Đưa ra phương pháp tính ổn định của thanh chịu nén một cách nhanh chóng

1. 1
Tính ổn định thanh có mặt cắt thay đổi
Analysis for Stability of a bar with non-constant cross-sections
TS Lương Xuân Bính
Bộ môn Sức bền vật liệu - Trường Đại học Giao thông Vận tải
Tóm tắt. Bài báo giới thiệu một phương pháp tính ổn định thanh bị nén có mặt cắt thay đổi dạng
bậc và thay đổi liên tục. Trong phương pháp này, tác giả đã khắc phục sự phức tạp toán học trong
bài toán ổn định bằng cách đặt vấn đề giải bài toán theo phương pháp nửa ngược. Dạng đường
đàn hồi của thanh tại trạng thái giới hạn được giả định dưới dạng một đa thức bậc cao. Các hệ số
của đa thức này được xác định bằng cách giải bài toán tối ưu hóa hàm mục tiêu khi phương trình
đàn đường đàn hồi của thanh phải thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản trong bài toán ổn định,
đồng thời thỏa mãn các điều kiện biên của thanh. Khi đường đàn hồi được xác định, lực tới hạn
của thanh được xác định một cách dễ dàng bằng công thức năng lượng. Bài báo cũng trình bày
cách xây dựng thuật toán, chương trình tính trên máy tính.
Abstract. This paper deals with a method for analysis of stability of a bar with non-constant
cross- sections. In this method, the author overcomes the mathematical complicatedness in
stability problems with using semi-inverse solutions. Elastic curve of the bar at critical state is
assumed under the form of a multinomial of which the parameters are defined with optimizing
objective function when the multinomial is satisfied the fundamental differential equation of the
stability problem and the boundary conditions of the bar. When the elastic curve is defined, the
critical force is easily defined with energy formula. The paper also demonstrates the establishment
of algorithm and computer program to solve the problems.
1. Đặt vấn đề
Trong kỹ thuật nói chung, ngành xây dựng công trình nói riêng, việc phải xét đến ổn định của các
cấu kiện chịu nén có mặt cắt ngang thay đổi là khá phổ biến ví dụ như ổn định của trụ tháp cầu treo
dây văng (hình 1), trụ cầu (hình 2), tháp truyền hình (hình 3), trụ quạt gió (hình 4). Bài toán ổn định
vốn dĩ đã phức tạp. Trường hợp ổn định thanh có mặt cắt không đổi đã được giải quyết triệt để theo
nhiều tiêu chí ổn định khác nhau [1]. Trường hợp thanh có mặt cắt thay đổi theo từng đoạn cũng đã
được giải quyết bằng cách viết phương trình vi phân cơ bản cho từng đoạn và tiến hành xác định trị
riêng bài toán, tuy nhiên bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều [2]. Trường hợp thanh có mặt cắt thay
đổi liên tục bậc nhất, bậc hai và bậc cao, bài toán ổn định trở nên rất khó khăn đối với phương pháp
giải tích truyền thống. Trong nghiên cứu này, tác giả đi vào xây dựng một phương pháp tính gần đúng
để giải quyết một cách hiệu quả bài toán ổn định của thanh chịu nén có mặt cắt thay đổi dạng bậc và
cả thay đổi một cách liên tục. Ở đây, tác giả kiến nghị sử dụng giải bài toán theo phương pháp nửa
ngược. Trước hết đường đàn hồi của thanh được giả định dưới dạng một đa thức xấp xỉ bậc cao với
các hệ số của đa thức là các tham số chưa biết. Việc xác định đường đàn hồi của thanh thực chất là
việc đi xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ. Điều kiện để xác định các tham số này là: đa thức xấp xỉ
phải thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản của bài toán ổn định; đồng thời nó cũng phải thỏa mãn
điều kiện biên động học và tĩnh học của thanh. Ở đây tính toán tối ưu hóa được sử dụng để xác định
các tham số chưa biết này.
2. Hàm xấp xỉ
Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn, tại đó
thanh đã bị cong đi. Hàm xấp xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ bản sau đây: chuỗi lượng giác
hoặc đa thức. Ở đây hàm xấp xỉ đa thức được lựa chọn do tính đơn giản toán học, đặc biệt trong các

