1. Ñëîæíîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ
Ýäóàðä Àëåêñååâè÷ Ãèðø
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ÏÎÌÈ ÐÀÍ
23 ñåíòÿáðÿ 2010 ã.
1/6

2. Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S , W ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S ≤W ) ⇐⇒
S -äîê-âà íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p ):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S -äîê-âî äëÿ F | ≤ p (|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
2/6

3. Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S , W ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S ≤W ) ⇐⇒
S -äîê-âà íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p ):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S -äîê-âî äëÿ F | ≤ p (|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S W ), åñëè åù¼ è W ≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
2/6

4. Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S , W ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S ≤W ) ⇐⇒
S -äîê-âà íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p ):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S -äîê-âî äëÿ F | ≤ p (|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S W ), åñëè åù¼ è W ≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
Îïðåäåëåíèå
p -ìîäåëèðîâàíèå (≤ ) êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:
çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü
p
W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p (w ).
2/6

5. Ïîëèíîìèàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå
Îïðåäåëåíèå
Ïóñòü S , W ñèñòåìû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ÿçûêà L.
S ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S ≤W ) ⇐⇒
S -äîê-âà íå äëèííåå W -äîê-â (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëèíîìà p ):
∀F ∈ L |êðàò÷àéøåå S -äîê-âî äëÿ F | ≤ p (|êðàò÷àéøåå W -äîê-âî äëÿ F |).
S ñòðîãî ìîäåëèðóåò W (ïèøåì S W ), åñëè åù¼ è W ≤ S .
Íàïðèìåð, CP (ñåêóùèå ïëîñêîñòè) Res (ìåòîä ðåçîëþöèé).
Îïðåäåëåíèå
p -ìîäåëèðîâàíèå (≤ ) êîíñòðóêòèâíàÿ âåðñèÿ:
çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ìîæíî òðàíñôîðìèðîâàòü
p
W -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà w â S -äîêàçàòåëüñòâî ðàçìåðà p (w ).
Îïðåäåëåíèå
(p-)îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äîê-â íàèìåíüøèé ýëåìåíò äëÿ ≤ (≤ ). 2 / 6
p

6. Ñèñòåìû Ôðåãå
Îïðåäåëåíèå
Ñèñòåìîé Ôðåãå íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç êîððåêòíûõ ïðàâèë âèäà
F1 F2 ... F k
,
G
F ,G
i ôîðìóëû ëîãèêè âûñêàçûâàíèé,
â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû ñ
âûáðàííûì ìíîæåñòâîì îïåðàöèé ( áàçèñîì),
âûâîä íà÷èíàåòñÿ ñ àêñèîì (ãäå k = 0),
íîâûå ôîðìóëû âûâîäÿòñÿ ( ) ïðàâèëàìè èç ðàíåå âûâåäåííûõ.
Ïðèìåð
, ,
P ⊃ (Q ⊃ P ) (¬Q ⊃ ¬P ) ⊃ ((¬Q ⊃ P ) ⊃ Q )
P P ⊃Q
, .
Q (P ⊃ (Q ⊃ R )) ⊃ ((P ⊃ Q ) ⊃ (P ⊃ R ))
3/6

7. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∃ äîê-âî F .
4/6

8. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G )
˜ =⇒ F ∗ G.
4/6

9. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G ) =⇒ F ∗ G .
˜
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
4/6

10. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G ) =⇒ F ∗ G .
˜
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
4/6

11. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G ) =⇒ F ∗ G .
˜
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
4/6

12. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G ) =⇒ F ∗ G .
˜
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
Íåïðÿìîé ïåðåâîä:
F = T [G H ],
F = ((G H ) ∧ T [1]) ∨ (¬(G H ) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,
à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O (log . . .).
4/6

13. Ñèñòåìû Ôðåãå
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñèñòåìà Ôðåãå ïîëíà, åñëè F ∈ L =⇒ ∗ F .
Ñèñòåìà Ôðåãå èìïëèêàòèâíî ïîëíà, åñëè ∀(F ⊃ G ) =⇒ F ∗ G .
˜
Òåîðåìà
Âñå êîððåêòíûå ïîëíûå èìïëèêàòèâíî ïîëíûå ñèñòåìû Ôðåãå
ïîëèíîìèàëüíî p-ýêâèâàëåíòíû (ò.å. p-ìîäåëèðóþò äðóã äðóãà).
Äîê-âî äëÿ îäèíàêîâûõ áàçèñîâ: ïðîìîäåëèðóåì êàæäîå ïðàâèëî.
Ïðè ñìåíå áàçèñà ãëóáîêèå ôîðìóëû ìîãóò âûðàñòè!
Íåïðÿìîé ïåðåâîä:
F = T [G H ],
F = ((G H ) ∧ T [1]) ∨ (¬(G H ) ∧ T [0]).
ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííî îïåðàöèè ïåðåâîäÿòñÿ íà íèæíåì óðîâíå,
à óðîâíåé ïîëó÷àåòñÿ O (log . . .).
Îñòà¼òñÿ íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ òàêèì ïðåäñòàâëåíèåì.
4/6

14. Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
Ñåêâåíöèÿ F1, . . . , F → G1, . . . , G
k l
Ñìûñë: F ⊃ G .i j
i j
5/6

15. Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
Ñåêâåíöèÿ F1, . . . , F → G1, . . . , G (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
k l
Ñìûñë: F ⊃ G .
i j
i j
Àêñèîìû F → F , îñëàáëåíèå F , Γ → G , ∆.
Γ→∆
Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:
Γ→F,∆ F,Γ→∆ G, Γ → ∆ F,Γ→∆
, , ,
Γ → F ∨ G, ∆ F ∨ G, Γ → ∆ Γ → ¬F , ∆
F,Γ→∆ Γ→F,∆ Γ → G, ∆ Γ→F,∆
, , .
F ∧ G, Γ → ∆ Γ → F ∧ G, ∆ ¬F , Γ → ∆
5/6

16. Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
Ñåêâåíöèÿ F1, . . . , F → G1, . . . , G (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
k l
Ñìûñë: F ⊃ G .
i j
i j
Àêñèîìû F → F , îñëàáëåíèå F , Γ → G , ∆.
Γ→∆
Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:
Γ→F,∆ F,Γ→∆ G, Γ → ∆ F,Γ→∆
, , ,
Γ → F ∨ G, ∆ F ∨ G, Γ → ∆ Γ → ¬F , ∆
F,Γ→∆ Γ→F,∆ Γ → G, ∆ Γ→F,∆
, , .
F ∧ G, Γ → ∆ Γ → F ∧ G, ∆ ¬F , Γ → ∆
Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F,Γ→∆ Γ→F,∆
.
Γ→∆
5/6

17. Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
Ñåêâåíöèÿ F1, . . . , F → G1, . . . , G (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
k l
Ñìûñë: F ⊃ G .
i j
i j
Àêñèîìû F → F , îñëàáëåíèå F , Γ → G , ∆.
Γ→∆
Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:
Γ→F,∆ F,Γ→∆ G, Γ → ∆ F,Γ→∆
, , ,
Γ → F ∨ G, ∆ F ∨ G, Γ → ∆ Γ → ¬F , ∆
F,Γ→∆ Γ→F,∆ Γ → G, ∆ Γ→F,∆
, , .
F ∧ G, Γ → ∆ Γ → F ∧ G, ∆ ¬F , Γ → ∆
Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F,Γ→∆ Γ→F,∆
.
Γ→∆
Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.
Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.
5/6

18. Ñåêâåíöèàëüíîå (ãåíöåíîâñêîå) èñ÷èñëåíèå
Ñåêâåíöèÿ F1, . . . , F → G1, . . . , G (ñïèñêè êàê ìíîæåñòâà!).
k l
Ñìûñë: F ⊃ G .
i j
i j
Àêñèîìû F → F , îñëàáëåíèå F , Γ → G , ∆.
Γ→∆
Ïðàâèëà ââåäåíèÿ ∧, ∨, ¬:
Γ→F,∆ F,Γ→∆ G, Γ → ∆ F,Γ→∆
, , ,
Γ → F ∨ G, ∆ F ∨ G, Γ → ∆ Γ → ¬F , ∆
F,Γ→∆ Γ→F,∆ Γ → G, ∆ Γ→F,∆
, , .
F ∧ G, Γ → ∆ Γ → F ∧ G, ∆ ¬F , Γ → ∆
Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ: F,Γ→∆ Γ→F,∆
.
Γ→∆
Ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì Ôðåãå.
Ñå÷åíèå âàæíî äëÿ äëèíû âûâîäà, íî íå äëÿ ïîëíîòû.
Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî î÷åâèäíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ïðÿìîå.5 / 6

19. Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ a ) è (¬a1 ∨ x ), . . . , (¬a ∨ x ).
k k
6/6

20. Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ a ) è (¬a1 ∨ x ), . . . , (¬a ∨ x ).
k k
Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:
äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1 → n → . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,
î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;
òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j m), îñòàâëÿåì;
â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:
6/6

21. Ïðàâèëî ðàñøèðåíèÿ
Ðàçðåøèì ââîäèòü íîâûå ïåðåìåííûå: àêñèîìà x ≡ F .
Ôðåãå ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ ≡ ðåçîëþöèè ñ ïðàâèëîì ðàñøèðåíèÿ!
(Äëÿ ðåçîëþöèè: àêñèîìû (¬x ∨ a1 ∨ . . . ∨ a ) è (¬a1 ∨ x ), . . . , (¬a ∨ x ).
k k
Êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Äèðèõëå:
äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè (n + 1 → n → . . .), ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå,
î÷åðåäíîå m-å îòîáðàæåíèå ñåëèò m êðîëèêîâ â m − 1 êëåòîê;
òåõ, êòî ñèäåë, êàê íàäî (j m), îñòàâëÿåì;
â êëåòêó, ãäå áûë (m + 1)-é, ñåëèì òîãî, êòî ñèäåë â m-é êëåòêå:
+1) (m+1) (m+1)
q (, ) ≡ q (,
i
m
j i
m
j
∨ (q
m +1, j ∧q, i m
),
q (, +1) ≡ p , .
i
n
j i j
6/6