1. 11/20/2016 Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi Toán học lý thú Diễn đàn Toán học
http://diendantoanhoc.net/topic/152556mu%E1%BB%91n%C3%ADtk%E1%BA%B9txex%C3%A2y%C3%ADt%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dngth%C… 1/7
Diễn đàn Toán học → Thảo luận chung → Toán học lý thú
Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi
Bắt đầu bởi hoangtrong2305, 19012016 17:49
hoangtrong2305
Nếu bạn muốn giảm thiểu tình trạng kẹt xe,việc xem xét loại bỏ một số tuyến đường là cần thiết.
Không tin ư? Sau đây là một vài ví dụ:
Đầu tiên là việc đóng cửa tuyến đường số 42, tuyến đường nhộn nhịp nối liền hai phía của thành
phố New York trong suốt ngày Trái đất vào tháng Tư năm 1990 đã được cảnh báo sẽ gây nên một
cuộc khủng hoảng, Tuy nhiên, tờ The New York Times đưa tin vào ngày 25 – 12 – 1990 rằng lưu
thông của xe cộ thực ra đã cải thiện.
Một ví dụ khác, vào năm 2003, dự án phục hồi dòng suối Cheonggyencheon bắt đầu tại Seoul đã
loại bỏ 6 làn đường cao tốc. Dự án hoàn thành vào năm 2005, bên cạnh mang lại lợi ích đáng kể cho
môi trường, các phương tiện giao thông đã di chuyển nhanh hơn, ta có thể quan sát điều này xung
quanh thành phố.
Suối Cheonggyencheon
Tương tự, các nhà quy hoạch đã yêu cầu đóng một số phần đường Chính tại Boston và một số phần
của đường nối Borough và các ga ngầm Farringdon ở London.
Nếu việc đóng các tuyến đường có khả năng giúp xe cộ di chuyển thuận lợi thì việc mở rộng các
tuyến đường có những ảnh hưởng tiêu cực. Ví dụ, vào những năm cuối thập niên 60 của thế kỉ 19,
thành phố Stuttgart đã quyết định mở thêm tuyến đường mới nhằm làm giảm áp lực giao thông ở
trung tâm thành phố. Tuy nhiên, giao thông lại ngày một tắc nghẽn hơn và chính quyền phải đóng
cửa tuyến đường này, làm cho giao thông trở nên ổn định hơn.
Những câu chuyện như thế này thì có rất nhiều và bạn chắc hẳn sẽ nghi ngờ, ẩn chứa đằng sau
những vấn đề này chính là những vấn đề liên quan đến toán học. Thật vậy, vào năm 1968, nhà Toán
học Dietrich Braess, khi đó đang làm việc tại viện nghiên cứu “Số học và Toán học ứng dụng” ở
Münster, Đức, đã chứng minh rằng: “Việc mở rộng mạng lưới các tuyến đường bằng cách thêm một
tuyến đường mới có thể phân bố lại lưu thông của các phương tiện giao thông, tức khiến thời gian
đi lại sẽ tăng lên.” Ở bài toán này, Braess đã giả sử rằng người lái xe đều lái một cách ích kỷ, mỗi
Đã gửi 19012016 17:49
3. 11/20/2016 Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi Toán học lý thú Diễn đàn Toán học
http://diendantoanhoc.net/topic/152556mu%E1%BB%91n%C3%ADtk%E1%BA%B9txex%C3%A2y%C3%ADt%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dngth%C… 3/7
Các cây cầu và là nơi gây tắt nghẽn giao thông. Chúng ta sẽ giả sử rằng thời gian qua cả hai cây
cầu tỉ lệ thuận với số lượng xe đi qua trong mỗi giờ. Cụ thể, chúng ta giả sử rằng thời gian di chuyển
qua cây cầu là phút và cây cầu là phút. Phần còn lại của hai tuyến đường là một trục
đường giao thông khá lớn với thời gian di chuyển là 20 phút. Phải nói rằng, mặc dù giả định này có
ý nghĩa, việc tính toán cho một mạng lưới trong thực tế là một ví dụ khó khi mô hình toán học.
