Insa poly mesures 2015 16

PHYSIQUE :
MESURES 1A
COURS, TD, TP
DEPARTEMENT PREMIER CYCLE 2015-2016
Equipe pédagogique de physique

Ce document ne demande qu’à être amélioré, merci de signaler d’éventuelles erreurs à
l’adresse suivante : laure.raffaelly@insa-lyon.fr

3
Dans ce document polycopié, vous trouverez 2 parties :
Partie 1 : Le cours ainsi que diérents documents liés à l'évaluation de connaissances
(exercices, devoirs maison)
Au début de chaque chapitre vous trouverez un tableau récapitulatif des objectifs
de chaque chapitre en termes de savoir et de savoir-faire. Ceci doit vous guider dans
l'apprentissage de votre cours. Vous y trouverez également les outils mathématiques
nécessaires à l'appropriation du cours et à ses applications. Vous pourrez vous reporter à
vos cours d'OMSI si nécessaire.
Les exercices que l'on vous propose sont classés selon deux niveaux :
Un premier niveau constitué d'exercices de compréhension et d'application directe
du cours. Ils sont destinés à tester votre degré de compréhension du cours après les
explications données en amphi et après un premier travail personnel. Ces exercices
sont corrigés pour vous permettre de travailler seul chaque semaine. Vous pourrez
compléter votre compréhension et apprentissage du cours en faisant les QCM en
ligne sur le site : http://moodle2.insa-lyon.fr/course/view.php?id=2543
Un deuxième niveau constitué par des exercices dont certains seront traités en TD.
Ces exercices vous permettent de travailler les fondamentaux du cours. C'est leur
résolution qui, en vous confrontant à des problèmes d'application des notions es-
sentielles, vous permettra une véritable assimilation de ces notions. L'acquisition
de vos connaissances doit être fondée sur un travail personnel préalable important,
an que vous puissiez tirer parti au mieux de l'aide que peut vous apporter votre
conférencier pendant les TD.
LES TRAVAUX DIRIGES NE PEUVENT PAS SE SUBSTITUER A UN APPREN-
TISSAGE PERSONNEL DU COURS. IL EST DONC IMPERATIF D'AVOIR TRA-
VAILLE SON COURS AVANT DE VENIR EN TD AFIN DE POUVOIR Y POSER
D'EVENTUELLES QUESTIONS COMPLEMENTAIRES ET DE POUVOIR CHERCHER
LES EXERCICES ET EN SUIVRE LA CORRECTION.
Partie 2 : Les textes relatifs aux travaux pratiques en lien avec cette partie mesures
La plupart des phénomènes et des lois de la physique ont été appréhendés à partir
d'observations, de dénitions de grandeurs et des mesures de ces grandeurs, avant d'être
quantiés et formalisés mathématiquement. Aussi, les trois TP suivants constituent une
approche expérimentale de la physique et ont pour objectif d'être une initiation à la mesure
physique par l'analyse de diverses techniques expérimentales et par l'étude et l'utilisation
d'appareils couramment rencontrés. En particulier, la notion d'incertitude de mesure et
les calculs associés vus en cours et en TD trouveront là leur application pratique. La
mise en forme et l'exploitation des résultats expérimentaux seront des points clés de la
démarche expérimentale.

Table des matières
I Cours TD 6
1 Grandeurs physiques, dimensions, unités 7
1.1 Introduction aux grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Notions de grandeurs physiques et de mesures . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Grandeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Grandeurs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Choix des dimensions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Equation aux dimensions et règles d'écriture . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Intérêts de la notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Choix des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Système international (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Autres systèmes d'unités et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.6 Conversion entre systèmes d'unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Chires signicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Calcul d'ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Eléments de correction des exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 EXERCICES de TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ex. 1 Unités et dimensions de grandeurs mécaniques. . . . . . . . . . . . 22
Ex. 2 Dimensions des grandeurs électriques usuelles. . . . . . . . . . . . . 22
Ex. 3 Unités de grandeurs thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ex. 4 Masse volumique de l'eau. Unités anglo-saxonnes . . . . . . . . . . 23
Ex. 5 Changement de système d'unités : longueur, masse, énergie . . . . . 23
Ex. 6 Planeur de Gimli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Mesures et incertitudes 24
2.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Mesures directes/indirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Dénition : erreurs et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Dénition erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Origine des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Dénition de l'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Intérêt des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Estimation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4

TABLE DES MATIÈRES 5
2.3.1 Mesurage direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Mesurage indirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Présentation de résultats de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Eléments de correction des exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 EXERCICES de TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ex. 1 Un peu de chimie pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ex. 2 2. Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ex. 3 Une vision statistique de l'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ex. 4 Masse d'un manchon cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ex. 5 Le pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ex. 6 Mesure de la constante de raideur d'un ressort . . . . . . . . . . . 43
Ex. 7 Charge et décharge d'un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 8 Pont de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 9 Extrait du DS 1 de 2012-2013 : La voiture électrique . . . . . . . . 45
Ex. 10 Comparaison des diérentes méthodes d'estimation des incertitudes 45
Ex. 11 Présentation de données expérimentales, jeu des 7 erreurs. . . . . . 46
Ex. 12 EXTRAIT de l'IE1 d'octobre 2011 : Diraction . . . . . . . . . . . 46
3 Bibliographie : 49
II Énoncés des TP 50
1 MESURES EN COURANT CONTINU 52
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.2 Compétences expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.3 Préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2 Principes élémentaires pour l'utilisation d'un ampèremètre ou d'un voltmètre. 52
1.2.1 Mesure de l'intensité d'un courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.2 Mesure d'une diérence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3 MANIPULATION 1 : loi des mailles, loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . 53
1.4 MANIPULATION 2 : tracé de la caractéristique I = f(U) d'un dipôle
inconnu X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5 ANNEXE : Boites AOIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Mesures avec l'oscilloscope 58
2.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.2 Compétences expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.3 Préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 MANIPULATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 Prise en main de l'appareil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2 Observation d'une tension sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.3 Observation d'une tension de valeur moyenne non nulle . . . . . . . 60
2.2.4 Mesure de la vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 Annexe 1. Branchement des cordons coaxiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Annexe 2. Utilisation de l'oscilloscope numérique TDS 220 . . . . . . . . . 63
2.5 Annexe 3. Description des fonctions utilisées sur le GBF Metrix 3240 . . . 66

Chapitre 1
Grandeurs physiques, dimensions,
unités
A la n de ce chapitre vous devrez être capables de :
Connaître la dénition des diérents types de grandeurs physiques
Connaître les unités et les dimensions des grandeurs de base et des grandeurs dérivées
usuelles du SI, ainsi que les multiples et sous multiples
Vérier l'homogénéité d'une relation et trouver la dimension d'une grandeur
Réaliser des conversions d'unités
Faire un calcul d'ordre de grandeur de tête
Pour proter pleinement de cet aprentissage, vous devez déjà être capable d' :
Utiliser des grandeurs algébriques
Utiliser des puissances de 10 pour les calculs d'ordre de grandeur
1.1 Introduction aux grandeurs physiques
La physique a pour objectif de décrire le monde qui nous entoure, de proposer une
explication rationnelle aux diérents phénomènes physiques, de les modéliser et de les
prévoir.
Pour cela les physiciens utilisent des modèles, ensembles constitués de grandeurs phy-
siques et de lois reliant ces grandeurs entre elles. Pour élaborer ces modèles et les faire
évoluer, le physicien a besoin d'eectuer des mesures.
1.1.1 Notions de grandeurs physiques et de mesures
a. Grandeurs physiques
Les grandeurs physiques sont les objets fondamentaux d'un modèle physique.
Une grandeur est une propriété d'un corps ou d'un phénomène, à laquelle on s'eorce
de donner une représentation numérique. Cette représentation numérique permet alors
l'étude quantitative des phénomènes.
Exemples de grandeurs physiques : distance, durée, charge électrique, force, masse,
concentration, dureté d'un matériau ...
7

CHAPITRE 1. GRANDEURS PHYSIQUES, DIMENSIONS, UNITÉS 8
b. Mesures
La notion de mesure sera approfondie dans le chapitre suivant. On peut d'ors et déjà
en donner une dénition :
Mesurer une grandeur , c'est faire un rapport de cette grandeur à une autre de même
nature, choisie comme unité et appelée étalon.
Parmi les objets mathématiques permettant une représentation des grandeurs décrites
en physique on peut distinguer les grandeurs vectorielles et /ou scalaires.
1.1.2 Grandeurs vectorielles
Une grandeur vectorielle est représentée par un vecteur.
Exemples de grandeurs vectorielles : vitesse d'un point, force, champ électrostatique ...
En physique, un vecteur est caractérisé par 4 paramètres qui peuvent être :
sa direction
sa norme
son sens
son point d'application (Figure 1.1 , gauche)
ou alors :
son point d'application
ses 3 composantes (Vx, Vy, Vz en coordonnées cartésiennes) (Figure 1.1 droite :
exemple dans le plan)
Figure 1.1 Vecteur
−→
V et ses composantes Vx et Vy
On ne peut pas mesurer une grandeur vectorielle. On ne peut mesurer que sa norme ou
ses projections (ou composantes).
On notera
−→
V la norme du vecteur
−→
V et Vx , Vx , Vz ses composantes. On tachera
d'éviter la notation V qui prête à confusion (est-ce la norme (toujours positive) ou bien
la projection algébrique sur la droite Δ ?).
Remarque : Une grandeur scalaire ne peut pas être égale à une grandeur vectorielle. Confondre
et mélanger grandeurs scalaires et vectorielles est une source fréquente d'erreurs graves. Oublier
la èche du vecteur est loin d'être une faute anodine, en eet −→u + −→v = −→u + −→v .
1.1.3 Grandeurs scalaires
Une grandeur scalaire peut être représentée par un nombre unique.
Exemples de grandeurs scalaires : masse, temps, longueur, volume, indice de réfraction,
température, intensité électrique ...

Une grandeur scalaire peut être algébrique (appartient à R) ou non (appartient à R+
).
Remarque : Les grandeurs physiques sont généralement représentées par des lettres (alphabet
latin : 26 lettres et alphabet grec : 24 lettres). Or il existe plus de 50 grandeurs physiques. Il est
donc fréquent qu'une même lettre soit utilisée pour représenter plusieurs grandeurs physiques.
Il est donc indispensable lors de l'apprentissage de formules physiques de savoir à quelles gran-
deurs les symboles utilisés font référence (exemple : T peut être une période ou une température).
Les grandeurs scalaires sont très nombreuses, on peut les classer en deux grandes
familles : les grandeurs scalaires mesurables et non mesurables.
a) Grandeurs scalaires mesurables
Une grandeur scalaire est dite mesurable s'il est possible de dénir le rapport de cette
grandeur G avec une autre grandeur de référence U prise comme unité.
Le résultat de la mesure g de la grandeur G à l'aide de la référence U est le rapport :
g = G/U
La mesure g n'a de sens que si l'on précise l'unité U choisie.
Exemple : la longueur L des lignes de métro est au total de 32,05 km sur l'agglomé-
ration lyonnaise : L = 32,05 km. L est la grandeur, 32,05 est sa mesure dans
l'unité km .
Au sein des grandeurs scalaires mesurables, on peut distinguer les grandeurs extensives
et les grandeurs intensives. Considérons un système physique matériel homogène.
i- Grandeurs scalaires mesurables extensives
Les grandeurs scalaires mesurables extensives sont proportionnelles à la quantité de
matière du système.
Exemples : volume, masse, énergie cinétique, charge électrique, intensité d'une force,
résistance électrique...
ii- Grandeurs scalaires mesurables intensives
Les grandeurs scalaires mesurables intensives ne sont pas proportionnelles à la quantité
de matière du système et sont dénies en chaque point du système.
Exemples : masse volumique, température, pression, indice de réfraction...
Exemple : si l'on considère comme système l'eau d'une piscine, le volume est propor-
tionnel à la quantité de matière, donc il est extensif ; en revanche la température de l'eau
n'est pas proportionnelle à la quantité d'eau, donc elle est intensive.
Attention : une grandeur intensive ne peut pas être égale à une grandeur
extensive.
Exemple : PV = RT.
b) Grandeurs scalaires non mesurables
Une grandeur scalaire est dite non mesurable, s'il n'est pas possible de dénir un rapport
à une grandeur unité.

