Помехоустойчивое кодирование

1. Помехоустойчивое
кодирование
Циклические коды – подкласс
линейных кодов

2. Примеры использования
линейных кодов
• Пример 1. Протокол передачи данных по
телефонному каналу ISDN-D, в котором
используется формат передачи данных
LAPD.
1 2 1(2) max 260 2 1
F A C I FCS F

3. Примеры использования
линейных кодов
• F=01111110 (flag)
• А – поле адреса (address)
• С поле команд (control)
• I –информационное поле (information)
• FCS – проверочные разряды (frame check sequence)
• Общая длина 266х8=21128 бит, проверочных – 16 бит
•
1 2 1(2) max 260 2 1
F A C I FCS F

4. Примеры использования
линейных кодов
• Пример 2. Протокол передачи данных в 802.3
CSMA/CD для передачи данных в локальных сетях
связи (LAN)
7
1
2(6)
2(6)
65-1518
4
Преамбула
Разделитель
Адрес получателя
Адрес источника
Данные
Контроль четности

5. Линейные циклические коды
Циклические коды интенсивно изучаются, так как:
• Циклические коды обладают богатой алгебраической
структурой, что используется в различных
приложениях.
• Для циклических кодов чрезвычайно кратко
формулируются технические требования
(спецификации).
• Циклические коды легко реализуются с помощью
сдвиговых регистров.
• Многие практически важные коды являются
циклическими.

6. Линейные циклические коды
Линейный (n,k)-код С называется циклическим, если
циклический сдвиг любого кодового слова из С также
принадлежит С:



















1
2
1
0
...
n
n
x
x
x
x






















2
3
0
1
)
1
(
...
n
n
n
x
x
x
x


7. Замечание
• Для задания произвольного кода из 2k
слов длины n необходимо выписать
все 2k кодовых слов длины n.
• Для задания линейного кода из 2k слов
длины n достаточно выписать k
базисных слов длины n (порождающая
матрица).
• Для задания линейного циклического
кода из 2k слов длины n достаточно
выписать одно ненулевое кодовое
слово.

8. Реализация циклического сдвига
Циклический сдвиг реализуется с помощью
регистра сдвига длины n с обратной
связью:
…
0
x 1
x 2
x 2

n
x 1

n
x

9. Реализация циклического сдвига
Регистр сдвига на такте 1
Регистр сдвига на такте 2
…
1

n
x 0
x 1
x 3

n
x 2

n
x
…
2

n
x 1

n
x 0
x 3

n
x
4

n
x

10. Представление кодовых слов в
виде кодовых многочленов
1
1
1
0
1
2
1
0
...
)
(
... 
























 n
n
n
n
x
a
x
a
a
x
a
a
a
a
a


11. Представление кодовых слов
в виде многочленов

12. Циклический сдвиг многочлена
1
1
1
0 ...
)
( 




 n
n x
a
x
a
a
x
a





 




1
2
2
3
0
1
)
1
(
...
)
( n
n
n
n
n x
a
x
a
x
a
a
x
a






 



 )
1
(mod
... 1
1
2
2
3
0
n
n
n
n
n
n
n x
x
a
x
a
x
a
x
a
)
1
)(mod
( 

 n
x
x
a
x

13. Пример
1101000
7
,
1
)
( 3





 n
x
x
x
a

14. Пример
5
3
2
3
4
4
0011010
1000110
0110100
1101000
)
1
)(
1
(
)
(
)
1
(
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x















15. Пример















7
5
3
2
7
4
3
5
2
4
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
1
mod( 7
5
3
2



 x
x
x
x







 )
1
)(
1
(
)
(
)
1
( 3
4
4
x
x
x
x
x
a
x
x

16. Циклический сдвиг многочлена
)
1
)(mod
(
...
1
2
1
)
(



























n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
x
x
a
x
a
a
a
a


17. Важные теоремы
• Теорема 1. Циклический код содержит
единственный кодовый многочлен
минимальной степени.
• Теорема 2.Если – кодовый многочлен
минимальной степени, то его младший
коэффициент
• Теорема 3.Пусть -кодовый многочлен
минимальной степени. Многочлен
является кодовым многочленом тогда и
только тогда, когда он кратен
)
(x
g
.
1
0 
g
)
(x
a
)
(x
g
).
(x
g

