2. Упругий стержень длиной L с площадью сечения А, модулем упругости Е
имеет действующие силы F1 и F2 в конечных точках 1 и 2 (рис.8.1).
Рис. 8.1
02/26/14
2
3. Из теории упругости известно, что для получения классических
уравнений деформирования упругой среды необходимо составление 3–х
групп уравнений: статических (выражающих условия равновесия),
геометрических (связывающих деформации и перемещения) и физических
(связывающих напряжения и деформации).
Запишем их для нашего стержня:
– статические условия ΣFx=F1+F2=0, откуда F2=–F1;
– связь деформации стержня εх и перемещений его концов u1 и u2 при
изменении длины на ∆L запишем как
∆L u2 − u1
εх =
=
;
L
L
(8.1)
– связь между напряжением и деформацией в упругом стержне по закону
Гука
σ x = E ⋅ε x.
02/26/14
(8.2)
3
4. EA
EA
u2 −
u1
L
L
.
EA
EA
F2 =
u2 −
u1
L
L
− F1 =
(8.4)
Уравнения (8.4) есть СЛАУ с двумя неизвестными. Запишем (8.4) в
матричной форме (матрица – это прямоугольная таблица из i∙j – чисел; i –
число строк; j – число столбиков)
F1 EA 1 − 1 u1
=
,
F2 L − 1 1 u2
или сокращенно
{ F } = [ K ]{u }.
e
02/26/14
(8.5)
e
e
(8.6)
4
5. Пример: Решение с помощью МКЭ задачи о растяжении стержня под действием
собственного веса (Шабров Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах
деталей тепловых двигателей. – Л.: Машиностроение, 1983. – 212 с.)
2L=1м;
А=0,001м3,
Е=2∙1011Н/м2,
ρ=8000кг/м3,
g=9,81, м/с2
Рис. 8.2
02/26/14
5
6. Глобальная (суммарная) матрица жесткости всей КЭМ [К] и глобальный
(суммарный) вектор сил {F} получаются суммированием матриц отдельных КЭ
и отдельных векторов сил. Правило суммирования показано ниже:
02/26/14
6