Il est simplement possible d'établir un classement. Les valeurs numériques qui peuvent
être associées à ce type de grandeurs ne sont alors que des repères par rapport à une échelle
de valeur et l'on peut établir des inégalités entre elles.
Exemples :
* dureté des matériaux solides
* intensité des tremblements de terre (échelle de Richter par exemple)
c) Grandeurs scalaires variables ou constantes universelles
Les grandeurs peuvent être variables, ce qui est le cas de la majorité d'entre elles ou
être des constantes universelles. Dans ce cas la grandeur mesurée est toujours la même (sa
valeur numérique dépend évidemment du système d'unités). Ces constantes universelles
interviennent dans les lois physiques. Il convient de ne pas les confondre avec de simples
coecients numériques, indépendants du système d'unité comme π par exemple.
Exemples :
*loi de la gravitation universelle :
−→
f = Gmm /r2
où G est la constante de gravita-
tion (G = 6.672 · 10−11
N · m2
· kg−2
dans le système SI)
*dans l'étude des gaz parfaits : PV = nRT, où R est la constante des gaz parfaits
(R = 8, 314 J · mol−1
K−1
dans le système SI)
* Force d'interaction électrostatique entre deux charges q et q' séparées d'une distance
r :
−→
f = | qq
4πε0r²
| où ε0 est la permittivité du vide.
1.2 Dimensions
1.2.1 Dénition
On rappelle que pour mesurer une grandeur, il faut la comparer à une autre grandeur
de référence prise comme unité.
Pour être comparables, deux grandeurs physiques doivent être de même nature . La
nature d'une grandeur physique est appelée dimension.
Exemple : on ne peut pas comparer une masse et une distance, en revanche on peut
comparer deux masses entre elles.
On note [G] la dimension de la grandeur G.
Comme on l'a vu précédemment, dans un modèle physique, les grandeurs physiques
sont liées entre elles par des lois. Ces lois se traduisent dans le formalisme du modèle par
des équations sur les grandeurs physiques. Ces relations lient en général des grandeurs de
dimensions diérentes et établissent ainsi des relations entre les dimensions.
Exemple : la vitesse v d'un point matériel en mouvement rectiligne et uniforme est
liée à la distance séparant deux points de sa trajectoire et au temps t que met le point
matériel pour parcourir la distance par la relation suivante : v = /t . On en déduit une
relation entre la dimension d'une vitesse, d'une longueur et d'un temps : [v] = [ ]/[t]
1.2.2 Choix des dimensions de base
On vient de voir dans l'exemple précédent qu'il est possible de trouver des relations
entre les dimensions des grandeurs physiques.

Au sein d'un système de dimensions, on choisit un sous-ensemble de dimensions indé-
pendantes entre elles, appelées dimensions de base ou fondamentales. Aucune de ces
dimensions de base ne peut s'exprimer en fonction des autres dimensions de base. On
appellera dimensions dérivées toutes les autres dimensions qui s'exprimeront en fonction
des dimensions de base.
Dans le système international (noté SI), le physicien admet 3 grandeurs fondamentales
indépendantes en mécanique : longueur, temps et masse. Dans le domaine de l'électricité,
est introduite l'intensité électrique. Trois autres grandeurs sont à prendre en compte : la
température pour la thermodynamique, l'intensité lumineuse pour la photométrie et la
quantité de matière pour la chimie.
Les sept dimensions choisies comme dimensions de base ou fondamentales du SI sont
présentées dans le Tableau :
Dimension de base Symbole de la dimension
Longueur L
Masse M
Temps T
Intensité électrique I
Température Θ
Quantité de matière N
Intensité lumineuse J
Tableau 1 : Les sept dimensions de base du système internationnal et leurs symboles
Remarque 1 : Les dimensions de base peuvent s'écrire uniquement par leurs symboles, sans
crochets, sauf s'il y a risque d'ambiguité.
Remarque 2 : Attention à ne pas confondre :
M est le symbole de la dimension masse et m est le symbole de l'unité de longueur
le mètre.
Veillez également à bien distinguer les symboles des dimensions temps T et tempé-
rature θ.
Remarque 3 : Une grandeur dont la dimension est égale à l'unité sera dite sans dimension
et notée par exemple [π]=1.
Remarque 4 : Un autre système pourrait être imaginé en choisissant d'autres grandeurs
fondamentales, mais dans toute la suite, on se conformera au SI.
Dans l'exemple précédent, la vitesse est une dimension dérivée, qui s'exprime en fonction
des dimensions de base que sont la longueur et le temps.
1.2.3 Equation aux dimensions et règles d'écriture
L'équation aux dimensions est l'équation liant la dimension d'une grandeur à celle des
grandeurs de base. Elle se présente comme le produit des grandeurs de base que sont L
(longueur), M (masse), T (temps), I (intensité lumineuse), Θ (température), N (quantité
de matière) et J (intensité lumineuse).
[G] = Lα
Mβ
Tγ
Iδ
Θε
Nζ
Jη

Pour trouver une équation aux dimensions il est nécessaire de connaître les lois phy-
siques liant les grandeurs entre elles.
Exemples :
Vitesse : [v] = [l]/[t] = L/T
Masse volumique : [ρ] = M/[V ] = M/L3
= ML−3
An d'écrire correctement une équation aux dimensions, il convient de respecter les
règles suivantes :
Règles d'écriture d'une équation aux dimensions :
* les deux termes d'une égalité ont la même dimension : (A = B ⇒ [A] = [B])
* les coecients numériques (du type π) sont sans dimension
* les angles sont sans dimension
* La dimension d'un produit (d'un quotient) est le produit (le quotient) des dimensions
([A · B] = [A] · [B] et [C/D] = [C]/[D])
* La dimension d'une puissance est la puissance des dimensions ([Ax
] = [A]x
)
* Tous les termes d'une somme ou d'une soustraction doivent avoir la même dimension
(A = B + C ⇒ [A] = [B] = [C])
*L'argument d'une fonction ln (), exp(), sin, cos, tan . . . doit être sans dimension
(ln(A) ⇒ [A] = 1)
Une conséquence importante de cette dernière règle est l'écriture correcte d'un logarithme
(exponentielle, sinus, cosinus ou tangente) : il convient d'écrire pour le logarithme d'une
grandeur G = gU (U étant l'unité de G), ln(G/U). Exemple le logarithme d'une tempé-
rature s'écrira ln(T/K) et celui d'une pression ln(P/Pa).
#
!
Exercice détaillé 1 : En utilisant la dénition de l'accélération, trouvez l'équation aux
dimensions d'une accélération.
−→a = d−→v /dt. Ce qui se traduit en terme de dimension : [a] = [v] · [t]−1
= [l] · [t]−2
= LT−2
5
4
2
3
Exercice détaillé 2 : En utilisant vos connaissances de mécanique, trouvez l'équation
aux dimensions d'une force.
La deuxième loi de Newton stipule :
−→
F = m−→a . Exploitons cette équation :
[F] = [m][a] = MLT−2
1.2.4 Intérêts de la notion de dimension
a) Vérication de l'homogénéité d'un résultat de calcul littéral
Dans une équation traduisant une loi physique, les deux membres de l'égalité doivent
impérativement avoir la même dimension (et ce quel que soit le système d'unités utilisé).
La formule est alors dite homogène.
Il est donc indispensable de vérier l'homogénéité des formules littérales obtenues lors
de calculs. Ceci permet de savoir si la formule est physiquement acceptable et de détecter
un grand nombre d'erreurs : si une formule n'est pas homogène, on est sûr qu'elle est
fausse !
Les fautes d'homogénéité sont des fautes graves, à éviter impérativement.
Il est donc indispensable de mener tout le raisonnement avec des expressions littérales et
de ne remplacer par les valeurs numériques qu'à la n, après avoir vérié l'homogénéité
de la formule obtenue.

Exemple 1 :
Pour un solide de masse m en translation, dont la vitesse passe de la valeur v1 à la
date t1, à la valeur v2 à la date t2, le travail des forces extérieures appliquées au solide
entre les dates t1 et t2 est (d'après le théorème de l'énergie cinétique) : W = mv2
2 − mv2
1
Le premier membre mesure un travail dont les dimensions peuvent se déduire du travail
élémentaire : δW =
−→
f ·
−→
d = f d cos α (grandeur scalaire) =⇒ [W] = [F]L = ML2
T−2
.
Le second membre est la diérence de deux termes (forcément de même dimension) dont
la dimension est : M[V 2
] = M(LT−1
)2
= ML2
T−2
On a bien vérié l'homogénéité de la
loi. On constate de plus, que la grandeur Travail a la même dimension que la grandeur
Energie Cinétique.
Exemple 2 :
Les formules suivantes ne sont pas homogènes et sont donc fausses :
* position d'un projectile :z(t) = 1/2g t2
+ v0 t + 1 (les trois termes de l'égalité n'ont
pas la même dimension) (même si x0 = 1 m !)
* Résistance équivalente : Req = (R1 + R2 R3)/R1
Exemple 3 : Dans la très grande majorité des cas, on n'a pas besoin d'utiliser les dimensions
de base pour vérier l'homogénéité d'une formule. Pour vérier que le produit RC est homo-
gène à un temps, il n'est pas nécessaire de connaitre les dimensions de R (résistance) et
de C (capacité d'un condensateur) en fonction des dimensions de base. Vous verrez lors
de la seconde partie du semestre que R = U
I
et que C = Q
U
avec U tension, I intensité et
Q charge électrique, telle que Q = I · T .
9
8
6
7
Exercice 1.1. : Dans des copies d'étudiants de l'INSA, ont été trouvés les résultats
suivants. Dire dans quels cas le correcteur peut mettre 0 directement, sans prendre la
peine de lire le raisonnement.
S = +L2
h
; r = (r1 r2 r3)/(r1 + r2 + r3) ; V = 2πRh ; F = 1
2
ρSv ; v = gλ
2π
; h(t) =
1/2gt2
+ vt + 1 ; t = 2π
√
(l/g)
Avec : S : surface ; , L, h, R, λ : longueurs ; V : volume ; F : force ; ρ : masse volumique ;
v : vitesse ; g : accélération, t : temps, i : intensité, u : tension ; r, r1, r2, r3 : résistances.
b) Vérication de la forme d'une formule
Il arrive que l'on hésite sur la forme exacte d'une formule. Dans ce cas l'analyse di-
mensionnelle est un outil puissant pour trancher entre deux équations comme le montre
l'exemple suivant.
9
8
6
7
Exercice détaillé : Un enseignant n'arrive plus à se rappeler la formule donnant la période
des oscillations d'un pendule simple de longueur , de masse m, sans frottement et dans
l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude.
Est-ce T = 2π /g ou T = 2π g/ ?
Faisons une analyse dimensionnelle des deux formules :[ /g] = L/(L.T−2
)1/2
= T et
[ g/ ] = (L.T−2
/L)1/2
= T−1
) L'expression correcte est donc T = 2π /g.
c) Dimension d'une constante universelle
Dénies au paragraphe 1.1.3, les constantes universelles sont des grandeurs physiques
dimensionnées. L'analyse dimensionnelle permet de connaître leur dimension.

