2. Oblicz sumę 1+3+5+ . . . +(2n − 1).
Widzimy, że dla n = 1 ostatnim składnikiem
powyższej sumy jest 1 (2n − 1 = 1), czyli suma
składa się tylko z jednego składnika: 1. Jeśli
wprowadzimy oznaczenie
Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1),
to możemy napisać: S1 = 1.
Widać, że S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9.
Można policzyć, że S4 = 16, S5 = 25, a nawet S6
= 36. Widzimy już, że powinno być Sn = n2.
3. Czy można to jakoś uzasadnić?
Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne
Sn.
Na przykład, jeśli mamy już
S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36,
to S7 nie będziemy liczyli od początku, tylko
wykorzystamy oczywistą zależność
S7 = S6 + 13 = 36 + 13 = 49.
Podobnie S8 = S7 + 15 = 49 + 15 = 64 i tak dalej.
Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do Sn, żeby
otrzymać Sn+1.
Otóż
S = S6 + (2 · 7 − 1) = 62+ 2 · 6 + 1 = (6 + 1)2= 72
oraz S8 = S7 + (2 · 8 − 1) = 72+ 2 · 7 + 1 = (7 + 1)2= 82
4. I tu dopiero mamy pewność, że można to
ciągnąć dalej i zawsze będzie Sn = n2. Nasza
pewność bierze się stąd, że jeśli Sn = n2, to
Sn+1 = Sn +(2 ·(n + 1) −1) = n2+ 2n +1 = (n + 1)2.
Ten ostatni rachunek pokazuje, że dla każdego n
zachodzi implikacja: Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n + 1)2.
Oznacza to, że prawdziwe są następujące
implikacje: S1 =12 ⇒ S2 =22, S2 =22 ⇒ S3 =32,
S3 =32 ⇒ S4 =42, … Jeśli zatem sprawdzimy, że
S1 = 12, to z tego będzie wynikała równość
S2 = 22, a z tego z kolei będzie wynikało, że S3 =
32, i tak dalej dla kolejnych liczb naturalnych.
5. Podsumujmy nasze obserwacje.
Jeśli chcemy udowodnić równość Sn = n2
dla dowolnego naturalnego n > 1, to
wystarczy sprawdzić dwie rzeczy :
(I) S1 = 12.
(II) Dla każdego naturalnego n > 1
zachodzi implikacja
Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n + 1)2.
6. Co to jest indukcja matematyczna?
Indukcja matematyczna, zwana
też indukcją zupełną, jest metodą dowodzenia
twierdzeń o liczbach naturalnych.
Niech T(n) oznacza formę zdaniową
zmiennej n określoną
w dziedzinie . Jeśli w miejsce n podstawimy
dowolną liczbę naturalną,
to T(n) stanie się zdaniem prawdziwym albo
fałszywym, zależnie od
wartości n.
7. Jeżeli, na przykład, T(n) oznacza
wypowiedź "n jest podzielne przez 3",
to T(6) jest zdaniem prawdziwym,
natomiast T(7) jest zdaniem fałszywym.
Jeżeli T(n) oznacza nierówność n < n2,
to T(n) jest zdaniem prawdziwym dla
każdej liczby naturalnej większej od 1,
natomiast zdanie T(1) jest fałszywe.
8. Zasada indukcji matematycznej
Jeżeli:
1.istnieje taka liczba naturalna n0, że T(n0)
jest zdaniem prawdziwym,
2.dla każdej liczby naturalnej
n≥n0 prawdziwa jest
implikacja T(n)⇒T(n + 1),
to T(n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej
liczby naturalnej n ≥ n0.
9. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej
n≥3 spełniona jest nierówność 2n>2n
Nierówność jest tu formą zdaniową T(n), n0 = 3.
• Dla n = 3 nierówność jest prawdziwa, ponieważ 23 = 8 >
2*3 = 6.
T(3) jest więc zdaniem prawdziwym.
≥
2. Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla liczby
naturalnej n ≥ 3. Mnożąc tę nierówność obustronnie
przez 2 dostajemy 2*2n > 2*2n, czyli 2n+1> 2n + 2n.
Ponieważ dla każdego n≥3 mamy 2n > 2, więc 2n + 2n >
2n + 2 = 2 (n + 1).
10. Stąd ostatecznie 2n+1 > 2(n + 1).
Nierówność ta oznacza prawdziwość
zdania T(n + 1). Wykazaliśmy zatem, że dla
każdej liczby naturalnej n ≥ 3 prawdziwa jest
implikacja T(n)⇒T(n + 1), gdyż z prawdziwości
jej poprzednika wynika prawdziwość następnika.
Założenia zasady indukcji matematycznej
są dla nierówności spełnione. Nierówność ta
jest prawdziwa dla każdego n ≥ 3.
11. Dowód przeprowadzony metodą indukcji
matematycznej nazywamy dowodem
indukcyjnym; składa się on z dwóch etapów:
1. sprawdzenia, że T(n0) jest prawdziwe,
2. dowodu, że dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest
prawdziwe, to T(n + 1) jest prawdziwe.
Ten drugi etap nazywamy krokiem
indukcyjnym; zakładamy w nim, że dla liczby
naturalnej n ≥ n0 zdanie T(n) jest prawdziwe i na
tej podstawie dowodzimy prawdziwości
zdania T(n + 1).
12. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1
zachodzi równość:1·2+2·3+3·4+...+n·(n +1)
=n·(n+1)·(n+2)/3
Rozwiązanie:
(I) Baza indukcji.
Dla n = 1 równość jest oczywista:1 ·2 =1·2·3/3
(II) Krok indukcyjny.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną.
Załóżmy, że dana w zadaniu równość zachodzi
dla n:
1 · 2 + . . . + n · (n + 1) =n · (n + 1) · (n + 2)/3.
13. Wówczas dla n + 1 mamy:
1 · 2 + . . . + n · (n + 1) + (n + 1) · (n + 2)=
=n · (n + 1) · (n + 2)/3+ (n + 1) · (n + 2) =
=(n + 1) · (n + 2) (n/3+ 1)=
=(n + 1) · (n + 2) · (n + 3)/3,
czyli dla n + 1 równość jest prawdziwa.
Na mocy zasady indukcji matematycznej
równość 1·2+ 2·3+ ...+n ·(n + 1) =n ·(n + 1)
·(n + 2)/3 zachodzi dla dowolnego
naturalnego n > 1.
14. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną.
Wykaż, że
liczba 22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9
Rozwiązanie:
Dla n = 0 mamy liczbę 22·0+1 +3 ·0 +7 =9, która
jest, oczywiście, podzielna przez 9.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną.
Załóżmy, że dla n twierdzenie jest prawdziwe,
czyli liczba
22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9. Wówczas
22(n+1)+1+3(n+ 1)+7=22n+3+3n+3+7=
=4·22n+1+3n+10=4·(22n+1+ 3n+ 7)−9n−18.
15. Liczby 9n i 18 są podzielne przez 9,
liczba 22n+1 + 3n + 7 też, więc liczba
22(n+1)+1 + 3(n + 1) + 7 również jest
podzielna przez 9, czyli dla n + 1
twierdzenie jest prawdziwe.
Na mocy indukcji matematycznej liczba
22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9 dla
dowolnego naturalnego n.
16. Dziękuję za uwagę
Dagmara Moskwa
Kl IIg
2011/2012r.
I LO im. Mikołaja Kopernika w Jarosławiu
