1. Площадь круга
Выведем формулу для площади круга. An
Впишем в круг правильный n-угольник A1 A2 A3  An . A1
Впишем в n-угольник другой круг. rn
Очевидно, S n' < S n < S . (*) R
Выразим rn через R : rn = R cos 180° .
n A2
При n → ∞ cos 180° → 1 , поэтому rn → R :
n
вписанная окружность «стремится» к описанной.
Следовательно, при n → ∞ A3
S n' → S Обозначения:
⇒ Sn → S .
(*) R — радиус данного круга
S — площадь данного круга
S n = 1 Pn rn, где Pn — периметр A1 A2 A3  An .
2 rn — радиус вписанного круга
Учитывая, что rn → R , Pn → 2πR получаем: S n — площадь A1 A2 A3  An
S = 1 2πR ⋅ R = πR 2 .
2 S n — площадь вписанного круга
'
Итак, S = πR 2
Площадь круга Круговой сектор

2. Площадь кругового сектора
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга,
ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с
центром круга.
Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
Выведем формулу для площади кругового сектора.
сектор
Площадь всего круга πR 2 B
A
Площадь сектора, ограниченного πR 2
дугой в 1° α R
360
Площадь сектора, ограниченного πR 2 O
дугой с градусной мерой α ⋅α
360
сектор
Площадь круга Круговой сектор