Bài toán cực trị điện xoay chiều

1. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐXC
DẠNG 1. HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG ĐIỆN
1.Phương pháp chung:
<=>
L 
1
 LC 2  1
C
U
U U
+ Cường độ dòng điện trong mạch cực đại: Imax =
  R
Zmin R R
U2
+ Điện áp hiệu dụng: U L  UC  UR  U ; P= PMAX =
R
1. Cộng hưởng điện: Điều kiện: ZL = ZC
+ Điện áp và cường độ dòng điện cùng pha ( tức φ = 0 )
+ Hệ số công suất cực đại: cosφ = 1.
2. Ứng dụng: tìm L, C, tìm f khi có Cộng hưởng điện:
+ số chỉ ampe kế cực đại, hay cường độ dòng điện hiệu dụng đạt giá trị lớn nhất
+ cường độ dòng điện và điện áp cùng pha, điện áp hiệu dụng: U L  UC  UR  U ;
+ hệ số công suất cực đại, công suất cực đại....
I. Bài tập có lời giải
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. uAB = 200 2 cos100t (V). R =100  ; L 
1

C là tụ điện biến đổi ; RV . Tìm C để vôn kế V có số chỉ lớn nhất. R
Tính Vmax? C
L
A
H;
B
V
Giải: Số chỉ của Vôn Kế (V) là giá trị điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch chứa R
và L.
2
Ta có: UV= I .Z RL  R2  Z L .
U
R  ( Z L  ZC )
2
2
.Do R, L không đổi và U xác định =>
UV=UVmax=> cộng hưởng điện, nên ZL=ZC => C=
1
L 2
=
1
1
(100)2

=
104

F.
Ví dụ 2: Cho mạch điện không phân nhánh gồm R = 40, cuộn dây có r = 20 và L =
0,0636H, tụ điện có điện dung thay đổi. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay
chiều có f = 50Hz và U = 120V. Điều chỉnh C để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây đạt
giá trị cực đại, giá trị đó bằng:
Giải . Ta có: ZL  2 f .L  2 .50.0,0636  20 .
Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây: Ud = I.Zd . Vì Zd không phụ thuộc vào sự thay đổi
của C nên Ud đạt giá trị cực đại khi I = Imax. Suy ra trong mạch phải có cộng hưởng điện.
Lúc đó:
U
120
2
I max 

 2 (A) ; Zd  r 2  ZL  202  202  20 2 .
R  r 40  20
- 1 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

2. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
 U d max  I .Zd  2.20 2  40 2  56,57 (V).
Ví dụ 3: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Biết R = 50, L 
1

H. Đặt vào hai
đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  220 2 cos100 t (V). Biết tụ điện C có thể
thay đổi được.
L C
R
a. Định C để điện áp đồng pha với cường độ dòng điện. A
B
b. Viết biểu thức dòng điện qua mạch.
Bài giải:
a. Để u và i đồng pha:   0 thì trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện.
1
1
1
104
;
F
C  2 

 ZL = ZC   L 
C
 L 100 2 . 1

b.
Do
trong
mạch xảy ra
U
U 220 2
 Io  o  o 
 4,4 2 (A)
Zmin R
50
cộng
hưởng
Pha ban đầu của dòng điện: i  u    0  0  0 .

điện
nên
Zmin
=
R
Vậy i  4,4 2 cos100 t (A)
Ví dụ 4: (ĐH-2009): Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120V, tần số 50 Hz vào
hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 , cuộn cảm thuần có độ tự cảm
0, 4
(H) và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện

áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng
U .ZL U .ZL

 120.40/30=160V (cộng hưởng điện).
ZMIN
R
2
Ví dụ 5: Một mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh có R=100  , L= H, tụ

