fourier

1. Isı İletimi
1.1 Tarihsel Bir Önsöz
Paris yakınlarında bulunan ve henüz yeni kurulmus¸ olan Ecole
Polytechnique ens- titüsünde genç bir akademisyen olan Jean
Joseph Fourier (1768-1830), 1798 yılının 27 Martında Fıransız iç
is¸leri bakanlıg˘ına çag˘rılır. Kendsinden bas¸ka bir kamu hizmetinde
faydanalınacag˘ı ve verilecek olan ilk emirde yeni görevine
bas¸lamak üzere hazırlıklı olması gerektig˘i bildirilmis¸tir. Bu görev
kapsamında aynı yılın 19 Mayısında bilim ve sanat komisyonu üyesi
olarak Napoleon Bonaparte’ın Mısır se- feri heyetine katılarak Mısır’a
hareket eder. Askeri kuvvetlerin Mısır’a ulas¸masının ikinci gününde,
2 Temmuz 1798’de, ˙Iskenderiye alınır ve Fourier bir süre ˙Iskende-
riye yakınlarında bir kent olan Res¸it (Rosetta) s¸ehrinde bazı idari
görevler yürütür.
24 Temmuzda sonunda Fransızlar savas¸ı kazanır ve Kahire s¸ehri
alınır. 20 Ag˘us- tosta Napoleon Bonaparte Kahire’de, daha sonra
Institut de France’a model olacak olan Institut d’Egypt ’in
kurulmasını kararlas¸tırır ve 25 Agustosta kurumun kalıcı sekreteri
olarak Fourier’i atar. Bu tarihten, Mısırdan ayrılacag˘ı 1801 yılına
kadar Fourier idari görevlerinin dıs¸ında zamanının önemli bir
kısmını bilimsel aras¸tır- malara ayırmıs¸tır. 1799 sonbaharında
Mısırdaki anıt ve yazıtları aras¸tıran bilimsel komisyonun iki
liderinden biri olarak Fourier atanmıs¸ ve bu eserlerin kataloglan-
masına öncülük yapmıs¸tır. Bir çok deneme sonucunda 30 Ag˘ustos
1801’de Fransızlar ˙Ingiliz askeri kuvvetlerine yenilerek teslim olmus¸
ve Mısır’ı terketmeye zorlanmıs¸tır. Fransızların, Rosetta kayası adı
verilen yazıt hariç tüm bilimsel belge- leri ve tarihi eselerini
Fransaya götürmesine izin verilmis¸tir, bu yazıt halen British
Museum’da bulunmaktadır. Fourier 1801 Kasımında Ecole
Polytechnique’deki gö- revine döner fakat çok kısa bir süre sonra,
1802 S¸ubatında Fransız Alplerinde bu- lunan Isere eyaletine vali
olarak atanır.
1798-1802 yılları arasındaki bu seyahatleri Fourier’in sag˘lıg˘ı
üzerinde kalıcı izler bırakmıs¸tır, Mısır’dan Alplere uzanan bu
yolculukta maruz kaldıg˘ı ani ve kes- kin iklim deg˘is¸iklig˘i nedeniyle
ömrünün geri kalanında bazı kronik rahatsızlıklarla mücadele
etmis¸tir. Bu rahatsızlıklar nedeniyle Furier’in çok sıcak mekanlarda
ikamet ettig˘i ve sıcak yaz aylarında bile çok kalın giyindig˘i bilinir.
˙Ironik biçimde Fourier’in matematik camiasında tanınması ısı
yayılımı üzerine yaptıg˘ı çalıs¸malar sayesinde gerçekles¸mis¸tir.
