中央値の95%信頼区間を作るには6個の標本サイズが必要である。 -- 分布の形を仮定できないときは、6回はちゃんと観察しましょうという話。分布の形が分かっていれば、ほんの1,2回の観察でも意味あるかも知れませんが。ただし、本文書は「95%信頼区間」の考え方を採用しています。仮定としてはかなり強すぎるかもれませんし、人によっては弱すぎるかもしれません。(本文書の仮定が自然なのか不自然なのかについては、本文書作成者は判断を一旦保留します。理屈が分かって、日常の中に使う分にはなんら問題はないと、考えています。)

1. — 6個,13個,72個のサンプルによる分位点の信頼区間の構成 —
2015-03-09 TS
分布の形を仮定できないときは、6回はちゃんと観察しましょうという
話。分布の形が分かっていれば、ほんの1,2回の観察でも意味あるかも知れま
せんが。
ただし、本文書は「95%信頼区間」の考え方を採用しています。仮定としてはか
なり強すぎるかもれませんし、人によっては弱すぎるかもしれません。
(本文書の仮定が自然なのか不自然なのかについては、本文書作成者は判断を一旦保留します。理
屈が分かって、日常の中に使う分にはなんら問題はないと、考えています。)
中央値の95%信頼区間を作るには
6個の標本サイズが必要である

2. 初めのことわり書き
• “独立同分布”かつ”分布の形を仮定しない” サンプ
ルを得た場合に分位点をどう構成するかについて
の話です。
• 非常に簡単な仮定で話をしますが、暗黙にやや高
度な統計学の知識を要求します。
• 書いてあることは、理解出来れば日常や社会生活
に容易に適用できるはずです。
• しかし、適用の仕方を間違うと、全く的外れな結末
になるので、気をつけてください。

3. 分位点の信頼区間の構成
一般論

4. 1. 母分位点の順序統計量の考察
▶ ある母分布DからN点を(独立同分布を仮定して)サンプルとして取得したとする。
▶ その観測値を小さい順に並べ x(1), x(2), …,x(N) とした場合に、
母分布の下側 P点 Q が区間 [x(m),x(m+1) )に含まれる場合の確率はいくらだろうか?
▶ ただし、便宜上、x(0):=-∞ , x(N+1):=+∞とする。
• 母分布 D は未知であるとする。P は既知だが、Q は未知である。
• 母分布Dはポイントマスは無いと仮定してある(サンプル中に全く同じ値が複
数出現する確率をゼロにするため)。
もしくは、小さなεの値を設定し、[-ε,+ε]の一様乱数を観測値に足し算をして
ポイントマスを無くす。
→ M の値を Q∈ [x(m),x(m+1) ) の場合に m であると定義する(一意に定まる)。
すると、Mの値の分布は、二項分布 Binom(N,P) に従う。
→ N,Pが決まっているときに各Mの値を取る確率は R言語で dbinom( M , N , P) で計算できる。

5. 2. 信頼区間の構成について
あるパラメータに値を設定した前提で、観測値から得られる統計量が
下側2.5%点未満か下側97.5%点超の値を取る場合に有意と定義す
る。そして、観測値を得た場合に、有意にならない前提を与えるパラ
メータの値の集合が、パラメータの95%信頼区間であると定義する。
• 有意となる条件を「2.5%点以下もしくは97.5%点以上」とする定義は、条件としてはや
や甘い。実用上難点があるので、本文書では採用しない。
• R言語で M1<-qbinom( 1/40,N,P,TRUE ) ; M2<-qbinom( 1/40,N,P,FALSE ) とする。
• Mを統計量、Qをパラメータとする。
すると、Qの95%信頼区間は [x(M1) , x(M2 + 1 ) ]

6. 分位点の信頼区間の構成
〜 具体的な数値例 〜

7. N ≧ 6 で、母中央値の95%信頼区間を構成できる。
• N=6,7,8の場合は、N個の観測値の最小値と最大値が、
母中央値の95%信頼区間となる。
• N=9,10,11 の場合は、N個の観測値の最小値と最大値をひとつずつ消去
した残りの値の最小値と最大値が、母中央値の95%信頼区間の下限と
上限となる。
• N≦5の場合は、母中央値の信頼区間は構成できない(もしくは区間(-
∞,+∞)と表される。
• 不動産屋さんなどを見るときは、物件を6件は見た方が良いと言える(?)。
そうしないと、中央値すら信頼区間を構成不可能だから。
6
7
8

