4. Предисловие
Идея написать данное пособие возникла у меня летом 1997 года в
Челябинске, когда я готовил выпускника одной из челябинских
средних школ к вступительному экзамену по математике в
Челябинский госуниверситет. Я готовил своего подопечного всего два
дня по 15 уроков в день с небольшими перерывами. Он выдержал эту
временную перегрузку, все понял, запомнил и поступил в ЧГУ. Хотя
до занятий со мной его знания по математике были очень
неглубокими, а многие важные разделы школьной математики он
вообще не знал или не помнил. Конечно, тридцати уроков мало, чтобы
глубоко изучить и привести в систему все важные и нужные разделы
школьной математики. Но главные разделы мы «пробежали» и это
помогло.
Я проработал учителем математики старших классов более 30 лет.
Ежегодно 90-100 процентов моих выпускников поступало в ВУЗы, в
основном, на бюджетной основе, и самое главное – потом легко
учились в этих вузах, так как глубоко и качественно знали школьную
математику. Многие десятки и сотни из них уже окончили или еще
сегодня учатся в университетах и институтах Москвы (в том числе,
МГУ, МИФИ, МФТИ, МГТУ им. Баумана), Санкт-Петербурга (в том
числе, ЛГУ), Новосибирска (в том числе, НГУ), Челябинска,
Екатеринбурга, Томска, Омска, Магнитогорска и многих других
российских вузах, в университетах и институтах Казахстана, Украины,
Белоруссии, Германии. Со многими выпускниками средних школ
города Рудного и Кустанайской области, с учащимися старших классов
я занимался индивидуально, и они, как правило, почти все поступали в
вузы или хорошо учились по математике в своих школах.
Более 2000 уроков математики посещает школьник за 10-11 лет учебы
в школе (в физико-математических классах – немного больше, в
гуманитарных – немного меньше). Из них более 600 уроков
математики приходится на 8-11 классы. Но не всё совершенно в
школьной программе по математике, особенно старших классов. На
одни темы отводится излишне много часов, на другие темы –
5. 4 В.А.Битнер
неоправданно мало, некоторые очень важные темы или вовсе не
рассматриваются, или рассматриваются не полностью. И только очень
опытные учителя математики в большей или меньшей степени дают
своим ученикам необходимый минимум знаний по своему предмету.
В этой книге в очень доступной форме излагаются все вопросы
математики, которые необходимо знать выпускнику обычной средней
школы, даже если он не поступает в высшее учебное заведение, а
просто хочет неплохо знать математику, быть математически
грамотным. Ведь еще великий Ломоносов говорил, что «математику
уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Ну а тому
выпускнику, который собирается сдавать вступительные экзамены или
тесты по математике и потом успешно учиться в вузе, данная книга
поможет основательно подготовиться и сдать вступительные экзамены
на хорошо или отлично. Только необходимо самостоятельно или под
руководством учителя добросовестно и глубоко изучить все темы и
вопросы, разобраться с решением приведенных упражнений,
прорешать все упражнения для самостоятельной работы или большую
их часть.
Данная книга и в ВУЗе может служить справочным пособием по
школьной математике , если понадобится что-то вспомнить или
уточнить. Данное пособие будет, безусловно, полезно и учащимся 8-11
классов средних школ, желающим привести в порядок свои знания по
математике. Рекомендую свою книгу и учителям математики,
особенно, 8-11 классов и готовящим учащихся и выпускников к
поступлению в ВУЗ индивидуально. Рекомендую ее также и
студентам, особенно 1 и 2 курсов, поступившим в ВУЗ на
коммерческой основе и перешедшим к изучению высшей математики
без глубоких знаний по элементарной математике.
Работать с данной книгой необходимо систематически, не реже 2-3 раз
в неделю по 2 урока или 2 часа на каждое занятие, не забывая после
занятий прорешивать рекомендованные упражнения и задачи для
самостоятельной работы.
Причем в 8 классе по алгебре рекомендуется изучить темы I – XVIII,
XXIV и XXV (частично).
Эти же темы плюс темы XIX и XX можно изучать в 9 классе, в 10
классе добавляется тема XXI, в 11 классе – темы XXII и XXIII,
6. Краткий курс школьной математики 5
которые можно начать изучать в 9 или 10 классе и тема XXV теперь
уже во всем объеме.
В 8 и 9 классе по геометрии следует изучить тему I и тему VIII
(частично), в 10 классе – темы II – V и далее – тему VIII, в 11 классе –
темы VI – VII и тему VIII во всем объеме.
Примерное распределение тем по занятиям
(каждое занятие – это 2 урока)
Алгебра и начала анализа
I занятие – вводное. Рассматривается программа занятий, изучаются
условные обозначения, темы I и II;
II занятие – изучаются темы III – V;
III занятие – изучаются темы VI – VIII;
IV занятие – продолжает изучаться тема VIII и начинает изучаться
тема IX;
V – VII занятие – изучаются темы IX – X;
VIII – X занятие – изучаются темы XI – XII;
XI занятие – изучается тема XIII;
XII занятие – тема XIV;
XIII занятие – тема XV;
XIV занятие – тема XVI;
XV занятие – тема XVII;
XVI занятие – тема XVIII;
XVII занятие – тема XIX;
XVIII занятие – тема XX, пп. 1-7;
XIX занятие – тема XX, пп. 8-9;
XX занятие – тема XX, пп. 10-17;
XXI занятие – тема XX, пп. 18-19;
XXII занятие – тема XX, пп. 20;
XXIII занятие – тема XX, пп. 21-23;
XXIV-XXV занятия – тема XXI;
XXVI-XXVII занятия – темы XXII-XXIII;
XXVIII занятие – тема XXIV;
XXIX-XXX занятие – тема XXV
Итого, на изучение алгебры и начал анализа во всем объеме по данной
книге отводится примерно 30 занятий (60 уроков). Только надо учесть,
7. 6 В.А.Битнер
что это распределение примерное и зависит от способностей и
подготовленности ученика или выпускника. И, кроме того,
необходимо потратить примерно столько же времени или больше на
решение упражнений и задач для самостоятельной работы.
Геометрия
I-IV занятия – тема I;
V-VI занятия – тема II;
VII занятие – темы III-IV;
VIII занятие – тема V;
IX занятие – тема VI;
X занятие – тема VII;
XI-XII занятия – тема VIII
Итого, примерно 12 занятий (24 урока) на изучение геометрии по
данному пособию. Конечно, это самый минимум. Лучше потратить на
изучение этого материала 20 или более уроков, и 20 и более уроков –
на решение задач для самостоятельного решения. Итого, на изучение
всех важнейших разделов школьной математики по данному пособию
необходимо всего 84-90 уроков или немного больше и примерно
столько же на решение задач для самостоятельной работы.
8. Условные обозначения и кванторы
∈ - знак принадлежности (принадлежит);
∉ - не принадлежит;
⊂ - знак включения, подмножества;
⇒ - знак следования;
⇔ - знак равносильности;
{ } - знак множества;
{ - знак системы;
[ - знак совокупности;
∪ - знак объединения;
∩ - знак пересечения;
∅ - пустое множество;
∀ - квантор всеобщности (для любого, каждого);
∃ - квантор существования (найдется, существует);
a - аксиома;
t - теорема;
l - лемма;
s - следствие;
d - что и требовалось доказать;
о в обертке o - определение;
п в обертке p - пример;
у в обертке u - утверждение;
n - пусть;
з в обертке z - замечание;
e - если;
r - рассмотрим;
- деление без остатка;
( )⋅ -
точка, ( )... - точки
9. 8 В.А.Битнер
Что надо знать по алгебре и началам анализа.
I. Основные законы арифметики и алгебры....................................16
II. Некоторые вопросы теории множеств..........................................17
III. Числовые множества и их свойства..............................................19
IV. Формулы сокращенного умножения. Треугольник
Паскаля ............................................................................................21
V. Разложение многочленов на множители. Способы
разложения. Деление многочленов...............................................22
VI. Степень числа и его свойства. Действия со степенями ..............24
VII. Модуль числа и его свойства.........................................................27
VIII. Арифметический корень n-ой степени и его свойства. Дей-
ствия с корнями, упрощение степеней с дробными
показателями...................................................................................28
IX. Некоторые вопросы теории уравнений. Линейные уравне-
ния ....................................................................................................33
X. Числовые неравенства и их свойства. Действия с неравен-
ствами. Доказательство неравенств. Решение линейных
неравенств, совокупностей и систем неравенств с одной
переменной, в том числе – с модулями ........................................40
XI. Некоторые вопросы теории функций...........................................52
XII. Некоторые алгебраические функции и их графики ....................57
(1) Линейная функция .............................................................57
(2) Обратная пропорциональность.........................................61
(3) Степенная функция............................................................63
(4) Графики функций с модулем ............................................67
(5) Построение различных графиков функций.....................68
XIII. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата.
Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчле-
на на линейные множители ...........................................................74
XIV. График квадратного трехчлена, в том числе – с модулем..........84
XV. Решение квадратных и дробно – линейных неравенств.
Дробно – рациональные неравенства и неравенства выс-
ших степеней...................................................................................93
XVI. Иррациональные уравнения и неравенства................................101
10. Краткий курс школьной математики 9
XVII. Системы линейных уравнений и методы их решения. Пра-
вила Крамера. Метод Гаусса.......................................................109
XVIII. Нелинейные системы...................................................................121
XIX. Арифметическая и геометрическая прогрессии, бесконеч-
ная убывающая геометрическая прогрессия .............................131
XX. Тригонометрия .............................................................................144
(1) Единичная числовая окружность. Радианное изме-
рение угловых величин. Формулы длины окружно-
сти и площади кругового сектора. Определение
тригонометрических функций, их области опреде-
ления и множества значений ..........................................144
(2) Основные тригонометрические тождества ...................146
(3) Знаки тригонометрических функций по четвертям .....146
(4) Значения тригонометрических функций некоторых
основных углов ................................................................147
(5) Четность тригонометрических функций.......................147
(6) Периодичные функции. Периодичность тригоно-
метрических функций .....................................................148
(7) Формулы приведения......................................................149
(8) Графики тригонометрических функций........................150
(9) Оси тангенсов и котангенсов..........................................161
(10) Тригонометрические формулы сложения.....................162
(11) Формулы двойного аргумента. Формулы пониже-
ния степени.......................................................................163
(12) Формулы половинного аргумента .................................164
(13) Преобразование сумм и разностей тригонометри-
ческих функций в произведения ....................................165
(14) Преобразование произведений тригонометриче-
ских функций ...................................................................167
(15) Выражения sin a и cosa через tg / 2a ..........................168
(16) Условия равенства тригонометрических функций ......169
(17) Формулы вспомогательного аргумента.........................169
(18) Обратные тригонометрические функции
(Аркфункции)...................................................................171
(19) Формулы тригонометрических уравнений ...................175
(20) Классификация тригонометрических уравнений.........181
(21) Тригонометрические неравенства..................................194
(22) Формулы аркфункций.....................................................200
11. 10 В.А.Битнер
(23) Гармонические колебания. Графики гармонических
колебаний..........................................................................202
XXI. Производная и ее применение.....................................................209
(1) Определение производной, ее физический
(механический) смысл .....................................................209
(2) Основные правила нахождения производных ..............210
(3) Производные постоянной, линейной, квадратичной
и степенной функций.......................................................210
(4) Таблица производных......................................................211
(5) Уравнение касательной к кривой. Геометрический
смысл производной..........................................................215
(6) Применение производной в физике ...............................218
(7) Применение производной при исследовании функ-
ций .....................................................................................219
(8) Отыскание наибольших и наименьших значений
функции на отрезке..........................................................225
(9) Задачи на наибольшие и наименьшие значения ...........226
XXII. Показательная функция, ее свойства и график.
Показательные уравнения и неравенства...................................231
XXIII. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Лога-
рифм числа и его свойства. Решение логарифмических и
показательно-логарифмических уравнений и неравенств.
Различные интересные графики, связанные с показатель-
ной и логарифмической функциями...........................................235
XXIV. Текстовые задачи ..........................................................................257
XXV. Решение упражнений вступительных экзаменов и вступи-
тельных тестов по математике различных вузов России..........268
12. Краткий курс школьной математики 11
Что надо знать по геометрии.
I. Краткий обзор планиметрии .......................................................286
(1) Треугольники ...................................................................286
1. Виды треугольников в зависимости от углов, сто-
рон...................................................................................286
2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольников......286
3. Свойства равнобедренного треугольника ..................286
4. Признаки равенства треугольников............................286
5. Сумма углов треугольника ..........................................287
6. Соотношение между сторонами и углами тре-
угольника .......................................................................287
7. Некоторые свойства прямоугольных треугольни-
ков...................................................................................287
8. Признаки равенства прямоугольных треугольни-
ков...................................................................................287
9. Подобные треугольники. Признаки подобия тре-
угольников.....................................................................287
10. Средняя линия треугольника.......................................288
11. Теорема Пифагора ........................................................288
12. Метрические соотношения в прямоугольном тре-
угольнике .......................................................................288
13. Тригонометрические функции острого угла пря-
моугольного треугольника...........................................289
14. Решение прямоугольных треугольников....................289
15. Свойства биссектрисы треугольника..........................290
16. Формула медианы........................................................290
17. Теорема синусов ...........................................................291
18. Теорема косинусов........................................................291
19. Решение треугольников ...............................................291
20. Четыре замечательные точки треугольника...............292
(2) Параллельные прямые.....................................................295
1. Углы, образованные при пересечении двух пря-
мых третьей ...................................................................295
2. Аксиома параллельных прямых (Евклида) ................295
13. 12 В.А.Битнер
3. Признаки параллельности двух прямых.....................295
4. Теорема Фалеса. ............................................................296
(3) Четырехугольники ...........................................................297
1. Сумма углов выпуклого многоугольника
(n-угольника)..................................................................297
2. Определение трапеции. Средняя линия трапеции .....297
3. Определение параллелограмма. Признаки парал-
лелограмма.....................................................................297
4. Свойства параллелограмма ..........................................298
5. Прямоугольник и его свойства ....................................298
6. Ромб и его свойства.......................................................298
7. Квадрат и его свойства..................................................298
8. Метрические соотношения в параллелограмме.........299
(4) Площадь ............................................................................299
1. Понятие площади. Аксиомы площади........................299
2. Формулы площади треугольника ................................299
3. Формулы площади параллелограмма..........................300
4. Формулы площади ромба.............................................300
5. Формулы площадей треугольника и квадрата............300
6. Формулы площади трапеции .......................................300
7. Формулы площади произвольного четырехуголь-
ника.................................................................................300
8. Формулы площади круга и кругового сектора...........301
(5) Окружность.......................................................................301
1. Определение окружности. Радиус, хорда, диа-
метр, секущая.................................................................301
2. Касательная к окружности. Свойства касательной ...301
3. Центральные и вписанные углы. Теорема о впи-
санном угле. Следствия ................................................302
4. Метрические соотношения в окружности ..................303
5. Вписанный и описанный треугольники......................303
6. Вписанный и описанный четырехугольники .............304
7. Формулы радиусов окружностей, вписанной и
описанной около треугольника....................................304
8. Правильный многоугольник, описанная около не-
го и вписанная в него окружность...............................305
9. Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его сторон и радиусов вписан-
ной и описанной окружностей .....................................306
10. Длина окружности и длина дуги окружности............306
14. Краткий курс школьной математики 13
11. Уравнение окружности.................................................306
(6) Векторы.............................................................................307
1. Понятие вектора. Коллинеарные и равные векто-
ры....................................................................................307
2. Сложение и вычитание векторов, свойства................308
3. Умножение вектора на число, свойства .....................310
4. Угол между векторами. Скалярное произведение
векторов и его свойства................................................310
(7) Движения..........................................................................312
1. Отображение плоскости на себя. Понятие движе-
ния...................................................................................312
2. Осевая симметрия.........................................................312
3. Центральная симметрия...............................................313
4. Поворот..........................................................................313
5. Параллельный перенос.................................................314
(8) Гомотетия .........................................................................314
(9) Решение различных планиметрических задач..............315
II. Основные определения и теоремы стереометрии.....................332
(1) Основные аксиомы стереометрии и следствия из
них.....................................................................................332
(2) Скрещивающиеся прямые. Признак скрещиваю-
щихся прямых..................................................................333
(3) Признак параллельности прямой и плоскости .............333
(4) Признак параллельности двух плоскостей....................334
(5) Свойства параллельных плоскостей..............................334
(6) Параллельная проекция и ее свойства...........................335
(7) Изображение фигур в стереометрии..............................336
(8) Векторы в пространстве..................................................337
(9) Признак перпендикулярности прямой и плоскости.....342
(10) Связь между перпендикулярностью и параллельно-
стью в пространстве ........................................................343
(11) Расстояние от точки до плоскости. Угол между на-
клонной и плоскостью.....................................................344
(12) Теорема о трех перпендикулярах...................................344
(13) Симметрия относительно плоскости.............................345
(14) Двугранный угол. Линейный угол двугранного уг-
ла. Угол между двумя плоскостями...............................345
(15) Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол ......347
(16) Признак перпендикулярности двух плоскостей...........347
III. Многогранники.............................................................................348
15. 14 В.А.Битнер
(1) Призма...............................................................................348
(2) Пирамида ..........................................................................350
(3) Правильные многогранники ...........................................351
(4) Формулы площадей боковых и полных поверхно-
стей и объемов призмы, пирамиды и усеченной
пирамиды ..........................................................................352
IV. Призма, боковое ребро которой составляет равные углы с
прилежащими сторонами основания. Решение различных
задач на призмы............................................................................353
V. Пирамиды с равнонаклонными ребрами и гранями. Реше-
ние различных задач на пирамиды .............................................360
VI. Круглые тела .................................................................................375
(1) Цилиндр. Развертка цилиндра. Sбок. и Sполн. ци-
линдра. Призма, вписанная в цилиндр и описанная
около него. Сечения цилиндра........................................375
(2) Конус. Развертка конуса. Sбок. и Sполн. конуса.
Пирамида, вписанная в конус и описанная около
него. Сечения конуса.................. ....................................377
(3) Усеченный конус, его развертка, Sбок. и Sполн.,
Vусеч. конуса....................................................................378
(4) Сфера и шар. Сечение шара. Плоскость, касатель-
ная к сфере ........................................................................379
(5) Площадь сферы. Vконуса, цилиндра, усеченного
конуса, шара. Решение задач ..........................................381
VII. Вписанный и описанный шары. Решение задач........................390
VIII. Решение задач вступительных экзаменов и вступительных
тестов по математике различных ВУЗов России.....................399
16. Краткий курс школьной математики 15
Используемая литература
1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по ал-
гебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики: М.: «Просвеще-
ние», 1992
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 7-9
классов общеобразовательных учреждений: М.: «Просвещение»,
1999
3. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 и 10 (читай: 10 и
11) классов средней школы: Под редакцией А.Н.Колмогорова: М.:
«Просвещение», 1985
4. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. Учебное
пособие для 9 – 10 (читай: 10-11) классов средней школы: М.:
«Просвещение», 1983
5. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система трениро-
вочных задач и упражнений по математике: М.: «Просвещение»,
1991
6. Шарыгин И.Ф. Математика. Учебное пособие для поступающих в
вузы: М.: Издательский дом «Дрофа», 1995
7. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Под ре-
дакцией М.И.Сканави: М.: «Столетие» МИЧ, 1997
8. Математика. Учебное пособие для абитуриентов: Составитель
Г.А.Коротченко: Томск: Томский Госуниверситет систем управле-
ния и радиоэлектроники, 1999
17. Тема I. Основные законы арифметики и ал-
гебры
Для , ,a b c∀ – действительных выполняются следующие законы.