Chúng ta muốn biết phân bố giao thông dự kiến, tức số lượng xe trên một giờ hay trên mỗi tuyến
đường. Để làm được như thế, chúng ta tưởng tượng rằng mỗi tài xế đều lái xe đi qua mạng lưới
nhiều lần, cụ thể là trường hợp cho tài xế lái xe mỗi ngày vào giờ cao điểm, điều này đã giúp ta phát
triển một chiến lược đăc biệt giúp giảm thiểu thời gian đi lại. Theo như giả sử này, thời gian đi lại
phải giống nhau với tất cả các tài xế lái xe, nếu không sẽ có một vài tác động để các tài xế lái xe
thay đổi chiến lược di chuyển của mình. Ta gọi đây là trạng thái ổn định, hay cân bằng Nash,
được đặt theo tên của nhà toán học đã giành giải Nobel là John F.Nash. Một trong những đóng góp
của Nash có tên gọi là “trò chơi không hợp tác”, trong đó giao thông vào giờ cao điểm là một ví dụ
cho trò chơi này.
John Nash, tháng 3, 2008
Lưu ý rằng cân bằng Nash khác với tính cân bằng của cốc trà trên mặt bàn. Có thể nói rằng trong
trường hợp này, cân bằng Nash là một cân bằng động nhằm duy trì lượng xe cần thiết đi vào mỗi
giờ. Trạng thái cân bằng là tất cả mọi người đều có thời gian đi lại như nhau, không có ai hơn ai cả
mặc dù chúng ta đã giả sử rằng tất cả các tài xế lái xe đều hành động ích kỉ, cố gắng giảm thời gian
đi lại của họ và không quan tâm đến lợi ích của người khác. Nói cách khác, cho dù họ muốn hay
không thì mỗi tài xế vẫn chịu tác động ảnh hưởng bởi những quyết định của các tài xế khác.
Bây giờ, ta xét thời gian đi lại (tính theo phút) trên mỗi tuyến đường:
Ở trạng thái cân bằng, chúng ta có thể viết:
a b
a
L
100
b
R
100
A
Đường 1: + 20
Đường 2: + 20
L
100
R
100
+ 20 = + 20
L
100
R
100
4. 11/20/2016 Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi Toán học lý thú Diễn đàn Toán học
http://diendantoanhoc.net/topic/152556mu%E1%BB%91n%C3%ADtk%E1%BA%B9txex%C3%A2y%C3%ADt%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dngth%C… 4/7
Hơn nữa, số lượng dòng xe lưu thông phải là tổng các xe và , vậy:
Giải đồng thời hai phương trình trên, ta tìm được:
Như vậy, phân bố giao thông đồng đều ở cả hai tuyến đường với thời gian đi lại là 27,5 phút.
Bây giờ chúng ta giả định rằng hệ thống đường bộ mở rộng thêm và phát triển một tuyến đường
mới, đi siêu nhanh chỉ với 7 phút.
Mở rộng mạng lưới đường đi
Liệu tuyến đường mới thêm vào hệ thống này có giảm thời gian di chuyển không? Cùng xem nhé!
Các tài xế lái xe bây giờ có thể chọn một trong 3 con đường, gồm 2 tuyến đường đã nêu ở trên và
một tuyến đường thứ 3 là tuyến đường đi qua cây cầu , đi theo đường và cuối cùng là đi qua cây
cầu . Như ở trên, ta gọi là lưu lượng xe ô tô đến qua tuyến đường 1, là lưu lượng xe rời
theo tuyến đường 2. Ngoài ra, ta ký hiệu là lưu lượng xe đi trên tuyến đường . Do đó, số lượng
xe mỗi giờ đi qua cây cầu là , số lượng xe mỗi giờ đi qua cây cầu là . Do đó, thời
gian đi lại trên 3 tuyến đường sẽ là:
Một lần nữa, chúng ta muốn tìm sự phân bố giao thông trên 3 tuyến đường.
