統検勉強会20210808（第3章）

発表者：森井（keitomorii@gmail.com）
↑質問・誤植の指摘などはこちらまで
3.1.1 離散一様分布
離散一様分布：とり得る値をそれぞれ等確率でとる（サイコロの目など）
離散確率分布の期待値・分散を求める方法は2つある。
①期待値の定義から、を求め、に代入する。
②確率母関数を求め、それをで1回、2回微分したものにを代入することで、
それぞれ1次のモーメント、2次のモーメントを計算する。
後は、に代入する。
今回の離散一様分布については、本文中で①、演習問題1で②の方法が用いられている。
以下では①のみ紹介する。
3.1.2 2項分布
（準備）ベルヌーイ分布：確率で成功（）、確率で失敗（）する実験についての分布
（例. コインを1回投げて表が出る）
統検勉強会20210808（第3章）
2021年8月8日 15:59
統計検定ー第3章 - 1 ページ

ベルヌーイ分布の期待値・分散を、①の方法で求める。
2項分布：ベルヌーイ試行を独立に回行ったときの、成功（）回数の分布
（例. コインを10回投げて3回表が出る）
期待値・分散を、②の方法で求める。

※2項係数について、以下3つの関係式が成り立つ。
①
これは、2項定理において
とすることで、成立が確かめられる。
②
人から人を選ぶのと、人から人を選ばない（選ばない人を選ぶ）のは同じこと。
証明は演習問題2で行う。
③
人の会社から、人のプロジェクトメンバーを選ぶ状況を考える。
このとき、自分がメンバーに入る場合、あるいは入らない場合に分けて考える。
(A) 自分がメンバーに入る場合
自分が選ばれたうえで、自分以外の人から残りの人を選ぶ。
(B) 自分がメンバーに入らない場合
自分以外の人から人（必要メンバー数のすべて）を選ぶ。
(A)と(B)は排反だから、2つの場合の数は足すことができ、
となるため、与式が成り立つ。
こちらについても、証明は演習問題2で行う。
3.1.3 ポアソン分布
ポアソン分布：（単位時間あたり）平均λ回発生する希な現象が、k回発生する分布
（例. 交通事故の件数、肺がんの死亡数）

期待値・分散を、②の方法で求める。
※期待値・分散は、①の方法でも求めることができる。

命題3.4 のもとでとすると、
2項分布の特性関数においてとすると、ポアソン分布の特性関数になる。
※密度関数を用いて示すこともできる。
2項分布の密度関数においてとすると、ポアソン分布の密度関数になる。

3.1.4 幾何分布
幾何分布：ベルヌーイ試行を独立に回行ったときに、
初めて成功（）するまでに失敗（）した回数の分布
分布関数は、
命題3.5 幾何分布の確率母関数・期待値・分散
※質問があった箇所について
等数のが求まるのは、がとなる場合のみなので、
そのためにはという条件が必要とありました。
しかし、確率母関数の定義より、
また、は失敗確率なのでを満たします。

また、は失敗確率なのでを満たします。
よって、は自然と満たされます。
わざわざという条件を課す必要はないように思えますが、
どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えてください。
幾何分布は、記憶性をもつ。
まず、回までの試行において成功しない確率は、
回までの試行において成功していないという条件のもとで、
次の回までの試行で成功しない確率は、条件付き確率の定義より、

となるので、回までの試行において成功したかどうかに関係なく、
回までの試行で成功しない確率は同じということが分かる。
すなわち、初めて成功するという現象は過去の成功・失敗の状況によらず、
ランダムに起こることを意味している。
3.1.5 負の2項分布
負の2項分布：ベルヌーイ試行を独立に回行ったときに、
回成功（）するまでに失敗（）した回数の分布
負の2項分布の期待値・分散を求める。

3.1.6 超幾何分布
超幾何分布：個の赤ボール、個の白ボールから、
一度取ったボールを壺に戻さずに（非復元抽出）個取るとき、
赤玉の個数についての分布
命題3.8 超幾何分布の期待値・分散
超幾何分布の確率母関数は形が複雑で微分しづらいため、
期待値の定義から期待値・分散を求める。（演習問題3）
3.2.1（連続）一様分布
（連続）一様分布：の範囲を等確率でとる

一般に、連続確率分布の期待値・分散を求める方法は2つある。
①期待値の定義から、を求め、に代入する。
②積率母関数を求め、それをで1回、2回微分したものにを代入することで、
それぞれ、を計算する。後は、に代入する。
今回の一様分布については、①の方法が用いられている。
3.2.2 正規分布
正規分布：平均を中心として対称な釣鐘型をしている分布
数理統計学において最も重要な分布

標準化変換
を行うと、
となり、両辺をで微分すると、
となる。これを通常以下のように表す。
これを標準正規分布といい、元の正規分布の確率密度関数とべると、
と置いたものに対応していることが分かる。
標準正規分布の分布関数は、
で表され、「標準正規分布の上側確率」などとして（本の巻末で）与えられる。
一方、は確率密度関数だから
となり、

となり、
すなわち、
が成り立つ。これはガウス積分と呼ばれる。
命題3.9 標準正規分布の期待値・分散
※標準正規分布の特性関数
命題3.10 正規分布の期待値・分散

標準化変換
をしていたから、これを元に戻すと、
※正規分布の特性関数
正規分布の分布関数については、再び標準化変換を行うことで、
となるので、「標準正規分布の上側確率」を用いて値を求めることができる。
同様に、以下についても値が求まる。
命題3.10
正規分布の特性関数は、

だったので、
とべると、、になっていることが分かる。
3.2.3 ガンマ分布とカイ2乗分布
ガンマ分布：非負の実数に対し定義される連続確率分布
特殊形として、指数分布・カイ2乗分布がある
ただし、
尺度変換を行う。まず、変換後のについての分布関数は、
となるから、両辺をで微分すると、
にガンマ分布の密度関数を代入すると、

となり、これは以下より全確率が1になっているから、
たしかに確率密度関数である。
命題3.12 ガンマ分布の積率母（特性）関数・期待値・分散を求めよ。
まず、変換後のについて積率母関数を求める。
尺度変換をしていたので、元の文字に戻すと

尺度変換をしていたので、元の文字に戻すと
また、特性関数は、
となる。
定義3.14（自由度の）カイ2乗分布
ガンマ分布において、としたもの。
先ほど、ガンマ分布の特性関数・期待値・分散を求めたので、
カイ2乗分布については、それぞれにを代入するだけ。
命題3.15（自由度の）カイ2乗分布と標準正規分布の関係性
平方変換を用いて示される。
※特性関数を用いても示すことができる。
まず、についての分布関数は、

両辺をで微分すると、
となり、たしかに自由度1のカイ2乗分布の確率密度関数になっている。
3.2.4 指数分布とハザード関数
指数分布：ガンマ分布において、としたもの
分布関数については、密度関数をまで足し上げれば良いので、
先ほど、ガンマ分布の期待値・分散・積率母関数・特性関数を求めたので、
指数分布については、それぞれにを代入するだけ。

指数分布は、記憶性をもつ。
まず、時間を超えて生存する確率は、
となる。同様に、時間生存したという条件のもとで、
さらに時間を超えて生存する確率は、条件付き期待値の定義より、
となるので、時間生存したという条件があろうがなかろうが、
時間生存する確率は同じということが分かる。
次に、ある時間まで生存（動作）した後に死亡（故障）する確率を考える。
時間まで生存（動作）し、次の時間までに死亡（故障）する条件付き確率は、
両辺をで割って、を小さくすると、
ハザード関数（故障率関数）が導かれる。

、を左辺に持ってくるためにさらに変形する。
両辺をで積分すると、
指数・対数の定義より、
となるので、、はそれぞれ、
と求まる（分布関数・密度関数が、ハザード関数を用いて表される）。
ここで、
とすると、次のとおり指数分布が得られる。
また、ハザード関数が時間の経過に関して一定というのは自然でないように思える。
時間の経過とともに故障し易くなる（あるいは、故障しにくくなる）場合には、
というハザード関数を考えることで、次のとおりワイブル分布が得られる。

※ワイブル分布→指数分布へは、
とおくことで変換できる。
3.2.5 ベータ分布
ベータ分布：区間上の確率分布
ベータ・2項分布や、ベイズ推測における事前分布として用いられる
ただし、
これまで、連続確率分布の期待値・分散を求めるときはまず積率母関数を求め、
それを1回、2回微分することで、それぞれ、を計算していた。
しかし、ベータ分布の積率母関数は形が複雑で微分しづらいため、
期待値の定義と、ガンマ関数との関係式から期待値・分散を求める。

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