Exemple : la loi de l'attraction universelle donnée par la formule de Newton,
−→
f =
Gmm /r2
=⇒ MLT−2
= [G]M2
L−2
=⇒ [G] = M−1
L3
T−2
. La valeur de la constante
universelle G dépend donc du choix des unités.
d) Changement de systèmes d'unités
Lors d'un changement de système d'unités, l'analyse dimensionnelle peut être d'une
grande aide, comme cela sera développé au paragraphe 1.3.6.
1.3 Unités
1.3.1 Intérêt
Pourquoi est-il si important pour un ingénieur de connaître les unités du système in-
ternationnal et d'être capable de réaliser sans erreur et facilement des conversions d'unités
entre diérents systèmes ?
La réponse à cette question peut se trouver dans l'exemple onéreux de la sonde Mars
Climate Orbiter qui s'est écrasée lors de son entrée en orbite dans l'atmosphère de Mars
le 23 septembre 1999. Après enquête, il s'est avéré que la cause de la perte d'environ 600
millions de dollars résidait dans des problèmes de conversion d'unités : certains instru-
ments de guidage étant programmés pour utiliser des mesures en système internationnal
d'unités, d'autres des mesures anglo-saxonnes. . .
Figure 1.2 Sonde Mars Orbiter (credit photo NASA / JPL)
Ou dans l'exemple du planneur de Gimli : un boeing 767 d'Air Canada contraint de se
poser en catastrophe, tout moteur arrêté, sur une piste désaectée. . . faute de carburant !
Il y avait eu erreur de conversion entre la masse et le volume de carburant nécessaire pour
le trajet, cf exercice 6.
Pour en savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Planeur_de_Gimli 2.
1.3.2 Historique
L'homme a très tôt souhaité mesurer le monde qui l'entoure, mais il faut attendre le
XVIIIème siècle pour voir apparaître un système de mesure unié. Auparavant le nombre
d'unités de mesures était énorme : en 1795 plus de 700 unités de mesures coexistaient en
France. Pour une même grandeur, plusieurs types d'unités existaient selon le produit à
mesurer.

Exemple pour des mesures de volumes dans le domaine agricole : mines de céréales,
queues de vin, mirres d'huile, panses de farine...
Les unités de longueur dérivaient des mensurations du corps humain (pied, coudée,
pouce. . .). Et même pour des unités de même nom, leur dénition variait d'une région
et d'une époque à une autre (la livre variait par exemple entre 300 et 850 g !). Cette
multiplication des unités et les dicultés de conversion entre elles étaient un frein au
développement du commerce (erreurs et fraudes) et des sciences.
Une unication des unités était nécessaire. Il faut attendre la Révolution Française
et une loi de 1795 qui fait suite aux travaux d'une commission pour voir apparaître le
premier système métrique décimal pour toute la République, avec en particulier le mètre
comme unité de longueur et le gramme comme unité de masse.
Le système utilisé actuellement et dit système international fut adopté lors de la
11ème conférence générale des poids et mesure en 1960. Il continue à évoluer au fur et à
mesure des progrès de la science.
1.3.3 Choix des unités
On rappelle que mesurer une grandeur c'est la comparer à une autre grandeur de même
nature choisie comme unité.
Le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dénit ainsi l'unité de mesure :
L'unité de mesure est une grandeur scalaire réelle, dénie et adoptée par convention, à
laquelle on peut comparer toute autre grandeur de même nature pour exprimer le rapport
des deux grandeurs sous la forme d'un nombre.
Comme indiqué précédemment, toutes les dimensions peuvent s'exprimer comme le
produit de puissances des dimensions de base. Il en sera de même pour les unités. Il
convient donc de choisir avec soin les dispositifs ou protocoles qui permettent de dénir
les unités de base d'un système.
Les unités doivent avoir les qualités suivantes : être pérennes (stables dans le temps),
être universelles, être uniformes, être reproductibles, avoir la plus grande exactitude pos-
sible, suivre les progrès scientiques.
Les progrès de la métrologie (science de la mesure) ont amené à des dénitions des
unités fondamentales reposant sur des expériences de précision toujours plus grandes.
L'évolution de la dénition du mètre est, à ce point de vue, intéressante : on est passé
d'une dénition liée à la longueur du méridien terrestre en 1795 à une dénition basée sur
la propagation de la lumière dans le vide avec une constante c de vitesse de la lumière de
valeur xée, en 1983. On s'eorce actuellement de faire reposer les dénitions des unités
sur des expériences de physique fondamentale et sur l'expression de lois physiques en
xant la valeur numérique en SI d'une constante fondamentale.
La métrologie est donc une science en évolution permanente.
Si nous voulons des unités de longueur, de temps et de masse qui soient absolument
permanentes, nous ne devons pas les chercher dans les dimensions ou le mouvement ou
la masse de notre planète, mais dans la longueur d'onde, la période des vibrations et la
masse de ces molécules impérissables, inaltérables et parfaitement identiques. (Maxwell,
1870)

1.3.4 Système international (SI)
a. Unités fondamentales
Comme nous l'avons vu (paragraphe 1.2.2) l'ensemble des grandeurs physiques peut
s'exprimer en fonction des 7 grandeurs de base indépendantes choisies par le système
international. Aux 7 dimensions de base sont associées 7 unités fondamentales.
Le Tableau 2 présente les 7 unités de base du système international.
Dimension Symbole de la dimension Unité associée en SI Symbole de l'unité
Longueur L mètre m
Masse M kilogramme kg
Temps T seconde s
Intensité électrique I ampère A
Température Θ kelvin K
Quantité de matière N nombre de mole mol
Intensité lumineuse J candela cd
Tableau 2 : les dimensions fondamentales et les unités SI associées
Les dénitions des diérentes unités sont présentées ci-dessous :
Le mètre (symbole m) est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant
une durée de 1/299 792 458 de seconde. Il en résulte que la vitesse de la lumière dans le
vide c est égale à 299 792 458 m.s−1 exactement (constante universelle). La précision du
mètre est de l'ordre de 10−11 m.
Le kilogramme (symbole kg) est égal à la masse du prototype international du kilogramme.
Il s'agit d'un bloc de platine iridié conservé au Bureau International des Poids et Mesure
à Sèvres, près de Paris depuis 1889. C'est la seule unité qui est encore actuellement dénie
par un étalon, ce qui pose des problèmes de stabilité (dépôt de polluant par exemple).
La précision est de l'ordre de 10−8 kg autour de 1 kg. Des recherches sont actuellement
menées pour faire évoluer la dénition du kilogramme.
Figure 1.3 prototype international du kilogramme (BIPM)
La seconde (symbole s) est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant
à la transition entre les deux niveaux hyperns de l'état fondamental de l'atome de césium
133. Sa précision est de l'ordre de 10−13s.

L'ampère (symbole A) est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux
conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur innie, de section circulaire négligeables
et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces
conducteurs une force égale à 2 · 10−7 newton par mètre de longueur.
Le kelvin (symbole K) est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du
point triple de l'eau.
La mole (symbole mol) est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités
élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kg de carbone 12.
Le candela (symbole cd) est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source
qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 1012 Hz et dont l'intensité
énergétique dans cette direction est 1/683 watt par steradian.
b. Conventions d'écriture, multiples et sous-multiples
Les noms d'unité sont grammaticalement des noms communs qui prennent la marque
du pluriel à partir de 2 unités et une lettre initiale minuscule (même si elles sont constituées
par des noms de savants). Par contre les symboles d'unité ne prennent jamais la marque
du pluriel. Le symbole d'une unité dont le nom dérive du nom d'un savant exige une
majuscule (ex : unité ampère, symbole A).
Pour former les multiples ou les sous-multiples décimaux d'une unité on utilise des
préxes et des symboles placés devant le nom ou le symbole de l'unité.
Sous-multiples - Multiples
Préxe femto- pico- nano- micro- mili- centi- deci- - déca- hecto- kilo- méga- giga- téra
Symbole f p n µ m c d - da h k M G T
Facteur 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012
Tableau 3 : Multiples et sous-multiples et leurs préxes SI

Exercice 1.2. : Laquelle de ses longueurs est la plus grande ? (a) 104
cm, (b) 104
mm,
(c) 106
µm, (d) 109
nm, (e) aucune
L'ångström ( ˚A) est un sous-multiple du mètre qui porte un nom : unité de longueur
(1 ˚A=10−10
m) utilisée dans le domaine de la cristallographie des rayons X et de la chimie
structurale car la longueur des liaisons chimiques se situe entre 1 et 3 ˚A.
c) Unités dérivées
Toutes les dimensions autres que les 7 dimensions fondamentales sont des dimensions
dérivées et s'expriment au moyen d'unités dérivées. Ces unités dérivées sont des produits
de puissances des unités de base.
Certaines unités dérivées très utilisées ont reçu un nom spécial.
On peut citer parmi les plus utilisées :
En mécanique :
le newton (N = kg·m·s−2
), unité de force qui correspond à la force communi-
quant une accélération de 1 m.s−2
à une masse de 1 kg.
le joule (J = kg·m2
·s−2
), unité de travail qui correspondant à un travail eectué
par une force de 1N déplaçant dans sa direction son point d'application d'une
distance de 1 m.

le watt (W = kgcdot m²·s−3
), unité de puissance, qui correspond à une énergie
de 1 J fournie pendant une seconde. A ne pas confondre avec le watt-heure
(Wh), unité d'énergie, qui est l'énergie fournie en 1 h par un appareil dont la
puissance constante est de 1 W, donc 1 Wh = 3600 J.
le pascal, (Pa = kg·m−1
·s−2
) unité de pression, qui est la pression uniforme
qui, agissant sur une surface plane de 1 m², exerce perpendiculairement à cette
surface une force de 1 N.
le hertz (Hz = s−1
), unité de fréquence.
En électricité :
le volt (V =m2
·kg·s−3
·A−1
) unité de diérence de potentiel électrique
l'ohm (Ω =m2
·kg·s−3
·A−2
), unité de résistance électrique
le coulomb (C = s · A), unité de charge électrique
9
8
6
7
Exercice 1.3. : On peut dénir la pression comme le rapport entre une force et une
surface.
a) Donnez l'équation aux dimensions de la pression dans un système admettant comme
grandeurs fondamentales : la longueur, la masse et le temps.
b) Donner quelques dénominations possibles de l'unité correspondant à cette grandeur
dans le système SI.
5
4
2
3
Exercice 1.4. : L'indice n d'un verre est déni par : n = c/v, où c est la vitesse de la
lumière dans le vide et v la valeur de cette vitesse dans le verre.
a) Quelle est la dimension de n ?
b) En quelle unité s'exprime n dans le système SI ?
c) L'indice est-il une grandeur intensive ou une grandeur extensive ?
1.3.5 Autres systèmes d'unités et angles
Il existe d'autres systèmes d'unités qui sont peu à peu abandonnés. On peut en par-
ticulier citer les systèmes CGS (centimètre, gramme, seconde) et MTS (mètre, tonne,
seconde) et le BIS (British Imperial System, constitué en particulier de la livre (pound,
symbole b, 1 b = 453,6 g) et du pouce (inch, symbole in, 1 in = 25,4 mm)).
Signalons ici un certain nombre d'unités pratiques qui ne font plus partie du langage
normalisé, mais qui sont utilisées dans le langage courant ou dans certains domaines de
la physique :
le bar et l'atmosphère (respectivement bar et atm), unités de pression : 1 bar =
1 015 Pa et 1 atm = 101 325 Pa
l'électron-volt (eV) unité d'énergie employée en physique, qui est l'énergie acquise
par un électron accéléré sous une diérence de potentiel de 1 V : 1 eV ≈ 1,602
x10
-19 J
la calorie (cal) est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 °C la température
de 1g d'eau à la température de 15 °C sous la pression atmosphérique normale (101
325 Pa) (1 cal = 4,185 5 J).
Unités d'angles :
Les angles du plan, formés par deux demi-droites ayant la même origine O, expriment la
diérence de direction entre ces deux demi-droites. La mesure d'un angle en unités S.I.
est exprimée, considérant un cercle de centre O, par le rapport de la longueur de l'arc
de cercle délimité par les deux demi-droites et de la longueur du rayon R de ce cercle :

α = l/R. On voit que par dénition, l'angle est sans dimension. Bien que sans dimension,
on dénit des unités d'angles.
L'unité dans le système SI est le radian (rad), telle que l'angle plat (formé par deux
demi-droites ayant même support) vaut π radians. C'est la seule unité d'angle qui
découle de la dénition de l'angle plan et a un sens physique.
Un angle est également souvent exprimé en degrés (
◦
). Le degré est une unité
résultant d'une convention : l'angle plat vaut 180◦
. Les sous multiples du degré sont : la
minute ( ' ) et la seconde ( ). Les correspondances sont : 2π rad = 180◦
avec : 1◦
= 60' ;
1' = 60 ou 1◦
= 3600.
1.3.6 Conversion entre systèmes d'unités
Comme indiqué dans les exemples introductifs (paragraphe 1) il est primordial d'être
capable de faire rapidement et sans erreur des conversions d'unités des plus simples au
plus complexes.
a) Cas le plus simple : conversion d'une unité fondamentale :
Dans ce cas on connait le rapport entre l'unité fondamentale SI (notée U) et l'autre
unité (notée U') U/U'.
Exemple : la masse d'un ballon de basket est d'environ 21 onces (1 once = 28,35 g).
D'où m = 21 once = 21.28,35 g = 593,35 g =0.59335 · 103
g§
¦
¤
¥
Exercice 1.5. : convertissez l'énergie E = 22 · 10−19
J en eV

