Sistemi elettromeccanici (2)

G. SUPERTI FURGA – MODELLISTICA DEI SISTEMI ELETTROMECCANICI – Gennaio 2003
CAPITOLO 2 - SISTEMI DI INDUTTORI pag. 1 di 15

CAPITOLO 2 - SISTEMI DI INDUTTORI
2.1 INDUTTORI
Gli insiemi di induttori sono un argomento particolarmente importante, ciò ne giustifica
una trattazione approfondita e di carattere quanto più generale possibile.
Consideriamo un sistema elettromeccanico costituito da un insieme di K induttori ideali
con mutui accoppiamenti e morsetti accessibili (Fig. 2.1). Per semplicità consideriamo una
unica coordinata meccanica y (la generalizzazione a più coordinate meccaniche è immediata,
come apparirà dalle formule). Salvo diverso avviso, nella trattazione generale che segue si
considera la variabile y come coordinata di posizione, posizione angolare, deformazione o
altro (ma non di velocità o velocità angolare), tale che il proprio differenziale dia luogo a
lavoro meccanico. Tale condizione è indispensabile per ottenere le espressioni generali delle
forze o delle coppie che saranno discusse in seguito.
Le due espressioni più significative di lavoro meccanico uscente sono:
a) lavoro meccanico, per uno spostamento elementare dy
dyFL ym =δ
dove Fy è la componente nella direzione e nel verso positivo di y della forza del sistema
sull'esterno;
b) lavoro meccanico, nel caso di spostamento angolare (rotazione) dθ
θ=δ θdCLm
dove Cθ è la componente nella direzione e nel verso positivo di θ della coppia del sistema
sull'esterno.
Fig. 2.1.
Va subito osservato che:
- le resistenze, necessariamente presenti in una rete, sono considerate fuori dal sistema;
- un sistema senza il termine meccanico, cioè geometricamente invariante, è chiaramente
un caso particolare della trattazione che ora sarà sviluppata.
- non si perde di generalità considerando tutti gli induttori a morsetti accessibili, che quindi
costituiscono le porte (elettriche) del sistema.
E' noto che nei sistemi di induttori si possono avere relazioni di proporzionalità fra flussi
concatenati e correnti, oppure relazioni non lineari (saturazione). Nel primo caso si parla
usualmente di induttore lineare o di sistema di induttori lineari, in cui le induttanze (o le
inertanze) costituiscono i coefficienti di proporzionalità. Va osservato che tali induttanze sono
in generale funzioni (genericamente non lineari) delle v. di s. meccaniche. Pertanto la dizione


'induttori lineari' fa riferimento solo alla proporzionalità tra flussi e correnti ed in presenza di
variabili meccaniche non implica la linearità del sistema elettromeccanico. Si noti quindi che
un sistema di induttori lineari può dare luogo a un sistema elettromeccanico non lineare, in
quanto la linearità riguarda solo i legami flussi-correnti a geometria congelata.
L'ordine del sistema elettrico è K. Le v. di s. elettriche possono essere l'insieme delle
correnti, l'insieme dei flussi concatenati, oppure, più di rado, un insieme misto di flussi e
correnti (purché si ottenga un numero di variabili indipendenti pari all'ordine della parte
elettrica del sistema).
Le relazioni saranno indicate sia in forma matriciale, sia esplicitate nei componenti scalari.
Se nel sistema si considera anche una equazione differenziale meccanica nella variabile y,
l’ordine del sistema elettromeccanico diviene N=K+1. La derivata
dt
dy
prende il nome di
velocità generalizzata.
2.2 FLUSSI CONCATENATI COME VARIABILI DI STATO ELETTRICHE
Il sistema può essere sviluppato assumendo i flussi concatenati come v. di s. elettriche. Le
correnti sono le funzioni di stato:
i i=
=
( , )
( ,.., , )
ψ y
i i yk k Kψ ψ1
k=1,..,K (2.1)
Nel caso lineare:
i L L= =
=
− −
∑
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
y y y y
i yk khh h
ψ Γ ψ Γ=
Γ ψ
k=1,..,K (2.2)
Differenziando
dy
y
y
dydy
y
y
d
y
d d
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
),(
),(
),(),( ψi
ψψΓ
ψi
ψ
ψ
ψi
i
dove si è definita la matrice quadrata di ordine K delle inertanze differenziali come lo
Jacobiano:
ψ
ψi
ψΓ
∂
∂
=
),(
),(
y
yd (2.3)
Le equazioni ai morsetti elettrici si riducono alla forma diretta e semplice
dt
dψ
v = (2.4)
Le correnti (uscite del sistema dinamico) sono date dalle (2.1) o (2.2), che comprendono la
eventuale saturazione e la variabilità con y.
Si consideri ora la energia. L'energia W(x) di un sistema (se esiste) è una particolare
funzione di stato le cui variazioni, per definizione, uguagliano il lavoro (in qualsiasi forma)
scambiato dal sistema con l'esterno. Con le convenzioni di segno normalmente assunte, lavoro


