เรียนรู้

1. เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา ค30204 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น ชั้น ม.5 หน้า - 1 –
1. กฎเกณฑ์ในการนับเบื้องต้น
ในชีวิตประจาวันเรามักพบปัญหาเกี่ยวกับ การนับจานวนวิธีทั้งหมดที่แหตุการณ์อย่างหนึ่งอย่างใดที่จะเป็นไปได้ หรือ
จานวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งต่างๆ เช่น การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดชุดอาหารเป็นต้น การคานวณเพื่อหา
คาตอบสาหรับปัญหาต่าง ๆ ดังกล่าว จะทาได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับ
การนับ
ตัวอย่างที่ 1 มีผู้แทนไทยจานวน 4 คน ไปเยือนประเทศฝรั่งเศส
เจ้าภาพมาต้อนรับที่สนามบินจานวน 5 คน
ถ้าผู้แทนไทยแต่ละคนจะต้องสัมผัสมือทักทายกับฝ่ายเจ้าภาพทุกคน
อยากทราบว่าในครั้งนี้มีการทักทายสัมผัสมือกันทั้งหมดกี่ครั้ง
ตัวอย่างที่ 2 นก 2 ตัว จะบินไปเกาะต้นไม้ใหญ่ 4 ต้น ได้ทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน
ตัวอย่างที่ 3 มีนักเรียนอยู่ 50 คน จะเลือกหัวหน้าและรองหัวหน้า ตาแหน่งละคนได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 4 หยิบไพ่ 2 ใบ โดยหยิบครั้งละ 1 ใบ จากไพ่สารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ
โดยหยิบแล้ว ไม่ใส่คืนตามเดิมจะมีวิธีหยิบไพ่ได้ทั้งหมดกี่วิธี
กฎข้อที่ 1 ในการทางานสองอย่างโดยที่อย่างแรกสามารถทาได้ 1n วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้
ยังมีวิธีที่จะทางานอย่างที่สองได้ 2n วิธี ดังนั้นจานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างนี้ จะได้เท่ากับ 1 2n n วิธี
กฎข้อที่ 2 ในการทางานอย่างหนึ่งซึ่งมี k ขั้นตอน โดยขั้นที่ 1 มีวิธีเลือกทาได้ 1n วิธี แต่ละวิธีที่เลือกทาในขั้นที่ 1 มีวิธีเลือกทา
ในขั้นที่ 2 ได้ 2n วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทาในขั้นที่ 1 และขั้นที่ 2 มีวิธีเลือกทาในขั้นที่ 3 ได้ 3n วิธี เป็นดังนี้
ต่อไปเรื่อย ๆ จนถึงการกระทาขั้นที่ k ซึ่งทาได้ kn วิธี ดังนั้นจานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้ง k ขั้นตอน เท่ากับ
1 2 3 kn n n . . . n    วิธี
กฎข้อที่ 3 ในการทางานอย่างหนึ่งซึ่งมี k ขั้นตอน แต่ละขั้นตอนมีวิธีเลือกทาได้ 1 2 3 kn , n , n , . . . , n วิธีตามลาดับ โดยแต่ละ
ขั้นตอนจะกระทาต่อเนื่องกันไม่ได้ ดังนั้นจานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งหมด เท่ากับ 1 2 3 kn n n . . . n    วิธี

2. เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา ค30204 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น ชั้น ม.5 หน้า - 2 –
ตัวอย่างที่ 5 มีบัตร 5 ใบ ซึ่งแต่ละใบมีเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 เขียนกากับไว้
จะนาบัตร 2 ใบ มาวาง เป็นจานวนเลข 2 หลัก ได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 6 มีเสื้อ 5 ตัว กางเกง 4 ตัว และ เนคไท 2 เส้น จะเลือกแต่งตัว ได้ทั้งหมดกี่ชุด
ตัวอย่างที่ 7 มีชาย 4 คน ต้องการยืนเข้าแถวเป็นแนวตรงจะมีวิธีการยืนได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 8 จงนาตัวอักษรจากคาว่า " GAME " มาจัดเป็นคา
โดยไม่คานึงถึงความหมายจะ จัดเป็นคาที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 9 ในการทาข้อสอบแบบ 4 ตัวเลือก จานวน 5 ข้อ จะมีวิธีทาได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 10 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สารับหนึ่งมี 52 ใบ จะมีจานวนวิธี
ที่จะหยิบได้ไพ่แต้ม 2 หรือ 3 หรือ 5 ได้ทั้งหมดกี่วิธี
ตัวอย่างที่ 11 จงหาจานวนเต็มบวก 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 ว่ามีทั้งหมดกี่จานวน โดยที่
1) ตัวเลขในแต่ละหลักซ้ากันได้
2) ตัวเลขในแต่ละหลักซ้ากันไม่ได้