18. Порождающий многочлен
Пусть -кодовый многочлен минимальной степени,
этот многочлен называется порождающим
многочленом. Пусть степень порождающего
многочлена равна r.
Базис подпространства С (порождающая матрица):
Степень порождающего многочлена
)
(x
g
 
)
(
,...,
)
(
),
(
),
( 1
2
x
g
x
x
g
x
x
g
x
x
g k


 
k
n
x
g 

)
(
deg

19. Теоремы о порождающем многочлене
• Теорема1.Порождающий многочлен
циклического кода делит без остатка
многочлен .
• Теорема 2.Если некоторый многочлен -
степени n-k делит многочлен без
остатка, то порождает циклический
(n,k)-код.
)
(x
g
.
1

n
x
1

n
x
)
(x
g
).
(x
g

20. Кодирование
• Кодирование циклического кода –
умножение информационного
многочлена на порождающий
многочлен

21. Циклический (7,4)-код
• Пример.
• (разложение )
)
1
)(
1
)(
1
(
1 3
2
3
7
x
x
x
x
x
x 






3
1
)
( x
x
x
g 



22. •
инф.сл. кодовое сл. многочлен
0000 0000000
1000 1101000
0100 0110100
1100 1011100
0010 0011010
1010 1110010
0110 0101110
1110 1000110
0001 0001101
1001
0101
1101 Заполните самостоятельно
0011
1011
0111
1111
)
(
0 x
g

g(x)
x
g(x)
1
)
(
)
1
( x
g
x 

g(x)
x2

)
(
)
1
( 2
x
g
x 

)
(
)
( 2
x
g
x
x 

)
(
)
1
( 2
x
g
x
x 


g(x)
x3


23. Циклический (7,4)-код
• Минимальный вес (7,4)-кода равен 3,
код исправляет 1 ошибку
• Это циклический код Хэмминга

24. Замечания (1)
•По сравнению с линейными,
циклические коды редки. Например,
существует 11 811 линейных
двоичных (7,3)-кодов, но только два
из них являются циклическими.

25. Замечания (2)
•Тривиальные двоичные циклические коды.
•Код без информации – код из нулевого слова.
•Код с повторением – код состоящий из двух
слов: 00…0 и 11…1.
• Код с проверкой на четность – код из слов
четного веса.
•Код без проверки – код из всех слов длины n.
•В некоторых случаях (например n = 19), не
существуют циклические коды, кроме
описанных выше четырех кодов.

26. Порождающая матрица
циклического кода




























1
...
1
0
...
...
0
0
...
1
...
...
...
1
0
0
0
...
0
1
...
1
0
0
...
0
0
1
...
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
n
k
Т
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
G











27. Проверочный многочлен
циклического кода
• Так как порождающий многочлен циклического
кода делит без остатка многочлен
то
• Многочлен h(x) – проверочный многочлен
,
1

n
x
)
(x
g
)
(
)
(
1 x
g
x
h
xn




28. Проверочная матрица
циклического кода
• Всякое кодовое слово можно представить
как
• Тогда
• поэтому
1
)
(
deg
),
(
)
(
)
( 


 k
x
a
x
g
x
a
x
c




 )
(
)
(
)
(
)
(
)
( x
h
x
g
x
a
x
h
x
c



 )
1
(
)
( n
x
x
a
n
x
x
a
x
a 

 )
(
)
(
1
)
(
)
(
deg 

 k
x
h
x
c

29. Проверочная матрица
циклического кода
• Поэтому коэффициенты при степенях x
старше k-1 равны 0.
• Тогда
0
...
0
...
0
...
0
...
0
1
1
1
0
2
1
3
2
0
1
1
2
1
0
1
1
0






































h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
h
c
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k


30. Проверочная матрица
циклического кода
























0
1
2
1
0
1
0
1
2
1
0
1
2
1
)
(
...
0
...
...
0
0
...
...
...
...
0
0
0
...
0
...
0
0
...
0
0
...
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
H
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
k
n











31. Порождающий многочлен
дуального кода
)
(
)
( 1
* 

 x
h
x
x
h k
  k
k
k x
h
x
h
h
x
h 0
1 ...


 


32. Параметры циклического кода
Хэмминга
• Длина кода
• Число информационных символов
• Минимальное расстояние - 3
• Число исправляемых ошибок - 1
1
2 
 m
n
m
m
n
k m




 1
2