1. TITRANJE U MEHANICI- blic 14.11.2013.(3.b)
•
•
•
•
•
•
•
•
Što je titranje?
Periodično gibanje kod kojeg se tijelo giba po nekoj putanji naizmjenično u dva suprotna
smijera; gibanje oko ravnotežnog položaja.
Opiši pojmove :
a) jedan titraj: dio gibanja pri titranju koji se ponavlja
b) period titranja: (T) vrijeme jednog titraja
c) frekvencija titranja: (f) broj titraja u jednici vremena
d) elongacija titranja: (x,y,s) trenutna udaljenost tijela od ravnotežnog položaja
e) amplituda titraja: (x0,y0,A) najveća elongacija pri titranju
Ako 10 titraja traje 4,4 s kolika je frekvencija ( f ) tih titraja?
N=10 titraja
t=4,4 s
f===2,27 Hz
Ako tijelo na sl. 1.a (sl.1.b) titra s periodom 1,0 s i u početni trenutak se nalazi u
položaju 1 gdje će se nalaziti nakon 5,5 s?
T=1s
t=5,5s
T= N==5,5 položaj 3
Napiši matematički izraz za ukupnu energiju titranja sustava tijelo+opruga koji će
vrijediti za bilo koju elongaciju (x).
E1=E2
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
*Ako su za titranje tijela na opruzi poznati A, k i m izvedi kako se može izračunati
maksimalna brzina ( v0 ) pri titranju.
E1=E2
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
v0==A
Definiraj harmonijsko titranje.
Titranje kod kojeg se sila koja izaziva titranje u svakom trenutku razmjerna elongaciji.
Je li gibanje tijela između dva krajnja položaja (sl.1.b) jednoliko, jednoliko akcelerirano
ili nejednoliko akcelerirano? Obrazloži odgovor .

2. •
•
•
•
Nejednoliko akcelerirano- titranje tijela na opruzi je harmonijsko titranje,a kod
harmonijskog titranja akceleracija je promjenjiva.
U kojem položaju pri titranju na sl.1.b je najveća akceleracija? Obrazloži .
ma=-ky
U položaju 2 jer tijelo najbrže titra oko
a=y=-A
ravnotežnog položaja
a=
*
Pokaži da pri titranju tijela na elastičnoj opruzi na tijelo djeluje
rezultantna sila F = - k y kada je tijelo za y udaljeno od ravnotežnog položaja .
|Fg|=|Fel|
mg=ky'
|F|=|Fel'|-|Fg|
|F|=k(y'+y)-mg
|F|=ky
F=-ky
Zašto se tijelo ovješeno o oprugu uopće giba kad ga se ispusti?
Tijelo se giba zbog toga što na njega djeluje rezultanta, elastična sila koja nastoji vratiti
oprugu u ravnotežni položaj (povratna sila)
Pri titranju tijela na opruzi ( sl.1.b) u kojim položajima (1 ,2 ,3 ) je najvećeg iznosa : a)
elongacija: 3
b) akceleracija: 2
c) sila : 1 i 3
d) potencijalna energija: 1
e) kinetička energija: 3
•
*
Ispiši uz odgovarajuću skicu matematički dokaz da je
projekcija jednolikog kružnog gibanja harmonijsko titranje.
Fcp=mv2/2=m4π2r/T2=mω2r
sinρ=F/Fcp=-y/r
F=y/r*Fcp=-y/r *mω2r=-mω2r=-ky
•
Napiši matematički izraz za period titranja tijela na opruzi i navedi značenje tijela.

3. •
•
T=2π T-period titranja, m-masa tijela, k-konstanta elasticnosti opruge
Opiši ( riječima i matematički ) kako se može odrediti konstantu elastičnosti opruge
koristeći: a) vagu i metarsku traku: statičko određivanje- oprugu objesimo na stalak i
označimo na stalku položaj X=0 donjeg kraja neopterecene opruge. Zatim objesimo uteg
mase m i na stalku oznacimo polozaj x donjeg kraja opterecene opruge, a to je
produljenje opruge. Zatim izracunamo konstantu formulom: k=mg/y'|| Fr=0; Fel=Fg;
ky'=mg; :k=mg/y'
b) vagu i zaporni sat : dinamicko djelovanje- vagom izmjerimo masu tijela, a stopericom
period titranja i konstantu odredimo pomocu izraza k=4π2m/T2 || T=2π; T2=4 π2m/k; k= 4
π2m/T2
Skiciraj elongacija – vrijeme (x-t) dijagram za titranje tijela kao na sl.1 ako se u početni
trenutak tijelo nalazi u položaju:
a) 1:
b) 3:
•
•
•
•
•
•
•
Napiši opću jednadžbu harmonijskog titranja i navedi značenje
slova.
y=y0*sin(ωt+ρ0) y-elongacija, y0-amplituda, ω=kruzna frekvencija, t-vrijeme, ρ0-pocetni
fazni kut
Koliko se u fazi razlikuju titranja na sl. 3.?
za 180°??
Kada se kaže da su dva titranja u fazi , a kada da su u protufazi ?
????
Pomoću uređaja na sl.2. može se učiniti mehanički zapis titranja. Kako nastane zapis "a"
za razliku od zapisa "b"?
a-sporije povlacenje poluga; b-brze
Na sl.4 prikazano je tijelo koje jednoliko kruži. Po kojem se zakonu mijenja brzina sjene
tog predmeta na zidu. Navedi značenje slova .
v=v0*cos(ωt+ρ0) v0-najveca brzina, ρ0 -pocetni fazni kut, t-vrijeme, ω-kruzna
frekvencija
Napiši matematički izraz kojim se kod harmonijskog titranja izračunava :
a) maksimalna brzina tijela v0=ωy0
b) maksimalna akceleracija a0=ω2A
Što je matematičko njihalo?

4. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Njihalo cija je nit nerasteziva i zanemarive mase, a tijelo na niti tockasto
Objasni što uzrokuje titranje matematičkog njihala ?
Kada kuglica nije u ravnoteznom spolozaju, silu tezu mozemo rastaviti na dvije
komponente, tangencijalnu i radijalnu. Rezultantna napetost niti i radijalne sile je
centripetalna sila koja omogucuje kruzno gibanje. Zbog tangencijalne komponente sile
teze kuglica se giba ubrzano prema ravnoteznom polozaju. Kad prode ravnotezni polozaj,
kuglica se zbog te sile usporeno udaljava od ravnoteznog polozaja. Tangencijalna sila je
uzrok titranja.
Kako izračunati povratnu silu koja djeluje na matematičko njihalo kad je kutni otklon θ
?
Fp=Ft*cosρ; ρ=0; cosρ=1; Fp=Ft
Sinρ=Ft/FyFt=my*sinρ (tangencijalna)
Cosρ=Fr/FyFr=my*cosρ(radijlna)
Povratna sila:Fp=Ft*cosρ
Ρ jako malen(<10°)
Cosρ priblizno 1
*Ispiši dokaz da je titranje matematičkog njihala s malom amplitudom harmonijsko .
Nacrtati skicu s oznakama .
Fp priblizno Ft
Sinρ=-x/l=Ft=Fg
Ft=-x/l*Fg=-x/l*mg=-kx
Napiši matematički izraz za period titranja matematičkog njihala i navedi značenje slova.
T=2π l-duljina niti, g-akceleracija sile teze
Titranje tijela na opruzi i titranje matematičkog njihala s malom amplitudom su
harmonijska titranja . Kako to da period titranja tijela na opruzi ovisi o masi tijela , a kod
njihala ne ovisi ? Obrazloži .
???
Objasni ( riječima i matematički ) kako se pomoću matematičkog njihala, zapornog sata i
metarske trake može odrediti akceleracija sile teže (g).
T=2π ; T2=4π2l/g; g=4π2l/T2
Na njihalu izmjerimo metarskom trakom duljinu niti, zatim pustimo njihalo da se njise
odreden broj puta i mjerimo vrijeme. Na kraju po formuli: g=4π2l/T2 odredimo
akceleraciju sle teze.
Iz kojeg se matematičkog izraza može izračunati period titranja njihala u dizalu koje se
giba kao na sl. 5?
a) Fk=Fg+Fi; mar=g+ma; ar=g+a; T=2π
b) Fr=Fg-Fi; mar=mg-ma; ar=y-a; T=2π