การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง การแก้สมการพหุนามดีกรีสอง

1. 1
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
บทที่ 1
การแยกตัวประกอบของพหุนามและสมการพหุนาม
1. พหุนามดีกรีสอง
พหุนามดีกรีสอง เขียนได้ในรูป 2
ax bx c  เมื่อ , ,a b c เป็นค่าคงตัวที่ 0a 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เป็นการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง
ซึ่งสามารถทาได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับรูปแบบของพหุนามดีกรีสองที่ต้องการจะแยกตัวประกอบ
1.1 เมื่อ 0c  พหุนาม 2
0ax bx c   จะเขียนได้ในรูป 2
ax bx ซึ่งสามารถทาได้ดังนี้
แยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติแจกแจง  2
ax bx ax x b  
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
3 ........................x x  2) 2
5 ........................x x 
3) 2
2 6 ........................x x  4) 2
3 9 ........................x x 
5) 2
6 4 ........................x x  6) 2
8 12 ........................x x 
7) 2 2
3 6 ........................x y xy  8) 2 2
6 8 ........................xy x y 
1.2 เมื่อ 0c  และ 0b  พหุนาม 2
0ax bx c   จะเขียนได้ในรูป 2
ax c ซึ่งสามารถทาได้ดังนี้
แยกตัวประกอบโดยใช้สูตรผลต่างกาลังสอง   2 2
x y x y x y   
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
4 ...............................x   2) 2
25 ...............................x  
3) 2
4 9 ...............................x   4) 2
81 16 ...............................x  
5)  
2
2 9 ...............................x   6) 2
5 1 ...............................x  

2. 2
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
7) 2
3 16 ...............................x   8) 2
6 5 ...............................x  
9)  
2
2 1 8 ...............................x    10)  
2
4 2 3 12 ...............................x   
1.3 เมื่อพหุนาม 2
ax bx c  อยู่ในรูปกาลังสองสมบูรณ์ ซึ่งสามารถทาได้ดังนี้
แยกตัวประกอบโดยใช้กาลังสองสมบูรณ์
1.     
22 2
2x xy y x y x y x y      
2.     
22 2
2x xy y x y x y x y      
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
4 4 ...............................x x   2) 2
8 16 ...............................x x  
3) 2
6 9 ...............................x x   4) 2
4 12 9 ...............................x x  
5) 2
10 25 ...............................x x   6) 2
9 6 1 ...............................x x  
7) 2
4 12 9 ...............................x x   8) 2
9 30 25 ...............................x x  
9) 2
6 4x x   ……………………………………………………………………………………………..
10) 2
4 1x x   ……………………………………………………………………………………………..
11) 2
3 1x x   ……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
12) 2
11 25x x   ……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..

3. 3
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
1.4 เมื่อพหุนาม 2
ax bx c  มี 1a  และ ,b c เป็นจานวนเต็ม จะเขียนได้ในรูป 2
x bx c 
แยกตัวประกอบโดยการหาจานวนเต็มสองจานวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b ซึ่ง
ถ้า mn c และ m n b  แล้ว   2
x bx c x m x n    
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
5 6 ............................x x   2) 2
7 6 ............................x x  
3) 2
7 12 ............................x x   4) 2
12 35 ............................x x  
5) 2
3 2 ............................x x   6) 2
8 15 ............................x x  
7) 2
15 56 ............................x x   8) 2
8 12 ............................x x  
9) 2
5 6 ............................x x   10) 2
5 6 ............................x x  
11) 2
2 8 ............................x x   12) 2
2 3 ............................x x  
13) 2
5 24 ............................x x   14) 2
4 32 ............................x x  
15) 2
2 24 ............................x x   16) 2
3 40 ............................x x  
17) 2
3 54 ............................x x   18) 2
6 ............................x x  
19) 2
4 21 ............................x x   20) 2
7 60 ............................x x  

4. 4
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
1.5 เมื่อพหุนาม 2
ax bx c  และ , ,a b c เป็นจานวนเต็ม
แยกตัวประกอบโดยนา 2
ax และ c มาแยกตัวประกอบใส่วงเล็บแล้วตรวจสอบค่าของ b และ c
  2
ax bx c mx k nx r    
เมื่อ ,a mn c kr  และ b mr kn 
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
2 3 1x x 
2) 2
3 4 1x x 
3) 2
2 5 2x x 
4) 2
2 5 2x x 
5) 2
2 5 3x x 

5. 5
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
6) 2
3 2 5x x 
7) 2
2 5 3x x 
8) 2
2 1x x 
9) 2
3 4 15x x 
10) 2
4 4 15x x 
11) 2
6 13 15x x 
12) 2
4 8 3x x 

6. 6
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
13) 2
6 13 6x x 
14) 2
8 10 3x x 
15) 2
12 6x x 
16) 2
12 3 15x x 
17) 2
18 3 10x x 
โดยวิธีทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์
18) 2
2 10 5x x  = 19) 2
2 5 3x x  =