Giải: ZL  40 ;U LMAX  I MAX .ZL 
điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều

u AB  200 2 cos(100t  ) . Giá trị của C và công suất tiêu thụ của mạch khi điện áp giữa
4
hai đầu R cùng pha với điện áp hai đầu đoạn mạch nhận cặp giá trị nào sau đây:
L C
R
A
B
Giải: Ta thấy khi uR cùng pha với uAB nghĩa là uAB cùng pha với cường độ dòng điện i.
Vậy trong mạch xảy ra cộng hưởng điện: ZL=ZC
C=
=>
C
1
Z L
. Với ZL=L  = 200  =>
104
F
2
U 2 200 2
Lúc này công suất P=Pmax=

 400 W
R 100
- 2 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

3. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
2
Ví dụ 6: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Biết R = 200, L 

H, C 
104

F.
Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều
u  100cos100 t (V).
a. Tính số chỉ của ampe kế.
b. Khi R, L, C không đổi để số chỉ của ampe kế lớn nhất, thì
tần số dòng điện phải bằng bao nhiêu? Tính số chỉ ampe kế
lúc đó. (Biết rằng dây nối và dụng cụ đo không làm ảnh hưởng đến mạch điện).
Bài giải:
2
1
a. Cảm kháng: ZL   L  100 .  200 ; Dung kháng: ZC  1 
 100

104
C
100 .

Tổng trở của mạch: Z  R2   ZL  ZC   2002   200  100  100 5
2
2
I
1
Uo
100
1
(A) ;Số chỉ của ampe kế : I A  I  o 
 0,32 (A)


Z 100 5
2
5. 2
5
U
b. Ta có: I 
; Để số chỉ của ampe kế cực đại IAmax thì Zmin  ZL  ZC  0
2
R2   ZL  ZC 
1
1
1
 ZL  ZC (cộng hưởng điện);  2 f .L 
f

 35,35 Hz
4
2 f .C
2 LC
2 10
Ta có : I o 
2
Số chỉ ampe kế cực đại: IAmax = I max 
.
 
U U
100
 
 0,35 (A)
Zmin R
2.200
Dạng 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI CỦA ĐIỆN ÁP HIỆU DỤNG KHI THAY ĐỔI
L(HOẶC C, HOẶC f ) MÀ KHÔNG LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG HƯỞNG.
1. Phương pháp giải chung:
 Tìm L để ULmax:
R
A
C
L
V
 Phương pháp dùng công cụ đạo hàm:
 Lập biểu thức dưới dạng: U L  IZL 
UZL
R2   ZL  ZC 
B
2
U
U

1
1
 R2  ZC2  Z 2  2ZC Z  1 y
L
L
 Để ULmax thì ymin.
 Dùng công cụ đạo hàm khảo sát trực tiếp hàm số:
2
y   R2  ZC 
1
2
ZL
 2ZC
 Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
- 3 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
1
ZL
1

4. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
U L  IZL 
 Lập biểu thức dưới dạng:

2
 Đặt y  R2  ZC
1
Z
2
 2ZC
L
Với x 
1
ZL
1
ZL
2
, a  R2  ZC ,
UZL
R2   ZL  ZC 
U
U

 R2  ZC2  Z12  2ZC Z1  1 y
L
L
2
 1  ax2  bx  1
b  2ZC
2
2
   4ZC  4  R2  ZC   4R2
 ULmax khi ymin. Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi x  
ZL 
b
(vì a > 0) hay
2a
2
2
R 2 + ZC
U

R2
R2  ZC
, ymin    2
.=> U L max 
=> ULmax = U
2
R
4a R  ZC
ZC
ymin
 Phương pháp giản đồ Fre-nen:
 Từ giản đồ Fre-nen, ta có:
 U  U R  U L  UC
Đặt U1  U R  UC ,
UL
2
với U1  IZ1  I R2  ZC .
 Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:
UL
U
U sin 


 UL 
sin  sin 
sin 
 Vì U không đổi

U

UR
R

 const
2
2
U1
R  ZC
UC
nên UL = ULmax khi sin  đạt cực đại hay sin  = 1.
 và sin  
UR
U1
I

