ANALISI DEL DEGRADO IN STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO, PARTE 2: MODELLI PER...
B.Sc. Thesis
1. Universit`a degli Studi di Firenze
Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di Laurea in Fisica di I livello
Distribuzione di acqua di
irrigazione
mediante tubi permeabili
Candidato: Raffaele Salvucci
Relatore: Prof. Antonio Fasano
Anno Accademico 2009/2010
3. Capitolo 1
Introduzione
Nel lavoro [2] si sono gettate le basi per lo studio di sistemi ltranti a bra cava, ossia
costituiti da un gran numero di membrane tubolari, mediante la cosiddetta procedura
di upscaling. Quest'ultima ha come primo passo la scrittura delle equazioni di uidodi-
namica al livello microscopico (nel caso specico dei moduli con un gran numero di bre
cave, all'interno e all'esterno di ogni singola bra). In esse si riconoscono due variabili
spaziali: quella lungo il usso macroscopico, ossia la variabile longitudinale, e quella
nella direzione del usso radiale. Il usso radiale è quello destinato ad attraversare la
membrana e come tale è più lento del precedente. Infatti il rapporto ε tra le dimensioni
trasversali (raggio interno) e longitudinali (lunghezza) della bra è generalmente molto
piccolo. Ciò consente di introdurre una doppia riscalatura sia per le coordinate, sia
per le componenti della velocità. Denendo quindi in modo opportuno le grandezze
adimensionali, si giunge a scrivere un sistema di equazioni caratterizzato dalla presen-
za di varie potenze del parametro ε. Sviluppando in serie di potenze di ε le diverse
variabili ed uguagliando i termini con uguali esponenti nelle varie equazioni del sistema
adimensionale si giunge a scrivere le equazioni per determinare le approssimazioni delle
grandezze di interesse ai vari ordini in ε. Le rispettive medie sulle sezioni trasversali
conducono alle grandezze osservabili macroscopicamente.
Per quanto laborioso, questo metodo ha il grande vantaggio di dedurre le leggi
macroscopiche non semplicemente su basi euristiche, ma partendo dalla reale sica del
problema.
Tipici apparati che usano pacchetti di bre cave (anche nell'ordine di migliaia)
sono i moduli di ultraltrazione dell'acqua e i dializzatori, che naturalmente hanno una
concezione molto diversa e cercano di riprodurre alcune funzioni del rene (il quale pure
potrebbe essere schematizzato come un sistema che utilizza pacchetti di bre cave).
Il lavoro [2] studia in particolare i moduli di ultraltrazione dell'acqua, ma evidenzia
anche il dierente comportamento dei dializzatori dovuto sia alle diverse condizioni di
impiego, sia alle diverse caratteristiche geometriche.
In questo lavoro di tesi ci occuperemo di tubi da irrigazione usati nella congurazione
2
4. CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 3
di uscita bloccata (dead end), ossia tubi con una parete permeabile, dai quali l'acqua
esce grazie alla pressione interna e al fatto che le pareti del tubo sono permeabili. Le
pareti infatti sono eettivamente costruite con materiale permeabile, come nel caso
dei tubi a bassa portata per piccoli appezzamenti di terreno, oppure hanno pareti
impermeabili e resistenti alle alte pressioni, nelle quali vengono praticate delle aperture
periodiche in modo da creare una permeabilità articiale.
Figura 1
Che rapporto può esserci tra i tubi di irrigazione e le bre cave dei vari tipi di
ltro? La relazione è molto stretta dal punto di vista geometrico, poiché anche per i
tubi abbiamo il famoso piccolo parametro ε (rapporto tra raggio interno e lunghezza)
che consente di utilizzare il metodo di upscaling. Quindi si può seguire la procedura
tracciata in [2]. Naturalmente gli obiettivi sono diversi. La domanda cui vogliamo
rispondere è la seguente:
conoscendo la quantità d'acqua da trasmettere al terreno per unità di lunghezza del
tubo, come dimensionare i parametri fondamentali per ottenere quella portata e anche
una perdita di acqua sucientemente uniforme lungo il tubo?
Più precisamente bisogna trovare:
-la permeabilità (vera o articiale) della parete del tubo,
-la pressione da applicare.
Nei tubi a bassa portata le pressioni sono modeste e infatti questi impianti sono
alimentati per gravità da piccoli serbatoi sopraelevati (Fig 1). Nei tubi ad alta portata
(Fig 2) la pressione viene fornita da pompe.
A dispetto dell'apparenza relativamente semplice, questo studio si rivela alquanto
complesso. Infatti l'uso delle equazioni di Navier-Stokes richiede che il usso del uido
sia laminare, implicando un limite per il numero di Reynolds. Inoltre la procedura di
upscaling conduce ad equazioni trattabili soltanto se il numero di Reynolds è piccolo
rispetto a 1/ε. Questi vincoli riducono notevolmente gli intervalli di variabilità dei
parametri sici.
5. CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 4
Figura 2
Nel caso di tubi a bassa portata i due vincoli sul numero di Reynolds impongono,
come vedremo, condizioni sui parametri geometrici e sulla portata molto restrittive,
fornendoci poca libertà di scelta sulla soluzione nale. Per quanto riguarda l'altra
tipologia di tubi, chiaramente abbiamo a che fare con una portata totale maggiore, ma
se si utilizza un raggio del tubo più grande il regime di usso è ancora laminare. Inoltre
anche la seconda condizione sul numero di Reynolds non porta particolari problemi
aumentando la lunghezza del tubo; l'unico punto critico è bilanciare la pressione appli-
cata con la permeabilità equivalente che deve essere drasticamente più piccola rispetto
ai tubi a bassa portata. Il rilascio dell'acqua lungo il tubo avviene grazie a dei piccoli
fori praticati su di esso e la permeabilità equivalente dipende esclusivamente dalla den-
sità lineare di questi ultimi e dalla loro geometria. Per mancanza di spazio abbiamo
considerato, in questo lavoro, soltanto i tubi a bassa portata.
Gli articoli [5] ,[6] e[7] sono tutto ciò che si è reperito in letteratura sui ussi in tubi
con parete porosa e sono molto diversi dal nostro approccio, sia perché non riguardano
la congurazione dead-end, sia perché non considerano alcuna legge sica per il usso
attraverso la parete. Lo studio svolto nella tesi non pare avere alcun precedente in
letteratura, avendo reperito soltanto rari esempi di lavori in cui si considerano ussi
in tubi con pareti permeabili, ma in una congurazione di usso diversa e tramite una
descrizione puramente euristica della perdita laterale di uido.
6. Capitolo 2
Denizioni base
Consideriamo un tubo costituito da materiale poroso, il cui raggio esterno è H∗1
e il
raggio interno è R∗
. Lo spessore della parete è:
S∗
= H∗
− R∗
.
La lunghezza del tubo è L∗
. Un' assunzione chiave del nostro studio è che:
ε =
R∗
L∗
1.
L'analisi che segue ricalca lo studio svolto in [2] sul usso di acqua in una bra
permeabile cava nella congurazione dead-end (ossia con l'acqua che entra nel canale
interno, ma può uscire soltanto attraverso la parete permeabile). Tale congurazione è
appunto quella utilizzata per i tubi di irrigazione. Le bre studiate in [2] sono quelle uti-
lizzate negli impianti di ultra-ltrazione dell'acqua. La presente impostazione dierisce
però da quella di [2] per una diversa scelta delle grandezze di riferimento. Con riferi-
mento alle suddette bre cave, gli ordini di grandezza tipici sono i seguenti: R∗
∼10−4
m,
e L∗
∼ 1m, così che ε ∼ 10−4
. In altri dispositivi, per esempio i dializzatori, si hanno
invece valori tipici di queste grandezze dell'ordine di R∗
∼ 10−4
m, e L∗
∼ 10−2
m, che
danno come risultato ε ∼ 10−2
. Come vedremo, ε è uno dei parametri critici per questi
sistemi.
Nel caso dei tubi le dimensioni sono totalmente diverse e possono variare molto a
seconda che si tratti di tubi ad alta o bassa portata. Ad esempio per un tubo a bassa
portata possiamo avere:
R∗
= 0, 5 · 10−2
m, L∗
= 100m, S∗
= 10−3
m.
Nel seguito useremo questi come valori di riferimento. Resta però in comune col
caso delle bre cave la presenza del piccolo parametro ε = R∗
/L∗
(5 · 10−5
nel caso dei
valori suddetti).
1I simboli con
∗
indicano grandezze dimensionali.
5
7. CAPITOLO 2. DEFINIZIONI BASE 6
Per comodità in queste considerazioni preliminari ci riferiamo alle bre cave che
sono descritte in [2] con grande dettaglio.
Per descrivere il usso del liquido che scorre nella cavità cilindrica, introduciamo la
coordinata longitudinale x∗
e quella radiale r∗
. A causa della simmetria rotazionale del
problema la coordinata azimutale non appare mai.
Nella bra, identichiamo due dierenti regioni (vedi Figura 3):
- Canale centrale, 0 ≤ r∗
≤ R∗
, 0 ≤ x∗
≤ L∗
.
- Membrana porosa, R∗
≤ r∗
≤ H∗
, 0 ≤ x∗
≤ L∗
.
Tratteremo il uido come Newtoniano incomprimibile con densità ρ* e viscosità
µ* costanti, essendo la temperatura non variabile. Infatti ci riferiremo praticamente
all'acqua.
Inoltre assumiamo che la membrana porosa sia isotropa e rigida. La sua porosità,
denotata dal simbolo φ, e la sua permeabilità K∗
, [K∗
] = m2
, sono uniformi e costanti.
Il usso all'interno della membrana è governato dalla legge di Darcy. (Vedi ad es.
[1]).
Il uido entra attraverso la supercie (x∗
= 0, 0 ≤ r∗
≤ R∗
), dove la pressione P∗
in è
impostata. Nella modalità di funzionamento dead-end del dispositivo il liquido esce
esclusivamente dalla supercie laterale ( 0 ≤ x∗
≤ L∗
, r∗
= H∗
), con una pressione P∗
lat
uguale a quella atmosferica, essendo chiusa l'estremità nale.
Figura 3
8. CAPITOLO 2. DEFINIZIONI BASE 7
Adimensionaliziamo e riscaliamo le variabili spaziali nel seguente modo:
x =
x∗
L∗
,
r =
r∗
R∗
.
Di conseguenza abbiamo:
∂(.)
∂x∗
=
1
L∗
∂(.)
∂x
,
∂(.)
∂r∗
=
1
L∗ε
∂(.)
∂r
.
Inoltre introduciamo le seguenti grandezze adimensionali:
H =
H∗
R∗
,
S =
S∗
R∗
,
così che:
H = 1 + S.
Indichiamo con
V∗
= v∗
xex + v∗
r er,
la velocità del uido nel canale più interno, e con
U∗
= u∗
xex + u∗
rer,
la velocità all'interno della membrana porosa.
Successivamente, introduciamo v∗
c , ovvero la velocità caratteristica del usso lon-
gitudinale, e u∗
c la velocità caratteristica di attraversamento delle pareti laterali. La
denizione di entrambe queste grandezze verrà specicata in seguito, in base alle con-
dizioni di funzionamento del dispositivo.
Il tempo di convenzione caratteristico è:
t∗
c =
L∗
v∗
c
,
lo scegliamo come scala temporale di riferimento, così che
t =
t∗
t∗
c
,
è la variabile temporale adimensionalizzata.
9. CAPITOLO 2. DEFINIZIONI BASE 8
Dopodiché deniamo
vx =
v∗
x
v∗
c
, (2.1)
vr =
v∗
r
εv∗
c
, (2.2)
così che V∗
= v∗
c (vxex + εvrer). Relativamente alla velocità attraverso la membrana,
adottiamo il seguente riscalamento:
ux = Sε
u∗
x
u∗
c
, (2.3)
ur =
u∗
r
u∗
c
, (2.4)
dove Sε = S∗
L∗ . Così abbiamo:
U∗
= u∗
c(
1
Sε
uxex + urer).
Denotiamo con P∗
h = P∗
h (x∗
, r∗
, t∗
) la pressione del uido nel canale centrale e con
P∗
m = P∗
m(x∗
, r∗
, t∗
) la pressione nella membrana porosa. Poi, introduciamo la dierenza
di pressione che governa il usso
p∗
h = P∗
h − P∗
in,
p∗
m = P∗
m − P∗
in,
dove P∗
in, come abbiamo detto, è la pressione di ingresso data. Riscaliamo p∗
h con p∗
h,c
(dierenza di pressione caratteristica all'interno del canale), e p∗
m con p∗
m,c (dierenza
di pressione caratteristica all'interno della membrana, o pressione-trans-membranica,
TMP), denendo le quantità adimensionali
ph =
p∗
h
p∗
h,c
,
pm =
p∗
m
p∗
m,c
.
Grazie alla formula di Poiseuille possiamo dare una forma esplicita alla pressione
caratteristica p∗
h,c
p∗
h,c =
v∗
c µ∗
L∗
R∗2
. (2.5)
10. CAPITOLO 2. DEFINIZIONI BASE 9
Deniamo p∗
m,c in base alla legge di Darcy
φu∗
c =
K∗
p∗
m,c
µ∗S∗
. (2.6)
La grandezza φu∗
c è la velocità volumetrica attraverso la membrana che noi identi-
chiamo con la lettera q∗
c .
Quindi per p∗
m,c si ha:
p∗
m,c =
q∗
c µ∗
S∗
K∗
.
La scelta di v∗
c e quindi anche delle p∗
h,c e p∗
m,c sarà analizzata nel prossimo capitolo.
11. Capitolo 3
Modello
3.1 Scelta delle grandezze di riferimento
Deniamo v∗
c nel seguente modo:
v∗
c =
2φu∗
c
ε
=
2q∗
c
ε
, (3.1)
che deriva dall'uguaglianza del usso di uscita laterale e quello di entrata
2πR∗
L∗
q∗
c = πR∗2
v∗
c .
Per quanto riguarda i tubi di irrigazione la quantità di maggiore interesse pratico è
la portata specica (portata per unità di lunghezza). Questa grandezza ci denisce sia
v∗
c , sia q∗
c nel seguente modo:
q∗
c 2πR∗
= V ∗
c,spec,
πR∗2
v∗
c
L∗
= V ∗
c,spec,
da cui
q∗
c =
V ∗
c,spec
2πR∗
, v∗
c =
L∗
V ∗
c,spec
πR∗2
. (3.2)
In particolare, grazie alla (3.1), le formule (2.3), (2.4) diventano
ux =
2φS
v∗
c
u∗
x, (3.3)
ur =
2φ
εv∗
c
u∗
r. (3.4)
Per quanto riguarda p∗
h,c grazie alla (2.5) , si ottiene:
p∗
h,c =
µ∗
πR∗2ε2
V ∗
c,spec,
10
12. CAPITOLO 3. MODELLO 11
ovvero, utilizzando le (3.2),
p∗
h,c =
1
SΓ
p∗
m,c, (3.5)
con
Γ =
R∗4
2L∗2K∗
=
ε2
2Da
, (3.6)
dove
Da =
K∗
R∗2
, (3.7)
è il cosiddetto numero di Darcy; inne per p∗
m,c si ottiene la seguente:
p∗
m,c =
µ∗
S∗
2πR∗K∗
V ∗
c,spec.
3.2 Equazioni di usso
Incominciamo col considerare il usso nel canale interno. L'incomprimibilità meccanica
è espressa da:
∗
· V∗
= 0, (3.8)
dove
∗
· denota l'operatore di divergenza rispetto alle coordinate spaziali x∗
e r∗
(coordinate cilindriche). La versione adimensionale della (3.8) è:
∂vx
∂x
+
1
r
∂
∂r
(rvr) = 0. (3.9)
Il usso, se in regime laminare, è governato dall' equazione di Navier-Stokes
ρ ∗
∂V∗
∂t∗
+ (V∗
· ∗
)V∗
= − ∗
p∗
h + µ∗ ∗
V∗
, (3.10)
dove la gravità è stata trascurata.
La forma adimensionale della legge di Navier-Stokes coinvolge il numero di Reynolds
Re =
ρ∗
v∗
c R∗
µ∗
=
ρ∗
R∗2
µ∗2
ε
SΓ
p∗
m,c, (3.11)
così che la (3.10) prende la seguente forma per le due componenti della velocità:
Re
ε
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vr
∂vx
∂r
= −
1
ε2
∂ph
∂x
+
∂2
vx
∂x2
+
1
ε2r
∂
∂r
(r
∂vx
∂r
), (3.12)
Re
ε
∂vr
∂t
+ vx
∂vr
∂x
+ vr
∂vr
∂r
= −
1
ε4
∂ph
∂r
+
∂2
vr
∂x2
+
1
ε2
(
∂
r∂r
(r
∂vr
∂r
) −
vr
r2
). (3.13)
13. CAPITOLO 3. MODELLO 12
Infatti per la componente longitudinale si ha:
ρ∗ ∂v∗
x
∂t∗
+ (v∗
x
∂
∂x∗
+ εv∗
r
∂
∂r∗
)(v∗
x) = −
∂p∗
h
∂x∗
+ µ∗
(
1
r∗
∂
∂r∗
(r∗ ∂v∗
x
∂r∗
) +
1
r∗2
∂2
v∗
x
∂φ2
+
∂2
v∗
x
∂x∗2
),
essendo il nostro problema invariante per rotazione attorno all'asse di moto del uido,
i campi non dipendono da φ. Introducendo le variabili adimensionali si ottiene:
ρ∗ vc
∗2
L∗
∂vx
∂t
+ vc
∗2
(
vx
L∗
∂vx
∂x
+ ε
vr
R∗
∂vx
∂r
) = −
∂ph
∂x
p∗
h,c
L∗
+µ∗
(
1
r
∂
∂r
1
R∗2
(r
∂vx
∂r
)v∗
c +
∂2
vx
∂x2
vc
∗2
L∗2
),
inoltre utilizzando la relazione
p∗
h,c =
v∗
c µ∗
L∗
R∗2
,
si ottiene:
ρ∗
µ∗
v∗
c
L∗
∂vx
∂t
+ v∗
c (
vx
L∗
∂vx
∂x
+ ε
vr
R∗
∂vx
∂r
) = −
∂ph
∂x
1
R∗2
+ (
1
r
∂
∂r
1
R∗2
(r
∂vx
∂r
) +
∂2
vx
∂x2
1
L∗2
),
moltiplicando ambo i membri per R∗2
ed esprimendo il numero di Reynolds
εRe
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vr
∂vx
∂r
= −
∂ph
∂x
+
1
r
∂
∂r
(r
∂vx
∂r
) + ε2 ∂2
vx
∂x2
,
dividendo per ε2
Re
ε
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vr
∂vx
∂r
= −
1
ε2
∂ph
∂x
+
∂2
vx
∂x2
+
1
ε2
1
r
∂
∂r
(r
∂vx
∂r
).
Per la componente radiale:
ρ∗
ε
∂v∗
r
∂t∗
+ (v∗
x
∂
∂x∗
+ εv∗
r
∂
∂r∗
)(v∗
r ε) = −
∂p∗
h
∂r∗
+µ∗
ε
1
r∗
∂
∂r∗
(r∗ ∂v∗
r
∂r∗
) +
∂2
v∗
r
∂x∗2
− ε
v∗
r
r∗2
,
adimensionalizzando
ρ∗
ε
v∗
c
t∗
c
∂vr
∂t
+ vc
∗2
ε(
vx
L∗
∂vr
∂x
+ ε
vr
R∗
∂vr
∂r
) = −
∂ph
∂r
p∗
h,c
R∗
+
+µ∗
ε
1
R∗2
1
r
∂
∂r
(r
∂vr
∂r
)v∗
c +
v∗
c
L∗2
∂2
vr
∂x2
−
εv∗
c vr
R∗2r2
,
tramite qualche passaggio matematico simile a quelli fatti per la parte longitudinale si
ottiene la (3.13).
14. CAPITOLO 3. MODELLO 13
Tornando al numero di Reynolds, andiamo a esplicitare la sua dipendenza dal-
la portata totale, considerando la (3.11), dove andiamo a sostituire la (3.2)2, ovvero
l'espressione per la velocità caratteristica v∗
c , ottenendo:
Re =
ρ∗
µ∗
V ∗
tot
πR∗
, (3.14)
dove V ∗
tot non è altro che la portata totale, ovvero in termini di quella specica V ∗
tot =
L∗
V ∗
spec.
Per quanto riguarda i vincoli sul numero di Reynolds vogliamo che siano vericate
due condizioni:
(i) : il usso è in regime laminare,
Re 1000,
(ii) : Re è di ordine inferiore a 1/ε. Quest'ultimo fatto ci consente di trascurare i
termini che hanno a fattore Re/ε rispetto a quelli che hanno a fattore potenze ε−n
con
n ≥ 2. Dunque vogliamo:
Re =
ρ∗
V ∗
tot
πµ∗R∗
1
ε
=
L∗
R∗
.
Quest'ultima disuguaglianza equivale a:
ρ∗
V ∗
tot
πµ∗L∗
1, → V ∗
tot
πµ∗
L∗
ρ∗
3 · 10−4
m3
/s.
Ricordando che ρ∗
= 1000Kg/m3
, µ∗
= 10−3
Pa · s, ed assumendo L∗
= 102
m.
Quindi un valore di V ∗
tot dell'ordine di 54 litri/h (cioè 1, 5 · 10−5
m3
/s), che è
soddisfacente dal punto di vista pratico, rientra nel dominio dei valori accettabili.
La condizione (i) diventa un vincolo su R∗
, ossia:
R∗
≥ 10−3 ρ∗
V ∗
tot
πµ∗
∼ 0, 3 · 10−2
m.
D'ora in poi prendiamo R∗
= 5 · 10−3
m.
In particolare è interessante notare che l'unico modo che abbiamo per tenere basso il
numero di Reynolds è agire sul rapporto V ∗
tot/R∗
, poiché la natura del liquido è ssata.
Per quanto riguarda il usso all'interno della membrana, ovvero nel dominio
{1 r 1 + S, 0 ≤ x ≤ 1}, le equazioni sono:
∗
· u∗
= 0, equazione di continuit`a,
u∗
= − K∗
φµ∗
∗
p∗
m, legge di Darcy,
che, combinate, danno
∗2
p∗
m = 0, o, in forma adimensionale
∂2
pm
∂x2
+
1
ε2
1
r
∂
∂r
r
∂pm
∂r
= 0. (3.15)
15. CAPITOLO 3. MODELLO 14
In particolare, scrivendo la legge di Darcy in componenti adimensionali si ha:
ux = −S2
ε2 ∂pm
∂x
,
ur = −S ∂pm
∂r
.
(3.16)
3.3 Condizioni al contorno
In riferimento alla Fig. 1 imponiamo le condizioni al contorno su x = 0, x = L, r = H,
e r = 1, rispettivamente.
FRONTIERA {x = 0, 0 ≤ r ≤ 1} , ( sezione d'ingresso).
In x = 0 la pressione applicata al uido è conosciuta, e noi la ssiamo
ph |x=0= 0. (3.17)
(ma considereremo anche il caso di pressione in ingresso variabile).
FRONTIERA {x = 1, 0 ≤ r ≤ 1} .
La condizione dead-end è
vx |x=1= 0. (3.18)
FRONTIERA {0 ≤ x ≤ 1, r = H} , (supercie esterna del tubo).
In r = H la pressione del uido è conosciuta (quella atmosferica), ovvero p∗
m |r∗=H∗ =
− p∗
m, così che:
pm |r=H= − pm, con pm =
p∗
m
p∗
m,c
≥ 0. (3.19)
Se la pressione in ingresso è variabile, mantenendo la (3.17) bisogna considerare
∆p∗
m = ∆p∗
m (t∗
) .
Naturalmente pm = O(1).
FRONTIERA {0 ≤ x ≤ 1, r = 1} , (supercie interna del tubo).
-La condizione da imporre è la conservazione della massa:
ρ∗
v∗
r |r∗=R∗ = φρ∗
u∗
r |r∗=R∗ , ⇒ vr |r=1=
1
2
ur |r=1, (3.20)
(utilizzando la (2.2), (2.4) e la (3.1)). Ricordando la (3.16)2, otteniamo:
vr (x, 1, t) = −
1
2
S
∂pm
∂r
|r=1 . (3.21)
-Condizione sulla velocità tangenziale all'interfaccia.
16. CAPITOLO 3. MODELLO 15
Nel lavoro [2] si può trovare un'ampia discussione sulla cosiddetta condizione Beavers-
Joseph che riguarda situazioni di slittamento del liquido sull'interfaccia. Qui per
semplicità assumiamo direttamente una condizione di no-slip:
vx |r=1= 0. (3.22)
-Condizione di continuità della pressione.
p∗
h |r∗=R∗ = p∗
m |r∗=R∗ .
Usando la (3.5), si ha:
1
SΓ
ph |r=1= pm |r=1, (3.23)
dove Γ è dato dalla (3.6).
Inne in r = 0, imponiamo le condizioni di simmetria, ovvero:
vr |r=0, e
∂vx
∂r
|r=0= 0. (3.24)
3.4 Sviluppi asintotici
La condizione di separazione delle scale ci permette di utilizzare il metodo di espansione
a doppia scala. La variabile x è la variabile macroscopica (o lenta) mentre r è quella
microscopica (o veloce). I campi incogniti vx, vr, ux, ur, pm, e ph sono cercati nella
seguente forma:
f (x, r, t) = f(0)
(x, r, t) + εf(1)
(x, r, t) + ε2
f(2)
(x, r, t) + ... . (3.25)
Ad ogni quantità microscopica f possiamo associare la corrispondente quantità
macroscopica F, vale a dire:
F (x, t) = f (x, r, t) ,
dove . denota la media su una sezione, nella regione in cui è denita f.
La tecnica degli sviluppi asintotici ci permette di stimare l'accuratezza dell'approssi-
mazione che stiamo facendo no all'ordine desiderato. Ad esempio, l'approssimazione
di ordine zero dà:
F (x, t) ≈ F(0)
(x, t) , dove F(0)
(x, t) = f(0)
(x, r, t) .
Per costruire una teoria approssimata no a O (ε2
), i termini del primo ordine devono
essere calcolati, in modo che:
F (x, t) ≈ F(0)
(x, t) + εF(1)
(x, t) , con F(1)
(x, t) = f(1)
(x, r, t) .
17. CAPITOLO 3. MODELLO 16
Notiamo che le correzioni del primo ordine possono essere relativamente importanti
quando ε non è così piccolo, per esempio ε ∼ 10−2
, (non è però il nostro caso).
In particolare, la condizione al contorno (3.18) può essere riscritta nel seguente
modo:
p(0)
m (x, r, t) + εp(1)
m (x, r, t) + .... |r=1= − pm, (3.26)
che dà:
p(0)
m (x, 1, t) = − pm (t) e p(i)
m (x, 1, t) = 0, i = 1, 2, ...., , (3.27)
se, come detto, pm = O (1) .
Nella sezione 3.5 si mette a punto una teoria che non tiene conto delle correzioni
apportate dai termini superiori all'ordine zero e che è suciente per i nostri scopi.
3.5 Teoria all'ordine zero
Inseriamo gli sviluppi della velocità e della pressione nelle due equazioni di Navier-
Stokes rispettivamente per la coordinata longitudinale (3.12) e per quella radiale (3.13).
Ricordando che Re/ε 1/ε2
l'equazione (3.13), all'ordine ε−4
implica:
∂p
(0)
h
∂r
= 0, ⇒ p
(0)
h = p
(0)
h (x, t) . (3.28)
Dunque la funzione p
(0)
h non dipende dalla coordinata radiale.
Prendendo i termini in cui compare ε−2
nella (3.12) otteniamo la tipica equazione
per il usso longitudinale in una tubazione, ovvero:
−
∂p
(0)
h
∂x
+
1
r
∂
∂r
r
∂v
(0)
x
∂r
= 0. (3.29)
La integriamo tra 0 ed r con le condizioni al contorno viste prima, ovvero:
vr |r=0= 0,
∂vx
∂r
|r=0= 0,
ottenendo:
ˆ r
0
r
∂p
(0)
h
∂x
dr =
ˆ r
0
∂
∂r
r
∂v
(0)
x
∂r
dr,
r2
2
∂p
(0)
h
∂x
= r
∂v
(0)
x
∂r
, essendo p
(0)
h indipendente da r.
In questo modo si ottiene l'equazione seguente:
r
2
∂p
(0)
h
∂x
=
∂v
(0)
x
∂r
, (3.30)
18. CAPITOLO 3. MODELLO 17
che integriamo nuovamente, ma questa volta tra r ed 1:
ˆ 1
r
r
2
∂p
(0)
h
∂x
dr =
ˆ 1
r
∂v
(0)
x
∂r
dr,
r2
4
1
r
∂p
(0)
h
∂x
= v(0)
x
1
r
,
v(0)
x (x, 1, t) − v(0)
x (x, r, t) =
1
4
−
r2
4
∂p
(0)
h
∂x
,
v(0)
x (x, r, t) = v(0)
x (x, 1, t) −
1
4
1 − r2 ∂p
(0)
h
∂x
. (3.31)
Dalla (3.22) e (3.30), troviamo che:
v(0)
x (x, 1, t) = 0,
che sostituita nella (3.31), ci dà:
v(0)
x (x, r, t) = −
∂p
(0)
h
∂x
1
4
1 − r2
. (3.32)
Notiamo che la condizione (3.18) comporta:
∂p
(0)
h
∂x
|x=1= 0. (3.33)
Considerando la (3.9) e la (3.32) otteniamo:
∂
∂r
rv(0)
r = −r
∂v
(0)
x
∂x
=
∂2
p
(0)
h
∂x2
r
4
1 − r2
,
che integriamo tra 0 ed r usando la condizione al contorno (3.24):
ˆ r
0
∂
∂r
rv(0)
r dr =
ˆ r
0
∂2
p
(0)
h
∂x2
r
4
1 − r2
dr,
rv(0)
r
r
0
=
∂2
p
(0)
h
∂x2
r2
8
−
r4
16
r
0
,
v(0)
r (x, r, t) =
1
4
∂2
p
(0)
h
∂x2
r
2
−
r3
4
. (3.34)
19. CAPITOLO 3. MODELLO 18
Dopodiché, sfruttando la (3.20), ovvero:
vr |r=1=
1
2
ur |r=1,
otteniamo:
1
2
u(0)
r (x, 1, t) =
1
16
∂2
p
(0)
h
∂x2
,
ed inne
∂2
p
(0)
h
∂x2
= 8u(0)
r (x, 1, t) , (3.35)
che sarà utile per calcolare p
(0)
h . Analiziamo adesso il usso all'interno della membrana.
Dalla (3.15) abbiamo che
∂
∂r
r
∂p
(0)
m
∂r
= 0,
che integrata rispetto ad r dà:
∂p
(0)
m
∂r
=
a
r
, (3.36)
dove a è la costante di integrazione. Integriamo adesso la (3.36) tra 1 e H utilizzando
la (3.19) e la (3.23)
ˆ H
1
∂p
(0)
m
∂r
dr =
ˆ H
1
a
r
dr,
p(0)
m (x, H, t) − p(0)
m (x, 1, t) = a [ln (r)]H
1 ,
− pm − p(0)
m (x, 1, t) = aln (H) ⇒ a = −
pm + p
(0)
m (x, 1, t)
ln (H)
,
sostituendo nella (3.36) si ottiene:
∂p
(0)
m
∂r
= −
pm + p
(0)
m (x, 1, t)
ln (H)
1
r
,
che integriamo tra 1 ed r
ˆ r
1
∂p
(0)
m
∂r
dr = −
pm + p
(0)
m (x, 1, t)
ln (H)
ˆ r
1
1
r
dr,
p(0)
m (x, r, t) − p(0)
m (x, 1, t) = −
pm + p
(0)
m (x, 1, t)
ln (H)
ln (r) ,
20. CAPITOLO 3. MODELLO 19
che grazie alla (3.23) diventa:
p(0)
m (x, r, t) =
1
SΓ
p
(0)
h (x, t) − pm (t) +
1
SΓ
p
(0)
h (x, t)
ln (r)
ln (H)
. (3.37)
Quindi derivando la (3.37) rispetto ad r e utilizzando la (3.16)2 si ha:
u(0)
r (x, r, t) = −S
∂pm
∂r
=
S
r
pm (t) + p
(0)
m (x, 1, t)
ln (H)
,
che possiamo riscrivere nel seguente modo:
u(0)
r (x, r, t) = σ pm (t) +
p
(0)
h (x, t)
SΓ
1
r
, (3.38)
dove
σ =
S
ln (H)
, con σ ∼ 1 nel nostro caso. (3.39)
Così arriviamo a scrivere una equazione per la sola incognita p
(0)
h , infatti sostituendo
nella (3.35) la (3.38) e considerando σ ∼ 1 otteniamo:
∂2
p
(0)
h
∂x2
= 8 pm (t) +
1
SΓ
p
(0)
h (x, t) . (3.40)
L'equazione (3.40) può essere risolta con le condizioni al contorno (3.17) e (3.33).
Esse danno luogo al sistema seguente:
∂2Π
∂x2 = CΠ, 0 x 1,
∂Π
∂x
|x=1= 0,
Π |x=0= ΓS pm,
(3.41)
con
Π (x, t) = p
(0)
h (x, t) + ΓS pm, (3.42)
e
C =
8
SΓ
. (3.43)
Troviamo la soluzione partendo da:
∂2
Π
∂x2
− CΠ = 0,
21. CAPITOLO 3. MODELLO 20
questa equazione dierenziale di secondo grado lineare è facilmente risolvibile, il poli-
nomio caratteristico associato è:
λ2
− C = 0, ⇒ λ = ±
√
C,
che ci dà come soluzione la seguente:
Π = C1e
√
Cx
+ C2e−
√
Cx
, (3.44)
adesso utiliziamo le condizioni al contorno
Π |x=0= ΓS pm = C1 + C2,
∂Π
∂x
|x=1= 0 =
√
CC1e
√
C
−
√
CC2e−
√
C
,
per trovare le due costanti C1 e C2
ΓS pm = C1 + C2,
√
CC1e
√
C
=
√
CC2e
√
C
,
C2 1 + e−2
√
C
= ΓS pm,
C1 = C2e−2
√
C
,
da cui:
C1 =
ΓS pm
1 + e−2
√
C
e−2
√
C
, C2 =
ΓS pm
1 + e−2
√
C
.
Sostituendo nella (3.44) otteniamo:
Π =
ΓS pme−2
√
C
1 + e−2
√
C
e
√
Cx
+
ΓS pm
1 + e−2
√
C
e−
√
Cx
,
che può essere riscritta nel seguente modo:
Π =
ΓS pm
1 + e−2
√
C
e
√
C(x−2)
+ e−
√
Cx
. (3.45)
La (3.45) è la soluzione del sistema (3.41), da cui possiamo ottenere il seguente
andamento per p
(0)
h
p
(0)
h (x, t) = −ΓS pm +
ΓS pm
1 + e−2
√
C
e
√
C(x−2)
+ e−
√
Cx
. (3.46)
22. CAPITOLO 3. MODELLO 21
Tornando alla (3.32), siamo ora in grado di calcolare la velocità longitudinale al-
l'interno del tubo derivando la (3.46) rispetto alla coordinata x e sostituendocela, nel
seguente modo:
∂p
(0)
h
∂x
=
ΓS pm
√
C
1 + e−2
√
C
e
√
C(x−2)
−
√
Ce−
√
Cx
,
v(0)
x (x, r, t) =
ΓS pm
√
C
1 + e−2
√
C
e−
√
Cx
− e
√
C(x−2) 1
4
1 − r2
, (3.47)
e (dalla (3.38)) il usso radiale all'interno della membrana
u(0)
r =
1
r
pm
1 + e−2
√
C
e
√
C(x−2)
+ e−
√
Cx
. (3.48)
Sapendo che tanta acqua deve entrare quanta ne deve uscire possiamo uguagliare il
usso entrante con quello uscente lateralmente
2π
ˆ 1
0
v(0)
x (0, r, t) rdr = 2πr
ˆ 1
0
u(0)
r (x, r, t) dx.
Il primo membro è una quantità a noi nota che chiamiamo V
(0)
in ( usso entrante),
dobbiamo calcolare il secondo membro
V
(0)
in = 2πr
ˆ 1
0
pm
1 + e−2
√
C
e−
√
Cx
+ e
√
C(x−2) 1
r
dx,
V
(0)
in =
2π pm
1 + e−2
√
C
−
e−
√
Cx
√
C
+
e
√
C(x−2)
√
C
1
0
,
V
(0)
in =
2π pm
√
C
1 − e−2
√
C
1 + e−2
√
C
.
Ora, consideriamo la versione con dimensioni siche della quantità V
(0)
in
V
∗(0)
in = R∗2
v∗
c V
(0)
in ,
ricordando la (3.6) e ridimensionalizzando la pm, possiamo scrivere:
V
∗(0)
in = Keff
4π p∗
mR∗
L∗
K∗
µ∗S∗
, (3.49)
dove Keff indica il fattore di correzione della permeabilità
Keff =
1
√
C
sinh
√
C
cosh
√
C
, (3.50)
23. CAPITOLO 3. MODELLO 22
con C dato dalla (3.43).
Ricordando la Portata specica per metro V ∗
spec. Otteniamo la sua espressione dalla
portata totale, dividendo quest'ultima per L∗
arrivando così alla seguente:
V ∗
spec = Keff
4π p∗
mR∗
K∗
µ∗S∗
. (3.51)
Dal punto di vista pratico è importante dimensionare il tubo in modo che l'eusso
di acqua non sia troppo disomogeneo, ossia vari percentualmente poco tra l'inizio e la
ne del tubo. Tornando alla (3.48) possiamo imporre una condizione sul rapporto tra
la velocità radiale u
(0)
r (x, r, t) di uscita dell'acqua dalla parete alla ne del tubo (x = 1)
e all'inizio di esso (x = 0). Partiamo col calcolare u
(0)
r (1, r, t):
u(0)
r (1, r, t) =
1
r
pm
1 + e−2
√
C
e−
√
C
+ e−
√
C
,
moltiplicando e dividendo per e
√
C
si ottiene:
u(0)
r (1, r, t) =
pm
r
1
cosh
√
C
,
mentre per u
(0)
r (0, r, t) si ha:
u(0)
r (0, r, t) =
pm
r
.
Possiamo così denire la grandezza χ come il rapporto tra le due:
χ =
u
(0)
r (1, r, t)
u
(0)
r (0, r, t)
=
1
cosh
√
C
. (3.52)
E imporre che sia abbastanza vicino a uno. Questa strategia porta alla scelta di un
valore opportuno per C, che ci guiderà nella progettazione del tubo, come vedremo nel
prossimo capitolo. Inoltre osserviamo che Keff dipende solo da C (e quindi da χ).
24. Capitolo 4
Alimentazione per gravità (bassa
portata)
4.1 Determinazione parametri sici e pressione
I parametri che possiamo impostare, a seconda del tipo di irrigazione che dobbiamo
eettuare, sono i seguenti: χ, S∗
, R∗
, L∗
, K∗
.
Il valore di χ riguarda l'omogeneità di velocità d'uscita dell'acqua lateralmente lungo
la tubazione, e quindi di conseguenza anche l'omogeneità del usso di uscita lungo il
tubo.
Per come è denita questa grandezza il suo range di valori è:
0 χ 1.
Ricordiamo che χ dipende dalle dimensioni siche del tubo e dal materiale con cui è
fatto, in particolare possiamo esprimere C in funzione di χ grazie alla (3.52) ottenendo:
C = ln
1 + 1 − χ2
χ
2
, (4.1)
impostiamo: χ = 9/10 → C ∼ 0, 218 → Keff = 0, 933.
Inoltre ricordiamo:
C =
8
SΓ
= 16
K∗
L∗2
R∗3S∗
. (4.2)
Esprimendo la permeabilità in funzione degli altri parametri si ha:
K∗
=
CR∗3
S∗
16L∗2
, (4.3)
(come è intuitivo, ssati C, R∗
, L∗
resta determinato il rapporto K∗
/S∗
).
23
25. CAPITOLO 4. ALIMENTAZIONE PER GRAVITÀ (BASSA PORTATA) 24
Per quanto riguarda le caratteristiche siche del tubo ssiamo, come si è detto, i
seguenti valori:
L∗
= 100 m, R∗
= 0, 5 · 10−2
m, S∗
= 10−3
m.
Quindi grazie alla (4.3) possiamo ricavarci il valore della permeabilità del materiale
con cui è fatto il tubo, con i valori suddetti si ottiene come risultato
K∗
= 1, 70 · 10−16
m2
.
Si noti che il valore trovato sopra per la permeabilità è dell'ordine di quello riportato
nell'articolo [2] .
Dalla (3.51) possiamo ricavare l'espressione di p∗
m ottenendo:
p∗
m =
1
Keff
µ∗
S∗
V ∗
spec
4πR∗K∗
=
4
πCKeff
µ∗
L∗
R∗4
V ∗
tot. (4.4)
Si osservi che l'ultima espressione non fa intervenire S∗
.
Sostituendo i valori trovati nella (4.4) , e imponendo una portata specica V ∗
spec =
1, 5 · 10−7
m3
/s si ottiene per quanto riguarda la pressione il seguente risultato:
p∗
m = 15050 Pa.
Ovviamente avendo utilizzato gli stessi valori usati nella (3.14) per il calcolo del
numero di Reynolds, le relazioni nali sono ancora valide e il regime di moto del uido
è ancora laminare.
Ottenuta la pressione; tramite la legge di Stevino possiamo ricavare l'altezza rispet-
tiva a cui porre la cisterna.
∆p∗
m = ρ∗
g∗
h∗
, legge di Stevino,
dove h∗
indica la profondità della colonna di liquido a partire dal pelo libero.
Con i valori di pressione ottenuti necessitiamo di un' h∗
= 1, 53m (vedi Fig. 1).
4.2 Tempo di svuotamento
Se il serbatoio viene situato in una posizione sopraelevata rispetto al terreno agricolo
(vedi Fig. 4), dobbiamo tenere conto anche di questa altezza che chiamiamo h∗
0, in
particolare deniamo
h∗
(t) = h∗
1 (t) − h∗
0.
26. CAPITOLO 4. ALIMENTAZIONE PER GRAVITÀ (BASSA PORTATA) 25
Figura 4
In questo modo quando l'acqua nel serbatoio si esaurisce si ha h∗
(t∗
) = 0. Ciò segna
in pratica la ne dell'alimentazione poiché la sezione del tubo è molto più piccola di
quella del serbatoio.
In particolare, ricordando che al nostro livello di approssimazione il usso è quasi
stazionario, possiamo trovare la dipendenza dell'altezza h∗
(t∗
) dal tempo, uguagliando
la velocità di svuotamento della cisterna con quella di alimentazione del tubo si ottiene
la seguente:
−πξ∗2 ∂h∗
(t∗
)
∂t∗
=
ˆ R∗
0
v(0)∗
x (0, r∗
, t∗
) r∗
2πdr∗
, (4.5)
dove ξ∗
è il raggio della supercie di base del serbatoio.
Ricordando che:
SΓ∆pmv∗
c =
R∗2
µ∗L∗
∆p∗
m, (4.6)
moltiplicando la (3.47) per v∗
c otteniamo allora:
v(0)∗
x (0, r∗
, t∗
) =
R∗2
√
C
4µ∗L∗
∆p∗
m (t∗
)
1 − e−2
√
C
1 + e−2
√
C
1 −
r∗
R∗
2
.
27. CAPITOLO 4. ALIMENTAZIONE PER GRAVITÀ (BASSA PORTATA) 26
Svolgiamo adesso l'integrale a secondo membro della (4.5) , utilizzando l'espressione
della velocità trovata appena sopra:
Θ (t∗
)
ˆ R∗
0
1 −
r∗
R∗
2
r∗
dr∗
=
Θ (t∗
) R∗2
4
,
con Θ (t∗
) =
πR∗2
√
C
2µ∗L∗
∆p∗
m (t∗
)
1 − e−2
√
C
1 + e−2
√
C
.
Quindi inne otteniamo:
−πξ∗2 ∂h∗
(t∗
)
∂t∗
=
Θ (t∗
) R∗2
4
. (4.7)
A questo punto possiamo utilizzare la Legge di Stevino, che in riferimento alla Fig.
4 assume la seguente forma:
∆p∗
m = ρ∗
g∗
(h∗
(t∗
) + h∗
0) ,
che sostituita nella (4.7) ci dà:
−
∂h∗
(t∗
)
∂t∗
= Λ (h∗
(t∗
) + h∗
0) , (4.8)
con Λ =
R∗4
√
Cρ∗
g∗
ξ∗28µ∗L∗
1 − e−2
√
C
1 + e−2
√
C
.
Abbiamo così ottenuto un'equazione dierenziale, passiamo a risolverla facendo la
seguente sostituzione:
H∗
(t∗
) = h∗
(t∗
) + h∗
0, →
∂H∗
(t∗
)
∂t∗
=
∂h∗
(t∗
)
∂t∗
,
ottenendo:
−
∂H∗
(t∗
)
∂t∗
= ΛH∗
(t∗
) ,
che integrata tra 0 e t∗
da come soluzione la seguente:
H∗
(t∗
) = H∗
(0) e−Λt∗
, → h∗
(t∗
) = (h∗
(0) + h∗
0) e−Λt∗
− h∗
0,
che fornisce il tempo di svuotamento:
t∗
sv =
1
Λ
ln 1 +
h∗
(0)
h∗
0
,
28. CAPITOLO 4. ALIMENTAZIONE PER GRAVITÀ (BASSA PORTATA) 27
ssando il raggio di base della cisterna ξ∗
= 0, 3m, si ottiene:
Λ = 1, 73 · 10−5
s−1
, t∗
sv = 2, 95 · 104
s, circa 8 ore,
avendo assunto i seguenti valori di altezze: h∗
(0) = 1m, h∗
0 = 1, 5m.
Con il raggio ssato nel suddetto modo, e con la cisterna riempita no a h∗
(0) = 1m
la quantità totale di acqua irrigata per carico è di:
Υ∗
= πξ∗2
h∗
(0) = 2, 83 · 10−1
m3
, circa 300 litri.
Ovvero per ogni metro di tubo vengono riversati sul suolo agricolo circa 3 litri di
acqua distribuiti temporalmente in 8 ore.
Chiaramente la distensione sul terreno agricolo del tubo inuisce sul tipo di ir-
rigazione che si vuole ottenere; per ottimizzarla, a seconda delle necessità, si può cam-
biare la geometria di distensione; per esempio, nel caso di piantagioni a lare si può
stendere il tubo a forma di S intorno alla base delle piante per ottenere un maggiore
innaamento. Oppure nel caso di piccoli orti, (come quello in Fig. 1), si può andare a
sistemare i tubi combinandoli in modo tale da ottenere una sorta di reticolo. Si noti,
inoltre, che la sistemazione del serbatoio in Fig. 1 è sostanzialmente quella prevista dai
nostri calcoli.
Figura 5
29. Bibliograa
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