Exercice 1.6. : Le football américain se joue sur un terrain de 100 yd de long (yd : yard
avec 1 yd = 3 feet et 1 m = 3,281 feet), hors zone du fond. Quelle est la longueur du
terrain en mètre ?
b) Cas plus complexe : unités dérivées :
1er cas : l'unité dérivée est exprimée en fonction des puissances des unités de bases.
Dans ce cas, pour éviter les erreurs, il convient de remplacer dans une parenthèse chaque
unité de base an de ne pas oublier les puissances !
Exemple : Convertir la vitesse v = 10km · h−1
en ms−1
.
v = 10kmh−1
= 10(103
m)(3600s)−1
= 10 × 103
× 3600−1
ms−1
= 2, 8ms−1

Exercice 1.7. : convertissez la masse volumique d'un acier ρ = 0,0078 tonne L−1
en
unités SI.
1
0
(
)
Exercice 1.8. : Une rivière a un débit de 3,6 m3
/h ; cela représente combien de litres par
seconde ?
Une voiture se déplace à 10 m/s, sur une route limitée à 90 km/h ; quelle est sa vitesse
en km/h ? L'automobiliste est-il en excès de vitesse ?
2nd cas : l'unité dérivée n'est pas exprimée en fonction du produit des puissances des
unités de bases. C'est en général le cas lorsque l'on a une unité dérivée portant un nom
consacré. Il faut alors faire une analyse dimensionnelle de la grandeur physique an de
connaître le produit des puissances des unités de base et revenir ainsi au cas précédent.
Exemple : Dans le système CGS, l'unité de force est la dyne, convertir la valeur de la
force F = 2 dyne en Newton.
Analyse dimensionnelle de la force : [F] = MLT−2

Donc pour les unités on a : 1dyne =1g · cm · s−2
et 1N = 1kg · m · s−2
Ce qui amène :
F = 2dyn = 2g · cm · s−2
= 2(10−3
kg) · (10−2
m) · s−2
= 2 · 10−5
kg · m · s−2
= 2.10−5
N
#
!
Exercice 1.9. : La force d'attraction universelle s'exprime par la formule suivante :
−→
f = mm
νr2 Sachant que ν vaut 1, 5 · 1015
dans le système SI, quelle est sa valeur dans le
système cgs (centimètre, gramme, seconde) ?
9
8
6
7
Exercice 1.10. : A la surface d'un liquide, les vibrations transversales de faible longueur
d'onde λ se propagent à une vitesse V mesurée par : V = gλ
2π
+ A
ρ
2π
λ
avec :
g : accélération de la pesanteur ρ : masse volumique du liquide A : tension supercielle
du liquide.
Donner l'équation aux dimensions de A. Montrer que dans le système SI, cette grandeur
peut s'exprimer en J · m−2
.
1.4 Calculs numériques
Aussi bien dans les exercices de TD que dans les problèmes que vous rencontrerez en
tant qu'ingénieur, après avoir déterminé l'expression littérale d'une grandeur, vous serez
amenés à faire des calculs pour proposer une valeur numérique.
1.4.1 Chires signicatifs
Lors d'un calcul, une calculette renvoie un résultat avec un grand nombre de chires
achés. Or tous ces chires n'ont pas tous une signication physique et ne doivent pas
forcément être conservés dans l'écriture du résultat. (cf RAMES)
Les chires signicatifs sont tous les chires d'un résultat numérique autres que les zéros
précédant le premier chire diérent de zéro. Le nombre de chires signicatifs reste le
même quelle que soit l'unité choisie.
Exemple : m = 0,050 027 30 kg, ou m = 50,027 30 g, comportent 7 chires signicatifs.
Le premier chire signicatif est le 5.
Comme son nom l'indique, un chire signicatif est un chire qui doit signier quelque
chose. Par exemple si le rayon d'un cercle vaut R = 20cm, lorsqu'on écrit le périmètre
P = 2πR = 1, 256637061m, la plupart de ces chires ne veulent rien dire, les seuls chires
qui ont du sens sont les premiers, on écrit donc : P = 1, 3m.
1.4.2 Calcul d'ordre de grandeur
Par ailleurs il est toujours intéressant d'être capable de faire de tête des calculs d'ordre
de grandeur. D'une part, cela permet de se faire une idée rapide du résultat attendu.
D'autre part, cela permet d'avoir un regard critique sur le résultat trouvé à la calculette
par la suite si nécessaire et de détecter des erreurs de frappe.
Lors de calculs, on commencera donc par rassembler les puissances de 10 entre elles
et par obtenir ainsi la puissance de 10 nale. Ensuite on s'occupera des autres nombres
en arrondissant si nécessaire.
Exemple : quel est l'ordre de grandeur du volume d'un cylindre de diamètre 6,5 cm et
de hauteur 1,7 dm ? L'expression littérale du volume est : V = πR2
h, avec R rayon du
cylindre et h sa hauteur. Soit en remplaçant par les valeurs numériques en mètres :
V = 3, 14 · (3, 25 · 10−2
)2
· 1, 7x
10−1
. V ≈ 3 · 9 · 2 · 10−5
m3
≈ 54 · 10−5
m3
= 54x
10−2
L =
54cL.

C'est le bon ordre de grandeur : il s'agissait des dimensions de la partie cylindrique
d'une bouteille d'eau de 50 cL. La calculette indique : 56 · 10−5
m3
.
1.5 Eléments de correction des exercices de niveau
1
Application1 :
S : 0 Faux : on ajoute une longueur et une surface
V : 0 Faux : on compare un volume et une surface
F : 0 Faux ; F a pour dimension MLT−2
alors que ρSv a pour dimension MT−1
v : Possible (même équation aux dimensions)
r : 0 Faux, r homogène à une résistance au carré
h : 0 Faux car gt2
et vt sont bien des longueurs, mais pas le nombre sans dimension
1
t est possible
Application2 : 104
cm
Application3 : [P] = ML−1
T−2
. unités possibles :kg · m−1
s−2
, N · m−2
. . .
Application4 : [n] = 1, sans unité, grandeur intensive
Application5 : E ≈ 14eV
Application6 : L = 91, 4m
Application7 : ρ = 7, 8 · 103kgm − 3
Application8 : débit : 1L · s−1
; vitesse : 36km · h−1
; non
Application9 : v = 1, 5 · 1012
unités cgs
Application10 : [A] = M.T−2

1.6 EXERCICES de TD
Exercice 1 Unités et dimensions de grandeurs mécaniques.
La ténacité d'un matériau s'exprime par : Kc =
√
EGc où Gc est l'énergie de rupture,
qui est une énergie par unité de surface. E est le module élastique du matériau qui
représente une force par unité de surface.
1. Donner l'équation aux dimensions de Kc, en fonction de M, L et T.
2. Kc peut-il s'exprimer en :
(a) N · m−3/2
(b) Pa · m1/2
(c) J · m1/2
(d) N · m−1/2
Dans chacun des cas, justier votre réponse.
3. Kc a pour valeur 2 · 106
dans le système SI. Quelle est sa valeur dans le système
anglo-saxon, sachant que les anglais utilisent des unités particulières pour les masses
et les longueurs : la livre anglaise (pound, symbole lb) qui vaut 453,6 g. le pouce
anglais (inch, symbole in ) qui vaut 25,40 mm. Critiquez cet énoncé.
Exercice 2 Dimensions des grandeurs électriques usuelles.
Compléter le tableau ci-dessous :
GRANDEUR Formule de dénition Dimension Unité
Charge : Q Q = I.t
Densité surfacique : σ σ = Q
S
Champ électrique : E
−→
F = QE
Tension : U U = E
Résistance : R U = RI
Résistivité : ρ R = ρ
S
Capacité : C Q = CU
Coecient d'auto induction : L U = LdI
dt
Exercice 3 Unités de grandeurs thermiques
Lorsqu'un faisceau laser arrive sur la surface d'un solide, celui s'échaue. C'est ainsi
par exemple que l'on peut réaliser une opération de soudage par laser en déplaçant
des pièces à une certaine vitesse V sous le faisceau laser. Une modélisation thermique
permet de montrer qu'à une profondeur Z sous la surface, la température θ atteinte
est reliée aux caractéristiques du faisceau laser et du solide par la formule suivante :
Z =
4
π
√
ατ ln(
θV 1/2
πr
3/2
o k
α1/2βPo
) avec :
Po : puissance moyenne fournie par la source laser
β : coecient d'absorption (sans dimension)
α : diusivité thermique k : conductivité thermique
V : vitesse de déplacement de la pièce

ro : rayon ecace du faisceau laser
τ : temps d'interaction
θ : température à la profondeur Z.
1. Dans un système L, M, T, Θ (température), donner les équations aux dimensions
de α et de k.
2. Montrer que la relation : α = k/(ρc) est cohérente du point de vue des dimensions ; ρ
désigne la masse volumique du matériau considéré et c sa chaleur spécique (fournie
par des expériences de calorimétrie. Elle correspond à l'énergie nécessaire pour élever
de 1◦
la température d'1 kg de matériau).
3. Montrer que dans le système SI, α et k peuvent s'exprimer, respectivement, en m2
/s
et en W · m−1
· K−1
.
Exercice 4 Masse volumique de l'eau. Unités anglo-saxonnes
Les Anglais utilisent des unités particulières, notamment :
la livre anglaise (pound, symbole b) qui vaut 453,6 g
le pouce anglais (inch, symbole in) qui vaut 25,40 mm.
Calculer la masse volumique de l'eau (à 4 °C) dans un système qui admet ces unités ( b et
in) comme unités fondamentales, sachant par ailleurs que ρ = 1 g/cm3
. Critiquer l'énoncé
de l'exercice (chires signicatifs).
Exercice 5 Changement de système d'unités : longueur, masse,
énergie
Un système (S) d'unités géométriques et mécaniques, où toutes les relations de dépen-
dance ont la même forme que dans le système SI, admet comme unités de base :
le kilomètre : unité de longueur
le quintal (1 q = 100 kg) : unité de masse
le watt-heure : unité de travail ou d'énergie
1. Donner une dénition précise de l'unité de vitesse de ce système. Quelle est la valeur
en m/s de cette unité (S) de vitesse ?
2. Ecrire l'équation aux dimensions (de la forme P = Lα
Mβ
Wγ
) d'une pression pour
des systèmes de même type que (S). Utiliser cette équation pour trouver la valeur de
P, en unités de pression du système (S), de l'atmosphère (ou pression atmosphérique
normale, 1 atm = 101 325 Pa).
Exercice 6 Planeur de Gimli
Il fallait 22 300 kg de fuel pour faire le trajet prévu. Il restait 7 682 L dans les
réservoirs. L'équipe de pilotage a calculé qu'il fallait rajouter 4 916 L. Quelle erreur ont-
ils commise ? Quel volume de carburant manquait-il dans l'avion ? (masse volumique du
fuel : 0,800 kg/L =1,77 livres/L).

