ˆ1 ˆ3
ˆ2
ˆ4 ˆ6
ˆ5
ˆ1 ˆ3
ˆ2
ˆ4
A C
B
A
E D
CB

5. 5บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
6. เส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมให้ขนานกับด้านที่สองย่อมแบ่งครึ่งด้านที่สาม
จากรูป ถ้าสามเหลี่ยม ABC มี ED เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด D ซึ่งเป็นกึ่งกลางของ
AC และ ED ขนานกับ BC แล้ว จะได้ว่า E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB
ดังนั้น AE …… EB
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดเส้นตรง m และ n ขนานกันและมีเส้นตัด ดังรูป
จงหาค่าของตัวแปรในแต่ละข้อต่อไปนี้
A
E D
CB

6. 6บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ x ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ AB ขนานกับ CD
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ x และ y ในแต่ละข้อต่อไปนี้

7. 7บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ PQ ขนานกับ RS และมี AB เป็นเส้นตัด ดังรูป จงหาค่าของ x
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ CD ขนานกับ EF ถ้า ˆ 118o
AXD  และ ˆ 66o
DYF 
จงหาขนาดของ ˆXYD

8. 8บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 6 กาหนดให้ AB ขนานกับ CD ถ้า ˆ 52o
BAF  และ ˆ 104o
AEC 
จงหาขนาดของ ˆECD
ตัวอย่างที่ 7 กาหนดให้ ˆ 128o
BCF  จงหาขนาดของ ˆDCE
ตัวอย่างที่ 8 จากรูป จงหาขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปนี้

9. 9บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
ตัวอย่างที่ 9 จากรูป กาหนดให้ AB ขนานกับ CD มี AC ตัด BD ที่จุด O , ˆ 120o
AOD 
และ ˆ 36o
OCD  จงหาค่าของ x
ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่า x และ y ในแต่ละข้อต่อไปนี้

10. 10บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
แบบฝึกทักษะ เส้นขนาน
จงตอบคาถามในแต่ละข้อต่อไปนี้

11. 11บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร

12. 12บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
โจทย์ฝึกทักษะ เส้นขนาน
1) กาหนดให้ AB ขนานกับ CD ถ้า ˆ ˆ56 , 90o o
ABC ABE  และ CE แบ่งครึ่ง ˆBCD
แล้ว ˆBEC มีขนาดกี่องศา
2) จากรูป AF ขนานกับ CE ถ้า ˆ ˆ45 , 150o o
DAB CDB  และ ˆ 10o
DBC 
แล้ว ˆBGD มีขนาดกี่องศา
3) จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู จงหามุมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดในรูปสี่เหลี่ยม ABCD ว่า
มีขนาดกี่องศา
BA
DC
E
BA
D
C
E
F
E
G
20o
x 
10o
xo
x
BA
CD

13. 13บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
4) จากรูป กาหนดให้ AB ขนานกับ CD จงหาว่า a มีขนาดกี่องศา
5) จากรูป กาหนด AB ขนานกับ PQ , ˆ, 45o
AD BD DBC  และ ˆ 61o
PCD 
ดังนั้น ˆBCQ มีขนาดกี่องศา
6) จากรูป กาหนดให้ AB ขนานกับ ˆ, , 72o
DE AC BC EDF  และ ˆ 30o
ADC 
ดังนั้นขนาดของ ˆACB มากกว่าขนาดของ ˆCAD กี่องศา
A
C
B
D
2 o
a120o
4 o
a
B
A CD
Q
P
45o
61o
B
A
DC F
E
30o 72o

14. 14บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร