Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
MATEMATYKA
Odkryj, zrozum, zastosuj...
klasa 1, szkoła ponadgimnazjalna
Odkryj, zrozum, zastosuj...
Podtytuł:
Matematyka
Przedmiot:
matematyka
Zespół autorski Politechniki Łódzkiej:
Jacek Stańdo...
ISBN 978-83-65450-38-8
E-podręcznik, po uzyskaniu akceptacji ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania, został
dop...
Spis treści
Rozdział 1. Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. P...
1.7.4. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.7.5. Zadania . . . ...
Rozdział 4. Liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4.1. Liczby natur...
5.4. Podobieństwo trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
5.4.1. Cechy podobie...
Rozdział 1. Funkcja
1.1. Pojęcie funkcji
1.1.1. Wprowadzenie
W praktyce często korzystamy z zależności między różnymi wiel...
• W ciągu 1 godziny samochód pokonuje drogę długości 80 km.
• W ciągu 2 godzin samochód pokonuje drogę długości 160 km.
• ...
Przykład 4.
Graf opisuje przyporządkowanie, które każdej z osób: Mariuszowi, Joli, Ewie i Ani przyporząd-
kowuje ocenę z m...
1.1.2. Definicja funkcji. Sposoby przedstawiania funkcji
Definicja: Funkcja
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyp...
• Funkcja w opisana jest za pomocą wykresu.
• Funkcja z opisana jest za pomocą wzoru.
f(x) =
{
−3
−2
0
1
dla
dla
dla
dla
x...
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.1
Podaj przykład funkcji określonej na zbiorze X = {1, 4, 5, 7} o wartościach ze zbioru
Y...
Przykład 3.
Pole kwadratu o boku długości x określamy wzorem P = x
2
. Wobec tego dla dowolnego x > 0
funkcja P(x) = x
2
o...
dziną funkcji f jest zbiór {1, 2, 3, 4}, a jej przeciwdziedziną zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6}, przy czym
zbiór wartości funkcji...
x 1 2 3 4 5
g(x) 2 −3
1
2
2,7 √2
Uzupełnij graf tej funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.5
Dane są ...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.2.7
Funkcja s każdej liczbie dwucyfrowej przypisuje sumę cyfry dziesiątek...
Poziom trudności: AZadanie 1.1.2.9
Czy dla funkcji określonej wzorem f(x) = 2x
2
− x + 3 podane równości są prawdziwe?
a) ...
1.1.3. Zbiór zadań
1.1.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.1
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Dla ar...
a)
b)
c)
Zadania
19
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.3
Funkcja f określona na zbiorze { − 2, − 1, 0, 1, 2} każdemu argu...
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.4
Funkcja f każdej liczbie ze zbioru {20, 31, 44, 52, 67} przyp...
c)
x 20 31 44 52 67
f(x) 2 3 4 5 6
d)
x 20 31 44 52 67
f(x) 0 1 4 2 7
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1...
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.1.7
Funkcja g jest określona wzorem g(x) =
{
6 − 2x
x + 5
dla
dla
x ≤ 2
x > 2
. Wynika z ...
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.9
Poniższy graf opisuje funkcję f ze zbioru A w zbiór B. Odczytaj f(3).
(Pokaż odpowied...
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.1.13
Funkcja f jest określona dla każdej liczby całkowitej dodatniej n wzorem f(n) = − 2n...
1.1.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.1.3.2.1
Funkcja P każdej liczbie dodatniej a przyporządkowuje p...
a) f(x) =
43
100
x
b) f(x)=
143
100
x
c) f(x)= x +
43
100
d) f(x) = x + 43
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1....
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.1.3.2.10
Podane w cenniku opłaty za noclegi w schronisku wynoszą: za pierws...
1.2. Dziedzina funkcji
1.2.1. Wprowadzenie
Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z pr...
Przykład 2.
W trójkącie ABC dane są długości boków | AC | = 7 i | BC | = 8. Oznaczmy | AB | = c
. Funkcja L przyporządkowu...
Przykład 3.
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 24. Jeżeli przez a oznaczymy dłu-
gość jednego z boków...
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: CZadanie 1.2.1.1
Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych x i y, k...
Przykład 6.
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa...
Przykład 8.
Na rysunku przedstawiony jest wykres zmian ceny akcji pewnej spółki w ciągu kilku miesięcy
2013 i 2014 r. Na p...
1.2.2. Dziedzina
Definicja: Dziedzina
Zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy...
Przykład 2.
Wyznacz dziedzinę funkcji L(c) = 15 + c.
Dziedziną funkcji L jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisujemy: DL...
Przykład 4.
Wyznacz dziedzinę funkcji y(x) =
2x
x − 2
.
Dzielenie przez zero jest niewykonalne, zatem x − 2 ≠ 0. Dziedziną...
Przykład 6.
Wyznacz dziedzinę funkcji V(a) = − 2a
3
+ 4a
2
.
Dziedziną funkcji V jest zbiór liczb rzeczywistych, co zapisu...
Poziom trudności: AZadanie 1.2.2.2
Sprawdź, czy podana liczba należy do dziedziny funkcji g(x) =
x
x
2
+ 3
.
a) 0
b) – 3
c...
Poziom trudności: BZadanie 1.2.2.7
Znajdź dziedzinę funkcji f(x) =
x − 3
x
2
− 4x
.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZ...
1.2.3. Zbiór zadań
1.2.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.1
Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb ...
c) ( − ∞, − 2 ?
d) ( − ∞, 2 ?
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom t...
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.8
Wskaż funkcję, której dziedziną nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
a) f(x...
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.11
Wyznacz dziedzinę funkcji.
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.1.12
W...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.14
Wypisz wszystkie dodatnie liczby całkowite, które należą do dziedz...
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.1.16
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty, których obwód jest równy 8. Oznaczmy wierzchołki taki...
1.2.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.1
Liczba 7 nie należy do dziedziny funkcji
a) f(x) =
12
3...
Poziom trudności: AZadanie 1.2.3.2.4
Wskaż funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.
a) f(x) =
x
2
+ 24
x
...
d) f(x) =
2x − 15
3x + 18
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.8
Do dziedziny funkcji f(x) = √9 − x + √x −...
Poziom trudności: BZadanie 1.2.3.2.11
Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji
a) f(x) = √13 − x
b) f(x) ...
a) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (9, + ∞)
b) dziedziną otrzymanej funkcji h jest przedział (0, + ∞)
c) h j...
1.3. Argument i wartość funkcji. Miejsca zerowe
funkcji liczbowej
1.3.1. Miejsca zerowe funkcji
Przykład 1.
Przyjrzyjmy si...
scowości odnotowano temperaturę 0 ° C? Z wykresu odczytujemy: 6, 10, 16 marca. Przyjmij-
my, że rysunek przedstawia wykres...
Konto klienta zostało zasilone kwotą 3 tys. euro. Którego dnia miesiąca zostało zasilone kon-
to taką kwotą? Z wykresu moż...
Powyższe przykłady pokazują, że w praktyce niekiedy istotne jest określenie, w jakim przypadku
funkcja przyjmuje wartość 0...
Przykład 4.
Gdy dziedziną lub zbiorem wartości funkcji jest zbiór nieograniczony, to jesteśmy w stanie
narysować jedynie p...
1.3.2. Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość
Przykład 1.
Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argument...
Przykład 3.
Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji
• p(x) = 8 − 7x
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywisty...
lub x − 2 = 0. Wynika z tego, że funkcja g ma 3 miejsca zerowe: x1 = 1, x2 = − 1 oraz x3 = 2.
Fragment wykresu funkcji g(x...
• m(x) =
{
−2x − 2
0
2x − 2
dla
dla
dla
−2 ≤ x < − 1
−1 ≤ x ≤ 1
1 < x ≤ 2
Dziedziną tej funkcji jest przedział ?−2, 2?.
Za...
Przykład 5.
Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja g(x) =
x
2
− 4x
2
przyjmuje wartość – 2.
Dziedziną tej fun...
Ponieważ a jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd
a = √4 = 2.
A zatem P osiąga war...
Przykład 9.
Dana jest funkcja f(x) =
{
4
2 − 7x
x
2
dla
dla
dla
x ≤ − 1
−1 < x ≤ 3
x > 3
.
Wyznaczymy wartości funkcji f d...