Chapitre 2
Mesures et incertitudes
A la n de ce chapitre vous devrez être capables de :
Connaître les dénitions d'erreur et d'incertitude, absolue, relative
Connaître le lien entre écart-type et incertitude
Déterminer les diérentes sources d'erreurs d'une mesure directe et les estimer
Savoir calculer une moyenne, un écart-type et une incertitude-type sur une série de
mesures
Calculer l'incertitude sur une mesure indirecte par encadrement
Savoir présenter un résultat (chires signicatifs, incertitude, graphes) et le confron-
ter à un modèle théorique ou à d'autres mesures.
Pour proter pleinement de cet apprentissage, vous devez déjà être capable de :
Avoir des notions de base de statistique (moyenne, écart-type)
Maîtriser les calculs d'inégalités
2.1 Mesures
2.1.1 Dénition
On rappelle ici la dénition de la mesure donnée au chapitre 1 :
Mesurer une grandeur, c'est faire un rapport de cette grandeur à une autre de même
nature, choisie comme unité et appelée étalon.
On appellera mesurage l'ensemble des opérations ayant pour but de déterminer la valeur
d'une grandeur ou plus précisément une valeur approchée de cette grandeur.
Le mesurande est la grandeur particulière, soumise à un mesurage.
Mesurer une grandeur, c'est donc s'eorcer de déterminer la valeur numérique d'une
grandeur physique.
Il existe deux types de mesurages et donc de mesures : directes ou indirectes.
2.1.2 Mesures directes/indirectes
a) Mesures directes
Le mesurage est dit direct si la comparaison entre la grandeur à étudier et la grandeur
choisie comme unité est possible grâce à un instrument de mesurage (ou appareil de
mesure).
soit en comparant la grandeur elle-même avec un étalon
24

CHAPITRE 2. MESURES ET INCERTITUDES 25
soit en comparant des eets mesurables des deux grandeurs de même espèce : ainsi
la comparaison des forces peut être ramenée à la comparaison des déformations d'un
ressort (dynamomètre), la comparaison des masses à celle des poids correspondants
en un même lieu, la comparaison de températures à celle de volumes d'une colonne
de mercure.
Exemple : Mesure d'une longueur avec un mètre, d'un temps avec un chronomètre
b) Mesures indirectes
Si la comparaison de la grandeur avec l'unité est dicile, peu précise ou impossible,
le mesurage est dit indirect.
Exemples : aires, volumes, vitesses, travaux, etc.
La mesure de la grandeur G étudiée est supposée reliée aux mesures de grandeurs
auxiliaires directement mesurables ; A, B, . . ., par une loi physique ou mathématique
traduite par une formule appelée relation de dépendance.
La mesure de m est alors calculée à l'aide de cette formule et des résultats des mesu-
rages directs des grandeurs auxiliaires.
Exemple : R = U/I. La mesure d'une résistance peut être réalisée par la mesure du
courant I qui la traverse et par la mesure de la diérence de potentiel U entre ses bornes.
Certaines mesures nécessitent l'exploitation d'un ensemble de résultats, c'est à dire
d'une courbe tracée à partir de plusieurs couples de points de mesure.
Exemple : le courant de charge d'un condensateur est de la forme : I = I0(1 −
exp(−t/τ)). La constante de temps τ est déterminée à partir de la courbe I = f(t),
obtenue à partir de plusieurs couples de valeurs (I; t).
2.2 Dénition : erreurs et incertitudes
La valeur exacte (ou valeur vraie) de la grandeur mesurée est considérée comme unique.
C'est celle que l'on obtiendrait par un mesurage parfait. En pratique, elle est impossible à
connaître. L'approche incertitude consiste à reconnaître que l'on ne peut pas détermi-
ner de manière exacte et certaine l'unique valeur vraie, mais plutôt que l'on peut fournir un
ensemble de valeurs expérimentales, compatible avec la dénition du mesurande. Lorsque
l'on indique le résutat d'un mesurage, il est primordial de donner des informations sur la
qualité de ce résultat, an de pouvoir le comparer à d'autres résultats ou à des valeurs de
référence. Cela consiste à estimer l'incertitude du résultat. Pour cela, il faut déterminer
les diérentes sources d'erreurs. C'est une étape extrêmement importante d'une mesure
qui met en jeu la compréhension à la fois de la nature de la grandeur à mesurer et de la
méthode de mesurage, l'analyse critique de la mise en ÷uvre du mesurage et l'honnêteté
de l'expérimentateur. Ce n'est pas une simple opération mathématique, mais le reet de
la réexion critique de l'expérimentateur.
2.2.1 Dénition erreur
Les mesures des grandeurs physiques sont des valeurs numériques toujours entachées
d'une erreur. Ce sont des valeurs approchées de la valeur vraie qui elle est inconnue.
Erreur = valeur mesurée valeur vraie
Soit une grandeur G de valeur vraie g (inconnue) et soit m le résultat de la mesure de
G.

L'erreur absolue δg de la valeur g est telle que : δg = m − g . L'erreur est la diérence
entre la valeur mesurée m et la valeur vraie g inconnue.
L'erreur relative sur la valeur g est le rapport
δg
g
, quantité sans dimension qui peut
être exprimée en %. δg et
δg
g
sont, comme g, des quantités inconnues.
2.2.2 Origine des erreurs
An d'estimer l'erreur d'une mesure m, il est nécessaire de connaître toutes les causes
pouvant introduire des erreurs :
-Matière : La grandeur elle-même peut être mal dénie, ou uctuer.
Exemple : décroissance radioactive, caractère discontinu de l'électricité, de la lu-
mière, contours d'une image optique toujours un peu ous à cause des aberrations
et de la nature ondulatoire de la lumière (diraction).
-Méthode : L'appareil de mesure peut interagir avec la grandeur à mesurer, et la mo-
dier, de sorte que le résultat du mesurage ne reète pas la valeur de la grandeur
initiale, mais la valeur de la grandeur modiée. Il y a donc une erreur due au mode
opératoire utilisé.
-Moyens : L'appareil lui-même n'est pas parfait et donne toujours un résultat avec une
incertitude intrinsèque, liée à la qualité de l'appareil.
-Main-d'÷uvre : L'expérimentateur lui aussi peut être à la source d'erreurs acciden-
telles.
Exemple : acuité visuelle, rapidité de lecture, réexes ...
-Milieu : Enn les conditions environnementales peuvent évoluer.
Exemple : inuence de la pression, de la température, de l'humidité, des vibrations,
des champs magnétiques...
Astuce mnémotechnnique : les 5 M des origines d'erreurs (Matière, Méthode, Moyens,
Main d'÷uvre et Milieu), peuvent vous aider à trouver toutes les sources d'erreurs lors
d'une mesure.
Remarque : Lorsqu'on demande de lister les sources d'erreur d'une mesure, on attend
de l'expérimentateur, qu'il explique, concrètement, parmi ces 5 origines possibles, ce qui
induit une erreur dans sa mesure. La mesure à la règle n'est pas ainsi une réponse
pertinente à la question pour une mesure de longueur ! On attendrait plutôt par exemple :
appréciation de la position de la graduation, appréciation des contours de la forme à
mesurer, positionnement correct de la règle (erreur de parallaxe)...
On distingue deux types d'erreurs : les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles
(dites erreurs aléatoires ou erreurs statistiques).
a) Erreur systématique
Elle est due essentiellement à l'appareil (ou à la chaîne de mesure) ou à la méthode
de mesurage (Méthode, Moyen et Main d'÷uvre).
L'erreur systématique est la composante de l'erreur de mesure, qui dans des mesurages
répétés, demeure constante ou varie de façon prévisible.
On appelle biais de mesure l'estimation d'une erreur systématique.
Ces erreurs peuvent être souvent minimisées par le choix des appareils, de la méthode
de mesurage et par le soin apporté à la mesure.

La mesure m obtenue, entachée de ces erreurs systématiques, est une valeur soit par
excès, soit par défaut et toujours dans le même sens ; l'erreur peut parfois être estimée en
grandeur et en signe.
Pour réduire l'erreur systématique, il conviendra d'apporter si possible une correction
au résultat de mesure.
i. La méthode de mesurage (Méthode)
La méthode de mesurage (ou le protocole de l'opération de mesurage) porte sur le choix
d'un dispositif (instrument ou chaîne de mesure) adapté et sur l'utilisation correcte de
ce dispositif. En eet, tout appareil ou capteur, introduit dans un système pour eectuer
une mesure, le modie. La méthode doit donc faire en sorte que la perturbation dans le
système soit la plus réduite possible.
Exemples :
Un ampèremètre placé dans un montage électrique pour mesurer un courant modie la
résistance du circuit donc l'intensité à mesurer (Cf TP1) ;
Un capteur de pression utilisé pour mesurer la pression d'un gaz dans une enceinte
modie le volume du gaz donc la pression.
La résistance de l'ampèremètre doit donc être susamment faible pour ne pas mo-
dier de façon sensible le courant, et le volume du capteur doit être négligeable devant
celui de l'enceinte.
Si les appareils dont on dispose ne sont pas adaptés, il faut envisager d'autres méthodes,
ou d'autres appareils, pour eectuer ces mesures.
ii. Les erreurs liées à l'instrument (Moyen)
Elles portent sur :
La résolution de l'appareil correspond à la plus petite variation décelable avec certitude.
La justesse : un instrument est d'autant plus juste que la moyenne des indications qu'il
donne est plus voisine de la valeur vraie.
Pour réduire les erreurs systématiques il faut donc un appareil le plus juste possible :
L'étalonnage (dont le réglage du zéro) de l'instrument doivent être corrects.
Exemple : Un mauvais réglage du zéro d'un appareil à aiguille induit une erreur sys-
tématique.
L'appareil ne doit pas avoir de dérive.
L'appareil ne doit pas avoir d'hystérésis, c'est à dire ne doit pas dépendre des états
antérieurs de l'instrument (déformation des matériaux, encrassement des ressorts, jeux
dans les liaisons, etc).
iii. Les erreurs liées à l'opérateur (Main d'÷uvre)
Exemple : l'opérateur ne place pas la burette à hauteur de ses yeux pour mesurer un
volume.
b) Erreur aléatoire
Les 5 causes (les 5M) détaillées au paragraphe 2.2.2 peuvent intervenir pour ce type
d'erreurs. Les résultats des mesures sont dispersés de façon aléatoire autour de la valeur
la plus probable de la grandeur. L'erreur aléatoire est la composante de l'erreur qui, dans
des mesurages répétés, varie de façon imprévisible.
Ces erreurs sont dites aléatoires, car diérentes déterminations de la grandeur don-
neront généralement des valeurs variables réparties au hasard selon une certaine loi de

probabilité. Intervient ici la délité de l'appareil : pour une même valeur g de la grandeur
l'instrument doit donner des valeurs très voisines (si possible identiques).
On illustre généralement les notions d'erreurs systématiques et aléatoires par des tirs dans
une cible (gure 2.1), dont le centre grisé représente la valeur vraie et les points les ré-
sultats d'une série de mesures : les erreurs aléatoires rendent la mesure non dèle et les
erreurs systématiques rendent la mesure non juste.
Figure 2.1 Cibles avec points représentant les résultats d'une série de mesures
Il faut garder à l'esprit qu'en physique, on ne connait pas le c÷ur de la cible (la valeur
vraie), donc on peut facilement déceler les erreurs aléatoires par la dispersion des mesures.
Pour réduire l'erreur aléatoire, il convient de procéder à un grand nombre de mesures.
En revanche la justesse due à la présence ou non d'erreurs systématiques est souvent plus
dicile à estimer.
2.2.3 Dénition de l'incertitude
L'incertitude de mesure est un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs qui
pourraient être attribuées au mesurande.
On a vu au paragraphe précédent que l'on ne pouvait pas connaître une erreur comme
on ne connaît pas la valeur vraie. On peut cependant l'estimer, l'évaluer, on parle alors
d'incertitude. Dans le langage courant, on ne fait souvent pas la diérence entre les deux
termes, il conviendra donc d'être attentif en physique à l'emploi du terme convenable.
Une incertitude absolue doit toujours être donnée avec son unité.
Vous trouverez fréquemment la notation Δm pour l'incertitude dite absolue qui cor-
respond à la limite supérieure raisonnable , xée par l'expérimentateur, de la valeur
absolue |δg| de l'erreur totale δg liée à ce résultat.
Le Bureau International des Poids et Mesure incite cependant à désigner l'incertitude
par la lettre U et à utiliser des méthodes statistiques (estimation de type A) ou probabi-
listes (estimation de type B) pour éviter de surestimer l'incertitude en la maximisant.
Dans le cadre de cette première année, il arrivera fréquemment que l'on se contente
d'une estimation maximale réaliste de l'incertitude. Des ranements des estimations d'in-
certitude vous seront enseignés en département.
L'incertitude relative est le rapport
∆m
|m|
= U
|m|
, valeur numérique sans dimension, elle
donne une indication sur la précision de la mesure.
La précision est d'autant plus grande que l'incertitude relative est un nombre petit. Le
résultat du mesurage sera toujours écrit sous la forme : g = (m ± ∆m) unité = (m ± U)
unité, ou éventuellement m − ∆m unité g m + ∆m unité.