8. N ≧ 13 で、母四分位値の95%信頼区間を構成できる。
• N=13〜19の場合に、下側母四分位値の95%信頼区間の下限は、観測値の最小
値に一致する。
• N=13,14,15,16,17,18,19のそれぞれの場合に、下側母四分位値の95%信頼区間
の上限は、観測値の下から7,8,8,9,9,9,10番目となる。
• N=13,15,17,19の場合に、下側母四分位値の95%信頼区間の上限は、観測値の
中央値に一致する。
• N≦12の場合は、母四分位値の95%信頼区間は構成できない。(もしくは±∞を区
間の端に含む。)
13
19

9. N≧72 で母分布の5%点の
95%信頼区間を構成できる。
• N=71だと母分布の下側5%点が全ての観測
値より小さい確率は 0.0262 ≧ 0.025 となって
しまう。
• N=72の場合は、観測値の最小から1番目と9
番目を信頼区間の境界とすれば良い。
11番目と26番目の間が
下側25%点の信頼区間
28番目と45番目の間が
下側50%点(中央値)の信頼区間
1番目と9番目の間が
下側5%点の信頼区間
上から6番目と19番目の
間が上側1/6点の信頼区間
図はN=72の場合

10. 参考事項

11. N=2,3 だとどうなるか?
あるパラメータに値を設定した前提で、観測値から得られる統計量が下側
100α/2%点未満か下側100(1-α/2)%点超の値を取る場合に有意水準αで有
意。観測値を得た場合に、有意にならない前提を与えるパラメータの値の集
合が、パラメータの100(1-α/2)%信頼区間であると定義する。
日常生活の中では、未知/未経験の現象が発生した場合、それを何度も確かめたり、
何人もの人に類似の経験が無いか聞いて回ることは、普通はしないことが多い。
(N=6もサンプルを集めることは少なく、N=2,3で済ますことが多いだろう。)
N回の観測の最小値xMINと最大値xMAXを用いることで、下記のことが可能。
N=2回の観測の場合は、母中央値の 50%信頼区間は [xMIN, xMAX] である。
N=3回の観測の場合は、母中央値の 75%信頼区間は [xMIN, xMAX] である。
N=4回の観測の場合は、母中央値の 87.5%信頼区間は [xMIN, xMAX] である。
N=5回の観測の場合は、母中央値の 93.75%信頼区間は [xMIN, xMAX] である。
N=2回の観測の場合は、母下側84.2%点の 95%信頼区間が [−∞, xMAX] である。
N=3回の観測の場合は、母下側70.7%点の 95%信頼区間が[−∞, xMAX] である。
N=4回の観測の場合は、母下側60.2%点の 95%信頼区間が[−∞, xMAX] である。
N=5回の観測の場合は、母下側52.1%点の 95%信頼区間が[−∞, xMAX] である。

12. N=6で、母中央値の信頼区間を今までに説明し
た方法と、t検定による方法で構成して比較する。
各長方形の、x座標範囲とy座標範囲は次の方法で作った。
標準正規分布に従う乱数6個を生成し、t検定の方法で母平均(＝母中央値)の95%信頼区間を
求めることと、その6個の値の最小値と最大値で信頼区間を求めた。それを20回繰り返した。各
長方形を見てみると、2個の区間はあまり大きく異ならないことが分かる。

13. 数値はどうやって得たかについて
• 一変数の方程式を数値的に解く場合には、uniroot を用いている。

14. その他考えたいこと

15. 考えたいこと(1)
• サンプルの最小値または最大値を使った、信
頼限界を用いると、ハッキング(現実での悪意
を持った操作)に対して脆弱な可能性がある
ように思われる。2番目か3番目の最小値また
は最大値を用いるようにしたいようにも思わ
れる。それについても考察したい。
• 世の中で多くの会社が、見積もりを2-3個の業
者で済ませることについての妥当性について、
検討したい。

16. 考えたいこと(2)
• 本文書の考え方が、何かパラドックスを生み出
す可能性がある。(一般的に確立した考え方では
ないと、本文書作成者は考えるため。)
• そのような事例を収集し、考察を加えることで、
統計学の理論のさらなる洗練を導くことが期待
できるかも知れない。
• さらに別の隠れた意図としては、本当は人間の
直感が、意外と偏見に支配されやすいことを示
す例の一端を示したかった。(今回はあまり達成
できず。)

17. 考えたいこと(2)
• 境界に端点を含めるか否かについて
– この文書について、不等号にイコールが付くか否
か、境界が端点を含むか否かについては、再検
討を要する。
– R言語の qbinomのような ”q+離散分布” の形の
関数の不連続点での振る舞いについては、再検
討を要する。(当面策は 3e-16 を加減する。str(.Machine)を参照)
– ただし、実際の数値計算をする際は、おそらく問
題が起こる可能性はとても小さい。それでも、理
論構築の上では、よく調べる必要がある。