2019年度秋学期 画像情報処理 第2回 空間周波数とフーリエ級数 (2019. 10. 4)
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関西大学総合情報学部・画像情報処理（担当・浅野晃）
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2019年度秋学期 画像情報処理 第2回 空間周波数とフーリエ級数 (2019. 10. 4)
- 6. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 標本化と量子化 / 253 画像は，離散的な点 （画素, pixel）の集ま りでできている ［標本化］
- 7. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 標本化と量子化 / 253 画像は，離散的な点 （画素, pixel）の集ま りでできている ［標本化］
- 8. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 標本化と量子化 / 253 画像は，離散的な点 （画素, pixel）の集ま りでできている ［標本化］ 60 60 60 65 65 65 70 70 70
- 9. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 標本化と量子化 / 253 画像は，離散的な点 （画素, pixel）の集ま りでできている ［標本化］ 60 60 60 65 65 65 70 70 70 各画素は，明るさ（輝 度）を表す整数である ［量子化］
- 13. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html （写真略）
- 14. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島 （写真略）
- 15. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島 波 ↓ （写真略）
- 16. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島 波 ↓ ↓ （写真略）
- 17. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html ↓島 波 ↓ ↓ （写真略）
- 18. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html ↓島 波 ↓ ↓ ↓ （写真略）
- 19. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 ↓島 波 ↓ ↓ ↓ 回折する （写真略）
- 20. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 ↓島 波 ↓ ↓ ↓ ↓ 回折する （写真略）
- 21. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の性質・回折と干渉 / 256 中国・銭塘江の「大海嘯」 http://www.nhk.or.jp/archives/nhk-archives/ past/2006/h060430.html 島の裏側に 回り込む 波の「回折」 山どうし・谷どうしが 重なり合うと 強めあう 波の「干渉」 ↓島 波 ↓ ↓ ↓ ↓ 回折する （写真略）
- 32. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 回折格子と１次回折光 / 257 回折によって光が全方向に 飛び散る 細かい格子ほど 大きな角度で回折光が出る 「山ひとつ分ずれて重なる」 方向が緩い角度 「山ひとつ分ずれて重 なる」方向が 急角度 波がちょうど 山ひとつ分ずれて重なる方向に 回折光が出る 周期的に重なった方向の光だけが 強め合う
- 58. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか 1周期 … … 位置 この長さが1mm とすると
- 59. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか 1周期 … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから
- 60. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから
- 61. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか ［波長］ 波が1周期進むのにかかる 長さはどれだけか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから
- 62. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか ［波長］ 波が1周期進むのにかかる 長さはどれだけか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから 1周期
- 63. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか ［波長］ 波が1周期進むのにかかる 長さはどれだけか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから 1周期 1mm
- 64. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の周波数と波長 / 2511 基本的な波 三角関数で表す ［周波数］ 単位長さ（1mmとか）の間に 何周期の波が入っているか ［波長］ 波が1周期進むのにかかる 長さはどれだけか 1周期 周波数は 4 cycle/mm … … 位置 この長さが1mm とすると 1mmの間に4周期 入っているから 波長は1周期の長さで (1/4) mm 1周期 1mm
- 70. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L
- 71. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L
- 72. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L
- 73. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L
- 74. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L
- 75. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 周期が合う→
- 76. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 77. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 78. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 79. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 80. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 81. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 82. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 83. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 84. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 85. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 86. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 87. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 88. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 89. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 90. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 91. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す
- 92. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す →波が進むとずれて いってしまうから 足してはいけない
- 93. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数） のものに限る。 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す →波が進むとずれて いってしまうから 足してはいけない
- 94. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を分解 / 2514 ここからは１次元の波で考える 周期関数 … … もし，この周期関数が，三角関数の和で書けるとしたら？足されるのは 周期（の長さ）L 波長 L 波長 L/2 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数） のものに限る。 無限個の波の足し合わせだが， 足し算（級数）で書ける。 波長 L /(1.5) 合う→足す 合う→足す 合わない 周期が合う→ 波が進んでも同期 しているから足す →波が進むとずれて いってしまうから 足してはいけない
- 95. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 「無限個だが，足し算で書ける」 / 2515 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n
- 96. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 「無限個だが，足し算で書ける」 / 2515 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから， 無限個の三角関数を足すのだけれども このように「項」を並べることができる f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n
- 97. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 「無限個だが，足し算で書ける」 / 2515 周期関数 f(x) … … 周期関数 f(x)が，三角関数の和で書けるとしたら，足されるのは 周期 L 波長 L 波長 L/3 … 足されるのは波長 L / n（nは整数）のものに限るから， 無限個の三角関数を足すのだけれども このように「項」を並べることができる f(x) = + 波長 L/2 + + … + + … 波長 L/n 「級数」という
- 98. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2
- 99. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない
- 100. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない
- 101. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン
- 102. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン
- 103. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 波の進み方を「角度」で表す / 2516 L / n 波長 n / L 単位長さあたり 何周期ぶんの波が入っているか ［周波数］ 2π(n / L) 単位長さあたり 位相（角度）が何ラジアン進むか ［角周波数］ L = 0.5[mm]とすると 波長 L / 2 = 0.25[mm] 1[mm] あたり 2 / L = 4[周期]の波 1[mm] あたり 2π(2 / L) = 2π ×4[rad] だけ角度が進む 波長 L / 2 ★三角関数を使うときは，角度を単位にしなければいけない 1周=360度=2πラジアン ラジアン？
- 104. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ラジアン（弧度法） / 2517 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 45°
- 105. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ラジアン（弧度法） / 2517 45°= 1周の1/8 だから， ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 45°
- 106. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ラジアン（弧度法） / 2517 45°= 1周の1/8 だから， ラジアンであらわすと 2π × (1/8) = π / 4 (rad) 半径 1 半径1の円の 円周の長さは 2π この角度を， 対応する円周の長さで表す 1周=360度=2πラジアン 45°
- 107. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数＝三角関数の級数 / 2518 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n
- 108. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数＝三角関数の級数 / 2518 なんですが… f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n
- 109. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数＝三角関数の級数 / 2518 なんですが… 三角関数は計算が面倒。 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)}
- 110. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数＝三角関数の級数 / 2518 なんですが… 三角関数は計算が面倒。 指数関数なら計算が簡単 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)} ax ay = ax+y
- 111. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数＝三角関数の級数 / 2518 なんですが… 三角関数は計算が面倒。 指数関数なら計算が簡単 f(x) = a0 + a1 cos(2π 1 L x) + a2 cos(2π 2 L x) + … + an cos(2π n L x) + … 波長 L 波長 L/2 波長 L/n cos x cos y = 1 2 {cos(x + y) + cos(x − y)} ax ay = ax+y かけ算＝指数の足し算
- 112. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式
- 113. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式
- 114. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 i2 = − 1 虚数単位
- 115. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位
- 116. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位
- 117. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex
- 118. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex
- 119. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない
- 120. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない e = 2.71828...
- 121. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない e = 2.71828...
- 122. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない e = 2.71828...
- 123. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i ひとつの三角関数＝波は， 正負の周波数をもつ指数関数の組で表される i2 = − 1 虚数単位 exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない e = 2.71828...
- 124. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 三角関数と指数関数 / 2519 exp(iω) = cos ω + i sin ωオイラーの式 cos ω = exp(iω) + exp(−iω) 2 , sin ω = exp(iω) − exp(−iω) 2i ひとつの三角関数＝波は， 正負の周波数をもつ指数関数の組で表される i2 = − 1 虚数単位 「周波数がマイナス」というのはヘンだが， プラスの周波数とマイナスの周波数のペアでひとつの波になる exp(x) = ex (ex )′ = ex 微分しても 変わらない e = 2.71828...
- 125. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を指数関数の和で / 2520 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x)と の組
- 126. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を指数関数の和で / 2520 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x)と の組
- 127. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を指数関数の和で / 2520 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x)と の組 プラスもマイナスも∞
- 128. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 周期関数を指数関数の和で / 2520 周期 L の周期関数 f(x) は，波長 L / n の波を足し合わせて はず。 波長 L / n の波は f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける exp(i2π n L x) exp(−i2π n L x)と の組 プラスもマイナスも∞
- 129. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 書ける，のはいいが / 2521 周期 L の周期関数 f(x) は， はず。 f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける
- 130. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 書ける，のはいいが / 2521 周期 L の周期関数 f(x) は， はず。 f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x と書ける この係数はどうやって 求めるの？
- 131. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ある波長の波を切り出す / 2522 一方，f(x) を構成する指数関数のいずれか（波長 L / m）は exp i2π m L x 波長 L / nの指数関数 exp i2π n L x f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x から，波長 L / nの波に 対応する指数関数だけを 切り出したい
- 132. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる
- 133. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n
- 134. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については次回）
- 135. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については次回） 複素共役
- 136. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については次回） 複素共役
- 137. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については次回） 複素共役 mとn が異なるとき（別の波長） 0 mとn が等しいとき（同じ波長） L
- 138. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. L 2 −L 2 exp i2π m L x exp −i2π n L x dx ある波長の波を切り出す / 2523 この答は 波長 L / m の指数関数と L / n の指数関数について こういう計算をしてみる 波長 L / m 波長 L / n f(x) の１周期分だけ積分（積分については次回） 複素共役 mとn が異なるとき（別の波長） 0 mとn が等しいとき（同じ波長） L 指数関数のグループはこの性質をもつ 直交関数系
- 139. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる
- 140. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる ある整数
- 141. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる ある整数
- 142. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので ある整数
- 143. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので ある整数
- 144. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 そこで 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数
- 145. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L そこで 他の項は積分すると 0 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数
- 146. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L そこで 他の項は積分すると 0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数
- 147. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L そこで 他の項は積分すると 0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数 1 L · Lak = ak
- 148. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2524 級数の各項を積分すると，n = k の項だけは積分すると L そこで 他の項は積分すると 0 つまりこの積分の答は 1 L L 2 −L 2 f(x) exp −i2π k L x dx を計算してみる f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x なので 1 L L 2 −L 2 ∞ n=−∞ an exp i2π n L x exp −i2π k L x dx ある整数 1 L · Lak = ak 係数が求まった
- 149. 2019年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. まとめ・フーリエ級数展開とフーリエ係数 / 2525 周期 L の周期関数 f(x) は， f(x) = ∞ n=−∞ an exp i2π n L x という波の足し合わせ（級数）で表される （フーリエ級数展開） 係数 an（フーリエ係数）は an = という積分で表される 1 L L 2 − L 2 f(x) exp −i2π n L x dx