¨
©
Application 2.1. : Quelle est la diérence entre erreur et incertitude ? Entre incertitude
absolue et incertitude relative ?


¨
©
Application 2.2. : Une longueur est déterminée avec une incertitude de 3 mm. S'agit-il
d'une incertitude absolue ou relative ?
5
4
2
3
Application 2.3. : Un industriel fabrique des lests métalliques. Son client lui demande
de lui fournir des lests de masse 125 g à 1 g près. Le premier lest est pesé à l'aide d'une
balance et le résultat est : m = (124, 6 ± 0, 5) g. Ce lest est-il acceptable pour ce client ?
Le second lest a une masse de 123,8 g mesurée avec une incertitude de 1 %. Ce second
lest peut-il convenir ?
2.2.4 Intérêt des incertitudes
L'incertitude reète l'impossibilité de connaître avec exactitude la valeur vraie et quan-
tie l'estimation que peut en donner l'expérimentateur.
L'un des buts des expériences de physique est de valider ou non des théories. Un ré-
sultat de mesure peut permettre de faire un choix entre deux théories qui s'arontent.
Un exemple célèbre de l'intérêt des incertitudes est la mesure de la courbure de la
lumière lors de son passage près du soleil. Einstein dans sa théorie de la relativité générale
(1916) prévoyait que la lumière d'une étoile serait déviée d'un angle α = 1, 8 lors de son
passage près du soleil. Or les théories classiques ne prévoyaient pas de courbure (α = 0)
pour la théorie la plus simple ou une courbure plus faible (α = 0, 9) pour la théorie
classique plus élaborée. Une mesure de cette courbure permettrait de trancher entre les
diérentes théories proposées.
Il s'avère que c'est une mesure extrêmement dicile à réaliser, possible seulement pen-
dant une éclipse de soleil. En 1919, Dyson, Eddington et Davidson réussissent à mesurer
une courbure de α = 2, 0 compris entre 1, 7 et 2, 3. Ce résultat était conforme à la
théorie de la relativité. L'estimation de l'incertitude de cette mesure a été capitale pour
trancher le débat.
Les incertitudes peuvent aussi servir à jauger de la marge de man÷uvre dont
dispose par exemple un industriel. Supposons que le réacteur d'une installation soit dans
un matériau qui se détériore à partir de 1 700 °C. Un capteur permet de mesurer la
température du uide contenu à l'intérieur, an de pouvoir mettre le système en sécurité
en cas de sur-chaue. Le capteur ache 1 600 °C. Si la mesure est précise à 50 °C près,
l'installation ne risque rien. En revanche, si la mesure de température n'est précise qu'à
100 °C près, alors il faut revoir l'installation ou l'arrêter.
2.3 Estimation des incertitudes
Une mesure, même indirecte, fait forcément intervenir des mesures directes. La pre-
mière étape de détermination de l'incertitude d'une mesure est donc toujours l'estima-
tion de l'incertitude sur la (ou les) mesure(s) directe(s). Ensuite, si nécessaire, des calculs
permettront d'estimer l'incertitude sur la mesure indirecte.
2.3.1 Mesurage direct
On peut donc modéliser notre mesure par G = g + ∆syst + ∆al´ea. Nous allons voir
comment estimer les diérentes contributions à l'incertitude : ∆syst la contribution des
erreurs systématiques et Δal´ea la contribution des erreurs aléatoires.

a) Estimation des incertitudes dues aux erreurs systématiques
Dans un premier temps, il convient, si l'on peut, d'estimer les incertitudes dues aux
erreurs systématiques. Ce type d'erreur est souvent dicile à déterminer.
Pour détecter et évaluer ces erreurs systématiques, on peut :
changer d'instrument de mesure
changer de méthode de mesure
changer de laboratoire de mesure
à l'aide du même instrument, mesurer une grandeur étalon.
Une fois cette incertitude estimée, on peut corriger la valeur obtenue.
Par exemple si l'on mesure une tension avec un multimètre à aiguille : à vide, le
multimètre ache 0,01 mV au lieu de 0 V. Il y a donc une erreur systématique due au
zéro de l'appareil. ∆syst = +0, 01 mV. On peut donc la corriger en retranchant 0,01 mV
à nos mesures.
b) Estimation des incertitudes dues aux erreurs aléatoires
Pour estimer l'incertitude aléatoire d'une mesure, deux cas de gures se présentent :
soit l'expérimentateur ne fait qu'une mesure. Il faudra alors déterminer les dif-
férentes sources d'erreur, évaluer leur contribution et enn réaliser un traitement
probabiliste de l'incertitude. On parlera alors d'incertitudes de type B. Ce sera
souvent le cas en TP.
soit l'expérimentateur réalise une série de mesures et l'estimation de l'incertitude
pourra se faire par une méthode statistique, on parlera d'incertitudes de type A.
i. Incertitude de type B ou incertitude d'une unique mesure
Dans ce cas, c'est à l'expérimentateur d'analyser son expérience et de lister toutes les
sources d'erreurs puis de les estimer.
Comme vu au paragraphe 2.2.2, il peut y avoir diérentes sources d'erreur dues à l'ap-
pareil, la méthode et l'expérimentateur. En département et en TP, vous verrez comment
utiliser les notices constructeur et les certicats d'étalonnage pour estimer l'incertitude
due aux appareils selon les critères de la qualité industrielle. Si les qualités de l'expéri-
mentateur (ou d'autres facteurs) interviennent, c'est à lui d'évaluer ses contributions dans
l'erreur.
Toutes les contributions à l'erreur des diérentes sources (indépendantes) s'ajoutent,
donc l'incertitude totale sera la somme des incertitudes dues aux diérentes sources
d'erreur.
Remarque : Bien souvent l'une des erreurs est prépondérante et c'est celle qu'il convient
d'estimer.
Exemples :
Pour l'erreur sur la position d'un écran sur un banc d'optique (cf. TP/TD ou TP
aberrations), il faut apprécier la latitude du positionnement, c'est-à-dire les limites entre
lesquelles l'image reçue sur l'écran sera perçue comme nette. Ceci s'ajoute à l'incertitude
de lecture sur la règle. On aura donc : Δposition = (Δnetteté) + (Δlecture) avec en général
(Δlecture) = 1 graduation. (½ graduation à chaque extrémité). Dans ce cas l'incertitude
liée à la netteté est prépondérante en général.

Pour la détermination de l'incertitude sur une mesure de temps à l'oscilloscope (cf TP
oscillo) l'incertitude donnée par l'instrument s'ajoute à l'incertitude de positionnement des
curseurs. De même, c'est à l'expérimentateur d'estimer la latitude de positionnement des
curseurs. Et on aura donc : Δ(t) = (Δposition) + (Δoscillo).
Bien souvent les contributions de l'expérimentateur sont prépondérantes. Vous pour-
rez vous entraîner lors des TP du premier semestre à estimer ces incertitudes.
Une fois que l'on a estimé l'incertitude due aux erreurs aléatoires, on sait donc que
raisonnablement la valeur de G est comprise entre g∆g (ou g − u) et g + ∆g (ou g + u).
∆g (ou u) étant la somme des estimations des diérentes incertitudes. On a ici l'incerti-
tude maximale : l'expérimentateur garantit, qu'à presque 100 %, la valeur vraie se trouve
dans l'intervalle donné. On court alors le risque en ayant sommé toutes les contributions
à l'erreur d'avoir surestimé l'incertitude. On s'est placé dans le pire des cas : celui où
aucune erreur ne se compense. Il est alors possible, comme vous le verrez en département,
de tenir compte de ceci et d'estimer plus précisément l'incertitude. Cependant, pour cette
première approche de la notion d'incertitude en 1ère année, notre but n'est pas d'avoir
une estimation précise de l'incertitude, mais d'être capable de détecter à l'aide d'un re-
gard critique toutes les causes d'erreurs d'une manipulation et de les estimer. Nous nous
contenterons donc d'une valeur surestimée de l'incertitude de type B.
Pour aller plus loin : Pour estimer une valeur moins pessimiste de l'incertitude, il faudrait
alors utiliser un modèle probabiliste décrivant la loi de répartition des valeurs que prendrait G
si l'on avait fait de nombreux essais.
* Si l'on suppose une loi normale, ce qui est souvent le cas en physique, alors l'étendue des
valeurs est de l'ordre de 6σ. L'écart-type et donc l'incertitude type peut donc être évaluée par :
u = 2∆g/6 = ∆g/3.
* Si l'on suppose une loi rectangulaire ou uniforme : c'est le cas par exemple quand l'incerti-
tude porte sur le dernier digit d'un appareil numérique. Dans ce cas, on montre que l'écart-type
et donc l'incertitude-type est estimée par : u = 2∆g/(2
√
3) = ∆g/
√
3
Exemple : un voltmètre ache 1,26 V, avec une résolution de 0,01 V. L'expérimentateur
peut alors raisonnablement dire que la valeur vraie se situe entre 1,255 V et 1,265 V avec autant
de probabilité de valoir 1,255, que 1,256, que 1,257, ... , que 1,265 V .
ii. Incertitude de type A ou incertitude d'une série de mesures
Si l'on répète n fois le mesurage de la grandeur X, dans les mêmes conditions opéra-
toires et avec le même soin, on obtient une série de n valeurs : x1, x2, . . . , xi, . . . , xn. Cet
échantillon de mesures va alors être analysé de manière statistique.
La dispersion des mesures va nous permettre non seulement d'estimer l'incertitude sur
une mesure, mais aussi d'aner notre estimation de la valeur vraie et de diminuer
ainsi l'incertitude sur la connaissance de cette valeur vraie.
Il est alors possible de tracer une courbe représentant le nombre de fois où l'on mesure
une valeur xi en fonction des valeurs xi (appelée polygone des fréquences). On observe
qu'en général les résultats suivent une courbe en forme de cloche (Figure 2.2), plus ou
moins ne, relativement symétrique par rapport à la valeur moyenne. Ceci correspond
au fait qu'il n'y a a-priori pas de raison pour que les résultats ne se répartissent pas
de manière homogène de part et d'autre de la valeur vraie (si l'on a éliminé les erreurs
systématiques bien sûr).
Si le nombre de mesurages n est grand, le polygone des fréquences a souvent une
forme en cloche et fait partie d'une famille de fonctions dites de Laplace-Gauss

Figure 2.2 histogramme et polygone des eectifs, dans le cas de 100 mesures d'une
même grandeur X suivant la loi de Laplace-Gauss (moyenne 5, écart-type 2).
(ou Normales). Cette loi est décrite par la fonction densité de probabilité f(x) =
1
σ
√
2π
exp −1
2
x−µ
σ
2
(Figure 2.3) (avec σ 0)
Figure 2.3 fonction densité de probabilité de la loi Normale de paramètres µ et σ.
Dans le cas d'une loi normale de paramètres µ et σ, µ est l'espérance. L'écart type de
cette distribution est σ.
L'échantillon ni de n mesures va nous permettre d'estimer statistiquement les deux
paramètres µ et σ. En eet, cet échantillon de mesures est alors associé à une variable
aléatoire caractérisée par son espérance µ, qui serait la valeur vraie et par son écart-type
σ, qui représente la dispersion due aux erreurs de mesures.