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.1
Funkcję f przedstawiono za pomocą grafu.
Wskaż, która równość jest poprawna.
a) f(−2) =...
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.3
Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.7
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3.2.8
Dzied...
f(x) =
{
x + 1
7 − 2x
dla
dla
x ≤ 2
2 < x < 5
Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość – 5?
(Pokaż odpowiedź)
Poz...
1.3.3. Zbiór zadań
1.3.3.1. Zadania
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.1
Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczb...
d)
7
4
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.4
Aplikacja na epodreczniki.pl
Poziom trudności: AZadanie 1.3....
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.7
Dana jest funkcja f(x) =
{
3x − 1
x + 2
dla
dla
x ≤ − 1
x > − 1
. Wynika z tego, że f...
b) √3
c) √2
d) 1
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.11
Funkcja g określona jest za pomocą tabeli.
x – 4 ...
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.1.14
Na wykresie funkcji f(x) = − 2x + 5 leży każdy z punktów: A = ( − 1, a), B = (0, b),...
Poziom trudności: BZadanie 1.3.3.1.18
Funkcja g określona jest, dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, wzorem g(n) =
n
...
1.3.3.2. Zadania generatorowe
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.1
Wskaż funkcję, której miejscem zerowym jest liczba 4.
a...
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.4
Miejscem zerowym funkcji t(x) = (m + 9)x − m + 37 jest – 4. Wynika z tego, że m jest ...
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.7
Dziedziną funkcji a(n) = 7n − 5 jest zbiór liczb naturalnych. Do zbioru wartości funk...
c) i(38) =
19
5
d) i(37) =
37
10
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.3.3.2.11
Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
(...
1.4. Odczytywanie własności funkcji na podstawie
jej wykresu. Część I
1.4.1. Argumenty i wartości funkcji
Już wiesz:
Przyp...
Ważne
Przypominamy, że nie należy mylić miejsca zerowego z punktem wspólnym wykresu funkcji
i osi Ox. W tym rozpatrywanym ...
Film na epodreczniki.pl
Ważne
Nie narysujemy w całości wykresu funkcji, której dziedziną jest zbiór nieograniczony. Z wy-
...
Już wiesz:
Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumen-
tu a, wystarczy dorysować prostą...
• Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji,
to odczytując pierwszą współrzędną każdego z ta...
1.4.2. Przykłady
Przykład 1.
Odczytaj miejsca zerowe funkcji przedstawionej na wykresie.Jeżeli argument funkcji nie jest
j...
Przykład 3.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejs...
Przykład 4.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejs...
Przykład 5.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t.
Odczytujemy z wykresu tej funkcji dziedzinę, wartość najmniejs...
dla jakich argumentów funkcja t przyjmuje wartości dodatnie: dla każdego x ze zbioru
{ – 7, – 6, – 5, – 3, – 2, – 1, 3, 4,...
1.4.3. Zadania. Część I
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.1
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Zbiorem wartośc...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.2
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Największa wartość funkcji f
a) jest ró...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.3
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Najmniejsza wartość funkcji f
a) jest r...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.4
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Zbiorem wartości funkcji g jest
a) (−2,...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.5
Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji g
a) jest ró...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.6
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Najmniejsza wartość funkcji g
a) jest r...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.7
Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Zbiorem wartości funkcji jest
a) (−3, 6...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.8
Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji f
a) jest ró...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.9
Wykres funkcji f przedstawiony jest na rysunku.
Najmniejsza wartość funkcji
a) jest rów...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.10
Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Zbiorem wartości funkcji jest
a) ? −3,...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.11
Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Największa wartość funkcji h
a) jest r...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.12
Wykres funkcji h przedstawiony jest na rysunku.
Najmniejsza wartość funkcji h
a) jest ...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.14
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
maksymalny przedział...
Ile miejsc zerowych ma funkcja f?
a) nieskończenie wiele
b) 5
c) 4
d) 3
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.16
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
a) ...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.17
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g.
Zaznacz wszystkie miejsca zerowe funkc...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.18
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji k.
Wskaż maksymalny przedział, w którym f...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.3.20
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g. Odczytaj z niego lic...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: CZadanie 1.4.3.21
Na rysunkach przedstawione są wykresy funkcji h i k.Funkcja f określ...