entrante corrisponde ad aumento di energia. Considerato un movimento dallo stato A (v. di s.
xA) allo stato B (v. di s. xB) e il lavoro totale L entrante nel sistema durante il movimento, si
formalizza la definizione di energia come
energia ABAB LWW =− )()( xx
o in forma differenziale dW=δL. L'energia è definibile quindi se, per ogni movimento del
sistema, il lavoro totale entrante dipende solo dagli estremi della traiettoria. Sistemi che
godono di tale proprietà si dicono conservativi.
Esplicitando il lavoro totale come differenza tra il lavoro elettrico entrante e il lavoro
meccanico uscente, in forma differenziale si ha
dyFddyFdtLLdW y
t
y
t
me −=−=δ−δ= ψivi (2.5)
Nell'ultima espressione della (2.5) si è tenuto conto della legge dell'induzione essendo gli
induttori ideali.
Si introduce ora la energia W(ψ,y) come funzione delle variabili di stato, ovvero dei flussi
e di y. Il differenziale dell'energia ha la forma:
dW y
W y
d
W y
y
dy( , )
( , ) ( , )
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
= +
∂
∂
∂
∂
(2.6)
Il confronto dell'identità (2.5) con l'identità (2.6) stabilisce le seguenti relazioni notevoli:
it
k
K
k
W y
i
W y
= =
∂
∂
∂ ψ ψ
∂ψ
( , ) ( ,.., , )ψ
ψ
1
k=1,..,K (2.7)
F
W y
y
y = −
∂
∂
( , )ψ
∂ϑ
ϑ∂
−=ϑ
),(ψW
C (2.8)
Per la (2.7) le correnti sono le derivate dell'energia rispetto ai corrispondenti flussi
concatenati. La (2.8) fornisce l’espressione per il calcolo della forza, ottenuta derivando la
energia rispetto allo spostamento, derivata fatta a flussi concatenati costanti.
La (2.7) indica che le correnti uguagliano le derivate della energia rispetto ai
corrispondenti flussi concatenati, derivate fatte mantenendo costanti i rimanenti flussi e la
variabile meccanica. La (2.7) ha la seguente importante applicazione: derivando la (2.6
scalare) rispetto ad un flusso di indice differente e per la (2.3) risulta:
kh
K
dkh
yW
∂ψ∂ψ
ψψ∂
=Γ
),,..,( 1
2
Per la indipendenza del risultato dall'ordine di derivazione segue l'uguaglianza delle mutue
inertanze differenziali ad indici scambiati:
),,..,(),,..,( 11 yy KdhkKdkh ψψΓ=ψψΓ (2.9)
Da notare che l'uguaglianza sussiste se le due mutue inertanze differenziali sono valutate in
corrispondenza dello stesso stato del sistema (elettrico e meccanico). La (2.9) implica la
simmetria della matrice delle inertanze. Le (2.7) e (2.9) sono le condizioni di esistenza della
energia come funzione di stato.


2.3 CORRENTI COME VARIABILI DI STATO ELETTRICHE
Nel caso di non linearità delle induttanze, scelte ora le correnti come v. di s., i flussi
concatenati sono le funzioni di stato:
ψ ψ=
=
( , )
( ,.., , )
i y
i i yk k Kψ ψ 1
k=1,..,K (2.10)
Differenziando
d
y
d
y
y
dy y d
y
y
dy
d
i i y
i
di
i i y
y
dy L i i y di
y
dy
d
k
k K
h
h h
k K
dkh Kh h
k
ψ
ψ ψ ψ
= + = +
= + = +∑ ∑
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ψ
∂ψ
∂
∂ψ
∂
∂ψ
∂
( , ) ( , )
( , )
( , )
( ,.., , ) ( ,.., , )
( ,.., , )
i
i
i
i
L i i
i
1 1
1
(2.11)
dove si è definita la matrice quadrata di ordine K delle induttanze differenziali come lo
Jacobiano:
L i
i
i
d
dkh K
k K
h
y
y
L i i y
i i y
i
( , )
( , )
( ,.., , )
( ,.., , )
=
=
∂
∂
∂ψ
∂
ψ
1
1
k,h=1,..,K (2.12)
La matrice delle induttanze differenziali è l’inverso della matrice (2.3) delle inertanze
valutata nelle stesse condizioni elettriche e meccaniche. Ambedue le matrici sono
simmetriche.
Nel caso di dipendenze lineari tra flussi e correnti si è nel caso comune di induttori lineari.
La dipendenza dalla coordinata geometrica (il più delle volte non lineare) rimane nelle
induttanze. Si ha
ψ =
= ∑
L i( )
( )
y
L y ik khh hψ
k=1,..,K (2.13)
Come caso particolare della (2.9) sono uguali anche le mutue induttanze del sistema
lineare (2.13), se valutate per lo stesso valore di y, cioè a geometria congelata:
L y L ykh hk( ) ( )=
Differenziando
dyi
dy
ydL
diyLd
dy
dy
yd
dyd
hh
kh
hh khk 