2. 2
tính toán đạo hàm, vi phân, tích phân. Ở đây bậc và số lượng các số hạng của đa thức không bị hạn
chế. Một cách tổng quát, đa thức xấp xỉ có dạng như sau:
n
n
i
i xaxaxaxaazv  ......)( 2
210 (1)
Ở đó, các hệ số a0, a1, ... an là các tham số chưa biết, cần được xác định.
3. Tối ưu hóa xác định các tham số của hàm xấp xỉ
Hàm xấp xỉ trước hết phải thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản của thanh tại trạng thái tới hạn
với mọi giá trị của z trong miền xác định của hàm số. Phương trình này có dạng như sau:
0
)()(
2
2
4
4

dz
zvd
EJ
P
dz
zvd
x
th
(2)
Trong đó Pth là lực tới hạn của thanh. Ở đây, tiêu chí năng lượng trong bài toán ổn định được sử dụng
để xác định Pth như trong công thức (3).
Hình 1. Trụ tháp cầu treo dây văng Hình 2. Trụ cầu mặt cắt thay đổi theo từng đoạn
Hình 4. Trụ quạt gióHình 3. Tháp truyền hình

3. 3
 
 

 l
l
x
th
dzzv
dzzvEJ
P
0
2
0
2
)('
)("
(3)
Để hàm xấp xỉ v(z) thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản (2), ta sử dụng phương pháp bình
phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ, các tham số ai của hàm
xấp xỉ đảm bảo sao cho tổng bình phương vế trái của (2) ứng với các giá trị khác nhau của z trong
miền xác định của hàm xấp xỉ, [VT(2)]2
, phải đạt cực tiểu, với điều kiện ràng buộc là các điều kiện
biên động học và tĩnh học của thanh.
Phát biểu bài toán tối ưu hóa xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ như sau:
Hàm mục tiêu: f(ai) = [VT(2)]2
 min
Biến số: ai = {a0, a1, ... an}T
Điều kiện ràng buộc: điều kiện biên động học và điều kiện biên tĩnh học.
4. Xây dựng thuật toán và chương trình tính trên máy tính
4.1. Xây dựng thuật toán
Giả định các giá trị ban đầu của các tham số ai. Từ đa thức xấp xỉ đã giả định của đường đàn hồi,
ta lập được bảng tính các đại lượng như trong bảng 1. Từ bảng này, dễ dàng xác định được hàm mục
tiêu f(ai). Cho các tham số ai thay đổi, phương pháp Newton được sử dụng để xác định các tham số ai
sao cho hàm mục tiêu f(ai) đạt cực tiểu.
Bảng 1.
z d(z) Jx (z) E Jx (z) v(z) v’(z) v”(z) v”’(z) v””(z) Pth VT(2) [VT(2)]2
0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
zi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
l ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Hàm mục tiêu f(ai) = [VT(2)]2
4.2. Xây dựng chương trình tính
Trên cơ sở thuật toán đã giới thiệu ở trên, chương trình tính trên máy tính được xây dựng với ứng
dụng của Hàm Solver. Solver là một trong những nội hàm của Microft Excel, được xây dựng và đưa
vào sử dụng từ phiên bản Microft Excel 97. Với Solver, người dùng có thể giải các bài toán sau đây
thông qua bảng tính Excel: giải các hệ phương trình tuyến tính, phi tuyến, các phương trình đại số bậc
cao, siêu việt, hàm mũ...; tìm các tham số của hàm giải tích xấp xỉ của tập dữ liệu thống kê, quan sát
nhằm phục vụ cho việc tính toán dự báo; giải các bài toán quy hoạch tối ưu [3]. Các hướng dẫn căn
bản và một số ứng dụng Hàm Solver đã được giới thiệu trong [4].
Để khởi động Solver, vào Menu Tools rồi chọn Solver. Sau khi khởi động, hộp thoại "Các tham
số của Solver (Solver Parameters)" xuất hiện như trên hình 5.
Hàm mục tiêu (Set Target Cell). Giá trị trong ô của bảng tính Excel có địa chỉ ghi trong khung Set
Target Cell được gọi là hàm mục tiêu.

