Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii

i,r;i 8050
$tiin{a sistemelor a trecut in ultimul timp din
sfera generali a rnodelelor matcmatiee, la apli-
eagii in diferite dornenii dovedindu-gi, in toate
eazurileo ferl,ilitatea.
Prezentul volum grupeazi unsprezece studii
eare se extind de la matematiefi la biologie gi
psihologie, incluzind pi fiziea, atit sub forma
clasiel (mecanici, electromagnetism), tenome-
nologie$, eit ;i relativistf, (modele e*slnCIlogi*r:
;i problema vidului). La aeeste domenii trebnie
si ad6ugim eibernetiea, atit generali cit gi in-
dustriali (sisteme om-proees).
Toemai gama largH de aplieabilitate ea gi tra-
tarea unitar5 a problemelor, in acelagi cadru
teoretic, arati eit de puternic este instru-
mentul dat de teoria sistemelor.

ACADE}IIA REPUBLICII SOCIALIST]' RO},{ANIA
Cornitetul rom6,n de istolia si filozofia stiintei
SISTEJVIE, iru $TITNTELE NATURTI
Coordonator
},IIBCEA IIAIJITA
membru corespond.ent al Academiei R,epublicii
Socialiste Romd,nia
.EDITURA AcADBMIEI REPUBI-ICII SoCIALISTE RoNIANIA
Bucureqti, 1979

Systems in the natural sciences
Cr,rcreur,r B ecrecTBer{Hbrx Hayrax
EDITURA ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE NON'IANI.&
Calea Victoriei nr. 125. sectorul 1, Bucuregti, 71021
PREFATA
PreBent'u,L uolum cwptrind,e o parte di,n, comunicd,ril,e sesiu,nid orga*
nizute d,c Cotnitetul Rom6,n perutru Istoria si, Ii,lozofia $ti,in,Iei,
aonsacra,td, progresului conceystului d,e sistem 6n mstodol,ogia gti,in-
!,elor nattai.i. Sesiutzea a d,emonsl,rat pri,n rezwltatele pi dezbateril,e
sale otrac,tia, consid,et"ab'ild, pe aare o enereitd, peoala sistem,elor
pentru cercetd,tori.i noptrii, larga pi bogata perspeciiad, pe c&,re o
d,eschid,e An d,i,ferite raw,u,r'i d,e preocupd,ri..
anwl d,intre cele ma,i grd,itoar"e auantnje al,e noii m,elode ute
stabilirea izomorfismulu'i mod,elelm, care continud, .si de:rcltd,
id,eea de similitucline pi de analog'ie 6ntre s'isteme. Vorbim, de izo-
morfism
- un termen ntcttematic care d,enotd, corespotrdet@ bi,-
un'iaocd, a elementelor cu Ttdstrarea relo,,tii,lor di,n clu,d, sisteme-
cind doud, fenom.ene, nu neapd,rat tnrudite din punct de aedere al,
nat'tr,rii, lor fizice, 3l,nt rlescrise .d,e aceleapi ecua!,ii sau & cd,rot' legi
au aaeeap'i enVres'ie'ma,tematicd,.
Intreg elanul cercetd,r'ilor de tip sistemia are l,a bazd, acest
principtitl al iaomorfismului conceptelor, legilor pi modelelor d,in
ililerite d,ome'nii, d,esahiztnil cal,ea transJerului, d,e metod,e de la un
dontsniu Ia altul. Stnt faaorizata astfel Btiin,tele i,n care euolu,tia
conceptuald, pi, teoreticd, nu a, axLnoscut aaAntul altor St.ii,n,ie de
otrJ, se econonuisesta efortul temetic al d,ifaritelor ramuri ale cerae-
td,rii pi. se promoaea,zd, aiaiunea de ansamblu a gtiin,tei. Izamortis-
mul este un princiTti,u unifi,mtor aL ptiinlei, prin noul critEriu de
orilonare pe core i,l oferd,, nLLrnetoase enun,turi, din teuria s,istetnelor
Jiind, aalabile dntr-o mare aarietate d,a e,azuri, a cd,rur nattwd nu
srytra pAnd, aoum nici o aprupiore. El este unul d,in argumentel,e
cele ma'i gtuternicein faaoarea cercetd,rilm i,nter - plu,ri-gimulti.-disci-
pl,i,nare. Este o caracteristicd, a lucrd,ri.lor sistemi,ce d,e a ntt ma,i
respe,cta d,iaizi,unea clasicd, a gti.i,n!,elor gi d,e a auprinde sub una
gi aceea;i egidi lucrd,ri, de fiaiad,, matematicd,, mecanicd, pi biologie,
ca 4n aolumwJ d,e Ja,td,. Eaol,u,tin ce,a mai promild,toare a ntod,ulwi
sistemic d,o u abord,a problem,ele este razolaarea temelor de tip
socio-tehnic, unde sepcrrarecL trad,i!,ionald, a aspectelor tehndce ale
prod,ucli,ei d,e cele u,rnfr,ne, soai,ale snu d,eeiBiorw,le a condas lu
rezultate fragm,ontate, incomplete gi neintegrate.
Rareori s-q, eaeroita,t asupra metod,elar matematiae o presi,une
m,a'i mare d,e a furniza mod,ele mai rafinate, capabile sd, surprinild"
Jenomene de c,ontplenitate cresctndd. Odetd, aocuptate naaoia ntode-
Idrii, legitimitatea gi, aav,ntajele ei, se pune pi yrroblema pe$ec,iio-

nd,rii i,nstrumente'l,or tlin, cat'e sint alcd,ttt,ite nt'otlelete, in spe:!'d'
teori,ile pi concaptele matamati.ce. Astd,zi, un inal"e nu,miir cle pro-
cedee p'i algoritrni sdnt folosite cle cd,tre ntetoda s'istemelot', care le-a
aolectat, din d,iferite ramuri ,si le-a clat pute're d,e circulalie. Este
aorbu, d,e teoria au.to'matelor cu un num,d,r fi,ni,t de sl,dt"i, d,e teoria
automatelor pi lirnbajelor Jormale gi d,e procesele stocasttce c(me se
ad,augd la totali,tatea metodelor d,e gtrograrurre matemat'icd, de
cercetd,ri, operalionale in general, care au fost elaborate stt,Nt semnu,l
oplimizd,rii, Ln ultim,u,l ti.mp 6n tehni,cd', organ'iaare ;i. economie.
De cel mai mare .folos Ttentru (LrcLnsLLl noilor ntetode cat'e sdnt
ln fond 'instrumente de std,ptnire a complenitd,lii, sitr,t calculctl,oarele
cu me'morii uriape. Obserad,m i,nsd' cd' progresele pe care el,e le-aw
tnregistrat lin tnspecial, d,e tehnicu' d,e construc!,ie ,g'i de 'miniaktri-
zare, ile ceea ce i.nginerii zlunxalc ,rharilzoare". Con,sideru'bile repul-
tate au fost ob!,inute gi. 6n, d,omeniul limbajelor automale care astd,zi
ingdd,uie transcrierea unui nxq,re numd,r de 'probleme in limbujtLl
mapinilor (,rsoftwarel)). Ftim sd, folosim mapinila de c,ttlcttl gd Ie
aaem la d,ispozilin noastrd, mai ieJtine pi, rnai, accesibile ca o'r'ictnd.
$ti,m d,e asenxeneq, sd, aorbim 4n limbu aalculatorului., adicd, in
soriereu raptd,d a progranxLtlui de mlcul. Ceea ce se d,ezaoltd, insd,
mult prea lent fald, de ritmurile imprimate de ptii.nlu aatuald, este
fabriaarea d,e mod,ele, capacitataa de a descrie fenom,enele 6n relalii,
cantitntioe sau i,n simboltwi matematice, 6n special 6n biologie ,si
sociologie (,rfinewarel'). Este una, din situaliile in care capacitutea
calculatoarelor a luat-o tnaintea utilizd,rii lor, inspirAntl noi aplical i i
gi noi metode do mod,elare a Jenomenelor.
$coala romd,neascd, parti,cipd, la aceastd' sarcind, uniaersald,,
d,e naturd, teoretiod,, care se pu,ne in prezent 6n Jala unui 'mare
numd,r de d,omenii de cerceta're. Irolwmul inceTte pr'in 'introd,uce-
reg wnu,i. nou concept d,esaoltat 6n cadrwl gcoli'i' romd,negt'i: arh,i,-
tectura s,istemelor.
Ln scoTtul stim,utd,ri,i, acestor eforturi pi mui ales a aXtropierii
oeraetd,rilor d,in d,i,Jarite ramu,ri cs,re nu se i.nttlnesc 6n su,ficientd'
m d,stn d, p e un t ar ei ins ti tuli onal multidis ci,plinar, Aca d em i a E. S . R.
pi-a propu,s sd, dezbatd, sd' compare gi sd' lege cerceid,ri ,s'i rezu'liate,
cd'ld,uzite da melod,ologin si,stemicd'. Prezentul uolum, 6'mpreu'nd,
ca Sistemele in qtiinlele sociale nu acopterd' itr,tregttl J'ront al cer-
cetd,rilor. Ele suaesc d,oar ca ilustrd,ri ale unor 'preoaupd,ri acttutle,
d,eschizdnd oale,q, zt'nor noi contri,bulii metod'olog'ice tn, curs de mq,ttt-
ri,zare f,n nurnaroase di.n laboratoarele noastre d'e in'aesti.galiegtiin-
,tificd, in strtnsd, legd,turd, cu problemele practice puse de ten'hica
modernd, ;i co,nstruclia sociald,.
. M. MALII,'A
6
CUPRINS
l,IlHAI L)RAGANESCU, Arhiteetura sistemelor tehnlce
PETRE P. TEODOIIES(IU, ll{oilcle matematicc in mecanlea solirletror
IOSIF BENKO li LIVILT SOFONEA, Proprietili sistemiee ale ideii mal.e-
matice de eontinuit€rte
EDLOND NICOLAU, Sisteme cibernetiee
EDI{OND NI(lOLdt.I, Cimpul el€ctromasnetic ea sistem
NICOLAII-IONESCU PALLAS si LIVIU SOFONEA, Viilu! ,si sistemi-
citatea fiziei
TRAIAN IONESCU 9i ADIIIAN GHEORGHE, Operatorul uman ln sis-
terne tehnico contcmporaue; <l abordare slstemicd
EUGEN MA.COVSCFII, Sullstatul materlal at glnilirii {rbstra(rte
VIOREL SORAN, Consideralii privinil structura ienarhied a sistemelor vii
VICTOR SAUtUaNtt, Glndirea sistematiei ii reevaluarea sistemlci in
biologle
IOJI BONIS, Sistem-in:formalie .
SYSTEUS IN TIID NATURAL SCIE1VCES (Summary)
Table oi eontents
I
T7
25
47
59
83
109
tt7
139
149
153
L71
175

o Arhitectura sistemetor tehnice
v. oRAc.{snscu
1. Noliunea d.e arhitecturd, a unui sistem a fost introdusd, ca o
ex-tindsls posibild, a noliunii de arhi'tecturd, a unui iiiiu,tator
eleatronic i1l. Exisl,d, citeva definilii ale arhitecturii""ilnui
calcurator, trecute ln revistd, intr-o iucrare anterioard, l1l, se
organizeazd' conferinle n-alionaie qi internalionale avind ci tema
arhil,ectura calculatoarelor electronice, se dezbat, ii o*t*
"i*,
noastrS,
-problemele arhitecturii viiboarelor catcutdtoare dft:
9?l,r:".!rl ?]:,{o,tto"ea de arhitecturd, pentru catcutaioare qi
ret'ele de calculatoare electronice s-a impus definitiv, arhitec_
tura fiind altceva clecit structura hardwar-e qi software I caGura_
torului. structurile hardware ,si software determind, nn-iatcu-
lator abstract a cdtui arhitecturd, este exprimatd, in prirnur rina
prin setul de instrucfiuni, inelusiv modil de realizi,r" uf *"..-tora ln timp qi chiar in spaliu.
Arhitectura este ceea ce calcuiatorul abstract ofer6, bene-
ficiarui-*i, mai exact_ funaliunile sale executabile tn spailu q;
timp, indiferent dacd, aceste func,tiuni se executd, prii-struc-
turi hardr'r'are sau software. Arhitectura se oferd, irnui utili_
zat'or ra o anumitS, interfa!5, a sisternului, inclusiv la un anumit
palier de limtraj.
. lvq este grer cle a extinde aceastd, noliune la sistemele teh-
nice ci qi la cele biologice, psihologice, socio-tehnice sau .o"irt",
{upi, cum s-a ari,tat.in lucrarea ;1J, ltai importanl esie iaptui
dacd, noliunea de arhitech*d,, prerinid, importi,nld, t"o""ii.e *l A*
gefodTn qtiinfa sisterneror,:r in_partidutar in i"gi""i'r" *r*t*meror. tmportanla no-tiunii de arhitecturi pentru-calctLlatoare
electronice si sisteme cu calculatoare electronice nu mai trebuie
demonstratS,, ea qi-a dovedit utilitaiea.
- -D-acd,
ne gindim la o utiiizare extrem de extinsd, a notiunii
de arhitecturd, at.anci ea va trebui examinatn in raport-Lu notiu-

nile de structurd, qi func,tiuna, cu problemele structuralismulul,
funclionalismului, gestalltismului qi holismului t4-81. S-ar
putea ca studiind arhitectura psihologic5, a omului sd, fie nevoie
rle o rlefinilie a arhitecburii, chiar pentru sistemele tehriice
observate de om, mai bogatd, d.ecit aceea pe care o putem
adopta in mod normal pentru r:lce$te sisteme.
- Noliunea de arhitectur5, se poate aplica si operelor cle
artd,, literare qi in general multor realitd,li observate de om
din rnomentul in care acestea vin in ,,contact" cu arhiteci,ura sa
psihologicS, [9].- Se poate remarca cd, studiuL noliunii de arhitectur5 trebuie
examinat, din multe puncte de vedere qi nu cred.em c5, dispunem
de suficiente analize a1e proceselor qi obiectelor care ne incon-
joar6 din punctul de ved.ere al acestei noliuni Pentru a o d,efini
inc[, suficient de sigur, sintetic qi d,efinitiv. Dac5, am alege
oricum o definilie generald, de la care s5, pornim ;i s-o respectS,m
cu rigurozitate s-ar putea s5, intilnim dificultd,li deosebit de
mari sau sd, fim forlali s5, urm5,m toa,te consecin{ele unei defi-
nilii rigicle care ne-ar duce la concluzii logice in raport cu eat
dar necorespunzd,toare in raport cu realitatea. De &ceea Yom
prefera a admite o perioadS, cle gesta!,ie a acestei noliuni, bazin-
du-ne pe constituirea in mintea cititorului a unei noliuni intui-
tive, bogate privind arhitectura qi operind., pe por!,iuni' cu defi-
nilii de lucru, care nu vor fi considerate clefinitive.
Avincl d.espre arhitecturS, o imagine care cuprinde funcliu-
nile pe care le poate realwa un sisbem, prin anumite stmcturit
la o interfa{'5, sau un palier de acces, inclusiv ,,impresiatt glo-
bald, pe care o exercitd asupra observatorului, natural sau_arti-
flcial, dacd, qi acesta din urm5, ar putea aYga o impresie global5'
vom, contura totuqi, aceastd, noliune. Arhitectura, in general,
poate avea qi componente afective, dacd observatorul are
afectivitate. Sistemul v['zlut arhitectural, aptrre int'r-un anumit
mocl pe planul logic aI unui observator sau pe planul general
psihiC al observatorului. Este adevdrat cd, tsi structura poate
ii ,rr5,ztttd," tizic sau logic, exist5, structuri fizice qi logice
d.e dabe in in-formatic5,, existd, strucl,uri vizibile, concrete
in societate qi structuri mai ascunse, inconqtiente, spontane,
d.ar care pot fi sesizate prin cunoaqtere qtiinlificd, 1101.
Arhitectura este ins6, se poate spuner o structurd, a funcliuni-
lor sistemului in raport cu lrn observzltor caro il priveqte
intr-un anumit mod, Ia o anumit5, interfali,r cu un anumit
interss sau scop, evontual cu anumite instrnmente.
10
Arhitectula fiind o noliune orientatS, spre observator,
acesta poate defini o arhitectur5, conform nevoilor qi aspiraliilor
sale iar dup5, aceea sd, caute structurile prin care sd, realizeze
arhitectura respectivd,. Arhitectura este un mod cle a privi nu
numai sistemele existente ci mai ales crealia qi construclia unor
noi sisteme, cle a inlelege qi eva,lua sistemele construite qi
create de allii. Cele rnai importante noliuni legal,e de un sistem
sint deci noliunile de arhitecturd,, structurd, qi funcliune, intre
acestea fiind o strinsd, legd,turd,.
2. Bestringind problema arhitecturii numai la sistemele
tehnice, privite clin pr-inct de vedere pur logic, vorn incerca
urmS,toarea definilie de lucru : arltitecturq, este setul d,e func,!,iutti
ile bazd, tr)e care un sistent 4l poate realiza ln, timp pi sTtaliu, ca
urmctre a i,nteracliunii cu un alt si,stern, la o anumitd, interfa,td,
sau palier de acces.
Vom face urmh,toarele observa.tii :
a) Cu ajutorul funcliunilor de bazd,, sistemul poate fi
comandat, programat, pentru a realiza func!,iuni ma,i complexe.
b) Un set d.e func.tiuni mai complexe poate defini o noud,
arhitecturd, a sistemului, v6,zuLd, la palierul funcliunilor com-
plexe, dacd, ele pot fi comandate sau prograrnate direct. Fentru
ilustrare, acesta este cazul, la calculatoare, al limbajelor de
nivel superior fa{rd, de limbajele masinii sau de asamhlare.
c) Componenta tempora,iir, a arhitecturii clepinde de con-
stantele de timp necesare rea,lizd,rii func-tiunilor de baz6, de posi-
biiitatea unui paralelism in realizarea acestor funcliuni sau irr
unei anurnite suprapuneli in timp a unor p5,r!i din funcliuni, etc.
d) Componenta spalial5, intereseazd, la sistemele distri-
buite geografic, in raport cu realizarea funcliunilor rle bazd,
qi prin acestea a unor funclii mai cornplexe.
Arhitectura, conform ti,efini{iei, este un concept logic,
dar care nu este cu totul independent d,e structurd, qi de func-
liunile structurilor care compun sistemul. Spre exemplu,
o funcliune care irnplicS, spaliul in realizarea ei trebuie s5, recurgd,
la structuri in spaliu, acestea din urmd, i;i vor pune amprenta
asupra arhitecturii.
Importanla conceptului de arhitecturd, oonsistd, in faptul
cd, el poate reprezenta limbajul concentrat in care s5, se exprime
cerinlele beneficiarului sistemului.
Un element important al arhitecturii il constituie gi
mod,ul in care sistemul permite imbinarea funcliilor sale.
11

Mod,ul d,e Lmbi,naro al funcliilor este iegat de propriet*lile
'spalio-temporale ale arhitecturii.
Funcliile sistemului oricit cle disparate ar apare ele con-
,stituier cel pulin pe plan logic o structurd,. In acest sens, arhi-
tectura este o structuri,, d.ar o structurd, deosebiti de ceea
ce se inlelege in mod normal prin structuri,. Alhitectura este
o strueturS, d.e funcliuni.
3. S* trecem la examinarea unui caz concretr spre exemplu
o int'reprindere ca sistem tehnico-economio qi de produclie.
Arhitectura ei cea mai generalS, pentru intreprinderile de tip
clasic, euprind.e trei funclii :
a) de Broces tehnologic cle procluclie;
b) d.e programare, lansare tsi urmilrire a producliei;
c) de conducere a sistemului de produc.tie care este intre-
prinderea in totalitatea ei.
I-,a fiecare din aceste funclii corespuncle un sistem infor-
malional de control qi decizie. Primei funclii ii-core_spund.e eon-
tr;t'd automat al p:roceselor tehnologice j cetrei d.d-a d.oua li
corespunde un sistern informatic al produclrei; celei de-a treia
funcgii ii corespunde sistemul informatic de conducere. Cele
trei funclii impreund, cu sistemele inforrna'lionale respective
de control qi clecizie determind, arhitectura (ftg. 1) de bazd, a
unei intreprinderi [11].
presupune un sistem de surse energetice locale (solare, eoliene,
deqeuri, cd,deri de ap5,) corelat cu energia primitS, din exterior,
cu un control riguros al consumului de energie al fiecirui agregat,
led"ucerea pierderilor de energie la transportul acesteia etc.
Prirind arhitectura intreprinderii prin viziunea 1arg5,
a intregii noastre societd,li, va mai trebui s5, ad5,ug5,m un sistem
,cle alarmS, qi urgenld, ecologic5, in cazul in care apare peri-
oolul unei e,lirnind,ri d,e substanle nocive, in atmosferd,, in ap5,
sau pe sol ;i un sistem d.e alarmare qi urgenld, in raport cu secu-
ritatea instaia,tiilor intreprinderii.
Abordarea arhiteoturald, prin funcliuni in raport cu socie-
tatea dar si cu managementul intreprinclerii (care este dealtfel
un nod al structwii de conducere a societd,tii) nu se impunea
atit in trecut pe cit se impune astd,zi. intreprinderea repiezen-
bat5, in figura 1 are o arhitecturS, mai s5,racd,, aceea clin figura 2
o arhitecturS, rnodernd,, trogatd,, corespunzd,toare problematigii
,'1".*"r**r--/ intrefrinderii
Controit,rl productrei l
Controlul
proceselor
tehnologice
secundo
Controlul
proceselo I
tehnolooice
de bozd
monogemeniul
4,r,u."X 4,r,u.)olormd o lormd
u rgento urgentd
t'o'on'7 t'-tunn't2
Dacd ins5, se vor impune qi ideile procesului ciclic activ
1121, atunci arhitectura intreprinderii, in trd,sS,turile ei cele
irai'generale, trebuie sd, fie mai bogat5,, cuprinzi"a ti procese
tehndtogice secundare care prelucreazd, sau genereazd, materii
prime Jecundare, precum $i un ,management aI energiei",
func{,ie deosebit tle importantS, astd,zi. Managementul energiei
Fic' 2
oconomico-ecoxogiee a societS,fii contemporane. A glndi arhitec-
tural, inseamnd, a gindi sisteinic, dar de reguld, aiupra a ceea
ce este mai general qi esenfial la un sistem, dupd, cum eite evident
in .cazul de rnai sus.
o n t rolul
productiei

4. Tratarea matematic5, a sistemelor se referd, la structur5,
qi funcliuni, pind, acum nu s-a pus problema unei atrord5,ri
matematice a aspectelor arhitecturale. Nici la calculatoare elec-
tronice unde noliunea d.e arhitecturd, este uzuald,, nu se dis-
pune de un mod d.e tratare matematic.
Acest lucru nu inseamnd, a renunla la abordarea arhitec-
turald, cd,ci o gindire arhitectural5, asupra sistemelor complexe
poate prezenta avantajul unei gind"iri sintetice in nr,port cu
otriectivele acestora.
Abord"area matematicd, a arhitecturii ar prezenta avantajul
d.e a formaliza trecerea d.e la cerinlele funclionale ale sistemului
la structura lui.
Se qtie ci, sisternele complexe pot fi modelaie global prin
cel mai simplu model matema,tic care descrie trS,sd,turile esen-
liale ale sistemului in raport, cu obiectivele care-i revin.
Saltul de la tratarea globald, la cea structuraid, (in sensul
pe care noliunea de structurS, o are in ptiinla sistemelor) este
prea mare, tratarea arhitecturaiS, poate apare ca o etap5, inter-
med,iard. Mai mult decit atit, va trebui fd,cutd, legilura dintre
obiectivele sistemului $i arhitectura necesard, pentru atingerea
acestora.
Pentru a trece la o abordare matematicX a no-tiunii de
arhitectur5, cel pulin pentru sistemele tehnice, va trebui s5'
se oblind, in prealabil, o clefinilie lingvisticd, (in limbaj natural)
cit rnai riguroasd,. Or, pentru motivele ard,tate mai inaintet
dSte necesarS, examinarea diferitelor falete ale noliunii de arhi-
tecturd,, inainte c1e ir ne opri Ia o anumitd, definilie. Acest lucru
nu a fost positril in aceastd, not5, introductivd, insd, am consi-
clerat cd, o punere a protrlemei implicaliilor conceptului de
arhitecturd asupra teoriei matematice a sistemelor poate fi utild,-
2. Vesrrr B.t'r,re.c, Arhitectura uiitoarelor calculatoare elcctronice, Comunlcare
la sesiunea Colectivului de prognozi ai Academiei R. S. RomAnia, 24
martie 1978.
3. M. Dn.i.o,irpscu, Arhiteclura calculaloarelor lnlr-o perioadd de schimbdri radicale,
Priuire ln perspccliDd asuprd implicaliiktr informalicii 2n ufala inlreprin-
delilor, Scinteia, 27 septembrie 1978.
4. * + * Dic.lionar de filo=ofie, Editura politici, Bucuregti, 19?8; p. $70-672;
2S7, 1J03*304 ; 330*332.
5. Jn,rm Pr-Lcrir, Le structutalisme, Presse l-Iniversitaire de France, Paris, 1968,
6. C. I. GuLr.,N, fufarrism qi strucluralism, Editura politicd, Bucureqtl, 1976.
7, I(. Iiorr.xa, Principles of Gestalt psgchologll, Ne'w York, 1935.
8. RoeoRt liscennr, ThCotie gdnirale de l'infornation et de la communicalion.,
Hachette, Paris,1976.
9. M. Dni.cixascv, Informalia inlrc practicd. gi fenomen, comunicare, 1979.
10. Cr-euun Llivr-Stna,uss, Antropologia struclurald (traducere din limba fran-
cezi), Coleclia ,,Idei contemporane", Editura politicd, Bucuregti, 1978.
11. R.lvMoND J. Mour-v, Sgslems engineering in the Glass Industr1, IEEE Trans-
actions on system science and cyba'netics, SSC-5, 300-312 (1969).
12. * t' * f)ezbatelea din ,,Ilevista economicd" coleclia anului 1978 privind
Procesul ciclic actiD organizatd gi contlusir de dr.Maria Popescu.
BIBLIOGRAFIE
1. M, Dn.i.cxNnscu, Arltitectutti $i sltuctutd in sisteme deschise $ inlrodeschise,
comunicar.e la sesiunea sec{iei de qtiinfe tehnice a Acaclemiei R.S. RomAnia'
15 noiembrie 19?8. Preprint, Institutul central pentru conducere qi infor-
maticd, Bucuregti, 1978.
t4
rs

o Modele matematice in rnecanica solidelor
P. P. TEODORI]SOU
1'. In mod obiqnuit, prin rtt,od,el se intelege un obiect sau un dis-
pozitiv creat artificial de om, cAt'e seamd,nd, intr-o anumitd,
m5,sur5, cu un altul, acesta -din ulrn5, fiind un obiect cle cerce-
tare sau de interes practic. Noliunea qtiinlificd, de model se referd,
Ia un mod de cunoaustere a realitd,lii, care constd, in reprezentatea.
fenomenului studiat cu ajutorul unui sistem constrult artificial.
Proprietate-a cea m_ai general5, a unui rnodel este deci capacitatea
Iui de a reflecta, de a reproduce lucruri qi fenomene -ale
lumii
obiecl,ive, ord.inea lor necesar5,, structura 1or.
De la inceput, putem impd,rli modelele in doud, mari clase i
modele tehnice sau material_e qi. modele_ imaginate sau ideale ;
aceastS, imp5,rlire se face dupd, modul construirii modelelor,
qi dupd, mijloacele prin care se reproduc obiecteie stucliaie.
Modelele tehnice sint create de om, _dar existd, obiectivn
ildepeaqdent de conqtiinla lui, fiind materializahe in lemn, metal"
cimpuri electromagnetice etc. Destinalia lor esi,e de a reproduce
in scop cognitiv obiectul studiat, pentru a reda structura sau
unele din proprietd,lile lui. Modelul poate sd, pistreze sau nu natura
fiztcra a oJriectului studiat sau ase,mS,narea geometricd, cu acesta"
Dac[, se p5,streaz5, asernd,narea geometric5,, dar modelul cliferd,
prin natura sa_fizicd,, av_em de-a face cu s,isteme analogice. T)e
cxe,mplu, mode-Iele electrice pot reproduce procese analbage cu
ceie care au los in mecanica solidelor deformabile, dilerite
caiitabiv, dal descrise ct ecualii analoage. Aceste moclele, ca ryi
altele de acelaqi fel, se incadteaz:a in clasa mod,elelor maternaticb.
Modelele id,eale mr sint, in general, idealizate qi
- adesea_
lici nu pot.fi. Din punctul d.e vedere :r,l f ormei ior le putern irnpi,rli
in doud, tipuri.
Mod,elele de ctyd,i,tr,ul 6nt6i se construiesc din elemente intui.
tive care au o auumitd, asemd,nare cu elementele corespunzi,toare
Rle fenomenului real modelat; observd,rn cd, aceastd'asemdnare
1?

poate s5, nu se mirgineascd, numai la relaliiie .spa!,iale qi se poate
.extinde qi la, alte laturi ale modelului qi obiectnlui (cle exemplu,
ca,ractelul mirscS,rii). Intuitir.itatea acestor rnodr:le se manifestS,
intii prin faptul ci sint,intuitive insdqi modelele formate din ele-
mente perceptibile senzorial (p15,ci, pirghii, tuburi, tluide,
virtejurietc.fqi in al doilea rind prin faptul c5, sint ima,gini intui-
tive a,le obiectelor ins5,gi. Aslese'a aceste rnocleie se tixeaz{, snb
folmii, de scheme.
n:Iodelete d'e ord'inul, eLl tl'oilea sint sistcme c].e sernne, ele-
mentelc lor fiincl semne speciale; relatiile logice dintre ele
forrneazf, de asemenea,, un sistem, fiind exprimate tot prin semne
spectia,le. in acest caz, nu exist[, asemi,nare intre elernentele mode-
lului ;i element'ele o'biectului corespulzS,tor' 1[or1elele de ordinul
4,1 rloilel 1u posecld, intuitiyitri,te in sensul asemi,nd,rii spaliale
sau al analogiei fizice; ele nu au, ptin natura 1or fizic5,r nimic
comtln cu nitura obiectelor modelate. Ilodelele cle ordinul al
rloiiea reflectd, realitatea, pe plan gnoseologic, pe ba77 izomor-
fismului lor cu aceast5, reatitate i se presupune astfel o cores-
ponden!5, biunivocS, intre fiecal'e eletnent qi- fiecare rela!'ie a
modduiui Aceste r*oclele reprodue obiectele studiate intr-o
formfl simplificatd,, constituind - ctr, toate motlelele - o anu-
rnitd, ideali za^-E a, realitd,lii.
Tipurile d.e mod.ele ideale menlionate mai- sus pot^fi-pri-
vite dreipt ca,zuri limitd, ; intr-adev5,l', existd, rnodele care imbind'
trS,sdturi cornune ale arnbelor tipuri de modele tlescrise mai sus.
Asemenea mod.ele sint deosebif de importante ',si utilizalea, lor
sistematicS, a permis - intre nlteie - dezvoltarea mare-pe care
a, luat-o, in uftimul tirnp, mecanica solicleior deformabile'
Contradictia dialecticd, fundamentald, a modeld,rii (modelul
strve$te l'a cunoaqterea obiectului tocmai pentru cd nu este identic
cu acesta) se mairifestd, in mod deoseSit in cunoaqtelea proprit'-
t5,!ilor solidelor deformatrile. lntr-adeYfl"r Pl model conline
cu atit mai multe informalii asupra obiectulni cu cit este mai
apropiat de acesta. Totuqi, realitatea fizic[este deosebit de com-
pii"ite I rezolva,rea contiatli{ici se rcalizeaz6 prin folosirea unui
lir Ae rnodele, din ce in ce mai complete, care.-aduc.fiecare con-
tribulii rioi Ia, cunoaqterea solidelor tleJormabile reale. Noi vom
inceria s6 punem iri eviclen!6 tocmai. acest. proces de perfec-
lionare coniinud, a moclelelor'in mecanica solidelor deforrnabile,
proces cale constituie - de ftp! : conlinutul principal al
dezvoltil,r'ii acestci ramuri a mecatticii.
ln general, dupdu ce un anumit model id'eal a fost adoptat'
este a5soiut necesar^sd, compard,m rezultatele oblinuter in urma
1B
i'
ralionamentelor pe care le facem cu reali.tatea fizicd,. Dacd, rezul-
tatele oblinute nu sint satisfd,cd,toare (citeodatd, acest lueru se
poate intimpla intre anumite limite destul de restrinse), este
necesar sd aducem coreclii sau perfecliond,ri modelului ii,les"
Acesta este de fapt mod.ul in care s-a dezvoltat mecanica soli-
delor cleformabile, cuvintul model fiind din ce in ce mai des folo-
sit de cercet5,torii care se ocup5, cu aceastd, ramur5, a mecanicii.
2o. Mecanica generald, (clasicd,), ca qi mecanica mediilor
continue deforrnabile (in particular, mecanica solidelor defor-
mabile si mecanica fl"uidelor), stucliazS, legile obiective ale celer
mai simple forme de miqcare : mipcarea mecanicd,.
intii, pentru studiul mirycd,rii meca,nice este necesarii o
reprezentare a spaliului qi a timpului; astfel, in mecanica cla-
sicra, spttQiul fizic este spaliul euclidian tridimensional -U' iar
ti,mpul (considerat universal gi c:r,racterizind durata, succesiunea
qi simultaneitatea proceselor materiale) este asimilabii tot cu un
spa.tiu euclidian, cldr unidimensional -8 . in felul acesta, modelele
geometrice pentru spaliu qi timp, folr,rsite in rnecanica generalS,,
reflectS, proprietXli atre spaliului qi tirnpului reill, ca forme, rle
entstenld, ale materiei,.
Corpul real in rnigcare este, in general, conceput ca un
rigi,d, ;i este rerlus, ad.esea, la un 'p'unct' mal'e'riul. Anaiog se stu-
diazi qi sistemele d,e puncte nttileriale, care pot fi defolrnairile.
Pentru diferite valori ale tirnpului t in E' putem gi,si pozilia,
corpului sau a sistemului de puncte materiale in J?r.
IIn ait element care intervine este cauza care procluce miE-
ca ea meca,nic5,. Corpurile aclioneaz5, mecanic unul asupra altuia
qi de multe ori este greu de stabilit, esen-ta fizic6' a acestei acliuni ;
in rnod generic i s-a atribuii numele tle forl'it,. Aceast5, iclee, pro-
venitd, din ac.tiunea organismului omenesc asupril, lumii exte-
rioare, aap6t5, in rnecanica clasicd, un sens precis. Ea este expre-
sia abstractd, pentru milsura t'ransniterii miqcS,rii. F5,r'd, a cer-
ceta natura forl;ei respective, ea a fost mocletra,td, matematic ctl
ajutoruI aectorilor (vec1,ori alurrec5,tori in cazul solidului rigid
sau vec,tori legafi in cazul .qistemelor deformabile de purLcte maie-
riale). Trebuie sd, men{'ion5,m ins6 cd, poate exista mirycare meca-
nicd, qi fd,r5, intervenlia vreunei for!,e ,si anurrre miscarea inter-
liald, (rectilinie qi uniformd,).
De asemenea, trebuie introdusS, no{,iunea de musd' a punc-
tului material, o proprietate fundamentald, a materiei ; ea existS,
in mod obiectiv qi este independentd de locui in care se md,soar5,.
Menliond,m c5, fsaac l{ewton (1642-L727) a conceput masa ca
It
19

'miisnr[ a cantitS,lii de materie. Se introduc gi noliunile de masd
graaita,t[,orwld,ryimasd,inertd', egale intre ele, dupd, cum a dovedit
L,orand Eotvtis (1848-1919) ; in felul acesta, avem diferite
nosibilitdti de mf,surare a masei.
' in concep!,ia clasicd,, newtonian5, spaliul, l,impul gi masa
sint consiclerate inclependente lntre ele.
Odatf, aceste elemente introduse, modelul newtonian ia
fiin![ prin acloptarea celor t'rei princi'ptii ale lui Newton (prin-
cipiul inerliei, principiul independenlei acliunii forlelor, inclu-
zind qi legea c1e miqcare, qi principiul acliunii qi reacliunii).
Acest, rnodel a fost verificat cle practica nemijlocitd pentru
corpuri care se miqcd, cu viteze relativ mici (neglijabile in raport
cu .,.iteza luminii).
lXod,el'wl newton'iun al meoanic,ii clasice nn a constibuit, insX,
dc.ci1, o treapt5, in prooesul cunoa;terii. intl-aclevd,r, s-a doveclit
(in urma unor experienle celebre ale lui Albert,Ilichelson (1852-
1931) qi ale altor cercetd,tori, ale c5,ror rezultate nu puteau fi
.explicate Ia inceput) c5,,la viteze mult mai mari (comparabile
.cu viteza luminii), principiile lui Newton trebuie schimbate sau
completa,te. Pentnr o d,escriere mai exact5, a proprietd,filor
spa!,iului real, se adoptd, geometriile neeuclidiene; de asemenea,
conceplia newtonian5, d,espre timpul universa,l va trebui s5, tie
inlocuitS, cu reprezentarea relativist5,, care tine sea,ma, cle timpul
tizic , indlividual - de faptul cd, timpul depinde cle miqcarea
in,s5,qi. Masa, d.e asemenea, nu mai este constant5,, clepinzind de
tritezd, qi
- implicit - de timp. Dupi, articolele lui Albert Ein-
st'ein (18?9-1955) din 1905 qi 1916, apar astfel relatiaitatea res'
,tr6'nsd (specialf), respectiv relati,aitatea genercild,, care constituie
noi treppe in procesul cunoaqterii miryc5,rii mecanice a sisteme-
lor tle puncte materiale.
Men!iori5,m cd, aceste noi modele (care au cS,utat s5, pd,s-
:treze principiile mecanicii clasice, adaptinctru-le dupd, neeesitate
-de exemplu, principiul inerliei) au fost verificate printr-o serie
cle experienle foarte importante (experienle cruciale ln relativi-
tatea generali,). Totugi existd, incd, unele contradiclii (de exemplu
paradoxui orologiilor in relativitatea restrins6), care fac neeesarS,
.aparilia unor noi modele perfeclionate. Este posibil' de aseme-
nea, ca teoria actuald, a relativitd,lii s5, corespundd la viteze com-
parabile cu viteza luminii, d.ar nu la viteze apropiate de aceast5,
'vitezd, limit5, superioar5,, qi ca la asemenea viteze sb fie necesare
'modele mai complexe. R,emarc'im cd, au ap5,r-ut qi teorii in care
vitezele sint totdeaunalmai mari decit viteza luminiir care este
:astfel o vitezS, limitd inferioard,.
'.?n
3." Meccttticu, generald, iqi propune, in general, rezoLvarea
problemei miqcdrii corpurilor, presupunindu-le rigide, cu toate
.c5, unele rezultate generale stabilite sint valabile qi pentru cotpu-
ritre deformabile (aplicindu-se
- in special
- sistemelor dis-
'crete deformabile de puncte materiale).
trn studiul med,i,ilor continue deformubile, modelul nervto-
nian tlel:uie completat; in locui soliduiui rigid introducem dife-
rite motlel"e de medii cleformabile. Urmilrind procesui istoric
.aI clezvoltS,rii acestor moc1ele, al cunoaqterii modului in care
corAuritre suplrse unor acliuni oarecare se deformeazd, qi curg,
lrom ar-ea implicit procesul apariliei teoriei eiasticitd,lii, a teoriei
plasticiti,fii, a teoriei fluidelor perfecte sau vlscoase, a reologiei etc.
in cele ce urmeazd, vorn face numai citeva consideralii sumare
cu l,rririre la solidele deformabile, in cadrul mecanicii clasice.
Aceste consicleralii se pot extinde - qi s-au extins in ultimul
tirnp - Ei pentru moclelul relativist.
Ploblema cea mai general5, cal'e se pune se poate formula
in ntoclnl urmS,tor : se cld, in E, un solid cu volumul I/ qi fron-
biera, S. Pe S este cunoscutd, acliunea altor corpuri I de ase-
menea. admitem cunoscutd, qi acliunea altot sarcdni enterioare
(de exemplu, interioare volumului I/' varialii_ de temp_eraturi
etc.). Datoritd, acestor sarcini exterioare, "qolidul considerat se
deforrneazd, frontiera S devenind S'. Se cere si, se gd,seascS, noua
frontie,r'd, B' qi sd se arate cum variazir, in timp ; se cautd, ra,portul
dintre dimensiunile corpuiui qiintensitatea sarcinilor exterio:rre
pentm ca sd, nu se producd, ruperea acestuia etc.
Pentru aceasta, ln vederea reprezentS,rii spalio-temporale,
se aeloptd, acelaqi model geornetrie E"*Er: Ca elemonte noi, se
face un stud.iu al geometriei qi cinematicii, deforma{iilm qi un
studin al mecanicii tensiunilor.
Elernentele teoretice ale unui model in mecanica solidelor
defoimabile, menlionate mai sus, sint mai a,propiate, tn general,
de rnodeleie ideale de ordinul aI cloilea. Dar aceste elemente tre-
buie completate cu unele date cle naturi, experimentali,.
Sturea d,a deJormulee (respectiv starea de d,epflasare) qi
starea, do tensiune intrd, in componenla modelului pe care-l con-
struim. Acesta se completeazd, prin introclucerea unei relalii
intre a,ceste st*ri. Modelarea comportil,rii fizice a corpurilor
reale se va concretiza astfel prin introducerea unei dependenle
cauz6,-efect, forld,-deforma!,ie, tensiune-deforma{ie specificS,,
deci prin stabilirea unei legi constitutiae a solirlului deformabil
respectiv.

4o. Prin anagrama ,,ut tensio sic vis", puiliicatS, tlr: Ilol:ert
Ifooke (1635-1703) in 16?8, apareplimul urodeldesoliddefor-
mabil, rnodelul hookeian : solidul perfect ele'stic I se consider'5, c["
soliclul capd,t5, o deforma{,ie propollional5, cu forla, care a, proclus-rt
;i care dispare orlati cu aceasta (Ceformalie reaersibild,).
Aceasta implicS, o rela!,ie liniard,, independentd, detimp'
intr-o solicitare unidimensiona,ld,, de forma
o-Ea,
uncle o este tensiuttea norrna,ld, s este deformttfirt, spteci,iied' Litt'iwrd,,
iar II este moihtlul, de elasticitate longitu'd'i'n'sld,. In urtnit unor
rezult,ate experimentale, s-a trecut astfel la modelul iclerll al
corpului elastic. Cu taate c5 in realit,ate nn existS, uri astfel
t1e corp, moclelul hookeian a fost qi este necesar in procesul cu-
noaqterii; el reflectS, realitatea, deoarece corpurile au, in tlnu-
mite limite, aceast5, proprietate. Pe l:aza acestui rnodei :r, fost
creat5, teor'ia elasticitd'lii. Soluliitre oblinute in caclrrrl acestei teorii
vor fi cornpa,rate cu realitatea fizicd'; in feiul acesta vom constata
in ce m5,sur'5, motielul considerat reflestd, realitateir, obiectivS"
qi care sint limitele lui de aplicabilitate.
in modelul tle mai sus am clesprins din fenomenul cornpLex
latura principal5,, neglijind alte aspecte. Astfel' poate s5, aparil
czr, jucincl un rol esenlial influenla sarcinilor mari qi cleci consi-
rlelarea proprietS,lilor plas.tice ale materialului. In feiul ircesta
se o'[:!ine - ln primul rinc] - modclul lui Acihemar-Jean Claucle
Barr6 d.e Saint-Yenant (1797-18EG) : cor'ltttl perfect plastic
(plastic rigid) I tensiunea norrnal5, este constanti ;i egllii cu
tensiunea de curgere plasticS, o".
Pfin iegarea in paralel a urlui rnodel Hooke cu un model
Saint-Venant se obline rnod elul corespunzd,t'ot corpurilo t' plastic
rigirl,alliniar ecruisabile. De asemenea' prin legarea in serie a,
modelelor elementare de mai sus, se obline modelul corpu,hti
ela,gto-plrtstic. in sffu;it, prin legarea in qaralel 3, _u1ui modei
Hooke cu un morlel elasto-pl-*stic, se oblirle modelul cor"pr't'lui
elust o - yilastia f euu'is ab il lini a,r.
Un alt factor cle care trebuie sd, se !ind, sea,ma este lir,ctorul
timp. Observaliile directe au ar5,tat, de exemplur cd, pd,mintul se
taseaz5, in timp sul: acliunea construcliilor pe care le suportd,
(care, de asemenea, se deformeazd,). Diferite corpuri conside-
iate solide (ca olelul, betonul, mun!,ii, ghelarii etc.) curg' De la
intuirea vie se trece la abstractizare, Ia consid.erarea, unor noi
modele.
D'
Factorul timp apare astfel cel mai simplu prin introduce-
'rea mod,elului newtanian (relaia liniard intre tensiuni gi vitezele
'de deformalie ) pentru /luid ele uis co as e. Modelul viscos newtonian
se poate reprezenta printr-o lege de forma
o : kiu,
unde k este un coeficient d,e riscozitute, iar punctul leprezintl
.derivarea in raport cu timpul.
Deqi aditivitatea deformaliilor elastice cu cele viscoase
este lipsitd, de sens la nivel microscopic, ca s-a dovedit extrem
de utilS,la nivel macroscopic. Este important de observat astfel
c5, mulli cercetiltori din a doua jumS,tate a secolului trecut
(James Clerk l{axwell (1831-1879), in 1868; William Thomson
(lorcl Kelvin) (18a2-190?), in 18?B; Woldemar Yoigt (1850-
1919), in 1889), printr-un proces de abstractizare si fd,r5, s5, fie
'direct in posesia unor rezultate experimentale, au imaginat mo-
dele viscoeiastice.
in felul acesta ia naqtere mod,elul, Kelt;i,n (sau Yoigt), prin
legarea in paralel a unui model Ilooke cu ltn model Newion,
,c5,ruia ii va corespund.e o lege constitutivd de forma
o:Ee+kii.
Arialog, prin legarea in serie a acestor mndele, se otrline
un modal Xlantoell, cd,ruia ii corespuncle legea
Cit toate cd, aceste mod"ele s-au oblinut pe cale intuitivd,,
ele s-au dovedit deosebit de utile, uqurind imaginalia qtiinlific5,
in vederea construirii unor modele mai compi'exe, care sd,
reflects qi alte aspecte alo realitd,fii obiective. Este important ci
,aceste modele pot explica qi fenomenele de Jluai Si rel,anare caye
se pot potrece in timp.
Utilizind un aparat matematic mai complicat, s-au putut
genoraliza modelele viscoelastice, prin trecerea de la un spectru
discontinuu al timpurilor de relaxare la un spectru continuu. In
d.escrisrea noilor modele, mult mai complexe, apar ecualii inte-
gm-diforenliale.
Modelelo de oorpari plastice (in particular modelul Saint-
Venant) se pot combina cu modelele corpurilor viscoelastice,
.11e:- 6-F- O.
nk
23

oblinindu-se diferite modele de corpuri elasto-utsco-plastice {saw
numai otsco-Ttl,astice), caracterizate de iegi constitutive rnult irrai
complexe.
De_ asemenea, in afara corpurilor liniar reologice rnenlio-
nate rnai suFi, se pot considera corpuri cu proprietd,.ti reologice
generale (neliniare).
Din punct de vedere practic, este important de olr:servat
c5,, in cadrul rezi,stonei n'taterinlelor qi al teori,ai, structur.,ilor {stati-
ca, sta-bilitatea qi dinamica structurilor), se considerd, corpurile
simplificate _ca formd, (barele Sint reduse la axele 1or, pli,cile
la suprafelele mediane etc.). ln felul acesta se realizedzil un
model icleal al corpului real, rnodel de primul ordin, cal'e are
un caracter deosebit de moclelele consider.ate mai sus.
Prin aceste ipoteze suplimentare se oblin, in geri.eral,
rezultate mai simpie ca formS,l care trebuie verificate prin teorii
mai exacte.
o Proprietdfi sistemice
ale ideii rnatematice de continuitate
i. BtrNKo ;i L. SO!'ONE,!
,,Continuum-ul" Ieagii foarte strl.ns piirlile;
eI nu le anuLeuzit complet intlioidualitatea
ci o reduce Ia cca ntoi simpliif ormd: panctua-
Iitalca
r. s ISTEX,TICITATE gI MATET-IAI.rzARE
1. Analidc Sl sintctic
$tiinla din momentul constituirii sale ca activitate umani, bine
deterrninati, ;i pinfl in etapa actua,lei revolulii tehnico-qtiinfi
fice, a evoluat, indeplinindu-se mesajul, atit prin demersuL ana-
iitic cit ;i prin ce.l sintetic. Pond"erea celor doud, demersuri ale
investigaliei qi sistematizd,rli nu a fost insd, aceeagi in complexul
proces (ascendent, sumativ) al dezvoltd,rii idealiei qtiinlifice.
Prirne].e rezultate clefinitiv achizilionate de qtiinld, s-au oblinut
rnai ane.r prin cerceti,ri care stau sub semnuL analiticului : prin
identificarea qi clescoperirea elernentelor componente ale unor
structuri extrern de complicate. Disciplinele (ca biologia, medi-
cina, etc.) care datoritS, specificului obiectelor tratate (organisme,
agregd,ri psihice, sociale etc.) nu-qi pot permite sfd,rimaroa intre-
gului in componente au cunoscut o dezvoltare mult mai lentd,.
Dar deqi rlominalia analiticului poatc fi constatatd, din l,otdeau:ra
a existaf, si o prezenld, a sinteticului, ca e a activat o tendinfd,
specificd. cle apropiere de otriecte astfel incit sd, nu se distrugd, in-
clivirtrualit[lile componentelor (cu deiicatele lor grade de inde-
pendentd, qi interdependen!5,, supuse unor specifice d eter.min6ri),
obiectnl fiind considerat (perceput, conceput) ca o entitate
indestructibilS,, ca un sistem indecompozabil. Teoria generald, a
sistennelor se vrea a fi metod,ologia acestei atitudini.
Conjugarea, activd5 mobild,, clintre analitic qi sintetic
consteleaz5, periplul, ralional d.ar qi plin de neaqteptat aI activi-
td,lii ;tiinlitice a congtiinlei umane.
%

2. Cercct&re.r oralonati a slstemelor
Teoria sistemelor, ord.onare a demersurilor raliona,le care,
in mod programatic respectd, integritatea obiectelor d.e cerce-
tare poate fi definith (d.octrind,), aplicatd, (practicS,) qi cornen-
tatfl (exegeza interpretativd,) din mai multe puncte de vedere
(opliuni, finaltnli).
Astfel dupd, Kenneth E. Boulding [1] ,,teoria generalS, a
sistemelor este d.enumirea acelui nivel de construire de modele
teoretice care se situeazd, intre construcliile abstracte ale mate-
maticii pure qi cele ale teoriilor specifice ale qtiinlelor particu-
lare". Se consiclerd, in aceast5, perspectivd,, ca lel final al teoriei
elaborarea unei capacitd,li sensibile (auditive etc.) care sd, per-
rnitd, circularea informaliilor cd,tre practicanlii diferitelor dis-
cipline (avindu-se astfel explicit in vedere, vertiginoasa cre"ltere
a qtiin,telor interclisciplinare).
Pentru aceastd, miqcare interdisciplinar5, (generald, qi
intrelinutd, prin transferd,ri multiple atit in debit, cit qi in direclii
qi calitate) s5, nu-qi piardd, simlul formei qi al structurii specifice
fiec5,rei discipline, teoria corespunzd,toare este cea care tretruie
sd,-qi creeze structurile sale specifice. Crearea elementelor qi
complexelor necesare (construirea, ordonarea, ierarhizarear.
incatenarea, d.ezvoltarea creatoare a matricii structurale I inter-
pretarea; aplicarea) este sarcina fundamentald, a teoriei generale
a sistemelor.
Abordarea teoriei generale a sistemelorpoate fi efectuat[.
d,in cliferite incidenle. O cale posibil5, de abordare constd, in
surprind,erea ului fenomen comun mai multor discipline, sesi-
zare intregitS, cu incercd,ri finalizate in elaborarea unor rnodele
teoreti@ cit mai adecvate (calitativ, cantitativ) cit mai rele-
vante (degajind esenla lucrurilor, reliefind adecvarea) prin care
fenomenul stud.iat este transpus prin esen.tializare in lumea
severd, qi limpecle a id.ealiei.
Fenomenul comun abstras din contextualitd,li foarte d"ir.erse
devine otriect autonom de cercetare: el este consid.erat un tot,
i se asociazd, modelizd,ri cit mai adecvate, care sint aplicate in
situalii concrete in care sub o formd, mai mult sau mai pulin
pur5, respectivul tot intervine. Sistemul astfel definit esto
utilizat qi interpretat: eI este valorificat in practicd, qi valorizat
in perspectiva exigenlei satre filozofice.
Eaem,ple: A). Beaclia cu mediul inconjurS,tor: interaclii
fizice, tropisme, variate sensitivitd,li gi sensibititd,li.
B). Creqterea : in cristale, in vitro, in vivo etc.
w
,,Sistematica" poate progresa, constituindu-se intr-o dis-
ciplinS, autonomS, qi venerati (prin contribulii <le clarificare qi
eficien!fl) dacd, recunoscinc[ cd sistemele nu se red.uc la colalio-
ndri (corna,sd,ri) fie ele oricit de subtil ald,turate, ea poate cerceta
f5,r5, a altera formele si structurile particulare, ceea ce se
t'euqeqt,e p.in creearei-r, unor structuri ;i forrne sisternice.
:1. fl*tematica qi sistemele generillc
Surprinderea ad.ecyatd, a fenomenelor comune cit qi eia-
borarea, metodelor teoretice este posibild, qi operantd, prin mobi-
lizarea matematicii, clemers creat'or d.e forrne pure posibile, care,
prin autonomia 1or, inspir5, con;tiinlei o stare de certitudine.
Desprinderea clin fluxul variti,lii a fenomenelor comune, necesitS,
intervenlia calitS,lii matematicului, intervenlie profitabil5, c5,ci
notiunea riguroasS, de structuri matematic5, qi izomorfismele
diferitelor structuri, reprezint5, mijlocul adecvat pentru desco-
-perirea raporturilor (analogiilor, cuasianalogiilor, opoziliilor)
sennificative oferite de diferitele modele. Matematicul fiind
admi.q (prin genetica sa, prin aplicativitatea sa), a fi in raporturi
directe (de reflerie, iar nu de refraclie sau .rd,sucire) cu realul,
transpurrelea matematicd, a faptelor penetreazi remarcabil
spre escnla fenomenalitd,lii (funclia d,e cunoastere a matematicii).
Crearea, rle modele (de diferite grade de adecvare : scheme
.empirice d.e ord.onare a datelor informe, rare sau torenliale,
modele empirice mai rafinate, modele semiempirice
- semi-
"beoretice, modole teoretice conlinind o sumd, d.e ipoteze speci-
fice domeniului, moclele matematice irleale), necesitd, angajarea
tuturor disponibiiit5,lilor matematicului (funclia generalizatoare
de modele pure a matematicii). Captarea (qi exprimarea) din
fluxul varietXlii fenomenale, a esenlialitd,!,ii fenomenalitdlii dis-
tinse comune diferitelor zone a1e miqcd,rii materiei, este finalizatd,
prin realizarea modelelor matema,tice (ideale, pure; oblinute
prin elabora,re qi crea!,ie). Moclelizarea matematici se poate
realiza prin doud, abordS,ri avincl o funclionalitate complementard,
(qi cleci accente valorice, gnoseologie-metodologie, nuanlate).
a) Prima este t1e naturii, experimentald, (pozifia a fost
impinsd, departe d.e c5,tre gcoala lui Bertalanffy); ea constd,
[3] in acceptarea lumii sensoriale arra cum aceasta ne este datd,,
efortul esenlializ5,rilor concentrindu-se asupra reveld,rii cliferi-
telor sisteme qi asupra formuld,rii regularitdlilor constatate

tatr-un corpus aser!,iona,I cit mai adecvat (perfecfionalltateo
coerenfd,, mod alitate logicfl, fonnalizare operafionald,).
b) A doua este de naturd, teoretici, (,,specu1atir,'*") I ea,,
are ca pu-not, de plecare consid.erarea tuturor sistemelor posibile
(faptic sau, mai ales, mintal : ipostaze ale posibilizirii). Acest
sisteme au un caractet atrstract, ele sint d"efinite dup5, anumite
norme (perspectivd,ri, axiomatiz5,ri).
Astfel C. West Churchman in a sa ,,An Approach to Gene-
ral Systems theory" [2] oferi un sistem axiomatic in care un
set de noud, restriclii axiomatice permit precizarea unol termeni
avind o funclionalitate important5,, profilatoare (sisterar in
sensul general, teoria sistemelor generale q.a.), incit ser"vesc ca
firnclal (cadru general) pentru analiza qi clasificarea fenornenelor
reale. Prin aborilarea teoreticS, a sistematicii constat5,rile ernpi-
rice sint plasate in diferitele ,,locuri" (,,puncte, drepte. piane,.
interseclii, zone") ale unei ,,matrici " de posibilitd,fi ,,pre..tabi-
Iite".
Cele cloufl atrord5,ri pot fi ilustrate prin numel'oase erernpli-
ficd,ri.
Enamplul 7
a) Cristalografia fizicil (depistarea qi clasificarea sistemelor
de cristalizare : simple, compuse, macle, clivd,ri, simetrti con-
statate, mutabilit5,li et,c.); restricliile pur descriptive nu pot
indica univoc st5rile posibile d.ar lacunare, respectiv cele efectiv
interzise, ceea ce necesitd, interventia unor restriclii concrete
(energetice, dinamogene, ad.esea continuind qi unele elemen"te cu
caracter conjunctural) i4l.
b) Cristalografia matematicS, (evidenlierea qi clasificarea
configura-tiilor existente qi cele formal posibile pebaza simetriilor
coclificryte in termenii teoriei grupurilor; restrieliile teoriei rnaie-
matice'pot indica printr-o precliclie efectivS, st5,ri posi'bitre dar
nedescoperite, sau stfrile interzise) [4].
Enemplul 2
a) Cla,sificarea empiricS, a particulelor elementare (in"r'en-
tariere, criterizare fenomenologicf,, in raport cu valorile ulu.selor,
spinului, izospinului, paritd,fii, vielii med.ii, straniet5,lii schemei
de dezintegrare, a altor sarcini qi numere cuantice etc.).
b) Teoria particulelor elementare (relalii de posibilitate
qi interdiclie impuse de normele unor modele gmpale; p'Lstrarea
respectiv graduala inc5,Icare a simetriei, multiplelii, modelul
quareilor l ,,cromott si ,,aromo" dinamicl) 15, 6].
Toate strrrcturile matematice (simple, compuse) sint
modele de eomportament teoretic - posibil pentru sisternele,
28
reale. Structura d.esernnoaz5, (sectioneazd,) o categorie in uni-
versul matematic, c te constd din obiecte (tip de obiecte) qi
rnorfisme (tip de funclionare). /
Enernplu
Structurile topologice delimiteazd, categoria spaliilor topo-
logice : obiectele sint spaliile topoiogice, moifismele dint apfca-
liile continue (funclionarea se manifestd, prin transformd,ri con-
tinue). Exprimarea sistemicit5,lii prin astfel de modelizare, expli-
citeaz[, capacitatea de cuprindere qi, prin aceasta, intensitatea,
qi cromatica semnificafiei, a ideii generale de continuitate (idee
proteicS,, care are o remarcabild, ,,proiectie" matematicn) [?].
Matematica joacd, astfel un rol hotS,ritor in edificarea teoiiei
generale a sistemelor: a) deoarece ea nu discrimineazd natura
existenliald,_ a fenomenalit5,lii ea nu poate epuiza toate cerintele
statutare ale ,,sistematicei" ; b) deoarece nu este determilirtti
restrictiv de natura existenlial5, a fenomenalitS,lii ea nu poat[,
lipsi in realizarea riguroasS, a imperativelor statritare ale ,*siste-
maticei".
{. Rsalitate obiectuald ;i motlelizarea matematieir idcal:i
Mod,elizarea maternatici este efectuat6 prin activarea unuir
mecanism specific, pus in miscare de energiile proprii functiuni-
lor spirituale. Glnclirea are, in esen!h,, o dubld, funclionalitate :
a) Descoperi relieful fapl,ic (existentul : obiectual, exte-
rior) : obiectele reale (exterioare) cap5,ti prin transpurrere.
creatoare corespondenle gindite devenind obiecte intelioareo
gindite I se realizeazd, astfel creator reflectarea ginditd (in ,,nous" ),
a feno-menalitd,lii difuze, disparate : ralionallzate (d,bstrageri :
sfera, dreapta, unitatea, cuplul, cimpul, celula etc.)
Gindirea intimpin5, astfel lucruriie reale (fapticitatealr
atingind ad.evS,rul cunoaryterii (validat prin fidelitatea cores-
pondenfei).
b) Inventeazd,, in mocl a,utohton (inderpenclent qi liber de
vreo preimagine factuald,: concepe fir5, s5, fi perceput inainte),.
ralionalul ne-faptic (ne-obiectual, interior) ; obiectele ralionale
(interioare) .construite ereator pot si, nu aib5 coresporirlenti
factuali_ (obiecte-exterioare). Prinlr-un efort specific cle expan-
siune al ralionalitSlii mintea genereaz5, astfel, cristalizindu-le
in structuri,gindite (ln ,,nous,,) vibraliiie difuze, dispara,te, ale,
fanteziei (pld,smuiri ralionale : sfinxul, himera, ciclopul, gor-
gona, grifonul, eterul, curbe-suprafel;e imaginate, func!,ia D etc.)-