+=ψ
+=
∑∑
)(
)(
)(
)( i
L
iLψ
k=1,..,K (2.14)
Le (2.11) permettono di scrivere le relazioni di Ohm ai morsetti elettrici. Nel caso generale
non lineare dalla legge dell'induzione:


v
i
i
i i
L i
i i
= = + = +
= = + = +∑ ∑
d
dt
y d
dt
y
y
dy
dt
y
d
dt
y
y
dy
dt
v
d
dt
i i y
i
di
dt
i i y
y
dy
dt
L i i y
di
dt y
dy
dt
d
k
k k K
h
h
h k K
dkh K
h
h
k
ψ ψ ψ ψ∂
∂
∂
∂
∂
∂
ψ ∂ψ
∂
∂ψ
∂
∂ψ
∂
( , ) ( , )
( , )
( , )
( ,.., , ) ( ,.., , )
( ,.., , )1 1
1
k=1,..,K (2.15)
Nel caso di induttanze lineari (2.14):
dt
dy
i
dy
ydL
dt
di
yL
dt
d
v
dt
dy
dy
yd
dt
d
y
dt
d
hh
kh
h
h
kh
k
k 





+=
ψ
=
+==
∑∑
)(
)(
)(
)( i
Li
L
ψ
v
k=1,..,K (2.16)
Le (2.15) e (2.16) sono le equazioni di un sistema di mutui induttori tempo-varianti. Oltre
agli usuali termini nelle derivate delle correnti, è presente un contributo alla forza
elettromotrice proporzionale alla velocità meccanica dy/dt. Quest'ultimo termine dipende
dalla forma che assumono i parametri induttivi ed è proporzionale all'intensità delle correnti
(comunque non corrisponde energeticamente alla potenza meccanica).
2.4 ENERGIA E FORZE
La determinazione di una espressione analitica dell'energia è importante sia per l'utilità
dell'energia stessa nei bilanci energetici, sia per ricavare espressioni della forza dalla (2.8) .
L'energia è determinabile, per l'espressione di definizione (2.5), dal lavoro scambiato per
portare il sistema da un opportuno stato di riferimento, a cui è assegnata energia nulla, ad uno
stato generico. Si cerca ora di pervenire ad una espressione della energia in funzione di
parametri significativi e che si sappiano usualmente calcolare od esprimere in formule. Nella
presente impostazione si considerano tali i legami flussi-correnti (cioè le induttanze se
lineari), mentre è da determinare la espressione della forza.
Lo stato di riferimento ad energia nulla sia caratterizzato dalle v. di s. ψ0, y0. Si pone
pertanto
0),( 000 == yWW ψ (2.17)
Nel sistema in questione il lavoro scambiabile è elettrico e meccanico. Integrando la (2.5)
si ha:
∫∫ −=
y
y
y
t
dyFdyW
0
),(
ψ
ψ
ψψ
0
i (2.18)
Per quanto detto, si vuole integrare la (2.18) ricorrendo al solo lavoro elettrico. Il valore
dell'energia non dipende dal percorso dallo stato di riferimento allo stato generico, quindi è
lecito scegliere un percorso (se esiste) che non implichi lavoro meccanico e, secondariamente,
sia facile da valutare. Si considera a tal fine prima il movimento dallo stato iniziale allo stato
0ψ , y, cioè si varia la sola coordinata meccanica fino al valore finale. Dalla (2.5), considerato
che i flussi sono mantenuti costanti, la variazione di energia è:
0),(),(),( 0000
0
=−=− ∫ dyyFyWyW
y
y
y ψψψ (2.19)