2
U R2  ZC
 Khi đó U L max 
R

U U
Z Z
 Khi sin  =1    , ta có: co  1  C => 1  C
U L U1
ZL Z1
2
=> Z L =
2
2
R 2 + ZC
R 2 + ZC
L=
=>
ZC
ωZ C
Chú ý: Nếu tìm điện áp cực đại ở hai đầu cuộn dây có điện trở thuần r thì lập biểu thức
Ud 
U
và dùng đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm ymin , Udmax và giá trị của L.
y
C
L
R
A
 Tìm C để UCmax:
 Lập biểu thức dưới dạng:
- 4 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
V
B

5. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
UZC
UC  IZC 
U
R2   ZL  ZC 
R
2
2
2
 ZL 
1
2
ZC
 2ZL
1
ZC

1
U
y
 Tương tự như trên, dùng ba phương pháp: đạo hàm, tam thức bậc hai, và giản đồ
Fre-nen để giải.
 Ta có kết quả: UCmax
R2 + Z2
L
=U
R
2
R 2 + ZL
Z ω
=> Z C =
=> C = 2 L 2
ZL
R + ZL
 Chú ý: Nếu tìm điện áp cực đại ở hai đầu đoạn mạch nhỏ gồm R nối tiếp C thì lập
biểu thức U RC 
U
và dùng đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm ymin.
y
 Xác định giá trị cực đại ULmax, và UCmax khi tần số f thay đổi:
 Lập biểu thức điện áp hiệu dụng 2 đầu cuộn dây UL:
UZL
U L  IZL 
U

U
y

2
1
1 
L 1
1 

. 4   R2  2  2 2  1
R  L 
2 2
LC  
C  L
C 


2L  1
1
1

2
Đặt a  2 2 , b   R2 
 2 , c  1 , x  2  y  ax  bx  c
LC

C L

 Lập biểu thức điện áp hiệu dụng 2 đầu tụ điện UC:
2
U
U C  IZC 
U


U
y
2
2L
1 

L2C 2 4  C 2  R2   2  1
C R    L 


C 


C 

2L 

2
2
Đặt a  L2C 2 , b  C 2  R2 
 , c  1 , x    y  ax  bx  c
C 

 Dùng tam thức bậc hai của ẩn phụ x để tìm giá trị cực tiểu của y, cuối cùng có
chung kết quả:
2 LU
U L max  U C max 
R 4LC  R2C 2
2
OL =
1
2
C 2 L - R2
C
Và OC =
1
L
2
L 2
-R
C
2
(với điều kiện 2
L
 R2 )
C
 Các trường hợp linh hoạt sử dụng các công thức hoặc vẽ giản đồ Fre-nen để giải
toán.
2. Bài tập về xác định giá trị cực đại Umax khi thay đổi L, hoặc C, hoặc f.
I. Bài tập có lời giải
Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ. Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức
u  200cos100 t (V). Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100,
- 5 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

6. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
tụ điện có điện dung C 
10
4
(F). Xác định L sao cho

C
R
A
M
L
B
V
điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của
mạch điện khi đó.
1
Bài giải: Dung kháng: Z  1 
 100
C
C
100 .
104
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
Ta có:
U ABZL
U MB  IZL 

U AB
R2   ZL  ZC 
R
2
2
2
 ZC 
1
2
ZL
 2ZC
1
ZL

1
U AB
y
U
1
1
1
2
2
 1   R2  ZC  x2  2ZC .x  1 (với x 
với y   R2  ZC  2  2ZC
)
ZL
ZL
ZL
ymin
U L max 


2
Khảo sát hàm số y:Ta có: y '  2 R2  ZC x  2ZC


2
. y '  0  2 R2  ZC x  2ZC  0  x 
ZC
2
R  ZC
2
Bảng biến thiên:
2
R2  ZC 1002  1002
 ZL 

 200

ymin khi x  2
hay
2
2
ZC
100
R  ZC
ZL R2  ZC
Z
200 2
R
100
2
 L L 
 H ; Hệ số cos 