1. Коммутативный закон сложения: a b b a+ = + ;
2. Ассоциативный закон сложения: ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ;
3. Коммутативный закон умножения: a b b a⋅ = ⋅ ;
4. Ассоциативный закон умножения: ( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅ ;
5. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:
( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ;
Приведенные 5 законов называют еще 5 основными законами арифме-
тики и алгебры.
6. Дистрибутивный закон деления относительно сложения:
( ): : :a b c a c b c+ = + ;
7. Закон поглощения нуля: 0a a+ = ;
8. Закон противоположных чисел: ( ) 0a a a a− = + − = .
o 1 Числа вида " a " и " a− " называются противоположными.
9. Закон поглощения a при умножении на 0: 0 0a⋅ = ;
10. Закон обратных чисел: : 1
a
a a
a
= = .
o 2
Числа вида " a " и "
1
a
" называются обратными.
11. Закон поглощения a при делении нуля: 0: 0a = ;
Алгебра и начала анализа
18. Краткий курс школьной математики 17
12. Закон: на нуль делить нельзя.
Тема II. Некоторые вопросы теории мно-
жеств
Множество – неопределяемое понятие. Под множеством понимается
совокупность или класс предметов, объединенных одним и тем же
свойством. Предметы эти называются элементами множества и обо-
значаются малыми буквами латинского алфавита. Сами множества
обозначаются большими буквами латинского алфавита. В зависимости
от количества входящих в них элементов различают конечные множе-
ства, бесконечные и пустые множества.
p 1 Множество учеников данного класса.
p 2 Множество лошадей на Луне, это ∅.
p 3 Множество, состоящее из 2 букв a и b , пишут: { },A a b= или
,a b A∈ , но c A∉ .
p 4 Множество R действительных чисел.
o 1 e множество B содержит все элементы множества A, то множе-
ство A наз. подмножеством множества B, пишут: A B⊂ .
p 5 n { } { }1;2;3;4 , 1;0;1;2;3;4;5A B= = − , тогда A B⊂ .
o 2 e множество C содержит элементы множества A или элементы
множества B, то множество C называется объединением мно-
жеств A и B. Пишут: C A B= ∪ .
p 6 n { } { }; ; , ; ; ;A a b c B c d e f= = , тогда C = A ∪ B = {a; b; c; d; e; f}
o 3 Множество C называется пересечением множеств A и B, e оно
содержит элементы A и B, пишут: C A B= ∩ .
19. 18 В.А.Битнер
p 7 n { } { }2;3;5; 1;0 , 0;1;3;6A B= − = , тогда { }0;3C A B= ∩ = .
o 4 Множество C называется разностью множеств A и B, e оно
состоит из элементов множества A, не входящих в B.
Пишут: C = A – B.
p 8 n { } { }1;2;3;4 , 3;4;5;6A B= = , тогда { }1;2C A B= − = .
Геометрическая интерпретация операций над множествами. Круги
Эйлера – Венна.
Операции над множествами легко интерпретировать (показать, изобра-
зить) с помощью так называемых кругов Эйлера – Венна.
1. Объединение 2 множеств (заштриховано)
а) б) в)
e A B∩ e A B∩ = ∅ e A B⊂ , то
A B B∪ =
2. Пересечение 2 множеств (заштриховано)
а) б) в)
∅ e A B⊂ , то
A B A∩ =
20. Краткий курс школьной математики 19
3. Разность 2 множеств (заштриховано)
а) б) в)
e A B∩ = ∅ , то
A B A− =
e A B⊂ , то
A B− = ∅
Тема III. Числовые множества и их свойства
{ }1,2,3,4,5,6,7,8,...N = - множество натуральных чисел.
Оно имеет начало ( )1 , но не имеет конца.
2n , где n N∈ - общий вид четного натурального числа.
2 1n − или 2 1n + , где n N∈ - общий вид нечетного натурального чис-
ла.
o 1 Числа, которые делятся только на себя и на единицу, называ-
ются простыми.
o 2 Два числа называются взаимно-простыми, если они не имеют
других общих делителей, кроме единицы.
( );НОД a b или ( );a b - обозначение наибольшего общего делителя
двух натуральных чисел a и b.
p 1 ( )18;24 6= p 2 ( )18;81;36 9= p 3 ( )8;17 1= , то есть числа 8
и 17 - взаимно-простые
21. 20 В.А.Битнер
( );НОК a b или [ ];a b - обозначение наименьшего общего кратного
двух натуральных чисел a и b.
p 4 [ ]18;24 72= p 5 [ ]18;81;36 724=
{ }... 3; 3; 1;0;1;2;3;4;...Z = − − − - множество целых чисел.
Оно не имеет начала и не имеет конца.
m
Q
n
=
, где ,m n Z∈ , кроме n = 0 - множество рациональных чисел.
uг1
Любое рациональное число вида
m
n
, 0n ≠ , можно представить
в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
p 6 ( )
2
0,666... 0, 6
3
= = p 7 ( )
17
1,01717... 1,0 17 1
990
= =
Верно и обратное утверждение.
Кроме рациональных чисел, существуют иррациональные числа, кото-
рые нельзя представить в виде
m
n
, где ,m n Z∈ , кроме n = 0.
К ним относятся числа 3,14..., 2,7182..., 2 1,4142...eπ = = = и др.
uг2 Любое иррациональное число можно представить в виде бес-
конечной десятичной непериодической дроби.
p см. выше: π, e, 2 и т.д.
Иногда множество иррациональных чисел обозначают I , тогда
{ , , 2, 3,...}I eπ= −
R - обозначение множества действительных чисел, оно является объе-
динением множества рациональных и множества иррациональных чи-
сел, то есть R Q I= ∪ .
22. Краткий курс школьной математики 21
Тема IV. Формулы или тождества сокращен-
ного умножения. Треугольник Пас-
каля.
1. Квадрат суммы двух чисел: 2 2 2
( ) 2a b a ab b+ = + + .
2. Квадрат разности двух чисел: 2 2 2
( ) 2a b a ab b− = − + .
3. Разность квадратов: 2 2
( )( )a b a b a b− = + − .
4. Куб суммы двух чисел:
3 3 2 2 3 3 3
( ) 3 3 3 ( )a b a a b ab b a b ab a b+ = + + + = + + + .
5. Куб разности: 3 3 2 2 3 3 3
( ) 3 3 3 ( )a b a a b ab b a b ab a b− = − + − = − − − .
6. Сумма кубов двух чисел: 3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b+ = + − + .
7. Разность кубов: 3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b− = − + + .
8. Квадрат суммы трех чисел:
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + + .
9. 2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc− + = + + − + − .
10. 2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc− − = + + − − + .
11. 1 2
1 ( 1)( ... 1),n n n
a a a a a n N− −
− = − + + + + ∈
12. 2 1 2 2 1 2 2
1 ( 1)( ... 1),k k k k
a a a a a a k N+ − −
+ = + − + − − + ∈ .
Примеры на применение некоторых из этих формул
Вычислить:
p 1 2 2
31 (30 1) 961= + =
p 2 2 2
999 (1000 1) 998001= − =
p 3 42 38 (40 2)(40 2) 1596⋅ = + − = - все такие примеры можно ре-
шать устно.
Разложить на множители:
p 4 6 5 4 3 2
1 ( 1)( 1)a a a a a a a− = − + + + + + или
6 2 4 2 4 2
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)a a a a a a a a− = − + + = + − + + или
6 3 3 2 2
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)( 1)a a a a a a a a a− = + − = + − + − + +
p 5 5 4 3 2
1 ( 1)( 1)a a a a a a+ = + − + − +
23. 22 В.А.Битнер
Треугольник Паскаля
Так называется таблица коэффициентов разложения степени бинома
(двучлена) a b+ .
Легко увидеть правило, по которому получаются члены каждой строки
треугольника Паскаля.
0) 1 0
( ) 1a b+ =
1) 1 1 1
( ) 1 1a b a b+ = ⋅ + ⋅
2) 1 2 1 2 2 2
( ) 1 2 1a b a ab b+ = ⋅ + ⋅ + ⋅
3) 1 3 3 1 3 3 2 2 3
( ) 1 3 3 1a b a a b ab b+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
4) 1 4 6 4 1 4 4 3 2 2 3 4
( ) 1 4 6 4 1a b a a b a b ab b+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
5) 1 5 10 10 5 1 ( )
5 5 4 3 2 2 3 4 5
1 5 10 10 5 1a b a a b a b a b ab b+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
6) 1 6 15 20 15 6 1 ( )
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
1 6 15 20 15 6 1a b a a b a b a b a b ab b+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
… …
p 5 2 3 4 5
2 3 4 5
(2 ) 32 5 16 10 8 10 4 5 2
32 80 80 40 10
m m m m m m
m m m m m
− = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =
− + − + −
Тема V. Разложение многочленов на множи-
тели. Способы разложения. Деление
многочленов.
o 1 Выражение, состоящее из чисел и букв, связанных между со-
бой операциями умножения и возведения в степень, называется
одночленом.
o 2 Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.
Способы разложения многочленов на множители.
1. Вынесение общего множителя за скобки.
p 1 3 2 2
6 3 3 (2 1)a b ab ab a b− = − ;
24. Краткий курс школьной математики 23
2. Способ группировки.
p 2 2 2
2 2 ( ) 2( ) ( )( 2)a b ab a b ab a b a b a b ab− − + = − − − = − −
3. Способ применения формул сокращенного умножения.
p 3 3 2
64 ( 4)( 4 16)m m m m− = − + +
p 4 2 3 3
8 12 6 (2 )a a a a+ + + = +
4. Комбинированный способ.
p 5 2 2 2 2
2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( )( 2)a a b b a b a b a b− + − − − = − − + = + − −
Деление многочленов.
u Разделить многочлен P(x) на многочлен S(x) – значит найти
многочлен Q(x) (частное) и R(x) (остаток), удовлетворяющие
двум требованиям:
1. ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x S x R x= ⋅ + ;
2. Степень R(x) меньше степени S(x).
3 2
8 16 2 4x x x+ − + 2
4 2 1x x− +
3 2
8 4 2x x x− + 2 5 ( )x Q x+ =
p 1
3
3 2x x− − 2x −
3 2
2x x− 2
2 1 ( )x x Q x+ + =
2
2 3 2x x− −
2
2 4x x−
2x −
p 2
2x − R=0
2
20 4 4x x− +
− =x R x6 1 ( )
− +x x20 10 52
0
25. 24 В.А.Битнер
Упражнения для самостоятельного решения
Разложить многочлены на множители с целыми коэффициентами:
p 1 3 3 2 2
10 6 4 15a b ab a b− + −
p 2 2 2
2p pq q+ −
p 3 3 2
12 4 3x x x+ − −
p 4 2 2
2 1m m n− − +
p 5 3 2
5 2 16y y y− − +
p 6 Разделить 4 3
( ) 2 3 2 5P x x x x= + − + на 2
( ) 1S x x x= + +
p 7 Разделить 3 2
( ) 5 4 2P x x x x= − + − на ( ) 2S x x= −
Ответы:
p 1 2 3
(2 3 )(5 2 )a b a b− +
p 2 ( 2 )( )p q p q+ −
p 3 (2 )(2 )(3 )x x x+ − −
p 4 ( 1)( 1)n m n m+ − − +
p 5 2
( 2)( 3 8)y y y− − −
p 6 2
( ) 2 2 3; ( ) 3 8Q x x x R x x= − + = − −
p 7 2
( ) 5 6 13; 24Q x x x R= + + =
Тема VI. Степень числа и его свойства. Дей-
ствия со степенями.
o 1 ...n
n
a a a a= ⋅ ⋅ ⋅
o 2 0
1a =
o 3 1n
n
a
a
−
=
26. Краткий курс школьной математики 25
Свойства степени с натуральным показателем.
1. m n m n
a a a +
⋅ =
2. m n m n
a a a −
÷ =
3. ( )n n n
ab a b= ⋅
4.
n n
n
a a
b b
=
5. ( )m n mn
a a=
Действия со степенями.
Упростите выражения:
p 1 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1
2
2
( ) ( ) 2
( ) ( )
b c a
a b c a b c bc
b c a b c a bc b c a
a b c a b c bc
b c a a b c
+ −
+ ÷ − ÷ + = + +
+ + + − + + −
= ÷ ÷ =
+ +
+ + +
=
( )a b c+ 2
( )( ) 2
2 ( )( )
b c a b c a bc
bc b c ab c a
+ + + −
÷ =
+ −+ −
p 2 6 2 2
1 2
2
3 3 4 2
1 2 2
1 2 1
64 4 (2 1)
4 1 1 24 2
4
( 8)( 8) 4 (2 1)
1 24 2 4 4 1
( 2) ( 2 4)
x x x x
xx x
x x
x x x x x
xx x x x
x x x
−
− −
− −
− −
− − −
− +
⋅ − =
−+ +
− +
− + +
= ⋅ − =
−+ + − +
− + +
=
3
1 2
( 8)
4 2
x
x x
−
− −
−
+ +
4 2
2
4 (2 1)
1 2(2 1)
(1 2 )
x x x
xx
x
+
⋅ − =
−−
−
=
3 4
(1 8 )x x+
4
x 2
(2 1)x −
2 3
4 (2 1) 1 8
2 1
x x x
x
+ − −
+ =
−
3
8x+ 2
4
2 1
(2 1) (2 1)
x
x
x x
+
=
−
+ −
= 2 1
2 1
x
x
= +
−
d
Эти свойства верны и для степени с целым и
рациональным показателями.
27. 26 В.А.Битнер
p 3 2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 3 2 2
1 2 1a a a a
a a a aa
− − −
− −
− − −
− + =
− −
2
a−
+
1 1 3
2 2 2
1
32
0,5 1,52
1 3
2 2
1
2
2
1 2 (1 )
2 2
11
a
a a a
a a a
a a a
a
a a
a
−
−
−
−
− =
−
− −
= − = − = − −
−
−
d
Упражнения для самостоятельного решения.
Упростить выражения:
p 1 2
2 2 2 2
3 2
:
2 2 2 2
x y y x y y
x y y xx y x y
− −
+ +
+ −− −
p 2
2 2
: 1
a b a b
b ab a
− + +
p 3 11 1 1 1
1 1 1 1 2 2
4a b a b ab
a b a b b a
−− − − −
− − − −
− +
− ⋅
+ − −
p 4 0,5
1 1,5 0,5
2
1 1 2
:
1
1
x x
x x
x x
−
− +
+
−
+ +
p 5
2 2 2
1 1
1 :
1 1 2
b c a a b ca b c
bc abc
a b c
−
+ − − −+ ⋅ +
+
+
и вычислить при a = 0,02;
b = -11,05; c=1,07
Ответы:
p 1
2
2
x y+
p 2
a b
ab
−
p 3 -1 p 4 x + 1 p 5 0,1
28. Краткий курс школьной математики 27
Тема VII. Модуль числа и его свойства.
o , 0
, 0
a a
a
a a
≥
=
− <
e
e
Геометрический смысл модуля: | a | - это расстояние от точки A(a) на
координатной прямой до начала координат.
p 1 3 3=
p 2 0 0=
p 3 5 ( 5) 5− = − − =
Свойства:
1. 0a ≥ ;
2. ab a b= ⋅ ;
3.
aa
b b
= , где 0b ≠ ;
4. a b a b+ ≤ +
z ,a b a b+ = + e a и b одного знака
p 4 2 3 1 1 2 3 2 3 5− = − = < + − = + =
p 5 1 4 5 5 1 4 1 4− − = − = = − + − = +
29. 28 В.А.Битнер
Тема VIII. Арифметический корень n-ой
степени и его свойства. Дейст-
вия с корнями, упрощение сте-
пеней с рациональными показа-
телями .
1. Квадратный корень из числа и его свойства.
o 1 Арифметическим значением квадратного корня из неотрица-
тельного числа a называется неотрицательное число, квадрат
которого равен a.
Пишут: a
Из определения следует, что ( )
2
0, 0,a a a a≥ ≥ = .
Свойства:
1. 2 , 0
, 0
a a
a a
a a
≥
= =
− <
e
e
;
2. ab a b= ⋅ , где 0, 0a b≥ ≥ ;
3. ,где 0, 0
a a
a b
b b
= ≥ > ;
4. , где 0a a a a⋅ = ≥ ;
5. ( ) , где 0,
m
m
a a a m N= ≥ ∈ ;
6. ( )( )a b a b a b− = + − .
p 1 Упростить выражение:
( )
2
2 2
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1
x x x x x x x
x x x x x x
+ + − + + + − − − − − = − + + + − + +
30. Краткий курс школьной математики 29
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
1 2 1 4 4
1 1 1 1 1 1
x x x x x
x x x x x x
− + − − − = − =
+ − + + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 1 1 4 1 2 1 2
1 1 11 1
x x x x x x
x x xx x
− + − − − = − = ⋅ = + + − + −
( )( ) ( )( )2 2
16 16
или
1 11 1
x x x x
x xx x
= − =
− −+ −
d
p 2 Упростить выражение:
2 2
2 22 2
4 4 8 2
,0 2
4 24 4
a ab b ab b
a b
a b a ba ab b
− +
− + < <
− −+ +
( )
( )
2
2 22
2 8 2 2
Имеем:
4 2 22
a b ab b b a
b a b a b aa b
− −
+ − = +
− − ++
( )( )
2
8 2 4
2 2 2
ab b b
b a b a b a
+ − =
+ − −
2 2
4 8 4ab a ab b− + + −
2 2
2
4
ab
b a
−
=
−
( )2
2 2
22
4
a b aa ab
b a
++
= =
− ( )2b a+ ( ) 22
a
b ab a
=
−−
d
p 3 Упростить:
( )
( )
( )( )
( )
2
2
1
4 4 2 4 44 4
2 4 4 44 2 4
4 2 4 4 4 48
4 4 44 2 4 2 4
t ttt t t
t t tt t
t t t t tt
t tt t t
+
+ + + ++⋅ + + + = ⋅ + =
− + + ++ − +
⋅ + + + + + ++
= + =
+ ++ − + + + 4t− −( )
8
4
t t
t
+
+ −
+ =
+
4 4 8t− + − t+ 8+
4
4t
= −
+
d
31. 30 В.А.Битнер
2. Арифметический корень n-ой степени и его свойства.
o 2 Арифметическим значением корня n-ой степени из неотрица-
тельного числа a называется неотрицательное число, n-ая сте-
пень которого равна a.