Il precedente integrale è identicamente nullo se la forza è nulla per qualsiasi valore di y;
ciò è possibile se esiste un insieme di valori ψ 0 tali da avere forza nulla per qualsiasi
posizione:F yy ( , )ψ0 0= .
Il secondo tratto da considerare porta il sistema nello stato finale con variazioni dei soli
flussi e a geometria congelata nello stato finale:
kk Kkk
t
dyidyiyWyW
k
k
ψψψψψ==− ∑ ∫∫ +
ψ
ψ
),,..,,,..,(),(),(),( 01010
00
ψψψψ
ψ
ψ
(2.20)
Fisicamente ogni azione meccanica dovuta al campo magnetico si annulla se il campo è
nullo ovunque. Negli usuali induttori inerti, senza magnetismo residuo né magneti
permanenti, ciò è verificato per flussi nulli (che implicano correnti nulle). Pertanto come stato
di riferimento in questi casi va scelto necessariamente lo stato a flussi concatenati nulli
(ψ 0=0) per ottenere un'espressione dell'energia non dipendente dalla forza meccanica.
In conclusione, per l'assunto di energia nulla nello stato di riferimento e per quanto detto
sulla (2.19), l'energia di un sistema di induttori inerti ha l'espressione:
kk Kkk
t
dyidyW
k
k
ψψψψ== ∑ ∫∫
ψ
=ψ=
),,..,,..,(),( 01
00 00
ψψ
ψ
ψ
i (2.21)
A riepilogo del risultato ottenuto. Si fa l’ipotesi preliminare di conoscere un insieme di
valori ψ 0 tali che la forza sia nulla per ogni y. Si assume ad energia nulla lo stato ψ 0 e y0, con
y0 qualsiasi. Se non sono noti o non esistono i valori ψ 0, la procedura non è applicabile.
Si noti ancora che nella integrazione (2.21) y è una costante (geometria congelata al valore
attuale). Nella sommatoria (2.21) gli integrali possono essere eseguiti in successione. Ciò
significa fare variare le variabili di stato una per volta dal valore iniziale a quello finale.
Praticamente: nel calcolo del generico integrale k-esimo i flussi di indici inferiori a k (già
integrati) sono costanti ai valori finali, i flussi di indici superiori a k (non ancora integrati)
sono costanti ai valori iniziali nulli. Il percorso complessivo di integrazione dell'energia dallo
stato iniziale allo stato finale è mostrato in due casi in Fig. 2.2.
L'integrale (2.21) per induttori non lineari va sviluppato caso per caso. Nel caso di linearità
tra flussi e correnti, la (2.2) permette l'integrazione della (2.21)1 :
yψ y
00
y
ψ
ψ
yψ y020 yψ10
ψ
2
ψ2
ψ
1
ψ
1
a) b)
Fig. 2.2 a) due v. di s. b) tre v. di s.
1 La correttezza dell'integrale matriciale si può verificare per mezzo della differenziazione
dell'espressione risultante: ( ) ( )[ ] ( )ψΓψψΓψΓψψΓψψ dddd tttt
=





+=
2
1
2
1
valido per
ΓΓ =t
.


ψΓψψΓψ
ψ
ψ
)(
2
1
)(
00
ydyW tt
== ∫=
(2.22)
Dalla (2.2) si ottengono le ulteriori espressioni dell'energia nel caso lineare:
iLiiL )(
2
1
2
1
)(
2
1 1
yyW ttt
=== −
ψψψ (2.23)
e in forma esplicita:
W i L y i i yk kk kh k hk h kh k hk h
= = =∑ ∑ ∑
1
2
1
2
1
2
ψ ψ ψ( ) ( ), ,
Γ (2.24)
Quanto all'espressione della forza, essa si valuta dalla (2.8). Applicata alla (2.21) si ha la
espressione:
kk
Kkk
t
y d
y
yi
d
y
y
y
yW
F
k
ψ
∂
ψψψ∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−= ∑ ∫∫
ψ
0
01
0
),,..,,..,(),(),(
ψ
ψψ
ψ
i
(2.25)
Si ricordi che questa relazione vale anche per le coppie meccaniche, basta considerare uno
spostamento angolare anziché uno spostamento lineare.
Nel caso di sistemi di induttori lineari, la (2.23) dà la espressione:
∑ ψψ
Γ
−=−=
∂
∂
−= hk hk
kht
y
dy
yd
dy
yd
y
yW
F ,
)(
2
1)(
2
1),(
ψ
Γ
ψ
ψ
(2.26)
La linearità delle relazioni flussi-correnti consente di formulare anche la seguente
espressione di più immediato uso2:
y
yW
ii
dy
ydL
dy
yd
F hk hk
kht
y
∂
∂
=== ∑
),()(
2
1)(
2
1
,
i
i
L
i (2.27)
E' significativo il seguente bilancio di potenze per un sistema lineare nei legami flussi-
correnti. La potenza meccanica si ottiene come prodotto della forza per la velocità:
P t F t
dy
dt
m y( ) ( )= (2.28)
La derivata nel tempo dell'energia è, dalla (2.23):
dW
dt
y
d
dt
d y
dy
dy
dt
t t
= +i L
i
i
L
i( )
( )1
2
(2.29)
in cui il primo termine è la variazione di energia dovuta alle correnti, il secondo è dovuto
alla variazione di geometria a parità di correnti.
La potenza elettrica entrante risulta, per la (2.16) e (2.14):
dt
d
ytP ttt
e
ψ
Γψviiv )()( === nei flussi
dt
dy
dy
yd
dt
d
ytP tt
e i
L
i
i
Li
)(
)()( += nelle correnti (2.30)
2 Le espressioni sono equivalenti, infatti: derivando ambo i membri di L L I( ) ( )y y−
=1
(matrice
unità) si ha
d y
dy
y y
d y
dy
L
L L
L( )
( ) ( )
( )−
−
+ =1
1
0, quindi
i
L
iLiL
L
iLi
L
Liψ
Γ
ψ
dy
d
dy
d
dy
d
dy
d tttt
−=−== −
−
1
1
.


La potenza elettrica soddisfa ovviamente il bilancio energetico P
dW
dt
Pe m= + . come si
verifica dalle (2.27), (2.28), (2.29), (2.30) La potenza elettrica (2.30) risulta somma di due
termini: il primo, l'unico per geometria costante, corrisponde all'aumento di energia dovuto
alle sole variazioni delle correnti; il secondo è pari al doppio della potenza meccanica e, dal
confronto con le (2.27) e (2.29), contribuisce in parti uguali alla potenza meccanica uscente e
all'aumento di energia dovuto al movimento.
Confronto tra sistema nei flussi e nelle correnti
Un sistema elettromeccanico non lineare nei legami flussi-correnti presenta struttura molto
più semplice se formulato nei flussi come v. di s. Infatti valgono le equazioni elettriche (2.4)
contro le (2.15) per correnti come v. di s. Inoltre la forza presenta la espressione generale nei
flussi (2.25). In questi casi si impone quindi l’uso dei flussi come v. di s.
Invece nei casi di linearità tra flussi e correnti, le formulazioni della forza (2.26) e (2.27)
sono equivalenti. Le equazioni elettriche (2.16) nelle correnti sono di poco più complesse
delle equazioni (2.4) nei flussi. In questi casi ha senso cercare la formulazione migliore in
relazione alla situazione particolare in esame, con attenzione alla formulazione dei parametri
in funzione della variabile meccanica.
Comunque è una caratteristica generale dei sistemi di induttori che i modelli sono più
semplici se le v. di s. elettriche sono i flussi concatenati invece delle correnti. L'inconveniente
di tale scelta risiede nell'eventuale connessione elettrica con la rete che risulta meno
immediata.
2.5 MODELLO DI SISTEMA A UN AVVOLGIMENTO
v
R
i
L
Fig. 2.3.
Si svilupperà il modello dinamico di un sistema elettromeccanico costituito da un induttore
variabile in funzione di una coordinata geometrica (vedi Fig. 2.3). Sia L(i, y) l'induttanza
apparente con saturazione ed R la resistenza dell'avvolgimento. y è la coordinata di posizione
di un elemento mobile di massa m e soggetto a una forza meccanica esterna Fm.
Si consideri il flusso concatenato come v. di s. elettrica. Si deve innanzitutto esprimere la
corrente in funzione del flusso come:
i
L y
y= =
ψ
ψ
ψ ψ
( , )
( , )Γ
La equazione di maglia dà luogo alla equazione elettrica:
d
dt
v
R
L y
v R y
ψ
ψ
ψ ψ ψ= − = −
( , )
( , )Γ
che costituisce la prima eq. del sistema in forma normale. La forza va espressa in funzione
del flusso:


F y
i y
y
d
y
y
d( , )
( , ) ( , )
ψ
∂ ψ
∂
ψ
∂Γ ψ
∂
ψ ψ
ψ ψ
= − = −∫ ∫
0 0
Le v. di s. meccaniche sono la posizione y e la velocità y1. Il sistema è del terzo ordine. In
forma normale risulta costituito dalle seguenti tre equazioni differenziali:
ψψΓ−=
ψ
),( yRv
dt
d
eq. di maglia
m
FyF
dt
dy m−ψ
=
),(1
legge della dinamica
dy
dt
y= 1 legame tra posizione e velocità
Gli ingressi del sistema sono la tensione esterna v e la forza resistente Fm.
Notare che nel sistema sono richieste le due funzioni non lineari di due variabili:
Γ( , )ψ y , ψψ
∂
ψΓ∂
∫
ψ
d
y
y
0
),(
indipendenti tra loro e in genere di non facile determinazione.
Va considerato, a discussione del modello descritto, che la forza si è ottenuta
concettualmente dall'energia del sottosistema formato dall'induttore ideale e dallo
spostamento y (sistema conservativo per il quale esiste l'energia). Il risultato è stato poi
utilizzato per il modello completo (non conservativo), comprendente la resistenza
dell'avvolgimento e la dinamica delle parti in movimento.
Si consideri ora il caso particolare di induttore lineare.
Assunta la corrente come v. di s. elettrica, l'equazione elettrica e la forza si riducono a:






−−= 1
)(
)(
1
iy
dy
ydL
Riv
yLdt
di
F i y
dL y
dy
i( , )
( )
=
1
2
2
In esse appaiono due funzioni (non lineari) nella sola variabile y:
1
L y
dL y
dy( )
( )
Con il flusso concatenato come v. di s. elettrica si ha:
ψ−=
ψ
)(yL
R
v
dt
d
,
( )
)(
)(
2
1)(/1
2
1
),( 2
2
2
yLdy
ydL
dy
yLd
yF
ψ
=ψ−=ψ
di complessità equivalente.
2.5.1 Esempio. Elettromagnete
Come esempio si consideri l'elettromagnete indicato in Fig. 2.4. L'ancora mobile è soggetta
ad una molla di richiamo. Il circuito magnetico di sezione uniforme è costituito da materiale
ferromagnetico la cui curva di saturazione è nota. Dati:
k = costante elastica della molla
k1 = costante di smorzamento della molla
y0 = posizione di riposo della molla
m = massa dell'ancora mobile
N = numero di spire dell'avvolgimento


A = sezione del ferro e dei traferri
b = lunghezza totale del ferro (compresa l'ancora)
µ0 = permeabilità magnetica dell'aria
µ = B/H permeabilità magnetica (variabile ) del ferro dalla curva di saturazione
A
y
y=0
y0
m
m olla
elastica
vi
F
Fm
Fig. 2.4
La forza di richiamo della molla nel verso di y negativo (verso l'alto) è:
F k y y k ym = − +( )0 1 1
Le riluttanze del ferro e dei traferri sono rispettivamente:
A
y
A
b
tFe
0
2
µ
=Θ
µ
=Θ
Per il calcolo della saturazione, l'induzione B è legata al flusso concatenato da
B
NA
=
ψ
La induttanza e il suo inverso sono:
2
)( 0
22
µ
+
ψµ
=
Θ+Θ
=
yb
ANN
L
tFe
Γ = =
+
1
2
0
2
L
b y
N A
µ ψ µ( )
La forza in funzione del flusso è data da:
AN
d
AN
d
y
y
yF 2
0
2
0
2
00
2),(
),(
µ
ψ
−=ψψ
µ
−=ψψ
∂
ψΓ∂
−=ψ ∫∫
ψψ
La forza risulta sempre negativa, cioè nel verso di fare avvicinare le strutture3.
3 L'espressione indicata si può anche ottenere come prodotto della pressione magnetica
B2
02µ
del campo al
traferro per l'area totale dei traferri 2A.


L'espressione della forza risulta particolarmente semplice per il fatto che in questo caso la
derivata dell'inertanza è risultata costante, dato che non dipende né dalla y né dalla
saturazione. Ciò è dovuto alle seguenti ragioni: 1) la derivata dell'inertanza è fatta a flusso
costante, quindi, per la topologia del circuito, a B e µ costanti (in caso contrario si sarebbe
dovuto derivare anche la permeabilità del ferro); 2) la coordinata geometrica y è a numeratore
nell'inertanza. Tale risultato semplice è essenzialmente dovuto al fatto che il circuito
magnetico è formato da una sola maglia; in questo stesso caso comunque la valutazione della
forza dalla espressione funzione della corrente avrebbe dato un risultato molto più complesso.
La equazione elettrica nel flusso concatenato è indicata più sopra. Nell'espressione
dell'inertanza Γ la permeabilità variabile del ferro µ può essere valutata numericamente dal
flusso concatenato senza difficoltà.
2.5.2 Esempio. Macchina a riluttanza
Consideriamo la struttura di Fig. 2.5 formata da uno statore cilindrico ed un rotore
anisotropo all'interno dello statore. Sullo statore di materiale ferromagnetico è presente un
avvolgimento distribuito; in figura l'avvolgimento è schematizzato con un induttore in
posizione corrispondente all'asse magnetico dell'avvolgimento stesso. Il rotore è anch'esso
ferromagnetico. Sul rotore di momento di inerzia J agisce una coppia resistente esterna Cm.
i
vθ
ω
C
m
Cm
0
0 2ππ
L
L
0
0
0 2ππ
Γ
Γ0
Fig. 2.6
Fig. 2.7
θ
θ
Fig. 2.5.
La anisotropia provoca una accentuata variabilità dell'induttanza del circuito statorico con
la posizione angolare del rotore. Trascurata la saturazione, scelto il riferimento angolare come
in figura e data la simmetria del rotore, l'induttanza L(θ) presenta nell'angolo giro due
massimi uguali quando i poli rotorici sono allineati con l'asse magnetico di statore; due
minimi uguali nelle posizioni intermedie. La funzione L(θ) è pertanto periodica di periodo π
come in Fig. 2.6.
La forma effettiva della funzione dipende dai particolari costruttivi. La funzione periodica
si può approssimare con i primi termini dello sviluppo di Fourier come:
L L L( ) cos( )ϑ ϑ= +0 2 2


Consideriamo il modello nel flusso concatenato. Si necessita dell'inertanza Γ(θ), che ha un
andamento qualitativamente simile alla L(θ) con massimi e minimi scambiati (Fig. 2.7).
Considerando ancora i primi termini dello sviluppo di Fourier:
Γ Γ Γ( )
( )
cos( )ϑ
ϑ
ϑ= = −
1
2
L
0 2






≠Γ≠Γ
2
2
0
1
,
1
LL
0
Si ha quindi la corrente:
i t t t( ) ( ( )) ( )= Γ ϑ ψ
l'equazione elettrica:
d t
dt
v t Ri t v t R t t
ψ
ϑ ψ
( )
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )= − −= Γ
la coppia elettromagnetica accelerante:
( ) )())(2sen()(
))((
2
1 22
ttt
d
td
tCe ψϑΓ−=ψ
ϑ
ϑΓ
−= 2
le equazioni del moto:
( ))()(
1)(
)(
)(
tCtC
Jdt
td
t
dt
td
me
m
m
−=
ω
ω=
ϑ
Si osservi che la coppia tende ad allineare il rotore nella posizione di massima induttanza
(minima riluttanza). Il nome di macchina a riluttanza ha origine dal fatto che la coppia è
dovuta alla variazione della riluttanza del circuito magnetico con la posizione angolare del
rotore.
L'apparecchio mostrato può essere utilizzato come macchina elettrica rotante (usualmente
motore), se la coppia elettrica assume a regime un valore medio diverso da zero. Ciò si può
ottenere se il flusso concatenato è variabile nel tempo (si noti che se il flusso e la velocità
angolare sono costanti, la coppia generata è oscillante a valore medio nullo).
La macchina funziona effettivamente come motore continuativo se alimentato con tensione
alternata sinusoidale. Studiamo in questo caso il comportamento a regime.
Ammettiamo a regime velocità angolare ωm costante. Ciò è una approssimazione
accettabile se il momento di inerzia è sufficientemente elevato (l'approssimazione si può
verificare a posteriori). Dall'ipotesi segue (con opportuna origine dei tempi):
ϑ ω( )t tm=
Si ammetta ora il flusso concatenato sinusoidale nel tempo a pulsazione ω. Ciò si ottiene
con alimentazione sinusoidale se è trascurabile la caduta di tensione Ri. Poniamo
genericamente:
ψ ω δ( ) cos( )t t= −2Ψ
da cui
( ))22cos(1)( 22
δ−ω+Ψ=ψ tt
Sostituendo le ipotesi fatte nella coppia si ottiene la funzione del tempo:
( )[ ] ( )[ ] ( ){ }ttttC mmme ω+δ−ω+ω+δ+ω−ωΨΓ−= 2sen222sen22sen
2
1
)( 2
2
L'espressione indica che per avere valore medio non nullo della coppia generata è
necessario che sia ωm=±ω. Questo fatto indica che la macchina è in grado di convertire
potenza media solo in condizione di sincronismo, in verso positivo o negativo, con la
frequenza di alimentazione. Con ωm=ω il valore medio della coppia vale:


C0 2
21
2
2= − Γ Ψ sen δ
Il comportamento è simile a quello di un sincrono usuale ad eccitazione: l'ampiezza e il
segno della coppia media dipende dall'angolo δ (angolo di carico) tra il rotore e un riferimento
rotante sincrono con la pulsazione di rete. La caratteristica meccanica tra coppia media e
angolo è la seguente.
0
0
C
0
−π/2 π/2 π−π
motore
generatore
δ
Fig. 2.8.
Si può inoltre dimostrare che, in condizioni usuali, il tratto stabile della caratteristica è
compreso tra ±π / 4 .
Si osservi poi che la coppia presenta oscillazioni molto ampie intorno al proprio valore
medio. Ciò è una caratteristica negativa inevitabile di tale macchina ad un solo avvolgimento.
Infatti al sincronismo la coppia istantanea risulta:
( ) ( )[ ]δ−ω+ω+δΨΓ−= 24sen2sen22sen
2
1
)( 2
2 tttCe
Un'ultima osservazione riguarda il fatto che a flusso concatenato sinusoidale corrisponde
corrente non sinusoidale e viceversa, a causa della variabilità dell'inertanza. Con
alimentazione sinusoidale è il flusso ad essere circa sinusoidale (per Ri trascurabile) mentre
non lo è la corrente, in quanto nell'equazione elettrica appaiono termini fortemente
distorcenti. (vedi la Fig. 2.6)). Ciò giustifica l'assunto per l'analisi a regime e fa intuire la
maggiore complessità del modello considerando la corrente come variabile di stato.
2.6 MODELLO DI SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
v
Ri
L
R
v
i
L
1
1 1
1
2 2
2 2
Lm
y
Fig. 2.9.
Si considera il modello di un sistema elettromeccanico costituito da due induttori
mutuamente accoppiati (vedi Fig. 2.9). Per brevità si sviluppa solo il caso di induttori senza
saturazione e funzioni della posizione y. La parte meccanica, analoga al caso precedente,
presenta massa m e forza resistente Fm.
I flussi concatenati sono legati alle correnti da:
ψ
ψ
1 1 1 2
2 1 2 2
= +
= +
L y i L y i
L y i L y i
m
m
( ) ( )
( ) ( )


Le due equazioni di maglia sono:
dt
dy
i
dy
dL
i
dy
dL
dt
di
L
dt
di
LiR
dt
d
iRv
dt
dy
i
dy
dL
i
dy
dL
dt
di
L
dt
di
LiR
dt
d
iRv
m
m
m
m






