1. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 1ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 1ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

2. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 2ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 2ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 2

3. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 3ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 3ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 3

4. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 4ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 4ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 4

5. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 5ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 5ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 5

6. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 6ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 6ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 6

7. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 7ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 7ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 7

8. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 8ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 8ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 8

9. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 9ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 9ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 9

10. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 10ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 10ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012 10

11. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 11ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 11ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου (ως προς τις πλευρές του)
βρίσκονται επάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του .

12. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 12ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 12ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα ύψη τριγώνου, διχοτομούν τις
γωνίες του ορθικού του .

13. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 13ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 13ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου (ως προς τα μέσα των πλευρών του)
βρίσκονται επάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του.

14. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 14ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 14ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Η ΖΕ είναι αντιπαράλληλος της
ΒΓ.
Αν Τ μέσο της ΖΕ τότε η
ΑΚ είναι
συμμετροδιάμεσος.
AΔ,OA ισογώνιες
συζυγείς.

15. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 15ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 15ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο τριγώνου, βρίσκονται
πάνω στην ίδια ευθεία (ευθεία του Euler).
HG=2OG

16. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 16ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 16ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα μέσα των πλευρών, τα ίχνη των υψών και τα μέσα των αποστάσεων
ορθοκέντρου-κορυφών, βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο (κύκλος του
Euler).

17. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 17ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 17ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου είναι ομοιόθετος του κύκλου
Euler.
Κέντρο του κύκλου
Euler είναι το μέσο
του ΟΗ.
Ακτίνα του κύκλου
Euler είναι R/2.

18. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 18ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 18ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

19. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 19ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 19ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

20. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 20ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 20ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

21. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 21ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 21ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου
ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ.

22. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 22ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 22ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου
ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ.

23. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 23ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 23ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ).
γβ υυ ==−=+ 1221 KKKKMMMM

24. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 24ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 24ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ .
αυΡΖΡΕΡΔ =++

25. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 25ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 25ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Οι προβολές σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου στις πλευρές
τριγώνου, βρίσκονται σε ευθεία (ευθεία Simson).

26. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 26ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 26ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Η γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες Simson (που αντιστοιχούν στα
σημεία Κ και Μ) ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ΚΜ.

27. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 27ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 27ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
112 BA//AA

28. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 28ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 28ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

29. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 29ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 29ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Το μέσο του ΜΗ ανήκει στην
ευθεία Simson που αντιστοιχεί
στο σημείο Μ και τον κύκλο του
Euler.

30. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 30ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 30ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα συμμετρικά σημείου του
περιγεγραμμένου κύκλου, ως
προς τις πλευρές τριγώνου,
βρίσκονται σε ευθεία που περνά
από το ορθόκεντρό του.

31. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 31ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 31ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012

32. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 32ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 32ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Αν Δ, Ε, Ζ είναι σημεία στις πλευρές τριγώνου, τότε οι
περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΖΕ, ΒΔΖ και ΓΔΕ περνάνε
από το ίδιο σημείο (Σημείο Miquel του τριγώνου).

33. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 33ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 33ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Σε πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των
τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΖ, ΒΓΕ και ΓΔΖ περνάνε από το ίδιο σημείο
(Σημείο Miquel του τετραπλεύρου).

34. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 34ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 34ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι
εγγράψιμο, τότε το σημείο Miquel
του πλήρους τετραπλεύρου
βρίσκεται επάνω στην ΕΖ.

35. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 35ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 35ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα κέντρα των περιγεγραμμένων
κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το
σημείο Miquel του τετραπλεύρου
.

36. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 36ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 36ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα κέντρα των περιγεγραμμένων
κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το
σημείο Miquel του τετραπλεύρου
.

37. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 37ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 37ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Ευθεία Simson πλήρους
τετραπλεύρου.

38. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 38ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 38ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Τα μέσα των διαγωνίων πλήρους
τετραπλεύρου είναι συνευθειακά.

39. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 39ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 39ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Οι διχοτόμοι . . . δημιουργούν
ρόμβο.

40. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 40ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 40ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Σημείο των μέσων (βαρύκεντρο τετραπλεύρου).

41. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 41ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 41ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο, οι κάθετες από τα μέσα των
πλευρών του προς τις απέναντι κορυφές του, περνάνε από το ίδιο
σημείο (αντίκεντρο τετραπλεύρου).

42. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 42ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 42ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Το αντίκεντρο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SMN.

43. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 43ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 43ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Οι διαγώνιες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι κάθετες μεταξύ
τους και τέμνονται στο σημείο Ρ.
Η κάθετη από το Ρ προς οποιαδήποτε πλευρά του, περνάει από το
μέσο της απέναντι πλευράς.

44. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 44ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 44ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Το κέντρο Ο απέχει από κάθε πλευρά, το μισό του μήκους της
απέναντι πλευράς.

45. ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 45ΨΥΧΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ- 45ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ 2012
Οι εφαπτόμενες στις κορυφές του τετραπλεύρου ορίζουν εγγράψιμο
τετράπλευρο.