Như đã đề cập ở trên, giao thông sẽ đạt đến một trạng thái ổn định hay cân bằng Nash khi thời gian
đi lại là như nhau đối với tất cả các tài xế lái xe. Do vậy, ở trạng tháng cân bằng, chúng ta có:
L R
L + R = 1500
L = R = 750
c
a c
b L B R A
C c
a L + C b R + C
Đường 1: + 20
Đường 2: + 20
Đường 3: + 7 +
L
100
R
100
L+C
100
R+C
100
+ 20 = + 20 = + 7 +
L + C
100
R + C
100
L + C
100
R + C
100
5. 11/20/2016 Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi Toán học lý thú Diễn đàn Toán học
http://diendantoanhoc.net/topic/152556mu%E1%BB%91n%C3%ADtk%E1%BA%B9txex%C3%A2y%C3%ADt%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dngth%C… 5/7
Từ đó cho ta hai phương trình sau:
Ngoài ra, ta còn có:
Từ 3 phương trình trên, ta xác định được , và thời gian đi lại chung cho tất cả các lái xe:
Điều này cho thấy thời gian di chuyển là 33 phút, tăng 20% so với thời gian trước khi mở tuyến
đường .
Có gì không ổn ở đây! Con đường siêu nhanh này đã dụ được nhiều tài xế lái xe, gây ra tình trạng
tắc nghẽn và ảnh hưởng xấu đến toàn bộ hệ thống đường bộ ở đây. Không có một tài xế nào có động
cơ để chuyển sang một tuyến đường khác vì tất cả họ đều có cùng thời gian đi lại, do đó tất cả họ sẽ
bị kẹt lại. Nói cách khác, hành vi ích kỷ của họ đã làm cho mạng lưới đường bộ mới mất đi hiệu
quả, tăng thời gian đi lại lên đến 20% trước khi mở tuyến đường mới. Các nhà kinh tế học gọi hiện
tượng này là “Giá phải trả cho tình trạng hỗn loạn”. Tuy nhiên, nếu các tài xế lái xe chấp nhận
không đi con đường , thì thời gian di chuyển sẽ giảm. Lựa chọn này giống như áp dụng chiến lược
hợp tác xã, trong đó các lái xe thống nhất với nhau về việc chọn tuyến đường sẽ đi. Thực tế, có một
số mạng lưới đường đi có bảng chỉ dẫn giao thông, khi đó sẽ không xảy ra nghịch lý Braess, nghịch
lý này chỉ đúng khi các lái xe tự chọn tuyến đường tốt nhất cho mình.
II. NGHỊCH LÝ BRAESS LÀ MỘT NGHỊCH LÝ PHỨC TẠP
Ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu lưu lượng xe đủ nhỏ thì nghịch lý Braess sẽ không xảy ra. Nhưng
trên thực tế, ta quan sát được rằng các tài xế lái xe luôn hành động ích kỷ, họ đã thay đổi tuyến
đường ban đầu của họ để tìm đến tuyến đường siêu nhanh nhưng vẫn không làm cho thời gian di
chuyển của họ ngắn lại.
Mặt khác, người ta nghĩ rằng sự tăng lên nhanh chóng của lưu lượng xe sẽ làm cho mọi thứ trở nên
tồi tệ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Trong ví dụ chúng ta xét ở trên, các nhà
khoa học đã đoán rằng khi nhu cầu lưu thông tăng cao sẽ xuất hiện hiệu ứng “trí tuệ đám đông”
khi con đường mới sẽ không được tin dùng. Thực vậy, những quyết định cá nhân trong một nhóm
+ 20 = + 20
L + C
100
R + C
100
+ 20 = + 7 +
R + C
100
(L + C)
100
R + C
100
R + L + C = 1500
L R, C
L = R = 200
C = 1100
Thời gian di chuyển = 33 phút
c
c