Espérance et valeur moyenne L'espérance µ correspond à la valeur moyenne pour
un nombre inni de mesures.
La moyenne arithmétique x des n mesures est une bonne estimation de l'espérance
et donc de la valeur vraie lorsque le nombre n de mesures est grand.
x = 1
n
n
i=1 xi = g lim
n−→∞
x = µ
Donc plus le nombre de mesures augmente, plus la valeur moyenne se rapproche de la
valeur vraie !
Dispersion des valeurs et incertitude sur une mesure Pour caractériser la largeur
de la distribution, c'est à dire la dispersion des valeurs autour de la valeur moyenne, on
dénit l'écart type σ (écart-type vrai ), que l'on obtiendrait pour un nombre inni
de mesures. Lors d'un nombre ni de mesures, on utilise l'écart-type expérimental s déni
par :
s =
1
n − 1
n
i=1
(xi − x)2 lim
n−→∞
s = σ
L'écart-type expérimental s représente une estimation de l'erreur sur chaque
mesure.
Incertitude sur la valeur moyenne L'erreur sur l'estimation de l'espérance (et donc
de la valeur vraie) µ par la moyenne x est bien plus petite que l'écart-type σ.
L'incertitude-type permet d'estimer l'erreur sur la moyenne, elle est notée u ou ∆g et
vaut :
∆g = u =
s
√
n
=
1
n−1
n
i=1(xi − x)2
√
n
Donc lors d'une série de n mesures d'une grandeur X, la valeur expérimentale est
égale à la moyenne des mesures x et l'incertitude-type peut être estimée par
∆g = u = s√
n
.
iii. Incertitude élargie et domaine de conance
Toujours dans l'hypothèse où la distribution est une loi de Laplace-Gauss (ou loi
normale), si on fait n mesurages de la grandeur X, l'écart type expérimental s permet
de dénir un intervalle de conance correspondant à une probabilité de 0,683 : c'est à
dire qu'il y a 68,3 % de chances que l'intervalle [x−s/
√
n; x+s/
√
n] recouvre la valeur µ.
Si l'on considère l'intervalle [x − 3s/
√
n; x + 3s/
√
n] la probabilité qu'il recouvre la valeur
µ est alors de 99,8 %.
L'incertitude élargie est égale à ks/
√
n, le facteur d'élargissement k étant dépendant
du niveau de conance recherché.
Selon l'intervalle de conance recherché, on prendra comme domaine pour la valeur de
la grandeur x±s/
√
n (niveau de conance à 68,3 %), ou x±2s/
√
n (niveau de conance
de 95 %), ou x±3s/
√
n (niveau de conance à 99,8% ). . . Si la notion d'incertitude élargie
est utilisée, il est indispensable de préciser le niveau de conance.
Cette année, nous utiliserons généralement un facteur k=3 pour avoir un niveau de
conance à 99,8 %.

#
!
Application 2.4. : On souhaite utiliser un pied à coulisse pour lequel le fabricant annonce
une incertitude élargie de 0,2 mm pour un niveau de conance à 95 %. Quelle est son
incertitude-type ?
2.3.2 Mesurage indirect
Dans ce cas la problématique est la suivante : la grandeur physique G n'a pas pu
être mesurée directement. L'expérimentateur a donc réalisé la mesure d'autres grandeurs
physiques X, Y, Z. . . qui sont liées à G par une relation de dépendance : G=f(X, Y, Z. . .).
Nous nous plaçons dans le cas où les grandeurs X, Y, Z. . . sont indépendantes les unes
des autres (non corrélées).
L'expérimentateur est capable d'estimer les incertitudes sur chacune de ces grandeurs
auxiliaires mesurées directement. Comment pourra-t-il estimer l'incertitude sur la mesure
g de G ?
Il est alors possible de travailler dans un premier temps par encadrement en cherchant
la plus grande valeur et la plus petite valeur que peut prendre g en fonction des valeurs
extrèmes des mesures x, y, z. . ..
La mesure de g sera alors comprise entre gmax=max(f(x, y, z.. .)) et gmin= min (f(x,
y, z. ..).
Considérons l'exemple suivant (cf TP1 ) : on détermine la valeur d'une résistance R
par la mesure de la diérence de potentiel U à ses bornes et du courant I qui la traverse.
On mesure (U ± ∆U) et (I ± ∆I), avec ici U 0 et I 0. (Les valeurs de ∆U et ∆I
sont calculées respectivement à partir des formules données dans les notices d'emploi du
voltmètre et de l'ampèremètre). En d'autres termes cela signie que les valeurs de U et de I
sont respectivement comprises dans les domaines d'incertitudes suivant : [U ΔU; U +ΔU]
et [I ΔI; I + ΔI].
Supposons que l'on ait obtenu les valeurs numériques suivantes : U = (2, 50±0, 05) V
et I = (0, 20±0, 02) A. Les domaines d'incertitudes sont donc respectivement : [2, 45 V ; 2, 55 V ]
et [0, 18 A ; 0, 22 A].
On obtient : R = U/I = 2, 50/0, 20 = 12, 50 Ω
Le problème est maintenant de déterminer ∆R. Considérons toutes les combinaisons
possibles des valeurs extrêmes de U et de I et calculons les valeurs de R correspondant à
ces diérentes combinaisons :
U(V ) I(A) R(Ω)
2,45 0,18 13,61
2,45 0,22 11,14
2,55 0,18 14,17
2,55 0,22 11,59
Nous voyons que la valeur de R peut être comprise entre 11, 14 Ω et 14, 17 Ω. Donc
en prenant ∆U = (14, 1711, 14)/2 = 1, 6 Ω (on ne garde que 2 chires signicatifs), on
dénit bien un domaine d'incertitude correct pour R et on écrira : R = (12, 6 ± 1, 6) Ω
Remarque : le domaine est un peu trop large d'un côté mais il est préférable de garder une
petite marge de sécurité. En eet, l'incertitude xe la valeur supérieure raisonnable de l'erreur. A
cause des erreurs d'arrondis dans les calculs ou des incertitudes que l'on a pu oublier (résistance
des ls de liaison, eet de la température... ), il est préférable de garder une marge de sécurité
et de majorer les bornes du domaine d'incertitude. Attention toutefois à ne pas exagérer : il ne
serait pas faux d'écrire R = (12 ± 3) Ω mais n'oublions pas que l'objectif d'un expérimentateur

est de faire des mesures précises et de pouvoir par exemple faire la diérence entre une résistance
de 12 Ω et une résistance de 14 Ω !
Dans le cas présenté ici, R est compris entre Rmax et Rmin, tels que Rmax = Umax
Imin
=
U+∆U
I−∆I
et Rmin = Umin
Imax
= U−∆U
I+∆I
.
9
8
6
7
Application 2.5. : On cherche à connaître l'aire d'un rectangle. Pour cela on mesure sa
longueur et sa largeur et l'on trouve : L = (10, 0 ± 0, 1) cm et = (5, 0 ± 0, 1) cm.
a. Donner l'expression littérale de l'aire A du rectangle. La calculer.
b. Donner les expressions littérales de l'aire maximum et minimum du rectangle en fonc-
tion de L, , ∆L et ∆ . Les calculer.
'

$
%
Application 2.6. : La charge Q d'un condensateur est donnée par la formule Q =
C · U avec C la capacité du condensateur et U la diérence de potentiel aux bornes du
condensateur. Donner les expressions littérales (en fonction de Q, U, ∆Q et ∆U) des
valeurs maximales et minimales de C.
'

$
%
Application 2.7. : La puissance P consommée par une résistance R est donnée par
P = U2
/R avec U la tension entre les bornes de la résistance. U et R sont connus avec des
incertitude-type absolues respectivement de ∆U et ∆R. Donner les expressions littérales
(en fonction de U, R, ∆U et ∆R) des valeurs maximales et minimales de P.
Les valeurs maximales et minimales que peut prendre notre grandeur g dénissent un
intervalle dans lequel la valeur de g est susceptible de se trouver. On peut alors dénir
l'incertitude sur g comme étant la moitié de l'écart entre les valeurs extrèmes calculées :
∆g = (gmax − gmin)/2
On pourra prendre comme valeur pour g la valeur centrale du domaine d'incertitude
[gmin, gmax] lors de la présentation du résultat.
La méthode par encadrement devient vite très complexe et dicile à mettre en ÷uvre,
dès que les relations mathématiques entre les grandeurs sont autres que des fonctions
simples. Une méthode de propagation des erreurs, utilisant la notion de diérentielle,
vous sera présentée en OMSI au cours de l'année et vous pourrez ensuite l'utiliser pour
des fonctions plus complexes.
Pour aller plus loin : Dans le cas général, les erreurs étant jugées comme très petites devant les
valeurs des grandeurs, on a, pour une grandeur Y = f(X1, X2, . . . , Xn), la formule de propagation
des erreurs suivante : u2 = n
i=1( ∂f
∂xi
)2u(xi)2 pour des grandeurs X1, X2, . .., Xn indépendantes.
2.4 Présentation de résultats de mesure
2.4.1 Valeurs numériques
a) Tableau de résultats
Lors d'expériences en laboratoire ou pendant les TP, de nombreuses mesures sont
réalisées. Il convient donc, pour faciliter la lecture, de les regrouper dans un tableau.
Ce tableau contiendra les résultats de toutes les mesures directes et leurs incertitudes
associées, ainsi que les valeurs des mesures indirectes obtenues par le calcul avec leurs
incertitudes associées.
Il est important de ne pas se contenter des résultats de calculs des mesures indirectes.
Le tableau de mesures doit être accompagné d'explications sur les calculs des mesures
indirectes, sur les causes d'erreur et sur la façon d'estimer les incertitudes.

b) Ecriture scientique d'un résultat numérique
Tout résultat numérique doit être donné avec son incertitude et son unité ! !
L'incertitude absolue ∆g ou U comporte par convention, en général 1, au maximum
2 chires signicatifs. Tous les chires d'un rang décimal supérieur au rang du dernier
chire de l'incertitude n'ont aucun sens.
Il convient d'arrondir l'incertitude à l'excès. La valeur de la mesure, elle, sera arrondie au
plus proche de manière à garder le même nombre de décimales que l'incertitude absolue.
On écrira donc M = (m ± ∆m) unité (et éventuellement le niveau de conance s'il
s'agit d'une incertitude élargie).
Exemple 1 : Si m = 50, 027 3 g et ∆m = U = 0, 014 g (niveau de conance à 99%),
soit ∆m = 14 mg, le chire 3 de m a pour rang décimal 4, et le chire 4 de ∆m a pour
rang 3, on écrira donc le résultat sous l'une des formes suivantes :
50, 013 g ≤ m ≤ 50, 041 g (niveau de conance à 99%),
m = (50, 027 ± 0, 014) g (niveau de conance à 99%),
m = (50, 03 ± 0, 02) g (niveau de conance à 99%)
Exemple 2 : si C = 0, 199 87 mol.L−1
et ∆C = U = 0, 007 361 8 mol.L−1
, on écrira :
0, 192 mol.L−1
≤ C ≤ 0, 208 mol.L−1
C = (0, 200 ± 0, 008) mol.L−1
Lors d'un calcul, les données sont parfois fournies sans incertitude et avec des nombres
de chires signicatifs diérents. Combien garde-t-on de chires signicatifs pour exprimer
le résultat du calcul ? Dans le cas où un résultat est donné sans indication sur l'incertitude,
on considère que l'incertitude absolue est la demi-unité du dernier chire exprimé. Ceci
permet d'énoncer les règles suivantes :
Pour une addition ou une soustraction, on exprime les données dans la même
unité et le résultat a autant de décimales que le nombre qui en comporte le moins.
Exemples :
M(O) = 16, 0 g · mol−1
et M(H) = 1, 008 g · mol−1
−→ M(H2O) = 18, 0 g ·
mol−1
3,22 m + 1,6 cm = 3,24 m = 324 cm
1 kg + 1 g = 1 kg ! !
Après une multiplication ou une division, le résultat doit alors être exprimé avec
le nombre de chires signicatifs de la donnée qui en possède le moins.
Exemples :
m = 34 g et M = 18, 0 g · mol−1
−→ n = m/M = 1,9 mol (2 chires signi-
catifs)
λ= 0.653 µm , D = 2 m et a = 2,5 mm −→ i = λ D/a = 0,5 mm (1 chire
signicatif)
r = 23 mm et h = 55,5 cm −→ S = 2πrh = 0, 080 m2
= 8, 010 2 cm2
(2
chires signicatifs)
Remarque : un facteur entier sans dimension (ex. le 2 de 2πrh) est considéré inniment
précis quel que soit son nombre de chires, il n'intervient donc pas dans la détermination
du nombre de chires signicatifs du résultat, de même qu'un nombre irrationnel.
Les choses se compliquent avec des relations faisant intervenir des sin, cos, ln,
puissance . . .. Pour cette raison une certaine tolérance est acceptée et ne seront
sanctionnés que les abus notoires et les écritures manifestement incohérentes.

9
8
6
7
Application 2.8. : m est la masse d'un corps, déterminée par pesée avec une certaine
incertitude. Parmi les résultats ci-dessous, quels sont ceux qui sont écrits correctement ?
Justier vos réponses.
m = (232, 58 ± 0, 0034) g
m = (245, 0 ± 2, 2) g
m = 231 ± 3
m = (245, 322 ± 0, 235) g
m = (245 ± 0, 02) g
5
4
2
3
Application 2.9. : Arrondir les résultats bruts ci-dessous et les écrire sous forme scien-
tique :
m = (5, 00462875 ± 0, 0031204) g
I = (0, 0004345182 ± 0, 00000326) A
R = (478962 ± 238) Ω
2.4.2 Graphes
a. Tracé manuel sur papier millimétré
Pour tracer manuellement le graphe des variations d'une grandeur y en fonction de x,
la procédure comporte les opérations suivantes :
1. Choix judicieux des échelles pour chaque axe à partir des intervalles de variation
des grandeurs x et y de manière à obtenir un graphe susamment grand.
2. Mention sur chaque axe de la grandeur représentée et de l'unité utilisée.
3. Graduation des axes par indication de quelques valeurs numériques régulièrement
espacées.
4. Report sur le graphe des points mesures (x ; y).
5. Pour chaque point, représentation des barres d'erreurs, c'est-à-dire du rectangle
d'incertitude.
6. Tracé d'une courbe continue et dérivable qui doit passer - en principe - à l'intérieur
de tous les domaines d'incertitude.
b. Remarque :
Le tracé de la courbe peut faire apparaitre parfois un point dans une position anormale.
Une vérication s'impose : il peut s'agir d'une erreur de mesure ou encore d'une erreur
de report.
Le tracé peut aussi mettre en évidence un manque d'information dans une partie du
graphe (par exemple une quantité insusante de points expérimentaux au voisinage d'un
pic pour une détermination précise du maximum), des mesures complémentaires sont alors
nécessaires.
c. Exploitation
Les résultats expérimentaux peuvent être utilisés à deux ns :
la vérication d'une loi physique,
la détermination des paramètres intervenant dans la relation qui exprime la loi.
Deux cas sont à distinguer selon la nature de cette relation.

i. 1er cas : (cf par ex. TP mesure de la vitesse du son) deux grandeurs X et
Y sont liées par une relation ane : Y = AX + B La représentation graphique
d'une telle relation est théoriquement une droite. L'alignement des points constitue une
vérication de la loi en question. De plus, les caractéristiques de la droite (coecient direc-
teur, abscisse ou ordonnée à l'origine) peuvent être exprimées en fonction des paramètres
à étudier : leur évaluation numérique se déduit donc immédiatement du graphe.
Exemple : Vérication de la loi V = RI + U0. La loi est vériée, car la droite obtenue
Figure 2.3 passe bien par tous les domaines d'incertitude. Le graphe donne : R = 50, 1Ω
et U0 = 0, 39V .
Figure 2.4 Mesures V=f(I)
ii. 2ème cas : deux grandeurs x et y sont liées par une relation non ane. La
démarche consiste alors à trouver une relation ane équivalente à la relation y = f(x).
Ceci se fait en eectuant deux changements de variables : X = g(x) et Y = h(y). Les
fonctions g et h retenues doivent conduire à une relation théorique du type Y = AX + B
dans laquelle A et B sont des constantes, qui peuvent être exprimées en fonction des
paramètres de la relation initiale. La vérication de la linéarité de Y = AX + B consti-
tue une vérication de la loi de départ y = f(x). L'évaluation des coecients A et B se
fait comme dans le cas précédent : il est alors possible d'accéder facilement aux valeurs
numériques des paramètres de la relation initiale.
Exemple : soit une loi : y = c · exp(k/x). Le changement de variables : Y = ln(y) et
X = 1/x conduit à : Y = AX + B avec A = k et B = ln(c) . L'exploitation de la droite
Y = f(X) permet de déterminer les paramètres k et c : le coecient directeur A donne :
k = A et l'ordonnée à l'origine donne B = ln(c)
Remarque : Un logiciel comme Cassy Lab permet la détermination directe des paramètres
en procédant à une modélisation numérique.
iii. Incertitudes pour un paramètre déduit d'une courbe On se bornera ici au
cas où on a linéarisé la représentation du phénomène, c'est à dire qu'on a eectué le
changement de variable conduisant à tracer une droite. Une fois tracée la meilleure droite
possible, l'incertitude sur les paramètres déduits de la courbe (coecient directeur, or-
donnée à l'origine) n'est pas facile à déterminer. On peut tenter d'estimer un intervalle
raisonnable, c'est à dire de déterminer deux droites extrêmes qui encadrent la meilleure

droite.
Prenons l'exemple de la relation : U = U0 + RI, où l'on a mesuré des couples (U ; I)
pour déterminer U0 et R. U0 est donné par l'ordonnée à l'origine et R est donné par le
coecient directeur de la droite (attention aux unités). On trace les points expérimentaux
et leurs domaines d'incertitude, et on détermine graphiquement les droites extrêmes qui
passent par tous les domaines d'incertitude. On obtient ainsi les valeurs extrêmes U0max
et U0min (Figure 2.5). On pourra écrire que : U0 = (U0max+U0min)/2 et que l'incertitude
est : U(U0) = (U0max U0min)/2. On fait de même pour le coecient directeur R. cf
Figure 2.5.
Figure 2.5 Régression linéaire : méthode empirique
Remarque : cette procédure est empirique, et des logiciels comme Cassy Lab per-
mettent la détermination directe des incertitudes sur les paramètres en procédant à une
modélisation numérique tenant compte des barres d'erreurs.
2.5 Eléments de correction des exercices de niveau 1
Application1 : voir cours
Application2 : incertitude absolue
Application3 : Le premier lest a une masse comprise entre 124,1 g et 125,1 g, donc il est
acceptable. La masse du second lest a une incertitude Δ(m)=1,3 g, donc sa masse
est comprise entre 122,5 et 125,1 g. Il n'est pas acceptable.
Application4 : Niveau de conance à 95 % donc k=2, d'où incertitude-type = 0,2/2=0,1
mm.
Application5 : A = L · = 50, 0 cm2
. Amax = (L + ∆L) · ( + ∆ ) = 10, 1 ∗ 5, 1 =
51, 51 cm2
= 51, 5 cm2
(nb chires signicatifs). Amin = (L − ∆L) · ( − ∆ ) =
9, 9 ∗ 4, 9 = 48, 51 cm2
= 48, 5 cm2
Application6 : Cmax = Qmax/Umin = (Q+∆Q)/(U−∆U) et Cmin = Qmin/Umax =
(Q − ∆Q)/(U + ∆U)
Application7 : Pmax = (V + ∆V )2
/((R − ∆R)) et Pmin = (V − ∆V )2
/((R + ∆R))
Application8 :
1ère ligne : faux (nombre de décimales sur la mesure)
2ème ligne : correct
3ème ligne : faux (pas d'unité)
4ème ligne : faux (trop de chires)
5ème ligne faux (nombre de décimales sur la mesure).

Application9 : Si on ne garde qu'un chire signicatif pour l'incertitude : m = (5, 005±
0, 004) g ; I = (434±4) µA = (434±4).10−6
A ; R = (479, 0±0, 3).103
Ω = (479, 0±
0, 3) kΩ. Avec deux chires signicatifs pour l'incertitude : m = (5, 0046±0, 0032) g ;
I = (434, 5 ± 3, 3) µA = (434, 5 ± 3, 3).10−6
A ; R = (478, 97 ± 0, 24).103
Ω =
(478, 97 ± 0, 24) kΩ.

2.6 EXERCICES de TD
Exercice 1 Un peu de chimie pour commencer
La dernière étape d'une réaction d'un TP de chimie consiste à rajouter 46,20 g d'un
produit A. Les consignes sont les suivantes : ne pas rajouter moins de 46,20 g sinon les
réactifs ne seront pas présents en quantité stoechiométriques et la réaction ne sera pas
totale. An d'éviter le gaspillage, ne pas rajouter plus de 0,70 g supplémentaire. Les
étudiants ont à leur disposition une balance de précision avec une incertitude relative de
0,3 %.
Un premier étudiant pèse m1 = 46, 30 g, un second pèse m2 = 46, 50 g.
1. Entre quelles valeurs doivent être comprises les pesées pour respecter le mode opé-
ratoire, tout en tenant compte de l'imprécision de la balance ?
2. Leurs pesées respectent-elles les conditions du protocole ?
Exercice 2 2. Simulations
Dans la pratique en physique on ne connait pas la valeur vraie de la grandeur, mais on
part des mesures pour essayer de l'estimer. Dans cet exercice nous allons supposer que la
valeur vraie est connue, ainsi que la loi de probabilité normale de distribution des erreurs
et nous allons à l'aide de Maple simuler N mesures, pour voir comment ces N mesures
nous permettent d'estimer la vraie valeur.
On utilisera pour la loi de probabilité une loi normale (µ = 33, 32 ; σ = 4, 51) et nous
simulerons N mesures avec N = 3 ;
En utilisant les fonctions Maple suivantes :
with(Statistics):
X := RandomVariable(Normal(33.32, 4.51));
Crée la variable aléatoire avec la loi de distribution.
randomize()
A := Sample(X, 3):
Crée un échantillon de N=3 mesures avec cette loi
P := DensityPlot(X, range = 20..46, thickness = 3, color=red):
Q := Histogram(A, bincount=20,range = 20..46):
plots[display](P, Q);
Ces 3 commandes permettent d'avoir une représentation graphique de la loi et de la
distribution des N mesures
Mean(A);
Calcule la moyenne de l'échantillon
StandardDeviation(A);
Calcule l'écart type de l'échantillon
StandardError(Mean, A);
Calcule l'écart type sur la moyenne
Remplir le tableau ci-dessous, puis commentez vos résultats :
N moyenne Ecart type Ecart type sur la moyenne Intervalle à 99,7% de conance
3
10
100
1000

Exercice 3 Une vision statistique de l'erreur
Extrait de :
http://cache.media.eduscol.education.fr/le/Mathematiques/12/7/LyceeGT_ressources_MathPC_Mesure_et_i
On souhaite mesurer une résistance. Le conducteur ohmique dont on souhaite mesurer
la résistance est branché aux bornes d'un ohmmètre. On utilise une première technique
de mesure utilisant quatre ls de liaison entre le conducteur ohmique et l'instrument.
Notre instrument communique avec un ordinateur et l'on utilise un programme d'ac-
quisition de données. Ce programme eectue 2000 mesures m de la résistance R, repère les
valeurs mmin et mmax, divise l'intervalle [mmin ; mmax] en 10 intervalles (classes), calcule
le nombre n de résultats dans chaque classe et ache les résultats sous la forme d'un
diagramme. On obtient les résultats ci-dessous :
Recommençons la mesure précédente en congurant notre instrument en ohmmètre
deux ls , ce qui correspond à une mesure courante de la valeur d'une résistance. On
obtient désormais les résultats suivants :
1. Quelles conclusions pouvez-vous tirer de l'expérience 1 ?
2. Quelles conclusions pouvez-vous tirer de l'expérience 2 ?
3. Commentez !
Exercice 4 Masse d'un manchon cylindrique
Au cours d'un TPTD de mécanique du second semestre, vous allez être amené à déter-
miner la masse d'un manchon cylindrique (cylindre creux) en acier (masse volumiqueρ =
(7, 80 ± 0, 01)g · cm−3
). Pour cela on commence par mesurer les diérentes cotes du man-
chon à l'aide d'un pied à coulisse dont l'incertitude est de l'ordre de ε = 0, 2mm. On
obtient les résultats suivants : Rext = 40, 0 mm Rint = 25, 0 mm et h = 21, 2 mm (h étant
la hauteur du cylindre).

Insa poly mesures 2015 16

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