4. 4
Biến và tham số (Changing Cells). Địa chỉ của các ô trong bảng tính Excel ghi trong khung
Changing Cells xác định các biến của hàm mục tiêu. Giá trị các biến này sẽ bị thay đổi để đạt được giá
trị hàm mục tiêu mong muốn.
Ràng buộc (Constraints). Trong quá
trình biến đổi các biến số để đạt được giá
trị hàm mục tiêu mong muốn, các biến
hoặc các tham số của bài toán phải thoả
mãn những quan hệ ràng buộc nhất định
nào đó. Các ràng buộc này được mô tả
trong khung Subject to the Constraints.
Việc thêm vào, thay đổi hay loại bỏ bớt đi
một ràng buộc được thực hiện nhờ các
chức năng Add, Change hay Delete.
Các lựa chọn trong hộp thoại
"Solver Options" được thể hiện trong
hình 6.
Thời gian tính lớn nhất (Max time).
Giá trị trong khung Max Time xác định
thời gian lớn nhất tính theo giây để Solver
sẽ chạy trước khi dừng. Thời gian này
bao gồm thời gian sắp xếp (setup time) và
thời gian tìm nghiệm tối ưu. Đây là một
trong những điều kiện dừng của Solver.
Số bước tính lặp (Interations). Giá
trị trong khung Interactions xác định số
bước tính lặp lớn nhất Solver có thể thực
hiện trên một bài toán. Mỗi bước tính lặp
tính ra một nghiệm mới. Đây cũng là một
trong những điều kiện dừng của Solver.
Độ chính xác (Precision). Con số
nhập vào ô này xác định giá trị tính toán
của vế trái ràng buộc phải xấp xỉ phù hợp
với vế phải như thế nào để các ràng buộc
được thoả mãn. Độ chính xác không nên
nhỏ quá và không nên lớn quá. Thông thường nằm trong phạm vi 1.0E-6 đến 1.0E-4.
Dung sai và hội tụ (Tolerance và Convergence). Lựa chọn dung sai xác định một nghiệm nguyên
dự kiến phải gần sát một nghiệm nguyên tối ưu đích thực như thế nào trước khi Solver dừng. Lựa chọn
hội tụ kiểm soát điều kiện dừng của Solver để dẫn đến thông báo "Solver đã hội tụ đến nghiệm hiện
hành".
Giả thiết mô hình tuyến tính (Assume Linear Model). Khi đánh dấu ô này, thuật toán Simplex
Solver được sử dụng, nếu không thuật toán Generalized Reduced Gradient mặc định được dùng.
Giả thiết không âm (Assume Non-Negative). Khi khung này được đánh dấu, bất kỳ biến quyết
định nào không có ràng buộc cận dưới sẽ được cho cận dưới bằng zero khi giải bài toán.
Sử dụng tỷ lệ tự động (Use Automatic Scaling). Khi khung này được đánh dấu, Solver sẽ cố gắng
định tỷ lệ giá trị hàm mục tiêu và ràng buộc để giảm thiểu ảnh hưởng của mô hình có các đại lượng
với giá trị độ lớn khác biệt.
Hiển thị kết quả bước tính lặp (Show Iteration Results). Khi chức năng này được lựa chọn, kết
quả từng bước lặp sữe được hiển thị trong bản tính của Solver.
Hình 5. Hộp thoại Solver.
Hình 6. Hộp thoại Solver Options.

5. 5
Các lựa chọn thuật giải: Ước lượng (Estimate), Sai phân (Derivatives), Tìm kiếm (Search).
Ước lượng có hai lựa chọn: tiếp tuyến (Tangent) dùng để ngoại suy tuyến tính từ đường tiếp
tuyến đến hàm mục tiêu đã rút gọn, toàn phương (Quadratic) dùng để ngoại suy cực tiểu hoặc cực đại
của một hàm toàn phương thích hợp với hàm mục tiêu tại điểm hiện hành.
Đạo hàm có hai lựa chọn: sai phân tiến (forward), sai phân trung tâm (central).
Có hai lựa chọn để xác định hướng tìm kiếm: phương pháp Newton, và phương pháp liên hợp
(Conjugate).
Chi tiết các chương trình tính được thể hiện trong các thí dụ tính toán.
5. Thí dụ tính toán và đánh giá kết quả
5.1. Thí dụ 01 - Tính lực tới hạn của thanh tròn có mặt cắt ngang không thay đổi
Bảng 2. Các số liệu tính toán thí dụ 01
Sơ đồ thanh: Một đầu ngàm, một đầu tự do
Chiều dài thanh l (cm): 200 cm
Đường kính d (cm): 4
Vật liệu thanh: Thép
E (daN/cm2
): 2000000
Quy ước đơn vị:
Chiều dài: cm
Lực: daN
Đa thức xấp xỉ: v(z) = a0+a1z+a2z2
+a3z3
+a4z4
+a5z5
Bảng 3. Kết quả tính toán thí dụ 01
a5 a4 a3 a2 a1 a0 Pth Pơle Sai số
5E-08 -2E-05 -7E-04 1E+00 -1E-08 -1E-08 6261 6201 0.96%
z d(z) Jx v(z) v'(z) v''(z) v'"(z) v""(z) VT(2)2
0 4 12.57 0.00 0.00 1.97 0.00 0.00 2.22E-09
20 4 12.57 97.54 19.40 1.90 -0.01 0.00 7.39E-11
40 4 12.57 384.97 37.90 1.79 -0.01 0.00 3.22E-10
60 4 12.57 851.00 55.05 1.63 -0.02 0.00 1.14E-09
80 4 12.57 1480.03 70.44 1.44 -0.02 0.00 1.63E-09
100 4 12.57 2252.75 83.73 1.21 -0.02 0.00 1.52E-09
120 4 12.57 3146.67 94.63 0.96 -0.03 0.00 9.68E-10
140 4 12.57 4136.65 102.91 0.69 -0.03 0.00 3.24E-10
160 4 12.57 5195.48 108.38 0.40 -0.03 0.00 1.10E-12
180 4 12.57 6294.39 110.91 0.10 -0.03 0.00 3.37E-10
200 4 12.57 7403.65 110.44 -0.20 -0.03 0.00 1.51E-09
Hàm mục tiêu f(ai) = 1.01E-08
Nhận xét:
- So sánh kết quả lực tới hạn tìm được với lực tới hạn theo phương pháp Ơle, sai số là 0,96%,
chứng tỏ phương pháp tính cho kết quả khá chính xác với phương pháp tính đúng.
- Mặc dù giả định đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho thấy đường đàn hồi
của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là đường cong bậc hai. Do đó không cần
phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.
P
Hình 7. Sơ đồ tính thí dụ 01

6. 6
5.2. Thí dụ 02 - Tính lực tới hạn của thanh tròn có mặt cắt ngang thay đổi bậc nhất
Bảng 4. Các số liệu tính toán thí dụ 02
Sơ đồ thanh: Một đầu ngàm, một đầu tự do
Chiều dài thanh l (cm): 200 cm
Đường kính d (cm): thay đổi từ 2 đến 4
Vật liệu thanh: Thép
E (daN/cm2
): 2000000
Quy ước đơn vị:
Chiều dài: cm
Lực: daN
Đa thức xấp xỉ: v(z) = a0+a1z+a2z2
+a3z3
+a4z4
+a5z5
Bảng 5. Kết quả tính toán thí dụ 02
a5 a4 a3 a2 a1 a0 Pth
-9E-06 1E-03 1E+00 1E+00 -1E-08 -1E-08 686
z d(z) Jx v(z) v'(z) v''(z) v'"(z) v""(z) VT(2)2
0 4.0 12.57 -1.0E-08 -1.00E-08 2.00 0.00 0.03 1.09E-03
20 3.8 10.24 8.6E+03 1.28E+03 127.24 -0.01 0.01 2.52E-04
40 3.6 8.24 6.8E+04 5.12E+03 257.13 -0.01 -0.01 8.53E-07
60 3.4 6.56 2.3E+05 1.15E+04 383.11 -0.02 -0.03 1.24E-04
80 3.2 5.15 5.5E+05 2.04E+04 496.63 -0.02 -0.05 3.78E-04
100 3.0 3.98 1.1E+06 3.13E+04 589.15 -0.02 -0.07 5.33E-04
120 2.8 3.02 1.8E+06 4.37E+04 652.12 -0.03 -0.10 4.48E-04
140 2.6 2.24 2.8E+06 5.71E+04 676.98 -0.03 -0.12 1.74E-04
160 2.4 1.63 4.1E+06 7.05E+04 655.20 -0.03 -0.14 8.81E-09
180 2.2 1.15 5.6E+06 8.29E+04 578.22 -0.03 -0.16 1.69E-04
200 2.0 0.79 7.4E+06 9.32E+04 437.50 -0.03 -0.18 1.04E-04
Hàm mục tiêu f(ai) = 2.68E-02
Nhận xét:
Mặc dù giả định đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho thấy đường đàn hồi
của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là đường cong bậc ba. Do đó không cần
phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.
5.3. Thí dụ 03 - Tính lực tới hạn của thanh tròn có mặt cắt ngang thay đổi bậc hai
Bảng 6. Các số liệu tính toán thí dụ 03
Sơ đồ thanh: Một đầu ngàm, một đầu tự do
Chiều dài thanh l (cm): 200 cm
Đường kính d (cm): thay đổi từ 2 đến 4
Vật liệu thanh: Thép
E (daN/cm2
): 2000000
Quy ước đơn vị:
Chiều dài: cm
Lực: daN
Đa thức xấp xỉ: v(z) = a0+a1z+a2z2
+a3z3
+a4z4
+a5z5
Hình 8. Sơ đồ tính thí dụ 02
P
Hình 9. Sơ đồ tính thí dụ 03

