Ugol mezhdu ploskostyami

1. Угол между плоскостями
Решение задач уровня С.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №85
г.о. Тольятти
учитель математики высшей категории
Баленко Тамара Борисовна

2. Данная тема актуальна, так как
подобные задачи требуют
развитого абстрактного
мышления. Задачи,
представленные ниже, чаще
всего вызывают затруднения
при решении у учащихся.
Наглядное решение позволяет
лучше усвоить приемы
решения таких задач.
Нахождение угла между
скрещивающимися прямыми и
угла между плоскостями

3. Аргументы
• 1. Определение куба.
• 2. Определение правильной призмы.
• 3. Свойства правильной призмы.
• 4. Свойство средней линии треугольника.
• 5. Признак параллельности плоскостей.
• 6. Определение угла между плоскостями.
• 7. Линейный угол двугранного угла.
• 8. Теорема Пифагора.
• 9. Теорема косинусов.

4. Задача. В кубе найти косинус угла между плоскостями
КЕР и NМН, где К, Е, Р, N, Н, М – середины ребер
А1В1, В1С1, ВВ1, АА1, АВ, АD .
А
А1
В1 С1
С
D
D1
В
К
Е
Р
N
М
H

5. Плоскость А1ВС1 параллельна плоскости КРЕ.
К
Е
Р
А1
В
С1

6. Плоскость А1ВD параллельна плоскости NНМ.
А1
В
D
Н
М
N

7. А1ВС1 пересекается с А1ВD1 по прямой А1В.
А1
С1
Т
D1
В

8. Найдем линейный угол двугранного угла
С1А1ВD1.
А1
С1
Т
D1
В

9. В плоскости А1ВС1 проведем С1Т
перпендикулярно А1В.
А1
В
С1
Т

10. В плоскости А1ВD проведем DТ
перпендикулярно А1В
А1
В
D
Т

11. Угол С1ТD- линейный угол
двугранного угла С1А1ВD.
А1
С1
Т
D
В

12. Найдем косинус угла С1ТD.
А1
С1
Т
D
В

13. ТС1 = ТD1 = √3
• а- ребро куба
А1
С1
Т
D
В
2
а

14. ТС1 = ТД · sin 60° = а √2 ·
А1
С1
Т
D
В
√3
2
а- ребро куба

15. ΔTDC1: C1D2 ₌ C1T2 + DT2 – 2 CC1·DT·cosT
C1T2 + DT2 –DC2
2·DT·C1T
cos T₌
т
с1
D

16. Находим cos T:
сosT₌
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3 222


аа
ааа
₌
2
2
3а
а ₌
3
1
Ответ:
3
1 .
.

17. Спасибо за внимание.