Gindirea escalad"eazd, astfel lu.crurile reale (fapticitatea), atinglnd
prin elan inesajul cunoaqterii (valiclatd, prin consistenla procluc-
telor).
Lurrrea girrditS se scindeaz[ astfel in dou5, (nivele ; funclio-
nalitd,li) :
a,) cosmosul noetic-fenomenal constind din imaginea con-
cepl,elor coresponclente cu lumea rea15, (existenti ; posibilizatd),
b) cosmosul noetic-nefenomenal constind" din ansambiul
conceptelor irecorespondente cu lurnea reai5 (faptic - existent[;
iume ralional posibii5, dar neposibilizabd,).
Concepteie cu existen!5 pur-ralionalir, (f5,r5, corespondeni
faptic itlenl,ifioat) pot fi pld,smuiri mintaie avincl un caracter
pregnant exprirnabil 0lr, il, e, i, l{e q.a.)respectivunul mzi,i vacuu,
rnai voalat exprima,tril; prirrele alc[tuiri gindite sint directinclu-
.qc in disours (ele :r,u o existentd, mintalS, discursiv5, cristalizatd,,
neproblematicd,,; celelalte nu sirrt direct incluse in discnrs (ele
au o existen"(,5, mintal5,, Iatentd,, problematicd,).
Acest joc al gindirii (joc liber', dar a c[,rui volte sint, desigur,
rnotivate cle complexele inserlii ale ralionalnlui in celelalte
nivele materiale rr,le bios-ului) est'e ilustrat de nurneroasele
mod.elizi,ri rnatematice.
II. IDEET }IATE}IATICI N-E COX:TINUI-TATE
1. Continuitatc factuald Fi contiiluitato matematie{
In manifestlrile naturii, continuitatea (naturali,, frustd)
este o prezen!5 frecventl, ea fiind, sesizat5,, intr-o form5 nera-
finatll de sensori (intuilia d-e ,,plin", qi de ,,go1" : continuu, dis-
cret). Gindirea r:ontinuitillii lucrurilor finalizate prirr generarea
unui conceptriguros qi operant nu este deioc simpld, : problematica
ei lu este triviald,, ci foarte profundf,,. Ba a generat ideea matema-
tic[, de continuitate : reprezentarea prin numere a continuitdlii,
nr.atematizare c:rre a necesitat extind"erea numerelot cu directf,,
.corel{ponden![, t'actua15,._(irriregi, fraclii :rationalele) qi generarea
unor numero rnai subtile (iralionale).
Elornentul maternatic primorclial al reprezentd,rii continui-
t5,!,ii (structura matematicS rnatrice) este conceptul de nurnd,r
rea,l, czici intre nurnerelc rcalo (entitd,fi numerice) qi punctele
dreptei (entitdli geometrice) se definegte (institue) o corespon-
.dentii, (corespondenta bijectivS, axiomatizati, d.e G. Cantor)
t8l.
30
Acest, univers de puncte, supus axiomei iui L)antoro
conline :
a) punctele ,,reale:' (in sensul de factual-exisl,ente in
naturd) care constituie clast (preexistentS,) a punctelor ra{,ionalen
care sint consl,ructibile;
b) punctele ,,ireale" (inexistente
- factual in naturS,:
irelevabile prin vreo metod.d, experimentald, care constituie clasa
(disjunctd,) a punctelor iralionale, care nu sint, stricto sensdl
constructibile.
Entitatea, formatd din aceste clase de puncte este mai
largd,, calitativ qi cantitativ, decit fiecare dintre ele ryi difer5, de o
simplS, coleclie a acestora (ea depf,,geqte dreapta continud, fa,c-
tuald,,,natural5,", respectiv integralitatea ord.onatd, a punctelor
corespunzd,toare numerelor iralior'ale ). Obiectul matematic astfetr
definit are o coerenfd, specificd care-i potenleazi entitatea r
existd, o sistemicitate cu ca e respectivele puncte se incorpo-
reazd, ea fiind asiguratd, de rnodul in care s-a efectuat, cuplarea
celor doud clase de puncte (adjuncliunea punctelor iralionale.
transcedind factualul strict empiric).
La ciasa punctelor exprimate exact prin raporturi de
numere naturale (adicd, prin raport5ri de intregi). Organicitatea
entit5,!,ii ryratematice,,d.reaptd, continud," se datoreaz5, comple-
td,rii clasei punctelor ,,reale" (factual5,
- existente : ,,naturiste"),
nu prin eludarea, sau parliala considerare a acesteia (completare
din exterior : alienare), ci dimpotrivS, prin relinerea integrald, a
acesteia' (completare din interior; intregire), cXci astfel conce-
puti (construitd,) entitatea este un univers meta-factual (aI ele-
mentelor matematice denumite numere reale), care nu voaleazi
congtiinlei matematice condilia sa (anterioard,) de lacunaritate
(faza primar5 in procesul genetic al modelului : sugestivS, dar de
cxcitafie).
,,Dreapta-reald" (factuald,, empiricd,) este descoperitd,.
(prin mecanismele de abstractizare ale gindirii): otriect care in
reflectivitatea inteleetivd opritS, la acest stadiu este inleles.
conqtient ca o entitate cu structurS, IacunarS,. ,,Dreapta-abstrac-
td," (matem uticd,, modelizatd,) este conceptualizatd din,,dreapta-
rbal5,"- gindit5," (prin mecanismele d.erniurgice ate gindiriil:
ea devine ,,dreapta-real5-gindit5,', (prin rnecanismele de ,,com-
pletare"), care, in deplina lor matuiitate, ajung pind,la ariiono-
mia specificd, obiectelor gindirii : segrnentete
-fizice (factuale)
,,incap..exact" unele in altele (admit o unitate de ,,rn5,surd,"
9omgq5,) spre deosebire (calitativS,) d,e segmentele-matematice
(modelizate) care nu ,,incap uneie in altele".
JI

Universul punctual astfel completat devine terenulunor ope-
ra,lii t1e olemarcabild,eficien!5, : ea c'ste consideratril sporitd,incom-
paralie cu cea permisd, de perimetrul ,,poligonului cle exercilii"
a,l universului nurnerelor ralionale (,,dre:..pta reald,", factrral5, :
trzi'cunari). Astfel nici unul dintre rezultatele analizei clasice nu
are valzr,bilitate expresivd irr corpul numetelor ra,tionale, cleqi
poate fi eventual, exprimabil in termenii acestuia (in limbajul
respectiv).
Enemple
A). Existd, funcliuni contimre clefinite pe ralionalele din
10,11 care nu sint mi,rginite.
B). Pe rationale nu se pot defini, in general, funclii ele-
rnentare (sinus etc.), care aproximeazd oricit cle bine meanclrele
fenornenalith,!ii.
C). Derivabilitatea, cleqi este formal d.efinibil5 pe corpul
ra,bionalelor consecinlele operaliei nu sint ln toate cazurile
relevante.
Atributele generale (creatcare, eficiente) ale modelului
matematic al continuitdlii (mod.el infinitezimal) sint, in mocl
plauzibil, profilatoare (normative obligatorii) qi pentru orice
.alt tip de rnodel.
2. l[utafiile itleii m:rteinatice ale eoutinuitate
Ideea prirnari, c1e continuitate (de ,,p1initate" I generatd,
'de senzaliile experienlei fizice : rigid.itatea-fluid.itatea-expansi-
bilitatea - nep[trunderea corpurilor ; temporalitatea), d.evine,
prin abstracliune, o id.ee
- matematici de mare cuprindere qi
pedetlalie. Ginclirea acestei idei cunoagte mai multe mutafii'
Care'idevoaleazd,semnifica.tiile, qi-istatueazS, retrieful [8]' 19l' [10].
a). Aparilia probiemei iralionalelor (de origine geomel,rico-
sensibild, : descoperirea incomensumbilit5,lii laturii cu diagonala
pS,bratului : problematica profundS, ridicatd, de numi,rul ,,simplu"
ll2 analiza, protrlemei infinitului in aporiile lui Zenon) conduce
treptat ler, decanl,area noliunii de contimrtt. In acest scop era
necesar introducerea (intr-o formd, riguroas5,, matematic con-
,ceptualizatS,, iar nu doar empiricd,) distanlei care permite
organizarea rnetricd a structurii topologice; prin aceasta strrrc-
turX' topologic5, genuin5,, ini!,iai atit de proteicd,, cap5,tI, specifice
elemente de concrete-tfl.
b). Problem:1, cvadrai;urii cercului a impins mult ina'inte
cuno;tinlele. Dup[, relatarea lui Ant'ifon, Btyson, cu ceYa inainte
32
de Piaton, ajunge la icleea consideril,rii atit a poiigoanelor in-
scrise cit ryi a celor circumscrise unui cerc qi constat5, cd' cercul este
mai mare ca primele ,si rnai mio ca cele clin urm5,. EI incheie crt
formularea (,,sofistic5,tt, dup5, Aristotei) axiomei :,,Acetre.figuri
fa!5, de care acelearti tigrrri sint' respectiv m.ai mat'i sau Inal llllcl,
sint egale intre ele'r. in lirnbaj modern avem a face cu un enun.t
c1e ulricitate. Latura existenlial*, a fost relevatir, de Prodos
(410-485) ln spnsr:ie : ciircl in comparalie cu aeva cxistl ,,rnai
mare)' qi j,mai lnic fa!d, de acel ceva eiis15, qi ,,egai". trar deja
Platon,'in 6pusul Pa,rmenitle, a clat, un enun! similar I sensu-l sX,u
este urur[toiul : ,,ccllli ce a're proprietatea de a fi gi mare tsi irtic
i se poate a,tribui .si ptoprietatea tle a f i egai ; el este sil,uat intre
etre"] Aristotei aciuie
*precizarea
c5, liincipiul conlinuitdlii
prin l-l-lori intermediare-- este vaiabil nurnai dacd, se r'irniue in
caclr'ul ateluiagi gen cinrl se face trecerea deia mai mic larnaimare,
tot ce este iniermeiLia,r este de aceiaqi spe!5, (comparabilitate).
Nou:l probiemd, ivitd consti, in g5,sirea unor criterii pu
:baza cilrora anumite lucruri sd, fie clzlsate ca a'vincl, sall nl1, aceiaryi
natrir:)i,. Frodos qi Sirnplicius g5,sr:sc acest criteriu. in aplicatri-
lita,tea ir'xiomei trui Arhimecle: dac[, a]0 gi b> 0 atunci existd'
'u.n nurnil,r natural ra astfel ca na>b.
c) Problernatial continuiti,lii este aonsidera'bil irnbog5litH,
prin ginclirea Stagiritului. Asupra contribu{iei Lui Aristotel
irebuie insistal, rna.-i rnult cd,ci ei a observat'c[, analizele care
duceau la defi:ei1;i:l principiuiui de continuitate prin intermed.iul
valorii ileclii, are la bazX concepl,ul de infinit, insuficient, precizat'
c1e preclecesr-rri. El forrnuleazS, teza sa, decisiv5,, conform c5,reia
infinitatea exist[ cloerr in potenl;iaiitate ryi nu in act. Dupd, pd,re-
rea Stagiritu.lui, segrnentr*l nu este efectiv compus din puncte,
,ci puneteie apar (ln urma unei existenle potenliale) pe segrnent
dupd, constituirea acestuia (in urma vreunei construclii geor.ne-
trice). Deci punotul nu existd,, ci poate fi generat priltr-o con-
,struc.tie sau orice alt proced.eu rnatematic cu ca'racter constructiv.
Pe aceastd cale i se cleschide posihilitatea acceptS,rii ,,pu.nctului
.cle iirtilnire intre Achile cel iiite de picior ;i trroasca lestoasd,,
provertrial de lent5t'.
Agaclar gindilea aristotelicd, nu identifici segrnentul.
,,PIh" (,,cornpact") cu o mullime de puncte infinite la mrmd,r
5ti oricit de apropiate. fstoria gindirii ideii rnatemal,ice cle con-
tinuital,e s-a dezvoltat insd, intr-un sens opns punctului de vedere
{naturalist) aI lui Aristotel, dar in decursul acestuimeandrat
proces nu all lipsit obieclii sau simple preveniri (,,naturaliste")
:3-c. l77l 33

caxe au rrd-r-ls un spor interpretat,iv nttirfeluLui matematic (ide:11,
,,paraclisi:r"ct
t
) .
Concep{,ia aristotelic5 esto radioal opusii, motlului itr cate
se aborcleazii, co{tinuitatea, cd,ci axiorna lui Centor (uir sir des-
cresc5tor ale intervale lnchise are intersec'l,in nevid5, -i,<,r25
zrtit
de bino raconlilt5, cu viziuue:l lui Rryson), este incoinpatibili,
cu r.iziunea alistotelicL (dirr pricin:r- cii in a,na,lizd, segmentrLl
este conceput c:l nrultime de putr:tc). Iu secolul nostru a,u:tpiiru-t
insir, ,si rincie tenclinle avind irn clLi'acter plonunlat rteo-aristo-
bciir'(Weyl).
cl) tn {:vuL lrrcdiu rnat;ematica, specu-lativi a fost pracliczlt5
rnai ales cle filozofii scoki,stici care iriipleteau ra!,ionamicntcle lor
asnpra naturii r.tivinitillii cll arguxlen-be mzrtem:ll ice (,,filozcfia
ancila teologiae"). Unii au acceptat qi a.u dtirit cu o fe,it-oare
aproape religioas[, calacteristic5, epocii, infinil.ul in a-ct sr :ru.
npd,rat teza intr-o rnanierS, atit i1e pelfeiti incir ulteriol' E.
Ca,ntor
- fondatolui teoriei transfinililot' - ii-rt intors lia' t'i cu
cea mai rnare rccuno;bin!5,. Pentru al{ii srtntin{a ,,finitunt noi}
datur" a r5,rnas o interd,iclie f5,ri cht'pt' tle ilpel : punctr.il rroelal
(de lel inlinit) nu se afia pe segrnent, ci este atins (itt'i.rodus)
printr-o miqcare (elernent heiero-rnatematic I fenornenal. natu-
rist', actualizator), lncit' se clesn:ie intrea,ga zond, inclusiv oxtre-
rnil,atea eriticX,. Aceste speculalii au itdluen{at' fztvoril}:il ela-
bora,rea caiculului infinitezirnai (teor ia flil:iiunilor).
e) Degajarea ideii matematice de continuitate este spri-
jinit5, de mod.ificarea cliagramei de repartitie a sensorialitd,lii care
se produce in Renaqtere cind are loc o prevalare a vizualului
(plasticitate, liberalizarea intuifiei, sensualitate, chiar carna-
litate; rolul tiparului, instrument al mutaliei informalionale,
care gontribuie gi el specific la aceastd, deplasare [11]; muta{iile
care 'jaloneaz5, procesul de conceptualizare aI spa!,iului fizic;
creqterea rolului timpului in d"escrierea mecanicS,, cleqi concep-
tualizarea sa nu este inc5, paritarS, cu cea a spaliului) []-0, 11]"
Yizualul este, prin natura sa, integrator, de perspectiv5,,
spre deosebire de tactil care opereazd, prin uriqcf,,ri de mic5, intin-
dere (astfel prin tactiiitate nu se poate decide sigur daci, trei
corpuri sint sau nu riguros coliniare; in subiacenla conceptului
de dreaptd,-geometricd, se afl[ dreapta-opticd,).
f) Seaolul al XVII este clominat de marele efort conjugat,
al geometriilor qi algetrriqtilor de a descoperi qi organiza lumea
acestor entitd,fi (simple), oper5, prin care s-a gestat calculu.l dife-
lenlial qi integral. Influenla aristotelisd, rnenlionatd, mai sus s-a,
concretizat, intre altele, in urrnd,torul principiu alui Cavalieri:
34
dou5, corpuri cu ind,llimi egale au acelaqi volum dac5, secliunile
lor plane au aceiaqi arie. Tot conceplia (cine,matic[,, extra-
matemal,icd,) a liniei d.escrise de punctul motril, a actlualizat
rezoh.are& problemei (geometric6, cinematicd,) construcliei tan-
genlei Ia o curbf,,. De la grecii antici ineoace, este fd,rd, prec,edent
inflorirea qtiinlei la care asistd,m in acest secol. Noi gintlitori'
obsedali de o necesard, revolu.tie maternaticS, (care desemneazS,
in istoria qtiinlei o ac{ev5,ratd, linie cle clivaj) cd,utau, ,,metoda
generald," a cunoaqterii ad-ev5,rate, qtiinlifice. Ei inlelegeau
prin a.sta, in sens trarg (al hi htr'omo u'nduersale), metoda prin care
sd, poat5, pS,truncle rnai adinc in tainele na,turii, iar in cel mai
restrins (al lui "h,om,o
rnatamaticus), in cele ale matematicii' Din
acest rnotiv toato spiritele mari erau concomitent practica,nli
ai stiin,;ei qi filozofiei. Ei igi ennnlau convingerile qi aspiraliile
in operi: r,netoclologice cleclarate, dintre care unele :rn o valoare
antologio5, qi principialS, inestirna,bild, : ,,Discours cle ia lldthode"
a hi llc*qoaltes", ltspiralia h,Li Leibniz la ,,lingua universalie"
,si incercli,lca, lui cle a ridica etlificiul ,,scientia generalis", ,,ma,t,he-
sis univelsittris" 111].
g) Secolul XYIII a fost' epoca marilor erperienle' F,ezutr-
tatui attivit'i,lii personalitf,,lii prodigioase din,,epoca luminilor"
.q-a concretizat in eLabora :ea uneibunepd,r.ti a calcuiului diferenlial
si integrill, calcuhrl va.rialional et'c. In mod firesc, in acest avin.{,
(ca,racdcrizabil in exprimtr,rea plastic5, a lui D'rlembert :,,allez
en av:i,nt et la foi r ous viencLra,") prea pu.tin5, atenlie s-a acorclat
fundarnerntirii rigurorlso a conceptelor. Abia secolul urmitor
a avut acest r'5gaz ;qi el s-a ari,tat congtient de o'i:ligaliile sale.
h) I'tarca pleiacth a secolului XIX (incepind ou Cauchy,
Gauss, Abel;i Eolzzrnoqiurmind cu Yeierstrass, Cantor, Rie-
mann) a,il :i,dus pl'eciz5,ri cu vala,bilitate peri:nanent5, tuturor
procedeelor infinitezimale. Astfel no!,iunile de funclie, continui-
tate, iirnit5,, serie convelgent6', prod,us convergent, reguli de
calcul cu infinitul, au fost din ce in ce mai bine precizate qi
cercetf,,rile lor au culminat in introd.ucerea concepliilor topologice
(topologia : analglsis silus, este, in esen!d,, matematica confinu-
tului). Frezentarea public:i decfi,treK. Weierstrassin 1875, dar
propagatS, mai inainte cle Riemann in prelegerile sale din Giit-
tingcn, a unei funclii continue nicS,eri derivabilfi, a ad.us la cunoE-
tinlri exisl.enla tliferitelor grade de netezime, cel mai dur' (gro-
sier) fiind continuitatea propriu-zisd,; scara se prelungeqte cu
funcliunile adrni$nd t'lerivate pinf,,la ordin n, dat, culminind. cu
clas:r, funcliilor analitice (inclefinit clerivabile qi local tlezvoltatrile
in serie Taylor).
35

