Rasgele değişkenler dönüşümler ve dağılımlar

1. RASGELE DEĞİŞKENLER,DÖNÜŞÜMLER
ve DAĞILIMLAR
MUSA SARİ
TRABZON 2014

2. DENEY
• Deney: Bilimsel bir gerçeği göstermek bir yasayı
doğrulamak, bir varsayımı kanıtlamak amacıyla yapılan
işleme denir.
• Örnek uzay: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının
kümesine denir.
ΩK = 1,2,3,4,5,6 ΩS = {푋|푎 < 푥 < 푏}

3. OLASILIK UZAYI
• Tanım: 푈, 훺 da bir 휎-cebir ve 푃, 푈 da bir olasılık ölçüsü olmak üzere (Ω, 푈, 푃)
üçlüsüne olasılık uzayı denir.
Tanım: Bir Ω kümesinin alt kümelerinden
oluşan bir 푈 sınıfı,
1. Ω ∈ 푈,
2. ∀A ∈ 푈 kümesi için 퐴 ∈ 푈,
3. ∀퐴, 퐵 ∈ 푈 ise 퐴 ∪ 퐵 ∈ 푈,
özelliklerine sahipse 푈 sınıfına Ω da bir cebir
denir.
Tanım: Bir Ω kümesinin alt kümelerinden
oluşan bir 푈 sınıfı,
1. Ω ∈ 푈,
2. ∀A ∈ U kümesi için 퐴 ∈ 푈,
3. 푈 da ∀퐴푛 dizisi için ∞ 푛=1
퐴푛 ∈ 푈,
özelliklerine sahipse 푈 sınıfına Ω da bir
휎 −cebir denir.

4. RASGELE DEĞİŞKEN
• Tanım: Değeri bir deney sonucuyla belirtilen bir değişkene rasgele değişken denir.
 Bir fabrikada üretilen lambaların çalışma süresi
 Bir ailedeki çocuk sayısı
 Belli bir bileşiğin alkol yüzdesi
• Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. 푋 in alabileceği değerlerin sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuz ise
푋 e kesikli rasgele değişken denir.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
• Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. 푋 bir veya birden çok aralıkta her değeri alabiliyorsa 푋 e sürekli
rasgele değişken denir.
Ω = {푋|푎 < 푥 < 푏}

5. DÖNÜŞÜM YÖNTEMLERİ
• Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
푋, (Ω, 푈, 푃) olasılık uzayında bir rasgele değişken ve 푔: 푹 → 푹 fonksiyonu, ∀ 퐵 ∈ 픅 için {푥: 푔 푥 ∈ 픅}
özelliğine sahip ise 푌 = 푔 ∘ 푋 = 푔(푋) fonksiyonu da (Ω, 푈, 푃) uzayında bir rasgele değişkendir.
Y rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
1. Dağılım fonksiyonu
2. Olasılık (yoğunluk) fonksiyonu (ters dönüşüm yöntemi)
3. Moment çıkaran fonksiyonu
teknikleri yardımıyla belirlenebilir.

6. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ
Tanım: Bir dönüşümün olasılık dağılımının bulunmasında önce dağılım fonksiyonunun belirlenmesi
yöntemine dağılım fonksiyonu tekniği denir.
 Kesikli bir 푋 rasgele değişkeninin değer kümesi 푋(Ω) ve olasılık fonksiyonu 푓푋 olsun.
푔: 푋 Ω → 푹 olmak üzere 푌 = 푔(푋) rasgele değişkeni de kesiklidir ve 푌 nin olasılık fonksiyonu,
fY y = P Y = y
= P g X = y
= P X ∈ x: g x = y
dır.
=
x:g x =y
fx x , y ∈ Y(Ω)

7. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ
Örnek: 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
푓 푥 =
1
5
, 푥 ∈ { −2, −1,0,1,2 }
olsun. 푌 = 푋2 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu nedir?
푋 Ω = −2, −1,0,1,2 ve 푌 Ω = 0,1,4
퐹(푦) =
푥:푥2=푦
푓 푥 , 푦 ∈ 푌(Ω)
푓(0) =
1
5
, 푓(1) =
2
5
, 푓(4) =
2
5
dır.

8. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ
 푔: 퐴 → 푹 ve 푋(Ω) ⊂ 퐴 ve sürekli 푋 rasgele değişkeninin değer kümesi 푋 Ω olmak üzere, 푌 = 푔(푋)
rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,
퐹푌 푦 = 푃 푌 ≤ 푦 = 푃 푔 푥 ≤ 푦 , −∞ < 푦 < ∞
olacaktır.
Örnek: 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
푓 푥 =
1
3
, −1 ≤ 푥 ≤ 2
0 , 푑. 푦.
olsun.
Bu durumda 푔 푥 = 2푥 + 2, 푥 ∈ 푹 olmak üzere 푍 = 푔(푋) rasgele değişkeninin dağılım
fonksiyonu:

9. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ
퐹푍 푧 = 푃 푍 ≤ 푧 = 푃 2푋 + 2 ≤ 푧 = 푃 푋 ≤
푧 − 2
2
FZ(z) =
0 ,
푧 − 2
2
< −1
푧−2
2
−1
1
3
푑푥 , −1 ≤
푧 − 2
2
< 2
1 ,
푧 − 2
2
≥ 2
푃 푋 ≤ 푥 = FX(x) =
0 , 푥 < −1
푥
1
3
−1
푑푥 , −1 ≤ 푥 < 2
1 , 푥 ≥ 2

10. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ
Sonuç olarak 푔 푥 = 2푥 + 2, 푥 ∈ 푹 olmak üzere 푍 = 푔(푋) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
퐹푍(푧) =
0 , 푧 < 0
푧−2
2
−1
1
3
푑푥 , 0 ≤ 푧 < 6
1 , 푧 ≥ 6
퐹푍 푧 =
0 , 푧 < 0
푧
6
, 0 ≤ 푧 < 6
1 , 푧 ≥ 6
şeklinde elde edilir.
푓푍 푧 =
1
6
, 0 < 푧 < 6
0 , 푑. 푦.

11. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ
Tanım: Bir dönüşümün olasılık dağılımının bulunmasında olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğrudan
belirlenmesi yöntemine olasılık (yoğunluk) fonksiyonu (ters dönüşüm) yöntemi denir.
푏
푓 푥 푑푥 = 1 olsun,
 Sürekli 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu 푓 ve 푎
푔 ∶ 푎, 푏 → 푐, 푑 ⊂ 푹
fonksiyonu artan veya azalan sürekli bir fonksiyon ve 푔−1 türevlenebilir ise 푌 = 푔(푋) rasgele
değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
푓푌 푦 =
푓[푔−1 푦 ]
푑푔−1 푦
푑푦
, 푐 < 푦 < 푑
0 , 푑. 푦.
dır.

12. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ
Örnek: : 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
푓 푥 =
1
3
, −1 ≤ 푥 ≤ 2
0 , 푑. 푦.
olsun.
푌 = 푋2 rasgele değişkenin tanım kümesi, (푎, 푏) = (−1,2) olmak üzere 푥 ∈ (−1,2) için y ∈ (0,4) dır.
푔1 ∶ −1,0 → 0,1
푥 → 푔1 푥 = 푥2
−1 ∶ 0,1 → −1,0
푔1
−1 푦 = − 푦
푦 → 푔1
푔2 ∶ 0,1 → 0,1
푥 → 푔2 푥 = 푥2
−1 ∶ 0,1 → 0,1
푔2
−1 푦 = 푦
푦 → 푔2
푔3 ∶ 1,2 → 1,4
푥 → 푔3 푥 = 푥2
−1 ∶ 1,4 → 1,2
푔3
−1 푦 = 푦
푦 → 푔3

13. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ
Buradan,
푓푌 푦 =
−1 푦 ]
푓[푔1
−1 푦
푑푦
푑푔1
−1 푦 ]
+ 푓[푔2
−1 푦
푑푦
푑푔2
, 0 < 푦 < 1
−1 푦
푓 푔3
−1 푦
푑푦
푑푔3
, 1 < 푦 < 4
0 , 푑. 푦.
푓푌 푦 =
1
3
−
1
2 푦
+
1
3
1
2 푦
, 0 < 푦 < 1
1
3
1
2 푦
, 1 < 푦 < 4
0 , 푑. 푦.
푓푌 푦 =
1
3 푦
, 0 < 푦 < 1
1
6 푦
, 1 < 푦 < 4
0 , 푑. 푦.

14. MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONU
Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. ℎ > 0 olmak üzere 푡 < ℎ aralığındaki her değeri alan t için 푒푡푋 in
beklenen değeri X in moment çıkaran fonksiyonu olarak tanımlanır.
푋 kesikli bir rasgele değişken ise, 푋 sürekli bir rasgele değişken ise,
푀푋 푡 = 퐸 푒푡푋 =
푥
푒푡푋푓(푥) 푀푋 푡 = 퐸 푒푡푋 =
+∞
−∞
푒푡푋푓 푥 푑푥
Moment çıkaran fonksiyonun bazı özellikleri,
a) 푀푋+푎 푡 = 퐸 푒푡 푋+푎 = 푒푎푡푀푋 푡
b) 푀푏푋 푡 = 퐸 푒푡푏푋 = 푀푋(푏푡)
c) 푀푋1+푋2 푡 = 퐸 푒푡(푋1+푋2) = 퐸 푒푡푋1 퐸 푒푡푋2 = 푀푋1 (푡)푀푋2 (푡)

15. ALIŞTIRMALAR
1) 푋1, 푋2, … 푋푛 Bernoulli dağılımına sahip bağımsız rasgele değişkenler olsun.
푌 =
푛
푖=1
푋푖
rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir?
 Bernoulli dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri,
푓 푥 = 푝푥 1 − 푝 1−푥, 푥 = 0,1
퐸 푋 = 푝 , 푉 푋 = 푝푞, 푀푋 (푡) = (푞 + 푝푒푡)

16. ALIŞTIRMALAR
푌 rasgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu
푀푌 푡 = 퐸 푒푡푌 = 퐸 푒푡(푋1+푋2+⋯+푋푛)
= 퐸 푒푡푋1 퐸 푒푡푋2 … 퐸 푒푡푋푛
= 푀푋1 푡 푀푋2 푡 … 푀푋푛 t
= 푞 + 푝푒푡 푞 + 푝푒푡 … 푞 + 푝푒푡
푀푌 (푦) = 푞 + 푝푒푡 푛
 Binom dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri,
푓 푥 =
푛
푥
푝푥푞푛−푥 , 푥 = 0,1,2, … , 푛
퐸 푋 = 푛푝 , 푉 푋 = 푛푝푞, 푀푋 (푡) = 푞 + 푝푒푡 푛

17. ALIŞTIRMALAR
2) 푋1, 푋2, … 푋푛 üstel dağılıma sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere,
푌 = min{푋1, 푋2, … 푋푛}
rasgele değişkeninin olasılık dağılımı nedir?
 Üstel dağılıma sahip 푋 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ve bazı sayısal
karakteristikleri:
푓 푥 =
휆푒−휆푥 , 푥 > 0
0 , 푑. 푦.
퐹 푥 = 1 − 푒−휆푥, 푥 ≥ 0
0 , 푥 < 0
퐸 푋 =
1
휆
, 푉 푋 =
1
휆2 , 푀ç 푡 = 1 −
푡
휆
−1
dır.

18. ALIŞTIRMALAR
İlk olarak,
퐹푌 푦 = 푃 푌 ≤ 푦
= 푃 min 푋1, 푋2, … 푋푛 ≤ 푦
= 1 − 푃 푋1, 푋2, … 푋푛 > 푦
= 1 − 푃 푋1 > 푦, 푋2 > 푦, … , 푋푛 > 푦
푃 푌 ≤ 푦 = 1 − 푃 푋1 > 푦 푃 푋2 > 푦 … 푃 푋푛 > 푦
elde edilir.
푃 푋 ≤ 푥 = 1 − 푒−휆푥 → 푃 푋 > 푥 = 푒−휆푥
퐹푦 = 1 − (푒−휆1푦푒−휆2푦 … 푒−휆푛푦 푌 )
푛 퐹푌 푦 = 1 − 푒− 푖=1
휆푖푦
푛 휆푖 ) parametreli üstel dağılıma sahip olduğu görülmektedir.
Buradan, 푌 rasgele değişkeninin ( 푖=1

19. ALIŞTIRMALAR
3. 푋1, 푋2, … 푋푛 normal dağılıma sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere,
푍 =
푋 − 휇
휎
rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir?
1
2
푔: −∞, ∞ → −∞, ∞
푥 → 푔 푥 =
푋 − 휇
휎
푔−1: −∞, ∞ → −∞, ∞
푧 → 푔−1 푧 = 휎푧 + 휇
Normal dağılıma sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
푓 푥 =
1
휎 2휋
푒−
푥−휇
휎
2
, −∞ < 푥, 휇 < +∞ , 휎 > 0 퐸 푋 = 휇 푉 푋 = 휎2

20. ALIŞTIRMALAR
푓 푧 = 푓 푔−1 푧
푑푔−1 푧
푑푧
, 푧 ∈ 푅
푓 푧 =
1
휎 2휋
1
2
푒−
푧휎+휇−휇
휎
2
휎
푓(푧) =
1
2휋
푧2
2 , 푧 ∈ 푅
푒−
Buradan rasgele değişkenin (휇 = 0, 휎 = 1) parametreli (standart) normal dağılıma sahip olduğu
görülmektedir.

21. ALIŞTIRMALAR
4) 푋1, 푋2 sırasıyla 푛1, 푛2 serbestlik dereceli ki kare dağılımına sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak
üzere,
Y =
푋1/푛1
푋2/푛2
rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir?
 푛1 serbestlik dereceli ki kare dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ve
bazı sayısal karakteristikleri,
푓 푥 =
1
푛
2 Γ
2
푛
2
푥
푛
2−1 푒−
푥
2 , 푥 > 0
푛
2 ; 2푡 < 1
퐸 푋 = 푛 , 푉 푋 = 2푛 , 푀ç 푡 = 1 − 2푡 −
dır.

22. ALIŞTIRMALAR
İlk olarak, 푋1 ve 푋2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları
푓푋1,푋2 푥1, 푥2 =
1
푛1
2 Γ
2
푛1
2
푛1
2
푥1
−1
푥1
2
푒−
1
푛2
2 Γ
2
푛2
2
푛2
2
푥2
−1
푥2
2 , 푥1 > 0, 푥2 > 0
푒−
şeklinde elde edilir.
푔1 푦1, 푦2 = 푌1 =
푋1/푛1
푋2/푛2
−1 푦1, 푦2 =
ve 푌2 = 푋2, 푔1
푛1푌1푌2
푛2
−1 푦1, 푦2 = 푌2
푔2 푦1, 푦2 = 푌2 = 푋2 ve 푔2

23. ALIŞTIRMALAR
Ters dönüşüm fonksiyonu,
Jakobien matrisi,
퐽 =
휕푔−1
1
휕푦1
휕푔2
−1
휕푦1
−1 푦1,푦2 , 푔2
휕푔−1
1
휕푦2
휕푔2
−1
휕푦2
=
푛1푌2
푛2
0
푛1푌1
푛2
1
=
푛1푌2
푛2
푓푌1,푌2 푦1, 푦2 = 푓푋1,푋2 푔1
−1 푦1,푦2 퐽 , 푦1, 푦2 > 0
dır.
푓푌1,푌2 푦1, 푦2 =
1
푛1
2 Γ
2
푛1
2
푛1푦1푦2
푛2
푛1
2
−1
푒
−
푛1푦1푦2
2푛2
1
푛2
2 Γ
2
푛2
2
푦2
푛2
2 −1 푒−
푦2
2
푛1푦2
푛2

24. ALIŞTIRMALAR
푌1 rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
푓푌1 푦1 =
∞
푦2=0
푓푌1,푌2 푦1, 푦2 푑푦2
푓푌1 푦1 =
∞
푦2=0
1
2
푛1
2 Γ
n1
2
푛1푦1푦2
푛2
푛1
2
−1
푒− 푛1푦1푦2/2푛2
1
푛2
2 Γ
2
푛2
2
푦2
2
푒−
푛1푦2
푛2
푑푦2
푓푌1 푦1 =
Γ
푛1 + 푛2
2
푛1
푛2
푛1
2
푛1
2
푦1
−1
Γ
푛1
2 Γ
푛2
2
푛1
푛2
푦1 + 1
푛1+푛2
2
, 푦1 > 0
Sonuç olarak, 푌1 rastgele değişkeninin (푛1, 푛2) parametreleriyle F dağılımına sahip olduğu görülmektedir.

25. 푣 = 1
훼 = 훽 = 1
푋푖
2
푋1
푋2
1
푋
푣 → ∞
푋2
푋1/푣1
푋2/푣2 푣1푋
푣2 → ∞
Beta-binom
(푛, 훼, 훽) Hipergeometrik
−휆 푙표푔푋
푋1/훽
훽 = 1
푒−푋/휆
훼 =
훽 = 2
휆 = 2
푣
2
푣 = 2
푋푖
훼 = 훽 = 1
푋1
푋1 + 푋2
휇 = 훼훽
휎2= 훼훽2
훼 → ∞
푋 − 휇
휎
ln 푋
푒푋
훼 = 훽 → ∞
휇 = 푛푝
휎2= 푛푝 1 − 푝
푛 → ∞
푛 = 1
Negatif Binom
(푛, 푝)
Poisson (휆) Binom (푛, 푝)
(푀, 푛, 퐾)
Normal
(휇, 휎) Beta (훼, 훽)
Lognormal
Normal
(0,1) Gamma
(훼, 훽)
Düzgün (sürekli)
Cauchy
Student - 푡 (푣)
F (푣1, 푣2)
Ki-kare 푣
Üstel (휆) Weibull (훼, 훽)
푚푖푛 푋푖
푚푖푛 푋푖
푛 = 1
푋푖
휆 = 푛 1 − 푝
푛 → ∞
휆 = 푛푝
푛 → ∞
푋푖
휆 = 휎2
휆 → ∞
푋푖
푋푖
푝 =
훼
훼 + 훽
훼 + 훽 → ∞
푝 =
푀
푁
, 푛 = 푘
푁 → ∞
푋푖
휇 + 휎푋
Bernoulli (푝)
Kesikli
düzgün
Geometrik
(푝)

26. KAYNAKLAR
1. AKDENİZ. F. ,Olasılık ve İstatistik, Nobel Kitapevi, ADANA 2010
2. NASIROVA. T. KHANİYEV. T. , YAPAR. C. , ÜNVER. İ. , KÜÇÜK. Z. , Olasılık, Karadeniz Teknik Üniversitesi
Matbaası, TRABZON-2009
3. http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/Dersler/
4. http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/
5. http://tr.wikipedia.org/

27. Teşekkürler…