2
2
 100 
2
1002   200  100
R2   ZL  ZC 
ZC
1
ZC
Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai
U ABZL
U AB
U
Ta có: U  IZ 
 AB
MB
L
2
y
R2   ZL  ZC   R2  Z 2  1  2Z 1  1
C
C
2
ZL
ZL
1
1
1
2
2
 1  ax2  bx  1 Với x 
Đặt y  R2  ZC 2  2ZC
; a  R2  ZC ; b  2ZC

Z
L
ZL
ZL
2
UMBmax khi ymin: Vì a  R2  ZC > 0 nên tam thức bậc hai đạt cực tiểu khi x  
b
2a
2
R2  ZC 1002  1002
Z 200 2
1
2ZC
ZC
 ZL 

 200 ;  L  L 
 H

 2
hay
2
2
2
ZC
100
 100 
ZL
2  R  ZC  R  ZC
- 6 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

7. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
Hệ số công
suất: cos 
R
100


2
2
R2   ZL  ZC  1002   200  100
Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Fre-nen.
U  U R  UC  U L
2
2
UL
P
Đặt U1  U R  UC
U
U C IZC ZC 100
Ta có:
tan 1 



1

U R IR R 100
O 1
UR

 1  rad
4


U1 
Vì   1      1
2
2
UC
Q
  
     rad
2 4 4
Xét tam giác OPQ và đặt     1 .
U
U
U
 L  UL 
sin 
Theo định lý hàm số sin, ta có:
sin  sin 
sin 

Vì U và sin không đổi nên ULmax khi sin cực đại hay sin = 1   
2
  

2
Vì     1      1    rad. Hệ số công suất: cos  cos 
2 4 4
4
2
ZL 200 2
ZL  ZC


Mặt khác tan  
 1  ZL  ZC  R  100  100  200  L 
 100 
R
I
Ví dụ 2 : Mạch điện như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 0,318H, R =
100, tụ C là tụ xoay. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có biểu thức
u  200 2 cos100 t (V).
a. Tìm C để điện áp giữa hai đầu bản tụ đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại đó.
b. Tìm C để điện áp hai đầu MB đạt cực đại, tính giá trị cực đại đó.
Bài giải:
V’
a. Tính C để UCmax.
L
R
N C
B
Cảm kháng : ZL   L  100 .0,318  100
A
M
Cách 1: Phương pháp đạo hàm:
V
Ta có: UC  IZC 

2
Đặt y  R2  ZL
UZC
R2   ZL  ZC 
1
Z
2
C
 2ZL
1
ZC
2

U
R
2
2
 ZL 
1
2
ZC
 2ZL
1
ZC

1
U
y
2
 1   R2  ZL  x2  2 x.ZL  1 (với x 
1
ZC
)
- 7 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

8. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
UCmax khi ymin.
2
Khảo sát hàm số: y  R2  ZL x2  2x.ZL  1


2
 y '  2  R2  ZL  x  2ZL
2
y'  0  2  R2  ZL  x  2ZL  0  x 
ZL
2
R  ZL
2
Bảng biến thiên:
 ymin khi x 
ZL
hay
1

ZL
2
R  ZL
ZC R  ZL
2
R2  ZL 1002  1002
 ZC 

 200
ZL
100
2
C 
2
1
 ZC

2
1
5.105

F
100 .200

2
U R2  ZL 200 1002  1002
UC max 

 200 2 (V)
R
100
Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai.
UZC
Ta có: UC  IZC 

R2   ZL  ZC 
 Z1
2

U
R
2
2
 ZL 
1
2
ZC
 2ZL

1
ZC
1
U
y
1
1
2
 1  ax2  bx  1 (với x 
; a  R2  ZL ; b  2ZL )
ZC
ZC
b
UCmax khi ymin. Vì hàm số y có hệ số góc a > 0, nên y đạt cực tiểu khi: x  
2a
2
2
2
2
R  ZL 100  100
1
Z
 ZC 