^. --.
i) ?Tpe ce problema continuitd,lii funcliunilor a fost sufi-
crent de bino precizatd,, in atenlia giritlitorittir matematicieni a
revenit problema generald, a contiiuului; ea ; i;-t ;b;rdatir+rr--o perspectivd, noui, de ci,tre G. Cantoi (1g4b_191g). Folo_
sind edificiul impund,tor al teoriei mutlimilbr, t" .;;.;-i';initul
)l-
u"l era o prezenld, permanentd,, precunn qi blementele i,eoriei
(ra, elaborarea cd,ruia
'5i-a adu_s ,de asemeriea contribr"llie) G.
cantor a trecut la urmd,toarea definilie r ,,a"i1""." u"-#"ti"""punctual in interiorul rui-R,.(spatriur reii z-dim*".io""r1
"^
,
H*l*-" f :"j,9:q?
si conex d,"
.
1
rio ii uir i -a te matii? iT""' a"}i
"i
t"1.
:-"-ql=llro lrpsit controversele, succesele topologiei qi a teoriei
mutimilor (mai ales prin imbogd,lirea matemiticii de cd,tre
leDesque cu teoria md,surii) au amulit pe adversari. Dar, trato-
ritd, unor principii prea iargi ae proohc&; ;-*;-;ilitor-iJn"it",
p"uptt"^ gindire a condus ta apairilia unor fisriri'in consistenta
rogrcar rn rorma unor murr,imi paradoxale (giin consecintd.. iucon-
sistente) ca mul,timea,,aliotcujprinzXtoar ef
; ls,-it; ill: -''
controversa vehementd, produsd, cre aceste paradoxuri
ne duce in centrul problematicii fundamentd,rii m'aiematicii,
sarcind, asumatf,, de cercetd,ritre secolului nostru 1iZ,-fSl.
-
i) rdeea de continuitate, distilatd mai ales din contaatul
cu realitatea fizicd,,^redd in teoiia mullimilor ,,""f^"""*rit atea,,,
Tli^ll ^mod
specifig'. qlq noliunea'de ,,conrinuum,,-qi prin
rpoteza continuum-ului. Mullimea nrrner,clor reale este deiufrritH,
de G. cantor continuum.. rp-oteza continuum-"t"i-iari.rlta totlui G. Oantor) se enunld, in^doud, moduri eohivatenie :
-.Enun,tul, I. t.tre cardinalul numerelor naturale (bto) ryi
cardinalul numerelor reale g nu existd, nici un aft
"rrOdlf.frnun!,ul 2. Cardinaiul ordinal*lui O este o (in zl,cest
enun!p reprez,intd, primul numd,r ordinal cu proprietatea ci, orice
ordinal mai mic ca el este numd,rabii).
_ . +t-it existenla l'i o cit qi echivarenta celor doud, enun!'ri
depind. de teorema bunei ordond,ri a r*i zermero (iar aceasta din
ylTf,l a$a cnm se cunoaqte, este echivalentd, cu axioma alegerii)
[pl..Accentarea ipotezei continuu]ui implicf,, de fapt o discon-
tinuitate intre l{e qi G, iar neacceptarea impiicd, o iontinuitate
de tip ,prh valoare intermediard,,'.
_ un prim pas in ld,murirea conjeoturii lui oantor a fost fi,cut.
de cd,tre r(. Gtidel in 1gB8 c^re a d,ovedit consistenla ipotezei cu
axiomele lui x'renkel-zenmelo (mai exact a construit i'r model
in care toate axiomele sistemului tr'renkel-zermelo au fost tnde-
36
piinite si, in plus, verifica ipoteza continuului). tn 1g68 p.
Cohen a consl,ruit un alt model care rlegi satisfil,cea axiomele
teoriei rnullirnilor nu verifica ipoteza lui Cantor. ln consecin!f;,
ipoteza continuului este de naturS, inclependentd, de restiil
axiomelor teoriei mullimilor.
Opci"nlia de eonrpietare a multimilor nuinerelor rationale
la nnrillimea numerelor rcale (realizabild, pe dou5, c[i distincte q.ler
echivalente : td,ieturile Dedekind, respectiv qirurile fund arnentale
ale lui.Cauchy) a devenit un prototip de bonstruclie in multe
dornenii rrtre rnatematicii.
in teoria mullimiior ordonate completarea in sensul lui
Declekin iar in teoria spaliilor uniforrne completarea in sensu-tr lui
C-agchy sint instrumente dintre cele mai puternice. Dar, in prin-
gipiu, aceste exemple nu aduc nimic calitativ la configuiarea
ipotezei continuului.
ii) Proirtreina uniforinizilrii. Enunlul vag al prolclernei,
este urm5,torul : fiincl date dou5, rnultimi X qi I iar- E o parte
a produsuiui lor cartezi:rn X x Y, ie caut*, o rnullime
*fl-E
_zlvincl proprietdli ,,similare" cu ale lui E qi care in-plus sd, se
$tcu1e c1e proprie,tatea cd, din (nrgr1) (nrl1r)u E rezulid, ,!r: !/.2.
Cn alte cuvinte 'l' este graficutr unei aptiCalii din X qi f. 'ln
aslest eaz ,trr' se nnmeste uniformizator a trui -O iat E se numeste
nniformizabiizi. De exemlu, este important de qtiut clach, o mirl-
lirtte lioreliani e (fa!5, declanul borelian produs) aclrnitesaunt o
uniformizara; borelianS,. Rd,spunsul Ia aceast5, intretrare este
negativ. Cet-.a ce s-a putut dovedi este c5, multime boreliand, din
plan se po:r,te uniforfuriza cu ajutorul unei coinplerrentare a,na-
iitice (teorema, Lui N. Luzin si P.S. Novihov). tn cazul cle fa!d,
lacunele borelienelor (manifestate in prohlema uniformizf,,rii)
au fost cornplel,ate piin rnuJlimi analitice.
tinifolrnizarea rnultimilor riclicS, serioase ctificuith!,i chiar
si in ca,zurile foarte simple cum r-rr fi uniformizir,rile cu funclii
continue (mai exact cu grafiae de funclii continue). Astfei s-a
elal:orat (J. Benkd) o schernH, de aproxima,re pontru funclii
avincl ca valori submulfrimi clintr-un spaliu uniform complet
care a permis extinderea unor rezultate privincl setrectiile con-
tinne de la cazul metric la caz:ul unor uniformitd,li mult mai
generale. Fe aceast[, cale s-a reugit s5, se stabileasci, ryi o variantd,
generalizat5, a vestitei leme a lui Urysohn.
Majoritatea, problemelor de uniformizare sint inc6 nesoLrr-
lionate.

1rI. CONTINtitT-tTE $i rroDItr.IZARrl
1. l$Iodetriznre, creldyit:rte, perfeclibilitflte
llodelnl matematic itlezrl (distins de schernele progresivrafin'rte atit de utilc;i *tit cit" frcc"venr; inanip'iatcJ aclaugd,(esenlial, clerniurgic) realut*i ..*r" ul"ilrute tnoii d# ilu*ot^go-
l.rc.q, ^cr.
in prelungire)-iar epoi, in .pri"r-,",'*"''pii,o#"pt
""ur.Hcl ief r r I rer I uiu i eite.fali, o" pr **iirTc. ru*tutu i,-, i"*c'[.o t
"t,'e'ticuliz.t). tloclelizaro,r,nitein,rtice *rtl'l,l;i.;i",;;i, rnaiopa'autd,, decft o simpli. listri a po.inilttxgiro"-i;;;;.f i.cto*r ,rezrl ) prin transcende'la imediaiu!"irJ"t"^1e ( escr.1atrare ginditd,,iar nu fzrbr.rtratie ih:lorie) irr"rl;i;i 4*t"**r.io i*ut"i,rear"ydobinrleqtt o elastic itai"-'.rrrrflirl,iio"o,.
Prin actul comp*,ti,rii 1"rr"
"u,tgn
alt:tolntizarca fr,ctilal'l'icare afirmd, posibilitatea_intcgrii,r.ii"rliuto*"" li a-cestni:i) rnodclulrnz.terna'{,ic este capabil s;u
"
s*rprindi;
"
; ;.i;"';;"i,r.,'rrrr*"t"iuneiscir'r'ii (1a diferil,ert_saie niv*re fi"-"J*pi":rita,te) ,
"r
*"*i",i#lnlint'-ri remarcabilii,
"arlecvare,,rr"i;;iiotatea p'lsatiilor univer-su'l'ui ,oferind constiintci
"""Loc.itout"
'""
mijloc de inr.c,qtigatiede o rnobilitate qi acuitate u"t""r"xl"
!d* r'uarruuu IrtcoLl
Model*l nu cste inclus in real si, desig*r, *t riniiul siiu
'upoate i*ctrud-e in intregirne'eal*tr r ellic o partt-r vie, irutonornd,
:-n"n g*i.u tocm:li ge*'i'neie sensibil cia'e pJ'rnite ap'l;cnbititrrtea(scuri-circ uitlren r nodcl ul ui l)i, u n *cg*.,i.,t I,rct u;iij-si i^ic,.pr._tarea (valorizarea obiectelor,' rlortetiz-at,:;.
constiin,ta maternatici genereazi, rnodele ideale t;,,rc tr,:r's-grt'serzJ tr.oatierele. r.eiilul,,i "_
otriecJurl; p;;,,t,=;;; ;;;.,:_ cleclibt'rtt'r' f:rta, dc injociiunit* conliog"u;turui, inir,-o rriri'rllie de
:ll lr^,_i'-,,1
".'S
( tle. d ef ensi i rno,
_s
i,rpr;l, ;;;i;;;i 1,. ; ; ;
"'i
nffi nu te
:,j;.i,1'r,?i,.J,tprrrnare aic nnlintE6itei concli!,ii rrrrrrne, c.,u", d"rpo_*rt':r rrnrlft si orgo-lior*ii, finalizatoarc'si si*ificif ,iilr*rl iiclernir ugi ci,, :rspird,"ple"*" Jpr= p;;f*t;ine t1z l.
. iattrr (r.xtra,umamrl) nu se indreaptd, clelibarni (prin
1:ll i*'::..-:?l:l1
il"l6) spre perfcc 6i,r"". 1rt'rerietaieu
-rarrrrii),
{r"ir' r{r'catrza.ca Iormero' sr.rc
^(rcturlizarea potenliailtdgilorj:ttt pi_i:r1e .vitrl acest Ira,seu, incii reflccrinO asilpm U,^lioi,rf"ispectacrl aL fenomenalit5lii adesea constatriin
-unoie
te'oi'te
H1l :l l
tl
:-i.,:i;il.
p"Ifcc ! iune 1perr.,clionabir i r ar e, optii,,irlr?i
:11 "lll
p.l-o|lrIsrt. tlu *ornte r.iundxme't,r,lc, ipo.taz?lc prr.tec_
rlonrrlrl'. liinri m;ri cficicnte, m*i crurabile, rvilnd uu sr.iut de
lill-illt.' clc iral n'rrritu,tc,.c*r'e irr poale ti
"rltog,i.
x,ii.r"].,"ti"*rr{r{r' p'rn obst'u'erc sale insertii, genetic :rncoi'i,tl-r, in efel,r.es-
DO
cenla fenornenelor (aperfectibild,, dar nu nonperfectibil'i) Ei
devenind, prin rlistil'),ri complexe (decant5,ri, sublirnS,ri) un
organon al rtatiunii, clezvoltarea gindirii care opereazd, plinror-
cliai cu moelele m:ltem:lticre n.u se afl5, intr-o relalie de simplistd,
opozilie cu ira,tnra ci, dimpotriv:-i, intr-una e,senlialri
-dialcctic5.
2. Sisterue cu earltcttlr ('(intiiluIl
Sisterrrele crtre Dot fi modelizate prin scheme care stau suJr
somnul continuului (
-continil
itat ea f unciar[ crono-tipicd,, cin:.pul,
meclinl fluitl, continuitatea substanlei, energiei,-.entropiei rs.a')
au atrifuute'generale specifiae, slbsurnate icleii patronimice.
Leg[,tura t]ir,lre pf,,rli este deosebit de sl,rins5, : r'ecini,tate,
reg"irn topologic, ietezime in cliferite,grade.r $*!.tgl tlaoii, leg-ea
de"tlescoripuiicri: care caract erizeazil disp onitr il it5,!ile .s
istemului
este exprii^nabili, prin frmc!,ii dc rnaxim' netczime .(enalitice),
:rpartefeniea elern*enlelor la tot este foarte strinsir,. Aceasti,
c6elciliune este explicit ,si operant cxprimatd, cle :r,triJrutele
analiticitd,!ii.
a) ralorile unci funcliuui olomorfe in interiorul tmui tlo-
meniu
'inchis
de un contur- sint exprimate (printr-o integrrrl5,)
cu n,jutornl valorilor de pe fron1,ier5, (teorema lui Cauchy).
b) Dac5, funclia este ralionald, pe un domerriu Jl (X) [7]
[8] atu'nci ea este cornplet clei,erminatS, de valorile zerourilor ,5i
poiikrr sdi : singllt-rrit*i,!,ile (atributele sale excesive,- nivelele
iale critice, pa,rdxiste, avind, prin insdqi consisten!-a sisternului
la care apa,r!,iin, un statut ilwers : zeroul - infinitul) deiermind'
astfcl cofrplet, func!,iunea (iegea d.e bazd, a sistemului tte tip ana,li-
tic). Morle)izatea,, de';i iclealfi, (restrictivi,) a sistemelor concrete
lmai ales rlaci li se igiroreazd, natura interaclionall '1i
nu.intervin
compticalii inexl,ricatrile cu caracter mai pulin. siste*tll'ig qi mai
ales-contingeltal), prin funclii continue qi chiar antrlitice, a,re
astfel o reald, eficienlX, metodologicd,.
Imaginea maternaticS, infinitezimald, (dominat[, de.. ideia
c1e cnntinrf itate) cornpleteazit intr- o a samblare superio,l,rzi f ap--
ticul (generator al ac6stei imagini : sitrralii fizice etc.) ilustrind
cu elocvenfd, tendirrla spre icleatitate a rnodeliz5rilor cuplinzS,-
toare.
Enemgtle
A. Modelizarera analiticd, a funcliei de interaclie in
aaregatul invariantiv (inerliai) format din doud, corpuri.Mecanica