Пишут: ( ), где 0, 0,
n
n n n
a a a a a≥ ≥ = .
Свойства:
Для любых натуральных n и m, больших 1, и любых неотрицательных
a и b верны равенства:
1. n n n
ab a b= ⋅ ;
2. , 0
n
n
n
a a
b
b b
= ≠ ;
3. ( )
m
n mn
a a= ;
4. m n mn
a a= ;
5. nm mn
a a= ;
6. , 0n n
a b a b< ≤ <e ;
7. 2 2n n
a a= ;
8. 2 1 2 1n n
a a+ +
− = − ;
o 3 m
n mn
a a=
Упростить выражения:
p 1
( )
( )( )
224 2
6 3
2 2
2 2
2
2
2
1 32 3 1 1 1
2 27 2 3
2 23 1 3 1
1 3 1 3
2 3 1 1 3 2 3
3 1
1 3
x xx x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
+ −+ − +
+ − = + − =
+ + + +
+ + + −
= + − = + − + −
+ +
− = + d
32. Краткий курс школьной математики 31
p 2
( )
( )( )
3 6 63 3
2
6 66
2
2 3 1 12 1
4 1 2 3 13 4 3 4 13 4 3
11 11
13 4 3 13 4 32 3 1 169 48
4 4
11 11 121
4 1 3
− −
+ − + ⋅ = ⋅ − + ×
+ − − −
× = − = − =
= − = d
p 3 Проверить справедливость равенства:
( )( )
3 3
33 3
3
3 2 3
3 3
2
2
38 1445 38 1445 4
Положим 38 1445 38 1445 38 1445
38 1445 3 38 1445 38 1445 76
3 38 1445 76 3 1444 1445 76 3
Получили: 76 3 64 3(4 )
( 4)( 4 16) 3( 4) 0
( 4)( 4 19)
A A
A
A A A
A A A A
A A A A
A A A
+ + − =
= + + − ⇔ = + +
+ − + + − ⋅ = +
+ − ⋅ = + − ⋅ = −
= − ⇔ − = − ⇔
⇔ − + + + − = ⇔
⇔ − + + =
2 2
0
4 0
4 19 0 - это квадратное уравнение не имеет
действительных корней.
Значит, 4 - единственное возможное действительное
значение для , чем и доказан
A
A A
A
A
⇔
− =
⇔
+ + =
=
о требуемое равенство.
p 4
( ) ( )( )2 2
4 4 4 4 a b
a b a b
a b
− − +
− + + ÷ =
−
( ) ( ) ( )( )2 2
4 4 4 4
1 1 a b
a b a ba b a b
+ = + ÷ = + − − +
( ) ( )
( )( )( )
( )
2 2
4 4 4 4
2
4 4 4 4
a b a b
a b
a b a b
+ + −
= ⋅ − =
− +
33. 32 В.А.Битнер
( )
( )
4 4
2
2 2a ab b a ab b
a b
a b
+ + + − +
= ⋅ − =
−
( )2 a b
a b
+
=
−
d
p 5 Упростить выражение и вычислить его числовое значение при
b = 0,04
( )
( )
( )
( )
( )
4
1 21 213
63 4 32 324 3
3 2 4(2 ) 4 216 8
2 14 3 33
n n
a b c a b cb c b c
n n nn na b an
a b a b a b a
− −
+ ⋅ + ⋅
÷ = ÷ =
− −−− +− −
⋅ +
1
2
, при 0,04 имеем: 0,04 0,2b b b= = = = d
p 6
( )( )( )
( ) ( )
( )( )
2
2 2 444
4
22 4
4
2 3
1 2 1 1 ( 1) ( 1)
1
1
, 1 1
11 2 1 3
1
1 31 1
, 1
3
a a
a a a a a a
a
a
a
aa a a
a
a aa a
a
a
+ −
− + − − ÷ = − + ÷
+
+
− − < <+− + − +
÷ = − ⋅ =
− ++ + > +
e
e
Упражнения для самостоятельного решения.
p 1
2
1 1x
x x x x x x
+
÷
+ + −
;
p 2 0,5
1 1,5 0,5
2
1 1 2
1
1
x x
x x
x x
−
− +
÷ +
−
+ +
;
p 3
( ) ( )
( )
2 2
4 4 4 4
3 3
1
3
2
m n m n
mn
m n m n
+ + −
÷ −
− −
;
p 4 2
22 2
1, 0
x a x a x
x a
ax a x ax a x a
− −
+ ÷ − > >
− − ++ + −
;
34. Краткий курс школьной математики 33
p 5 1
12
1 1 1 2 3
3 6 3 3
a ab a
b
a a b b
−
− − − −
+
−
− +
;
p 6 2 1
1 1
x x
x
− −
− −
;
Ответы:
p 1 1x − ; p 2 1x + ; p 3 ( )
2
m n− ; p 4 1; p 5
5
6
a ;
p 6 1, 1 2; 1, 2x x− ≤ < >уe e .
Тема IX. Некоторые вопросы теории уравне-
ний. Линейные уравнения.
o Уравнение вида 0, где ,ax b a b R+ = ∈ , называется линейным.
а) 0a ≠e , то линейное уравнение имеет единственное решение
b
x
a
= − ;
б) 0a b= =e , то уравнение принимает вид: 0 0 0x⋅ + = и имеет
бесчисленное множество решений x R∈ ;
в) 0, 0a b= ≠e , то уравнение принимает вид: 0 0x b⋅ + = и не
имеет решений.
z К линейным уравнениям относятся и уравнения вида
ax b cx d+ = + .
p 1 Решить уравнение: 2 3 4( 1) 5x x− + − =
Решение:
2 3 4 4 5 2 4 5 3 4 6 12 2x x x x x x− + − = ⇔ + = + + ⇔ = ⇔ = .
Ответ: { }2
35. 34 В.А.Битнер
p 2 Решить уравнение: ( ) ( )2 3 2 1 4 1 7x x x− + − = − −
Решение: 2 2 4 4 7 3 2 0 6x x x x+ − = − − + + ⇔ ⋅ = −
Ответ: ∅
p 3 Решить уравнение: ( ) ( )2 3 6 1 4 1 5x x x+ − − = − +
Решение: 2 6 4 4 5 3 6 0 0x x x x− + = + − − ⇔ ⋅ =
Ответ: x R∈
p 4 3 21
3 82
3
2
2 x
=
−
−
−
Решение: Заметим, что 2x ≠
( )
{ }
1 7 1 7 1
, где , и далее:
3 3 28 8 22 24 2 3 1 2
2
1 7 2 1 7
, где 4, и далее:
2 4 6 3 8 4 8
1 2
16x-8=7x+28 16x-7x=28+8 9 36 4
Ответ: 4
x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
= ⇔ = ≠
−
− −− − −
−
−
= ⇔ = ≠ −
− − + +
−
⇔ ⇔ = ⇔ =
p 5
Решить уравнение с параметром:
3 2
2 2
a a a a
x a x a x a x a
− = −
− − − −
.
Решение:
1. Так как на нуль делить нельзя, то , 2x a x a≠ ≠
2. При 0a = уравнение имеет бесчисленное множество реше-
ний, кроме 0x = .
3.
3 1 1 2 2 1
0, то имеем: - = - =-
x-2a x-a x-2a x-2a
a
x a x a
≠ ⇔ ⇔
− −
e
5
2 4 3 5
3
a
x a x a x a x⇔ − = − + ⇔ = ⇔ = .
4. Но
5 5
1 при 0.
3 3
a
x a a a≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠
И
5 5
2 2 2 при 0.
3 3
a
x a a a≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠
Ответ:
36. Краткий курс школьной математики 35
1. Уравнение имеет единственное решение
5a
x=
3
, если a 0≠ .
2. Уравнение имеет бесчисленное множество решений, кроме
0x = , если 0a = .
p 6 Решить уравнение: ( )2
2 2a x a x= + − .
Решение:
( ) ( )2 2
2 2 1 2 1 , 0, 1a x ax a a a x a x a a
a
− = − ⇔ − = − ⇔ = ≠ ≠e
1, то имеем: 0 0 и .a x x R= ⋅ = ∈e
0, то имеем: 0 2 чего быть не может, .a x= ⋅ = − ∅e
Ответ:
1. Если 0, 1a a≠ ≠ , то уравнение имеет единственное решение
2
x
a
= .
2. Если 1a = , то уравнение имеет бесчисленное множество
решений.
3. Если 0a = , то уравнение не имеет действительных корней.
p 7 Решить уравнение с модулем: 3 2 1x x+ = − .
z Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком
модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его оп-
ределение. На практике это делается так:
1) находят точки, то есть значения переменной, при которых
выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в
нуль;
2) разбивают область допустимых значений переменной на
промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие
под знаком модуля, сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение
без знака модуля.
Совокупность (объединение) решений указанных промежутков
и составляет решение рассматриваемого уравнения.
Решение:
1) 3x = − - нуль модуля;
37. 36 В.А.Битнер
2) при ( ) ( )
2
; 3 имеем: 3 2 1 ; 3 .