Fourier bu çalıs¸malarını ilk olarak 21 Aralık 1807 tari- hinde Institut
de France’da sundug˘u Memoire sur la propagation de la chaleur adlı

2. çalıs¸masında açıklams¸tır. Fourier’in bu çalıs¸masında kullandıg˘ı
yöntemler çıg˘ır açıcı niteliktedir. O dönemde tanınmıs¸ tüm
matematikçiler sürekli fonksiyonlarla çalıs¸ırken Fourier bu
çalıs¸masında süreksiz fonksiyonlarla ug˘ras¸mıs¸tır. Herkes in- tegral
kavramını sadece bir antitürev olarak ele alırken Fourier bu
çalıs¸masında integralleri birer alan olarak kullanmıs¸tır. O dönemde
daha bir serinin yakınsak- lıg˘ı kavramı tanımlanmamıs¸ken Fourier
bu kavramı kullanmıs¸tır. Fourier’in bu ça- lıs¸masından sonra
fonksiyon, integral, yakınsaklık gibi kavramların tanımlanması veya
yeniden ele alınması ihtiyacı açıg˘a çıkmıs¸tır. Elbette 1807 yılında
Fourier’in bu çalıs¸ması iyi anlas¸ılamamıs¸ ve yog˘un bir biçimde
eles¸tirilmis¸tir. Lacroix, Laplace, Lagrange ve Monge’den olus¸an bir
komite Fourier’in bu çalıs¸masını incele- yip bir rapor sunmak üzere
toplanmıs¸ fakat bunu yapmamıs¸tır. Eles¸tiriler genel- likle Laplace ve
Lagrange’dan gelmis¸tir ve temelde iki konu üzerindedir. Bunlar
Fourier’in ısı iletim denklemini elde ederken uyguladıg˘ı bazı
yöntemler ve daha sonra kullandıg˘ı tirgonometrik fonkiyon
serileridir, bu seriler günümüzde Fourier serileri olarak bilinir.
Fourier bu eles¸tirilerin hepsine cevap vermis¸tir fakat dig˘er yandan
Jean-Baptiste Biot, Mercure de France gazetesinde bu konuda
yayınladıg˘ı eles¸tiri mektuplarının birinde soru is¸aretlerinin
giderilmesi için ısı iletimi konu- sunda en iyi çalıs¸manın enstitü
tarafından seçilip ödüllendirilmesi için herkese açık bir yarıs¸ma
bas¸latılmasını önermis¸tir. Yarıs¸maya katılan iki çalıs¸madan
ödülü 1812 yılında Fourier’in biraz daha gelis¸tirerek sundug˘u
çalıs¸ması kazanmıstır fakat enstitü yine ikna olmamıs¸ ve
1807’de oldug˘u gibi bu çalıs¸mayı yine yayınlamamıs¸- tır. Fakat
bu vesileyle Fourier artık tanınmıs¸ bir matematikçi olmus¸tur. S¸imdi
Fourier’in bu çalıs¸malarında ele aldıg˘ı, ısıtılmıs¸ ince bir çubuktakı
ısı yayılımı problem ini inceleyelim.
1.2 Isı ˙Iletim Denklemi
Iletken bir materyalden yapılmıs¸ ince bir çubug˘un x ekseni
boyunca yerles¸mis¸ ol- dug˘unu düs¸ünün. Problem, herhangi bir t
zamanında çubug˘un herhangi bir x ko- numundaki sıcaklıg˘ı veren
bir u(x , t ) fonksiyonu bulmaktır. As¸ag˘ıdaki kos¸ullar al- tında
çalıs¸acag˘ız:
1. Çubug˘un dıs¸ yüzeyi ortamdan izole haldedir, yani çubuk ile
dıs¸ ortam ara- sında çubug˘un dıs¸ yüzeyi boyunca ısı iletimi
mümkün deg˘ildir,
2. Çubuk, A alanlı ve sabit p yog˘unluklu düzgün bir kesite
sahiptir,
3. Herhangi bir t zamanında verilen bir x apsisli her noktada
çubug˘un sıcaklıg˘ı aynıdır.

3. 4. Sıcaklık öyle düzgün yayılmaktadır ki u fonksiyonu her iki
deg˘is¸kenine göre de sürekli ikinci mertebe kısmi türevlere sahiptir.
Hedefimiz olan u(x , t ) fonksiyonunu elde etmek amacıyla
çubug˘un x ile x + h apsisleri arasındaki küçük bir diliminde
enerjinin korunum u yasasını uygulayacag˘ız (Bkz: S¸ekil 1.2).
S¸ekil 1.1: Problemde sözü edilen çubuk
Eg˘er materyalin öz ısı katsayısı c ise (maddenin birim kütlesinin
sıcaklıg˘ını bir derece yükseltmek için gereken ısı miktarına o
maddenin öz ısı katsayısı denir) ve herhangi bir t zamanında
çubug˘un x apsisi boyunca her noktasında sıcaklıg˘ı u(t ) ise bu
durumda Ω yog˘unluklu ve Ah hacimli dilimdeki toplam ısı
Q (t ) = (öz ısı katsayısı) x(kütle) x (sıcaklık deg˘is¸imi) = cm∆T
= cρ Ahu(t )
es¸itlig˘i ile verilir, burada mutlak sıfır decede ısı olmadıg˘ını kabul ettik.
S¸imdi bir P := {x0 , x1 ,. .., xn } parçalanmasıyla bu dilimi n tane
alt dilime bö- lelim. Bu durumda her dilimin kütlesi mn := Ω
A(xn+1 ° xn ) olur. Her x sayısı için x apsisli noktalardaki toplam ısı
u(x ,t ) oldug˘undan P parçalanmasının norm u sınırsızca küçülürse
limit durum unda çubug˘un toplam ısısı
Q (t ) = ∑c p Au(x , t )(xn+1- xn )
olur. Bu da c Ω Au(x , t ) fonksiyonunun bir Riemann toplamı olup u
fonksiyonu sü- rekli dolayısıyla integrallenebilir oldug˘undan,
çubug˘un toplam ısısı
Q (t ) =
x +h
∫ 𝑐𝑝𝐴𝑢( 𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠
x
olur. Ayrıca ut ile u fonksiyonunun zaman deg˘is¸kenine göre
türevini gösterecek olursak, toplam ısının zamanla deg˘is¸im hızı da
Q'(t)=∫ 𝑐
𝑥 +ℎ
𝑥
pAu(s,t)ds
olarak elde edilir.
Şimdi bu dilime enerjinin korunumu yasasını uygulayacag˘ız. Çubuk
ortamdan izole oldug˘undan bu dilime ısı ya x ile x + h apsisli
kenarlardan girer, ya da içinde üretilir (örneg˘in çubuktan geçen

4. elektrik akımına direnç sebebiyle). Eg˘er çubuk içinde birim
hacimde sabit bir q hızıyla ısı üretiliyorsa dilimin tamamında üretim
hızı q Ah olur. Fourier kendi çalıs¸masında yan kenarlardan gelen
ısıyı ele alırken her dik kesitten birim alanda geçen ısının deg˘is¸im
hızının, sıcaklık gradiyenti ile (yani sıcaklıg˘ın x deg˘is¸kenine göre
türevi ile) orantılı oldug˘unu kabul etmis¸tir. Bu durumda
kenarlardan akan ısı oranı
-KAux (x , t ) ve -KAux (x + h, t )
olur. Buradaki k sabitine termal iletkenlik katsayısı denir ve pozitif
kabul edilir, dolayısıyla negatif is¸aret sıcaklıg˘a göre ters yönde ısı
akımını gösterir (sıcaktan sog˘ug˘a), buna bugün Fourier yasası
diyoruz. S¸imdi enerjinin korunum u yasasına göre bu dilim in
toplam ısısı ile içinde ürettig˘i ve kenarlardan kazandıg˘ını (veya
kaybettig˘i) ısının toplamı es¸it olmalıdır, dolayısıyla türevler de es¸it
olacag˘ından
∫ 𝑐
𝑥+ℎ
𝑥
pAut(s,t)ds=qAh-KAux(x,t)+kA ux(x,x+h,t)
eşitligi saglanır, burada dilimin sağ kenardan ısı kazandığı ve sol kenardan da ısı
kaybettiğini varsaydık. Bu eşitligi Ah ile bölüp h-0 iç in limit alınırsa
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
1
ℎ
∫ 𝑐𝑝𝑢𝑡𝑠(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 = 𝑞 + 𝑘
𝑥+ℎ
𝑥
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
𝑢𝑥 (𝑥+ℎ𝑡)− 𝑢𝑥( 𝑥, 𝑡)
ℎ
=q+k 𝑢 𝑥𝑥(x,t)
eşitliği elde edilir.Diğer yandan türevin tanımı kalkülüsün temel teoremi kullanılırsa
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
1
ℎ
∫ 𝑐𝑝𝑢𝑠𝑡(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 = 𝑞 + 𝑘
𝑥+ℎ
𝑥
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
𝑢 𝑥( 𝑥+ℎ, 𝑡)−𝑢 𝑥 𝑈( 𝑥, 𝑡)
ℎ
=q+k 𝑢 𝑥( 𝑥, 𝑡)
eşitliği elde edilir.Diğer yandan türevin tanımı ve kalkülüsün temel teoremi
kulllanılırsa;
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
∫ 𝑐𝑝𝑢𝑡 (𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠
𝑥+ℎ
𝑥
ℎ
=
𝑙𝑖𝑚
ℎ−0
∫ 𝑐𝑝𝑢𝑡(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 −∫ 𝑐𝑝𝑢𝑡(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠
𝑥
0
𝑥+ℎ
0
ℎ
=
𝑑
𝑑𝑥
(∫ 𝑐𝑝𝑢𝑡(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠
𝑥
0
=cput(x,t)
olduğu görülür.Böylece
cput(x,t)=q+k 𝑢 𝑥𝑥(x,t) eşitliğne varılır.Eğer üretilen bir iç ısı yoksa ve
k:=
𝑘
𝑐𝑝
sabitini tanımlarsak;
𝑢 𝑡(x,t)= 𝑘𝑢 𝑥𝑥(x,t)
denklemi elde edilir, bu denkleme literatürde ısı denklemi veya difüzyon
denklemi denir.
Bu denklemin bir çözüm ünü bulmak için Fourier’in kullandıg˘ı yöntemi
incelemeden önce bu tip denklemler için bazı genel bilgiler verelim.

5. .
1.3 Deg˘is¸kenlere Ayırma Yöntemi
S¸imdi ısı denklem ini içeren bir sınır deg˘er problemi için bir çözüm
arayacag˘ız. f fonksiyonu sürekli olmak üzere
ut = kuxx (x , t ) € D
u(0, t ) = 0 t ≥ 0
u(a, t ) = 0 t ≥ 0
u(x ,0) = f (x ) 0 ≤ x ≤ a
es¸itliklerini sag˘layan ve D kümesinde C 2 sınıfından olan bir u : D -
R fonksiyonu bulacag˘ız.
Bu fonksiyonu
u(x ,t ) = X (x )T (t )
biçiminde arayacag˘ız, burada X ve T fonksiyonları sırasıyla x ve t
deg˘is¸kenlerinin bilinmeyen fonksiyonlarıdır. Yöntemin ismi bu
varsayımdan gelmektedir, aslında çözümün bu yapıya sahip
olmasını varsaymak için hiçbir sebep yoktur, Fourier böyle bir
çözüm ararken d’Alembert’in bas¸ka bir problemde kullandıg˘ı bir
yöntemden ilham almıs¸tır.
Böyle bir çözüm mevcutsa her (x , t ) € D için
XT ' = ut = kuxx = kX ''T
eşitlikleri sağlanır. ˙Ilaveten 0 < x < a için X (x ) ≠0 ve t > 0 için T (t ) ≠ 0
varsayarsak;
T 0
k X 00
T
=
X
es¸itlig˘inin sag˘landıg˘ını görürüz. Bu son es¸itlig˘in sol tarafı sadece t
deg˘is¸kenine bag˘lı, sag˘ tarafı da sadece x deg˘is¸kenine bag˘lıdır. x ’in bir
fonksiyonunun t ’nin bir fonksiyonuna es¸it olabilmesinin tek yolu bunların
sabit olmasıdır. Bu sabiti -λ ile gösterelim, böylece
T 0
+ λT = 0 ve k X 00
+ λX = 0
es¸itlikleri elde edilir. Sonuç olarak iki deg˘is¸kenli bir kısmi diferensiyel
denklemi iki tane adi diferensiyel denkleme indirgemis¸ olduk.
˙Ilk denklemin genel çözümü
T (t ) = Ce °∏t
şeklindedir, burada C keyfi bir sabittir. T fonksiyonu bas¸ta
varsaydıg˘ımız gibi hiç sıfır olmaz.

6. ˙ Ikinci denklemin çözümü ∏ sayısının is¸aretine göre deg˘is¸ir, s¸imdi bu
durumları ayrı ayrı inceleyelim.
1. λ < 0 durumu: Bu durum da denklem i k ile bölüp µ := λ /k
tanımını yaparsak denklemin genel çözüm ü, A ve B keyfi
sabitler olmak üzere
X (x ) = A𝑒√−𝑢𝑥 + Be
biçiminde olur. Bu çözümde sınır kos¸ulları olan u(0, t ) = 0 ve
u(a, t ) = 0 es¸it- liklerini göz önünde bulundurursak
p p
A + B = 0 ve Ae °µa
+ Ae ° °µa
= 0
es¸itlikleri elde edilir ki bunların sag˘lanm asının tek yolu
A = B = 0
olmasıdır. Bu ise X (x ) = 0 ve
dolasıyla
u(x ,t ) = X (x )T (t ) = 0
olmasını gerektirir, yani bu durum da çözüm olarak as¸ikar
çözüme ulas¸mıs¸ oluruz
2. λ = 0 durumu: Bu durumda denklem X 00 = 0 halini alır
ve genel çözümü, A ve B keyfi sabitler olmak üzere X (x ) =
A + Bx biçimindedir. Sınır kos¸ulları deg˘erlendirilirse yine
A = B = 0 oldug˘u görülür, yani bu durumda da as¸ikar
çözüme ulas¸ılır.
3. λ > 0 durumu: Bu durumda genel çözüm
X (x ) = A sin √µ𝑥 + B cos√ µ𝑥
biçimindedir. ˙Ilk sınır kos¸ulu olan u(0, t ) = 0 es¸itlig˘inin
kullanırsak B = 0 ol- dug˘unu görürüz. Dig˘er sınır kos¸ulu olan
u(a, t ) = 0 es¸itlig˘ini de göz önünde bulundurursak
A sin √µ𝑎 = 0
es¸itlig˘ine varılır, bunun da sag˘lanması için, n 2 N keyfi olmak üzere
p
µ
a =nº biçiminde olması gerekir. Böylece n 2 N ve An sayıları keyfi
sabitler olmak üzere
λ=µ𝑘=
𝑛𝜋
𝑎
k
biçiminde sonsuz sayıda çözümün varlıg˘ı elde edilir.
Bu üç durumda dikkat edilirse sadece λ > 0 için as¸ikar çözüm
dıs¸ında çözüm bulabildik, ayrıca bu çözümlerin de λ’nın
sadece

7. λ=µ𝑘=
𝑛′2𝜋′2
𝑎′2
k
biçimindeki degerleri için var oldug˘unu gördük. Sonuç olarak bu
yöntemle ısı denkleminin asikar olmayan
𝑢 𝑛 (x,t)=𝑐 𝑛 e𝑒−𝑛′2𝜋 ′2 𝑘𝑡 /𝑎′2
sin(nπ/a)x
biçiminde keyfi çoklukta çözümünü bulmus¸ olduk, burada cn := C
An sayıları keyfi sabitlerdir. Bas¸ta farzettig˘imizin aksine
buçözümün sıfırları mevcuttur ama bu bi- zim için bir sorun tes¸kil
etmez, çünkü sonuçta verilen ısı denklemini ve sınır ko- s¸ullarını
saglayan ve D kümesinde C 2 sınıfından bir fonksiyon bulabildik.
Ilaveten verilen başlangıç kos¸ulunu sağlayan bir fonksiyonu
bulmak bizi Fourier serisi kavramına götürecek temel problemdir,
bunu inceleyebilmek için sıradaki bölümde verecegimiz temel
bilgilere ihtiyacımız var.

8. S¸ekil 1.2: Yukarıdaki örnekte bahsedilen serinin ilk dört terim için grafikleri