1. מבט משעשע על תורת המשחקים

2. בעיית שלֹש הדלתות

3. זוהי בעיה שבפניה ניצבו משתתפים בתוכנית Let’s make a deal (1990-1967), בהנחייתו של Monty Hall . Monty Hall

4. המשתתף יוצא לדרך ... על הבמה ניצבות שלוש דלתות שמאחורי אחת מהן מכונית . X המשתתף איננו יודע מאחורי איזו מן הדלתות נמצאת המכונית . עליו לבחור ולציין את אחת הדלתות .

5. המנחה מתערב בנעשה X מבין שתי הדלתות הנותרות פותח המנחה , היודע היכן המכונית , דלת שמאחוריה אין מכונית .

6. המנחה מתערב בנעשה X מבין שתי הדלתות הנותרות פותח המנחה , היודע היכן המכונית , דלת שמאחוריה אין מכונית . זכותו של המשתתף לפתוח את הדלת שבחר בתחילה , או את הדלת הנותרת . אם המכונית נמצאת מאחורי הדלת שפתח הוא זוכה בה .

7. להחליף או לא להחליף ? זוֹ השאלה .

8. נא להכיר ... Marilyn vos Savant בעלת הטור “ Ask Marilyn” בעיתון Parade מופיעה בספר השיאים של גינס כבעלת ה I.Q. הגבוה בעולם : 228

9. טענתה של מרילין בפינתה השבועית הקבועה טענה מרילין שהמשתתף ייטיב לעשות אם יחליף את בחירתו הראשונה (1990). היא קבלה בתגובה 10,000 מכתבים , רובם חולקים על דעתה . מתוכם נכתבו כ -1000 ע " י בעלי תואר דוקטור , ופרופסורים במתמטיקה ומדעים מדויקים . בשיאו של הויכוח , שנמשך שנה , נתפרסמה כתבה בעניין זה בעמודו הראשון של ה - Sunday New York Times , ב - 21 יולי 1991.

10. מכתב אופייני כך כתב Robert Sachs , פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת :George Mason You blew it! Let me explain: If one door is shown to be a loser, that information changes the probability of either remaining choice - neither of which has any reason to be more likely - to 1/2. As a professional mathematician , I am very concerned with the general public's lack of mathematical skills. Please help by confessing your error and, in the future, being more careful.

11. ניסוי מחשבתי נדמיין שני משתתפים : אלי ו אלה . מדיניותו של אלי היא לפתוח את הדלת שבחר מלכתחילה . מדיניותה של אלה היא לחזור בה ולהחליף דלת ( לפתוח את הדלת האחרת הסגורה ).

13. הסבר אלטרנטיבי נניח שאנו משנים את חוקי המשחק . לאחר שבחר דלת , רשאי המשתתף לפתוח אותה , או לפתוח את שתי הדלתות הנותרות , ולזכות במכונית אם היא נמצאת מאחורי אחת מהן . ברור שעכשיו כדאי למשתתף לפתוח את שתי הדלתות . הוא מכפיל בכך את סיכויו לזכות ! אבל זהו בדיוק המצב במשחק המקורי , פרט לכך שהמנחה מסיע קלות למשתתף , ופותח במקומו את אחת הדלתות שלא בחר - דלת שמאחוריה אין מכונית .

14. קבלת החלטות סביב דיאגנוזה רפואית באוכלוסיה מסוימת ידוע כי אחד מכל 1,000 אנשים הוא נשא של הוירוס . HIV קיימת ערכת בדיקה המדייקת ב - 100% על נשאי HIV ומדייקת ב - 99% בבדיקה על אלה שאינם נשאים . אדם נבחר מקרית ברחוב ועבר בדיקה . הבדיקה הראתה "+". מה , לדעתכם , הסיכוי שהוא אכן נשא ? האם הייתם מייעצים לרופא להתחיל בטיפול ?

15. התשובה ( מפתיעה ?): פחות מ - 10%! נניח כי באוכלוסייה 100,000 אנשים וכולם עוברים בדיקה : 100,000 99,900 100 נשאים לא נשאים 100 0 999 98,901 + - + -

16. קבלת החלטות התלויות בהחלטות של אחרים דילמת העורך דין שתי חברות רבות על זכויות שיווק של מוצר מסוים ששוויו נאמד ב - 500,000 ₪. כל צד שוכר עו " ד שייצג אותו במיקוח . כל צד יכול לשכור עו " ד צמרת בעל מוניטין בתחום או עו " ד רגיל מן השורה . עלות עו " ד צמרת 150,000 ₪ ; עלות עו " ד רגיל 50,000 ₪ ; אם שני הצדדים בוחרים באותו סוג של עו " ד ( צמרת או רגיל ), צפוי שיחלקו שווה בשווה את זכויות השיווק , כלומר כל צד יקבל 250,000 ₪ בניכוי עמלת העו " ד . עו " ד צמרת המתמודד מול עו " ד רגיל צפוי שישיג ללקוח שלו 375,000 ₪ ויותיר 125,000 ₪ לצד האחר .

17. נסכם זאת בטבלה : מה הייתם מייעצים לחברות לעשות ? באיזה סוג עו " ד כדאי לכל חברה לבחור ?

18. אסטרטגיה שלטת של שחקן , היא אסטרטגיה שטובה מכל אסטרטגיה אחרת של השחקן , ללא תלות במה שיתר השחקנים יעשו . אסטרטגיה שלטת

19. במקרה זה , קיימת אסטרטגיה שלטת עבור כל לקוח והיא לשכור עו " ד צמרת , ללא תלות בהחלטה של הצד האחר . זאת למרות שבאסטרטגיה זו מתקבלת תוצאה נחותה לשני הצדדים . אילו לקחו החברות כל אחת עו " ד רגיל , היה נותר בכיסה של כל אחת 100,000 ₪ יותר מאשר כששתיהן שוכרות עו " ד צמרת . למרות זאת , טיפשי עבור כל צד לשכור עו " ד רגיל . מדוע ?

20. נתבונן באסטרטגיה האופטימלית של חברה 1, שהיא בחירה בעו " ד צמרת . לכל בחירה של חברה 2 היא מקבלת יותר ממה שהייתה מקבלת אילו בחרה בעו " ד רגיל : אם חברה 2 בוחרת עו " ד צמרת , חברה 1 מקבלת 100,000 ₪ במקום 75,000 ₪ ; ואם חברה 2 בוחרת עו " ד רגיל , חברה 1 מקבלת 225,000 ₪ במקום 200,000 ₪. מאותם שיקולים , לחברה 2 כדאי לבחור באותה אסטרטגיה .

21. דילמת האסיר שניים נחשדים בביצוע עבירה חמורה ( שוד מזוין ). למשטרה אין הוכחה מרשיעה . אם שני החשודים לא מודים , הם מרצים שנת מאסר על אחזקת נשק ללא רישיון ; אם שניהם מודים , הם מקבלים 20 שנות מאסר כל אחד ; אם רק אחד מהם מודה ומשמש עד מדינה נגד השני , הוא יוצא לחופשי ומקבל 50,000 ₪ להסתדר בחייו החדשים . האחר מקבל מאסר עולם עם עבודת פרך .

22. האסטרטגיה השלטת לכל חשוד היא להודות . לכן שני החשודים יודו וישבו 20 שנה בכלא , למרות שהתוצאה המתקבלת כאשר שניהם לא מודים עדיפה , אין אפשרות להשיג אותה אם שניהם מתנהגים באופן רציונלי . התנהגות רציונלית פירושה העדפה של " יותר " על " פחות ".

31. n – מספר אלפי המכוניות למשל , הזמן שלוקח למכונית לנסוע מ - A ל - D הוא 48 דקות כשהכביש ריק ו - 50 דקות כאשר נוסעות שם אלפיים מכוניות . משך הנסיעה מ - A ל - C הוא 32 דקות כאשר ישנן שם 3000 מכוניות . כמה זמן שוהה כל מכונית בדרכים בשווי משקל של המערכת ? B D A C 2+10n 2+10n 48+n 48+n

32. 2+10n 2+10n 48+n 48+n 3 3 3 3 פתרון : משיקולי סימטריה 3,000 מכוניות ייסעו דרך C ו - 3,000 מכוניות ייסעו דרך D . כלומר n=3 . בשווי משקל , משך הזמן שלוקח למכונית לנסוע דרך C זהה לזה שדרך D , כלומר 83 דקות . T=83 B D A C

33. נבנה כביש נוסף המחבר את C עם D כמה זמן ייקח עתה לנסוע מ - A ל - C בשווי משקל ? B D A C 2+10n 2+10n 48+n 48+n 6+n

34. פתרון : 4 4 2 2 2 T=92 כולם נוסעים לאט יותר !! אבל , בכמה נשפר את הזמן אם הכביש המחבר את C ל - D לוקח אפס זמן ( ימות המשיח )? B D A C 2+10n 2+10n 48+n 48+n 6+n

35. ובכן , זה המקרה הגרוע ביותר כאן T=98.5454…. לא כל המרבה הרי זה משובח . לעיתים המוסיף גורע . B D A C 2+10n 2+10n 48+n 48+n 0

36. A B ברשת תקשורת להעברת e-mail כל bit עובר מ - A ל - B דרך קודקודים ברשת . בכל צומת יש מעבד ( processor ) שמחליט עצמאית לאן לשלוח את ה bit ( כמו הנהג שמחליט בעצמו לאן לנסוע ), במקרה כזה יתכן ותוספת ערוצים תזיק לרשת .

37. מכרזים ( בלטינית : AUCTUS ) מכרזים החלו בשנת 500 לפני הספירה בבבל . לפי הרודוטוס התקיימו בבבל מכרזים פומביים שנתיים שבהם הוצעו נשים למטרות נישואין למרבה במחיר . הכרוז ( המומחה ) היה מדרג את הנשים לפי ראות עיניו מהיפה ביותר לפחות יפה . שידוך נשים מחוץ למכירה הפומבית נחשב בלתי חוקי . בשנת 193 לספירה נמכרה האימפריה הרומית במכרז אנגלי על ידי חיל המשמר , לאחר שהקיסר פֶּרְטִינָקְס ( Pertinax ) נהרג . ההצעה ( bid ) המנצחת הייתה זו ששילמה 6250 דרכמות לכל חיל בחיל המשמר . הזוכה היה דִידְיוּס ג ' וּלְיָאנוֹס שהפך להיות קיסר אבל שרד רק חודשיים לפני שהוצא להורג על ידי סֶפְטִימיוּס סֶבֶרוּס ( דוגמה עצובה לתופעה הנקראת קללת המנצח winner’s curse ).

40. דוגמא : הערך של שדה נפט זהה לכל החברות המתמודדות . הוא נקבע על ידי כמות הנפט בשדה , המחיר הנוכחי של הנפט ועלויות השאיבה . מאחר וכמות הנפט לא ידועה לחברות , ערך השדה ( הערך המשותף ) לא ידוע להן . יש להבדיל בין הערך שהמתמודד נותן לתמונה ( לפריט ) לבין המחיר שהוא מוכן להציע עבורה ( bid ).

41. ערך מול אסטרטגיה ערך התמונה עבור מתמודד זה הסכום המקסימלי שהתמונה שווה לו . אם הערך הוא 100 פירושו שהתמונה שווה למתמודד 100 והוא לא יהיה מוכן לשלם עבורה 101, אבל עדיין ייתכן כי יהיה מוכן להציע רק 60, אם הוא מאמין שהאחרים בסיכוי גבוה יציעו פחות . מתמודד שערך התמונה עבורו 100 והצליח לקנות אותה ב - 60 עשה עסקה " טובה ", ששוויה 40=100-60. השאלה – כמה להציע ? זאת האסטרטגיה של המתמודד והיא תלויה בערך שהוא מייחס לפריט ובאמונות שלו לגבי האסטרטגיות של המתמודדים האחרים ( שהן לכשעצמן תלויות בערכים שהם מייחסים לפריט ).

42. האסטרטגיה של המתמודד תלויה בראש וראשונה בסוג המכרז . בעקרון , האסטרטגיות משתנות ממכרז למכרז ( אך לא הערכים ). נדון עתה בכמה סוגי מכרז בסיסיים : המכרז האנגלי ( מכרז פומבי ): כרוז קורא מחירים ומעלה אותם בהדרגה . ככל שהמחיר עולה , מתמעטים המתמודדים שעדיין מעוניינים בפריט במחיר המוצע . המכרז נעצר במחיר שהוכרז , שבו נותר מתמודד מעוניין אחד בלבד . מתמודד זה זוכה בפריט ומשלם את המחיר האחרון שהוכרז .

43. מכרז מחיר שני : המתמודדים מניחים הצעות ( bids ) במעטפות סגורות . בתאריך ובזמן מוסכם מראש נפתחות כל המעטפות . זוכה בפריט הוא המתמודד בעל ההצעה הגבוהה , אך הוא משלם רק את הסכום המופיע בהצעה השנייה בגובהה ( במקרה של תיקו מטילים מטבע ). דוגמא : שלושה מתמודדים . הערך שהם נותנים לתמונה זהה ושווה ל - 200. האסטרטגיות הן : מתמודד ראשון מציע 180, השני 160 והשלישי 150. זוכה המתמודד הראשון והוא משלם 160 ( בדומה למכרז האנגלי ). מכרזי on-line ( Ebay ) שקולים למכרז האנגלי

44. טענה : כאשר מדובר בפריט למכירה עם ערך פרטי , שני סוגי המכרז : במכרז האנגלי ( וה - online ) ומכרז מחיר שני , שקולים לחלוטין . הסבר : שני מכרזים נקראים שקולים , אם האסטרטגיה האופטימלית לכל שחקן זהה בשניהם וכן גם הרווח של המוכר בשניהם אותו הדבר . במקרה זה המתמודדים והמוכר אדישים לגבי המכרז , כלומר , לא משנה להם איזה מכרז ייבחר .

45. מהי האסטרטגיה האופטימלית של מתמודד במכרזים אלה ? טענה : עבור פריט עם ערך פרטי , אסטרטגיה שלטת לכל מתמודד במכרז האנגלי ( או במכרז מחיר שני או במכרז ה - online ) היא להציע את הערך של הפריט עבורו . דהיינו , ללא תלות בהצעות של האחרים , לי כמתמודד כדאי להציע את הערך האמיתי שלי . אם התמונה שווה לי 200 במקסימום , כדאי לי לנטוש רק כאשר הכרוז מכריז על המחיר 200 ( או 201).

46. הוכחה עבור מכרז מחיר שני : נניח שהתמונה שווה לי 200, כמה כדאי לי להציע ? תשובה : 200. מדוע ? מקרה א ' אציע יותר מ - 200, נניח 220. כאש יש שני תתי מקרים . אם ההצעה הגבוהה של האחרים היא בין 200 ל - 220, נניח 210, אזכה במכרז אבל אפסיד כסף . אשלם עבור התמונה 210 כאשר היא שווה לי רק 200 ( הפסד של 10). אם ההצעה הגבוהה של האחרים היא קטנה מ - 200, נניח 190, אזכה בתמונה ( ארוויח 10) אבל אותה תוצאה הייתה מתקבלת אילו הצעתי 200 ( עדיין הייתי זוכה ומשלם 190). מסקנה : להציע 200 טוב יותר ( או טוב לא פחות ), מאשר להציע פחות מ - 200. לכן האסטרטגיה השלטת עבורי ( טובה יותר מהאחרות , ללא תלות באסטרטגיה של האחרים ) היא להציע 200, שהוא הערך הפרטי שלי .

47. מקרה ב ' אציע פחות מ - 200, נניח 180. גם כאן יש שני תתי מקרים . אם ההצעה הגבוהה של האחרים היא בין 180 ל -200, נניח 190, לא אזכה בפריט , וחבל . לו הצעתי 200 הייתי זוכה בפריט , משלם 190, ומרוויח 30=200-170. אבל אותה תוצאה הייתה מתקבלת לו הצעתי 200. גם אז הייתי זוכה ומשלם 170. אם ההצעה הגבוהה של האחרים היא קטנה מ 180, נניח 170, אני אזכה בתמונה וארוויח 10. אבל אותה תוצאה הייתה מתקבלת אילו הצעתי 200 ( עדיין הייתי זוכה ומשלם 170). מסקנה : להציע 200 טוב יותר ( או טוב לא פחות ), מאשר להציע פחות מ - 200. לכן האסטרטגיה השלטת עבורי ( טובה יותר מהאחרות , ללא תלות באסטרטגיה של האחרים ) היא להציע 200, שהוא הערך הפרטי שלי .

48. מכרז מחיר ראשון : המתמודדים מניחים הצעותיהם במעטפות סגורות . בתאריך ובזמן מוסכם מראש נפתחות כל המעטפות . גם כאן זוכה המכרז הוא בעל ההצעה הגבוהה והוא משלם את הצעתו שלו . דוגמא : שלושה מתמודדים . הערך לשלושתם זהה והוא 200. ההצעות הן 180, 160 ו -150. הזוכה הוא בעל ההצעה 180 ומרוויח 20. מהי האסטרטגיה האופטימלית במכרז מחיר ראשון ? זו שאלה קשה ומסובכת ודורשת שליטה במשוואות דיפרנציאליות . יתר על כן , בהרבה מקרים הבעיה לא פתירה . אבל , בניגוד למכרז מחיר שני , במכרז מחיר ראשון להציע את הערך של המתמודד זו אסטרטגיה נשלטת ( טיפשית ), כלומר , יש אסטרטגיה שיותר טובה ממנה ללא תלות באסטרטגיות של האחרים .

49. ומה ביחס למוכר התמונה ? האם כדאי לו למכור אותה במכרז מחיר ראשון או במכרז מחיר שני ? תופתעו , אבל : טענה : בהנחות מסוימות על המתמודדים ( אדישות לסיכון , בעלי רקע אמנותי דומה ) עדיף לבעל התמונה למכור אותה במכרז מחיר שני ! אינטואיציה : כשהמתמודד יודע שהמחיר שהוא משלם לא תלוי בהצעה שלו ( אלא באלה של האחרים ), כפי שזה במכרז מחיר שני , הצעותיו " אגרסיביות " יותר מאשר במכרז מחיר ראשון . כלומר , הוא מציע מחיר גבוה מדי .

50. המכרז ההולנדי ( כך נוהגים למכור פרחים בהולנד ): מתחילים ממחיר גבוה באופן מופרז ומורידים את המחיר באופן רציף ( באמצעות שעון חשמלי ) עד שאחד המתמודדים צועק " עצור ". באותו רגע השעון נעצר . הזוכה הוא זה שצעק " עצור " והוא משלם את המחיר האחרון , זה שבו נעצר השעון . טענה : מכרז מחיר ראשון תמיד שקול למכרז הולנדי . כפי שנראה , ההתנהגות של המתמודדים במכרז מושפעת מהיחס שלהם לסיכונים .

51. שנאת סיכון אדם הוא שונא סיכון אם הוא תמיד מעדיף לקבל X שקלים בוודאות על הגרלה עם אותה התוחלת . דוגמא : אדם שונא סיכון יעדיף לקבל 50 ₪ בוודאות על הגרלה בה הוא זוכה ב - 100 ₪ אם מטבע מאוזנת נופלת על " עֵץ " או ב - 0 ₪ אם המטבע נופלת על " פָּלִי ". אדם אדיש לסיכון אם הוא אדיש בין לקבל X שקלים בוודאות ובין הגרלה עם אותה תוחלת . טענה ( מפתיעה ): מתמודדים שונאי סיכון " אגרסיביים " יותר בהצעותיהם ומציעים הצעות גבוהות יותר במכרז מחיר ראשון מאשר מתמודדים שאדישים לסיכון . מכרז מחיר ראשון יהיה עדיף למוכר מאשר מכרז מחיר שני , כאשר המתמודדים שונאי סיכון .

52. אינטואיציה : הסיכון של המתמודדים הוא באִי - זְכִיָיה במכרז . הערה : הטענה שהוכחנו לגבי מכרז מחיר שני , שבו אסטרטגיה שלטת לכל מתמודד היא להציע את הערך האמיתי , נכונה ללא תלות באם המתמודדים אוהבי סיכון , שונאי סיכון או אדישים לסיכון . מתברר שזכייה במכרז איננה תמיד בבחינת " ניצחון " של ממש . היא עלולה להיות מעין " קללה ".

53. קללת המנצח ( The winner’s curse ) תופעה זו מתרחשת בפריטים עם ערך משותף . להמחשה נדון בהחכרת שדה נפט דרך מכרז מחיר ראשון . חברות נפט שונות ( בדרך כלל כ - 20 חברות ) ניגשות למכרז . כהכנה , כל חברה עורכת בדיקות גיאולוגיות , מבצעת קידוחים קלים וכד ' כדי להעריך את שווי השדה המוצע למכירה . חברות שונות עשויות להגיע להערכות שונות גם בגלל חשיפה למקורות מידע שונים ( למשל , חברה שחכרה או חוכרת שדה צמוד תוכל להעריך טוב יותר את הפוטנציאל הגלום בשדה המוצע ). כל חברה מציעה במכרז מחיר ראשון מחיר קנייה שהוא נמוך מההערכה שלה לגבי שווי השדה ( שולי רווח ) אך לא נמוך מדי בגלל התחרות שבין החברות . הערך האמיתי של השדה הוא בסיכוי רב קרוב להערכה הממוצעת של כל החברות . אך כל חברה יודעת רק את ההערכה שלה ולא את ההערכות האחרים . חלק מהחברות אופטימיות מדי וחלק פסימיות מדי .

54. נניח שכל חברה מציעה מחיר קנייה שהוא נמוך ב - 15% מהערכתה . החברה הזוכה היא זו עם ההערכה האופטימית ביותר . אך הערך האמיתי בסיכוי רב קרוב להערכה הממוצעת שבמקרים רבים קטנה מההערכה האופטימית גם לאחר שקוצצה ב - 15%. יוצא שבמקרים רבים הזוכה במכרז מפסיד . לתופעה זו סימוכין רבים בענפים שונים , כולל עבור חברות נפט .

55. Max Bid Auction : דוגמא : מכונית ששווייה 30,000$ מוצעת למכירה . ההצעה המקסימלית המותרת היא 5,000$. כל הצעה עולה 10$. כל אדם יכול להגיש מספר כלשהו של הצעות ; כאשר נאספו 4,000 הצעות המכרז נסגר . המנצח הוא זה בעל ההצעה הגבוהה ביותר שהיא יחידה ( מספר שהוצע יותר מפעם אחת נפסל ). שימו בעל המכרז מקבל לידיו 40,000$ + הסכום שבהצעה הזוכה , ומשלם רק 30,000$. רווח נאה .

56. אסטרטגיה לקונה ( שרווח בצידה ): לקונה כדאי לשלם עבור 2,001 הצעות ולהציע את כל המספרים העליונים ( החל מ - 5,000$ וכלה ב - 3,000$). קונה כזה זוכה במכרז בוודאות ומקבל מכונית ששווייה 30,000$. הוא משלם 20,010$ + סכום ההצעה הזוכה . הוא מרוויח כ - 5,000$. ישנם כמה אתרים בעולם שמציעים מכרזי Max-Bid מסוג זה .

57. משחקים שיתופיים

59. שוקי ההתאמה מתמחים - בתי חולים בארה " ב

60. מצב ענינים זה הזיק לבתי החולים , משום שלא קיבלו אינפורמציה בעלת ערך על הסטודנטים , ופגע בסטודנטים שמהלך לימודיהם נפגע ע " י ראיונות העבודה . התחרות על מתמחים הביאה את בתי החולים להקדים יותר ויותר את החתימה על חוזי ההעסקה עם הסטודנטים . מחתימה של רוב החוזים בסוף השנה הרביעית בראשית המאה , הוקדמה החתימה בשנת 1944 לתחילת השנה השלישית . הנהגת תקופת התמחות ברפואה לאחר הלימודים החלה בראשית המאה הקודמת . שלב א : הטרגדיה של המתמחים הטרגדיה של שְׂדוֹת הַמִּרְעֶה The Tragedy of the Commons Garrett Hardin, Science 1968

61. לימודי המשפטים נמשכים אמנם שלוש שנים וחצי , אבל סטודנטים המעוניינים להתמחות באחד מ -20 המשרדים המובילים בתחום המסחרי למדו שכדאי לסכם על מקום ההתמחות כבר בתחילת השנה השנייה . מי שיתמהמה ימצא את עצמו מול שוקת שבורה , שכן המשרדים הגדולים והמבוקשים כבר סגרו את רשימת המתמחים העתידית שלהם לאותה שנה . על פניו נראה שמצב זה אינו מיטיב עם אף אחד מהצדדים לעסקה : המשרדים הגדולים נאלצים להתמודד בראיונות עם סטודנטים חסרי ידע וניסיון ; הסטודנטים נאלצים לקבוע בשלב מוקדם לאן פניהם מועדות ולהתחייב להתמחות בעוד שנתיים וחצי . גם ראשי הפקולטות למשפטים אינם שבעי רצון מהמירוץ המוקדם של הסטודנטים שלהם אל ההתמחות , שכן הדבר פוגע בנכונותם להשקיע בלימודים . דֶּה מַרְקֶר ענת רואה , 23.1.05 מתמחים בהשגת סטאז ' כבר בתחילת שנה ב '

62. סוף שמח (?) ב - 1945 הסכימו בתי הספר לרפואה המאוגדים ב - AAMC על תאריך קבוע שלפניו לא תינתן לבתי החולים שום אינפורמציה אודות התלמידים . שלב א : הטרגדיה של המתמחים

63. בתי החולים היו מעונינים לקבל תשובה מידית על הצעותיהם כדי שבמקרה של דחיה יהיה סיפק בידם לפנות למועמדים אחרים . בתי חולים שהצעתם נדחתה ברגע האחרון נפגעו מכך שמועמדיהם האחרים כבר קבלו הצעות של בתי חולים אחרים . המתמחים נטו לדחות ככל האפשר את החלטתם , בתקווה שבסופו של דבר יקבלו הצעות טובות מאלה שקבלו עד עתה . מתמחה ששוכנע לקבל הצעה התחרט , כמובן , אם גילה שלאחר שקבל הצעה נתנה לו הצעה טובה יותר . התעוררה בעיה חדשה , שנראתה קשורה במשך הזמן שחלף בין מתן ההצעות ע " י בתי החולים וקבלתן ע " י המתמחים . שלב ב : בעיה חדשה

64. גם ב 1950 הוחלט על פרק זמן של שתים עשרה שעות , ונתנה הוראה שבמהלך זמן זה מתמחים ובתי חולים אינם רשאים לנהל שיחות טלפון . ב 1949 הציע ה - AAMC שכל ההצעות תשלחנה בטלגרמה בחמישה עשר בנובמבר בשעה 12:01 וסטודנטים לא יידרשו לענות עד שעה 12:00 בצהרי אותו יום . ב 1946 הוחלט שכל ההצעות תמסירנה למתמחים בתאריך אחד - אחד ביולי - והמתמחים לא יידרשו להשיב עד השמונה ביולי . ב 1945 הוחלט שבתי החולים יקצבו למתמחים עשרה ימים שבהם יוכלו לשקול את ההצעות . שלב ג : הטרגדיה הופכת לְפַרְסָה

65. שלב ד : שוב ההורים מתערבים שידוכים מוסדרים הפרוצדורה הזו שמשה בהצלחה בין 1953 ל 1998 לשיבוצם של כ 20,000 מתמחים בכל שנה , ואז הוחלפה בפרוצדורה אחרת . הגוף שהוקם קבל מידי המתמחים רשימות העדפה שלהם לגבי בתי החולים שאליהם פנו , וכן רשימות העדפה של בתי החולים לגבי המתמחים שפנו אליהם . אינפורמציה זו שמשה ליצירת ההתאמה ביניהם . כדי להמנע מן הבעיות הללו והעלויות שגרמו , הוצע ב 1951 להקים גוף של ה AAMC שיארגן באופן מרוכז את ההתאמה בין בתי החולים והמתמחים . ( The National Resident Matching Program (NRMP)

66. ברוכים הבאים למועדון ה - Speed dating דני גבי בני אבי דנה גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 העדפותיהם של המשתתפים 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4

67. מעשה בשדכנית מַטְרוֹנִיתָא שאלה את ר ' יוסי בַּר חֲלַפְתָא , אמרה לו : בכמה ימים ברא הקב " ה את עולמו ? אמר לה : לששת ימים , דכתיב : " כי ששת ימים עשה ה ' את השמים ואת הארץ ". אמרה לו : ומאותה שעה עד עכשיו מהו יושב ועושה ? אמר לה : מְזַוֵּג זִוּוּגִים - אשתו של פלוני לפלוני , בתו של פלוני לפלוני , ממונו של פלוני לפלוני . אמרה לו : הָדָא הוא !? אף אני יכולה לעשות כן . כמה עבדים יש לי וכמה שפחות יש לי ואני יכולה לְזַוְּגָם בשעה אחת ! אמר לה : אם קלה היא בעיניך , קשה היא לפני הקב " ה כקריעת ים סוף . הִנִּיחָהּ והלך לו . מֶה עשתה - שלחה והביאה אלף עבדים ואלף שפחות , והעמידה אותן שורות שורות . אמרה להם פלוני ישא לפלונית ופלוני לפלונית . זִוְּגָן בלילה אחד .

68. דֵּין מוֹחוֹ פְּצִיעָה ( זה ראשו פצוע ), וְדֵין עֵינוֹ שְמוּטָה , וְדֵין אַצִּילֵיהּ פְּרִיךְ ( וזה אצילי ידיו שבורים ), וְדֵין אַרְכֻּבֵּהּ תְּבִירָה ( וזה ארכבתו שבורה ), דֵין אָמַר : לֵינָא בָעֲיָא לָדֵין ( זה אמר איני רוצה את זה ) וְדֵין אָמַר : לֵינָא בָעֲיָא לָדֵין . ... ( ויקרא רבה פרשה ח ) לְצַפְרָא אֲתוֹן לְגַבַּהּ ( בבקר באו אצלה ),

69. הבה ננסה את כוחנו בשדכנות בני – בלה , גבי – גילה , דני – דנה . אבי – אלה , לבו של בני יוצא אל גילה . הוא היה שמח להחליף את בלה ( 4 ) ב גילה ( 1 ). אבל גילה לא תסכים לעזוב את גבי ( 3 ) בשביל בני ( 4 ). דני בני גבי אבי דנה גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 3

70. הבה ננסה את כוחנו בשדכנות דנה בני – בלה , גבי – גילה , דני – דנה . אבי – אלה , ליבה של דנה יוצא אל אבי . דנה היתה רוצה להחליף את דני ( 3 ) ב אבי ( 1 ). אבל אבי לא יעזוב את אלה ( 1 ) לטובת דנה ( 3 ). דני גבי בני אבי גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4

71. הבה ננסה את כוחנו בשדכנות בני – בלה , גבי – גילה , דני – דנה . אבי – אלה , דני גבי בני אבי דנה גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 2 אבל עניינם של אלה ו בני שונה לחלוטין . בני מעדיף את אלה ( 3 ) על בלה ( 4 ), ואלה תענה לו ברצון , כי היא מעדיפה את בני ( 3 ) על אבי ( 4 ). 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 ביכולתם של אלה ו בני לערער את השדוך !

72. יציבות שידוכים שידוך הוא יציב אם אין אף גבר ואישה המערערים אותו . האם לכל נתוני העדפה של נשים וגברים יש שידוך יציב ? כן ! תהליך חיזור הגברים שהציעו Gale ו - Shapley (1962) מביא לשידוך יציב . גבר ואישה מערערים שידוך , אם הם מעדיפים זה את זה על פני בני הזוג המשודכים להם .

73. גם בשווקים חד צדדיים ? עלינו להקים שני צוותים בני שני איש כל אחד , מקבוצת האנשים : אבי גבי בני ירחמיאל העדפותיהם לבני זוג אבי מעדיף את גבי על ירחמיאל גבי מעדיף את אבי על בני . אבי * 1 2 3 אבי גבי בני ירחמיאל בני 2 * 1 3 גבי 1 2 * 3 ירחמיאל אבי - בני - גבי

74. גם בשווקים חד צדדיים ? עלינו להקים שני צוותים בני שני איש כל אחד , מקבוצת האנשים : אבי גבי בני ירחמיאל העדפותיהם לבני זוג Z מדרג את X במקום ראשון . X ו - Z מערערים את הציוות . לא ! אבי * 1 2 3 אבי גבי בני ירחמיאל בני 2 * 1 3 גבי 1 2 * 3 ירחמיאל X - Y - Z

75. תהליך חיזור הגברים יום א : כל גבר מבקר את האישה הראשונה ברשימתו . כל אישה מבקשת את הגבר העדיף בין כל מבקריה לשוב מחר , ודוחה את כל היתר . דני גבי בני אבי דנה גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 X יום ב : כל הגברים שנתבקשו לשוב עושים זאת . יום ג : כאתמול . x יום ד : כאתמול . x השידוך הזה יציב ! כל גבר דחוי מבקר את האישה הבאה ברשימתו . נשים דוחות גברים לא רצויים . 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4

76. סיכום תהליך חיזור הגברים בכל יום מבקר כל גבר את האישה העדיפה ביותר בין כל הנשים שלא דחו אותו עד כה . כל אישה מבקשת את הגבר המועדף בין מבקריה לשוב מחר , ודוחה את כל היתר . עבור כל נתוני העדפה של גברים ונשים , מסתיים חיזור הגברים בשידוך יציב .

77. סִמּוּן אם יעקב מעדיף את רחל על לאה , נרשום בקצרה : יעקב : רחל > לאה סימון העדפות נשים דומה . אז בהכרח נתרגל את הסימון : אם הזוגות בת שבע - אוריה אביגיל - דוד הם חלק משידוך יציב , ו - בת שבע : דוד > אוריה דוד : אביגיל > בת שבע

78. מדוע מסתיים ח " ג בשידוך יציב ? עובדה זו מבוססת על שתי תכונות פשוטות של תהליך החיזור . עד שֶׂיִּמְצָא את יְעוּדָתוֹ , מבקר כל גבר בסדר יורד את כל הנשים שקדמו לה . לכן , אם מוטי מבקר היום את רינה , והוא מעדיף על פניה את גילה , אז הוא כבר בִּקֵּר בעבר את גילה והיא דחתה אותו . הגברים בסימן ירידה גבר המוזמן ע " י אישה לשוב , עדיף לה מכל הגברים שבקרו אותה בעבר . לכן , אם פנינה רואה היום את גברי ובעתיד תבקש את משה לשוב , אז היא מעדיפה את משה . הנשים בסימן עליה

79. מדוע מסתיים ח " ג בשידוך יציב ? ראשית , מנין לנו שהתהליך יסתיים ? הדבר נובע מתכונת " גברים בסימן ירידה ". התהליך נפסק ביום שבו אף גבר איננו נדחה . כל גבר עשוי להדחות על ידי אישה מסוימת רק פעם אחת . לכן מספר הפעמים שגבר עשוי להדחות הוא כמספר הנשים . מכאן שהתהליך חיב להגיע למצב שבו אין יותר דחיות .

80. נבדוק האם ייתכן ש יעקב ו רחל , שאינם משודכים בח " ג , יערערו שידוך זה . נניח שבסוף החיזור נוצרו הזוגות : יעקב – לאה עשו – רחל מכיון ש " גברים בסימן ירידה ", הרי ש יעקב כבר ביקר את רחל , והיא דחתו אותו . מכיון ש " נשים בסימן עליה ", כל הגברים האחרים ש רחל בקשה לשוב , לאחר שדחתה את יעקב , עדיפים עליו בעיניה . בפרט , יעקב : רחל > לאה הערעור ייתכן רק אם רחל : עשו > יעקב כלומר , רחל לא תחבור ל יעקב לערעור השידוך . מדוע מסתיים ח " ג בשידוך יציב ?

81. תהליך חיזור הנשים דני גבי בני אבי דנה גילה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 יום א . יום ב . שידוך יציב זה שונה משידוך חיזור הגברים . 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 - חיזור נשים - חיזור גברים

82. טוב לַמְּחַזֵּר ... אישה וגבר נקראים שְׁדִיכִים זה לזה , אם קיים שידוך יציב בו הם משודכים זה לזה . אישה שדחתה גבר בשידוך חיזור הגברים , אינה שדיכה לו .

83. מִיּוֹמָנוֹ שֶל מְחַזֵּר רשימת העדפותיו של דון ג ' וֹבני צֶרלִינָה . . . . דוֹנָה אֶלוִירָה . . . . { { בסיום חז " ג דונה אלוירה משודכת לדון ג ' ובני . היא שדיכה לו . הנשים שדחו את ג ' ובני הן בלתי שדיכות לו . כל הנשים השדיכות לג ' ובני מופיעות ברשימה החל מדונה אלוירה ואילך . = ג ' ובני מעדיף את דוֹנָה אֶלוִירָה על כל הנשים השדיכות לו .

84. Madamina, il catalogo è questo Delle belle che amò il padron mio; un catalogo egli è che ho fatt'io; Osservate, leggete con me. In Italia seicento e quaranta; In Almagna duecento e trentuna; Cento in Francia, in Turchia novantuna; Ma in Ispagna son già mille e tre. V'han fra queste contadine, Cameriere, cittadine, V'han contesse, baronesse, Marchesine, principesse. E v'han donne d'ogni grado, D'ogni forma, d'ogni età. גבירונת , זוהי רשימת היפיפיות שאדוני אהב , רשימה שבעצמי הכנתי : הביטי , וקראי אותה עימי . באיטליה שש מאות וארבעים , בגרמניה מאתים שלושים ואחת , מאה בצרפת , בטורקיה תשעים ואחת , אך בספרד כבר אלף ושלוש . בתוכן נערות כפר , חדרניות ובנות העיר , קונטסות וברוניות , מרקיזות ונסיכות : נשים מכל המעמדות , מכל גזרה , ומכל גיל . אַרְיַת הקטלוג של לֶפּוֹרֶלוֹ , מתוך האופרה דון ג ' ובני , מוצרט .

85. טוב לַמְּחַזֵּר ... אישה וגבר נקראים שְׁדִיכִים זה לזה , אם קיים שידוך יציב בו הם משודכים זה לזה . אישה שדחתה גבר בשידוך חיזור הגברים , אינה שדיכה לו . או במילים אחרות ...

86. ... ואבוי לַמְּחֻזֶּרֶת בחיזור הגברים , זוֹכָה כל אישה בגבר הרע בעיניה מכל הגברים השדיכים לה . בחיזור הגברים , זוֹכֶה כל גבר באישה הטובה בעיניו מכל הנשים השדיכות לו . טוב לַמְּחַזֵּר ...

87. תהליכי חיזור הגברים וחיזור הנשים מסתיימים באותו שידוך . קיים שידוך יציב אחד . ומה כאשר ח " ג וח " נ מתלכדים ?

88. ומה כאשר ח " ג וח " נ מתלכדים ? ברור שאם יש רק שידוך יציב יחיד , אז בהכרח , שני התהליכים המובילים לשידוך יציב , מסתיימים באותו שידוך - השידוך היחיד . נניח ששני התהליכים מסתיימים באותו שידוך , ונניח ש אחשורוש ו אסתר משודכים זה לזה בשידוך הזה . מכיוון שזהו ח " ג הרי ש אסתר נושאת חן לפני אחשורוש מכל הנשים השדיכות לו . מכיוון שזהו ח " נ הרי ש אסתר היא הפחותה בעיני אחשורוש מכל הנשים השדיכות לו . לכן בהכרח אסתר היא האישה היחידה השדיכה ל אחשורוש . כלומר הם משודכים זה לזה בכל השידוכים היציבים .

89. אישה הדוחה גבר בחיזור הגברים אינה שדיכה לו . נניח להפך , שבחיזור הגברים דחתה אישה גבר שהיא שדיכה לו . ודאי שדחייה כזו קורת פעם ראשונה ביום כל שהוא . נניח שזהו יום T . ביום זה נידחה יעקב ע " י רחל השדיכה לו . הוא נידחה לטובת עשו . כלומר : רחל : עשו > יעקב . לפני יום T לא נידחה אף גבר ע " י אישה שדיכה לו . רחל שדיכה ל יעקב , כלומר היא משודכת לו בשידוך יציב . עשו משודך בשידוך זה ל יהודית . יעקב - רחל עשו - יהודית מכיון שהשידוך יציב , רחל ו עשו אינם יכולים לערערו . הכיצד ? הרי רחל : עשו > יעקב ? על כרחך אמור , ש עשו : יהודית > רחל . אבל ביום T של חיזור הגברים , ביקר עשו את רחל . משמע ש יהודית , הקודמת ל רחל ברשימת עשו , דחתה אותו קודם ליום T . הווה אומר : יהודית , השדיכה לעשו , דחתה אותו לפני יום T . סתירה .