3
x x x x∈ −∞ − − − = − ⇔ = − ∉ −∞ −
3) при ( )3; имеем: 3 2 1 4.x x x x∈ − +∞ + = − ⇔ =
Ответ: { }4 .
p 8 Решить уравнение: 2 3x x x+ + + =
Решение:
1) 2, 3x x= − = − - нули модулей;
2) при ( ); 3x∈ −∞ − имеем:
( )
5
2 3 ; 3
3
x x x x− − − − = ⇔ = − ∉ −∞ − ;
3) при [ ] [ ]3; 2 имеем: 2 3 1 3; 2 ;x x x x x∈ − − − − + + = ⇔ = ∉ − −
4) при ( ) ( )2; имеем: 2 3 5 2;x x x x x∈ − +∞ + + + = ⇔ = − ∉ − +∞ .
Ответ: ∅
p 9 Решить уравнение: 5 3 8x x+ − − = .
Решение:
1) 5, 3x x= − = - нули модулей;
2) при ( ); 5 имеем: 5 3 8 8 8x x x∈ −∞ − − − + − = ⇔ − = - ложно;
3) при [ ]5;3 имеем: 5 3 8 3x x x x∈ − + + − = ⇔ = ;
4) при ( ) ( )3; имеем: 5 3 8 8 8, 3;x x x x∈ +∞ + − + = ⇔ = ∈ +∞ .
Ответ: [3; )+∞ .
Упражнения для самостоятельного решения.
Решить уравнения:
p 1
( ) ( )
6
3 2
2 4
1 3
3 3
1
9
3
3 33 27
x
− −
⋅
=
⋅⋅
;
p 2
2
5 1
0
x x
+ = ;
p 3 ( ) ( )6 1 2 7ax a a x− − = + − ;
38. Краткий курс школьной математики 37
p 4 8 5
2
2
x
a
x
+
=
−
;
p 5 4 0x + = ;
p 6 5 10x x+ = + ;
p 7 3 2 1 4x x− + + = ;
p 8 5 2 3 3 2x x x− + + + = .
Ответы:
p 1 {1};
p 2 {-0,2};
p 3 1. Если
1
3
a ≠ , то уравнение имеет единственное решение
0,5x = ;
2. Если
1
3
a = , то уравнение имеет бесконечное множество
решений;
p 4 1. Если 2,5a ≠ − , то уравнение имеет единственное решение
4 8
2 5
a
x
a
−
=
+
;
2. Если 2,5a = − , то уравнение не имеет решений.
p 5 {-4};
p 6 {-7,5};
p 7 {-1};
p 8 ( ]; 3−∞ −
(1) Некоторые вопросы теории уравнений
o 1 Равенство, содержащее переменную (неизвестное), называется
уравнением с одной переменной (неизвестным).
o 2 Значение переменной, при котором уравнение обращается в
верное равенство, называется корнем (или решением) уравне-
ния.
39. 38 В.А.Битнер
Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что
их нет.
o 3 Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равно-
сильными.
Свойства равносильных уравнений.
1o
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части урав-
нения в другую с противоположным знаком, то получится
уравнение, равносильное данному.
2o
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то
же отличное от нуля число, то получится уравнение, равно-
сильное данному.
3o
Уравнение вида
( )
( )
0
f x
g x
= равносильно системе
( )
( )
0
0
f x
g x
=
≠
.
o 4 Если каждый корень уравнения ( ) ( )1 1f x g x= является корнем
уравнения ( ) ( )2 2f x g x= , то уравнение
( ) ( )2 2f x g x= называется следствием уравнения ( ) ( )1 1f x g x= .
Методы решения уравнений:
1) метод разложения на множители;
p 1 ( ) ( ) ( )(
) ( ) ( )( ) ( )( )
3 2 3 2
22
6 12 8 0 8 6 2 0 2 2
4 6 2 0 2 4 4 0 2 2
2 0 2
0
2 0 2
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x
− + − = ⇔ − − − = ⇔ − + +
+ − − = ⇔ − − + = ⇔ − + =
− = =
= ⇔ ⇔ + = = −
Ответ: { }2; 2− .
40. Краткий курс школьной математики 39
2) метод подстановки;
p 2 ( ) ( )
2
3 3 3 2 0x x− − − + =
Решение:
Введем переменную 3z x= − , тогда ( )
22
3z x= − .
Имеем: 2
1 23 2 0, 1, 2z z z z− + = = = , получили совокупность
уравнений: 1
2
43 1
3 2 5
xx
x x
=− =
⇔ − = =
.
Ответ: { }4;5 .
3) графический метод;
p 3 3 3
2 1 0 2 1x x x x− + = ⇔ = −
Обозначим 3
1y x= и 2 2 1y x= − и построим графики этих
функций (рис.1).
Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями
данного уравнения.
1 2 31,6; 0,6; 1x x x≈ − ≈ =
Ответ: { }1,6;0,6;1−
0
y
x1
x2
x3
y1
1
1
рис.1
41. 40 В.А.Битнер
Тема X. Числовые неравенства и их свойст-
ва. Действия с неравенствами. До-
казательство неравенств. Решение
линейных неравенств, совокупно-
стей и систем неравенств с одной
переменной.
(1) Определения, геометрический смысл числовых неравенств.
o 1 Если разность двух действительных чисел a b− положительна,
то говорят, что a больше b и пишут a b> .
o 2 Если разность двух действительных чисел a b− отрицательна,
то говорят, что a меньше b и пишут a b< .
Геометрический смысл.
Запись a b> означает, что точка ( )A a на координатной прямой лежит
правее точки ( )B b - см. рис.1.
Запись a b< означает, что точка ( )A a лежит на координатной прямой
левее точки ( )B b - см. рис.2.
B A
b a
0
o
x
рис.1
BA
ba
0
o
x
рис.2
42. Краткий курс школьной математики 41
(2) Свойства числовых неравенств.
1o
(симметричности) , тоa b b a> <e ;
2o
(транзитивности) и , тоa b b a a c> > >e ;
3o
, тоa b a c b c> ± > ±e ;
s Какой-либо член неравенства можно перенести из одной его
части в другую с противоположным знаком, оставив при этом
без изменения знак неравенства.
4o
и 0, то и
a b
a b c ac bc
c c
> > > >e ;
5o
и 0, то и
a b
a b c ac bc
c c
> < < <e .
(3) Действия с неравенствами.
t 1 Два неравенства одинакового смысла можно почленно склады-
вать, оставляя тот же знак.
То есть, и , тоa b c d a b c d> > + > +e , или, если
и , тоa b c d a b c d< < + < +e .
t 2 Два неравенства противоположного смысла можно почленно
вычитать, оставляя знак уменьшаемого неравенства.
То есть, и , тоa b c d a c b d> < − > −e , или,
и , тоa b c d a c b d< > − < −e .
t 3 Два неравенства одинакового смысла с положительными час-
тями можно почленно умножать, оставляя тот же знак.
То есть, 0 и 0, тоa b c d ac bd> > > > >e .
s1 0 и , то n n
a b n N a b> > ∈ >e .
s2 где , 0, 0, тоn n
a b n N a b a b> ∈ > > >e .
43. 42 В.А.Битнер
Замечания
z1 t 1 можно обобщить на случай n неравенств, то есть, если
1 1 2 2 1 2 1 2, ,..., , то ... ...n n n na b a b a b a a a b b b> > > + + + > + + + .
z2 t 33можно обобщить на случай n неравенств, то есть, если
1 1 2 2 1 2 1 20, 0,..., 0, то ... ...n n n na b a b a b a a a bb b> > > > > > > .
(4) Числовые промежутки.
1. Числовая прямая, пишут: ( );−∞ +∞ или R .
2. Числовые полупрямые или числовые лучи, пишут:
( ) ( ); или , ; илиa x a a x a−∞ < +∞ > - строгие неравенства;
( ] [ )- ; или , ; илиa x a a x a∞ ≤ +∞ ≥ - нестрогие неравенства.
3. Числовой отрезок или сегмент, пишут: [ ];a b или a x b≤ ≤ - двойное
нестрогое неравенство.
4. Числовой интервал, пишут: ( );a b или a x b< < - двойное строгое
неравенство.
5. Числовые полуинтервалы или полусегменты, пишут: [ );a b или
a x b≤ < , ( ];a b или a x b< ≤ - двойные неравенства.
(5) Доказательство неравенств.
Для доказательства неравенств обычно используют один из следую-
щих двух путей:
1. Равносильными преобразованиями получают из исходного нера-
венства очевидное неравенство, то есть неравенство одного из сле-
дующих видов:
( )
22 2 2
0,( ) 0, 1 0, 2 0a a b a a b c≥ − ≥ − − < + + + > и им подобных. Тем
самым исходное неравенство доказано.
2. Из одного, двух и более очевидных неравенств равносильными
преобразованиями, используя свойства и теоремы о действиях с не-
равенствами, свойства модуля, теорему о среднем арифметическом
и среднем геометрическом, получают исходное неравенство. Тем
самым оно доказано.
44. Краткий курс школьной математики 43
t
о среднем
арифметическом
и
среднем геомет-
рическом
Среднее арифметическое n неотрицательных чисел
не меньше среднего геометрического этих чисел,
где n N∈ . То есть
1 2
1 2
...
...n n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥ ⋅ ⋅ ⋅ .
Докажем теорему для 2n = , то есть докажем, что 1 2
1 2
2
a a
a a
+
≥ или
2
a b
ab
+
≥ , где 0, 0a b≥ ≥ . Умножим обе части неравенства на поло-
жительное число и перенесем 2 ab влево с противоположным знаком,
получим ( )
2
2 0 0a b ab a b+ − ≥ ⇔ − ≥ - очевидное неравенство. d
z Методом математической индукции теорему можно доказать и
для n чисел.
Упражнения на доказательство неравенств.
Доказать неравенства:
p 1 2
1 0a a− + >
Доказательство:
2
2 1 1 3 1 3
2 0 0
2 4 4 2 4
a a a
− ⋅ ⋅ + + > ⇔ − + >
- очевидное неравен-
ство.
p 2 Доказать, что правильная дробь увеличивается, если к числите-
лю и знаменателю этой дроби прибавить по единице.
Доказательство.
Пусть дана правильная дробь
m
n
, где , ,m n N m n∈ < .
Докажем, что
1
0
1
m m
n n
+
− >
+
.
Имеем:
( ) ( )
0 0
1 1
mn n mn m n m
n n n n
+ − − −
> ⇔ >
+ +
, но
( )1 0 и 0n n n m n m+ > − > ⇔ > , что соответствует условию. d
45. 44 В.А.Битнер
p 3 4 4 3 3
0a b a b ab+ − − ≥
Доказательство:
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3
0 0a a b b a b a b a b− − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔
( ) ( ) ( )
2 22 2
0, но 0a b a ab b a b⇔ − + + ≥ − ≥ - очевидное неравен-
ство, и легко доказать, что 2 2
0a ab b+ + ≥ . Перепишем это не-
равенство в виде
22 2 2
2 3 3
2 0 0
2 4 4 2 4
b b b b b
a a a
+ ⋅ + + ≥ ⇔ + + ≥
- очевидное нера-
венство. d
p 4 ( )( )( )1 1 1 8 , где 0, 0, 0a b c abc a b c+ + + ≥ ≥ ≥ ≥ .
Доказательство:
Рассмотрим очевидные неравенства:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 0, 1 0, 1 0a b c− ≥ − ≥ − ≥ или, что то же самое,
1 2 , 1 , 1 2a a b a b c c+ ≥ + ≥ + ≥ .
Перемножим положительные левые и правые части этих нера-
венств, получим: ( )( )( )1 1 1 8a b c abc+ + + ≥ . d
p 5 ( )2 2 2
3 2a b c a b c+ + + ≥ + + .
Доказательство:
Рассмотрим очевидные неравенства:
2 2 2
1 2 , 1 2 , 1 2a a b b c c+ ≥ + ≥ + ≥ , сложим левые и правые части
этих неравенств, получим: ( )2 2 2
3 2a b c a b c+ + + ≥ + + .d
p 6
( )
1 1
4, где 0, 0a b a b
a b
+ + ≥ > >
.
Доказательство:
По теореме о среднем арифметическом и среднем геометриче-
ском
1 1
1 1
,
2 2
a b a bab
a b
+
+
≥ ≥ ⋅ или
1 1 2
2 ,a b ab
a b ab
+ ≥ + ≥ .
Перемножим левые и правые части последних двух неравенств,
получим: ( )
1 1
4a b
a b
+ + ≥
. d
46. Краткий курс школьной математики 45
p 7
( )2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
16a b c d
a b c d
+ + + + + + ≥
, где
0, 0, 0, 0a b c d≠ ≠ ≠ ≠ .
Доказательство:
По теореме о среднем арифметическом и среднем геометриче-
ском
2 2 2 2
2 2 2 24
4
a b c d
a b c d
+ + +
≥
,
2 2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
4
a b c d
a b c d
+ + +
≥ ⋅ ⋅ ⋅ . Умножим обе части каж-
дого неравенства на 4 и перепишем левые и правые части по-
лучившихся неравенств, получим
( )2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
a b c d
+ + + + + + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2
1
16 16a b c d
a b c d
≥ ⋅ ⋅ = .d
p 8 1 2 1x x− + − ≥ .
Доказательство:
Заменим исходное неравенство равносильным 1 2 1x x− + − ≥ и
докажем его.
Из свойств модуля имеем: 1 2 1 2 1x x x x− + − ≥ − + − = .d
p 9 2 5 3 7x x x+ + − + − ≥ .
Доказательство.
Сначала докажем, что 2 5 7 2 5 7x x x x+ + − ≥ ⇔ + + − ≥ . Из
свойств модуля 2 5 2 5 7x x x x+ + − ≥ + + − = .
Но 3 0 2 5 3 7x x x x− ≥ ⇒ + + − + − ≥ .d
Упражнения для самостоятельного решения.
Доказать неравенства:
p 1 4 3 3 4
0m m n mn n+ + + ≥ ;
p 2 2 2 2
2a b c ab ac bc+ + + > + + .
47. 46 В.А.Битнер
Указание: предварительно умножить обе части неравенства на
2;
p 3
( )
1 1 1
9, где 0, 0, 0a b c a c d
a b c
+ + + + ≥ ≠ ≠ ≠
;
p 4 1 2 3 4 10x x x x+ + − + + + − ≥ ;
p 5 5 5 1 5x x x+ + − + − ≥ .
(6) Решение линейных неравенств, систем и совокупностей
линейных неравенств с одной переменной.
o 1 Линейными называются неравенства вида
, , , , где , , 0ax b ax b ax b ax b a b R a> < ≥ ≤ ∈ ≠ .
o 2 Решением неравенства с одной переменной называется множе-
ство таких значений переменной, которые обращают его в вер-
ное числовое неравенство.
1. 0a >e , то решение неравенства ax b> имеет вид
b
x
a
> (или
;
b
x
a
∈ +∞
).
2. 0a <e , то решение неравенства ax b> имеет вид
b
x
a
< (или
;
b
x
a
∈ −∞
).
3. 0a =e , то неравенство ax b> принимает вид 0 x b⋅ > , то есть оно
не имеет решения при 0b ≥ и верно при любых x R∈ , если 0b < .
o 3 Два неравенства называются равносильными, если множества
их решений совпадают.
Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства
более простым, но равносильным данному. При этом используются
уже рассмотренные основные свойства неравенств и теоремы о дейст-
виях с неравенствами и следствия из них.
48. Краткий курс школьной математики 47
Несколько неравенств с одной переменной могут образовывать систе-
му или совокупность.
Решением системы неравенств с одной переменной называются значе-
ния переменной, при которых каждое из неравенств обращается в вер-
ное числовое неравенство. То есть решением системы неравенств с
одной переменной является пересечение множеств решений каждого
неравенства системы.
Решением совокупности неравенств с одной переменной называются
значения переменной, при которых хотя бы одно из неравенств обра-
щается в верное числовое неравенство. То есть решением совокупно-
сти неравенств с одной переменной является объединение множеств
решений каждого неравенства совокупности.
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля,
находится аналогично решению уравнений подобного рода (см. IX-(2)-
p 7).
Решить неравенства, системы и совокупности неравенств.
p 1 1 3 2
2 4 3
x x x
x
+ − −
− > − .
Решение:
Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 12, по-
лучим
5
12 6 5 3 9 4 8 7 5
7
x x x x x x− − > − − + ⇔ > ⇔ > .
Ответ:
5
;
7
+∞
p 2 ( ) ( )17 3 1 50 1 2 4 51 17 50 1 2 8
11 11 10 1212 11 11 10
24
24
1
22 2
11
x x x x x x
x xx x
x
x
x x
− − + < + − − + < +
⇔ ⇔
− − < −− < +
> −
− <
⇔ ⇔
− < − >
49. 48 В.А.Битнер
1
11
x >
Ответ:
1
;
11
+∞
.
p 3 1
3 1 2 3 1
12 9 3 42 3
2 3 1
6 3 1
10 2 1 4 2
2
x x x
x xx
x x
x x x
− ≤ ≤ − + ≤− ≤
⇔ ⇔ ⇔
> > − > + >
.
Ответ: ∅
p 4
( ) ( ) 24
17 3 1 50 1 2 4
1
12 11 11 10
11
x
x x
xx x
> −− − + < + ⇔ >− < +
Ответ: ( )24;− +∞
p 5 1
3 1 2 3 1
2 3
2 3 1
1
10 2 1 4 2
2
x x x
x
x
x x x
− ≤ ≤ − ≤ ⇔ ⇔
> − > + >
Ответ:
1 1
; ;
3 2
−∞ ∪ +∞
.
p 6 3 1x − < .
Решение:
1 сп. По определению модуля
, 0
, 0
a a
a
a a
≥
= ⇒
− <
e
e
a)
3 0 3
3 4
3 1 4
x x
x
x x
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≤ <
− < <
;
b)
3 0 3 3
2 3
3 1 2 2
x x x
x
x x x
− < < <
⇔ ⇔ ⇔ < <
− + < − < − >
;
Ответ: ( )2;4
2 сп. 3 1 1 3 1 1 3 1 3 2 4x x x x− < ⇔ − < − < ⇔ − + < < + ⇔ < < .
3 сп. Из геометрического смысла модуля имеем:
50. Краткий курс школьной математики 49
Точка с координатой 3 - нуль модуля 3x − .
От точек с координатами 2 и 4 расстояние до точки с координа-
той 3 равно 1.
Ответ: ( )2;4 .
p 7 5 2 3x− ≤ .
Решение:
1 сп.
5 3
2 2
x − ≤ (графический)
Ответ: [ ]1;4 .
2 сп.
3 5 3 3 5
1 4
2 2 2 2 2
x x− ≤ − ≤ ⇔= − + ⇔ ≤ ≤ .
3 сп.
a)
5 3
1
2 2
x x− ≥ − ⇔ ≥ ;
b)
5 3
4
2 2
x x− ≤ ⇔ ≤ ;
Ответ: [ ]1;4 .
p 8 2 4x + >
Решение:
1 сп. По определению модуля
a)
2 0 2
6
2 4 6
x x
x
x x
+ < < −
⇔ ⇔ < −
− − > < −
;
b)
2 0 2
2
2 4 2
x x
x
x x
+ ≥ ≥ −
⇔ ⇔ >
+ > >
.
Ответ: ( ) ( ); 6 2;−∞ − ∪ +∞ .
2 сп.
2 4 6
2 4
2 4 2
x x
x
x x
+ < − < −
+ > ⇔ ⇔ + > >
Ответ: ( ) ( ); 6 2;−∞ − ∪ +∞ .
51. 50 В.А.Битнер
3 сп.
Ответ: ( ) ( ); 6 2;−∞ − ∪ +∞ .
p 9 7 3 2x− ≥
Решение: перепишем неравенство в виде:
7 2
3 3
x − ≥
1 сп.
a)
7 7
53 3
7 2 5 3
3 3 3
x x
x
x x
< <
⇔ ⇔ ≤
− + ≥ ≤
;
b)
7
7
3
33
7 2
3
3 3
x
x
x
xx
≥ ≥
⇔ ⇔ ≥
≥− ≥
.
Ответ: [ )
5
; 3;
3
−∞ ∪ +∞
.
2 сп.
7 2
5
7 2 3 3
3
7 23 3
3
3 3
x
x
x
xx
− ≤ − ≤− ≥ ⇔ ⇔
≥− ≥
.
3 сп.
Ответ: [ )
5
; 3;
3
−∞ ∪ +∞
.
p 10 2 1 2 4x x− − − ≥
Решение:
Нулями модулей являются
1
2
x = и 2x = .
52. Краткий курс школьной математики 51
Числовая прямая разбивается нулями модулей на три проме-
жутка. Решим неравенство на каждом из этих промежутков.
a)
1 1
52 2
2 1 2 4 5
x x
x
x x x
< <
⇔ ⇔ ≤ −
− + + − ≥ ≤ −
;
b)
1
1 2
2 2
2
7
2 1 2 4
3
x
x
x x x
≤ ≤ ≤ ≤
⇔ ⇔ ∅
− + − ≥ ≥
;
c)
2 2
3
2 1 2 4 3
x x
x
x x x
> >
⇔ ⇔ ≥
− − + ≥ ≥
.
Ответ: ( ] [ ); 5 3;−∞ − ∪ +∞ .
Упражнения для самостоятельного решения.
Решить неравенства, системы и совокупности неравенств.
p 1 4 3 1
3
4 2
x x
x
+ −
− + < ;
p 2 1 2 3 5
2
2 3 2 2
5 4 1
1 3
8 2 4
x x x x
x x x
x
− + +
− + < −
+ − + − + < −
;
p 3 3 4 8 6
2 1 5 4
11 9 15 3
x x
x x
x x
− ≤ +
− > −
− ≤ +
;
p 4
( ) ( )
7 3 4
3 4
2 5
5
5 4 2 4
3
x x
x x x
− +
− < −
+ − > −
;
53. 52 В.А.Битнер
p 5 2 7 3x + ≤ ;
p 6 6 2x − > ;
p 7 3 x x+ ≥ ;
p 8 3 5x x+ + < .
Ответы:
p 1 ( );2−∞ ;
p 2 7 1
;1
9 5
;
p 3 [ )2;1− ;
p 4 ( );−∞ +∞ ;
p 5 [ ]5; 2− − ;
p 6
p 7 ( ) ( );4 8;−∞ ∪ +∞ ;
p 8 ( )4;1− .
Тема XI. Некоторые вопросы теории функ-
ций.
(1) Определение функции, функциональная символика, область
определения и множество значений функции.
o 1 Если каждому значению некоторой переменной величины
x X∈ соответствует единственное значение переменной y Y∈ ,
то говорят, что задана функция и пишут: ( )y f x= или
( ) ( ),y x y g xϕ= = и т.д.
Причем независимая переменная x называется аргументом (arg.), а
зависимая переменная величина y - функцией, f - это совокупность
54. Краткий курс школьной математики 53
операций над arg x , чтобы получить функцию y , аналогично для , gϕ
и т.д.
Множество X называется областью определения функции и обознача-
ется ( )D y , а множество Y - областью изменения или множеством зна-
чений функции и обозначается ( )E y .
(2) График функции.
o 2 Множество точек ( );x y координатной плоскости таких, что
( ) ( ) ( ), ,y f x x D y y E y= ∈ ∈ , называется графиком функции
( )y f x= . Обозначается график fГ .
Можно записать определение графика функции ( )f x только с помо-
щью символов:
( ) ( ) ( ) ( ){ }; | , ,fГ x y y f x x D y y E y= = ∈ ∈ .
(3) Четность и нечетность функции.
o 3 Функция ( )y f x= называется четной, если x и ( )x D y− ∈ и при
этом ( ) ( )f x f x− = .
Очевидно, что график четной функции симметричен оси Oy .
o 4 Функция ( )y f x= называется нечетной, если x и ( )x D y− ∈ и
при этом ( ) ( )f x f x− = − .
Очевидно, что график нечетной функции симметричен началу коорди-
нат.
z Надо помнить, что бывают функции ни четные, ни нечетные.
p 1 Исследовать функцию на четность. ( ) 2
1f x x= − .
Имеем: x и ( )x D y R− ∈ = и ( ) ( ) ( )
2 2
1 1f x x x f x− = − − = − = -
55. 54 В.А.Битнер
четная функция.
p 2 ( ) 3
f x x= .
Имеем: x и ( )x D y− ∈ и ( ) ( ) ( )
3 3
f x x x f x− = − = − = − . Следова-
тельно, функция ( )f x - нечетная.
p 3 ( ) 2
2 3f x x x= − − . Имеем x и ( )x D y− ∈ , но
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2 3 2 3f x x x x x f x f x− = − − − − = + − ≠ ≠ − , то есть
функция ( )f x - ни четная, ни нечетная.
p 4 ( )f x x= . Имеем, ( ) [ )0;x D y∈ = +∞e , то ( )x D y− ∉ и функ-
ция ( )f x - ни четная, ни нечетная.
(4) Точки пересечения графика с осями координат.
Точка ( )( )0; 0f - точка пересечения графика с осью ординат, ее может
не быть или быть не более одной.
Точки ( ) ( ) ( )1 2 3;0 , ;0 , ;0 ...x x x - точки пересечения графика с осью абс-
цисс или нули функции. Их может не быть или быть одна, две, три и
более.
(5) Интервалы знакопостоянства или знаки функции.
Это те значения ( )x D y∈ , при которых 0y > и те значения ( )x D y∈ ,
при которых 0y < .
(6) Монотонность (возрастание и убывание) функции.
o 5 Функция ( )y f x= называется возрастающей на числовом мно-
жестве ( )I D y⊂ , если для любых значений 1 2,x x I∈ таких, что
1 2x x< , выполняется условие ( ) ( )1 2f x f x< или
( ) ( )( )1 2 1 2( )x x f x f x> ⇒ > - см. рис.1
56. Краткий курс школьной математики 55
o 6 Функция ( )y f x= называется убывающей на числовом множе-
стве ( )I D y⊂ , если для любых значений 1 2,x x I∈ таких, что
1 2x x< , выполняется условие ( ) ( )1 2f x f x> или
( ) ( )( )1 2 1 2( )x x f x f x> ⇒ < - см. рис.2
рис.1 рис.2
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
(7) Экстремумы (максимумы и минимумы) функции.
o 7 Тч. 0x I∈ называется точкой минимума ( )min. функции ( )f x на
I , если для x I∀ ∈ , где ( )I D y⊂ , выполняется неравенство
( ) ( )0f x f x< . Причем ( )0 0y f x= называется минимумом
функции ( )f x на I .
Обычно пишут ( )min 0y f x= - см. рис.3
o 8 Тч. 0x I∈ называется точкой максимума ( )max. функции
( )f x на I , если для x I∀ ∈ , где ( )I D y⊂ , выполняется нера-
венство ( ) ( )0f x f x> . Причем ( )0 0y f x= называется макси-
мумом функции ( )f x на I .
57. 56 В.А.Битнер
Обычно пишут ( )max 0y f x= - см. рис.4
рис.3 рис.4
(8) Схема исследования функции.
1. ( )D y ;
2. Четность, нечетность (симметричность графика оси 0y или началу
координат);
3. Периодичность функции - будет рассмотрена в теме XIX;
4. Точка пересечения графика с осью 0y , то есть это точка ( )( )0; 0f ;
5. Нули функции;
6. Знаки функции;
7. Монотонность (возрастание, убывание);
8. Экстремумы (min, max);
9. ( )E y ;
10. График функции.
58. Краткий курс школьной математики 57
Тема XII. Некоторые алгебраические функции
и их графики.
(1) Линейная функция.
o 1 Функция вида y kx b= + , где , , 0k b R k∈ ≠ , называется линей-
ной.
1) e 0b = , то имеем y kx= - прямопропорциональная зависимость.
r график прямопропор-
циональной зависимости в
зависимости от знака ко-
эффициента k - см. рис.1
и рис.2
а) 0k >
График расположен в I и III
координатных четвертях
(квадрантах). r AOB∠ - угол,
составленный графиком
функции y kx= с положи-
тельным направлением оси
0x , то
1
AB k
tg
OA
α = = - угол
острый.
б) 0k <
График расположен во II и IV
координатных четвертях,
функция убывает, угол
α тупой.
Геометрический смысл угло-
вого коэффициента k .
k tgα= , где α - угол графика
функции y kx= с положи-
рис.1
рис.2