++++=
ψ
+=






++++=
ψ
+=
2
2
1
2
2
1
22
2
222
21
121
111
1
111
Il modello in forma normale nelle correnti come v. di s. elettriche risulta del quarto ordine
(due v. di s. elettriche e due meccaniche). Consideriamo la matrice inversa delle induttanze:






−
−
−
=





=
−
1
2
2
21
1
2
1 1
)(
LL
LL
LLLLL
LL
y
m
m
mm
m
Γ
Le due eq. elettriche sono:


















+−−






+−−
=





12
2
1222
121
1
111
2
1
)(
yi
dy
dL
i
dy
dL
iRv
yi
dy
dL
i
dy
dL
iRv
y
i
i
dt
d
m
m
Γ equazioni di maglia risolte
La forza risulta:
F i i y
dL
dy
i
dL
dy
i
dL
dy
i im
( , , )1 2
1
1
2 2
2
2
1 2
1
2
1
2
= + +
Le due eq. meccaniche sono:
dy
dt
F i y F
m
m1
=
−( , )
legge della dinamica
dy
dt
y= 1 legame tra posizione e velocità
Se si assumono i flussi come v. di s. il modello si semplifica nella parte elettrica:






ψ
ψ






2
1
2
1
)(y
i
i
Γ=
d
dt
v R i
d
dt
v R i
ψ
ψ
1
1 1 1
2
2 2 2
= −
= −
equazioni di maglia risolte
F y
d
dy
d
dy
d
dy
m
( , , )ψ ψ ψ ψ ψ ψ1 2
1
1
2 2
2
2
1 2
1
2
1
2
= − + +






Γ Γ Γ
2.6.1 Esempio. Macchina rotante a due avvolgimenti
In questa struttura si sono indicate con i pedici s e r le grandezze relative rispettivamente
allo statore e al rotore. Si trascuri la saturazione. La autoinduttanza di statore è identica a
quanto indicato in 2.5.2, approssimabile come:
L L Ls s s( ) cos( )ϑ ϑ= +0 2 2
La autoinduttanza di rotore Lr non dipende dall'angolo meccanico, in quanto
all'avvolgimento rotorico si presenta sempre lo stesso circuito magnetico.
La mutua induttanza ha andamento periodico con l'angolo meccanico come mostrato in
Fig. 2.11. E' spesso lecito approssimarla come:
L LM M( ) cosϑ ϑ= 0
La coppia tra statore e rotore è:


i
v
v
i
r
r
s
s
C m
ωm
C
θ
0
0
2π π
L
M
θ
Fig. 2.10. Fig. 2.11.
C
dL
dy
i
dL
dy
i i
dL
dy
i L i L i is
s
M
s r
r
r s s M s r= + + = − −
1
2
1
2
22 2
2
2
0sen( ) sen( )θ θ
La coppia è composta da due termini: il primo, che dipende dalla anisotropia del rotore e
solo dalla corrente statorica, prende il nome di coppia di anisotropia (o di riluttanza); il
secondo, proporzionale alle correnti rotorica e statorica, prende il nome di coppia di
eccitazione.
Si esamina ora una possibile condizione di regime. Ammettiamo a regime velocità
angolare ωm costante. Dall'ipotesi segue (con opportuna origine dei tempi):
ϑ ω( )t tm=
Della coppia di anisotropia si è discusso in 2.5.2. Per la coppia di eccitazione consideriamo
correnti di statore e rotore sinusoidali a frequenze diverse:
i I ts s s s= +2 sen( )ω ϕ , i I tr r r r= +2 sen( )ω ϕ
La sola coppia di eccitazione a regime risulta:
( )[ ] ( )[ ]{
( )[ ] ( )[ ]}rsrsmrsrsm
rsrsmrsrsmrsM
tt
ttIILC
ϕ+ϕ+ω+ω+ω−ϕ−ϕ−ω−ω−ω−
+ϕ−ϕ+ω−ω+ω+ϕ+ϕ−ω+ω−ω−=
sensen
sensen
Si possono ora riconoscere le condizioni per avere un valore medio di coppia diverso da
zero. Nella formula le pulsazioni elettriche sono da considerarsi grandezze non negative,
poiché pulsazione negativa equivale ad un incremento di π della fase.
Per ωr=0 (rotore alimentato in continua) si ritrovano le condizioni dell'esempio in 2.5.2: ω
m=±ωs. Questo caso differisce dalla macchina a riluttanza in quanto la coppia media è
costituita da due contributi: la coppia di riluttanza e la coppia di eccitazione. La macchina è
un sincrono monofase.
Per ωr > 0 una condizione significativa è ω ω ωm s r= − che corrisponde al
funzionamento da macchina asincrona monofase.
Sotto questa condizione la coppia di anisotropia è a valore medio nullo, la coppia media di
eccitazione diviene:
C L I IM s r s r0 = −sen( )ϕ ϕ
La coppia di eccitazione presenta ampi termini oscillanti.

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