7. 7
Bảng 7. Kết quả tính toán thí dụ 03
a5 a4 a3 a2 a1 a0 Pth
-8E-06 1E-03 1E+00 1E+00 -1E-08 -1E-08 378
z d(z) Jx v(z) v'(z) v''(z) v'"(z) v""(z) VT(2)2
0 4.0 12.57 -1.00E-08 -1.00E-08 2.00 0.00 0.03 1.09E-03
20 3.6 8.43 8.60E+03 1.28E+03 127.33 -0.01 0.01 2.51E-04
40 3.3 5.68 6.83E+04 5.13E+03 257.86 -0.01 -0.01 2.44E-06
60 3.0 3.87 2.31E+05 1.16E+04 385.57 -0.02 -0.03 6.69E-05
80 2.7 2.69 5.48E+05 2.05E+04 502.48 -0.02 -0.05 1.35E-04
100 2.5 1.92 1.06E+06 3.15E+04 600.57 -0.02 -0.07 6.02E-05
120 2.3 1.42 1.82E+06 4.43E+04 671.85 -0.03 -0.09 5.65E-06
140 2.2 1.11 2.84E+06 5.82E+04 708.31 -0.03 -0.11 1.93E-04
160 2.1 0.92 4.15E+06 7.24E+04 701.96 -0.03 -0.13 3.08E-04
180 2.0 0.82 5.74E+06 8.59E+04 644.80 -0.03 -0.15 5.16E-06
200 2.0 0.79 7.58E+06 9.78E+04 528.83 -0.03 -0.17 1.57E-03
Hàm mục tiêu f(ai) = 2.04E-02
Nhận xét:
Mặc dù giả định đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho thấy đường đàn hồi
của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là đường cong bậc bốn. Do đó không cần
phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.
6. Kết luận
Nghiên cứu đã xây dựng được một phương pháp tính ổn định thanh chịu nén có mặt cắt ngang
thay đổi dựa trên cách giải bài toán nửa ngược và ứng dụng hàm Solver để tìm lời giải cho bài toán.
Thuật toán và chương trình tính đã được kiểm chứng qua thí dụ tính toán đơn giản và so sánh với
phương pháp Ơle với sai số nhỏ.
Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong công tác tính toán thiết kế ổn định các cấu kiện
công trình chịu nén, đồng thời đây cũng là tài liệu tham khảo tốt cho các nghiên cứu về bài toán ổn
định của thanh và hệ thanh chịu nén.
Tài liệu tham khảo
[1] Vũ Đình Lai: Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao Thông Vận Tải, 2007.
[2] Timoshenko & Gere: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 1961.
[3] Premium Solver Platform For use with Microsoft Excel, Frontline Systems, Inc. USA, 2003.
[4] Trần Trí Dũng: Excel-Solver cho kỹ sư, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2005.