806 - גיאומטריה לדוגמה
- 1. ©שמורות הזכויות כל–בגרותליין און
השלום דרך7,אביב תל|טלפון:1-700-700-893|פקס:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :דוא"ל | www.bagrutonline.co.il :אתר
אוקלידית גיאומטריה
(806 שאלון ־ 'א מועד תשע"ג קיץ מבגרות )שאלה
.F בנקודה נפגשים המרובע אלכסוני .קוטר הוא AM .במעגל חסום AKLM מרובע
המשולש משטח 3 פי קטן ALK המשולש שטח ,FL = a ס"מ ,ML = 30 ס"מ נתון
.ALM
.ALK במשולש LA לצלע הגובה אורך את מצא .א
.KF הקטע אורך את a באמצעות הבע .ב
.∆AFM ∼ ∆KFL כי הוכח .ג
.a את מצא .MA > a ,AF = 42.5 ס"מ :גם נתון .ד
A
K
L
M
F
1
- 2. ©שמורות הזכויות כל–בגרותליין און
השלום דרך7,אביב תל|טלפון:1-700-700-893|פקס:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :דוא"ל | www.bagrutonline.co.il :אתר
אוקלידית גיאומטריה
.AL לצלע גובה h ב־ נסמן .א
נימוק טענה
.נתון (1) AM קוטר
.ישרה זוית היא קוטר על הנשענת היקפית זוית (2) ∠ALM = ∠AKM = 900
.נתון (3) LM = 30 ס"מ
.משולש שטח (4) S∆ALM = 1
2 AL · 30 = 15 · AL
.נתון (5) S∆ALK = S∆ALM
3
.(4) ו־ (3) לפי (6) S∆ALK = 5 · AL
.משולש שטח (7) S∆ALK = 1
2 AL · h
.(6) ו־ (5) לפי המעבר כלל (8) 5 · AL = 1
2 AL · h
.(7) מתוך מש"ל (9) h = 10 ס"מ
.ב
נימוק טענה
.(קודם מסעיף (2)) לשני האחד מקבילים שלישי לישר מאונכים ישרים (1) h LM
.תאלס למשפט הרחבה (2) h
LM = KF
F M
.ונתון 'א סעיף מש"ל (2) ־ ב הצבה (3) 10
30 = KF
F M
.פיתגורס משפט (4) FL2
+ LM = FM2
.(4) ־ ב הנתונים הצבת (5) a2
+ 302
= FM2
.(5) מתוך שורש הוצאת (6) FM =
√
a2 + 302
((6) ו־ (3) )מתוך הצבה (7) 10
30 = KF√
a2+302
.(7) מתוך מש"ל (8) KF =
√
a2+302
3
וגם ∠LAM = ∠LKM ולכן לזו זו שוות שוות קשתות על הנשענות היקפיות זויות .ג
.מש"ל .∆AFM ∼ ∆KFL מתקיים ז.ז דימיון משפט לפי ולכן ∠AMK = ∠ALK
.ד
נימוק טענה
.('ג סעיף )מש"ל דומים במשולשים הדימיון יחס (1) AF · FL = KF · FM
.נתון (2) AF = 42.5 ס"מ
('ב מסעיף (8) ו־ (6) ומתוך (2) מתוך .(1) ־ ב הצבה (3) 42.5 · a =
√
a2+302
3 ·
√
a2 + 302
.(3) מתוך (4) a2
− 127.5a + 900 = 0
ולכן a < ML נתון .ס"מ a2 = 120 ו־ ס"מ a1 = 7.5 נקבל הריבועית המשוואה בפתרון
.ס"מ a = 7.5 הוא הפתרון
2