1. METODY NUMERYCZNE

2.  Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów matematycznych
za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół
przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się
ją zależnie od potrzeb.
 Metody numeryczne wykorzystywane są wówczas gdy badany problem nie ma
w ogóle rozwiązania analitycznego (danego wzorami), lub korzystanie z takich
rozwiązań jest uciążliwe ze względu na ich złożoność.

3.  W szczególności dotyczy to:
 całkowania
 znajdowania miejsc zerowych wielomianów stopnia większego niż 2 (korzystanie ze wzorów
na dokładne wartości pierwiastków równań stopnia 3 i stopnia 4 jest niepraktyczne, dla równań
stopnia wyższego niż 4 wzorów już nie ma)
 rozwiązywania układów równań liniowych w przypadku większej liczby równań i
niewiadomych
 rozwiązywania równań różniczkowych i układów takich równań
 znajdowania wartości i wektorów własnych (zob. równanie własne)
 aproksymacji, czyli przybliżaniu nieznanych funkcji (np. pomiarów zjawisk fizycznych)

4.  Niektóre metody numeryczne
 Interpolacja liniowa
 Interpolacja wielomianowa
 FFT
 metoda Monte Carlo
 metody Newtona-Cotesa
 wzór parabol Simpsona
 wzór trapezów
 metoda równego podziału
 Kwadratury Gaussa

5. Interpolacja liniowa szczególny przypadek interpolacji za pomocą funkcji
liniowej. Jeśli określa wartość z przedziału , a i tablicę wartości danej funkcji,
oraz odstęp pomiędzy argumentami, wówczas liniową interpolację
wartości funkcji otrzymujemy jako:

6.  Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera
badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą
numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmującym
w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.
 Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj
skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.
 Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję y=f(x) ciągłą na przedziale domkniętym
można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

7.  Szybka transformacja Fouriera (ang. FFT od Fast Fourier Transform)
to algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej
odwrotnej.
 Czasem używana jest też forma szybka transformata Fouriera w odniesieniu do
tej metody. Ściśle jednak transformacja jest przekształceniem, a transformata
wynikiem tego przekształcenia.
 Niech x0, ...., xN-1 będą liczbami zespolonymi, wtedy dyskretna transformata
Fouriera jest określona wzorem
 Obliczanie tych sum za pomocą powyższego wzoru zajęłoby O(N2) operacji.

8.  Metoda Monte Carlo (MC) jest stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych
(obliczania całek, łańcuchów procesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą
podejścia analitycznego. Istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości
charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany.
 Typowym przykładem może być modelowanie wyniku zderzenia cząstki o wysokiej energii z jądrem
złożonym, gdzie każdy akt zderzenia elementarnego (z pojedynczym nukleonem jądra) modelowany jest
oddzielnie poprzez losowanie liczby, rodzaju, kąta emisji, energii itp. cząstek wtórnych emitowanych w wyniku
takiego zderzenia. Następnym etapem jest modelowanie losu każdej z cząstek wtórnych (w wyniku kolejnego
losowania prawdopodobieństwa oddziaływania lub wyjścia z jądra). Kontynuując taką procedurę można otrzymać
pełny opis "sztucznie generowanego" procesu złożonego. Po zebraniu dostatecznie dużej liczby takich informacji
można zestawić ich charakterystyki z obserwowanymi wynikami doświadczalnymi, potwierdzając lub negując
słuszność poczynionych w całej procedurze założeń.
 Metoda została opracowana i pierwszy raz zastosowana przez Stanisława Ulama.

9.  Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki
oznaczonej funkcji rzeczywistej.
 Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie
równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda
opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację
wielomianem drugiego stopnia.
 Znając wartości funkcji w 3 punktach (przy czym ), przybliża się
funkcję wielomianem Lagrange'a i, całkując w przedziale

10.  Wzór trapezów – jeden z wielu wzorów służących do przybliżonego
obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na
geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod
wykresem funkcji.
 Jeżeli przedział całkowania [a, b] podzielony zostanie punktami x1, x2, ..., xn-
1 na n równych części o długościach (b-a)/n, i w figurę ograniczoną na
prostymi x = a, x = b, osią odciętych oraz wykresem funkcji y = f(x)
wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

11.  Metoda równego podziału (metoda połowienia, metoda bisekcji, metoda połowienia przedziału) - jedna z metod
rozwiązywania równań nieliniowych. Opiera się ona na twierdzeniu Bolzano-Cauchy'ego:
 Jeżeli funkcja ciągła ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału, istnieje co najmniej jeden
pierwiastek równania .
 Aby można było zastosować metodę równego podziału, muszą być spełnione założenia:
 funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym
 funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału:
 Przebieg algorytmu:
 Sprawdzić, czy pierwiastkiem równania jest punkt , czyli czy .
 Jeżeli tak jest, algorytm kończy się, a punkt jest miejscem zerowym. W przeciwnym razie dzieli przedział na dwa mniejsze
przedziały i .
 Wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie, tzn. albo albo . Cały proces powtarzany jest dla
wybranego przedziału.
 Działanie algorytmu kończy się w punkcie 2 albo po osiągnięciu żądanej dokładności przybliżenia pierwiastka.

12. KONIEC
 Źrodła: wikipedia.com
 Piotr Fręchowicz, gr A