Download luận văn thạc sĩ ngành giáo dục học với đề tài: Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông, cho các bạn có thể tham khảo

1.
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
Nguyễn Thiện Chí
KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔTHÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN
Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

2.
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người
đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào
việc hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán.
Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,
TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp
những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường.
- Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ
môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.
Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 18 đã
cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình
tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
NGUYỄN THIỆN CHÍ

3.
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SBT: Sách bài tập
SGV: Sách giáo viên
PT: Phương trình
QT: Quy tắc
BP: Bình phương
XD: Xét dấu
TL: Trả lời
d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0
M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1
E6: Sách bài tập toán 6 tập 1
G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1
M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1
E7: Sách bài tập toán 7 tập 1
G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1
M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2
E8: Sách bài tập toán 8 tập 2
G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2
M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1
E9: Sách bài tập toán 9 tập 1
G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1
M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )
E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )
G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản)

4. 1
MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu
 Khung lý thuyết tham chiếu
 Mục đích nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu.
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu
Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ thông
xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng.
Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến
thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy
hiện tượng sau:
Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài toán tính giá trị tuyệt đối của một
số cụ thể (chẳng hạn 7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả a = a, hoặc
chẳng hạn ( 5) 5x x    .
Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với
khái niệm này không ?
Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau,
nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên:
- Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị
tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức.
- Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trò quan trọng tạo nên khó khăn và
sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối.
Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái
niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài cho luận
văn thạc sĩ của mình.
Cụthểhơn,mụctiêucủaluậnvănnàylàtrảlờichocáccâuhỏikhởiđầuđặtrasauđây:
- Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thông như thế
nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan

5. 2
đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp,
bậc học?
- Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền
với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu?
- Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trò gì đối
với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn
và sai lầm trên của học sinh ?
- Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị
tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ
thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt
đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc
vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:
2.1. Lý thuyết nhân chủng học
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan
hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua
nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard
(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế
đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm
bốn thành phần   ,,,  , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép
giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho
công nghệ .
2.2. Chướng ngại
2.2.1. Chướng ngại và sai lầm
(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4])
Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và
Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với

6. 3
tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến
bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.
Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây
dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với
những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không
hoàn toàn chính xác.
Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn,
ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa
hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức
đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không
còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không
phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt
động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ
nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983).
Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung.
Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập.
2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại
(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5])
Trước tiên, cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được
xem là chướng ngại.
Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà
theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo
ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn
đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác
và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.
Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El
Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm
nhận thức.

7. 4
“Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học
nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý
thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu
hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những
phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […]. Người ta cũng có thể nói
như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối
với một khái niệm toán học […]
Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại
kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một
chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của
thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra.
Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng
ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán
học” (El Bouazzauori, 1988)
Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn
gốc của chúng:
- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử
của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường
minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh.
- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic,
chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống
giáo dục.
- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những
hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát
triển của nó.
- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn
hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại.
Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt
qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có

8. 5
thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái
niệm đang được nói đến.
Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic
của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.
2.3. Quan niệm và quy tắc hành động
(Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4])
2.3.1. Quan niệm
Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích
ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm
toán học. Mô hình này cho phép:
- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những
cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của
một lớp nào đó các bài toán;
- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế
được học sinh xây dựng.
G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực
hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn
đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn
đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách
khó khăn trong điều kiện bất lợi”.
Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):
- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;
- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định
nghĩa và tính chất khác nhau.
2.3.2. Quy tắc hành động
Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ
những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một
nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất
toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.

9. 6
Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai
của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những
tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì
phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với
học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu
trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp
thức của nó.
3. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời
chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa
học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào
mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này?
Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế
nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao?
Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến
triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ
chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiến triển như
thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi
nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc
phổ thông?
Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan
hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học
sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm a a  (với mọi số nguyên a) hoặc
( 5) 5x x    (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm
giá trị tuyệt đối không?

10. 7
4. Phương pháp nghiên cứu
Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt
ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4.
Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã
được công bố về vai trò của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác,
chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho
nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái
niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho
chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là
cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm.
Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng
tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể
chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn
mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh
phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tôi
đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc
trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”.
Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của
khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái
niệm này trong lịch sử. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình
toán ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày
trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”.
Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối
tượng giá trị tuyệt đối. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách
giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tôi
sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được
các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học.

11. 8
Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa
ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3:
“Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”.
Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này,
chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các
phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu
hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”.

12. 9
Chương 1.
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM
CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM
 Khái niệm chữ
 Khái niệm số âm.
Mục tiêu của chương
Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và
nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng
khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời
các câu hỏi sau đây:
1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt
khoa học luận và sư phạm?
2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh
phạm phải liên quan đến khái niệm này?
1.1. Về khái niệm chữ
Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của chữ và bước chuyển từ
việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tôi tìm được các tài liệu sau:
1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số
học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn
Thạc sĩ. [19]
2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc
hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21]
3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1. [22]
4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên
Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2. [23]

13. 10
Vì thế trong phần này chúng tôi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những
kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên
cứu luận văn của mình.
1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ
Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời
nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các
bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự
phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn:
Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử
dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu
vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài
toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.
Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa
vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng
một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử
dụng thường xuyên hơn.
Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử
dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử
dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5].
Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,
 v

chỉ bình phương của ẩn số, xv

chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay
lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x5
được viết là x v

 (trong đó
 =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch
ngang trên đầu, chẳng hạn  =1,  =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa
biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn
dần thành x.

14. 11
Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và
để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2
+ 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ
thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).
Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng
kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu
m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ.
Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F.
Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các
phụ âm thông thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho
phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ
các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…
Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như
hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và
các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng
a2
, a3
…Các kí hiệu của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó
nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi.
Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tôi
xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các
chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, không
có công cụ đó – ngôn ngữ của các công thức – không thể có được sự phát triển của
toán học. Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép toán trên những ký hiệu đó, ngay từ thế
kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại
lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích toán học, trong đó sự biến thiên
liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại
lượng khác, là hàm của nó”
Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:
- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút
gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước

15. 12
chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang
tập hợp các số biểu thị bằng chữ.
- Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được
dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập
hợp giá trị.
- Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ
hằng số, ẩn số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương
của ẩn số.v.v . Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ .
1.1.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ
Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ
các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi
chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu
thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số.
Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó
ông phân biệt:
- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số
- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm
- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]
Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa
của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:
Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo
hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m
được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng
về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần
số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)

16. DOWNLOAD ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
MÃ TÀI LIỆU: 52681
DOWNLOAD: + Link tải: tailieumau.vn
Hoặc : + ZALO: 0932091562