90. הגבר המשודך לאישה בחיזור הגברים הוא הרע בעיניה מכל הגברים השדיכים לה . די להראות שאם יעקב ו רחל משודכים בחיזור הגברים , ו - רחל : יעקב > עשו אז רחל ו עשו אינם שדיכים . נניח להפך , שיש שידוך יציב שבו משודכים רחל ו עשו . בשידוך זה משודך יעקב ל לאה . כלומר , יש שידוך יציב שבו משודכים : יעקב - לאה עשו - רחל לאה שדיכה ליעקב . לכן , מכיון ש יעקב ו רחל משודכים בחיזור הגברים : יעקב : רחל > לאה העדפותיהם של יעקב ו רחל סותרות את יציבות השידוך .

91. אבטלה נניח שמספר הגברים גדול ממספר הנשים . בכל שידוך יציב יישארו גברים שאינם משודכים . האם גורלם של הגברים ה " מובטלים " תלוי בשידוך ? כלומר האם גבר שאינו משודך בשידוך יציב אחד , יימצא בת זוג בשידוך יציב אחר ? לרוע מזלם של הרווקים , התשובה היא : לא ! הגברים הלא משודכים הם אותם גברים בכל השידוכים היציבים .

92. כדי לראות זאת נבחן גבר שאינו משודך בתהליך חיזור הגברים . הראנו שכל אישה הדוחה גבר בתהליך זה אינה משודכת לו באף שידוך יציב . הגבר שאנו דנים בו , נדחה ע " י כל הנשים . לכן בכל שידוך יציב אין אף אישה המשודכת לו . כלומר : קבוצת גברים שאינם משודכים בתהליך חיזור הגברים היא גם קבוצת הגברים הלא משודכים בכל שידוך יציב . אבטלה

93. פִּתְגַם הַשָּׁבוּעַ טַב לְמֵיתַב טַנְדּוּ מִלְּמֵיתַב אַרְמְלוּ . טַב = לְמֵיתַב = טַנְדּוּ = אַרְמְלוּ = טוב לַשֶּׁבֶת (" שׁ " ו - " ת " מתחלפות : עשיר - עתיר ) בשניים (?) בצער (?) = בבדידות אַ מְ וּ רְ לְ נ ל = חילופי למנר ג ר עין – ג ל עין ב ן - ב ר

94. אם לא תהיה בררן תמצא עבודה ... מי אשם בכך שגבר נשאר רווק , או עובד נשאר מובטל ? אולי האשמה היא בו ? ייתכן שאילו היו העדפותיו שונות היה משודך ? ייתכן שהפיזיקאי העולה החדש היה מוצא עבודה , אילו במקום תדיראן היה שם בראש העדפותיו את מחלקת התברואה ? לא ! שינוי העדפותיו של המובטל לא ישנו את מעמדו בשום שידוך יציב .

95. שינוי העדפותיהם של מובטלים לא יועיל להם נסמן ב - B את קבוצת הגברים שאינם משודכים באף שידוך יציב בבעית שידוכים עם טבלת העדפות T . נסמן ב - T’ טבלת העדפות הנבדלת מ - T רק בהעדפותיהם של הגברים ב - B . בתהליך חיזור הנשים לפי T , אף גבר ב - B אינו זוכה לביקורה של אישה . לכן בתהליך זה העדפותיהם של חברי B לא באו לידי ביטוי . מכאן , שתהליך חיזור הנשים לפי T’ יראה בדיוק כמו התהליך לפי T . כלומר , גם לפי T’ יישארו חברי B בלתי משודכים בחיזור הנשים , ומשום כך בלתי משודכים בכל שידוך יציב .

96. האם התנהגות אסטרטגית משתלמת ? 2 3 3 2 הבנים והבנות מוסרים את העדפותיהם למנהל המפגש והוא מפעיל את תהליך חיזור הגברים . נניח ש אתי הייתה מוסרת העדפות לא נכונות ... ... היא הייתה משפרת את מצבה . גילי בטי אתי 2 3 1 2 2 1 אלי 1 2 3 3 3 1 בני 3 3 2 1 1 2 גבי גילי בטי אתי 2 3 1 2 2 1 אלי 1 2 3 3 3 1 בני 3 3 2 1 1 2 גבי

97. תרגיל Speed dating הראו , שבדוגמת ה - speed dating יש עוד שידוך יציב נוסף .

98. פתרון Speed dating בשדוך יציב , אבי משודך ל בלה או ל דנה , ו בני משודך ל אלה או בלה . נניח ש בני משודך ל אלה . מכיון ש אלה מעדיפה את דני על בני , דני חיב להיות משודך ל דנה . לכן אבי משודך ל בלה . קבלנו את חיזור הגברים . נניח ש בני משודך ל בלה , אז אבי משודך ל דנה , כמו בחז " נ . פרט לשדוך הנשים ייתכן גם : גבי - גלה , דני - אלה . דני גבי בני אבי דנה גלה בלה אלה 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 2 4 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 4 - חיזור גברים - חיזור נשים

99. תרגיל מצא את שידוכי חיזור הגברים והנשים לטבלת ההעדפות שלהלן . דני גבי בני אבי דנה גלה בלה אלה 4 2 1 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 4 3 1 2 1 3 4 4 1 2 3 2 1 4 3 3 4 1 2

100. פתרון חיזור נשים דני גבי בני אבי דנה גלה בלה אלה 4 2 1 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 4 3 1 2 1 3 4 4 1 2 3 2 1 4 3 3 4 1 2

102. תרגיל נניח שמרדכי הוא הראשון בדרוג הגברים של אסתר . אז מרדכי ואסתר מעדיפים איש את רעהו על כל בן זוג אחר . לכן בכל שידוך יציב הם משודכים זה לזה . הגבר המשודך לושתי בחיזור הגברים נדחה ע " י כל יתר הנשים , לכן אינו שדיך להן . כלומר , הוא משודך לה בכל שידוך יציב .

103. תרגיל לכל הגברים אותה העדפה על נשים . הראו שיש רק שידוך יציב אחד .