(Pokaż odpowiedź)
Ile rozwiązań ma równanie f(x) = − 1?d)
Zadania. Część I
107
Poziom trudności: AZadanie 1.4.3.22
Rysunek przedstawia wykres funkcji f.
Podaj liczbę miejsc zerowych funkcji f.
a) 1
b) ...
1.4.4. Zadania. Część II
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.1
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ? −2, 3 ? ma dokładni...
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
110
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.2
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = f(x).
Zbiorem wartości funkcji jest
a) ? −2...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.3
Rysunek przedstawia wykres funkcji g.
Zaznacz nierówność prawdziwą.
a) g(0) < g(2)
b) g...
a)
b)
Zadania. Część II
113
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Zadania. Część II
114
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.5
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji k.
Które równanie ma dokładnie 4 różne roz...
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.6
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji h.
Suma wartości najmniejszej i wartości n...
a)
b)
Zadania. Część II
117
c)
d)
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.8
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f.
Podaj wartość f...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.9
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji g. Podaj wszystkie argumenty,...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.10
Z wykresu funkcji h odczytaj
2d)
najmniejszą wartość tej funkcjia)
d...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.11
Korzystając z przedstawionego wykresu funkcji k, odczytaj
jakie wart...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.12
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu
z...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.13
Korzystając z wykresu funkcji f, ustal znak
najmniejszą wartość funk...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.14
Z przedstawionego na rysunku wykresu funkcji h, odczytaj
ilorazu
f(4...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.15
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji t. Odczytaj z wykresu
w...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: AZadanie 1.4.4.16
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Odczytaj z niego róż...
Poziom trudności: CZadanie 1.4.4.17
Wykres funkcji g przedstawiony jest na rysunku. Ustal liczbę rozwiązań równania g(x) =...
(Pokaż odpowiedź)
Poziom trudności: BZadanie 1.4.4.21
Sporządź przykładowy wykres funkcji, która spełnia wszystkie podane ...
1.5. Odczytywanie własności funkcji na podstawie
jej wykresu. Część II
1.5.1. Przykłady zastosowania funkcji
W analizach z...
od temperatury wody. Na wykresie przedstawiano wykres rozpuszczalności chlorku wapnia
(calcium chloratum - wzór chemiczny ...
1.5.2. Monotoniczność funkcji
Przykład 1.
Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której m...
Przykład 2.
Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją malejąc...
Przykład 4.
Obserwuj, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji, o której mówimy, że
jest funkcją niemale...
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja malejąca
Funkcja f jest określona w przedziale ? a, b ? .
Jeżeli dla d...
to mówimy, że funkcja f jest malejąca w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja stała
Funkcja f j...
to funkcję f nazywamy stałą w przedziale ? a, b ? .
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja niemalejąca
Funkcja f jest ...
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja nierosnąca
Funkcja f jest określona w przedziale ?a, b?. Jeżeli dla do...
Przykład
Film na epodreczniki.pl
Definicja: Funkcja monotoniczna przedziałami
Jeśli funkcja, której dziedzinę można podzie...
Z wykresu funkcji f odczytamy na przykład, że:
Zauważmy jednak, że:
Funkcja f jest monotoniczna przedziałami, ale nie jest...
1.5.3. Monotoniczność. Przykłady
Przykład 1.
Rysunek przedstawia wykres funkcji g.
Z wykresu funkcji g odczytamy, że:
Funk...
Przykład 2.
Z wykresu funkcji h odczytamy, że:
przedział ? −4, 2 ? jest przedziałem, w którym funkcja h jest rosnąca.
Funk...
Przykład 4.
Na rysunku, w tym samym układzie współrzędnych, przedstawione są wykresy funkcji p oraz
k.
Dziedziną funkcji p...
Przykład 5.
Dziedziną funkcji f, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {−4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2}.
Z wykresu odczytujemy...
Przykład 7.
Dziedziną funkcji a, przedstawionej na rysunku, jest zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Przy zwiększaniu argument...
zbioru liczb całkowitych dodatnich.
Dla wyróżnienia tych szczególnych funkcji:
• zamiast tradycyjnego zapisu wartości a(n)...
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Matematyka 1
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×