7. 7
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
20) 2
3 2x x  = 21) 2
3 12 2x x 
22) 2
1 2x x  =
2. พหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
เมื่อ A และ B เป็นพหุนามเรียกพหุนามที่อยู่ในรูป
3 3
A B ว่า ผลบวกกาลังสาม
และเรียก 3 3
A B ว่า ผลต่างกาลังสาม
ซึ่งแยกตัวประกอบได้ดังนี้
1.   3 3 2 2
A B A B A AB B    
2.   3 3 2 2
A B A B A AB B    

8. 8
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 3
27x  =
2) 3
64x  =
3) 3
8 27x 
4) 3
27 8x  =
5) 3 3
64 125y x =
6)    
3 3
5 2 2 5x x   =
7)    
3 3
4 1 4x x   =

9. 9
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
8) 4
16x  =
9) 4
9y  =
3. การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ถ้าหารพหุนาม ( )P x ด้วยพหุนาม x c ที่ c เป็นค่าคงตัว แล้วจะได้เศษเหลือเท่ากับ ( )P c
ตัวอย่างที่ 1 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษที่เหลือจากการหาร 3 2
5 7x x x   ด้วย 1x 
ตัวอย่างที่ 2 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษที่เหลือจากการหาร 3 2
2 16 32x x x   ด้วย 2x 
ตัวอย่างที่ 3 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษที่เหลือจากการหาร 3 2
8 19 12x x x   ด้วย 1x 

10. 10
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ถ้าเศษเหลือจากการพหุนาม ( )P x ด้วย x c เท่ากับ 0 แล้ว จะได้ว่า
1. x c หาร ( )P x ลงตัว
2. x c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ ( )P x
3.  ( ) ( )P x x c Q x  เมื่อ ( )Q x เป็นผลหารซึ่งมีดีกรีน้อยกว่า ( )P x อยู่ 1
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 3 2
8 19 12x x x  
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 3 2
4 11 30x x x  
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 3
19 30x x 

11. 11
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ 4 3 2
2 17 18 72x x x x   
4. สมการพหุนาม
4.1. สมการพหุนามกาลังสอง
สมการพหุนามกาลังสองตัวแปรเดียวที่มี x เป็นตัวแปรมีรูปทั่วไปเป็น 2
0ax bx c  
เมื่อ , ,a b c เป็นค่าคงตัว และ 0a สามารถทาได้ดังนี้
กรณีที่ 1 แยกตัวประกอบได้ง่าย
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
5 0x x  2) 2
3 4 0x x  
3) 2
6x x  4) 2
4 6x x x  
5) 2
3 2x x  6)  
2
2 5x  

12. 12
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
7)    
2 2
2 1 1 8x x   
8)    3 2 2 6 0x x x x    
9)    
2 2
4 1 2x x  
10)  
2
1 3 0x   

13. 13
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
กรณีที่ 2 แยกตัวประกอบได้ยาก
1) อาจใช้วิธีทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์ แล้วใช้ผลต่างกาลังสองมาช่วยในการแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
4 3 0x x  
2) 2
2 2 0x x  
3) 2
2 2x x 
4) 2
2 6 5x x x   

14. 14
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
2) ใช้สูตร
จากสมการกาลังสอง 2
0ax bx c   จะได้ว่า
2
4
2
b b ac
x
a
  

1) ถ้า 2
4 0b ac  แล้วสมการมีคาตอบเดียว คือ
2
b
x
a
 
2) ถ้า 2
4 0b ac  แล้วสมการมีคาตอบเป็นจานวนจริง
3) ถ้า 2
4 0b ac  แล้วสมการไม่มีคาตอบหรือมีคาตอบเป็นจานวนจินตภาพ
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 0522
 xx 2) 132 2
 xx
3) xxx  4732
4) 2 2
2 4 3x x x x   
5) 2
1 4x x x    6) 2 2
5 6 5 2x x x x    

15. 15
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 4 ถ้า
2
1
x เป็นรากของสมการ 0372
 xax แล้ว รากอีกรากหนึ่งของสมการนี้
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
ตัวอย่างที่ 5 ถ้า 2
3
x  เป็นคาตอบของสมการ 2
3 10 0x ax   แล้ว คาตอบอีกคาตอบหนึ่งของสมการนี้
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 5
ข. 3
ค. 3
ง. 5
ตัวอย่างที่ 6 ถ้า 3
2
และ 1
2
 เป็นรากของสมการ 2
6 0ax bx   แล้ว a b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 4
ข. 8
ค. 16
ง. 32
ตัวอย่างที่ 7 ค่าของ c ที่ทาให้ 2
2 4 1 0x x c    มีคาตอบเดียวตรงกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 4
ข. 3 และ 2
ค. 3
ง. 0 และ 1

16. 16
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
5. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกาลังสอง
ขั้นตอนการแก้ปัญหา
1. สมมติตัวแปรแทนที่แทนสิ่งที่โจทย์ต้องการหา
2. นาข้อมูลที่ได้จากโจทย์มาเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์
3. แก้สมการกาลังสอง
ตัวอย่างที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 6 เซนติเมตร และมีพื้นที่เท่ากับ 216 ตารางเซนติเมตร
จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้
ตัวอย่างที่ 2 ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งยาว 6 เซนติเมตร ถ้าแบ่งส่วนของเส้นตรงนี้ออกเป็นสองส่วน ให้ส่วนหนึ่งเท่ากับ
กาลังสองของอีกส่วนหนึ่ง จงหาความยาวของส่วนที่สั้น
ตัวอย่างที่ 3 รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีด้านประกอบมุมฉาก AB และ BC ยาว 9x  นิ้ว และ 3x  นิ้ว
ตามลาดับ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 30 นิ้ว รูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้มีพื้นที่กี่ตารางนิ้ว

17. 17
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 4 สนามหญ้าแห่งหนึ่งกว้าง 10เมตร ยาว 12เมตร รอบนอกของสนามมีถนนกว้างเท่าๆกันทั้งสี่ด้าน ถ้าพื้นที่
ของถนนเป็น 104ตารางเมตร จงหาว่าถนนนี้กว้างกี่เมตร
ตัวอย่างที่ 5 นักเรียนกลุ่มหนึ่งรวมเงินเพื่อซื้ออุปกรณ์วิทยาศาสตร์ราคา 1,400 บาท แต่ปรากฏว่ามีนักเรียนในกลุ่มนี้
ถอนตัวออกจากกลุ่มไป 5 คน พวกที่เหลือจึงต้องเพิ่มเงินอีกคนละ 5 บาท จงหาว่าเดิมนักเรียนกลุ่มนี้มีกี่คน
ตัวอย่างที่ 6 บ่อน้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ 600ตารางเมตร และมีความยาวรอบของบ่อเท่ากับ 100เมตร
จงหาความกว้างและความยาวของบ่อแห่งนี้

18. 18
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 7 ถังใบหนึ่งมีท่อเปิดน้าเข้า 2 ท่อ ท่อใหญ่จ่ายน้าเข้าเต็มถังเร็วกว่าท่อเล็ก 18 นาที ถ้าเปิด 2 ท่อพร้อมกัน
น้าจะเต็มถังในเวลา 12 นาที ถ้าเปิดท่อใหญ่ท่อเดียวจะใช้เวลานานกี่นาทีน้าจึงจะเต็มถัง
ก.12 นาที
ข.16 นาที
ค.18 นาที
ง.20 นาที
ตัวอย่างที่ 8 รถไฟขบวนหนึ่งแล่นในระยะทาง 180 กิโลเมตร หลังจากแล่นได้ครึ่งทางในอัตราเร็วคงที่ เกิดเหตุการณ์
ทาให้ต้องลดความเร็วลงชั่วโมงละ 5 กิโลเมตร ทาให้ถึงปลายทางช้าไป 15 นาที เดิมรถไฟแล่นได้ชั่วโมงละ
กี่กิโลเมตร
ก.40
ข.45
ค.50
ง.60
ตัวอย่างที่ 9 นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 8 คน ตกลงกันจะออกเงินซื้อต้นไม้ต้นหนึ่งราคา 300บาท มาปลูกในโรงเรียน
ตามโครงการสวนสวยโรงเรียนงาม โดยนักเรียนชายและหญิงออกเงินฝ่ายละครึ่งแต่นักเรียนชายออกเงิน
มากกว่านักเรียนคนละ 20 บาท ดังนั้นนักเรียนกลุ่มนี้มีผู้หญิงมากกว่าผู้ชายกี่คน
ก. 1 คน
ข. 2 คน
ค. 3 คน
ง. 4 คน

19. 19
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 10 รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานีกรุงเทพมหานครไปยังสถานีปลายทาง คนขับรถพบว่า ถ้าเพิ่มความ
เร็วจากความเร็วปกติชั่วโมงละ 6 กิโลเมตร จะถึงสถานีปลายทางเร็วขึ้น 3 นาที แต่ถ้าลดความเร็วจากความเร็วปกติ
ชั่วโมงละ 5 กิโลเมตร จะถึงสถานีปลายทางช้าลง 3 นาที ระยะทางจากสถานีกรุงเทพมหานคร ไปยังสถานีปลายทาง
ของรถไฟขบวนนี้เท่ากับกี่กิโลเมตร(สมาคมฯ 2557)
ตัวอย่างที่ 11 ชาย 2 คนขี่จักรยานด้วยความเร็ว 10 ไมล์ต่อชั่วโมง วงล้อรถจักรยานคันหนึ่งยาวกว่าอีกคันหนึ่ง
8 นิ้ว วงล้อใหญ่หมุนช้ากว่าวงล้อเล็ก 1 รอบใน 5 วินาที จงหาความยาวของวงล้อจักรยาน 2 คันนี้
(กาหนดให้ 1 ไมล์ เท่ากับ 1760 หลา และ 1 หลา เท่ากับ 3 ฟุต )