myariantirr;, este
-
o teorie clasici, a miqcH,rii, creatd, de
3 P -l::::,:5i ltuo;qtx.tizico-episi"eiltogic dc N. ronescu_palas
Dr ri ' boronea. care obline interesantq: coisecinle auop"* *iq"xriiobiectclor', r'ezu]tai,c.'our,inutc
-lp'tititr
"
mctodologie proprie)plecind de la d.escrierea siste"iiriui"mecalic prin invarianliis',i cei mai directi, (euclid.ie"it.
-i;";,
ou1i"J
"oo"l#i nmurerificate oe e^p&iei1x r
"*r*{i* -x*i xu vi.eza, relalia ener-gre-mas5,, grupul f,orcntz_poiucari, pr."oo, fi i"Ai;;ii^?*rpr*uruturii iuer' g; : r ne a efeur *iui de exp,,n'siuoo,,t'ro iir".lr'oiltegeaiui trhrbbte).
-doptrnd perrti rr accastd, teol,ie o rnetotlor.s^ic ragrangeand,
liilyqi"i, ;i in al{c c:rzuri, n" orota gf
t-trr,n,,scu_p*ilrrs,
L. Sofonea
lLrl sn se examinezc rnisca.eii, ceiui *,,i *ii*prr"s.rJ#'J'Jiu"r",anunre..n sregatrri fo: mar cii n r iouli e'r,p ur,i, i"lpi,oii,,r*ilJestuiaconrlii ii
.
lorirte genc.alc rtc simctrii,'fi .a
"'gii*jo.li.**i"*tor"interac{'iei (rniqcare in virtutea ;nertiei;. ]}e'aceea foo.ri" ouinte'r.c!i*ne este consideratd, a, fi o
'fu'c{ie
ar:a,litic,[, Gracl cle
regula'ii'te c&ro se pobrivegie cu sirrnplit:rf,en funciarir, a,Tnerfia-
littlii)' Exmininci miqca'ea in aproxi'iu1iot"r*ooilor cte
"ruio,rr92: ,, lc2 se ccns.t,atd, c:i sc obliie uri;carea rccf,ilinie a, centrului
do rnard ryi toate celerarte ca'acteristici cre e'nsisten!*, frzic[. Depd,-
qint-l aceasid,_ :r,proximalie s9 cblirr inclicalii iliteresrotu
"rop""".qo*t'!l
ac*eleralii a ce'i;rul.ui cle masf,,, pre.-rulll ,si :r.supra unor
sit'ualii. (miqcare liniari,; rotator) in czire aceasizi co'iecinld, a
teor'iei inva.iantive generaie nu se pr'cruc. rntei,pretiirite cores-
punzS,toare vizeazd,
_consistenla demer:sul'i rurp*iti., iu.lc,anicainvari:r,ntivf,) qi aplicaliile astronomice t15j.
Modelizarea interactiei prin functii anaritice este nu n*rnai
o ipotdzd, cle calcul cra,r e*
"""6.poooo ,si intuiii*i cx iner;iaritntea
este o proprietate profundil,, cu atributele cont,innnlui.
B. Ifodelizarea analil,icd, a comportd,rii particrrtrelor e]e-
mentare (raporl,urile clinbre analiticitate ql cauz-alitatc ; an*liza
polilor matricii de difuzie, Begge_istica [i, 6].
sisbeinele care intel"v-in in cercetarepol, pi,czent:l aba,t,eri mai
rnult s.,u mai pulin accentuate (cle esen![*, u*i du aspect
"ii.iro" ;
c1e aproxirnab,ie principirr,rd, sau lucral,ivi,) cre ra co'ririnuitate, crar
i11 olice condilii modelizarea cle tip corriir.rr* (ne_atomistd,, dar
riistingi*cl ;i ea anumite gracre cre netezime qi acceptintl
'anurnitd,asimila'e a discretului), prozintd, un interes in sine ,si este un
terrnori important de r,eferin!f,,.
40
IV. CONTINUITATEA $I DISCONTINUI1ATEA ITT$CANII MECANICE
1. Mlgearea mecanied faetuali gi mi;carea mecanici matemadzatd
Mecanica, newtoniand, qi cea a,na,liticd au oferit exernpie
eloevente de rn odelizare matematicri avansati, ard,tincl, co"*1"""_
!iv' raporturile dintre mecanicd, si fizicd,, respectiv -hi**,ti.a.Dar.,sig*ranja afirmaliilor mateinatice laoiiisx;
""
**p"iuu*rx,
realitatea fizicii ci doar ii reprezinti, esenla irirooerir6z;f par-
lialr neexha.ustiv, complexitatba). Deci, chiar la niveiril mi.,roi"
reprezent5,ri matematice corecte pot s5, n'_ redea integral ,oiq.u,-
rea fizicd'. rnterpretarea matemrtici a legilor t"",ra"i*nia,lc aie
mecan_rcu poate fi impins5 formal, pini, la o precizie care este
mult dincolo de cea atinsd, de testr;iile experifoentale atn: reali-
l,t-l-: ^:i ^
*llg :eprezenta,reg,
.1g.sp_ectivi pbate aerveni
"
nesigo.A
(rtuzone : miqcare nerealizabild,) U6l.
Dinamica cla,sicd, a.p'nctulili ina,terial conduce, datoritpi
definirii abstracte a condiliunilor *rised,i.ii, la rezull*ie to"**l-divergente, care se cer interpretate (fizic, t"t*rij.- e*itel in
miqcarea de alunecare a unui*punct, material cle
^^ri *- a"-^
lungul unei curbe materiale in-care curha, ac.,esteia
"rt" ""1x,
i**masa are o vitez5, qen-uld,,reacliunea, corespilnzd,toare acelui
punct est-e, formal infinitd,. o cliv-ergenl6 form-ald, similard, ,p*"uqi ]a rcalii:area ideald, a rezonanfeii t,i'ri pulsalia iortoii,*],t""-
batoare coincide .u,
".gu
propiie ._arnpriiutrinua "*t"--1ior-aryinfiniti. Miqcarea_asLfel modeiizatd, esic cloar o ti"liun[ *ut"-maticd, : o m.clelizare cinematicd, coerentd,, ireaHlabiii,
-
iilsd,
dinamic.
_ Dificult5lile matematice de repreze*tarc sint i'troduse de
reclarea adecvatd, (generald,;.1? qti.ce grad cte u"iq"arc $i d"-trlce
grad cle precizie rnatematicd,-fizicir,f a continuitd,lii-rnirycd,rii.
2. Contlnldta{ea spalio-ten"rporalii a rnigcirii
Continuitatea miqcd,rii.11e_un^.a!pect clinamic (proprieti,fi
adecvate..ale for{elor : condifii rtre finiiucline) qi u'd'ciri",matic
(traectoriile sint succesiuni continue de etape : continuita,tea
spalial[ gi continuitatea temporald,).
. continuitatea temporald, a mirycd,rii nu este pnsd, ra introiald,
in mecanica clasiod, qi de ac,eea ea nu introduce'tliti".rlfa,ti *p"-
ciale de reprezentare (tdTput : parametru sontinuu)- coniihuita-
tea spafialtr, a.Tiqcd,rii de asemenea nu era pusi ia intloiard in
mecanica clasicS, std,rile limitd, oricit de alropial,e in spaliu
4t

fiind considerate intotcleauna realizabile prin act dina,mic, deci
printr-un proces mecanic in care exist5, odati cu traectoria con-
tinud,, rlerivatele temporale corespunz5toare (aclicd, cel pulin
vi!,eza ,ri accelerafia), care configureazd, tabloul cinema,tic.
3. Reprezentnrcn discoutinuit5fii migciirii
Nere:ilizarea acestor condilii limitS, de reprezentare a fost
eviclen,tiat5, in mod acut cle progresele analizei matematice in
faza in care acer,sta a depd,qit nivelul intuitiv al reprezentil,ii
continuitd,lii qi limitei. Construirea, in 1875, de cXtre !-eierstrass
a unei funclii de v:i,rial:i15, reald,, continui, cale nu posedd, o
rlerivat5 pentrn nici o valoare a varial:ilei (deci in tota,l5, opozilie
cu convingerea intuil,ivX, cd, orice asemenea funclie poate ii Aeii-
va,bil5,, cu exceplia unor singularitili ri,le variabiiei) are directe
implicalii in reprezentarea meoanicii. Mecanica newtoniilnd,
admits (qi chiar culti.r'L, inc5, de la fundamentarea ei), ideea cd,
legea continud, cle mi;care determinS, viteza, gi acceleralia,, rni,rirni
dmivate cu caracter continuu (eventuai cu excepbia urror puncte
singulare). Ilazele reprezentative, maternatice, pe care este
aqezatd, mecanica newtoniand, sinb astfel puse in disculie : dar
nu sub inoidenla fizicului, ci sub cea a matematicului (a expri-
mi,rii).
lncercd,rilc erplicative ale mecanicienilor (Appet, Janaucl ),
care s-au f5,cut imediat dupd, semnalarea ,,evenirddntului mate-
rnatic'), nu puteau fi clecit preliminare atit timp cit analiza
funcf,ionai[, reald, nu avea s5, ofere un calcul infinitezirnal mai
rafinat (cercetd,rile lui Cantor asupra mullirnilor, teoria moderni,
a func!,iilor i:eale, IucrS,rile lui l3orel, I3airo, Irebesque, Denioy)
116, ff i l. Admiterea (prin axiomal,izare) ezi un punct in mirycare
posedd, in orice faz6, n acesteia (descrisf,, printr-o funclie con-
tinui) o vitezd, qi o acceleralie biner deierminate nu poate fi
consideratd, ca o consecin!5 obligatorie a familiei funcliilor cla-
gice: in acest sens, noliunea de derivatl este, falsi, din punct
de ved,ere fizia" (Denjoy) qi este necesard, extinderea conceptelor
mod.erne ale analizei funclionale la analiza r.ectoriald,. Titiliza-
rea noilor achizilii ale matematicii promitea posibilitatea, cons-
truirii unor modele operante care totodatd, s5, fie acceptabile,
din punctul de vetlere al icleilor fizice generale, qi, prirr aceasta,
ryi aI experienlei (cu inerenl,eLe sale limite de tesl,are).
Remed.ierea ,rctizei cle reprezentare" a continuitf,lii s-a
incercat prin introducerea unor aser{iuni suplimentare cu valoa-
rsa de postulat. Astfel (Elamel, Zoretti) s-a admis pur ,1i sirnplu
42
existenla. utrui ,,priiicipiu de continuitate,, dup5, ca,re }egile cle
rni;caro qi, ln generalr tlolle.legile fizicii, sint deicrise prin-funclii
continue derivatrile inciefinit (analicitate; degi, in fonct in d.eter-
mi-qmul- mi,1cf,,r'ii nu intervin decit primele doud, derivate, su.cce-
siunca fazelor: fiinc)- reglementatS, de ecualii de orclinul al'doiiea).
,,Principi'l c1e continuiLate" ar,e
'ri
evident caracter acl
hoc gi, totoci:1t5,, nu estc decirlabil, ei fiincl consiclerat, de insdqi
creatorul sd,ri ca avincl un ca,r'acter intangil:il, nefiind clerncnstra-
hil maiema,i.ic $i.nit'i {izic-, cieoa'ece exierionlele nu poi ,rbceu
cliferenlialele. Principiul [1s] nu poate-interveni in ieuronstra-
{ia nici unei teoreme qi deci nu poate fi inclus intr-o constructie
a-riomaticd, a mecanieii ll8].
Repl'ezentabilitatea zr,decvatd, a miqcd,rii in termeni mate-
matici-impui;rr: a]stfel rafina,rea tipurilor dc l.elafii adrnisc : negd,_
tura tlintrc tiilli de mecanicir, qi tipul (adicd, nivelul) de anaiizx,
l'unciionall, ittsrr.il .
4. Contli{ii ilc linitudine
-ltrvitarctl, erpresiilor forrnal * inacceptabile (misc[rirl irera,-
lizai-lile) i'lclami, eourpletaioa a,xiornelor {izice ale'mecanicii
ralionale cu nnele r:ondiliondri cu caraoter de regularizaye.
So actrmite ci,, (in .rice context dinamic) pentru realiznrea
unei naiqcdri intrrun tirnp
-finit nu pot interveni decit forle
finite, respectiv forle avlnd in zlcea dul,atd, un numhr finit de
schiurbd,ri (orieniriri in spaliu a,le for!ei). Aceste restrictii sint
impuse de expelienla direatir, : care exclude infinitu clinea dinamicd,
producd,toare de efecie finite, [1G1 ryi oonstatd, cd, forla car,e pro_
cluce mirycarea nu-qi poate schimba orientarea de o ihfinitate cle
ori intr-un intelval rle timp" finit. Tlestricliile de finitudine tre-
buiesc considerate, in ierarhia tezelor necesare fundarnentd,rii
mecanicii rationale, ca fiind propozilii subsidiare cu s:l,racter dc
regulariz:r,re (netezire) ele intrincl in defini!,ia cornpletd, a fortei
(un r.ector, sup's prin definilie liniaritflii superpbzitionaie 6it
gi condi!,iiior_de m5,rginjre atit ca rnd,rirng cit ryi c-a iiveriare) [lti].Astf eI f srmulate [1 6 ] con diliile de f initricline au un coir.tlinut
fizic: aser'{,iuni cu caracter negativ, ,rmoderator,r, (de re*gula-
rizare) care perrnit reclucerea la absurd a unor interventii dina_
mice ilueorii (infinite) in timp finit. Aser,!,iunile por fi'folosite
il consirleralii ma,tematice justificative [16] ca,patrile sd, elimine
situalii de forma,l impact cu experienta.
Admilind valal:ilitatea acestor postulate de finitudine
[16] o miqcare dat6, este consideratd, realizabild, intr-un interval
h)

ij$l.$" timp dacd, pcntru qirurile cle mirsci,ri reEulatc _ reil_
rruaDtre care a,proximerr,zd, oricib de mult miqcarea aonsideralr,
existS, ug lir infinit de rniqcd,ri astfer ca tor-t'eie car,"G'p.ootu"
sd, fie md,rginite si ansambrur ior in respecti.ml-i"i;*"Jai ti-p
li totodatd, ele sd,-q.i schirnrre orientarea numai de un
'umr,rfinit de ori in o/ice qir crescd,tor-clescrescxl;or te
*iloinente
din respecbivul intervai.
Dit punctui de vecre'e ar arlecvd,rii forrnare a, nratrerizf,.ii
mir,tema,tice teoria rnecanier, distinge mai muite tipur.r ou,ni;c"ilr ,
. a) .lriqc5ri . efectiv .rc"are _(deimpiedicat,e'piin'-i,eristente
qayii'e. qi ai cd,rei termeni sint definiti maternatf: i" *"ri nairr-
doietrnic).
_ b) I{iqc[ri rea,]iza.'bile (dacd, sint definite cinornatic prin
m5,i'imi cure repl'ezintii lirnite finite ale unui ryir,d* i;it-tu i'core$-
Flnz_atccr unor mi;ei,ri rcaie, iar rezistenfr:le pasive fic nu inter-
vr.n deloc. iie tirrrl e5"lre zerc,)"
, n^^,-.a)
I{i1c[r.i ,,i.ealizabile" 1du,.; c-risli l.oi,fc r;asi-7c care
illocncaza miscarsa qi ele nu sint consir,ler.ate in iilteiv:llul sist'_
rnului respectiv : dacld,
',urspeirtio"i" ii*rt"
"""u.pror#or.r", ryrr"otoicle miqc5,.ri rca,le nu existd,).
,,criza cle leprcze*ta"r'c" a,,infi*itozirnaliti,,lii;' nrisodrii
avea un caracter rlrrlrna,i,ir: Irimai in gindirea, ,riu"e adririiua
cd, mecanica ciasicir, ale o vnlabilitatd inciefinltzi
-
riat orice
sczr,r'd,, lii, orice detatiu) ryi rleci aceaeta vahbllitrr,te ilebriie
sd fie prezentati, in tr.rate repreze*tir.ile ei. rsi;;t; i?ii"1"ra ari,tat cE valabilitatea, insd,rsi 1 mecanicii cirsice
"rtu
rii"itrta(zola detaliilor atomice este in orice caz exclusr,;. confintirarea
stric'Ld, a clomerniutrui mecanicii crasice (a obiectero, i"-,,ir*iliio*to"
teorii) este astfel conclilionati atit cie evolulia c..pri.,*rltui- expe_
ricn{ei fizice. (evorutie rcflecfiog
9.pei'nlrnentr,
-cxpectalivd,,
o
p.ermare:rt5, istolir,itate a cunoaqterii itiingificr) cit ;,iie r,itinrrca
tipulur rle rclnlii (leprezentrri-operabiie , inec,arrica',,r,;ec,torial*,,,,
ln ecal ica,,anal.itie6", meca,nica fenomeneiot, aescriptirrG p"iri
distrib'tif ii sau prin alte a,cliizifii ale analizci tunclioni,rei.- Strr**,
spacificS, ttc deschitlc_r'c (dc jstoricitaic), estc tJeci propr.ie si unei
ciiscipline ntit' de elabo'ltc curn este inccanicr .i".ii.,ii-.io, ."ilustreazd,, p1i$n-o excrnplificare plegnantx, o moclaiiil,fu g"rru-
raiii. a atitudinii ;r"iin!ifice.
- "I,{i$carca
Ln mecanica clasici, stinrX, in principal, sub sem-
nul icleii tle continuitate, (fizicd,),
-reprezontai.ea e; l*ii,ema,ticd,)poate fi adecval, efectuati, linind Jearna de intra!1d
-"o"1i"ut
(semnatic, operalional : nivele de netezime) al ideii*matematics
de continuitate.
44
n.
J.
,4
,5.
'6.
7.
8.
9.
10.
11.
It
BiBLIOGRAFIE
KaNNsril E. Bour,nrxc, GeneruI Sgslems as a Poinl ol Vieu, Views ott General
Sgslerns Theorg, Proc. of Seconds Systems S Symposium at Case Institute
of Tcchnology, John Willey Inc. Nerv York - London. - Sydney, 1964,
p.25*38.
C. Wnst CuuncnuaxN, An Approach to General Sgslc.n.s Tlteory. Views ott
General Syslems Tlteorg, Ploc. of Lhe Seccnd Systems SyrnposiumatCase
Institute ol Technology, John Willey Inc. New York-London-Sl,'dney,
1964, p. 17ll*175.
L. .;ox Brnr.q,r,ANFF]:, General Sgslenrs Thearg: A New Approach Lo Urzitg of
Science, I{uman Biology, 1951, vol. 23, p. 30-3--:J61.
C. I(rrrrr,, IntrodLtcne ln fizica corpLtlui solid, Edit. tehr:ici, 1972,
A. D. tr{enrrN, T. D. Spp,rawrttr, Elementarg pafiicle lftcory, North I-ioiland,
PLibl. Comp. Amstcrdam, 1970.
F. Rouax, Thearg ol elemenlarg Particles. North Holiand Pless Comp. Arnster-
dam, 1S60.
G. Cnoeunr, OuLiIs 7'opalogiques et A,Ietriques deI'Analgse Mathernatique, Centre
de Doc. Ilniv, Paris, 1969.
II. Nrcor,rscu, N. DrNcur-uexu, S. Mancus, Analiza malemalicd, vol.I., Edit.
didactici, 1 972.
A. P. Iusr<evrcL Isioiia matematicii, Moscova, 1961 (trad,), Edit." tehnicd, 1963.
(i. I-onnre., Storiadellc Xllatematiche, Torino, 1932.
R. T.rT oN (sub. red.) Istoria generald a Stiinlei, Edit. tehnicd, 197i,
II. Wnvr-, Si:nclria, Udii. qtiinliticd, 1966.
L. SonoNne, Istori(i cotlceptuald a fizicii clasice, Partea i, Univ. Bragov,
1979.
O. Bocxnn, Grosse und. Grenze der },Iathematischen Denkueise, Verlag Karl
Alber, Freiburg/Miinchen, 1959.
Sr. I{onxon, Inboducere lnfilozofi.amaternalicii, Edit. qtiin}ifici, 1965.
A. Dururnru, Istctrta logicii, Edit. did. pedag. Bucule$ti, 1975.
L. SoEoNu.e, N. IoNrscu-P.q.u.ts, Lagtangean lonnalism ol lhe Onioescu's Inva-
riantive Mechanic, Revue Roun. de Fh5,s., 18, J (1973).
l{. Ioxnscu-Par-l.Ls, L. SoroNnrr, TIrc motion of a inuariantlu sgslem with
two bopg, ol molion, Rev. Roum. de Math. (spre publicare).
Ar-. Fnonl, Conlriltulions d Ia mdcaniquc classique tlu point maldfiel, IV, Congres
de loglc[, metodologle ti filozolie a gtiin]ei, Bucuregti, 1971.
Ar,. Fnor.r., Dif iculldlimdtematicc2nfundamentarcamecanicii ralionale, Forum
1 (7977).
A. DrNroy, Introduclion d Ia thCorie des lonctions de uariables rtelles, Paris, l,
7-18,1947.
G. H.runrr-, Elementarc fuIechanilc, Leipzig, 1912.
G. He.nrunr,, Die Axiornc der Mechanik, 5, 12.
L. Zonerrr, Les principes d.e Ia micanique classique, Memorial des sciences nta-
thema.ti(lues, fasc.30, Paris, 1928, p. 16-17.
16.
14.
5,
77.
!8.
45

o Sisteme cibernetice
EDT,I. NICOI,At]
1. lioliuni iniloiluetivo
Scopul pre:lentutrui stucliu es1,e delicrierea, sistemelor ciber-
netice gi sta,bilirea unor pt'oprietd,li iegate de oscilaliitre care pr;t
apale in aceste sisterne.
Arnintim c5, o prim5, definilie neformald, n, ciberneticii
a dos1, datil de ci,tre Andr6-Marie Ampdre (1843) in clasificarea
pe care ela creht-o pentrutoal,e qtiinlele existente sau. posibile.
Xat,il,, i11
.t,raducerea noastr5,, pasajul respectiv.
,,0iberneti.cn. Iielaliile ctre Ia, popor la popor, studial,e cle
cele dou f,,,stiinle precedente ( drept ui interna,tional rsi rliploma.tia,
nota noastui), m,r sint rlecit cea mai rnic5, parte a obiectelor
asnpra cXrora tlebuie s5, veg-heze un bun guvern; menl"inerea
ordinii pubiice, executarea legilor, justa repartiza'-e a impozitelor,
aLegerea oarnenilor pe care el tretruie s5,-i utilizeze qi tot ceea ce
poate eoniribui la ameliorarea stS,rii sociale, reclamd, in fiecare
rnome nt atenlia sa. F5,rd, indoialfi, el are de ales dintre diferiteie
mf;,suri po aceea care este cea mai potrivitd, atingerii scopului;
qi numai dup5, studiul aprofundat qi comparat al diferitelor ele-
mente care ii dau, pentrrr aceast5, alegere, cunoaql,erea a tot ceea
ce este relativ la naliunea Be oare o conduce, la caracterul, mora-
vurile, opiniile, istoria,religia, mijloacele d.e existenld, qi de pros-
perita,te, organizare si legi, poate s5,-qi facd, reguli generale de
concluit5,, care il concLuc in fiecare caz particular. Nurnai dupd,
toate qtiinlele care se ocup5, cle aceste obiecte diverse trebuie sd,
plas'im pe a'oeea de care este aici vorba qi pe care o numesc Ciber-
neticfl, de la cuvintul Kibernetiki, care, luat mai intii inl,r-o
accepliune restrinsd,, drepl, arta cond,ucerii unui vas, a cd,pd,l,at
prin uzaj, chiar la greci, sensul cu mult mai intins, d,e arta con-
ducerii 4n generaU'.

Definilia, lui Ampdre este, desigur, neforrnald qi destul de
imprecisd,, pentru Ampdre ciberqetica intrind in aceeaqi catego-
rie de qtiinle sociale ca Dreptul internalional sau Diploma!1a"
Wiener (1948) a f5cut un pas mai departe definind Ciber-
netica drept ,,qtiinla comenzii qi comunicdrii la fiinle usi rnasini".
Putem accepta c5, definilia includo sensul lui Ampdre, ctacd,
admitem cS, in societatea fiintelor cibernetica se ocupd, atit de
fiinlele individuale cit qi de societatea in care aceste fiinle trilieso.
Problema formaliz5rii ciberneticii a folmat obiectul unor
studii speciale (Cybern6tica, 1971).
In lucrS,ri recente, ca cea a lui Ilin, Anhimi'rk qi Babuk
(1975), cibernetica este ctrefinit5, drept qtiinla legitritilor generale
ale conducerii, transformarea qi transmiterea informaliei ln
maqini, organisrne vii ryi in reuniunea lor"
G. Boulanger (19?5) definegte cibcrnerica drept qtiinla
cornportarnentelor care au un scop (cu finalitate). Aceastd,
ultimd, definilie nu este sa,tisfir,cii,ioale, cleoarece scopul aparline
numai oamenilor * sisternele pntlnd urmS,ri un sccp fixat de
oameni.
Ne propunem ca in cele oe urmeaz5, si aborcl5m problerra
ciberneticii din puncl,ul de vedere al teoriei sistemelor.
2. Sisteme cifuernotice
Decuparea unei porliuni din realitate se poate face dup6,
cril,erii diferite. Aceasta corespund.e posibilitd,lii de a consid.era
un sistem ca, fiincl format clin subsisterne difenite,ln funcloie cle
critepiile adoptate. fnvers, orice sistem, cil exceplia Universului,
poate fi consideral, ca subsistem al altui sistem care il cuprinde.
Beferitor la substanld,, se atlmite a exista o lirnit5, inferioard, a.
eiementaritd,fii, aqa-numitele cuarcuri.
tr'ie ciasa sistemelor orientate. Un astfel tle sistem este des-
cris prin mS,rimiie de intrare, md,rimile de ieqire, operatorii care
leagd intre ele aceste rnirimi qi starea ini.tial5, a sistemului. Se
poate considera cd, propriu s-istemuiui este operatorul amintit
qi starea inifialf,, a sistemu,lui. In modul acesta, orice sistem orien-
tat poate fi reprezentat printr-un arc orientat de la intrare spre
ieqire. Arcul este marcat cu operatorul corespunzind sistemului
qi cu starea inilial5, (Nicolau qi Popovici, 1967). Se adrnite cd,.
sistemul este cauzal, in accepliunea contemporand, a termenului
(Nicolau, 197a) qi admite o e;volulie unicd,.
48
In modul acesta se asociazS, un arc orientat fiecS,rui sub*
sistem al unui sistem dat. Sistemul in cauz5, este pus tn corespon-
den!f,, cu un graf orientat qi marcat.
I-)efinim clrept sistem cibernel,ic sistemul al c6rui graf.
asociat cuprinde cel pulin o bucl5,.
In mod tacit s-a admis c5, subsistemele sint astfel incit
interseclia dintre mullimea iersirilor unui subsistem qi mullimea
intrd,rilor u.nui subsistem cu care este acesta conectat, rur este
r.id5,. Altfel spus, printre subsistemele 8,, conectate Ia ieqirea unui
subsistern, 8u, existd, cel pulin unul asifel ca
dom 8r7 fl codorn Su * &
3. Sisteme ciberneti(,e gi lnatroizi
Teoria matroizilor a inceput a fi atilizat,k mult (C.P.
Bruter) a{,it in studiul unor sistenle cle comandS, opbi:nal5,, ci6 ;i
in stutriui sistemelor electrice (Frijishije, Iri). Enunld,rn, fd,r5,
dernonstxa,lie, urm6ioarea
Tncrnnilrl. Sistemele ci,bernetice cu ael pulin d,oud' cdi de
reaclie pot fi m,a't'r,oizi.
.{,, lfleorerne referitonre la sisteme contixue
Din punct de vedere teoretic este important sfl cunoaqtem
care sint tipurile de ecualii care pot fi modeiate prin sisteme con-
tinue formate numai din elemente tip precizate. ln cele ce u.r-
ll;'enzd, se oonsid.erd, cf,, dispunem de un numd,r finit - dar sufi-
oient de mare - de sumatoare ideale qi de integratoare ideale.
Fiecare din ae€s'l,e elemente are un num[r convenabil cle intr5,ri,
Elernentele care rnultiplicS, cu constante sint cle asemenea ideale
qi valoarea parametrului ior poate fi variatd, continuu in lF+.
Fentru un astfel de sistern, Shannon a dat o serie cle teoreme, arf,,-
tind care sint tipurile d.e ecualii diferenliale la care se pot ob-
line integrale particulare cu astfel de calculatoare analogice.
tn cele ce urmeirzi, vom da o formulare proprie acestor teoreme,
ad5,ugincl gi atrtele personale. in prealabil preciz5,m cd, variabila
independent6 este timpul, notat J. lVlS,rimea uloeJe Ia iegirea suma-
torului numd,rul j este
1 - c, 1174
'ttrto : -erqtr, i:TJ,-
i
40

Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii

Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii

Similar to Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii (14)

More from George Cazan

More from George Cazan (20)

Malita, Mircea - Sisteme in stiintele naturii