 200
hay
 2 L 2
ZL
100
ZC R  ZL
2
Đặt y  R2  ZL
C 
2
C
 2ZL
1
1
104


(F).
 ZC 100 .200 2
UL
U1
2
U R2  ZL 200 1002  1002
UC max 

 200 2 V
R
100
Cách 3: Phương pháp dùng giản đồ Fre-nen.
Ta có: U  U L  U R  U C
Áp dụng định lý hàm số sin, ta có:
U
U
U
 C  UC 
sin 
sin  sin 
sin 
O

P

UR
I
U
UC
- 8 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Q

9. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
UR
R

không đổi nên UCmax khi sin cực đại hay sin = 1. Khi
2
U1
R2  ZL

sin   1   
2
U
U
Z
Z
 cos  L  1  L  1
U1 U C
Z1 ZC
2
Z12 R2  ZL 1002  1002
 ZC 


 200
ZL
ZL
100
1
1
5.105
C 


F
 ZC 100 .200

Vì U và sin  
2
U R2  ZL 200 1002  1002
UC max 

 200 2 (V)
R
100
b. Tìm C để UMbmax. UMBmax = ?
UZMB
U
U


2
2
2
y
R2  ZL  2ZLZC  ZC
ZL  2ZLZC
1
2
R2  ZC
2
2
ZL  2ZLZC
ZL  2ZL x
1 
 1 (với x = ZC)
Đặt y 
2
R2  ZC
R2  x2
Lập biểu thức: U MB  IZMB 
UMBmax khi ymin:
Khảo sát hàm số y: y ' 
2ZL  x2  x.ZL  R2 
R
2
x
Giải phương trình (*)  x  ZC 

2 2
Ta có: y '  0  x2  xZL  R2  0 (*)
2
ZL  ZL  4R2
(x lấy giá trị dương).
2
1002  1002  4.1002
 ZC 
 50 1  5  162
2
Lập bảng biến thiên:


2
ZL  ZL  4R2
1
4

 0,197.10 F;Thay x  ZC 
 điện dung C 
vào biểu
2
 ZC 100 .162
thức y
1
- 9 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

10. ĐT: 0972822284
LETIENDUONG28@GMAIL.COM
 ymin 
2
4R

2
2
4R2  2ZL  2ZL ZL  4R2



2

4R

100  4.100 
 324 (V)
2
ZL  4R  ZL
2
2
2
2
U ZL  ZL  4 R2
200 100 
U
U MB max 


2R
2.100
ymin
2
Ví dụ 3 : Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một
điện áp u AB  100 3 cos t (V) (  thay đổi được). Khi   1 thì UR =100V;
1
U C  50 2 V; P = 50 6 W. Cho L  H và UL > UC. Tính UL và chứng tỏ đó là giá trị

cực đại của UL.
2
2
Bài giải:Ta có: U 2  U R  U L  U C 
A



2
C
L
R

B
2
Thay các giá trị của U, UR, UC ta được: 50 6  1002  U L  50 2  U L  100 2 (V)
(1)
Công suất tiêu thụ toàn mạch: P  UI cos  UI (vì   0 )  I 
P 50 6

 1A
U 50 6
U R 100

 100
I
1
Z 100 2
U 100 2
 100 2 rad/s
ZL  L 
 100 2  1  L 
1
L
I
1

1
1
104
UC 50 2


F
ZC 

 50 2  C 
1ZC 100 2.50 2

I
1
 R
Ta có:
U L  IZL 
U L
R2    L 


1 
C 

2

U
L 1

  R2  2  2 2  1
LC 
C  L

1
2
2

U
y
4
L 1
L 1
1
1


  R2  2  2 2  1  ax2  bx  1.Với x  2 ; a  2 2 ; b   R2  2  2
LC

C  L
CL


b
ULmax khi ymin. Tam thức bậc hai y đạt cực tiểu khi x  
(vì a > 0).
2a
4 
 R2
2
4 1
  b  4ac  R  4  3   ymin    2 4LC  R2C 2
4a 4L
 L LC 
Đặt y 
1
L C 2 4
2


- 10 – Trên con đường của thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng